Классификация формальных групп над многомерными кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ггз од

санкт-петербургский государственный

1 нюп 1937 университет

На правах рукописи

винник Петр Михайлович

удк 612.62

классификация формальных групп над многомерными кольцами

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

санкт-петербург 1997

Работа выполнена на кафедре Высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор ВОСТОКОВ Сергей Владимирович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ГОРДЕЕВ Николай Леонидович,

кандидат физико-математических наук БЕККЕР Борис Михайлович

Ведущая организация — Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет.

о о

Защита состоится 2- 1997г. в I & часов на заседаг

нии Диссертационного совета К063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, дом 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета).

Защита будет проводиться но адресу: 191011, Санкт-Петербург, Набережная реки Фонтанки, 27, 3-й »тале, зал заседаний 311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан 27 1997г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Р. А. Шмидт

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В алгебраической теории чисел важную роль играют формальные группы. Начало теории формальных групп было положено Л аза ром и Дьедонне в 1964г. Развитие теории формальных групп привело к результатам, имеющим важное значение в алгебраической теории чисел.

Формальные группы позволяют обобщить понятие символа Гильберта в локальном поле, то есть построить спаривание (, )f между мультипликативной группой поля и формальной группой точек со значениями в группе корней п - степени из о гении формальной группы F, обладающее норменным свойством. Явные формулы для классического символа Гильберта в локальном поле были получены С.В.Востоковым1. Ги Эньяр2 передоказал некоторые из них. В дальнейшем также C.B. Бостоновым3 была получена явная формула для спаривания Гильберта в многомерных полных полях нулевой характеристики с первым полем вычетов положительной характеристики. Для обобщенного символа Гильберта в случае формальных групп Любина-Твйта явные формулы получены С.В.Востоковым*.

Хорошие явные формулы для обобщенного символа Гильберта получаются в случае формальных групп, у которых есть полная классификация. Повтому, в частности, важной задачей в теории формальных групп является проблема классификации формальных групп (формальных групповых законов) над различными кольцами. Начало работам по классификации было положено Дьедонне. В последующем Хонда., Манин, Дьедонне, Кох, Лазар и другие получили классификации в различных случаях. Однако, работа по классификации формальных групп далека от завершения. В частности, значительный интерес вызывает возмож-

1Востоков С. В. Явная форма закона взад ив ости — Изв. АН СССР, сер. кат., 1978, т. 42, с. 1288-1321.

2 Henni art G. Sur le« loi« de réciprocité explicites!. — J. reine und angew. Math., 1981, v. 329, p. 177-202.

3Бостонов С. В. Спаривание на К - группах ивогомерных полных волей — Труды Санкт-Петерб. Мат. общ., 1994, т. 3, с. 140-184.

4Востоков С. В. Символы на формальных группах — Изв. АН СССР, Сер. мат., 1981, т. 45, с. 985-1014.

ность обобщения идей и методов работы Т. Хонда5.

Не меньшее значение в алгебраической теории чисел имеют круговые поля. Это объясняется тем, что, во-первых, именно при переходе.от поля Q к круговым полям впервые возникают многие проблемы, определившие круг задач алгебраической теории чисел (такие, как, например^ проблема однозначности разложения на простейшие). Во-вторых, круговые поля обладают сравнительно простой структурой и повтому служат основой для многих новых понятий и теорий.

Круговые поля естественно возникли в середине 19 века в основополагающих работах Куммера, посвященных Великой теореме Ферма, В настоящее время, после работ Леопольдта - Кубо-ты о /»-адических i-функциях, Ипасавы о расширениях, круговые поля являются объектом пристального изучения. Одним из направлений исследований, связанных с круговыми полями, являются вопросы, связанные с явной формой закона взаимности. Ивасава, Коутс, Коутс и УаЙлс получили важные результаты в втом направлении. В отличие от работ С.В.Востокова здесь используются другие подходы «"получается абсолютно другой тип формул.

Важное место в теории круговых полей уделяется круговым единицам. Различные группы круговых единиц определялись Леопольдгом, Синнотом, Вашингтоном. Результаты, описывающие образующие элементы группы круговых единиц и индекс группы круговых единиц в группе всех единиц для поля Q((p«) восходят к Куммеру. В дальнейшем Синнотом6 был вычислен в явном виде индекс группы круговых единиц Синнота в группе всех единиц для случая произвольного кругового поля. Р. Кучера получил подобный результат для группы круговых единиц Вашингтона. Одной из причин интереса к круговым единицам является то, что они могут быть применены для получения информации о числе классов. Этим вопросам посвящены многие работы, среди которых — работа Р. Кучера7, -

"Honda Т. On the theory of commutative formal groupe — J. Math. Soc. Japan, 1970, v. 22, p. 213-246.

e Sinnott W. On the Stickelberger ideal and the circular units of a cyclotomic field — Ann. of Math., 1978, v. 108, p. 107-134.

TKuiera R. On the parity of tibie clue number of a biquadratic field — J. Number Theory, 1995, v. 52, p. 43-62.

Таким образом, наличие интересных и многообещающих проблем делает данную тематику весьма актуальной для изучения.

Цель работы.

Ввести и описать структуру группы на множестве формальных групп, изучить вопросы классификации формальных групп с точки зрения введенной групповой структуры. Используя формальные группы, ввести понятие формального кольца и вычислить количество представлений элементов некоторых формальных колец в виде суммы 1-ых степеней.

Основные результаты работы.

Главными результатами работы являются, во-первых, установление связи между структурой группы и действием строгих изоморфизмов на множестве ИДЯ), во-вторых, теоремы о количестве представлений элементов колец Ъ/р*Ъ в виде сумм 1-ых степеней обратимых элементов с ограничением на количество одинаковых слагаемых.

Методика исследований.

В работе использованы классификационная теорема Хонды, теоремы об образующих элементах группы круговых единиц круговых, а также общие методы алгебраической теории чисел и теории разбиений.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы в вопросах классификации формальных групп над произвольными кольцами, вычисления числа представлений элементов в виде суммы степеней над произвольными формальными кольцами.

Апробация результатов диссертации.

Результаты работы докладывались на алгебраическом семинаре имени Д.К. Фаддеева в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова Российской Академии Наук

Публикации.

По теме диссертации автором опубликованы 3 работы, указанные в конце реферата.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на 11 параграфов, и списка литературы, содержащего 48 позиций. Нумерация формул, лемм и теорем, а также параграфов ведется отдельно для каждой главы. Диссертация занимает 93 страницы машинописного текста.

Содержание работы.

В первой главе данной работы вводится структура группы на множестве "формальных логарифмов", изучается связь между действием строгих изоморфизмов на атом множестве и введенной групповой операцией.

В § 1 определяется структура группы на множестве "формальных логарифмов", рассматриваются подгруппы »той группы, их включения.

Для R ( R — ассоциативное коммутативное кольцо с 1 без делителей нуля, char R — 0) рассматривается множество

ч 1»=1

т,п

п

На FL(ii) вводится операция умножения Дирихле:

/(1) = l,/(n) € R для любого п|.

(2)

Пусть

FLт(Я) = {/(«) € FL(Я)

/(п) — мультипликативная функция^ .

БЪ.„(Л)-{/(.) 6 FL(JQ /7ПР;СТГВ2;

' ' Vn : (n,p) = 1: выполнено условие (3) J

где условие (3) ато: f(n)Cpk + f(pn)Cpk-i +... + f{pk~xn)Cp + /(p*n) = 0 mod pkR. (3)

Пусть, кроме того БЪ.(Л) = Пр-прос™ V» € N : Р< =

= |/(х) € РЬ(Я) /(п) = 0 для таких п, что 1(п) < *|, (4)

где I: N -+ 1Чи {0} определяется таким образом. Для г» € N пусть п = р1°1 •... • р,а'. Тогда полагаем 1(п) = аг + ... + а„.

V» 6 N : ¡7< = |/(а) € РЬ(Я) /(п) = 0 для любого п : 1 < п < г|. Н = |/(х) 6 ИДЯ) ^^ € Я для любого п € N|. (5)

Р„(Я) = |/,(х) е ЩЯ)\ /,(») = £ ЯПЖхп, /(1) = !|,

где т? — вполне мультипликативная функция. Доказываются следующие утверждения: (предложения 1.1-1.3,1.6-1.9) 1) РЬ (Я) —? абелева группа. и) И„„(Я) <1 ГЬ„(Д). ш) РЬ„,р(Я)<|РЬ(Я). ¡V) Р{ < ИДЯ), если % > то Р,- <1 Р^. V) £7,- < ИДЯ), если i > }, то 11{ < Ну п) Н <1 РЬ.(Л). ▼а) Г,(Я) <1 Р1ДЯ).

В § 2 начинается изучение взаимосвязи действия стропрс изоморфизмов на множестве ИДЯ) и групповой операции на ИДЯ). Доказывается, что классический результат Хонды о классификации с точностью до изоморфизма коммутативных формальных групп над неразветвленными кольцами в случае В. = Х получает естественную интерпретацию в терминах введенной групповой структуры. 'А именно, если

РС(Я) = |

логарифмы формальных групп с коэффициентами из Я

то

Теорема 1.1. Пусть FG(Z)/ ю — множество классов строго изоморфных над Z логарифмов формальных групп над Z, FG(Z)/H — множество классов смежности логарифмов формальных групп над Z как элементов FL(iZ) по подгруппе Н, определяемой (5).

Тогда

FG(Z)/« = FG(Z)/H.

В § 3 продолжается изучение взаимосвязи действия строгих изоморфизмов и групповой операции в случае произвольного кольца R (R — ассоциативное коммутативное кольцо с 1 без делителей нуля, char R — 0). Доказывается следующая теорема:

Теорема 1.2. Пусть FL(i?) v, Н определяются соответственно (2),(5). Для любого /(s) = 6 FL(R) и для любого ф(х) — Сп3;П ^ ® рассмотрим ряд

/(^»•гч^е2^*'' i=i

где f~l - это ряд обратный к f относительно умножения в F ЦЯ). Тогда

^jp eR для любых р, v ^ 1;

2) x(s) € R для любого s б N.

Значение »той теоремы выясняется в § 4, где вводятся топологии U,V на FL(ii), определяемые базами окрестностей и Теорема 1.2 означает, что частное строго изоморфных

логарифмов близко к подгруппе Н в топологии V (напомним, что по теореме 1.1 оно принадлежит подгруппе Н для логарифмов формальных групп с коэффициентами из Z), причем (следствие из теоремы 1.2.) чем ближе к единице сами логарифмы, тем ближе к Н их частное.

Вторая глава посвящена вычислению числа представлений элементов конечных колец в виде суммы 1-ых степеней обратимых элементов с ограничением на количество одинаковых слагаемых.

В § 1 проводится обсуждение задачи, как обобщения некоторых типичных задач теории разбиений. Затем вводится определение формального коммутативного кольца. Пусть т ^ 2. Как

известно, если G(X,Y) — формальная группа над кольцом то многочлен Grn(X, У), определяемый условием

Gm(X,Y) = G(X,Y) mod degm, является так называемой формальной группой степени m над 9t.

Определение. Пустt ÎH — коммутативное кольцо с единицей. Пусть формальная- группа G(X,Y) степени m над и F(X,Y) € 9tpf,y] — такие что выполнены следующие свойства:

1)F(X,Y) = XY mod deg3;

2)F(X, 1) = X, lg* = 1 — единичный мемент кольца;

S)F(X, 0) = 0, Or = 0 — нулевой мемент кольца;

Для любых а, Ь, с G !И :

4)F(a,b) = F(b, а), (коммутативность);

5)F(F(a,b),c) = F(o,F(b,c)), (ассоциативность);

6)F(a, G(b,c)) = G(F(a, b), F (a, с)) (дистрибутивность);

Назовем множество 9t(о,Fсовпадающее как множество с 9Î,

с операцией сложения, определяемой формальной группой G(X, F), и операцией умножения, определяемой многочленом F(X,Y), формальным (коммутативным) кольцом на SH.

Рассматриваются некоторые свойства формальных коммутативных колец. Приводятся примеры нетривиальных формальных колец, то есть, колец с парой рядов, не совпадающей с парой (X + Y,XY).

Окончание параграфа содержит постановку задачи о вычислении количества представлений для формальных коммутативных колец.

Пусть 94(0^) — произвольное формальное коммутативное кольцо. Рассматривается задача вычисления количества представлений элементов формального кольца ÎR(a,F) формальными суммами элементов множества ïR(1)(g,f) формальных I - ых степеней формальных обратимых элементов кольца с менее чем к одинаковыми слагаемыми, то есть в виде J2o-, аеЗД((3 F) ^((»«IgI»0)» гДе коэффициенты ia принадлежат множеству {0,1,..., к — 1}, а буква G под знаком суммы означает формальную сумму.

Рассмотрим действие группы îh(1)(o,f) на множество задаваемое умножением на элементы 9t(0(o,F) : щ)(g.f) х x(c,f) m(a,f)>

(a, b) 1—► F(a, b).

Относительно этого действия множество ïï(o,F) разбивается

на орбиты. Элементы одной орбиты представляются в указанном виде равное количество раз.

Основное внимание в работе уделено случаю 5И = Z/pnZ. На 1 налагается естественное условие /|у>(рп), где <^>(п) — функция Эйлера» Для 1 < п вводятся следующие обозначения: Д(7,р') — вычеты степени 1 в кольце Z/p'Z, JVa(/,p'), ■.. , jVi(/,p') — остальные орбиты обратимых элементов, fii(p'),... , Пх(Р*) — орбиты ненулевых необратимых элементов. Соответствующими малыми буквами обозначается количество представлений элементов данной орбиты, z — количество представлений нуля. Выражение (a mod р') означает взятие наименьшего неотрицательного представителя класса вычетов элемента а. Отображение редукции из (Z/pnZ)* в (Z/p'Z)* обозначается через red„,i. Полагаем

с?,- =(р,-1(р - 1), 0. Для нечетного р,

=(2'-2,/), для р = 2. (6)

Параграфы § 2 - § 5 содержат решение задачи для случая ЭТ = Z/p«Z.

В § 2 приводится ряд вспомогательных результатов, характеризующих подгруппу вычетов в случае нечетного р.

В § 3 излагается основная конструкция, сводящая задачу о вычислении количества представлений к вычислениям в круговых полях. Важную роль в конструкции играют изоморфизмы Q[*]/ (>" - 1) * $*]/ (*i(x)) ® • • • © Q[x]/ (*„.(*)),

где Фр<(х) — круговые многочлены, и

Учитывая эти изоморфизмы, для вычисления элемента Т(х) = Паел(!,р")(^ + х" +.■:• + х"^-1'), как элемента алгебры Q[x]/ (хр" -1), равного t0 + tix + • • • + где U — чи-

сло представлений i в виде суммы /-ых степеней с менее чем к одинаковыми слагаемыми, достаточно найти Т() для 0 < г ^ п.

В § 4 приводятся основные теоремы для случая нечетного р. Сначала сформулируем теорему о вычислении Т(СУ0- Обозначим через K(di,i), где d, определено условием (6), то единственное расширение, для которого Gal(Q(£p.-)/#(<*,-, г)) m i?(d,-,p').

Теорема 2.1 .Пусть рф2.

1) Если к = 0 mod р\ то Т(СР<) = 0.

2) Если (к mod р») — вычет, то Т(СР<) = 1.

3) Если (к mod рг) — невычет, (—к) mod р' — вычет, I = pP-Wf, /Iff, / ф д, то Г«„0 = -1.

4) Если (к mod р') — невычет, ((—к) mod р*) — вычет, I =

ра~4р- !)> то

Т(Ср<) = - 1) если п-а^г;

т(сРо (1+с;Г + <;Г1+• • •+

если, п - а < г.

5) Если (к mod р') — невычет, и — 1 € R{l,p'), то

где к = rmn((k mod р'), ((—fc) mod р')), lisal 1 - С5

= Ср.-2 -—-г--оЙ«а из образующих группы круговых

единиц C+(i) поля- Q((pi)+, р = р"-', если Л 4-1 ^ i < п, р = р"-*"1, если 1 < i < А + 1, K(di,i) — определено перед теоремой.

6) Если (& mod р') = p'v, где 1 v г* р'~4 - 1, (и,р) = 1,

— —1 £ Я(1,р*), то (р — как в 5)):

тм = ((1_cpi)ja_gl)) •

где E — smo элемент полу Q((pi-.)+, причем E = 1, если (v mod px~*) — вычет, и

1-е,«'

если (v modp'"*) — невычет, где

v = min((f mod p'~*), ((—f) mod p,-s)),

7) Если (A modp') — «евычет, ((—k) modp') — невычет, -1 $ R(l,p% mo

где р = рп если А +• 1 ^ » $ п; если же 1 ^ i ^ Л + 1, то

8) Если (к mod р') = p*v, где 1 < v < рг~' - 1, (v,p) = 1, 1 < з ^ t — 1, — 1 £ то (р,3,$,с1\ — как раньше):

(Т(СРО)2 —J-—

>(*-1Ж»£Я(1,»л)4

• у

Дальше в параграфе доказывается теорема, применяющая результаты теоремы 2.1 к вычислению Т(х) :

Теорема 2.2. Пусть р ф 2. Пусть г,п2,..., uj,wi,... — количества представлений орбит соответственно вычетов, невычетов, необратимых ненулевых элементов и нуля.

1) Если к = 0 mod рп, то

г = пз = • • • = п/ — ша = • • • = их — z.

2) Если (к mod рп) — вычет, то

Г = П2 = • • • = П/ = UJi = • • • = шх = z — 1.

3) Если (к modp") — невычет, а ((—к) mod р") — вычет, i = fig, f то

г = п2 — ■' ■ = п| = ш\ = • • • = шх = z + 1.

4) Если (к mod р") — невычет, о ((—*) mod рп) — вычет, / = р°"1(р-1)/ то

г = «2 = 4 * • = щ = wj = • • • =

Ч орбита, которой принадлежит.

) + 1 = • • • = wY = 2.

влемент рп —рп~а

В § 5 приводятся основные теоремы для р = 2. Обозначим через К подполе в 0(Сз<) степени 2'-2. Обозначим через K(di,i), где определяется (6), подполе в (ХСгО/^и такое что ваЩС* )/*(<*,»)) *

Теорема 2.1МГуст» р — 2.

1) Если к = О mod 2»', то Т«20 = 0.

2) к mod 2' — вынет, то Т(£2<) = 1.

3) Если к mod 2* — невынет, а (-к) mod 2' — вычет, то

Т(С2') = 1, если п - А - 2 »'; Tfo) = если п - X - 2 < t < п;

2ХСг<) = el"1'2*''"1, если i = п.

4) Если к mod 2' — невынет, и (—к) mod 2' — невынет, то

Т((2>) = Nq^.)/^.,,-) Q^;) .

где K{di,i) определено перед теоремой.

5) Если к mod 2' = 2'v, (и,2) - 1, mo

n«c,i )/*(<*!,<)

6, p — имеют тот же смысл, нто и в теореме 1.

Теорема 2.2\Яуст»р — 2. Пусть г,щ,...,тц,ш\,...,их,г — количества, представлений орбит соответственно вычетов, невычетов, необратимых ненулевых элементов и нуля.

1) Если к = 0 mod 2", то

г = пз = • • • = п{ = и>1 — ■ ■ • — и>х — z.

2) Если к mod 2* — вынет, то

г = «а = • • • = ni = = • • • = их — г — 1.

3) Если (к mod 2") — «евычето, а ((—к) mod 2") — вычет, 1 = 2\ то

г = т = • • ■ — nj = ш\ = ■ • ■ =

_ .орбита, которой принадлежит. _ _

мемеитог*"1-2"-*-» ' wx -

§ 6 содержит изложение совершенно другого подхода к решению задачи. Этот метод, практически ве зависящий от специфики рассматриваемого кольца, близок методам классической теории разбиений (например, применяются производящие функции).

Пусть 9t — произвольное кольцо. Пусть F(B, s) — количество представлений элемента орбиты В из 5 слагаемых. Доказывается формула, позволяющая вычислять количество представлений влемента из а слагаемых на основе известных количеств представлений всех элементов из т слагаемых, где 0 ^ m < s — 1:

Теорема 2.3.Для любой орбиты В и для любого l^ss; количество представлений, состоящих из s слага-

емых, элементов орбиты. В вычисляется по формуле:

min(»,fc—1)

= ^ £( £ (J Е (F(B-ja-Tna,*-}-m)-«ея( 0 j'=i

Jt|m

~F(B - ja - ma - a, s - j - m -1)))).

Полученная рекуррентная формула позволяет вычислять общее количество представлений. Далее до конца параграфа получаются и обсуждаются следствия и частные случаи формулы.

В § 7 рассматривается важнейший частный случай теории при 31 = Z/pZ. Обсуждаются различные улучшения теорем, которые получаются в »том случае. Для J, удовлетворяющего соотношению р — 2fm+l, m6 N, устанавливается следующее утверждение:

Если к = пш((& mod р); ((—Л) mod р)), где к — невычет /-ой степени по модулю р, то тогда

nq((, )+/k(di, i)(£,i) = а аещ,р) т "з ¿steNi(i,p) V "1 + п' 2«блг((г,|») С* 5

где Л = г + г £в6й(,|Р) £ + «з £ + • • • + »1 Cj

круговых единиц поля 0((р)+-

= -----Н Ср-1) — одна из образующих группы С+

Подобное утверждение устанавливается и для I, удовлетворя-! ющего соотношению р = fm + l,m > 1, (m,2) = 1.

Потом для I = 2,р s 1 mod 4 устанавливается формула

г«* - - (г + п) -<- (г -

где с — »то фундаментальная единица, a h — число классов поля Q((p)+. Эта формула представляется чрезвычайно интересной, та« как дает возможность, во-первых, вычислять как e2h по известным количествам представлений, так и наоборот. Во-вторых, с помощью формулы (7) можно попытаться доказать с использованием рекуррентной формулы из теоремы 2.3 неравенство

пНГ-

которое не доказано элементарными средствами.

Работы автора по теме диссертация.

1. Абрамов Г.В., Винник П.М. Вычисление числа представлений элементов кольца Z/dZ в виде суммы квадратов. Зап. научн. семин. ПОМИ,т.227,1995,с.5-8.

2. Винник П.М. Группа формальных логарифмов. Вести. СПбГУ, Сер.1,1996,вып.4 (N 22),с.14-17.

3. Востоков C.B., Винник П.М. Вычисление числа представлений элементов формальных колец в виде суммы I - ых степеней. Ред. ж. Вестн. С.- Петерб. гос. ун-та. Сер. мат., мех., астрон. - Санкт-Петербург, 1997. -7 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.04.97, N 1436 - В97.

Подписано к печати 13.05.97. Зак. 50 Тираж 100 экз.

Балтийский государственный технический университет Санкт-Петербург, 1-ая Красноармейская д.1