Кобордизмы вложений гладких многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Звагельский Михаил Юрьевич

КОБОРДИЗМЫ ВЛОЖЕНИЙ ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЙ

01.01.04 — геометрия и топология

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н. Н. Ю. Нецветаев

Санкт-Петербург 1998 г.

Оглавление

Глава 0. Введение

§1. История вопроса и имеющиеся результаты 2

§2. Краткое содержание и структура диссертации 7

Глава 1. Кобордизмы вложений с коразмерностью 2

§3. Специальные подмногообразия 13

§4. Вложенные раздутия 15

§5. Основной результат о вложенных раздутиях 18

§6. Вычисление групп кобордизмов вложений 28

Глава 2. Кобордизмы вложений ориентированных пятимерных многообразий

§7. Формулировка основного предложения и вывод теорем 39

§8. Подмногообразия с углами 41

§9. Описание вложения ц5,3 и подмногообразия с углами 43 §10. Описание вложения /¿5^ и подмногообразия с углами М^ 48

§11. Основное техническое средство 51

§12. Доказательство пункта (а) предложения 7.3 60

§13. Доказательство пункта (б) предложения 7.3 63

§14. Доказательство пункта (в) предложения 7.3 65

Литература

68

Глава 0. Введение

§1 История вопроса и имеющиеся результаты

Изучение подмногообразий гладких многообразий и их классификация с точностью до тех или иных отношений эквивалентности является классической задачей дифференциальной топологии. Среди таких отношений — изотопность, конкордантность, объемле-мая диффеоморфность и т.д. (См. [1], [7], [8], [12], [18], [22]). Различным проблемам, возникающим в этой области, посвящено большое количество работ, в том числе крупнейших топологов.

Как известно, получить изотопическую классификацию подмногообразий оказывается весьма сложно. Поэтому разумно рассмотреть более простые, чем изотопия отношения эквивалентности. Одним из них является отношение вложенной кобордантности.

Определение. Замкнутые подмногообразия U и V многообразия М называются вложенно кобордантными, если существует такое компактное правильное подмногообразие W многообразия М х [0,1], что dW = (Z7 х 0) U (V х 1).

Отношение вложенной кобордантности является отношением эквивалентности на множестве п -мерных замкнутых подмногообразий в М . Множество классов эквивалентности по этому отношению обозначается через EJ\fn (М) (буква Е — от слова "embedding"). Если в данном определении требовать, чтобы многообразия U ,

V и W были ориентированными, причем dW = (U х 0) U (—V х 1) ,

2

где знак " — " означает взятие противоположной ориентации, то получим отношение вложенной кобордантности между ориентированными подмногообразиями. Соответствующее множество обозначается через ЕО,п(М) .

Замечание. Множества ЕЯп{М) и ЕПп(М) можно также интерпретировать, как множества классов кобордантности вложений п-мерных замкнутых многообразий в М. (Кобордизмом является вложение абстрактного кобордизма в М х [0,1], продолжающее заданное вложение края.)

Множества ЕЯп(Ша) и ЕО,п(Ж ) являются абелевыми группами относительно (подходящим образом определенного) дизъюнктного объединения.

Обозначение. Группы ЕЯп(Жп+к) и ЕПп(Шп+к) в дальнейшем обозначаются через ЕМп%к и .

М. Хирш на топологической конференции в Сиэттле в 1963 году поставил задачу изучения множеств ЕМп{М) (см. [4]). Это самое раннее, из известных мне, упоминание этой проблемы в литературе. Большинство полученных с тех пор результатов касаются вычисления групп ЕЯп,к и Е{}щк .

Перечислю основные результаты по рассматриваемому вопросу.

1. Конструкция Понтрягина-Тома дает следующие изоморфизмы:

ЕМп,к - 7Тп+к(МО(к))

3

и

ЕПп,к~1гп+к(М30(к)),

где МО (к) и МБО(к) — пространства Тома универсальных Семерного и к -мерного ориентированного расслоений. Из этой гомотопической интерпретации можно (при помощи обобщенной теоремы Гуревича) вывести, что группы кобордизмов вложений всегда конечно порождены, и что группы ЕМп,к являются конечными 2-примарными группами при нечетных к .

2. Определим гомоморфизм а: ЕМп,к 5 сопоставляю-

щий вложению /: ип ^ класс кобордизма (п — к) -мерного

многообразия, образованного особыми точками композиции отображения / и проекции на общую гиперплоскость. (Таким образом, если р: Еп+А: — проекция и

N = {х £ М\ гк Их{р о /) =п-1},

то многообразие Кп~к имеет выделенную ориентацию, и сг([/]) = [Щ Е •) Используя, специально построенное, классифициру-

ющее пространство для групп кобордизмов отображний с предписанными особенностями, А. Сюч получил следующее утверждение.

Теорема (Сюч, [20]). При четном к и п ^ Зк отображение а: ЕЯп,к является изоморфизмом по модулю класса Сер-

ра С(2) конечных 2 -примарных групп. (Т. е. кегсг Е С(2) и сокег о Е С(2) .)

Для групп кобордпзмов вложений ориентированных многообразий подход Сюча приводит к следующим результатам. Обозначим через С(2,3) класс Серра конечных групп, каждый элемент которых имеет порядок 2г3-7 при некоторых г,] £ N. Обозначим через ЕО,(п,к © 1) группу кобордизмов ориентированных п -мерных подмногообразий в Еп+/с+1 снабженных ненулевым нормальным векторным полем.

Теорема (Сюч,[21]). Пусть п < Зк . Тогда: (а) При четном к . Последовательность

О ->• £1п-к ЕП(п, к ф 1) ->• Е£1П:к+1 О

точна по модулю класса Серра С(2) конечных 2 -примарных групп. (Ь) При нечетном к . Последовательность

О Пп-к Ф Пп-2к-1 ЕП(п, к® 1) ЕПп,к+1 0.

точна по модулю класса С(2,3), причем гомологические группы этой последовательности имеют нетривиальное 3 -кручение при некоторых пик.

3. Последняя группа результатов получена на пути сравнения групп кобордизмов вложений с группами кобордизмов погружений и группами кобордизмов многообразий с дополнительной структурой в стабильном нормальном расслоении.

Рассмотрим сначала случай ориентированных многообразий.

Г. А. Саломонсен в работе [19] построил, при п < 2к — 1, сле-

5

дующую точную последовательность:

• • • ^п-к+1 шп,к тп,к ■ ■ • •

(Здесь П™^ — группа кобордизмов ] -мерных ориентированных многообразий, у которых структурная группа нормального расслоения редуцированна к группе

»« = {(ов).(во) I А,ве30(к)},

1&>п,к — группа кобордизмов погружений п -мерных замкнутых ориентированных многообразий в Мгг+& .)

Г. Пастор, используя последовательность Саломонсена и некоторые результаты У. Кошорке [14] о группах и , доказал следующие теоремы.

Теорема (Пастор,[17], теор. 4.2). Для к ^ п > 0 : ~ 0,п .

Теорема (Пастор,[17], теор. 4.3). Пусть п > 3 . Если п или п + 1 является степенью 2 ; то 1 ~ ; иначе имеет

место короткая точная последовательность

о мг„,„_1 пп о.

Эта последовательность расщепляется при п = 2 {той 4) и при п - 3(тоб? 4) .

Теорема (Пастор,[17], теор. 4.5). При к = 0(тос1 4) имеет место короткая точная последовательность

0 -> 0 ^ ЕПк+2,к 0.

6

4. Известно, что, для п > 0, ЕМЩ\ — 0, ЕПпд ~ 0 и £'0П)2 — 0 . Это, по-видимому, вся имеющаяся информации о группах кобордизмов вложений с небольшой коразмерностью.

§2 Краткое содержание и структура диссертации

Диссертация состоит из двух глав.

Содержание главы 1.

Глава 1 посвящена изучению кобордизмов вложений с коразмерностью 2.

В §3 определяются "специальные" подмногообразия, играющие важную роль при вычислении групп ЕМп,2 •

В §4 обсуждаются свойства вложенных раздутий. Дадим определение этого понятия (оно необходимо для формулировки результатов) .

Пусть Vй — компактное правильное подмногообразие многообразия Мп+2 . Через М) обозначается трубчатая окрестность подмногообразия V в многообразии М. Положим М — М\Ы(М(У,М)) .

Определение. Правильное подмногообразие ип в дЯ(У, М) называется вложенным раздутием подмногобразия У , если сужение проекции 7г: 5 ЛТ(У,М) —> У на и является раздутием (моноидаль-ным преобразованием) подмногобразия У .

Центр раздутия — правильное подмногообразие коразмерности

7

2 в V — обозначается через сЬ(Л) . (Таким образом,

ЧсАи-чс^)): (и \ *~4<*(и))) (V \ а(и))

— диффеоморфизм, и — проективизация расслоения

и(<*(и),У) .)

Определение. Пусть ги € Нп+1(М, д М] ^2) • Говорят, что вложенное раздутие и ограничивает класс и), если найдется компактное правильное подмногообразие ]Уп+1 в М такое, что д]¥ = и и [№[ = 11).

В §5 доказывается следующая теорема существования. (Во введенных обозначениях.)

Теорема 5.1. Для каждого ю Е Нп+\{М, дМ\ Ъ^) , такого что 7г*(ди]) = [V] Е Нп(У\Ж,2) , существует вложенное раздутие подмногообразия V , ограничивающее класс ъи .

Имеет место следующий "относительный" вариант этого утверждения.

Теорема 5.2. Пусть Мп+2 — многообразие, а У71 — его правильное компактное подмногообразие. Пусть II— вложенное раздутие подмногообразия дУ в многообразии дМ . Пусть И7^

— компактное подмногообразие в (дМ) \тк(М(дУ,дМ)) такое, что дШо = и,о . Обозначим через Z цикл \¥о 1)и0 Су1(-7г) и^у У, где Су1(7г) — цилиндр проекции 7г: 17о дУ , расположенный в М(дУ, дМ) очевидным образом.

Если [£] = 0 в Нп(М\Ъ2) , то существуют вложенное раздутие ип подмногообразия V и компактное подмногообразие с углом \¥п+1 в М \Ы(М(У,М)) такие, что ди = Щ и дУ/ =

и I) и о И^о .

Из последнего утверждения следует, что гомологический класс центра вложенного раздутия (в группе Нп-2{У\ЪТм)) определяется классом ги , и не зависит от конкретного выбора подмногообразия ]¥.

Оказывается, что равенство нулю гомологического класса центра вложенного раздутия (для некоторого и)) не только необходимое, но и достаточное условие того, чтобы подмногообразие V ограничивало компактное подмногообразие коразмерности 1 в М . Другими словами, верно следующее утверждение.

Следствие 5.5. Пусть Vй — компактное правильное подмногообразие многообразия Мп+2 . Пусть 11п — вложенное раздутие подмногообразия V такое, что [с1;([7)] = 0 £ Нп^2{У]ЪТм) ■ Пусть существует компактное правильное подмногообразие ]¥п+1 С М \ ш^Л^У, М)) такое, что и = дУУ .

Тогда подмногообразие V является границей некоторого компактного подмногообразия, лежащего в М и совпадающего с IV вне ЛГ(У,М) .

Еще одним следствием теорем 5.1 и 5.2 является то, что группы ЕМп^2 изоморфны группам кобордизмов "специальных" подмногообразий, определенных в §3 (см. следствие 5.7).

9

В §6 вычисляются, с использованием результатов §5, группы .ЕАз^ и ЕЛ14;2 (группы ЕНп,2 с п < 3 были известны ранее). А именно, доказываются следующие утверждения.

Теорема 6.3. Екз,2 ^

Теорема 6.9. ЕЯ а,2 ^ 0 .

Доказательство теоремы 6.3 позволяет предъявить конкретное специальное подмногообразие, представляющее нетривиальный элемент группы ЕМ:з,2 •

Отметим, что §6 можно читать сразу после §3 (из результатов §§4 и 5 в нем используются только следствие 5.5 и замечание 5.6). Содержание главы 2.

Глава 2 посвящена изучению кобордизмов вложений ориентированных пятимерных многообразий. Группы Для к ^ 3,4 хорошо известны. Так, ЕО,^^ — 0 при 0 ^ к ^ 2 (Кнезер, Рохлин, ср.[3]). Нетрудно также видеть, что ЕО,— — ^2 при к ^ 5 (ср.[17]). Кроме того, как следует из результатов Пастора ([17], теорема 4.2), |М25,4| = 4 .

Мы вычисляем две оставшиеся группы - ЕО,5,3 и ЕО,5,4 -и предъявляются их конкретные образующие. Более точно, в главе 2 описываются вложения /25,3: ^ х СР2 ^ М8 (в §9) и /-¿5,а' б^хСР2 Е9 (в §10) и доказываются следующие теоремы.

Теорема 7.1.

_ЕП5;3 ~ 2.2 с образующей [ц5,з] .

10

Теорема 7.2.

Е0,5>4 ~ с образующими [що^^] и [/¿5,4] ; где т: К8 ^ К9

- стандартное включение.

Идея доказательства этих теорем проста. Нужно взять произвольную целочисленную симплициальную цепь, границей которой является данное пятимерное подмногообразие, и попытаться "сгладить" ее с помощью метода Кнезера (см. §11). При этом возникнут препятствия к сглаживанию. Выделяя эти препятствия (т. е. вырезая окрестность множества "особых" симплексов), мы сможем описать подмногообразия, порождающие рассматриваемую группу кобордизмов. (Небольшая техническая трудность состоит в том, что построенные нами кобордизмы и подмногообразия будут иметь "углы". (Примерно такие, какие имеет поверхность куба в К3 .) Эти углы, однако, можно каноническим образом сгладить.)

Такой подход, по-видимому, не помогает определить соотношения между полученными образующими, и, для завершения вычислений, мы используем вышеупомянутый результат Пастора о порядке группы .БПб^ (см. §7), а также некоторые геометрические соображения (см. §14).

К сожалению, реализация описанной схемы достаточна громоздка. Мы действуем следующим образом. Теоремы 7.1 и 7.2 выводятся из "основного" предложения 7.3. Формулировке предложения и выводу теорем посвящен §7. Остальная часть главы посвящена доказательству основного предложения. В §8 вводятся подмногообра-

11

зия с углами (они возникают в наших рассуждениях при построении кобордизмов из частично сглаженных пленок). В §9 описывается вложение //5,3 и подмногообразие с углами М5]3 , возникающее как препятствие к сглаживанию в коразмерности 3 (при вычислении группы £^5}з). Вложение //5,4 и подмногообразие М^ описаны в §10. В §11 методом Кнезера доказывается предложение 11.1. Оно является ключевым при доказательстве в §§12 и 13 пунктов (а) и (б) предложения 7.3. Пункт (в) предложения 7.3 доказывается в §14.

Некоторые обозначения.

Пусть V — п -мерное гладкое замкнутое многообразие. Его касательное расслоение обозначается через тУ. Пусть £ — векторное расслоение. Через мы обозначаем локальную систему групп й, скрученную классом «;]_(£) . Обозначим через Т>у. Н*(У]Щ) — Нп-.*{У', изоморфизм Пуанкаре. Через #(£) обозначим ас-

социированное с £ сферическое расслоение. (То есть расслоение на единичные сферы в некоторой евклидовой метрике на £.)

Пусть А — правильное подмногообразие многообразия В . Через и В) обозначим нормальное расслоение и замкнутую трубчатую окрестность подмногообразия А в многообразии В . Мы рассматриваем АТ(А, В) как тотальное пространство дискового расслоения, ассоциированного с и (А, В) .

Будем использовать следующие обозначения:

Щг^.-м ={(®1,...,®п) ег I Хк1 =0,...,®*, =0}.

12

Т' - барицентрическое подразделение триангуляции Т . Ь(<т, Т) - линк симплекса а в триангуляции Т. а: СР2 —У СР2 - инволюция комплексного сопряжения.

Глава 1. Кобордизмы вложений с коразмерностью 2.

§3. Специальные подмногообразия

Квадратичные отображения и стандартное вложение ЕР2 ^

В4. Пусть

В* = {(гъХ2)е С2: Ы2 + Ы20}, # = {(*1,*2)еВ4:М2 = 1}, « = 1,2.

Назовем отображение /: —> квадратичным, если найдется такое х Е , что /((г,0)) = (0, хг2) . Объединение цилиндра отображения / , стандартно лежащего в джойне Б\ * ¿>2 = сШ4 , и диска {(2,0) 6 В4} дает, после сглаживания углов, гладкое вложение проективной плоскости МР в

ВА . Вложение МР2 ^ В , построенное по квадратичному отображению /((г,0)) = (0, г2) , назовем стандартным.

Специальные подмногообразия. Пусть М — многообразие, а Р — его правильное подмногообразие коразмерности 4. Пусть расслоение г/(Р, М) разложено в прямую сумму двумерных векторных расслоений: г/(Р, М) — г) © С ■ Пусть f: 5 (г?) ——

послойно-квадратичное отображение, накрывающее тождественное

13

отображение на Р. (Всюду в дальнейшем, говоря о послойно-квадратичных отображениях, мы подразумеваем, что они накрывают тождественное отображение на базе.) Послойное применение описанной выше конструкции вложения МР2 в .В4 к отображению / дает гладкое правильное подмногообразие ф коразмерности 2 в многообразии М, которое мы будем называть специальным подмногообразием с осью Р.

Замечание 3.1. Каждое послойно-квадратичное отображение /: 5(?7) —>• 5(С) задает некоторую ориентацию расслоения 77 ф ( .

Замечание 3.2. Сужение проекции тт: N(F, М) —> Р на специальное подмногообразие является проективизацией прямой суммы ту © б , где б — тривиальное одномерное расслоение.

Замечание 3.3. Для существования послойно-квадратичного отображения /: Б(г}) —У 5(С) необходимо и достаточно, чтобы для классов Штифеля-Уитни выполнялись равенства 101(77) = (С) в

Н\М-,Ъ2) и 2 • ^¥2(7]) = \¥2(() В #2(М^).

Замечание 3.4. Послойные гомотопические классы послойно-квадратичных отображений ^(77) —>■ £(£) находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с послойными гомотопическими классами послойных двулистных накрытий 5(77) —5(С) (а также послойных отображений ¿>(77) —> 5(С) степени 2).

Замечание 3.5 (бескоординатное описание послойно-квадратичных отображений).

Расслоение rj можно рассматривать как пучок одномерных С -модулей, где С — локально постоянный пучок полей С , скрученный при помощи комплексного сопряжения классом ^1(77) . Если /: S(r7) —S(C) — послойно-квадратичное отображение, то расслоение £ изоморфно тензорному квадрату расслоения rj. Точнее, существует изоморфизм г: С —i► г}®с1! такой, что для каждых х Е F и v Е S(rj)x выполняется равенство (S(i) о f)(v) — v ® v Е S{r](&cii)x > где S(i): S(Q —S(r) <g>c rj) — отображение, индуцированное изоморфизмом г.

Замечание 3.6. Для двух послойно-квадратичных отображений /, д: S{rj) —ь S(C) естественно определяется их различающий когомологический класс Cfy9 Е H1(F, Ъ^) . При этом / и д гомотопны в классе послойно-квадратичных отображений тогда и только тогда, когда они задают одинаковую ориентацию расслоения ту 0 £ и Cf,g = 0. Кроме того, для каждого послойно-квадратичного отображения / и класса с Е ii1(F, Z^) можно построить послойно-квадратичное отображение д такое, что отображения / и д определяют одинаковую ориентацию расслоения rj 0 £ и с = Cf>g .

§4. Вложенные раздутия

В этом параграфе мы напомним определение понятия вложенного раздутия (см. введение) и перечислим, без �