Колебания двухкомпонентного плоского элемента-пластинки на основе модели М. А. Био тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение .Цели и общая характеристика работы.

Глава 1. Модель двухкомпонентной пористой среды.

1.1. Основные соотношения, определяющие динамическое поведение двухкомпонентных пористых сред.

1.2. Основные краевые задачи динамики двухкомпонентных пористых сред.

Глава 2. Колебания плоского двухкомпонентного элемента.

2.1. Общая постановка уравнений колебания двухкомпонентного плоского элемента.

2.2. Уравнения продольного колебания двухкомпонентного плоского элемента.

2.3. Постановка краевых задач.

2.4. Уравнения поперечного колебания двухкомпонентного плоского элемента.

Выводы.

Глава 3. Прикладные задачи колебания.

3.1. Продольный удар по торцу двухкомпонентного плоского элемента.

3.2. Собственные поперечные колебания двухкомпонентного плоского элемента, шарнирно-опертого по краям.

3.3. Численный анализ полученных результатов.

Выводы

Многие актуальные научные и технические проблемы связаны с исследованием колебательных процессов и распространением волн в сплошных средах. Изучение их составляет предмет общей теории колебаний и теории волн, получивших в настоящее время широкое развитие.

Использование результатов данных исследований приносит огромную пользу при рассмотрении стационарных, нестационарных колебательных и волновых процессов в таких разделах науки, как механика деформируемых твердых тел, геофизика, гидродинамика. Однако в каждом из этих разделов науки возникает ряд вопросов, связанных с реакцией среды на внешние воздействия, способами возбуждения движений, кинематическими характеристиками волн, геометрией тел и т.д., решение которых имеет широкое прикладное значение и достигается при помощи своих типичных для данной области методов. Кроме того, все встречающиеся в природе реальные среды по характеру распространения в них упругих волн разделяются на идеально упругие и дифференциально упругие. К первой группе относятся среды, практически состоящие только из одинаковых зерен, связь между ними совершенная, упругие свойства их близки друг к другу. Такие среды обычно рассматриваются как идеально упругие однородные среды.

В области механики деформируемого твердого тела получены основополагающие результаты отечественных и зарубежных ученых; свидетельством этому являются опубликованные монографии: Аки К.,

•V

Ричарде П. [1], Бреховский Л.М. [10], Ворович И.И., Бабешко В.А. [15], Галин Л.А. [16], Горшков А.Г., Григолюк Э.И. [17], Гузь А.Н., Кубенко В.Д. [20], Зоммерфельд А. [23], Кольский Г. [24], Лямб Г. [30], Ляв А. [31], Морс Ф.М., Фешбах Г. [36], Рахматулин Х.А. [50, 51], Снеддон И. [57, 58], Филиппов И.Г. , Егорычев O.A. [21, 66, 68], Франк Ф., Мизес Р. [71], Харкевич A.A. [74], Шемякин Е.И. [76], Черепанов Г.П. [80], Auld В.А. [82], Graff К.Е. [92], Eving M.W., Jardetzky S.W. [90] и др., а также обзорные статьи Бабича В.М., Молоткова И.А. [4] по математическим методам, применяемым в теории упругих волн.

Дифференциально-упругие среды представляют собой различные сочетания твердых, жидких и газообразных компонентов, например, строительные и звукопоглощающие материалы, грунты, осадочные и горные породы. Многие из них состоят из пористого скелета, заполненного различными наполнителями. Скелет может быть образован из зерен, прижатыми друг к другу под действием веса вышележащих пород. Его также можно рассматривать как непрерывную матрицу, содержащую сообщающиеся между собой поры и каналы, либо массу трещиновых пород.

Результаты исследования динамических задач теории насыщенных пористых сред имеют многочисленные приложения в областях строительства, геофизики и сейсмологии. Направления исследования по динамике насыщенных пористых сред весьма разнообразны.

Обширные теоретические, экспериментальные и прикладные исследования в данной области механики деформируемого твердого тела все еще далеки от возникающих проблем и методов их исследований.

К таким проблемам принадлежат задачи о колебаниях двухкомпонентных плоских элементов различных конструкций и сооружений - пластин, стержней - с учетом сложных механических и других свойств материала конструкций, температуры, слоистости, переменности толщины и других факторов.

При решении данного класса задач применяют приближенные уравнения колебания, получаемые на основе различных гипотез и предположений механического и геометрического характера, упрощающих решения данного рода задач. Однако, многие приближенные уравнения колебания, граничные и начальные условия не вполне обоснованы и не всегда адекватны принятой модели описывают волновой и колебательный процесс нестационарного деформирования двухкомпонентных плоских элементов конструкций и сооружений.

Основная цель исследований сводится к замене пространственных задач теории упругости к двумерной или одномерной задачам.

Цель данной работы заключается в выводе общих уравнений продольных и поперечных колебаний двухкомпонентного пористого плоского элемента как трехмерного тела в точной постановке трехмерной математической задаче.

Основное внимание уделено выводу уравнений колебания, получению зависимостей величин перемещений и напряжений в точках двухкомпонентного пористого плоского элемента с помощью потенциалов, позволяющих более просто формулировать краевые задачи.

В настоящее время ускоренное развитие ряда отраслей науки, техники и строительства поставили перед прикладной механикой, математикой и физикой в качестве одной из важнейших проблем исследования волновых процессов в насыщенных пористых средах.

В связи с этим математическое исследование стационарных и нестационарных динамических процессов, происходящих в насыщенных пористых телах, связанные с распространением волн и колебаний на основе теории двухкомпонентной среды, являлись и являются актуальной задачей механики деформируемого твердого тела, представляющие большой теоретический и практический интерес. Актуальность её обусловлена повседневными запросами инженерной науки и практики (зданий и сооружений, строительством гидротехнических и энергетических сооружений, дамб, плотин и др.) и необходимостью дальнейшего развития общей теории двухкомпонентных сред, включающей в себя вопросы построения физико-математических моделей, определение области применения и оценку области применяемости теории, обоснования аналитических и численных методов решения, дающие достоверные результаты при решении краевых задач. Кроме того, все динамические явления, возникающие в сплошных средах, описываются, как правило, системами дифференциальных уравнений в частных производных; более того, решение краевых задач динамики насыщенных пористых сред в различной постановке, сопряжено со

-V значительными математическими трудностями. В связи с этим разработка аналитических методов решения одномерных, плоских и пространственных задач динамической теории упругости двухкомпонентных сред имеет теоретическое и практическое значение. Еще одна из основных особенностей двухкомпонентных сред (первая компонента - упругий скелет, вторая - жидкая компонента) состоит в том, что каждая элементарная компонента представляет собой конгломерат частиц, резко отличающихся по физико-механическим и тепловым характеристикам. Естественно, это существенно влияет на процессы деформирования скелета, а также на динамические процессы, происходящие в нем.

Теоретические модели многокомпонентных сред разработаны и развиты многими отечественными и зарубежными учеными: Био М.А. [6-9], Григорян С.С.[18], Грин А.Е., Нахди П.М.[19], Косачевский Л.Я.[25], Лейбензон A.C. [28], Нигматуллин Р.Н. [39], Николаевский В.Н. [41, 42], Рахматулин Х.А.[50, 51], Филиппов И.Г. [64, 65, 67, 69], Флорин В.А. [70], Френкель Я.И. [72], Хорошун Л.П. [75], Эйслер Л.А. [81], Derski W. [89], Men Fu-Hu [95] и др. Особенно большой вклад в теорию двухкомпонентных сред внесли Био М.А. [6-9], Григорян С.С. [18], Косачевский Л.Я. [25], Николаевский В.Н.[41, 42], Рахматулин Х.А.[50, 51], Филиппов И.Г. [64-69],

Френкель Я.И. [72], Хорошун Л.П. [75], Berryman G.G. [83], Bourbie Т. [86], Bowen R.M. [87], Deresiewicz Н. [88], Derski W. [89], Fatt J. [91], Kowalcki S.J. [94], Ignachak J. [93] и др.

Теоретические и экспериментальные исследования в области динамики элементов конструкций и сооружений связаны с работами таких исследователей, как Ахенбах Д.Ж. [2], Болотин В.В. и его ученики [11], Бреховских Л.М. [10], Варданян Г.С. [12], Власов Б.Ф. [13], Власов В.З. [14], Григолюк Э.И. [17], Гузь А.Н. и Кубенко В.Д. [20], Коренев Б.Г. [26], Леонтьев H.H. [29], Метод фотоупругости (под редакцией Хесина Г.Л.) [34], Петрашень Г.И. и др. [46], Тимошенко С.П. [60], Уфлянд Я.С. [63], Филиппов И.Г. [64-69] и многие другие.

Данная диссертационная работа посвящена математической постановке краевых задач колебания плоских двухкомпонентных элементов конструкций и сооружений на основе линейной теории двухкомпонентной упругой среды; разработке методов решения класса задач колебания двухкомпонентных плоских элементов конструкций, таких как пластинка; решению частных задач, имеющих прикладное значение во многих областях современной техники, строительстве и других науках.

Поставленная в диссертационной работе задача основана на: ■ построении общих решений трехмерных уравнений теории упругости двухкомпонентной среды; изучении общих решений для построения строго обоснованных приближенных теорий колебания указанных выше двухкомпонентных плоских элементов конструкций и сооружений при физически обоснованных предположениях и ограничениях.

Полученные теоретические и прикладные результаты позволяют решать класс практических задач колебания.

Научная новизна представленных в диссертационной работе результатов заключается в следующем.

1. Выведены общие и основанные на них приближенные уравнения колебаний двухкомпонентных плоских элементов конструкций и сооружений.

2. Получены зависимости всех перемещений и напряжений в любой точке исследуемых элементов от искомых функций, позволяющие обоснованно формулировать краевые задачи колебания и напряженно-деформированное состояние элемента в любой момент времени.

3. Разработаны теоретические методы исследования класса задач колебания двухкомпонентных плоских элементов конструкций и сооружений.

4. Решен класс задач по расчету частот собственных колебаний двухкомпонентных плоских элементов, при различных условиях состояния границ элементов как при продольных, так и поперечных колебаниях.

Научное значение исследований, приведенных в диссертации, состоит в развитии теории колебаний двухкомпонентных плоских элементов.

Практическое значение приведенных в диссертации исследований связано с возможностью применения разработанных общих и приближенных теорий колебания к актуальным прикладным задачам, уточнению существующих приближенных теорий колебания для более точного расчета колебаний указанных выше элементов при нестационарных внешних воздействиях, расчета их напряженно-деформированного состояния и т.д.

Достоверность положений и выводов диссертационной работы детально обоснованы. Основные представленные в ней результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов к рассматриваемым проблемам, сформулированных в точной трехмерной постановке теории упругости. Достоверность общих и осшванных на них уточненных теорий колебаний и решений частных задач подтверждается строгой математической постановкой проблем, проверкой и сопоставлением, в частности с классическими теориями колебаний.

Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы, трех глав, заключения и списка литературы.

Выводы

I. Используемый математический подход позволяет получать общие уравнения продольных и поперечных колебаний плоского двухкомпонентного элемента. П. Из полученных общих уравнений продольных и поперечных колебаний двухкомпонентного плоского элемента можно выводить приближенные уравнения колебаний любого конечного порядка по производным от искомых функций.

П1. Этот подход позволяет получать формулы для расчета перемещений и напряжений, описывающих напряженно-деформированное состояние точек двухкомпонентного плоского элемента, ограничиваясь в них любым числом слагаемых в зависимости от искомых функций, независимо от вида приближенных уравнений колебания. IV. Сформулированы краевые задачи продольного колебания двухкомпонентного плоского элемента.

73

V. Приближенные уравнения продольного колебания двухкомпонентного плоского элемента получены двух видов, позволяющие решать различные прикладные задачи, которые используются в третьей главе.

Глава 3. Прикладные задачи колебания

В данной главе исследуются прикладные задачи колебания плоского двухкомпонентного элемента: продольный удар по торцу плоского элемента и собственные поперечные колебания плоского элемента.

Приводятся аналитические решения задач и численный анализ полученных результатов.

Приводятся таблицы и графики, описывающие физические характеристики двухкомпонентного плоского элемента и кривые изменения скоростей продольных волн и частоты собственных колебаний в зависимости от характеристик двухкомпонентного элемента.

3.1. Продольный удар по торцу двухкомпонентного плоского элемента

Рассмотрим полубесконечный (х > 0) двухкомпонентный плоский элемент, по торцу которого (х = 0) в момент 1 = 0 прикладывается нормальное усилие интенсивности (рис. 2).

Задача сводится к решению уравнений (2.2.24.) или (2.2.26.) тт (1) г/(2) относительно продольных смещении и ,и при граничных условиях:

- (3.1.1.) и{1\и{2) \<аэ (х —> со)

При нулевых начальных условиях: т д\] (1) т дЪ (2) и = 11 (2) = (/ = 0) (3.1.2.)

Для определения скоростей распространения волн сжатия в полубесконечном двухкомпонентном плоском элементе решение уравнения (2.2.24.) будем искать в виде:

17« (3.1.3.) с

Подставляя выражение (3.1.3.) в уравнение (2.2.24.) для определения скоростей с , получаем уравнение:

4 Л 2 В . с = ° (3.1.4.) где А, В, С равны (2.2.25.).

Из уравнения (3.1.4.) получаем две скорости распространения волны

- ¡А+ К в

С*'2 ~ У 2С * 4С2 С (ЗЛ-5-}

Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнениями (2.2.26.), которые эквивалентны уравнению (2.2.24.).

По найденным скоростям распространения волн (3.1.5.), решение уравнений (2.2.26.) будем искать в виде: сх сг

3.1.6.) где б> =~ С1+Огс2 (1 = 1>2)> <ЗЛ-7') а величины А11>В1,С1,В1 равны (2.2.27.), при этом учитывалось, что отраженные волны отсутствуют.

Подставляя выражения (3.1.6.) в уравнение (2.2.26.) для определения неизвестных функций и , получаем систему уравнений: +-К ]г} +[ -дх К = -а-*0)А>/(О

3.1.8.)

Гз+[ -ел'+—ел >'< = -^сА/со

С1 С2 С2 где Д) равен (2.2.8.). Ь-2(Г1-Гг){ 4 Аь2-&+га2-т2 2 +м<*2г +пп(<*222) ] } т2-т1 -ч2) 1 ь"2(п-Г2){ й М2-ч2)+т2-т2 М -ргл -Ч2) ]} т*=Ат2-ж2Щ2-ч2)]

Решение системы (3.1.8.) относительно неизвестных ^ и имеет вид: Рр/т { - [ (1 -К,)ТЛ- К0Т2 ]е2 + [ КЛ - (1 - К0)Т3 ] }

3.1.9.)

Рх та-вдха- а>

РЛОс2{ [ (1 -К0)Т4-К0Т2 ]а -[ К,ТХ -(1 -К,)ТЪ ]} ад-г^ха-а)

Проинтегрировав выражения (3.1.9.) по времени 1 и заменяя величину 1 х х на величины ~ , ~ ) соответственно, для искомых функций

С\ С2 и г 2 получаем выражения: Х т, \ 4 Ч д-ад-вд Ы вд-д-зд 1} з

1( V" та-здха-О)

3.1.10.) х с2 та-щха -ш о

Подставляя выражения (3.1.10.) в формулы (З.1.6.), получаем решение задачи.

Выражения (3.1.6.) определяют главные перемещения и и(2), а х выражения (3.1.9.) после замены времени 1 на величины ~~ , сг , соответственно, определяют величины напряжений вдоль С2 срединной плоскости двухкомпонентного плоского элемента с течением времени.

3.2. Собственные поперечные колебания двухкомпонентного плоского элемента, шарнирно-опертого по краям

Рассмотрим двухкомпонентный плоский элемент, имеющий размеры (0 < х < I— со < у < +оо), шарнирно-закрепленный по краям (х = 0; /) .

Решается задача о вычислении частот собственных колебаний шарнирно-опертой пластинки на основе приближенного уравнения четвертого порядка, полученного в параграфе 4 второй главы (2.4.8.), т.е. дгТ¥ к2 г ^ л при граничных условиях = = 0 (х = 0,х=1) (3.2.2.)

Начальные условия в данной задаче отсутствуют. Решение задачи (3.2.1.), (3.2.2.) ищем в виде:

Ь кпх

Г = ехр(/*£—8Ш(—-) (3.2.3.) при этом граничные условия (3.2.2.) удовлетворяются автоматически.

Подставляя решение (3.2.3.) в уравнение (З.2.1.), для частоты ^ получаем биквадратное уравнение.

Ь4 . г б2 Ъг т ~ л.* . яп л М г о о да , 1 , w* ^ п

M^+M^i-J? ]f + M2(TyT=0 (3.2.4.)

Формула (3.2.4.) определяет две частоты собственных колебаний двухкомпонентного плоского элемента, т.е.

Й.2 = (3.2.5.) где ^ и 4 равны:

Г М16 , I г яги

J' Lz = ~Djri~T) ^

Постоянные М15М2,М3,М4,1>5Л5/5й определяют зависимости частот <¡¡1 и 2 от механических характеристик двухкомпонентного плоского элемента, его геометрических размеров и гармоник колебания (п). Примечание.

Так как скелет двухкомпонентного плоского элемента считается изотропным, то вместо уравнения (3.2.1.) можно применять приближенные уравнения: йгШ и1 м, +— [ М^Ш - Мъ + — ] = о (3.2.7.) обобщенное для плоского элемента в трехмерном пространстве, при этом граничные условия принимают вид: д

Ж = -^-2-= 0 (* = 0,х = о дх

3.2.8.) у = 0,у = /0)

Для обобщенного уравнения (3.2.7.) решение задачи для шарнирно-опертого прямоугольного двухкомпонентного плоского элемента можно искать в виде: гтл •А чА ггг . ппх . яту и=1 Я| = 1 1 10

Основной характеристикой зависимости частот и от геометрических, механических и гармоник (п, ш) является безразмерная величина

В данном случае 7 зависит от гармоник £ и ш ъ направлениях колебания элемента X и У.

3.3. Численный анализ полученных результатов

Для анализа полученных результатов по продольному и поперечному колебанию плоского элемента необходимы механические характеристики двухкомпонентной пористой среды.

Механические характеристики двухкомпонентной пористой среды, насыщенной жидкой компонентой, исследовались экспериментально многими учеными.

Заключение

Представленные в диссертационной работе результаты сводятся к следующим.

1. Развитие аналитических методов исследования колебания плоских элементов типа пластин, материал которых является двухкомпонентной средой, состоящей из твердого пористого скелета и жидкого наполнителя.

Изложенный подход к исследованию колебаний двухкомпонентного плоского элемента основан на решении задачи Коши на основе трехмерной теории М.А.Био с применением математических методов интегральных преобразований Фурье по координатам х, у и Лапласа по времени 1

Получены общие решения задачи Коши через произвольные функции, описывающие напряженно-деформированное состояние точек срединной плоскости двухкомпонентного плоского элемента.

2. На основе общего решения задачи Коши получены общие и основанные на них приближенные уравнения продольного и поперечного колебаний двухкомпонентного плоского элемента.

Математически обоснованы некоторые виды закрепления для ограниченного в плане плоского элемента.

Сформулированы основные краевые задачи колебания плоского элемента.

1. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. М.: Мир, 1983. - Т.1.2. -С.880.

2. Ахенбах Дж., Кешава С., Херрман Г. Движущая нагрузка, приложенная к пластинке на упругом полупространстве. Прикладная механика, сер. Е, № 4,1967.-С. 158-164.

3. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. -С.254.

4. Бабич В.М., Молотков И.А. Математические методы в теории упругих волн//Механика деформируемого твердого тела. Итоги науки и техники. -М.: ВИНИТИ АН СССР, 1977. Т.10. - С.5-62.

5. Бейтман Г., Эрдей А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1969. - Т.1. - - С.318.

6. Био М.А. Теория упругости и консолидации анизотропной пористой среды//Механика, сб. Пер. И обзор иностр. Пер. литературы. М.: ИЛ -1959. - № I. - С.140-146.

7. Био М.А. Механика деформирования и распространения акустических волн в пористой среде//Механика, сб. Пер. И обзор иностр. Литературы. -М.: ИЛ -1963. № 6. - С.103-134.

8. Био М.А. Обобщенная теория распространения волн в диссипативных пористых средах//Механика, сб. пер. и обзор иностр. Литературы. М.: ИЛ -1963. -№ 6. - С.135-155.

9. Био М.А. Теория деформаций пористого вязкоупругого анизотропного твердого тела//Механика, сб. Пер. и обзор иностр. Литературы. М.: ИЛ -1957. - № 5. - С.95-111.

10. Бреховский JIM. Волны в слоистых средах. М.: Изд. АН СССР - 1957. -С.502.

11. Болотин В.В. Современные направления в области динамики пластин и оболочек// Теория пластин и оболочек. Киев: Наукова Думка, 1962. -С.16-32.

12. Варданян Г.С. Применение теории подобия и анализа размерностей к моделированию задач механики деформируемого твердого тела. М.: МИСИ, 1980.-С. 104.

13. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок. М.: Изд. АН СССР, 1957. - № 12. - С.57-60.

14. Власов В.З. Избранные труды. М.: Изд. АН СССР, 1962. - Т.1. - С.503-524.

15. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. - С.320.

16. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкости. М.: Наука, 1980.-С.303.

17. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1974. - С.208.

18. Гриднев В.В. Аппроксимация экспериментальных данных рядами Фурье в исследованиях вибрационной техники и колебательных процессов. Сб. Трудов МИСИ им. Куйбышева В.В., № 161, - М.: 1978. - С.120-139.

19. Грин А.Е., Нахди П.М. Смесь упругих сред. В сб.: Проблемы механики твердого деформируемого тела. Л.: Судостроение, 1970. - С.143-148.

20. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наукова Думка., 1978. - С.308.

21. Егорычев O.A., Филиппов И.Г. Математические методы при исследовании колебаний плоских элементов строительныхконструкций//Труды Российско-Польского семинара «Теоретические основы строительства». Варшава. - С.49-55.

22. Звалинский Н.В. и др. Динамика деформируемых твердых тел: Сб. Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1922. - Т.З. - С.291-323.

23. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. М.: ИЛ, 1954. - С.486.

24. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. М.: ИЛ, 1955. - С.282.

25. Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах. ПММ, 1959. Вып. 23, №6. - С.115-122.

26. Коренев Б.Г. Конструкции, лежащие на упругом основании.4//Строительная механика в СССР. М.: Стройиздат, 1967. -С.115-135.

27. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкции со средой. Киев: Наукова думка, 1979. - С. 183.

28. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.: Гостехиздат, 1947. - С.244.

29. Леонтьев H.H. Приложение обобщенного вариационного метода Власова-Конторовича к расчету плит на упругом основании: Сб. Некоторые задачи сопротивления материалов. М.: МИСИ, 1969. - № 3.

30. Лямб Г. Динамическая теория звука. М.: Изд. физ.-мат. Наук, 1960. -С.372.

31. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935. - С.674.

32. Ляховицкий Ф.М., Рапопорт Л.й. Применение теории Френкеля-Био для расчета скоростей и поглощения упругих волн в насыщенных пористых средах// Прикладная геофизика. 1972. - вып. 66. - С.52-64.

33. Мардонов Б. О некоторых одномерных задачах динамики двухкомпонентных сред, насыщенных вязкой жидкостью//Изв. АН Уз.ССР, сер. Техн.наук, 1983. № 1. - С.56-59.

34. Метод фотоупругости//Под ред. Хесина Г.Л. М.: Стройиздат, 1975. -Т.2. - С.367.

35. Михайлов Г.К., Николаевский В.Н. Движение жидкостей и газов в пористых средах.// Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1970. - Т.2. -С.585-648.

36. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: ИЛ, 1960. -Т.2. - С.886.

37. Наримов Ш., Артиков Т.У. Решение динамических задач в двухкомпонентных средах со смешанными граничными условиями. ДАН УзССР, 1976. - № 10. - С.48-51.

38. Наримов Ш. Нестационарные волновые процессы в насыщенных пористых средах. Диссертация на соискание ученой степени доктора ф.-м. наук. Ташкент, 1988; Киев, 1989

39. Нигматуллин Р.И. Методы механики сплошной среды для описания многофазных смесей. ПММ, 1970. - 34, № 6. - С. 1097-1112.

40. Нигматуллин Р.Н. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. - С.336.

41. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Наука, 1984.-С.232.

42. Николаевский В.Н. и др. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. С.335.

43. НовацкийВ. Динамика сооружений. М.: Госстройиздат, 1963. - С.373.

44. Партон В.З. Одна задача консолидации насыщенных жидкостью уплотняемых пористых сред//Инженерный журнал. -1965. Т.5. - Вып.1. -С.176-180.

45. Партон В.З., Кудрявцев В.А. Контактная задача механики деформации пористых вязко-упругих сред: Сб. Проблемы механики твердого деформируемого тела. Л.: Судостроение, 1970. - С.329-339.

46. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем: Сб. Исследования по уругости и пластичности. Л.: Изд. ЛГУ, 1966. -№5. С.3-33.

47. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных групповых средах. Л.: Наука, 1978. -Вып.18. С.1-247.

48. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. - С.328.

49. Пшеничное Г.И. Метод декомпозиции решения уравнения и краевых. -М.: ДАН СССР, 1985. Т.282. - № 4. - С.792-794.

50. Рахматулин Х.А. и др. Волны в двухкомпонентных средах. Ташкент: Фан, 1974. - С.266.

51. Рахматулин Х.А. и др. Распространение волн деформации. Фрунзе: Илим, 1985.-С.148.

52. Рахмонов Т.Г. Об одном представлении решения уравнения Био. ДАН УзССР, 1984. - № 7. - С.22-23.

53. Сагомонян А.Я. Волны напряжения в сплошных средах. М.: Изд. МГУ, 1985. - С.416.

54. Се Ю. Распространение волн в пористой среде, насыщенной жидкостью//Прикладная механика.- Тр. Амер. общ. инж. мех., сер.Е, 1973. -Т.40.-№4.-0.43-49.

55. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред. Усп.мат.наук, 1965. 20. - № 2. - С. 1-126.

56. Слепяп Л.И. Нестационарные волны. Л.: Судостроение, 1972. - С.372.

57. Снеддон И., Берри Д. Классическая теория упругости. М.: Физматгиз, 1961.-С. 253.

58. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955. - С.654.

59. Терцаги К. Теория механики грунтов. Перевод с нем. М.: Госстройиздат, 1961. - С.507.

60. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Изд. физ.-мат. Литературы, 1959. - С.440.

61. Ткалич B.C. Экстремальная модель упругой пористой среды насыщенной жидкостью//Проблемы гидромех. в освоении океана. Материалы 3 Республиканской конференции по прикл.гидромех. 4.2. - Киев, 1984. -С.174-175.

62. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - С.592.

63. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин. ПММ. - Вып. 12. - №3 -1948. - С.287-300.

64. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Неустановившиеся движения сплошных сжимаемых сред. Кишинев: Штитица, 1973.- С.436.

65. Филиппов И.Г. Динамическая теория относительного течения многокомпонентных сред//Прикладная механика, 1971. № 10. - Т.7. -С.92-99.

66. Филиппов И.Г., Егорычев O.A. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и упругих средах. М.: Машиностроение, 1977. -С.303.

67. Филиппов И.Г., Рахматулин Х.А., Саатов Я.У., Артыков Т.У. Волны в двухкомпонентных средах. Узб.ССР, Ташкент: Изд. Фан, 1974. - С. 264.

68. Филиппов И.Г., Егорычев O.A. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение, 1983. - С.272.

69. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебания упругих и вязкоупругих пластин и стержней. Кишинев: ШТИИЦА, 1988. - С.190.

70. Флорин В.А. Основы механики грунтов. T.I. M.-JL: Госстройиздат, 1959.-С.358.

71. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. J1.-M.: 1937. - С.468-617.

72. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве//Изв. АН СССР, сер. географ, и геофиз., 1944. 8. - № 4. - С.133-149.

73. Халикулова М., Нурмухамедов Х.Д. Поверхностные волны в двухкомпонентных средах//В кн.: Новые данные по сейсмологии и сейсмогеологии Узбекистана, Ташкента. Фан, 1974. - С. 130-135.

74. Харкевич A.A. Неустановившиеся волновые процессы. М.-Л.: ГИТГЛ. -С.204.

75. Хорошун Л.П. К теории насыщенных пористых сред. ПМ, 1976. - 12. -№ 12. - С.35-41.

76. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности. Курс лекций. Новосибирск: НГУ, 1968. - С.336.

77. Шукюров Д.Р. К теории колебаний двухкомпонентных плоских элементов/УТруды конференции молодых ученых, аспирантов и докторантов МГСУ. Строительство формирование среды жизнедеятельности. Ч. Ш. - М., 1999. - С.28-29.

78. Шукюров Д.Р. Краевые задачи продольного колебания двухкомпонентной пластинки постоянной толщины. Деп. во ВИНИТИ. -№3113-1399,1999.

79. Шуюоров Д.Р. Краевые задачи поперечного колебюания двухкомпонентной пластинки постоянной толщины. Деп. во ВИНИТИ. № 3114-1399, 1999.

80. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. -С.640.

81. Эйслер Л.А. К вопросу о построении системы уравнений движения водонасыщенного грунта как многокомопнентной среды//Изв. ВИИИГ, 1968.-№86.-С. 236-245.

82. Auld В.A. Acoustic fields and waves in solids. New York, John Wiley and Sons Inc., 1973, 2, 414 p.

83. Berryman G.G. Elastic wave propagation in fluid saturated porous media. G. Acoust. Soc. Amer., 1981, 69, N 2, p. 416-424.

84. Biot M.A., Wills D.G. The elastic coefficient of the theory of consolidation. J. Appl. Mech., 1957,24, N 4, p. 594-601.

85. Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media. J. Appl. Phys., 1962,33, N 4, p. 1482-1498.

86. Bourbie Т., Coussy O., Zinszner B. Acoustique des mileux poreure. Paris: Techniq., 1986, XVI, 339 p.?

87. Bowen P.M. Incompressible porous media models by use the theory mixmures. Int. J. Engng. Sci., 1980,18, p. 1129-1148. ?

88. Deresievicz H. The effect of boundaries on wave propagation in a liquid-filled porous solids: 6. Love waves in a double surface layer. Bull. Seis. Soc. Amer., 1964, 54, N 1, p. 417-423.

89. Derski W. Equations of motion for a fluid-saturated porous solids. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Techn., 1978, 26, N 1, p. 11-16.

90. Eving M.W., Jardetzky S.W., Press F. Elastic waves in layered media. New York, 1957,380 р.103

91. Fatt I. Pore structure in sandstones by compressible sphere-pack models. Bull. Amer. Assoc. Petrol. Geologists, 1958, 42, N 8, p. 1914-1923.

92. Graff K.E. Ware motion in elastic solids. Oxford: Clarendon press, 1975, p. 666-671.

93. Ignachak J. Tensorial equations of motion for motion for a fluid-saturated porous elastic solid. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Tech., 1978, 26, N 8, p. 705-709.

94. Kowalski S.J. Comparison of the Biot equation of motion for a fluid-saturated porous solid with those of Derski. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Tech., 1979, 27, N10-11, p. 455-461.

95. Men Fu-Hu. On wave propagation in fluid-saturated porous media. Soil dun. and Earthquake Eng. Proc. Conf. Southampton 13-15, July, 1982, Rotterdam, 1982,1, p. 225-238.

96. Morland L.M., A simple constitutive theory for a fluid-saturated porous solids. J. Glophys. Res., 1972, p. 890-900.