Классические решения в теории струн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Михайлов, Виктор Николаевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2012
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Федеральное государственное бюджетное учреждение «Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики» — ■ А. И. Алиханова
Михайлов Виктор Николаевич Классические решения в теории струн
Специальность 01.04.02 — теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук
Н;
005057240
1 3 ЛЕИ 2012
Москва 2012 г.
005057240
УДК 530.145
Работа выполнена в ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ», г. Москва.
Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук Горский A.C.
(ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ», г. Москва)
Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук Андрианов A.A.
(Санкт-Петербургский государственный университет)
доктор физ.-мат. наук Макеенко Ю.М. (ФГБУ «ГНЦ РФ ИТЭФ», г. Москва)
, Ведущая организация: ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН (г. Черного-
ловка)
Защита состоится 25 декабря 2012 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 201.002.01 в конференц-зале ИТЭФ по адресу: г. Москва, ул. Б. Черемушкинская, д. 25.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ. Также диссертация и автореферат доступны по запросу через электронную почту vmikhaylov@itep.ru
Автореферат разослан «23» ноября 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
кандидат физ.-мат. наук Васильев В.В.
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Одним из наиболее интересных предсказаний АйБ/СРТ соответствия является связь между аномальными размерностями операторов в калибровочной теории и спектром возбуждений суперструны в пространстве анти-де-Ситтера. Этот подход позволяет вычислять аномальные размерности в режиме сильной связи, в котором непосредственные вычисления в калибровочной теории затруднительны. В связи с этим значительный интерес представляет вычисление квазиклассических частот возбуждений над различными классическими струнными решениями. Эта задача значительно облегчается тем фактом, что струнная сигма-модель в рассматриваемых случаях интегрируема, по крайней мере на классическом уровне. Наиболее естественным методом вычислений в этой ситуации является метод алгебраической кривой. Получение струнных частот для различных классических решений методом алгебраической кривой; сравнение с результатами, полученными непосредственным разложением струнного действия над классическим решением; регуляризация возникающих бесконечных сумм являются важными и актуальными задачами.
Квазиклассический анализ также позволяет получать важные результаты для калибровочных теорий, если квантовые флуктуации находятся под контролем. Это имеет место, в частности, для суперсимметричных теорий. Исследование динамики монополей и неабелевых струн в таких теориях должно улучшить наше понимание проблемы конфайнмента.
Важным объектом в калибровочных теориях являются операторы 'т Хоофта и поверхностные операторы. Они задаются сингулярным поведением полей в окрестности оператора. Поскольку функциональное интегрирование не имеет
смысла на прострастве полей, не содержащем решений классических уравнений, то соответствующая сингулярная часть должна быть решением этих уравнений. Явные решения, получаемые в настоящей работе, полезны для исследования топологической теории, связанной с важным инвариантом узлов и зацеплений — гомологиями Хованова.
Цель диссертационной работы
Вычисление и регуляризация сумм частот возмущений для сложенной суперструны в пространстве Ас/,5\ х СР3 методом алгебраической кривой, анализ вычислений фермионных частот для циркулярных струн. Исследование неабелевых струн в суперсимметричных и несуперсимметричных калибровочных теориях в присутствии химпотенциала. Решение обобщенных уравнений Богомольного для операторов 'т Хоофта и поверхностных операторов в Л/" = 4 калибровочной теории в полупространстве.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Получены частоты флуктуаций для сложенной струны в пространстве Айв4 х СР3.
2. Предложен новый метод регуляризации бесконечных сумм частот, естественный с точки зрения метода алгебраической кривой.
3. Показано, что при вычислении частот фермионных флуктуаций необходимо учитывать спин-структуру таргет пространства. Для различных классических циркулярных струн проанализировано вычисление фермионных частот методом разложения действия Грина-Шварца и показано, что результаты согласуются с методом алгебраической кривой при учете спин-структуры.
4. Изучены классические решения для солитонных неа-белевых струн в суперсимметричной и несуперсимметрич-ной хромодинамике в присутствии химпотенциала. Построена теория на мировой поверхности струны.
5. Исследованы решения обобщенных уравнений Богомольного, задающие оператор 'т Хоофта и поверхностный оператор в Я = 4 суперсимметричной калибровочной теории. Показано, что уравнения сводятся к открытой цепочке Тоды для оператора 'т Хоофта и некоторой обобщенной системе Тоды для поверхностного оператора. С помощью элементарных методов теории интегрируемых систем построены явные решения уравнений, в первом случае — для произвольной простой алгебры Ли, во втором — для алгебр .чиШ).
Научная новизна и практическая ценность работы
Результаты данной работы, выносимые на защиту, являются новыми. Проведенный анализ вычислений частот флуктуации над классическими решениями для суперструн полезен для вычислений квазиклассической энергии для новых решений. Исследование неабелевых струн в теории при конечной плотности может быть полезно для нашего понимания конфайнмента и фазовой диаграммы калибровочной теории. Построенные решения обобщенных уравнений Богомольного могут быть использованы для анализа топологической теории поля, связанной с гомологиями Хованова и соответствием Лэнглэндса. Найденные решения также являются отправной точкой для обобщения на случай теорий, имеющих в качестве калибровочной группы супергруппу и связанных, в частности, с полиномом Александера.
Апробация работы и публикации
Основные результаты работы докладывались на семинарах ИТЭФ, университета Уппсалы и Имперского колледжа Лондона. По материалам диссертации опубликовано 4 научных работы в ведущих зарубежных реферируемых научных журналах.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения и четырех глав. Список литературы содержит 102 наименования. Общий объем диссертации составляет около 75 страниц.
Содержание работы
Во введении, являющемся первой главой, дан обзор приложения АёБ/СРТ соответствия к вычислению аномальных размерностей операторов в калибровочной теории, а также решений БПС-уравнений в суперсимметричных теориях и некоторых аспектов динамики солитонов. Основная часть диссертации состоит из четырех глав. Рассмотрим вкратце их содержание.
В главе 2 методом алгебраической кривой анализируются флуктуации над сложенной струной в пространстве /ЫБа х <СР3. Одно из преимуществ метода алгебраической кривой состоит в том, что частоты могут быть найдены из набора частот для сложенной струны в ЛсШ^ х 5'5 несложным анализом. Интересующая нас алгебраическая кривая задается десятью квазиимпульсами, удовлетворяющими соотношениям
{ди <72, <7з, <74, Чъ] = -{<?10, <79, <78, <77, <7б} • (1)
Здесь квазиимпульсы </ь <7э, с1ш соответствуют ЛёБ^ части сигма-модели, а остальные — СР3 части [1]. Для сложенной
струны все квазиимпульсы, кроме q5 и q6, равны соответствующим квазиимпульсам для сложенной струны в AdS5 х S5. Метод квазиклассического квантования струны с помощью алгебраической кривой состоит в следующем. Для того чтобы получить квазиклассические частоты, нужно добавить возмущения спектральной кривой и найти соответствующий сдвиг энергии. Эти возмущения квазиимпульсов состоят в добавлении набора полюсов, играющих роль инфинитизимальных разрезов. Мы обозначаем поляризацию возмущения парой чисел (i, j), соответствующих листам, между которыми добавляется полюс.
Вычеты в полюсах фиксируются квазиклассическим условием квантования, а их положения определяются уравнениями
= (2)
Поэтому вычисление разбивается на два этапа: (i) вычисление отклика энергии 5Е — &ij(x) на добавление полюса в некоторой точке х и (и) решение уравнений 2. Энергия флуктуации есть = Поскольку алгебраические кривые для AdS5 х S5 и AdSi х CP3 связаны, то, как нетрудно показать, и частоты флуктуаций связаны. Полученные результаты приведены в таб. (1), (2). Главное отличие случая
Таблица 1: Обозначения для частот для сложенной струны при J ~ log 5 -»• оо. Частоты взяты из [2]. В таблице мы также используем обозначения 1/ = -¿-г, - = ~m=t-
¿77/г' к Vt +1
мода обозначение
\/п2 + 2к? ± 2\/к4 + n2f2 Vn2 + 2л2 - f2 ш**
Vn2 + к2
л/л2 + f2
АйБд х СР3 от Айв.5 х 55 состоит в том, что существует два соотношения дисперсии для ВМН спектра. Соответственно,
Таблица 2: 3+8+5 флуктуаций на фоне сложенной струны с кратностями. Поляризация показывает, на какую пару листов был добавлен полюс.
частота кратность поляризации
лаэ XI X 1 XI (1,10) (2,9) (1,9)
фермионы иг х4 х2 х2 (1,7); (1,8); (2, 7); (2, 8) (1,5); (1,6) (2,5); (2, 6)
СР3 <4 "4/2 XI х4 (3,7) (3,5); (3,6); (4, 5); (4, 6)
БМН-спектр [3, 4, 5] в случае АйБ^ х СР3 естественным образом разбивается на две части. Из-за отличия радиусов Айв4 и СР3 имеются четыре фермиона, три АйБ возбуждения и одно СР3 возбуждение с энергиями
еп = , (з)
к
а другие четыре СР3 моды и четыре фермионных БМН моды имеют спектр
е„ = ^4п2 + к1 . (4)
2к
Соответственно этому мы делим возбуждения на "тяжелые" и "легкие". Для четных п можно воспринимать флуктуации из первой группы как некоторое связанное состояние двух легких возбуждений (с нулевой энергией связи):
£п = еп/2 + 2 • (5)
Из этого рассуждения следует, что для четных п тяжелые возбуждения с модовым числом п и легкие возбуждения с модовым числом п/2 принадлежат одному семейству и должны рассматриваться вместе. Для возбуждений над сложенной струной (таб.2) частоты также явным образом делятся на лег-
кие и тяжелые1. Положим
К. =
+ пееуеп
^Ьеауу П £ ОСЫ '
Наше утверждение состоит в том, что однопетлевой сдвиг энергии струны должен определяться как
Данную регуляризацию можно воспринимать как обрезание по переменной х — координате на спектральной кривой. Такое обрезание представляется естественным с точки зрения интегрируемой структуры задачи.
В главе 3 подробно рассматриваются фермионные частоты циркулярных струн в пространствах х 55 и А(15\ х СР3. Квазиклассические частоты были вычислены для различных струнных конфигураций в АйБъ х 55 и в АЛБа х СР3, с помощью непосредственно разложения действия Грина-Шварца на мировом листе (см., например, [6, 7, 8, 9, 10]), и с помощью метода алгебраической кривой (см. например [10, 11, 12, 13]). Как правило, результаты, нолученные этими двумя методами, совпадают, однако существуют и некоторые расхождения.
Типичное выражение для квазиклассической частоты флуктуации с поляризацией {г.,]) и модовым числом п имеет вид
где ш0 — это некоторый постоянный сдвиг, щ — сдвиг мо-дового числа (в общем случае полуцелый) и Г2у(п) — некоторая функция. Подход с разложением действия на мировой поверхности (\¥3) и метод алгебраической кривой (АС) всегда дают одинаковые выражения для функции но константы ш0 и щ не всегда согласуются. Целочисленная часть Нормально можно перейти к ВМН пределу V = к, чтобы их отличить.
(8)
сдвига щ — это регуляризации или, другими словами, вопрос выбора обрезаний в сумме по п, которая дает однопетлевую поправку к энергии. Вопрос о регуляризации и нумеровке частот рассматривался в предыдущей главе настоящей диссертации, а также в работах [9, 10, 13, 14]. В данном разделе мы рассматриваем полуцелые сдвиги , которые невозможно убрать переобозначением частот. Относительно этих сдвигов в случае фермионных частот для циркулярных струн в литературе имеются противоречивые результаты (см. приложение Е работы [11])- Результаты, полученные с помощью разложения действия Грина-Шварца и с помощью метода алгебраической кривой сравниваются в таб.1 и таб.2. Для (2) струны в пространстве Айв^, х 55 метод дает частоты с целочисленными модовыми числами [7], в то время как АС-метод дает нетривиальные сдвиги [11]. Модовые числа также предполагаются целыми в работах [16, 15]. Для ви(2) струны в А(1БЬ х 55 метод \У8 дает полуцелые модовые числа для одной формы решения [6] и целые для другой формы того же решения [17]. Модовые числа также предполагаются целыми в работах [18, 16] и полуцелыми в [19, 20]. В случае АйБ^ х СР3 для ей (2) струны и АС результаты совпадают [10], но для з1(2) струны полуцелые сдвиги в модовых числах для фермионных частот снова разные [9].
Полуцелые сдвиги в модовых числах для фермионных мод связаны с фермионными граничными условиями: замена периодических граничныхусловий на антипериодические добавляет сдвиг 1/2 в модовые числа. Противоречивые результаты для полуцелых сдвигов наводят на мысль, что периодические фермионные граничные условия, которые всегда выбираются в \¥Б подходе, неверны. Если бы таргет-пространство, в котором живет струна, было неодносвязным, то фермионные граничные условия для струны, намотанной на нетривиальный цикл, могли бы быть периодическими или антипериодическими, в зависимости от спинструктуры. Это соответствует
тому, что в спиновом накрытии матрица перехода, склеивающая цикл, может быть равна ¥ либо — ¥. Замена периодических граничных условий на непериодические для струны, намотанной на цикл т раз, добавила бы к модовому числу сдвиг т/2 — ровно то, что нужно.
Поэтому наша идея состоит в том, чтобы аккуратно построить спиновое расслоение над таргет-пространством. В вычислениях таргет-пространство параметризуется как правило угловыми координатами. Они хорошо определены в "большой" карте, но окрестности координатных сингуляр-ностей должны быть заклеены дополнительными картами с несингулярными координатами — например, декартовыми. "Большая" карта не является односвязной, и потому на ней существуют неэквивалентные спинструктуры, но только одна из них (для односвязного таргет-пространства) происходит из ограничения спинструктуры всего таргет-пространства. Мы показываем, что спинструктура, которая может быть продолжена с "большой" карты на все пространство, имеет матрицы перехода — ¥ на циклах "большой" карты. Это обстоятельство хорошо известно в двумерии, где периодические ферми-оны на цилиндре становятся антипериодическими на плоскости с выколотой точкой. Фермионные граничные условия, соответствующие правильной спинструктуре, действительно дают частоты, согласующиеся с методом алгебраической кривой.
Необходимости рассматривать спинструктуру можно избежать, если стартовать с косетной формы действия Грина-Шварца. Мы убеждаемся, что при правильном учете спинструктуры получаемые результаты согласуются с частотами, полученными методом алгебраической кривой. Явно рассматриваются случаи зи(2) и ¿7(2) струн в пространствах АйБъ х 55 и АйБА х СР3.
В главе 4 изучаются струнные решения в суперсимметричных и несуперсимметричных калибровочных теориях в
присутствии химпотенциала. В качестве калибровочной группы возьмем группу х и(1))/ZN. Материя представлена N скалярными полями, преобразующимися по фундаментальному представлению калибровочной группы. Удобно записать эти поля в виде N х N матрицы Ф = {<ркА}, где к — это Б11 {М) калибровочный индекс, а А — флейворный индекс. Действие модели имеет следующий вид,
2
+ Тг (У„Ф)* (УФ) - ^ [Тг (Ф*ТаФ)]2 -- ^[Тг (Ф+Ф)-ДГе]2 +
о
+ , (9)
32 7г2 ^ / ' ^ ;
где £ — аналог параметра Файе-Илиопулоса. При добавлении
химпотенциала ¡1 параметр Файе-Илиопулоса сдвигается,
Анализ солитонных решений в этой теории во многом повторяет исследование теории без химпотенциала [21]. В вакууме поле Ф имеет вакуумное среднее
<^ас = (И)
и симметрия нарушается до диагональной калибровочно-флейворной,
и(ЛОёаи§е X 8и(Лг)пауог ^ Зи(]У)Шае. (12)
Существование и топологическая устойчивость струнных решений обеспечивается нетривиалыюстыо гомотопической группы 7Г1(5С/(А/') х и{1)/гп). Элементарная струна на бесконечности имеет намотку у одной из компонент поля Ф,
я:->оо. (13)
Решение для струны удобно записать в следующей параметризации [22]:
\
Ф -
( Ф(г) О
О ...
О о
( 1 .
Ф(г)
О
о
л
зи(дг) _
1
ЛГ
1
Лои(ЛГ)
А?11) = № =
О . ( 1
¿афм(г)
О О
(дга) [-1 + /ш(г)],
О ... 1 О V о О ... 1)}
(дга) [1 - /(г)],
9-
(14)
Структурные функции, задающие это решение, удовлетворяют уравнениям второго порядка, которые выписаны в работе. Неабелеву струну можно получить, если сделать диагональное цветное-флейворное преобразование над этим решением, записанным в сингулярной калибровке. Получаемое решение обладает дополнительными ориентационными модулями, параметризующими многообразие флагов 5'£/(Лг)/Тл\
Аналогичный, но чуть более сложный анализ проводится и для ЛГ = 2 суперсимметричной теории с суперсимметрией, нарушенной химпотенциалом. Такие струны в присутствии
химпотенциала не являются БПС решениями, и структурные функции удовлетворяют уравнениям второго порядка. Низкоэнергетическая эффективная теория на мировой поверхности струны может быть получена подстановкой решения с медленно меняющимися модулями в лагранжиан. Для случая N = 2 она представляет собой деформацию СР1 сигма-модели. При малых значениях члена Файе-Илиопулоса существенно также дополнительное поле параметризующее разность фаз скаляров из двух половинок гипермультиилета.
В главе 5 рассматриваются обобщенные уравнения Богомольного для топологической теории поля, получаемой из калибровочной теории с N — 4 суперсимметрией в полупространстве, с 1/2-БПС граничным условием. Эти уравнения записываются для калибровочного поля и 1-формы в присоединенном представлении, и имеют вид
Нас интересуют решения, задающие оператор 'т Хоофта с сингулярностью вдоль линии на границе полупространства, на котором определена теория. Пусть координата вдоль оператора есть х°, координата, трансверсальная границе полупространства есть у > 0, две координаты в перпендикулярном направлении есть х^ и ,т2. Их удобно объединить в голоморфную переменную г = х1 + гх2, ее модуль обозначим г.
Оператор, расположенный вдоль прямой линии, имеет большую суперсимметрию, чем требуют БПС-уравнения (15) и (16). Можно показать, что для таких решений выполняется Ао = фз = 0. Тогда уравнения могут быть удобно переписаны в терминах операторов
F - ф А ф + *йАф = 0, йА * ф — 0.
(15)
(16)
= 2д-г + Ах + гА2, Т>2 = ду + А3 - гф0 , Т>з = Ф1~ гф2 ■
Уравнения распадаются на голоморфные условия коммутативности
[Р<,2^ = 0, ¿,¿ = 1.-3 (18)
и условие моментов
¿[А,2>Л = 0. (19)
¿=1
Условия коммутативности инвариантны относительно ком-плексификации калибровочной группы, и их решение можно привести к виду, где = А2 = А3 = фо = 0, а (р = ф1 — 1ф2 — некоторая голоморфная функция. Далее нужно найти комплексное калибровочное преобразование д, после применения которого это решение будет удовлетворять и условию моментов. Это типичная ситуация, когда фактор по голоморфной группе (вообще говоря, при некотором условии стабильности, которое в данном случае предполагается тривиальным) эквивалентен симплектическому фактору. Уравнение моментов в терминах калибровочного преобразования принимает вид
4дг {д-гк к'1) + ду («%к к'1) + У&г), кщ{£)к^} = 0, (20)
где к = д^д. Унитарная часть калибровочного преобразования сокращается в к.
Операторы 'т Хоофта параметризуются элементами решетки кохарактеров Г^ е I), с точностью до вейлевской эквивалентности. Решетка кохарактеров, по определению, есть просто решетка гомоморфизмов Нот (С*, Сс)- Пусть д(г) — = -г", где ш = кгНг € Г^ обозначает такой гомоморфизм, соответствующий нашему оператору 'т Хоофта. С помощью вейлевской эквивалентности можно преобразовать кохарак-тер ш так, чтобы он лежал в положительной камере Вейля, так что
г{ = а<Н>0. (21)
Решетка Г^ лежит в дуальной решетке корней Г*, и поэтому числа гг являются целыми.
Пусть Нг и Е^ — генераторы алгебры Ли в базисе Шевал-ле. Возьмем решение голоморфных уравнений в форме
г
а комплексное калибровочное преобразование в виде
5 = , (23)
где & отличается от магнитного веса ш сдвигом на дуальный вектор Вейля, а неизвестные функции Хг(а) зависят от угловой переменной а, определенной как
у/г = 5\гй\ст. (24)
В терминах переменных г/, — Ацх^ гДе А-ч — матрица Кар-тана, уравнение моментов принимает вид уравнения Тоды,
= (25)
з
где точками обозначены производные по а.
Теперь нужно дополнить уравнение граничными условиями. Чтобы определить граничное условие в плоскости у — О вдали от дефекта, т.е. при а —> 0, нужно предписать сингулярное поведение полей [23, 24]. В модельном решении калибровочное поле и нормальная компонента один-формы равны нулю, а тангенциальные компоненты один-формы имеют сингулярность,
ф0 = 1Л, „ = (26)
У У
где и € 0с задает главное вложение еи(2) подалгебры. Как показано в работе, в терминах наших переменных это граничное условие транслируется в следующее простое условие:
сг —> 0 : е~Х1 -> 0. (27)
Граничное условие вдоль линии г = 0 вдали от начала координат, т.е. при а —> оо, происходит из требования того,
чтобы поля были несингулярны вдоль этой линии. Отсюда можно получить, что
а оо : qi = -2mia+\og(ACj)+0{e'a), ш,- = . (28)
Здесь мы ввели некоторые неизвестные константы Cj, которые будут зафиксированы из граничных условий в нуле. В терминах переменных Хг граничное условие имеет вид
а -> оо : ^ = -2AiCr + Tji + Oie"7), (29)
где rji есть соответствующие комбинации констант С}, и А, = -IZjAjmj.
Решение уравнений Тоды с граничными условиями (27), (28) мы найдем в два шага. Прежде мы построим решение, исходя из "начальных условий" при сг —> оо, задаваемых уравнением (28), для некоторых констант Су Затем мы подстроим эти константы так, чтобы удовлетворялось второе граничное условие (27). Построение решения из начальных условий уже известно и описано в работе [25], но наш вывод, как нам кажется, несколько проще, поэтому мы приводим его в работе.
Пусть As, s = 1,.. . rank(g), — фундаментальные веса алгебры Ли 0с, т.е. старшие веса фундаментальных представлений р3. Имеем
= (30)
\Oii-, оц)
где угловые скобки обозначают форму Киллинга на коалгеб-ре. Векторы в представлении мы будем обозначать как В частности, |AS) — это вектор старшего веса и единичной нормы в представлении р$.
Как было показано в работе [26], значение решения для открытой цепочки тоды в момент времени а может быть найдено из значений этого решения при других временах т с по-
мощью формулы
е-х» = е~Ыт)(Л8| ехр [(т - а)х{т) +
+ >/=1(т - <г) £ещ(т)/2(Я+ + Ет)
|А,>- (31)
Наша стратегия заключается в том, чтобы взять предел т к бесконечности и использовать асимптотическую формулу (28), чтобы получить функции Хг{а)- В результате вычисления можно получить:
Пусть Д5 — набор весов фундаментального представления р3. Вес ю € уровня п(ги) может быть представлен как
XV
п(-ш) ¡=1
(32)
Тогда имеем:
и>еД»
п(и))
ехр (2сто(а>)) Ы£)Ы<2/)>(-1Г(№) П С*
1=1
(33)
Здесь вектор |иш(о>)) определен следующим образом. Пусть в нумерует пути, которыми можно дойти до весового пространства ио, стартуя со старшего веса, т.е. каждое в соответствует последовательности вида
(34)
где аМю) -1-----\-<уп = Л —ш. По пути от Л до и; нам встретятся
веса
(Л = ю2, ■ ■ •, ги„{ю), ги„(ш)+1 = т). (35)
Тогда |иш(а>)) есть вектор в весовом пространстве ги:
п(и>)
\VJuj
■» = £П
** ю(ш) - УОаЩ
Е7,„л...ЕГ |Л), (36)
Теперь нужно зафиксировать гапк(д) констант С,: из гапк(д) алгебраических уравнений (27):
£
гибД.
п(и>)
г=1
= 0.
(37)
Мы предполагаем, что такое решение единственно и дается формулой
Сг = П , (38)
где Д+ — множество положительных корней.
При этом предположении, используя явное выражение для постоянных Г}, в терминах С^, формула (33) принимает вид
е-х.М = тв. £ |^ехр (2аю(ш)) (г^МКИ) (-1)
п(ги)
т£Аа
П
-2(7«,/3„)/</?„,/?„)
(39)
Здесь Д — высота фундаментального представления старшего веса Л*.
Что касается сделанного предположения, мы проверили явным вычислением, что (38) действительно дает решение уравнений (37) для алгебр В2 и С2- Можно доказать, что наше предположение верно для всех алгебр Ап. В последнем случае верна также более простая формула:
П /да П (-ам) (4°)
Кроме операторов 'т Хоофта, интересны также поверхностные операторы, занимающие плоскость г = 0. В этом случае вдоль линии 2 = 0 поля имеют сингулярность вида
А — ас10, <р = /х— 2
с параметрами а е И) и ц € ()с- Выберем решение уравнений коммутативности (18) следующим образом
Ш = - ■ (42)
г
Подставляя этот анзатц для </з0 в уравнение (20) и предполагая масштабную инвариантность, получаем
да {дак1т1) + [/Л ЫЛ'1] = 0. (43)
В отличие от случая линейного оператора, здесь абелев анзатц для калибровочного преобразования не работает. Уравнение, которое мы получаем, является разновидностью неа-белевой системы Тоды.
Граничные условия при а —>■ оо определяются уравнениями (41). В терминах калибровочного преобразования д они записываются как
дцд~1 = + ,
д*-1даЫС1д* = 2га + ... . (44)
В плоскости у = 0, т.е. при а —0, граничные условия такие же, как и для линейного оператора. Для калибровочного преобразования они записываются следующим образом,
г
^¿и/гУ = + (45)
г
Более общая неабелева система Тоды была введена Поляковым и изучалась в литературе [27]. Для этой системы существует лаксово представление, и поэтому уравнения могут быть решены точно с помощью метода функции Бейпера-Ахиезера. Мы опишем этот метод в приложении к нашему редуцированному уравнению.
Наше уравнение (43) может быть записано в виде условия нулевой кривизны
\да-А{ш),Цт)] = 0. (46)
для лаксовой пары
Цт) = -даШ~х - ш/ш/Г1 + , (47)
и)
А{и,) = \даШ'1 ~ \whnh~1 - , (48)
где г/; £ С обозначает спектральный параметр.
Функция Бсйкера-Ахиезера Ф(ет, го) является решением уравнений
ЦтЩа, ш) = £Ф(<т, Е). (49)
(да-А{ь))Ща,Е) = Ъ. (50)
Условие коммутативности (46) обеспечивает существование такой функции. Ф является хорошо определенным объектом на спектральной кривой
Е : с1е1(£(и;) - Е) = 0. (51)
Чтобы найти решения нашего уравнения, нужно построить соответствующую спектральную кривую и функцию Бейкера-Ахиезера на ней.
Для простоты будем рассматривать случай алгебры Ак. Тогда картановские элементы представляются диагональными матрицами,
-га =
ц = ... . (52)
Для простоты предположим, что ^ ^ 0 и также что ц является регулярным элементом, т.е. щ ф Ц] для г ф ].
Спектральная кривая инвариантна относительно гамиль-тонова потока, она зависит только от сохраняющихся интегралов, характеризующих решение. Из асимптотического выражения при а —> оо для оператора Лакса можно найти, что спектральная кривая Е вырождена и представляет собой объединение N листов
лист : Е= -/^-ги + + . (53)
Каждая пара листов (Е*, Е,-) соединена в двух точках изц,
1Л - V, + из,
г3
Мг ~ N где мы обозначили
Щ = " > (54)
Ь>а = + 1/А - ^I2 . (55)
На каждом листе кривой имеются две отмеченные точки
Р+ : ги -> оо, Е = —ц^ги + + ... ,
Р- : го -> 0, Е = Д ~ + 2^- + ... . (56)
Теперь нужно восстановить функцию Бейкера-Ахиезера на кривой 2. Для этого зададим ее аналитические свойства. Функция Ф мероморфна вдали от отмеченных точек Рр, с N—1) полюсами, положения которых не зависят от а. В отмеченных точках функция должна иметь следующие асимптотики:
= е^2 (V + ^ + 0(1/Е2)) , (57)
с условием нормировки ^ = где Vj есть базисные векторы, ('Щ)к =
Поскольку кривая вырождена, функция Бейкера-Ахиезера есть на самом деле набор функций на каждом листе
Ф,- - (58)
удовлетворяющих условиям склейки
= (59)
Пусть Ф_, имеет полюса из],..., го"'. Асимптотические условия (57) и аналитичность фиксируют форму функции,
% = ехр (-(^ги +
е^+цЛ + а"''"1«;"'-1 + • • • + а)гу + е"1^ Щ.!
где а],..., о^-1 — неизвестные векторные коэффициенты, зависящие от а. Таким образом, для фиксированных полюсов "ш" каждая функция содержит N х неизвестных параметров, т.е. векторы а" и Полное число параметров для Ф равно А1"2 ^Г = Ат2(М — 1), т.е. равно числу уравнений (59). Следовательно, функция Ф однозначно определена своими аналитическими свойствами. Решение к(а) уравнения Тоды может быть найдено из асимптотик функции Бейкера-Ахиезера в точках Р+ из условия = .
Чтобы найти векторы и таким образом решение, нужно решить уравнения (59), которые представляют собой N систем, содержащих ЛГ(ЛГ — 1) линейных алгебраических уравнений каждая:
е
пГ
—-(Ькг'Ш^ 1 + (а<Л_2)к + ■
а -=1 ( - О К
а=1 /
+ . (60)
а—1
Здесь мы ввели новую переменную к = с^/ге1"7. Полюса ги" должны быть найдены из граничного условия при а —> 0, которое мы пока еще не наложили. Мы не сделаем этого явно, а вместо этого воспользуемся интуицией, исходя из рассмотрения абелевой задачи в предыдущих разделах. Там мы видели, что граничные условия при а —> 0 по сути равносильны тому, что поля имеют в этой точке сингулярность, и любое решение, для которого все компоненты одновременно сингулярны, автоматически удовлетворяет граничным условиям. В неабе-левом случае можно ожидать чего-то подобного. Матрицы размера М(М — 1) на М(М — 1), задающие линейные урав-
нения (60), должны становиться вырожденными при а = 0, чтобы решение имело особенность. Естественно сделать предположение, что нужная нам сингулярность получится, если матрицы будут иметь наименьший возможный ранг, т.е. ранг 1. Это произойдет, если на всех листах взять одинаковое количество полюсов и расположить их один под другим, т.е. гога = го" для любых г и ]. Тогда уравнения (60) примут вид
е~иц<т/2 + м + ... + + =
(к^Ц'1 + + ■■■ + + . (61)
Положения полюсов выпали из уравнений. Множители ПаГЛ-были поглощены перескалированием А.
Эти уравнения могут быть переформулированы. Определим зависящий от го оператор, являющийся N на N матрицей
0(ш) = кш"-1 + ам_2ш"~2 + • ■ • + «ци; + с. (62)
Тогда наши линейные уравнения могут быть переписаны следующим образом: для набора векторов
Пу = - (63)
сидящих в точках гОу, нужно найти оператор, который задаст этот "пучок-небоскреб" уравнением
0{т)и = 0. (64)
Этот оператор О (го) с точностью до небольшого твиста есть Р-экспонента лаксовой связности Л (го).
Публикации автора по теме диссертации
1. N. Gromov and V. Mikhaylov, "Comment on the Scaling Function in AdS4 x CPS,"
JHEP 0904, 083 (2009).
2. V. Mikhaylov, "On the Fermionic Frequencies of Circular Strings,"
J. Phys. A 43, 335401 (2010).
3. A. Gorsky and V. Mikhailov, "Nonabelian strings in a dense matter,"
Phys. Rev. D 76, 105008 (2007).
4. V. Mikhaylov, "On the Solutions of Generalized Bogomolny Equations,"
JHEP 1205, 112 (2012).
Список литературы
[1] N. Gromov and P. Vieira, "The AdS(4) / CFT(3) algebraic curve," JHEP 0902, 040 (2009)
[2] S. Frolov, A. Tirziu, and A. A. Tseytlin, "Logarithmic corrections to higher twist scaling at strong coupling from AdS/CFT," Nucl. Phys. B766 (2007) 232-245.
[3] D. Gaiotto, S. Giombi and X. Yin, "Spin Chains in N—6 Superconformal Chern-Simons-Matter Theory," JHEP 0904, 066 (2009).
[4] T. Nishioka and T. Takayanagi, "On Type IIA Penrose Limit and N=6 Chern-Simons Theories," JHEP 0808, 001 (2008).
[5] G. Grignani, T. Harmark and M. Orselli, "The SU(2) x SU(2) sector in the string dual of N=6 superconformal Chern-Simons theory," Nucl. Phys. В 810, 115 (2009).
[6] S. Frolov and A. A. Tseytlin, "Quantizing three-spin string solution in AdS(5) x S**5," JHEP 0307, 016 (2003).
[7] I. Y. Park, A. Tirziu and A. A. Tseytlin, "Spinning strings in AdS(5) x S**5: One-loop correction to energy in SL(2) JHEP 0503, 013 (2005).
[8] C. Krishnan, "AdS4/CFT3 at One Loop," JHEP 0809, 092 (2008).
[9] T. McLoughlin, R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Quantum spinning strings in AdS4 x CP3: testing the Bethe Ansatz JHEP 0811, 069 (2008).
[10] M. A. Bandres and A. E. Lipstein, "One-Loop Corrections to Type IIA String Theory in AdS(4) x CP3," JHEP 1004, 059 (2010).
[11] N. Gromov and P. Vieira, "The AdS(5) x S**5 superstring quantum spectrum from the algebraic curve," Nucl. Phys. B 789, 175 (2008).
[12] N. Gromov, S. Schafer-Nameki and P. Vieira, "Efficient precision quantization in AdS/CFT," JHEP 0812, 013 (2008).
[13] N. Gromov and V. Mikhaylov, "Comment on the Scaling Function in AdS4 x CP3," JHEP 0904, 083 (2009).
[14] N. Gromov and P. Vieira, "Constructing the AdS/CFT dressing factor," Nucl. Phys. B 790, 72 (2008).
N. Gromov and P. Vieira, "Complete 1-loop test of AdS/CFT," JHEP 0804, 046 (2008).
[15] S. Schafer-Nameki, M. Zamaklar and K. Zarembo, "Quantum corrections to spinning strings in AdS(5) x S**5 and Bethe ansatz: A comparative study," JHEP 0509, 051 (2005),
N. Beisert and A. A. Tseytlin, "On quantum corrections to
spinning strings and Bethe equations," Phys. Lett. B 629, 102 (2005).
[16] R. Hernandez and E. Lopez, "Quantum corrections to the string Bethe ansatz," JHEP 0607, 004 (2006).
[17] G. Arutyunov, J. Russo and A. A. Tseytlin, "Spinning strings in AdS(5) x S**5: New integrable system relations," Phys. Rev. D 69, 086009 (2004),
A. A. Tseytlin, "Spinning strings and AdS/CFT duality," hep-th/0311139.
[18] N. Beisert, A. A. Tseytlin and K. Zarembo, "Matching quantum strings to quantum spins: One-loop vs. finite-size corrections," Nucl. Phys. B 715, 190 (2005).
[19] S. A. Frolov, I. Y. Park and A. A. Tseytlin, "On one-loop correction to energy of spinning strings in S(5)," Phys. Rev. D 71, 026006 (2005).
[20] S. Schafer-Nameki, "Exact expressions for quantum corrections to spinning strings," Phys. Lett. B 639, 571 (2006).
[21] D. Tong, "TASI lectures on solitons," arXiv:hep-th/0509216. M. Shifman and A. Yung, Rev. Mod. Phys. 79, 1139 (2007). M. Eto, Y. Isozumi, M. Nitta, K. Ohashi and N. Sakai, "Solitons in the Higgs phase: The moduli matrix approach," J. Phys. A 39, R315 (2006).
[22] R. Auzzi, S. Bolognesi, J. Evslin, K. Konishi and A. Yung, "Nonabelian superconductors: Vortices and confinement in N = 2 SQCD," Nucl. Phys. B 673, 187 (2003).
[23] D. Gaiotto and E. Witten, "Supersymmetric boundary conditions in N=4 super Yang-Mills theory," J. Stat. Phys. 135 (2009) 789-855.
[24] E. Witten, "Fivebranes and knots," arXiv:1101.3216 [hep-th].
[25] B. Kostant, "The solution to a generalized Toda lattice and representation theory," Adv. in Math. 34, 3 (1979).
[26] P. Mansfield, "Solution Of Toda systems," Nucl. Phys. B 208, 277 (1982).
[27] B.A. Dubrovin, 'Theta-functions and nonlinear equations," Russian Math. Surveys 36, no.2, 11-92 (1982). With Appendix "Periodic non-abelian Toda chain and its two-dimensional generalization", by I.M. Krichever.
[28] M. G. Alford, K. Rajagopal and F. Wilczek, "Color-flavor locking and chiral symmetry breaking in high density QCD," Nucl. Phys. B 537, 443 (1999).
[29] K. Rajagopal and F. Wilczek, "The Condensed matter physics of QCD," In *Shifman, M. (ed.): At the frontier of particle physics, vol. 3* 2061-2151.
[30] D. T. Son, M. A. Stephanov and A. R. Zhitnitsky, "Domain walls of high-density QCD," Phys. Rev. Lett. 86, 3955 (2001).
[31] M. M. Forbes and A. R. Zhitnitsky, "Global strings in high density QCD," Phys. Rev. D 65, 085009 (2002).
[32] D. B. Kaplan and S. Reddy, "Vortices and vortons in dense quark matter," Phys. Rev. Lett. 88, 132302 (2002).
[33] S. Kobayashi, D. Mateos, S. Matsuura, R. C. Myers and R. M. Thomson, JHEP 0702, 016 (2007).
[34] K. Y. Kim, S. J. Sin and I. Zahed, "Dense hadronic matter in holographic QCD," arXiv:hep-th/0608046.
[35] N. Horigome and Y. Tanii, "Holographic chiral phase transition with chemical potential," JHEP 0701, 072 (2007).
[36] D. Yamada, JHEP 0810, 020 (2008).
[37] R. Harnik, D. T. Larson and H. Murayama, "Supersymmetric color superconductivity," JHEP 0403, 049 (2004).
[38] M. Arai and N. Okada, "Color superconductivity in N = 2 supersymmetric gauge theories," Phys. Rev. D 74, 045004 (2006).
[39] A. Hanany and D. Tong, "Vortices, instantons and branes," JHEP 0307, 037 (2003).
[40] A. Gorsky, M. Shifman and A. Yung, "Non-Abelian Meissner effect in Yang-Mills theories at weak coupling," Phys. Rev. D 71, 045010 (2005).
[41] D. Tong, "Monopoles in the Higgs phase," Phys. Rev. D 69, 065003 (2004).
[42] M. Shifman and A. Yung, "Non-Abelian string junctions as confined monopoles," Phys. Rev. D 70, 045004 (2004).
[43] A. Gorsky and V. Zakharov, Phys. Rev. D 77, 045017 (2008).
[44] J. I. Kapusta, "Bose-Einstein Condensation, Spontaneous Symmetry Breaking, And Gauge Theories," Phys. Rev. D 24 (1981) 426.
[45] A. Gorsky and M. A. Shifman, "More on the tensorial central charges in N = 1 supersymmetric gauge theories (BPS wall junctions and strings)," Phys. Rev. D 61, 085001 (2000).
[46] E. Witten, "Instantons, The Quark Model, And The 1/N Expansion," Nucl. Phys. B 149, 285 (1979).
[47] E. V. Gorbar, M. Hashimoto and V. A. Miransky, "Gluonic phase in neutral two-flavor dense QCD," Phys. Lett. B 632, 305 (2006).
E. V. Gorbar, J. Jia and V. A. Miransky, <rVortices in gauge models at finite density with vector condensates," Phys. Rev. D 73, 045001 (2006).
A. Buchel, J. Jia and V. A. Miransky, Nucl. Phys. B 772, 323 (2007).
48] J. M. Maldacena, "The large N limit of superconformal field theories and supergravity," Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231-252.
49] S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, "Gauge theory correlators from noncritical string theory," Phys. Lett. B 428, 105 (1998).
50] E. Witten, "Anti-de Sitter space and holography," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998).
51] L. N. Lipatov, "High-energy asymptotics of multicolor QCD and exactly solvable lattice models," hep-th/9311037.
52] L. D. Faddeev and G. P. Korchemsky, "High-energy QCD as a completely integrable model," Phys. Lett. B342 (1995) 311-322.
53] J. A. Minahan and K. Zarembo, "The Bethe-ansatz for N = 4 super Yang-Mills," JHEP 03 (2003) 013.
54] I. Bena, J. Polchinski, and R. Roiban, "Hidden symmetries of the AdS(5) x S**5 superstring," Phys. Rev. D69 (2004) 046002.
55] M. Staudacher, "The factorized S-matrix of CFT/AdS," JHEP 05 (2005) 054.
56] N. Beisert and M. Staudacher, "Long-range psu(2,2|4) Bethe ansaetze for gauge theory and strings," Nucl. Phys. B727 (2005) 1-62.
57] N. Beisert, B. Eden, and M. Staudacher, "Transcendentality and crossing," J. Stat. Mech. 0701 (2007) P021.
58] O. Aharony, O. Bergman, D. L. Jafferis and J. Maldacena, "N=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals," JHEP 0810, 091 (2008).
[59] M. Benna, I. Klebanov, T. Klose and M. Smedback, "Superconformal Chern-Simons Theories and AdS(4)/CFT(3) Correspondence," JHEP 0809, 072 (2008).
[60] J. A. Minahan and K. Zarembo, "The Bethe ansatz for superconformal Chern-Simons," JHEP 0809, 040 (2008).
[61] D. Bak and S. -J. Rey, "Integrable Spin Chain in Superconformal Chern-Simons Theory," JHEP 0810, 053 (2008).
[62] G. Arutyunov and S. Frolov, "Superstrings on AdS(4) x CP**3 as a Coset Sigma-model," JHEP 0809, 129 (2008).
[63] B. Stefanski, jr, "Green-Schwarz action for Type IIA strings on AdS(4) x CP**3," Nucl. Phys. B 808, 80 (2009).
[64] N. Gromov and P. Vieira, "The all loop AdS4/CFT3 Bethe ansatz," JHEP 0901, 016 (2009).
[65] D. Astolfi, V. G. M. Puletti, G. Grignani, T. Harmark and M. Orselli, "Finite-size corrections in the SU(2) x SU(2) sector of type IIA string theory on AdS(4) x CP**3," Nucl. Phys. B 810, 150 (2009).
[66] C. Ahn and R. I. Nepomechie, "N=6 super Chern-Simons theory S-matrix and all-loop Bethe ansatz equations," JHEP 0809, 010 (2008).
[67] V. A. Kazakov, A. Marshakov, J. A. Minahan, and K. Zarembo, "Classical / quantum integrability in AdS/CFT," JHEP 05 (2004) 024.
[68] N. Beisert, V. A. Kazakov, K. Sakai, and K. Zarembo, 'The algebraic curve of classical superstrings on AdS(5) x S(5)," Commun. Math. Phys. 263 (2006) 659-710.
[69] T. McLoughlin and R. Roiban, "Spinning strings at one-loop in AdS(4) x P**3," JHEP 0812, 101 (2008).
[70] S. S. Gubser, I. R. Klcbanov, and A. M. Polyakov, "A semi-classical limit of the gauge/string correspondence," Nucl. Phys. B636 (2002) 99-114.
[71] A. V. Belitsky, A. S. Gorsky, and G. P. Korchemsky, "Logarithmic scaling in gauge / string correspondence," Nucl. Phys. B748 (2006) 24-59.
[72] A. V. Kotikov and L. N. Lipatov, "On the highest transcendentality in N = 4 SUSY," Nucl. Phys. B769 (2007) 217-255.
[73] L. F. Alday, G. Arutyunov, M. K. Benna, B. Eden, and I. R. Klebanov, "On the strong coupling scaling dimension of high spin operators," JEEP 04 (2007) 082.
[74] I. Rostov, D. Serban, and D. Volin, "Strong coupling limit of Bethe ansatz equations," Nucl. Phys. B789 (2008) 413-451.
[75] M. Beccaria, G. F. De Angelis, and V. Forini, "The scaling function at strong coupling from the quantum string Bethe equations," JHEP 04 (2007) 066.
[76] I. Rostov, D. Serban and D. Volin, "Functional BES equation," JHEP 0808, 101 (2008).
[77] P. Y. Casteill and C. Kristjansen, "The Strong Coupling Limit of the Scaling Function from the Quantum String Bethe Ansatz," Nucl. Phys. B785 (2007) 1-18.
[78] A. V. Belitsky, "Strong coupling expansion of Baxter equation in N=4 SYM," Phys. Lett. B659 (2008) 732-740.
[79] R. Roiban, A. Tirziu, and A. A. Tseytlin, "Two-loop world-sheet corrections in AdS5 x S5 superstring," JHEP 07 (2007) 056.
[80] L. F. Alday and J. M. Maldacena, "Comments on operators with large spin," JHEP 11 (2007) 019.
[81] B. Basso, G. P. Korchemsky, and J. Kotanski, "Cusp anomalous dimension in maximally supersymmetric Yang-Mills theory at strong coupling," Phys. Rev. Lett. 100 (2008) 091601.
[82] R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Strong-coupling expansion of cusp anomaly from quantum superstring," JHEP 11 (2007) 016.
[83] R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Spinning superstrings at two loops: strong-coupling corrections to dimensions of large-twist SYM operators," Phys. Rev. D77 (2008) 066006.
[84] D. Fioravanti, P. Grinza and M. Rossi, "Strong coupling for planar N=4 SYM theory: An All-order result," Nucl. Phys. B 810, 563 (2009).
[85] L. Freyhult, A. Rej and M. Staudacher, J. Stat. Mech. 0807, P07015 (2008).
[86] B. Basso and G. P. Korchemsky, "Embedding nonlinear 0(6) sigma model into N=4 super-Yang-Mills theory," Nucl. Phys. B 807, 397 (2009).
[87] D. Fioravanti, P. Grinza and M. Rossi, "The Generalised scaling function: A Note," Nucl. Phys. B 827, 359 (2010).
[88] F. Buccheri and D. Fioravanti, "The Integrable 0(6) model and the correspondence: Checks and predictions," arXiv:0805.4410 [hep-th].
[89] N. Gromov, "Generalized Scaling Function at Strong Coupling," JHEP 0811, 085 (2008).
[90] M. Beccaria, "The Generalized scaling function of AdS/CFT and semiclassical string theory," JHEP 0807, 082 (2008).
[91] G. Arutyunov, S. Frolov, and M. Staudacher, "Bethe ansatz for quantum strings," JIIEP 10 (2004) 016.
[92] I. Shenderovich, "Giant magnons in AdS(4) / CFT(3): Dispersion, quantization and finite-size corrections," arXiv:0807.2861 [hep-th].
[93] L. F. Alday, G. Arutyunov and D. Bykov, "Semiclassical Quantization of Spinning Strings in AdS(4) x CP**3," JHEP 0811, 089 (2008).
[94] Y. Choquet-Bruhat, C. DeWitt-Morette, "Analysis, Manifolds and Physics. Part I", North Holland, 2004.
[95] A. Kapustin and E. Witten, "Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program," arXiv:hep-th/0604151.
[96] E. Witten, "Analytic Continuation Of Chern-Simons Theory," arXiv:1001.2933 [hep-th].
[97] D. Gaiotto and E. Witten, "Knot Invariants from Four-Dimensional Gauge Theory," arXiv: 1106.4789 [hep-th],
[98] M. Henningson, "'t Hooft Operators in the Boundary," Phys. Rev. D 84, 105032 (2011).
[99] R.N. Cahn, "Semisimple Lie algebras and their representations," Benjamin-Cummings, 1984.
[100] A.M. Переломов, "Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли," (Наука, 1990),
А.Г. Рейман, М.А. Семенов-Тян-Шанский, "Интегрируемые системы," (ИКИ, 2003).
[101] В.A. Dubrovin, I.M. Krichever, S.P. Novikov, "Integrable systems. I", Dynamical systems, IV, 177-332, Encyclopaedia Math. Sci. 4, Springer, Berlin, 2001.
[102] И.М. Кричевер, "Нелинейные уравнения и эллиптические кривые", Совр. Напр. Математики, 23, 79-136, ВИНИТИ, Москва, 1983.
Подписано к печати 19.11.2012. Формат 60x90 1/16
Усл.печ.2,24. Уч.-изд. л. 1,59._Тираж 100 экз._Заказ 582
Отпечатано в ИТЭФ. 117218, Москва, Б. Черемушкинская ул., д.25.
1 Введение
1.1 Классические струны и аномальные размерности операторов.
1.2 Классические решения в калибровочных теориях.
2 Асимптотический анзатц Бете и регуляризация
2.1 Алгебраическая кривая для сложенной струны.
2.2 Выбор регуляризации.
3 Фермионные частоты циркулярных струн
3.1 Спиновые расслоения и угловые координаты
3.2 Циркулярные струны в х й"5.
3.2.1 Случай ви(2) циркулярной струны
3.2.2 Случай в1(2) циркулярной струны.
3.3 Циркулярные струны в пространстве АйБ4 х СР3.
3.3.1 Случай ви{2) циркулярной струны
3.3.2 Случай 2) циркулярной струны.
3.4 Бозонная СР3 частота.
4 Неабелевы струны
4.1 Несуперсимметричная модель.
4.2 Суперсимметричная модель.
4.3 Теория на мировой поверхности струны
5 Обобщенные уравнения Богомольного и системы типа Тоды
5.1 Редукция уравнений Богомольного.
5.2 Граничные операторы 'т Хоофта
5.3 Уравнения открытой цепочки Тоды из уравнений Богомольного
5.4 Решение уравнений Тоды.
5.5 Доказательство гипотезы для алгебр Ап.
5.6 Решения с линейной сингулярностью.
5.7 Частные случаи.
Исследование квантовой динамики системы невозможно без хорошего понимания ее классической динамики. В режиме слабой связи квазиклассическое вычисление является хорошим приближением. В случае сильной связи наивное квазиклассическое приближение обычно дает ответы, весьма далекие от реальности, однако из этого правила есть исключения. Например, существуют величины, защищенные от перенормировки симметрией. Например, в суперсимметричных теориях массы так называемых БПС состояний связаны с центральными зарядами алгебры суперсимметрии. Исследование суперсимметричных уравнений и их солитонных решений является одной из тем данной диссертации. Другое применение квазиклассических методов в режиме сильной связи возникает в случае дуальностей типа сильная-слабая связь. Классическим примером такой дуальности является Б-дуальность калибровочных теорий, связывающая электрические и магнитные возбуждения. В 1997 году была открыта [1, 2, 3] более удивительная дуальность, связывающая калибровочную теорию и теорию гравитации, точнее, теорию струн, в большем числе измерений. Первоначально гипотеза была сформулирована для максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса в четырехмерии и замкнутой суперструны типа II В в пространстве Айвь х Б5. Некоторые аспекты применения этой дуальности к вычислению аномальных размерностей в калибровочной теории будут рассмотрены в нашей диссертации.
Структура работы
Диссертация состоит из вводной главы и четырех глав, в которых представлены оригинальные результаты, выносимые на защиту. Во введении дан краткий обзор применения АйБ/СРТ соответствия к вычислению аномальных размерностей операторов в калибровочной теории, а также некоторых аспектов БПС уравнений в суперсимметричных калибровочных теориях, в том числе топологических. Во второй главе с помощью метода алгебраической кривой получены значения частот возбуждений для так называемой сложенной струны в пространстве А¿Б^ х СР3. Предложен метод регуляризации суммы по частотам, естественный с точки зрения интегрируемой системы. В третьей главе рассмотрены частоты фермионных возбуждений для различных классических решений для струны в пространствах АйБ^ х 55 и АйБ^ х СР3. Показано, что для получения правильного результата для фермионных частот методом разложения над классическим решением необходимо выбирать правильные условия периодичности для фермионов. Эти условия периодичности связаны со спин-структурой таргет-пространства. В главе 4 мы переходим к рассмотрению ВПС уравнений в суперсимметричных теориях. Обсуждаются струнные решения этих уравнений в теориях с ненулевым химпотенциалом. В главе 5 рассмотрены решения обобщенных уравнений Богомольного, задающие граничные операторы 'т Хоофта в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса на полупространстве.
6 Заключение
В работе получены следующие основные результаты:
1. Получены частоты флуктуаций для сложенной струны в пространстве Ае£54 х СР3.
2. Предложен новый метод регуляризации бесконечных сумм частот, естественный с точки зрения метода алгебраической кривой.
3. Показано, что при вычислении частот фермионных флуктуаций необходимо учитывать спин-структуру таргет пространства. Для различных классических циркулярных струн проанализировано вычисление фермионных частот методом разложения действия Грина-Шварца и показано, что результаты согласуются с методом алгебраической кривой при учете спин-структуры.
4. Изучены классические решения для солитонных неабелевых струн в суперсимметричной и несуперсимметричной хромодинамике в присутствии химпотенциала. Построена теория на мировой поверхности струны.
5. Исследованы решения обобщенных уравнений Богомольного, задающие оператор 'т Хоофта и поверхностный оператор в N = 4 суперсимметричной калибровочной теории. Показано, что уравнения сводятся к открытой цепочке Тоды для оператора 'т Хоофта и некоторой обобщенной системе Тоды для поверхностного оператора. С помощью методов теории интегрируемых систем построены явные решения уравнений, в первом случае — для произвольной простой алгебры Ли, во втором — для алгебр su(N).
Благодарности
В завершение работы я хотел бы выразить благодарность моему научному руководителю А.С. Горскому за помощь в изучении квантовой теории поля, терпение и поддержку. Я хотел бы поблагодарить моего соавтора Н. Громова, а также Э. Вит-тена и А. Цейтлина за постановку задач и многочисленные полезные обсуждения. Я благодарен И. Денисенко, А. Жибоедову, К. Зарембо, А. Крикуну, П. Копнину, М. Трусову, М. Шифману за полезные обсуждения и помощь.
1. J. М. Maldacena, "The large N limit of superconformal field theories and supergravity," Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231-252.
2. S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, "Gauge theory correlators from noncritical string theory," Phys. Lett. В 428, 105 (1998).
3. E. Witten, "Anti-de Sitter space and holography," Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253 (1998).
4. L. N. Lipatov, "High-energy asymptotics of multicolor QCD and exactly solvable lattice models," hep-th/9311037.
5. L. D. Faddeev and G. P. Korchemsky, "High-energy QCD as a completely integrable model," Phys. Lett. B342 (1995) 311-322.
6. J. A. Minahan and K. Zarembo, "The Bethe-ansatz for N = 4 super Yang-Mills," JHEP 03 (2003) 013.
7. I. Bena, J. Polchinski, and R. Roiban, "Hidden symmetries of the AdS(5) x S**5 superstring," Phys. Rev. D69 (2004) 046002.
8. M. Staudacher, "The factorized S-matrix of CFT/AdS," JHEP 05 (2005) 054.
9. N. Beisert and M. Staudacher, "Long-range psu(2,2|4) Bethe ansaetze for gauge theory and strings," Nucl. Phys. B727 (2005) 1-62.
10. N. Beisert, B. Eden, and M. Staudacher, "Transcendentality and crossing," J. Stat. Mech. 0701 (2007) P021.
11. O. Aharony, O. Bergman, D. L. Jafferis and J. Maldacena, "N=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals," JHEP 0810, 091 (2008).
12. M. Benna, I. Klebanov, T. Klose and M. Smedback, "Superconformal Chern-Simons Theories and AdS(4)/CFT(3) Correspondence," JHEP 0809, 072 (2008).
13. J. A. Minahan and K. Zarembo, "The Bethe ansatz for superconformal Chern-Simons," JHEP 0809, 040 (2008).
14. D. Gaiotto, S. Giombi and X. Yin, "Spin Chains in N=6 Superconformal Chern-Simons-Matter Theory," JHEP 0904, 066 (2009).
15. D. Bak and S. -J. Rey, "Integrable Spin Chain in Superconformal Chern-Simons Theory," JHEP 0810, 053 (2008).
16. G. Arutyunov and S. Frolov, "Superstrings on AdS(4) x CP**3 as a Coset Sigma-model," JHEP 0809, 129 (2008).
17. B. Stefanski, jr, "Green-Schwarz action for Type IIA strings on AdS(4) x CP**3," Nucl. Phys. B 808, 80 (2009).
18. N. Gromov and P. Vieira, "The all loop AdS4/CFT3 Bethe ansatz," JHEP 0901, 016 (2009).
19. D. Astolfi, V. G. M. Puletti, G. Grignani, T. Harmark and M. Orselli, "Finite-size corrections in the SU(2) x SU(2) sector of type IIA string theory on AdS(4) x CP**3," Nucl. Phys. B 810, 150 (2009).
20. C. Ahn and R. I. Nepomechie, "N=6 super Chern-Simons theory S-matrix and allloop Bethe ansatz equations," JHEP 0809, 010 (2008).
21. V. A. Kazakov, A. Marshakov, J. A. Minahan, and K. Zarembo, "Classical / quantum integrability in AdS/CFT," JHEP 05 (2004) 024.
22. N. Beisert, V. A. Kazakov, K. Sakai, and K. Zarembo, "The algebraic curve of classical superstrings on AdS(5) x S(5)," Commun. Math. Phys. 263 (2006) 659-710.
23. N. Gromov and P. Vieira, "The AdS(4) / CFT(3) algebraic curve," JHEP 0902, 040 (2009)
24. N. Gromov and P. Vieira, "The AdS(5) x S**5 superstring quantum spectrum from the algebraic curve," Nucl. Phys. B 789, 175 (2008).
25. T. McLoughlin and R. Roiban, "Spinning strings at one-loop in AdS(4) x P**3," JHEP 0812, 101 (2008).
26. S. S. Gubser, I. R. Klebanov, and A. M. Polyakov, "A semi-classical limit of the gauge/string correspondence," Nucl. Phys. B636 (2002) 99-114.
27. A. V. Belitsky, A. S. Gorsky, and G. P. Korchemsky, "Logarithmic scaling in gauge / string correspondence," Nucl. Phys. B748 (2006) 24-59.
28. A. V. Kotikov and L. N. Lipatov, "On the highest transcendentality in N = 4 SUSY," Nucl. Phys. B769 (2007) 217-255.
29. L. F. Alday, G. Arutyunov, M. K. Benna, B. Eden, and I. R. Klebanov, "On the strong coupling scaling dimension of high spin operators," JHEP 04 (2007) 082.
30. I. Kostov, D. Serban, and D. Volin, "Strong coupling limit of Bethe ansatz equations," Nucl. Phys. B789 (2008) 413-451.
31. M. Beccaria, G. F. De Angelis, and V. Forini, "The scaling function at strong coupling from the quantum string Bethe equations," JHEP 04 (2007) 066.
32. I. Kostov, D. Serban and D. Volin, "Functional BES equation," JHEP 0808, 101 (2008).
33. P. Y. Casteill and C. Kristjansen, "The Strong Coupling Limit of the Scaling Function from the Quantum String Bethe Ansatz," Nucl. Phys. B785 (2007) 1-18.
34. A. V. Belitsky, "Strong coupling expansion of Baxter equation in N=4 SYM," Phys. Lett. B659 (2008) 732-740.
35. R. Roiban, A. Tirziu, and A. A. Tseytlin, "Two-loop world-sheet corrections in AdS5 x S5 superstring," JHEP 07 (2007) 056.
36. L. F. Alday and J. M. Maldacena, "Comments on operators with large spin," JHEP 11 (2007) 019.
37. B. Basso, G. P. Korchemsky, and J. Kotanski, "Cusp anomalous dimension in maximally supersymmetric Yang- Mills theory at strong coupling," Phys. Rev. Lett. 100 (2008) 091601.
38. R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Strong-coupling expansion of cusp anomaly from quantum superstring," JHEP 11 (2007) 016.
39. R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Spinning superstrings at two loops: strong-coupling corrections to dimensions of large-twist SYM operators," Phys. Rev. D77 (2008) 066006.
40. D. Fioravanti, P. Grinza and M. Rossi, "Strong coupling for planar N=4 SYM theory: An All-order result," Nucl. Phys. B 810, 563 (2009).
41. L. Freyhult, A. Rej and M. Staudacher, J. Stat. Mech. 0807, P07015 (2008).
42. B. Basso and G. P. Korchemsky, "Embedding nonlinear 0(6) sigma model into N=4 super-Yang-Mills theory," Nucl. Phys. B 807, 397 (2009).
43. D. Fioravanti, P. Grinza and M. Rossi, "The Generalised scaling function: A Note," Nucl. Phys. B 827, 359 (2010).
44. F. Buccheri and D. Fioravanti, "The Integrable 0(6) model and the correspondence: Checks and predictions," arXiv:0805.4410 hep-th],
45. N. Gromov, "Generalized Scaling Function at Strong Coupling," JHEP 0811, 085 (2008).
46. M. Beccaria, "The Generalized scaling function of AdS/CFT and semiclassical string theory," JHEP 0807, 082 (2008).
47. G. Arutyunov, S. Frolov, and M. Staudacher, "Bethe ansatz for quantum strings," JHEP 10 (2004) 016.
48. T. Nishioka and T. Takayanagi, "On Type IIA Penrose Limit and N=6 Chern-Simons Theories," JHEP 0808, 001 (2008).
49. G. Grignani, T. Harmark and M. Orselli, "The SU(2) x SU(2) sector in the string dual of N=6 superconformal Chern-Simons theory," Nucl. Phys. B 810, 115 (2009).
50. I. Shenderovich, "Giant magnons in AdS(4) / CFT(3): Dispersion, quantization and finite-size corrections," arXiv:0807.2861 hep-th].
51. S. Frolov, A. Tirziu, and A. A. Tseytlin, "Logarithmic corrections to higher twist scaling at strong coupling from AdS/CFT," Nucl. Phys. B766 (2007) 232-245.
52. L. F. Alday, G. Arutyunov and D. Bykov, "Semiclassical Quantization of Spinning Strings in AdS(4) x CP**3," JHEP 0811, 089 (2008).
53. N. Gromov, S. Schafer-Nameki and P. Vieira, "Efficient precision quantization in AdS/CFT," JHEP 0812, 013 (2008).
54. V. Mikhaylov, J. Phys. AA 43, 335401 (2010)
55. S. Frolov and A. A. Tseytlin, "Quantizing three-spin string solution in AdS(5) x S**5," JHEP 0307, 016 (2003).
56. I. Y. Park, A. Tirziu and A. A. Tseytlin, "Spinning strings in AdS(5) x S**5: One-loop correction to energy in SL(2) JHEP 0503, 013 (2005).
57. C. Krishnan, "AdS4/CFT3 at One Loop," JHEP 0809, 092 (2008).
58. T. McLoughlin, R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Quantum spinning strings in AdS4 x CP3: testing the Bethe Ansatz JHEP 0811, 069 (2008).
59. M. A. Bandres and A. E. Lipstein, "One-Loop Corrections to Type IIA String Theory in AdS(4) x CP3," JHEP 1004, 059 (2010).
60. N. Gromov and V. Mikhaylov, "Comment on the Scaling Function in AdS4 x CP3," JHEP 0904, 083 (2009).
61. N. Gromov and P. Vieira, "Constructing the AdS/CFT dressing factor," Nucl. Phys. B 790, 72 (2008).
62. N. Gromov and P. Vieira, "Complete 1-loop test of AdS/CFT," JHEP 0804, 046 (2008).
63. S. Schafer-Nameki, M. Zamaklar and K. Zarembo, "Quantum corrections to spinning strings in AdS(5) x S**5 and Bethe ansatz: A comparative study," JHEP 0509, 051 (2005),
64. N. Beisert and A. A. Tseytlin, "On quantum corrections to spinning strings and Bethe equations," Phys. Lett. B 629, 102 (2005).
65. R. Hernandez and E. Lopez, "Quantum corrections to the string Bethe ansatz," JHEP 0607, 004 (2006).
66. G. Arutyunov, J. Russo and A. A. Tseytlin, "Spinning strings in AdS(5) x S**5: New integrable system relations," Phys. Rev. D 69, 086009 (2004),
67. A. A. Tseytlin, "Spinning strings and AdS/CFT duality," hep-th/0311139.
68. N. Beisert, A. A. Tseytlin and K. Zarembo, "Matching quantum strings to quantum spins: One-loop vs. finite-size corrections," Nucl. Phys. B 715, 190 (2005).
69. S. A. Frolov, I. Y. Park and A. A. Tseytlin, "On one-loop correction to energy of spinning strings in S(5)," Phys. Rev. D 71, 026006 (2005)"
70. S. Schafer-Nameki, "Exact expressions for quantum corrections to spinning strings," Phys. Lett. В 639, 571 (2006).
71. H. Громов, неопубликовано.
72. Y. Choquet-Bruhat, C. DeWitt-Morette, "Analysis, Manifolds and Physics. Part I", North Holland, 2004.
73. A. Gorsky and V. Mikhailov, "Nonabelian strings in a dense matter," Phys. Rev. D 76, 105008 (2007).
74. M. G. Alford, K. Rajagopal and F. Wilczek, "Color-flavor locking and chiral symmetry breaking in high density QCD," Nucl. Phys. В 537, 443 (1999).
75. К. Rajagopal and F. Wilczek, "The Condensed matter physics of QCD," In *Shifman, M. (ed.): At the frontier of particle physics, vol. 3* 2061-2151.
76. D. T. Son, M. A. Stephanov and A. R. Zhitnitsky, "Domain walls of high-density QCD," Phys. Rev. Lett. 86, 3955 (2001).
77. M. M. Forbes and A. R. Zhitnitsky, "Global strings in high density QCD," Phys. Rev. D 65, 085009 (2002).
78. D. B. Kaplan and S. Reddy, "Vortices and vortons in dense quark matter," Phys. Rev. Lett. 88, 132302 (2002).
79. S. Kobayashi, D. Mateos, S. Matsuura, R. C. Myers and R. M. Thomson, JHEP 0702, 016 (2007).
80. K. Y. Kim, S. J. Sin and I. Zahed, "Dense hadronic matter in holographic QCD," arXiv:hep-th/0608046.
81. N. Horigome and Y. Tanii, "Holographic chiral phase transition with chemical potential," JHEP 0701, 072 (2007).
82. D. Yamada, JHEP 0810, 020 (2008).
83. R. Harnik, D. T. Larson and H. Murayama, "Supersymmetric color superconductivity," JHEP 0403, 049 (2004).
84. M. Arai and N. Okada, "Color superconductivity in N = 2 supersymmetric gauge theories," Phys. Rev. D 74, 045004 (2006).
85. A. Hanany and D. Tong, "Vortices, instantons and branes," JHEP 0307, 037 (2003).
86. R. Auzzi, S. Bolognesi, J. Evslin, K. Konishi and A. Yung, "Nonabelian superconductors: Vortices and confinement in N = 2 SQCD," Nucl. Phys. B 673, 187 (2003).
87. A. Gorsky, M. Shifman and A. Yung, "Non-Abelian Meissner effect in Yang-Mills theories at weak coupling," Phys. Rev. D 71, 045010 (2005).
88. D. Tong, "Monopoles in the Higgs phase," Phys. Rev. D 69, 065003 (2004).
89. M. Shifman and A. Yung, "Non-Abelian string junctions as confined monopoles," Phys. Rev. D 70, 045004 (2004).
90. D. Tong, "TASI lectures on solitons," arXiv:hep-th/0509216. M. Shifman and A. Yung, Rev. Mod. Phys. 79, 1139 (2007).
91. M. Eto, Y. Isozumi, M. Nitta, K. Ohashi and N. Sakai, "Solitons in the Higgs phase: The moduli matrix approach," J. Phys. A 39, R315 (2006).
92. A. Gorsky and V. Zakharov, Phys. Rev. D 77, 045017 (2008).
93. J. I. Kapusta, "Bose-Einstein Condensation, Spontaneous Symmetry Breaking, And Gauge Theories," Phys. Rev. D 24 (1981) 426.
94. A. Gorsky and M. A. Shifman, "More on the tensorial central charges in N = 1 supersymmetric gauge theories (BPS wall junctions and strings)," Phys. Rev. D 61, 085001 (2000).
95. E. Witten, "Instantons, The Quark Model, And The 1/N Expansion," Nucl. Phys. B 149, 285 (1979).
96. Е. V. Gorbar, М. Hashimoto and V. A. Miransky, "Gluonic phase in neutral two-flavor dense QCD," Phys. Lett. В 632, 305 (2006).
97. E. V. Gorbar, J. Jia and V. A. Miransky, "Vortices in gauge models at finite density with vector condensates," Phys. Rev. D 73, 045001 (2006). A. Buchel, J. Jia and V. A. Miransky, Nucl. Phys. В 772, 323 (2007).
98. V. Mikhaylov, "On the Solutions of Generalized Bogomolny Equations," JHEP 1205, 112 (2012).
99. A. Kapustin and E. Witten, "Electric-magnetic duality and the geometric Langlands program," arXiv:hep-th/0604151.
100. E. Witten, "Analytic Continuation Of Chern-Simons Theory," arXiv:1001.2933 hep-th],
101. E. Witten, "Fivebranes and knots," arXiv:1101.3216 hep-th],
102. D. Gaiotto and E. Witten, "Knot Invariants from Four-Dimensional Gauge Theory," arXiv:1106.4789 hep-th],
103. M. Henningson, "'t Hooft Operators in the Boundary," Phys. Rev. D 84, 105032 (2011).
104. D. Gaiotto and E. Witten, "Supersymmetric boundary conditions in N=4 super Yang-Mills theory," J. Stat. Phys. 135 (2009) 789-855.
105. R.N. Cahn, "Semisimple Lie algebras and their representations," Benjamin-Cummings, 1984.
106. A.M. Переломов, "Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли," (Наука, 1990),
107. А.Г. Рейман, М.А. Семенов-Тян-Шанский, "Интегрируемые системы," (ИКИ, 2003).
108. В. Kostant, "The solution to a generalized Toda lattice and representation theory," Adv. in Math. 34, 3 (1979).
109. P. Mansfield, "Solution Of Toda systems," Nucl. Phys. В 208, 277 (1982).
110. В.A. Dubrovin, "Theta-functions and nonlinear equations," Russian Math. Surveys 36, no.2, 11-92 (1982). With Appendix "Periodic non-abelian Toda chain and its two-dimensional generalization", by I.M. Krichever.
111. B.A. Dubrovin, I.M. Krichever, S.P. Novikov, "Integrable systems. I", Dynamical systems, IV, 177-332, Encyclopaedia Math. Sci. 4, Springer, Berlin, 2001.
112. И.М. Кричевер, "Нелинейные уравнения и эллиптические кривые", Совр. Напр. Математики, 23, 79-136, ВИНИТИ, Москва, 1983.
