Колебания оболочек при их вращательном движении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 од 21 m 1993

ШЕВСНИЯ УНИВЕРСИТЕТ ИИЕНИ ТАРАСА ШБЗЧЕННО

На краэах рухаглси

ЛЕБЕДЕМ Ирина Валерьевна

ШБВ«Ш 0Б0Л0ЧЕХ ПРИ I« ВРДЦШЯШШ ДОЕШ

01.02.04

механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата «¡иэмхо-математичесхмх наук

К и в s - 2 9 9 3

Работа выполнена в Киевском университете км. Тараса Шевченко

Научный руководитель: - член-корреспондент All Украины,

• доктор ^иэико-математичесхих наук, профессор УЛИТКО А.<3.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, . профессор КАРНАУХОВ В.Г. кандидат физико-математических каук, дсцент oOP/ICE/JiO В.А.

Ведущая организация - Киевский политехнический институт

ч

Зацита состоится "¿0 " UWUA. 1933 Г. в " ¿5"" часов на заседании специализированного совета К С£8.18.09 в Лиезскоы университете им. Тсраса Иезченко пс адресу: 252 127 г. Киеа-127 , проспект Академика Глуакояа.б.механпко-матемагическиЯ факультет .

С диссертацией монна ознакомиться а библиотеке Киевского университета им. Тараса Севченко.

Автореферат разослан " * JAMiL 1993 г_

Ученик секретаре

специализированного совета кандидат f^y ^¿^КОЗАЛЬЧУК 3.«.

физико-маге:.зтичгоких наук

052ДЛ. ХАРАКТЕР/СГЛКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследования динамики вращаадихся тонко -стенных оболочек интенсивно развиваются с начала 70-х годов. Актуальность этих исследован:!?, обусловлена использованием эффектов, возникающих в колеблющихся оболочках при вращении, при создании ряда новых технических устройств, в то;.: числе, волновых твердотельных гироскопов, волковых двигателей и др. Создание таких уст -ройств сталовозможным благодаря использованию различных пьезохе-раыических материалов, позволяющих возбуждать волновые процессы в оболочках путем специального приложения поверхностных и внутренних сил.

Изучение колебаний вращающихся тонких колец и оболочек яви -лось предметом целого ряда теоретических и экспериментальных ис -следований. В работах В.9.Журавлева и Д.М.Климова, А.Сринизасана и Г.Лаутербаха, Дя.Падоаанна, А.Л.Смирнова и др. излагается результаты анализа движения узлоз стоящих волн во зращаащихся кольцах и цилиндрических оболочках, а такяе обсухсдается вопрос об использовании этого аффекта для создания волковых гироскопов. Экспериментальные данные о явлении прецессии стоячих волн во вращающихся оболочках содержатся в работах У.Скотта, М.Эндо и др., И.В.Батова и др. Менее изучены колебания вращающихся сферических и полусферических оболочек. Эти задачи рассматривались В. 0.¡Куравлевым и Н.Е.Егаршным.

Динамические явления в оболочках, вращающихся с переменной угловой скоростью, изучены мало и представлены очень незначительным числом' работ В.ОЛуравлеза. Исследование переходных процессов в цилиндрических оболочках, обусловленных неравномерностью вращения, представляет собой новуи задачу динамики оболочек.

Целью работы является изучение переходных процессов в тонкой

_ о _

упругой цилиндрической оболочке при ее равноускоренном вращении и анализ расцепления форм колебаний вращавшейся сферической оболочки.

Научная новизна диссертационной работы состоит а построении уравнения движения сферической и цилиндрической оболочек в неинер-циальной системе координат на основании теории упругости при конечных перемещениях Треф^ггца-Гамеля-Каппуса и исследовании динами:«; ускоренно вращающихся оболочек. На защиту выносятся:

-уравнения колебаний вращающихся сферической и цилиндрической оболочек в неинерциальной системе координат и взаимосвязанные с ними уравнения движения Эйлера,

-результаты исследования нормальных мод осескмметричнкх колебаний вращаядейся тонкой сферической оболочки,

-анализ переходных процессов в тонкой цилиндрической оболочке при ее равноускоренном вращении.

~ Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием совре:.!8нньос физически обоснованных математических моделей, применением к решения задач tov-ньк аналитических и математически обоснованных численных методоз, контролем точности выполнения граничных условий в ходе вычислений.

Практическая ценность работы состоит в построении итерационного алгоритма для решения задач данного типа и в применимости подученных результатов для оценок точности гироскопических приборов, использующих в качестве чувствительных элементов врацахздиеся оболочки.

Апробация работы."атедиалн диссертации докладывались и обсузда лмсь:-на конференциях кододых учсшгх Киезского университета ДСиев, 1983, 1239 гг./;

-ira Ш1 Всесоюзной конференции по теории пластик и сболсчеь /Казань, 1990 г./;

-на РеспубликамскоЛ конференции "Динамика твердого тела и ус-тойчизость движения" /Донецк, 1990 г./;

-на научном семинаре "Современные прсблемь; механики" в Киевском университете им. Тараса Пезчекиэ.

Публикации. По материалам диссертации опубликован:,.' 3 работы.

Структура и объем паботи. Диссертационная работа состоит из заезения, трех глаз, заключения, двух приложений, списка литературы я содержит страниц машинописного текста, рисунков. Список литературы состоит из ?? наименований; зсего /42 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ PASCTH

Зо введении приведен обзор и анализ работ по исследования динамики зрацагсчихся оболочек в инерциальных и неинс^циальных системах координат, сформулирована цель работы и изложено ее краткое содержание по глаза:.:.

3 пеэзоЗ главе диссергации построены уравнения движения вращающихся тонких сферической и цилиндрической оболочек как модификация общие уравнения A.C. Улитко применительно к рассматриваемому случаю, определены дзе основные задачи динамики оболочки в неинер-циальной системе координат.

Для описания пространственного движения деформируемых упругих тел использовалась теория упругости при конечных перемещениях Треф^ца-Гамеля-Каппуса. 3 соответствии с этой теорией уравнения колебаний вращавшихся тонкой пьезонерамической сферической оболочки радиуса а , толщины к , плотности уз относительно компонент и , V , w вектора упругих перемещений « представляются в виде

яъп

+ О *(12хй) + (Д* ¡Г)] ; (I)

+ * ТЯГ) +(/♦*)- -^^ё .Г

+ + ¿Г*(я* и) +

(1 - + - 2(1 +М)ас/3, Е, -

Здесь 1> - зестхость оболочки при изгибе, - нееткость' при растяжении, 1) = 23 /Ь^ , £„ - напряженность электрического поля вдоль оси 02 .

Уравнения колебаний вращающейся цилиндрической оболочки радиуса о , толцкни А , плотности ^о а подвижной системе координат на основании теории упругости при конечных перемещениях записываются следующим образом

1-0 ь^и . _ 1 + * г>У "ЪУГ а ъ^ + — ^ +

♦ «.о,{а,и),(О, и)];

.а эУ ъ°у ъуг

У I

+ 11Г 75Л* эТ^ 4 2 + ^ У^Г ; а

Уравнения. (I) я (2) дополняется ве::торнь;.: уравнением Эйлера относительно проекций р , , /■ вектора мгновенной угловой скорости ' 1 О вра-дония неинэрциальной системы координат на орты г , 3 , к подви.-даых осей. Уравнение Эйлера определяет движение неинер-циальнсй сиотеж координат и представляется в виге

-</■«-/»*)£} + А { (3)

«ел (V.)

Здесь компоненты тензора инерции вычисляются по формулам типа

га

- б -

а Л(0 , ®(0 л /СО определится выражениями вида

¿СО - ^^ + (5)

В (3), (4), (о) заедена следующие обозначения:

и • + - век'.ор смещения, учитывавший отклонения то-

чек серздикной поверхности деформируемой оболочки от тех положений, которые имели бы эти точки з абсолютно тэердой оболочке;

Г« ¿о+ _ радиус-зектор в подвязкой системе коорди-

нат той точ;;и, которая имеет те же координаты ос , у. , 2 з подзия-нкх осях, что и вобранная точка з начальном неподвижном базисе; Т~п - вектор напряжения внеаних поверхностных сил в расчете на единицу площади первоначальной поверхности ; Р - объемные силът, определяете по элемента:.: начального обьема%.

Приведенное уравнение ЗЯлера (3) достроено на основании теорем о движении центра масс к об изменении момента количества движения для деформируемое оболочек.

В общем случае уразнения упругих колебаний оболочек в неинер-циалько;; системе координат и уравнение Эйлера, описызаящее движение этой системы, взаимосвязаны. Их совместное решение представляет трудную математическую задачу, поскольку в начальные моменты времени угловая скорость вращения определяется сложными законами формирования волнового поля в оболочкз.

Во второй глазе рассмотрены собственные колебания равномерно вращающейся тонкой пьезокерамнческсй сферической оболочки. Для исследования этой задачи использовался метод собственных векторных функции для упругой сферы, берущий свое начало в работах Ламе. В соответствии с этим методом решение уравнений (I) дздасенин упругой сферичэокоГ) оболочки представляется в виде суперпозиции нормальных мод колебаний

«•ЕЁ [«?£?«*>*V* «♦

♦ »г™ •)].<■".

-с« ,7^)

Здесь Lft , Я п к М п - векторные гармоники:

Т(М - -гТ^ л- лл

Ьп—егЗп> М л*г.гоХ\ъг&л ] О)

г*)

л - ортснсрмирозаннке функции Лапласа, ^ - частота норма-

льной моды. Амплитудные функцииУл ^определяются из

бесконечной цепочки линейных алгебраических уравнений, получаемых в результате подстановки представления (о) а систему (I) . Птазыа части этих уравнение содержит слагаема с и , ,

„г1*) „/*> " /гч

"п-1 и "л*1 • К0"°РКЦ зозникают в связи с наличием з (I) членов, описывающих влияние сил Кзриолиса на колебания сферической оболочки при ее ргьномернгм эрацении. Это свидетельствует о том, что следствием такого вращения является расщепление нормальной мода колебаний, искажение ее формы из-за появления в дзикении соседних мод колебаний.

Для частного случая /чисто радиальные колебания сферической оболочки: п = = О/ в результате решения бесконечной системы алгебраических уравнений установлено, что следствием равномерного вращения сферической оболочки является возникновение побочного движения - крутильных колебаний. При этом амплитуды основного и побочного движений и соответственно пропорциональны с коэффициентом порядка е. - отношения скорости вращения оболочки к частоте чисто радиальных колебаний при отсутствии вращения. Результатом вращения является также возрастание частоты радиальных колебаний в зависимости от отношения О/с, по закону

* |/ ЗО-^с» (5)

Третля глава содержт постановку и редение задач о колебаниях тонких упругих цилиндрических оболочек конечной и бесконечной длины, вращающихся равноускоренно.

В первой задаче исследуются переходные процессы в цилиндрической оболочке длины ■{ , вращающейся под действием приложенного к ее нижнему торцу постоянного момента 2т.Ь.а'г. 3 безразмерных обозначениях « = и/а , 7= у/в , V/ - V//а , ?=»/< , т = Ге/* /черточка в последующих выкладках опускается/ зта задача свелась к рассмотрении уравнений

•Ъ^У. у I ЪУГ ц сга а'ц

которые описывают продольные, окружные и радиальные смещения точек серединной поверхности оболочки в неинерциальной системе координат, а также движение последней. Здесь и далее точкой обозначается обыкновенная производная по безразмерна времени Т .

Система (9) резалась методом последовательных приближений. В первом приближении безразмерное угловое уск::рг.:<чэ оболочки, найде-

иное из последнего уравнения, представляется зкраяением в = << = т1х ¡аб , а ресения уравнений (9,а) имеют следующий вид

V • - £ сош^еешЬ** _ ¿1 . (1о)

А-« (-Ь^гЛ I Л

и • ** £

Г.7 2

(О . С) , , С»)

Ь¿¿з Л» Г + У/бгЛа со^Хь Т

*[«*■)•-с»-О*]

+ Е^со* {гжТ + С^Тагп кжТ + ""а0 | 51«- Атгг ; „ ( .(О ,(.) „(в) «) {О

IV = £ 4 ЛА 7 + Л* Т + совЛ сТ +

А.» 1

♦ с^г^п ¿гТ ♦ и;10 }«>.*«* - (££Я.)*

(II)

/ \ / \ 1<0

3 реаекиях (II), (12) частоты Л к и А^ определяется по формулам

<0,<а>

(13)

а постоянные интегрирования , находятся из начальных

условия, соответствующих состоянию покоя в момент начала движения .

Проведен численный анализ аналитических реяений (1С)-(12), нормированных на величину я 7для значений параметров •) =0,31 , « = 5-10"3к, I = 2-Ю"2!.!, Ь = э-Ю^м, р = 7,5-Ю3 кг/м3, £ = = 13,9-Ю10 Нм, = 5-Ю ~12, з = 1/2..-Количество членов в рядах (10)-(12) при расчетах равнялась 20. Ка основании этого анализа ус-

-0.07

Рис.1

-0.25)0

тановлен ряд интересных свойств колебательного движения цилиндрической оболочки конечной длины, зра^аадейся равноускоренно. Так,

показано, что имеет место ее квазистатическое деформирование,обусловленное возрастающим значениями сил инерции при разгоне,а также колебания оболочки в окрестностях кпазистатического деформированного состояния. 'Крутильные колебания осуществляются около положения равновесия статически закрученной вдоль оси оболочки /V изменяется по параболическому закону/. -Во всех сечениях крутильные колебли;:,; представляются бегущими волнами с конечными .лачками скоростей и напряжений на фронтах волн. Амплитуды крутильных колебаний с точностью до малых второго порядка остаются постоянными и пропорциональными угловому ускорению /рис Л/.

Исходя йз рис.2 отмечено,что радиальное колебания цилиндрической оболочки происходят около квазистатического положения равновесия, обусловленного ее радиальным деформированием увеличивающимися центробежными силами. Амплитуды радиальных колебаний при разгоне секулярмо возрзс.'ают во времени. Амплитуды продольных колебаний,

Рий.2

и

2-10-« о

л

Г

V \1 и ,

з 4

Рис.3

А Т

как следует из рнс.З, также возрастают; они на несколько порядков меньше амплитуд радиальных колебаний. Наибольшими же з начальные моменты времени являются амплитуды крутильных колебаний. Для больших временных интервалов амплитуды всех трех составлявших вектора упругих смещений могут стать соизмеримыми.

Построенное в диссертации второе приближение для окружных смешений отличается от перзого приближения (10) членами второго порядка малости.

Во второй задаче рассматривается бесконечно длинная цилиндрическая оболочка, соварааючая колебания на второй окружной нормальной моде по закону

V* , У/*&соьЯч>с.ово>Т (14)

и приводящаяся в равноускоренное зрачение равномерно распределенными по ее поверхности касательными силами Т . 3 этом случае движение оболочки описывается следующими безразмерными уравнениями

- ш* + , 2о<- т. .¿ч

Ъ*3 Ъч> ЭГ2 ' ЪТ (15,а)

$ ЭГа ' ът '

Ы - 2 « +

эг Вт» «х«^ а

(15,б)

Здесь введены обозначения

* а ' а ' « ' С 12а*'

Начальные условия в этой задаче соответствуют колебания:.! цилиндрической оболочки по зяксну (14) в момент качала вращения:

y! 'Asin2f, «Seos2ч».

I r«o ' Ir.o *

ЭУ

-2SI .o (17,a)

r.o 2>7-¡

r.o

Система (15)решается методом последовательных приближений. В первом приближении безразмерное ускорение вращения бесконечно длинней цилиндрической сб:лочхн, найденное из уравнения (15,6), представляется выражением £=«*' = а.-х^г ¡НО- .С учетом этого общее резе.чие граничной задачи (15,з), (17,а) ищется в виде

4 /VI

V(vtT)-ú(cü)S>stn2vcosetíT* Y,(r)&in2¥+ yaCr)cos2У + у (Т)

4 ft/S

•уу(ч>,Г) = &cos2«?cosu>r + wt(T)co$,2<e + У/Л(т)ь<п2*? + W (т>.

(18)

Частные решения Y(®(T) и уравнений (15,а), соответствующие

слагаемым, не содержащим sinS<r и cosav после подстановки в эти уравнения сураясеняЗ (1S) , представляются степенными рядами. Коэффициенты 3t;íx рлдоз определяются с помещьэ рекуррентных формул •

Нахоаденис функций VtCT) , V^O") и KJfT) , W¿(T) g представлениях (ID) сведено к интегрированию следующих уравнений ■

% ♦(4-«аТа)у< -£(агууа *W2)-2W¡ aeara4fa>)Ocosü>r

* e.T'ñcoefJT » -1&(üf)&(c,osu>T- sTsineor)

Ка основания построенных численно методом Рунге-Кутта решения систем(19)функции Г,(Г)б{п2Ч + и Щ(Т)сос2^ + ♦ с достаточной степенью точности могут быть аппроксимированы функциям 1£Тас ояЗ*кьпи)Т и К«¿пс«»Т соответственно. Таким образом, общее репение (18) представимо в виде

У(У,Т)- [л(ы)в - у;та]в!л 2гев» о>Г + уфТ"г*1п(шГ+ 2 V) +

С20)

Т) -[а - и; Т а ]со« Зусос ш7" + И^Т^сов (соТ- 2<т) +у/Ч>(Т)

Из выражения (20) следует, что в результате возь^ущений, обусловленное равноускоренным вращательным движением, стоячая изгибная волна, возбужденная а бесконечно длинной цилиндричесхо!! оболочке до вращения, трансформируется в суперпозиция стоячей волны с убывающей амплитудой и прямой бегущей волга с амплитудой,возрастающей по квадратичному закону. Аналогичное явление имеет место и для стоячей крутильной волны с одной лишь разницей, что возникающая вследствие вращения бегущая волна является обратной. Частоты всех опи-сг.нннх вьие золн одинаковы и совпадает с частотой исходных стоячих

ВОЧН.

3 заключении сформулированы основные результаты диссертации :

I. На основании общих уравнений пространственного движения упругих тел выведены уравнения колебаний тонкостенных сферических и цилиндрических оболочек с учетом их вращательного движения. Установлено, что при неравномерном вращении оболочек уравнения колебаний и уравнения вращательного движения Эйлера являются взаимосвязанными. Раскрыт смысл понятия угловой скорости вращения для тех начальных моментов времени, когда волновое поле образуется линь в части объема оболочки, и вращательное дэикение ее как единого целого еще отсутствует.

2. С использованием метода собственных векторных функций изучено явление расщепления нормальных мод колебаний тонкостенной сферической оболочки при ее разномерном вращательном движении. Найдено, что имеет место не только расцепление, но и трансформация различных, независимых в кеподаипсноУ. оболочке, типов колебания. Проведен анализ трансформации чисто радиальных колебаний з крутильные колебания сферической оболочки.

3. Изучена задача с равноускоренном вращательном движении цилиндрической оболочки конечной длины при нагруяекии постоянна:.: крутящим моментом ка нижнем торце. По методу псследозательни": при-блиягкг.Я вычислена статическая крутильная деформация и волновое поле в оболочке. Установлен закон изменения прогибов ободочки для различдах сечений с течением времен:!. Наряду с квазистатическсй составляющей прогибов имеат,место их зкачягедьнь'о оскиляцил с частотой, соотззтстзуэдей первой частоте собственных крутйльньгх колебаний. Показано, что крутилэкка волны и радиальмыа осцилляции приводят к нерегулярности вращательного дзгсхзния оболочки.

4. Как обобщение исзестной задачи Брайана рассмотрено равноускоренное зрадательное движение цилиндрической оболочки, колеблющейся на второй скру;:{ной иорулдьной моде. Решение построено численным методом Рукге-Кутта четвертого порядка. Частное реаение для центробежных сил найдено с виде степенных рядов. Анализировались дза случая равноускоренного вращения оболочки — для относительно малых и больших угловых ускорения. Найдена, что для малых ускорений колебательный процесс оболочки в начальные моменты времени можно представить суперпозицией стоячей волны с медленно убывающей амплитудой и бегущей водны г. нараста-ацзй амплитудой. С течением времени радиальные перемещения точек оболочка от центральных сил становятся столь значительными, что колебательными дааненияш практически кегкно пренебречь. Для больпи:; ускорений уяо с начальных

моментов времени амплитуды колебаний пренебрежимо малы по сравнении с перемещениями от центробежных сил.

Э приложениях I. 2 приведены соответственно программа построения графиков ка основании имеющихся аналитических репеки.*!,программа численного рещекия системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка, а также графики зависимостей безразмерных компонент вектора упругих смещений цилиндрической оболочки от безразмерного времени.

Основные результаты работы отражены з следующих публикациях:

1. Лебедева И.З., Пятецкий З.А., Улитко А.О. Расздепленпг нормальных мод колебаний тонкостенной пьезокеранической оболочки при ее вращательном движении. -В кн.: Тр. ХУП Всесовзн. конференции по теории пластин и оболочек /Казань, 1990 г./ - Казань ,

' 1320, т.2

2. Лебедева '/.В. Собстзеьные колебания вращакцейся пьезокерамиче-ексЛ сферической оболочки. -3 сб.:Динамика тзердого тела и устойчивость двияен;м. Тезисы докладов республиканской конференции. -Донецк, 19Э0, с.55.

3. Улитко А.5., Лебедева Н.Э. Колебательные процессы в ускоренно вращающейся тонкой упругой цилиндрической оболочке. -Докл. АН Украины, сер.А, 1932, 1'4„ с.44-48.

Подписано к печати 06.05.93.

Формат ¿0x84/16. Бум..тип. № I.

Офсетная печать. Бесплатно.

Ус.п.л. 1,1. Заказ 7° V

Тир.100 экз.