Когомологии Хохшильда ассоциативных конформных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

6

На правах рукописи

ДОЛГУНЦЕВА Ирина Александровна

КОГОМОЛОГИИ ХОХШИЛЬДА АССОЦИАТИВНЫХ КОНФОРМНЫХ АЛГЕБР

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2008

003450581

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Бокуть Леонид Аркадьевич

кандидат физико-математических паук Колесников Павел Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Копытов Валерий Матвеевич

доктор физико-математических наук, профессор Мальцев Юрий Николаевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится 14 ноября 2008 г. в 17 ч. 00 мин. па заседании диссертационного совета Д003.015.02 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан «_» октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Ряск,ш

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Структурная теория конформных алгебр — сравнительно новая и активно развивающаяся область алгебры. Интерес к этой теории обусловлен тем, что она связана с математической физикой. Одним из направлений изучения конформных алгебр является исследование расширений конформных алгебр. В данной диссертации рассматриваются расширения ассоциативных конформных алгебр.

Формальное определение конформной алгебры было сформулировано В.Г. Кацем в работе [9] как аксиоматическое описание сингулярной части разложения операторного произведения (operator product, expansion. OPE) киральных полей в конформной теории поля. Киральные поля (или формальные распределения) представляют собой бесконечные в обе стороны ряды

с коэффициентами в некоторой алгебре А (обычно в качестве алгебры А рассматривают алгебру Ли g[(V/) линейного пространства V над полем комплексных чисел С). Произведение формальных распределений не всегда определено, так как может приводить к бесконечным суммам в коэффициентах. Для взаимно локальных формальных распределений вводится операция OPE, которая позволяет заменить умножение рядов счетным набором билинейных операций on. п ç Z+.

Сингулярная часть операторного произведения описывает некоторые коммутационные соотношения взаимно локальных формальных распределений, которые приводят к понятию конформной алгебры Ли. Ассоциативные конформные алгебры возникают как модули конформных линейных отображений.

Другой подход в теории конформных алгебр связан с понятием псевдотензорной категории, которое было введено A.A. Бейлинсоном и В.Г. Дринфельдом в работе [3]: конформная алгебра —■ это алгебра в псевдотезорной категории М(Н), ассоциированной с полиномиальной алгеброй H = k[D] над полем к характеристики 0 (см. (1]). Объектами в этой категории являются левые унитальные Н-модули, и алгеброй в М(Н) называется модуль С Ç. М(Н) с H ® Я-линейной операцией *: С ® С —> (Н Н) ®н С. Преимуществом данного языка является то, что ассоциативность, коммутативность и другие тождества имеют

nez

в нем естественную интерпретацию. Заметим, что обычная алгебра над полем к — это алгебра в псевдотензорной категории Л4(к).

Таким образом, последний подход .представляется наиболее естественным для обобщения понятия алгебры линейных преобразований End U конечномерного линейного пространства U. А именно, если V — конечно-порожденный Я-модуль. то все его конформные эндоморфизмы (см. [1, 6, 9]) образуют ассоциативную конформную алгебру, которую обозначают Cend V.

В работе А. д'Андреа и В.Г. Каца [6| были описаны простые и полупростые лиевы конформные алгебры конечного тина. В работе Е. Зель-манова [17] был доказан аналог «основной» теоремы Ведцерберна об отщеплении радикала для ассоциативных конформных алгебр конечного типа. В более широком классе ассоциативных конформных алгебр, имеющих точное представление конечного типа, аналоги структурных теорем были доказаны П.С. Колесниковым [10, 11].

Одним из главных результатов теории конечномерных алгебр является классическая теорема Ведцерберна. о строении сепарабельных алгебр.

Пусть А — конечномерная ассоциативная алгебра с радикалом R = Rad(A). Если А/ Rad (А) — сепарабелъная алгебра, то существует подалгебра S С А такая, что А равна прямой сумме пространств S®Rad(A).

В 1945 г. Г. Хохшильд ввел понятие когомологий для ассоциативных алгебр и доказал теорему о тривиальности группы когомологий для (полу)простых алгебр этого класса [7]. Он также показал, что теорема Ведцерберна является следствием тривиальности второй группы когомологий алгебры матриц над полем.

Подход к теории когомологий Хохшильда ассоциативных конформных алгебр был предложен Б. Бакаловым, В.Г. Кацем и А. Вороновым [2]. В определении когомологий авторы использовали так называемые А-произведения. Однако этот подход не был развит в должной мере. Также в этой работе сформулирована задача вычисления группы когомологий Хохшильда конформной алгебры Cend V.

Таким образом, основные цели данной работы:

• разработка другого подхода к построению конформных когомологий Хохшильда, который использует язык псевдоалгебр;

• исследование связи между расширениями ассоциативных конформных алгебр и их второй группой когомологий;

• применение предложенного подхода к изучению расширений алгебры Сепс1п конформных линейных преобразований свободного п-порождснного к[£>]-модуля.

Методы исследования. При получении основных результатов широко используются методы теории ассоциативных конформных алгебр и псевдоалгебр.

Основные результаты диссертации.

(1) дано определение когомологий Хохшильда ассоциативных конформных алгебр;

(2) получена теорема о связи элементов второй группы когомологий ассоциативной конформной алгебры и ее сингулярных расширений;

(3) доказана тривиальность второй группы когомологий Хохшильда конформной алгебры Вейля.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми и получены автором лично.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Результаты могут быть использованы в дальнейшем изучении ассоциативных конформных алгебр и их когомологий Хохшильда, а также при чтении спецкурсов по структурной теории колец.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории колец им. А.И. Ширшова (ИМ СО РАН), семинаре "Алгебра и логика" (НГУ), Международной конференции "Мальцевские чтения" в 2005-2007 гг. (Новосибирск), Международной конференции "Алгебра и ее приложения" в 2007 г. (Красноярск), Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фадцеева в 2007 г. (Санкт-Петербург).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в форме статей [18|-[19|, препринта [20| а также в материалах международных конференций [21]-[23].

Структура работы. Диссертация состоит из введения и 5 глав. Она изложена на 51 странице. Список литературы содержит из 17 наименований.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Каждая из глав диссертации подразделяется на параграфы. Нумерация утверждений (лемм, теорем, предложений, следствий), а также определений, примеров и замечаний сквозная. Каждый номер параграфа состоит из двух чисел: первое соответствует номеру главы, второе — порядковому номеру параграфа в данной главе (нумерация приведенных ниже утверждений отличается от использованной в диссертации).

Глава 1. В этой главе даны начальные сведения о конформных алгебрах. Вводится определение конформной алгебры на языке оп-произ-ведений, ть € Z+, [9, 13] и в терминах Л-произведений [8]. Приведены основные тождества, определяющие многообразие ассоциативных конформных алгебр.

Глава 2. Данная глава посвящена псевдотензорным категориям и псевдоалгебрам. Псевдотензорные категории позволяют унифицировать понятия обычной алгебры и конформной алгебры.

В § 2.1 приведены основные сведения об алгебрах Хопфа, необходимые для дальнейшего изложения материала.

В § 2.2 дано понятие псевдотензорной категории. Первоначально понятие мультикатегории ввел Дж. Ламбек в |12|. Позднее этот объект А. Бейлинсон, В. Дринфельд назвали псевдотензорной категорией [3]. Также в этом параграфе дано определение псевдоалгебры, показана связь между псевдоалгебрами и конформными алгебрами.

В § 2.3 рассмотрена псевдотензорная категория Л4(Н), ассоциированная с полиномиальной алгеброй Хопфа Я = к[£>]. Показано, что пространство всех полилинейных отображений изоморфно пространству локально регулярных, трансляционно инвариантных функций на к.

В § 2.4 приведено понятие псевдолинейного отображения. Пространство всех полилинейных отображений СЬот(6г, V) из //-модуля и в Я-модуль V наделено структурой Я-модуля. Если и — конечно-порожденный Я-модуль, то для любых ф 6 СЬош(У, \¥), V £ С1ют([/, V) определена композиция фоф, которая является локально регулярным и трансляционно инвариантным отображением.

Глава 3. В этой главе вводится понятие конформного линейного отображения. Пространство конформных линейных отображений из Я-модуля II в Я-модуль V также обозначается СЬош(£/, V). Если и = V,

то СЬош([/, и) обозначается Сепс1 и. Из результатов предыдущей главы следует, что для конечно-порожденного Н-модуля С/ Сепс117 является ассоциативной конформной алгеброй относительно композиции конформных линейных преобразований.

В § 3.2 приводятся наиболее важные примеры алгебр конформных линейных преобразований: алгебра Сепс!п конформных линейных преобразований свободного конечно-порожденного Я-модуля II — Я 0 к" и ее подалгебра Сиг„.

В работах [8, 10, 13] доказано, что алгебры Сепс1п и Я® Ми(Иф;]) изоморфны (здесь V — формальная переменная). Поэтому каждый элемент а € Сепс1п представляется в виде

а = ® е Я® Мп(к[и]).

При этом конформные операции от, т € заданы правилом (1 ® А) от (1 ® в) =1 ® лаг(в),

где две м„(кН), а;" = дт/дут.

Обозначим х = 1®иВ, где Е — единичная матрица в Мп(к). Алгебра Сепс1п (как конформная алгебра) порождается элементами е^, г, 3 — 1,... ,п, их, которые удовлетворяют следующим соотношениям:

е^ °т ?к1 — т > 0, (1)

е.цО0х = хо0е^, (2)

О! ж = еу, от а: = 0, т ^ 2, (3)

ютеч=0, (4)

е« = х. (5)

г г

Доказано

Предложение 1. Соотношения (1)-(5) составляют полную систему соотношений в Сепс1„.

В §3.3 дано определение правого (левого) модуля, бимодуля над ассоциативной конформной алгеброй на языке оп-произведений, п 6 А-произведения и псевдопроизведения. Доказан аналог леммы Донга для модулей.

Глава 4. В данной главе мы вводим основные понятия теории ко-гомологий ассоциативных конформных алгебр. Используя результаты

главы 3, разрабатываем технику изучения расширений ассоциативных конформных алгебр.

В § 4.1 мы вводим ключевые понятия теории когомологий ассоциативных конформных алгебр: понятие п-коцепи, дифференциала, конформных когомологий Хохшильда.

Определение 1. Пусть V — бимодуль над ассоциативной конформной алгеброй С. Отображение

называется п-коцепъю алгебры С с коэффициентами в V, если оно Н-полилинейно, то есть (р^а 1 й ... 0 кпап) — (/н 0 ... ® Нп ®я 1)<р(«1 <8> ... ® ап).

Определение 2. Отображение 6п: С'1 (С, V) —► Сп+1(С, К), определенное по правилу

(¿пу>)(й,1,...,ап+х) =а! *9(а2,...,ап+1)+ и

1) >(«1,• • •,а» * Щ+1 ап+1)+

г=1

(—1)п+1<р(аъ... ,ап) * ап+1, называется дифференциалом.

Доказано, что <5П+1^П = 0.

Понятия п-коцикла, п-кограницы определяются также, как в теории когомологий обычных алгебр: п-коцепь называется п-коциклом, если 8п<р = 0, и называется п-когщницей, если существует (п — 1)-коцепь ф такая, что <р = 5п-\'ф. Множество п-коцепей обозначается Сп(С, V), п-коциклов — 2П(С, V), множество п-кограниц — В'1 (С, V). Тогда гп{С, V) = кег 5П> Вп{С, V) = 1т

Определение 3. п-ой группой когомологий Хохшильда алгебры С со значениями в бимодуле V называется Я"-модуль

гг1(с, V) = гп{с, У)/вп{с, V).

Если <р £ С2(С, V), то в силу результатов предыдущей главы для любых а, Ь € С элемент <р(а, Ь) единственным образом записывается в виде

<р(а, Ъ) = <8 1) <Р.(а, Ъ),

где <ря(а,Ь) € V.

Дано описание 1- и 2-коциклов в терминах о(1-произведений.

Замечание 1. Пусть С — ассоциативная конформная алгебра, V

— С-бимодуль. Если <р> е 21(С, V), то для всех а, 6 6 С, п £ выполняется равенство

(р(а оп Ь) — а оп (р(Ь) + </>(а) оп Ь.

Замечание 2. Пусть С — ассоциативная конформная алгебра, V

— С-бимодуль. Если £ 2'2(С, V), то для всех а, Ь, с 6 С, т, п Е Ъ+ выполняется равенство

я °т ¥>« (М) +<рт(а,Ьопс) = ^ (т )(Уп+в(а0т-вЬ,с)+у>т_а(а,Ь)оп+лс).

В § 3.2 исследуется связь между второй группой когомологий и расширениями ассоциативной конформной алгебры.

Мы называем расширением конформной алгебры С пару (В, сг), где В — конформная алгебра, сг: В —» С — эпиморфизм конформных алгебр. Расширение {В, а) называется сингулярным, если ядро расширения кег сг удовлетворяет равенству кег сг ош кег сг = 0.

Теорема 1. Пусть С — ассоциативная конформная алгебра, являющаяся проективным Н-модулем, и М — некоторый С-бимодуль. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между элементами второй группы когомологий Л2 (С, М) и классами изоморфных сингулярных расширений алгебры С, ядра которых изоморфны М.

В ходе доказательства теоремы 1 показано, что для ассоциативной конформной алгебры С, являющейся проективным Н-модулем, и ее сингулярного расширения (В, а) с ядром кег а = М можно определить Я-линейное отображение р: С —> В такое, что

ар = ]<1.

Тогда отображение <рр: С х С М, определенное правилом

1рр{а, Ь) = р(а) * р(Ъ) - (1(1 ® ¡с1 ®нр)(р- * Ь), а, Ь € С,

является 2-коциклом, т. е. ¡рр € Z'г{C, М).

Для бимодуля М над ассоциативной конформной алгеброй С и коцикла </? 6 С2 {С, М) построено сингулярное расширение В алгебры С с помощью бимодуля М, равное прямой сумме С © М как Я-модулей.

Расширение В является конформной алгеброй относительно операции *, заданной равенством

(<Х1 + щ) * (аг + и2) = а1 * а2 + сц + щ * а2 + 1р(а.1,а2), где + щ, а,2+и2 € В. Построенное расширение обозначается через

Лемма 1. Если <р £ С, М), то В = (С; М, ¡р) — ассоциативная конформная алгебра.

Теорема 2. Конформная алгебра С отщепляема в сингулярном расширении (В, с) тогда и только тогда, когда коцикл ц>р тривиален в Н2(С, кет а).

Следствие 1. Если Н2(С, М) = 0 для любого С-бимодуля М, то конформная алгебра С отщепляема в любом расширении с нильпотент-ным ядром.

Глава 5. В этой главе мы применяем полученные выше результаты для вычисления второй группы когомологий ассоциативных конформных алгебр Сепс1п и Сигп.

Напомним определение идемпотента и (конформной) единицы конформной алгебры [16]. Элемент е€ С называется идемпотентом конформной алгебры С, если выполнены условия:

е о0 е = е, е оп е = 0 для всех п ^ 1.

Идемпотент е 6 С называется (конформной) единицей, если е оп о. — а для всех а € С.

Заметим, что конформные алгебры Сеп<1п и Сиг„ содержат каноническую (конформную) единицу е = е.ц, причем

!г От — {ец От (.'¿^ } =

В § 5.1 доказывается ряд вспомогательных утверждений для ассоциативных конформных алгебр, содержащих элементы специального вида.

Лемма 2. Пусть С — конформная алгебра, являющаяся проективным Н-модулем, М — произвольный С-бимодуль, </> € М). Если е! 6 С — (конформная) единица, то расширение В = (С; М, </?) алгебры С содержит (конформный) идемпотент е такой, что <т(е) = е!.

ю

Лемма 3. Пусть С — конформная алгебра, являющаяся проективным Н-модулем, М — произвольный С-бимодуль, ip в Z2(C, М). Пусть расширение В = (С; М, <¿>) алгебры С содержит (конформную) единицу е и существует х' € С такой, что х' о0 е' = х', е' oj х' = е', где е' — сг(е). Тогда В содержит элемент х такой, что о(х) = х', х о0 е = х, ео{ х — е.

лемма 4. Пусть С — ассоциативная конформная алгебра с единицей е', М — произвольный С-бимодуль, ip € Z2(C, М) и пусть е[, ..., е'п — семейство попарно ортогональных идемпотентов (т.е. е[ от е'3 = ¿т.ofiijej) таких, что {е'; о0 е'} = е-. Тогда существуют попарно ортогональные идемпотенты ei, ..., еп в расширении В = (С; М, <р) такие, что cr(et) = е[.

Лемма 5. Пусть С = Curn (n > I), М — произвольный С-бимо-дуль, <р б Z2(C, М) и пусть е[р i,j = 1,... ,п, — система (конформных) матричных единиц С (т.е. е'г] om e'kl — Тогда существуют

попарно ортогональные идемпотенты etJ, i,j = 1,..., га, в расширении В = (С; М, ip) такие, что cr(eij) = е'ц.

В §5.2 доказываются основные теоремы для конформных алгебр Ceiid„ и Curn. Показано, что вторая группа когомологий этих алгебр тривиальна. В качестве следствия доказана отщепляемость конформных алгебр Cend„, Curn в любом расширении с нильпотентным ядром.

Теорема 3. Пусть С — Curn (n > 1), М — произвольный С-бимодуль. Тогда вторая группа когомологий Н2(С,М) тривиальна.

Теорема 4. Пусть С = Cendn (n > \), М — произвольный С-бимодуль. Тогда вторая группа когомологий Н2(С,М) тривиальна.

Следствие 2. Конформная алгебра Cur„ отщепляема в любом расширении с нильпотентным ядром.

следствие 3. Конформная алгебра Cendn отщепляема в любом расширении с нильпотентным ядром.

Как следствие получен аналог теоремы Веддерберна для ассоциативных конформных алгебр.

Следствие 4. Пусть С — ассоциативная конформная алгебра, содержащая нильпотентный идеал М такой, что С/М = С\ $ ... 0 Сm, где Сг = Cendn, или Ci - Curn,, n, ^ 1, i = 1,.... m. Тогда C = C®M, где С — подалгебра в С, изоморфная С/М.

Если конформная алгебра не содержит (конформной) единицы, то существуют нетривиальные 2-коциклы, т. е. существуют такие расширения конформной алгебры С, в которых она неотщепляема.

Замечание 3. Пусть С = i2Cendi = Ceiid^/ - D)2 — подалгебра конформной алгебры Cendi с Cend„ (здесь изоморфизм задан правилом в : t2f(t) —> f{t)(t — D)2). Тогда существует расширение алгебры С, в котором С неотщепляема.

В заключение показано приложение полученных результатов к структурной теории конформных алгебр. А именно, если к — алгебраически замкнутое поле, то из следствия 4 вытекает основной результат работы [11].

Я благодарна своему научному руководителю Л. А. Бокутю за постоянное внимание к моей работе, активное обсуждение возможных направлений исследования и полученных результатов. Также я выражаю свою благодарность П. С. Колесникову за постановку задачи, ее плодотворное обсуждение. Я признательна всем сотрудникам лаборатории теории колец, кафедры алгебры Новосибирского государственного университета, Сибирскому фонду алгебры и логики за проявленное внимание к этой работе, оказанную моральную и материальную помощь.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 05-01-00230, и Сибирского отделения РАН, интеграционный грант 1.9.

Литература

Bakalov В., D'Andréa А., Кас V. G.Theory of finite pseudoalgebras //' Adv. Math. 2001. V. 162, N. 1. P. 1-140.

Bakalov В., Кас V. G , Voronov A. Cohoraology of conformai algebras // Comm. Math. Phys. 1999. V. 200. P. 561-589.

Beilinson A., Drinfcld V. Chiral algebras. Providence, RI: AMS, 2004. (Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, vol. 51).

Bokut L. A., Fong Y., Ke W.-F. Composition-Diamond lemma for associative conformai algebras i/ J. Algebra. 2004. V. 272, N. 2. P. 739-774. Bokut L. A., Fong Y., Ke w.-F., Kolesnikov P. S., Grobner and Grobner-Shirshov bases in algebra and conformai algebras (Russian) // Fundam. Prikl. Mat. 2000. V. 6, N. 3. P. 669-706.

D'Andrea А., Кас V. G. Structure theory of finite conformai algebras // Selecta Math. New Ser. 1998. V. 4. P. 377-418.

Hochschild G. On the cohomology groups of an assotiative algebra // Ann. of Math. 1945. V. 46, N. 1. P. 58-67.

Кас V. G. Formal distribution algebras and conformai algebras // Proc. / Xllth International Congress in Mathematical Physics. Biisbane, 1997 / Cambridge, MA: Internat. Press, 1999. P. 80-97.

Кас V. G. Vertex algebras for beginners. Second edition. Providence, Rl: AMS, 1998. (University Lecture Series, vol. 10).

Kolesnikov P. S. Associative conformai algebras with finite faithfull representation // Adv. Math. 2006. V. 202, N. 2. P. 602-637.

Kolesnikov P. S. On the Wcddeiburn principal theoicm foi conformai algebras // J. Algebra Appl. 2007. V. 6, N. 1. P. 119-134.

Lambek J. Deductive systems and categories. II // Standard constructions and closed categories. Berlin: Springer-Veil., 1969. P. 76-122. (Lecture Notes Math., vol. 86). Retakh A. Associative conformai algebras of linear grow // J. Igebra. 2001. V. 237, N. 2. P. 769-788.

Roitinan M. On fiée conformai and veitex algebras // J. Algebra. 1999. V. 217, N. 2. P. 496-527.

Sweedler M. E., Hopf algebras. New York: W.A. Benjamin, Inc. 1969. Zel'manov E. I. Idempotents in conformai algebras // Proc. / Third Internat. Alg. Conf. in Taiwan. June 16-July 1, 2002. / Ed. by Y. Fong et al. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. P. 257-266. [17] Zelmanov E. I. On the structure of confoimal algebras // International Conference on Combinatorial and Computational Algebra, May 24-29, 1999, Hong Kong, China. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). Cont. Math. 2000. V. 264. P. 139-153.

Работы автора по теме диссертации

[18] Долгунцева И. А. Когомологии Хохшильда для ассоциативных конформных алгебр // Алгебра и логика 2007. Т. 46, № 6. С. 688-706.

|19] Долгунцева И. А. Тривиальность второй группы когомологии конформных алгебр Ccndn и Счгц // Алгебра и анализ. 2008. (Принято к печати).

[20] Долгунцева И. А. Тривиальность второй группы когомологии конформных алгебр Cend,, и Сш п. Новосибирск, 2008. 13 с. (Препринт / РАН. Институт математики; №213).

[21] Долгунцева И. А. О тривиальности второй группы когомологий конформной алгебры Вейля // Материалы XLV Международной студенческой конференции «Студенти начно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск, 2007. С. 89.

[22] Долгунцева И. А. О тривиальности второй группы когомологий конформной алгебры Вейля // Международная конференция "Алгебра и ее приложения". Красноярск, 12-18 августа 2007 года. Красноярск, 2007. С. 49-50.

[23] Долгунцева И. А. О тривиальности второй группы когомологий конформной алгебры Вейля // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева. Санкт-Петербург, 24-29 сентября 2007 года. Санкт-Петербург, 2007. С. 26-27.

Долгунцева Ирина Александровна

КОГОМОЛОГИИ ХОХШИЛЬДА АССОЦИАТИВНЫХ КОНФОРМНЫХ АЛГЕБР

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 26.09.2008 г. Формат 60 х 84У16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,87. Тираж 100 экз. Заказ №366.

Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2

Введение

1 Конформные алгебры

1.1 Определение конформных алгебр.

1.2 Формальные степенные ряды.

1.3 Алгебра коэффициентов конформной алгебры.

1.4 Многообразия конформных алгебр.

1.5 Л-произведения.

2 Псевдотензорные категории и псевдоалгебры

2.1 Алгебры Хопфа: основные обозначения.

2.2 Псевдотензорные категории и псевдоалгебры.

2.3 Псевдотензорная категория ./И (к[1)])

2.4 Псевдолинейные отображения

3 Конформные линейные отображения. Модули над конформными алгебрами

3.1 Конформные линейные отображения.

3.2 Примеры ассоциативных конформных алгебр.

3.3 Модули над конформными алгебрами.

4 Когомологии Хохшильда ассоциативных конформных алгебр

4.1 Основные определения.

4.2 Расширения и вторая группа когомологий

5 Вторая группа когомологий конформных алгебр

Сепс1п и Сигп

5.1 Элементы специального вида.

5.2 Доказательство основных теорем.

Актуальность темы. Структурная теория конформных алгебр — сравнительно новая и активно развивающаяся область алгебры. Интерес к этой теории обусловлен тем, что она связана с математической физикой. Одним из направлений изучения конформных алгебр является исследование расширений конформных алгебр. В данной диссертации рассматриваются расширения ассоциативных конформных алгебр.

Формальное определение конформной алгебры было сформулированно В.Г. Кацем в работе [9] как аксиоматическое описание сингулярной части разложения операторного произведения (operator product expansion, OPE) киральных полей в конформной теории поля. Киральные поля (или формальные распределения) представляют собой бесконечные в обе стороны ряды nez с коэффициентами в некоторой алгебре А (обычно в качестве алгебры А рассматривают алгебру Ли Ql(V) линейного пространства V над полем комплексных чисел С). Произведение формальных распределений не всегда определено, так как может приводить к бесконечным суммам в коэффициентах. Для взаимно локальных формальных распределений вводится операция OPE, которая позволяет заменить умножение рядов счетным набором билинейных операций оп, п € Z+.

Сингулярная часть операторного произведения описывает коммутационные соотношения взаимно локальных формальных распределений, которые приводят к понятию конформной алгебры Ли. Ассоциативные конформные алгебры возникают как модули конформных линейных отображений.

Другой подход в теории конформных алгебр связан с понятием псевдотензорной категории, которое было введено A.A. Бейлинсоном и В.Г. Дрин-фельдом в работе [3]: конформная алгебра — это алгебра в псевдотезор-ной категории М.(Н), ассоциированной с полиномиальной алгеброй H = k[D] (см. [1]). Объектами в этой категории являются левые унитальные Я-модули, и алгеброй в М(Н) называется модуль С € М{Н) с H ® Н-линейной операцией * : С <8> С —» (H <g> Я) ®# С. Преимуществом данного языка является то, что ассоциативность, коммутативность и другие тождества имеют в нем естественную интерпретацию. Заметим, что обычная алгебра над полем к — это алгебра в псевдотензорной категории Л4(к).

Таким образом, последний подход представляется наиболее естественным для обобщения понятия алгебры линейных преобразований End U конечномерного линейного пространства U. А именно, если V — конечно-порожденный Я-модуль, то все его конформные эндоморфизмы (см. [1, 6, 9]) образуют ассоциативную конформную алгебру, которую обозначают Cendl/.

В работе А. д'Андреа и В.Г. Каца [6] были описаны простые и полупростые лиевы конформные алгебры конечного типа. В работе Е. Зельманова [17] был доказан аналог «основной» теоремы Веддерберна об отщеплении радикала для ассоциативных конформных алгебр конечного типа. В более широком классе ассоциативных конформных алгебр, имеющих точное представление конечного типа, аналоги структурных теорем были доказаны П.С. Колесниковым [10, 11].

Одним из главных результатов теории конечномерных алгебр является классическая теорема Веддерберна о строении сепарабельных алгебр.

Пусть А — конечномерная ассоциативная алгебра с радикалом R = Rad(A). Если А/ Rad(A) — сепарабелъная алгебра, то существует подалгебра S С А такая, что А равна прямой сумме пространств S фИж1(Л).

В 1945 г. Г. Хохшильд ввел понятие когомологий для ассоциативных алгебр и доказал теорему о тривиальности группы когомологий для (по-лу)простых алгебр этого класса [7]. Он также показал, что теорема Веддерберна является следствием тривиальности второй группы когомологий алгебры матриц над полем.

Подход к теории когомологий Хохшильда ассоциативных конформных алгебр был предложен Б. Бакаловым, В.Г. Кацем и А. Вороновым [2]. В определении когомологий авторы использовали так называемые А-произве-дения. Однако этот подход не был развит в должной мере. Также в этой работе сформулирована задача вычисления группы когомологий Хохшильда конформной алгебры Cendl^.

Таким образом, основные цели данной работы:

• разработка другого подхода к построению конформных когомологий Хохшильда, который использует язык псевдоалгебр;

• исследование связи между расширениями ассоциативных конформных алгебр и их второй группой когомологий;

• применение предложенного подхода к изучению расширений алгебры Сепс1п конформных линейных преобразований свободного п-порожденного к [О]- модуля.

Методы исседования. При получении основных результатов широко используются методы теории ассоциативных конформных алгебр и псевдоалгебр.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми и получены автором лично.

Основные результаты диссертации:

1. Дано определение когомологий Хохшильда ассоциативных конформных алгебр.

2. Получена теорема о связи элементов второй группы когомологий ассоциативной конформной алгебры и ее сингулярных расширений.

3. Доказана тривиальность второй группы когомологий Хохшильда конформной алгебры Вейля IV.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Результаты могут быть использованы в дальнейшем изучении ассоциативных конформных алгебр и их когомологий Хохшильда, а также при чтении спецкурсов по структурной теории колец.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории колец им. А.И. Ширшова (ИМ СО РАН), семинаре "Алгебра и логика" (НГУ), Международной конференции "Маль-цевские чтения" в 2005-2007 гг. (Новосибирск), Международной конференции "Алгебра и ее приложения" в 2007 г. (Красноярск), Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева в 2007 г. (Санкт-Петербург).

Структура работы. Диссертация содержит 51 страницу, состоит из введения, 5 глав, которые разбиты на 16 параграфов, и списка литературы

1. Bakalov В., D'Andréa А., Кас V. G.Theory of finite pseudoalgebras // Adv. Math. 2001. V. 162, N. 1. P. 1-140.

2. Bakalov В., Кас V. G., Voronov A. Cohomology of conformai algebras // Comm. Math. Phys. 1999. V. 200. P. 561-589.

3. Beilinson A., Drinfeld V. Chiral algebras. Providence, RI: AMS, 2004. (Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, vol. 51).

4. Bokut L. A., Fong Y., Ke W.-F. Composition-Diamond lemma for associative conformai algebras // J. Algebra. 2004. V. 272, N. 2. P. 739-774.

5. Bokut L. A., Fong Y., Ke w.-F., Kolesnikov P. S., Grôbner and Grobner-Shirshov bases in algebra and conformai algebras (Russian) // Fundam. Prikl. Mat. 2000. V. 6, N. 3. P. 669-706.

6. D'Andrea А., Кас V. G. Structure theory of finite conformai algebras // Selecta Math. New Ser. 1998. V. 4. P. 377-418.

7. Hochschild G. On the cohomology groups of an assotiative algebra // Ann. of Math. 1945. V. 46, N. 1. P. 58-67.

8. Кас V. G. Formal distribution algebras and conformai algebras // Proc. / Xllth International Congress in Mathematical Physics. Brisbane, 1997 / Cambridge, MA: Internat. Press, 1999. P. 80-97.

9. Кас V. G. Vertex algebras for beginners. Second edition. Providence, RI: AMS, 1998. (University Lecture Series, vol. 10).

10. Kolesnikov P. S. Associative conformai algebras with finite faithfull representation // Adv. Math. 2006. V. 202, N. 2. P. 602-637.

11. Kolesnikov P. S. On the Wedderburn principal theorem for conformai algebras // J. Algebra Appl. 2007. V. 6, N. 1. P. 119-134.

12. Lambek J. Deductive systems and categories. II // Standard constructions and closed categories. Berlin: Springer-Verl., 1969. P. 76-122. (Lecture Notes Math., vol. 86).

13. Retakh A. Associative conformai algebras of linear grow // J. lgebra. 2001. V. 237, N. 2. P. 769-788.

14. Roitman M. On free conformai and vertex algebras //J. Algebra. 1999. V. 217, N. 2. R 496-527.

15. Sweedler M. E., Hopf algebras. New York: W.A. Benjamin, Inc. 1969.

16. Zel'manov E. I. Idempotents in conformai algebras // Proc. / Third Internat. Alg. Conf. in Taiwan. June 16-July 1, 2002. / Ed. by Y. Fong et al. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2003. P. 257-266.

17. Долгунцсва И. А. Когомологии Хохшильда для ассоциативных конформных алгебр // Алгебра и логика. 2007. Т. 46, N. 6. С. 688-706.

18. Долгунцева И. А. Тривиальность второй группы когомологий конформных алгебр Сепс1п и Сигп // Алгебра и анализ. 2008. (Принято к печати).

19. Долгунцева И. А. Тривиальность второй группы когомологий конформных алгебр Сепс1п и Сигп. Новосибирск, 2008. 13 с. (Препринт / РАН. Институт математики; №213).

20. Долгунцева И. А. О тривиальности второй группы когомологий конформной алгебры Вейля // Материалы ХЬУ Международной студенческой конференции «Студент и начно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск, 2007. С. 8-9.

21. Долгунцева И. А. О тривиальности второй группы когомологий конформной алгебры Вейля // Международная конференция "Алгебра и ее приложения". Красноярск, 12-18 августа 2007 года. Красноярск, 2007. С. 49-50.