Колебания жидкости в сосудах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

Глава I. Вариационный подход к построению асимптотики в задачах о колебаниях вязкой жидкости в сосудах, имеющих негладкую форму

§ 1. Построение решения, описывающего колебательное движение вязкой жидкости внутри цилиндрического сосуда.

§ 2. Периодическое движение вязкой несжимаемой жидкости в сосуде прямоугольной формы.

§ 3. Обоснование вариационного подхода к построению асимптотики в задаче о гармонических колебаниях жидкости малой вязкости, имеющей негладкую твердую границу

Глава II. Метод локализации "невязок" и его применение к решению некоторых задач гидроупругости

§ 4. Постановка задачи и вывод граничных условий

§ 5. Построение асимптотики в случае маловязкой жидкости и однородного упругого дна контейнера

§ 6. Построение асимптотики в случае неоднородного упругого дна контейнера.

Глава III. Об устойчивости движения двухслойной маловязкой жидкости в сосуде

§7.0 влиянии упругого дна на колебательное движение вязкой двухслойной жидкости в замкнутом цилиндрическом сосуде

Исследования, посвященные движению жидкости в различных сосудах, были предприняты еще в XIX веке. Из этих ранних работ надо отметить работы Грина [84], где исследовались волны идеальной жидкости в канале с непрерывно меняющимся вдоль длины прямоугольным в плане сечением, колебания жидкости в бассейне круглой и эллипсовидной формы постоянной глубины изучались Пуассоном [90] и Рэлеем [92], Ламбом [86]. Более поздние работы в этом направлении принадлежат Адамару [85], который находил форму поверхности колеблющейся жидкости в сосуде конечного размера, Поклингтопу [91], решившему задачу о волнах, набегающих на берег под углом а к горизонту, Сену [93], Булигану [82].

В работах Грина, Пуассона, Рэлея и Ламба методы решений основываются на гипотезах теории приливов, что позволяет сводить всю задачу к решению дифференциального уравнения в частных производных, где независимой функцией является возвышение свободной поверхности жидкости. Адамар предложил метод сведения задачи к решению некоторого интегро-дифференциального уравнения относительно величины отклонения частицы жидкости от своего первоначального положения. Булиган распространил уравнение Адамара на случай колебаний жидкой сферы. Адамар и Булиган показали, что задача о колебаниях идеальной жидкости в пространстве конечных размеров получает полное решение методами теории интегральных уравнений. Поклингтон нашел решение описанной выше задачи [85], применив метод изображений. Некоторые новые частные решения задачи о колебаниях идеальной жидкости были указаны Сэном. Путь решения, предложенный Сэном, — обратный принятому выше: он задает потенциал скоростей и ищет очертания дна сосуда.

Перечисленные выше ранние работы о колебаниях жидкости в сосуде объединены единым стремлением: попытаться разрешить такого рода задачи в принципе, но тот математический аппарат, который использовали приведенные выше авторы был явно не достаточен. Начало исследований в этом направлении как раз пришлось на момент бурного развития техники, что, естественно, требовало точных математических расчетов. Кроме того, уже тогда человек начал усиленно смотреть в космос и его желание покорить Вселенную требовало новых научных разработок. Поэтому следующим этапом развития теории колебаний жидкости в сосудах явился этап построения различных методов решения такого рода задач, которые диктовались уже самими практическими проблемами.

При решении многих прикладных задач возникает необходимость в исследованиях процессов динамического взаимодействия твердых тел, как недеформируемых, так и упругих, с частично заполняющей их жидкостью. Характерными примерами такого рода задач являются динамические расчеты на прочность, устойчивость и управляемость ракетоносителей и космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями, самолетов и других летательных аппаратов, несущих большие массы жидкого топлива. Изучение ^проблем указанного взаимодействия важно также для динамического расчета резервуаров, предназначенных для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов, математических водонапорных башен, батискафов и т. п.

В преобладающем большинстве случаев при проведении исследований взаимодействия тел с жидкостью используются различные упрощающие гипотезы и допущения, позволяющие получить "удобную" для анализа математическую модель совокупной системы "тело — жидкость". Так, обычно предполагается, что перемещения (деформации) несущего тела (в случае, если оно упругое) являются малыми, вследствие чего становится возможным изучать динамические процессы в нем на базе линейных дифференциальных уравнений движения. Одновременно используется гипотеза малых волновых движений жидкости, контактирующей с несущим объектом. Такой подход позволяет исследовать частотный спектр совокупной оболочечно-жидкостной системы при малых колебаниях, рассмотреть устойчивость движения в "малом", определить формы собственных колебаний свободной поверхности жидкости или несущего тела в случае малых градиентов смещений.

Современное состояние линейной теории взаимодействия тел с заполняющей их жидкостью, имеющей свободную поверхность, изложено во многих обобщающих монографиях советских и зарубежных авторов: H.H. Моисеева и В. В. Румянцева [48], Г. Н. Микишева и Б. И. Рабиновича [49, 50, 67], К. С. Колесникова [29, 30], И. А. Jly-ковского [42], H.A. Луковского, Г. С. Нариманова и Л. В. Докучаева [53], Л. В. Докучаева [24], И. А. Луковского, М.Я. Барняка и А.Н. Комаренко [43], И.М. Рапопорта [68], И. Б. Богоряда, H.A. Дружинина, Г. В. Дружининой, Э. Е. Либина [2, 4], Г. И. Абрам-сона [80]. Эта теория интенсивно разрабатывалась в 50-е годы. Были предложены различные подходы к составлению уравнений движения системы, подробно исследованы принципиальные вопросы, касающиеся разрешимости в математическом аспекте краевых задач гидродинамики в случае как осесимметричных несущих тел, так и полостей произвольной формы. Наиболее широкое распространение при решении динамических задач получили вариационный метод [53], метод продолжения по параметру, метод прямых, конечно-разностный метод, метод конечных элементов и т. д.

Начало теоретическим исследованиям по нелинейной динамике жидкости, частично занимающей цилиндрическую полость тела было положено Булиганом 1912 г. [82], Сретенским JI.H. 1935 г. [73], в 1957 г. Г. С. Наримановым [54, 55]. В этой основополагающей работе впервые была предложена и реализована методика построения уравнений движения жидкости, учитывающих относительно большие деформации свободной поверхности; обоснован метод решения нелинейных краевых задач гидродинамики ограниченного объема жидкости. В соответствии с предложенным подходом искомая возмущенная свободная поверхность жидкости, представляется в виде ряда Фурье по некоторой ортогональной на невозмущеиной свободной поверхности системе функций, образующих базис. Коэффициенты этого ряда, зависящие от времени как от параметра, характеризуют, по существу, отклонение свободной поверхности от невозмущенного состояния. Таким образом, впервые удалось теоретически объяснить некоторые специфические особенности немалых колебаний жидкости, обнаруженные экспериментально Г. Н. Микишевым в 1955 г. [50].

Впоследствии идейные предпосылки подхода Г. С. Нариманова стали широко применяться многими исследователями не только при решении задач нелинейной динамики абсолютно твердых тел, несущих жидкость, но и при анализе колебаний и устойчивости различных упругих тел (оболочек) с жидкостью. Наиболее существенные результаты получены H.H. Моисеевым, В. В. Румянцевым, К. С. Колесниковым, H.A. Луковским, Р.Ф. Ганиевым, JI.B. Докучаевым, В. И. Столбедовым, Абрамсоном, Хаттом, а также Ю.Н. Аносовым, И. Б. Богорядом, Е.Т. Григорьевым, Д. Е. Либиным, О. С. Лимарчен-ко, С. К. Никитиным, М.П. Петренко, В. А. Троценко, Ф. Н. Шкляр-чуком, В. Л. Шмаковым, Бауэром, Додшем, Кана, Чу-Вень-хуа и другими авторами [1, 14, 15, 16, 25, 24, 26, 27, 31, 32, 33, 34, 44, 6, 51, 52, 67, 69, 70, 76, 81, 83, 87, 88]. Систематические обзоры литературных источников по обсуждаемым вопросам представлены в монографиях

24, 42, 53].

Сложность решения нелинейных краевых задач гидродинамики ограниченного объема жидкости со свободной поверхностью общеизвестна: она обусловлена, прежде всего, нелинейностью краевых условий на свободной поверхности. Кроме того, сама свободная поверхность не известна, вследствие чего не известна область определения потенциала скоростей жидкости. К этому следует добавить, что граница указанной области изменяется со временем.

Если же несущий сосуд еще и деформируем, то эти сложности усугубляются. Дело в том, что вывод уравнений движения системы "упругая оболочка — жидкость" неизбежно сопряжен с решением таких сложных вопросов, как выбор и последующее "согласование" системы отсчета, формулировка в аналитическом виде граничных условий. Действительно, математическая модель любой упруго-жидкостной системы должна объединять, с одной стороны, уравнения движения жидкости, записанные в переменных Эйлера, и уравнения деформирования оболочки в переменных Лагранжа — с другой. Возникает, таким образом, задача формулировки условий контакта для переменных, записанных в различных представлениях. Она не вызывает затруднения в случае, если перемещения точек несущей оболочки незначительны, вследствие чего деформированием границ в пространстве можно пренебречь и, таким образом, эйлеровы и лагранжевы координаты можно считать совпадающими. Сложность возникает при наличии конечных прогибов, так как при этом эйлеров способ не позволяет автоматически определять координаты деформируемых границ жидкости (речь идет о границах контакта с оболочкой).

В работах Ш.У. Ганиева, М.А. Ильгамова и других авторов (см. монографию "Нестационарная аэроупругость тонкостенных конструкций" / Под ред. Кармишина. — М.: Машиностроение, 1982. — 240 с.) подробно рассмотрены вопросы постановки нелинейных граничных условий в задачах гидроупругости, обсуждены подходы к решению следующих двух задач, имеющих отношение к рассматриваемой проблеме: 1) определение конфигурации оболочки относительно Эйлеровых координат по известному вектору перемещений; 2) определение давления, действующего в точке оболочки с заданной лагранжевой координатой, если известно поле давления в переменных Эйлера.

Анализ исследований, выполняемых по проблемам динамики твердых и упругих тел, несущих жидкость, показывает, что большинство из них рассмотрено при достаточно упрощающих предположениях относительно характера движения жидкости или деформирования несущего тела. Предполагается, что сосуд совершает однонаправленные поступательные колебания, реализуемые в направлении, перпендикулярном к оси сосуда.

При решении краевых задач, описывающих нелинейные волновые движения жидкости в колеблющемся осесимметричном сосуде, дефор-'мация свободной поверхности £ представляется обычно в виде разложения, использующего классическую схему: функции времени и пространственных координат почленно разделяются оо ¿=1

Здесь — обобщенные координаты: ТЦг, — полная ортогональная система функций, заданная по невозмущенной поверхности жидкости. При таком подходе задача определения параметров £¿(2) связанных систем сводится к построению решений системы нелинейно связанных дифференциальных уравнений.

В недавно опубликованных работах [5, 35] показаны целесообразность и эффективность применения "волновых" координат для анализа взаимодействия упругих оболочек с жидкостью, а также для расчета параметров нелинейных колебательных и волновых движений жидкости в неподвижном сосуде.

Далее приводятся различные подходы, которые позволяют упрощать постановку задачи в том или ином случае. Естественно, что в этой ситуации обычно вводятся различные допущения, позволяющие максимально упростить постановку задачи, сохранив при этом ее практическое значение. Одним из таких "глобальных" допущений является предположение о недеформируемости несущего тела. Оно справедливо для многих оболочечно-жидкостных конструкций, имеющих достаточно жесткий корпус, т. е. характеризуемых высокими собственными частотами, которые находятся вне диапазона частот основных тонов колебаний свободной поверхности.

Тогда соответствующая краевая задача для определения потенциала скоростей жидкости <р в [53, 54] сформулирована так

Aip = 0 в Q (0.1) dip diA vQ ■ î/Q на S (0.2) о = + =^7 на Е 0.3 дщ yi + (V£)2 dt

Где Q — область, занимаемая жидкостью, S — возмущенная поверхность жидкости, S — боковая поверхность сосуда. Здесь uq — орт внешней нормали к поверхности области Q. Такая постановка задачи уместна, когда рассматривается движение идеальной, однородной, несжимаемой жидкости, частично заполняющей жесткий осесимме-тричный сосуд, который может совершать некоторое заданное поступательное движение, характеризуемое вектором поступательной скорости Vq .

Кроме кинематических условий (0.2) и (0.3) в [44, 45] сформулирои вано также динамическое условие постоянства давления \ - У^о + и ЕЕ Ц<р) = О, где и — потенциал сил тяготения.

Для приближенного решения краевой задачи (0.1)-(0.3) в настоящее время разработаны эффективные алгоритмы, позволяющие определить и потенциал скоростей (р и форму возмущенной свободной поверхности а значит, и силы нелинейного взаимодействия несущего тела и жидкости. Для этого в соответствии с [54] функция £(У, .2Г, ¿) представляется в виде оо ¿=1 где — обобщенные коэффициенты ряда Фурье; {Тг} — полная, ортогональная на невозмущенной поверхности жидкости Е0 система функций, У, Z — горизонтальные координаты, системы координат жестко связаны с сосудом.

Затем в [53, 54] на основании условия ортогональности 0 (¿ = 1,2,.), выведена бесконечная система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно параметров [24, 53, 10] + + А*М«г) = Е (К^Ытп + К^Ыт) +

3,т £ + , (г,;, т,к = 1,2,.) (0.4) оо У0Г + Е&А, г=1 г — радиус-вектор частиц жидкости, выведенный из начала координат, А{ (г = 1, 2,.) — система гармонических функций вида

А = Ао + Е & А, + Е Е ЬЬАцк + • ■ ■,

Р р к удовлетворяющих условию ненротекания на твердой поверхности. Kjm, Iíjmk, А* — некоторые постоянные коэффициенты.

Описанный подход был развит на случай, когда учитывается деформация оболочки, заполненной жидкостью. Краевая задача в рассматриваемом случае с учетом динамического условия на свободной поверхности жидкости запишется следующим образом:

Аср = 0 в Q; = ип + на Е on yji + (V^)2 dt д(р = w на a; ц> = £ = t = 0, + \ (V^)2 + U - Vv?u„ - 0 на S.

Здесь n — орт внешней нормали, un — нормальная составляющая к свободной поверхности относительной скорости жидкости, а — смачиваемая жидкостью боковая поверхность оболочки; w — динамический прогиб, удовлетворяющий выбранным граничным и начальным условиям, j — вектор массовых сил. Такая постановка имеет место, когда рассматриваемое движение жидкости безвихревое, происходит внутри цилиндрической оболочки, в поле сил, обладающих потенциалом U = —jr [42]. Упругие перемещения оболочки и, v, w выбираются в виде следующих разложений [11, 35] и — J2J2 cos 4х [ulmn(t) COS пв + U2m,n{t) SHI пв] т п

У = Е Е sin 4х [Vlmn{t) Sin Пв + V2mn{t) COS пв] т п w = sin Qx [wlmn(t) cos пв + W2mn(t) sill пв],

111 n и, V, и) — упругие перемещения оболочки в продольном, окружном и радиальном направлении, соответственно, х ~ расстояние вдоль образующей цилиндра данной оболочки, в — угловая координата.

На основе методики составления уравнений движения твердого тела с жидкостью [48] для обобщенных координат оболочки uimn, щmn, vimm V2mn-, Wimm u>2mn получается система уравнений, подобная (0.4).

Интересный подход был предложен М. П. Петренко [59] для решения задачи о свободных колебаниях идеальной, несжимаемой жидкости в цилиндрическом сосуде с жесткими стенками и упругим дном. В самой постановке задачи не было сделано никаких упрощений, но тем не менее вся задача свелась к решению интегро-дифференциального уравнения относительно прогиба упругого дна, причем данное уравнение было решено в квадратурах.

Далее этот метод решения был им развит на случай, когда упругое дно сосуда предполагается не пластиной, а пологой оболочкой [60]. В этом случае, была выведена интегро-дифференциалыгая система уравнений и решение дано также в квадратурах.

В работе Тонга [94] также, как и в работах М. П. Петренко использовалась связанная постановка задачи и гибкое дно цилиндрического контейнера предполагалось упругой пластиной, но метод решения сводится к тому, что составляется бесконечная линейная система дифференциальных уравнений, которая решается методом урезания.

В плане построения точных решений связанных задач о взаимодействии идеальной жидкости с упругой оболочкой следует отметить работу Г. И. Пшеничного [61], где на основе безмоментной теории цилиндрических и сферических оболочек находится поле скоростей идеальной жидкости, которая расположена внутри вышеназванных оболочек. Здесь давление жидкости на границе оболочки и жидкости входит в систему дифференциальных уравнений, описывающих безмо-ментное поведение оболочки и на этой же границе задается условие равновесия нормальных составляющих скоростей упругой и жидкой среды. Решения для потенциала скоростей жидкости ищется в виде ряда гармонических функций с неопределенными коэффициентами. Поиск вида перемещений оболочки диктуется видом описанного выше ряда также с неопределенными коэффициентами. В результате все сводится к решению бесконечного числа систем линейных алгебраических уравнений.

Особое место занимает метод, разработанный Л.Д. Акуленко и C.B. Нестеровым [21], где на основании общих принципов теоретической механики выводится интегро-дифференциальное уравнение для продольного смещения тяжелой идеальной двухслойной жидкости, которое исследуется асимптотическим методом усреднения Боголюбова-Митропольского.

Оригинальный асимптотический подход интегрирования уравнений связанной краевой задачи о свободных колебаниях оболочек, содержащих сжимаемую жидкость дал А. П. Гольденвейзер в работе [17], где он указал путь замены связанной постановки на несвязанную. Дело в том, что можно выделить следующие типы колебаний оболочек, содержащих жидкость, которые в первом приближении отвечают решениям различных систем уравнений, получаемых путем упрощения исходных. Так, например, квазитангенциальные колебания определяются интегрированием уравнений динамической плоской задачи теории упругости

LijUj + i,j = 1,2 с выполнением тангенциальных граничных условий оболочки. Эта задача в первом приближении ставится также, как в теории колебаний оболочек в вакууме и имеет решения с асимптотикой

Л - /Г2р, 0 ^ р < 1, h — толщина оболочки. В квазитангенциальных колебаниях исходное приближение потенциала (р можно получить, интегрируя уравнение сжимаемой жидкости со следующими условиям и:

Ч> =--г—ЬгзЩ У = 1,2) на 5, А Р о р = 0 на 5], = 0 на оп

Л = с^2/со — частотный параметр (со — круговая частота); и^ — компоненты вектора перемещений срединной поверхности оболочки; А — оператор Лапласа; р, и с, со — плотности и скорости звука, соответствующие жидкости и материалу оболочки, причем перемещение '«з определяется из условия д(р/дп = «з на 51, когда <р к тому времени уже полностью определен. Здесь 5 — поверхность контакта жидкости с оболочкой, 51 — свободная поверхность жидкости, ^ — поверхность, на которой не допускаются нормальные перемещения жидкости; Ь^ — моментный дифференциальный оператор теории оболочек.

Для квазипоперечных колебаний с большой и малой изменяемостью нельзя полностью уйти от связанной задачи, но можно найти порядок А ~ /г1-р; 0 ^ р ^ 1/2 (в случае малой изменяемости) и А ~ /г3~5р, 1/2 <р < 1 (в случае большой изменяемости) — частотного параметра и заметно упростить уравнения движения оболочки.

Родственный описанному выше подходу был предложен А. Л. Поповым и Г. Н. Чернышевым в [62], где были рассмотрены установившиеся высокочастотные колебания замкнутой оболочки с жидкостью, когда колебания оболочки описываются уравнением быстроменяющегося напряженно-деформированного состояния. В этой работе показано, что решение можно построить в виде разложения Фурье по полной системе собственных функций высокочастотных квазипеременных колебаний оболочки без жидкости.

В. Ц. Гнуни и Р. С. Казарян в [18] рассмотрели задачу о движеиии слоистой ортотропной оболочки, заполненной идеальной жидкостью, в другой идеальной жидкости. Решение ищется в виде ряда по специально подобранным базисным функциям и в результате задача приводится к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, относительно неизвестных коэффициентов ряда.

Проблема нелинейных параметрических колебаний ортотропного бака, частично заполненного жидкостью, была сформулирована и разрешена Е. И. Образцовой и Ф. Н. Шклярчуком в [57] с помощью синтеза вариационного подхода и асимптотического метода гармонического баланса. В данной работе было выяснено, что при динамической неустойчивости цилиндрической оболочки бака возникают дополнительные реакции, пропорциональные квадрату амплитуды неосесим-метричной формы.

К следующему направлению исследования различных упругих конструкций с жидкостью относятся работы В. А. Грибкова [19, 20], где приводятся модели упруго-жидкостных систем, состоящих из нескольких упругих оболочек с жидкостью в случае неосесимметричных колебаний. Здесь исследован характер изменения частот и форм колебаний в зависимости от числа волн по окружности оболочки. Расчет частот и форм колебаний выполнен методом возмущений с использованием методики, согласно которой потенциал смещений жидкости в произвольной полости вращения задается линейной комбинацией аппроксимирующих функций. Методика справедлива для любого числа волн п по окружности оболочки. Потенциал смещений строится наложением частных потенциалов, определяемых методом Фурье из частных краевых задач для цилиндрической области. Частотное уравнение составной оболочки с жидкостью получается из уравнения отдельных участков оболочек с использованием условий неразрывности вектора состояния.

Достаточно общая идея для проблемы решения в задачах о колебании дву связного объема с жидкостью приводится в статье A.A. Пожа-лостина [63], где рассматриваются собственные осесимметричные колебания двух концентрических сферических оболочек, закрепленных по экватору. Пространство между ними заполнено идеальной несжимаемой жидкостью. За основу здесь берется разрешающее уравнение безмоментной, безынерционной сферической оболочки v4- + 20f = (-l)''(l+

V2 = d2¡dp + ctg (р ■ d/dip — оператор на сфере, 6>г- — безразмерная вспомогательная функция, такая, что щ — ddi/dcp, щ — безразмерные меридиальные перемещения срединной поверхности оболочек, Ф — потенциал скоростей идеальной жидкости. Функции в и Ф представляются в виде разложений по полиномам Лежандра, что делает удобным выражение меридиальных смещений wi, щ и нормального прогиба w через ряды такого типа. В итоге, все неизвестные коэффициенты упомянутых разложений выражаются через две константы, а те в свою очередь — из граничных условий для безмоментных оболочек щ — О, Щ = 0 при в = 7г/2. Здесь же приводится вид разложения для потенциала скоростей жидкости Ф при половинном заполнении и для случая, когда внутренняя сфера расположена с эксцентриситетом относительно заполненной внешней сферы. Похожий, но менее эффективный алгоритм решения такого рода проблем проиллюстрирован в работе Л. И. Балабуха и А. Г. Молчанова [6].

Говоря об исследованиях взаимодействия сжимаемой жидкости с упругими конструкциями, нельзя не отметить работу А. 3. Камалова [36], где анализируются собственные колебания сжимаемой жидкости, полностью заполняющей упругую цилиндрическую оболочку с упругими днищами. Причем боковые стенки данной оболочки описываются самыми общими уравнениями линейной теории цилиндрических оболочек, а днища — динамическими уравнениями пластины. Потенциал скоростей сжимаемой жидкости <р представляется в виде суммы <р = <р 1 + ^2, где 91 соответствует потенциалу волн для жесткой трубы с упругими днищами, — для упругой оболочки с жесткими днищами.

Работа [64] А. А. Пожалостина демонстрирует еще один подход к задаче собственных малых осесимметричиых колебаний упругих баков, частично заполненных жидкостью. Здесь рассматриваются системы координатных функций для определения форм и частот собственных колебаний упругих баков сложной геометрической формы, частично заполненных тяжелой, идеальной, несжимаемой жидкостью. Строятся системы координатных функций для цилиндрического бака со сферическими днищами произвольной кривизны, для бака чечевицеобраз-ной формы и для цилиндрического бака со сферическим днищем. Отличие этих систем функций от обычно применяемых состоит в том, что последние точно удовлетворяют уравнению Лапласа и граничному условию на свободной поверхности жидкости. Предлагаемые координатные функции являются решениями дифференциальных уравнений движения оболочек, из которых составлен бак.

Интересный подход к достаточно нестандартной проблеме использовал Е.В. Самойлов [71], где рассматриваются осесимметричные колебания сферической безмоментной оболочки, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью при различных граничных условиях в заделке, расположенной в экваториальной плоскости. Жидкость, заполняющая оболочку, имеет несколько сферических пузырей, центры которых совпадают с осью симметрии системы. Влияние сил инерции оболочки и гравитации не учитывается. Задача сводится к решению уравнения Лапласа в объеме, занятом жидкостью, и уравнений колебаний полусферических оболочек с граничными условиями на смачиваемых поверхностях, на поверхностях пузырей, а для оболочки — в заделке и в полюсах. Решение ищется для верхней и нижней половины независимо. В экваториальной плоскости вводят условия сопряжения для потенциала скоростей и его производной. Условия сопряжения для полусферических оболочек учитываются в граничном условии в заделке. С помощью этого метода автору статьи удалось показать, что закрепляя в оболочке с жидкостью газовый пузырь в эластичной пленке, его можно использовать как гаситель колебаний.

В спектре работ, посвященных движению жидкости в твердых полостях и взаимодействию с упругими конструкциями, стоят отдельно работы, где рассматривается вязкая жидкость. Это обстоятельство может быть объяснено тем, что постановка задачи заметно усложняется. Во-первых, вместо уравнения Лапласа (в случае идеальной несжимаемой жидкости) или Гельмгольца (в случае сжимаемой) приходится иметь дело уже с системой четырех дифференциальных уравнений второго порядка. И, конечно, увеличивается число граничных условий на линии взаимодействия вязкой жидкости и твердого тела или упругой конструкции. Здесь кроме нормальных компонент вектора скорости жидкости (как было в случае невязкой жидкости) задействуются еще касательные.

Наиболее распространенным упрощением постановки задачи для такого типа жидкости служит наличие предположений, которые позволяют использовать малый параметр, и, следовательно, искать решение в виде ряда по малому параметру. Это значительно облегчает путь поиска решения, так как в этой ситуации можно использовать весь спектр асимптотических методов, связанных с наличием малого параметра.

Как пример описанного выше подхода может быть приведена работа [7], где рассматривалась задача о гармонических колебаниях акустической среды, заполняющей некоторый объем. Данная акустическая среда характеризуется значениями плотности, давления и абсолютной температуры, поэтому за основу берутся уравнение Навье-Стокса, уравнение непрерывности, уравнение состояния и четвертое уравнение, выражающее закон сохранения энергии.

Если вязкость и температуропроводность малы, то метод пограничных функций [12] дает возможность провести эффективный асимптотический расчет полей скоростей и температур. Асимптотическое разложение этой краевой задачи строится в виде суммы регулярной и погранслойной частей, но основная трудность применения данного алгоритма связана с тем, что третья компонента вектора скорости погранслойной части решения определяется дважды — из уравнения Навье-Стокса и из уравнения непрерывности, после соответствующей замены координат в этих уравнениях. Конечно, алгоритм будет работать только в том случае, если из этих двух разных уравнений получится один и тот же результат. В [13] авторы показали, что это действительно так. Аналогичные вопросы для задач динамики вязкой стратифицированной и вращающейся жидкости рассмотрены в [89].

Упрощение постановки задачи за счет дополнительных предположений физического характера часто дает эффективный позитивный результат. Так, например, в работе Д. В. Любимова и А. А. Черепанова [46] анализируется движение двух несмешивающихся жидкостей в колеблющемся сосуде. Делается предположение, что движение жидкости состоит из двух частей: одна часть зависит от быстрого времени, а другая — от медленного. Далее показывается, что для пульса-ционных скоростей на границе раздела выполняется только условие баланса нормальных напряжений и равенство нормальных компонент скорости, что значительно облегчает поиск пульсационных скоростей.

Большой вклад в развитие теории взаимодействия вязкой сжимаемой жидкости с упругими конструкциями внес А. Н. Гузь. Он разработал так называемую теорию потенциалов, с помощью которой представляются решения уравнений Навье-Стокса. После этого решение задачи гидроупругости строится в следующей последовательности: во-первых, из уравнений для потенциалов находится их вид; во-вторых, находятся однородные решения задач из уравнения оболочек и, наконец, в-третьих, после выражения нагрузок через гидродинамические величины изучаются неоднородные решения из теории оболочек. Надо отметить, что сами потенциалы удовлетворяют достаточно простым уравнениям [1]. Потом эта теория была развита А.Н. Гузем дальше, и в работе [22] он указал путь применения своих результатов к проблемам гидроупругости, где учитываются начальные перемещения и напряжения. Для такого типа задач модифицируются уравнения для потенциалов скоростей вязкой сжимаемой жидкости. Понятно, что все эти результаты переносятся на случай несжимаемой жидкости предельным переходом.

Развитие этой теории было получено в работах [77] и [37]. В первой из них задача сводится к системе интегральных уравнений Вольтерра 1-ого рода, полученной из условий состыковки кинематических и динамических условий. Это достигается использованием преобразования Лапласа для потенциалов вектора скорости вязкой жидкости и общего решения линейных уравнений движения цилиндрической оболочки. Во второй статье рассматривается взаимодействие вязкой несжимаемой жидкости с концентрическими цилиндрическими оболочками. Здесь вектор скорости жидкости выражается, через потенциалы, потом через них определяется общий вид решения для системы, описывающей поведение оболочек. Произвольные константы находятся из условий состыкования перемещений. Динамические условия выполняются внесением внешней нагрузки в систему уравнений, характеризующих движение оболочек.

Оригинальный асимптотический подход для решения задачи о нахождении деформации упругой цилиндрической оболочки при поперечном обтекании вязкой несжимаемой жидкостью был разработан P.P. Шагидуллиным [78], где он, используя формулы Лаврентьева [47], дающие с точностью 0(е2) отображение w = f(z) внешности деформированного контура на внешность круга (t = max | w |). указал возможность получить главную часть асимптотики скорости жидкости на деформированной поверхности оболочки. Остаток аппроксимируется линейной комбинацией линейных интегральных операторов.

Как видно из приведенного выше обзора работ о различных асим-тотических подходах, упрощающих постановку задачи и дающих возможность получить решение в квадратурах, вопросы, касающиеся взаимодействия вязкой жидкости с упругими конструкциями, изучены гораздо меньше по сравнению с идеальной жидкостью. Даже те работы, о которых упоминалось выше, также имеют много недостатков. Так, например, в работах А. Н. Гузя [21], [22] приводятся алгоритмы построения решения определенного класса задач, но не дается ответа на вопрос о виде построения такого решения. Кроме того, накладываются достаточно жесткие ограничения на геометрические формы конструкции.

Данная диссертационная работа посвящена разработке асимптотических подходов для решения некоторых задач взаимодействия твердых и упругих ограниченных тел с вязкой жидкостью. В основу положен известный метод пограничного слоя [12], который в сочетании с другими позволяет решить несколько доселе нерешенных задач описанного выше характера. Построенные асимптотические формулы дают возможность сделать интересные выводы физического характера.

Первая глава носит вспомогательный характер, где приводится метод построения асимптотического решения, описывающего движение вязкой жидкости в сосудах, имеющих негладкую форму. Вторая глава иллюстрирует метод построения асимптотического решения задачи о плоском движении маловязкой жидкости в сосуде с твердыми стенками и упругим дном. Сначала с помощью "осреднения" по толщине оболочки уравнений теории упругости указывается путь сведения первоначальной связанной задачи к несвязанной (т. е. к задаче, где граничные условия выражаются через известные функции, а не через неизвестные функции, которые еще предстоит найти) с модифицированными граничными условиями. Такая постановка дает возможность применить для решения известный метод Вишика-Люстерника в сочетании с вахжационным, изложенным в первой главе. В следующем параграфе второй главы рассматривается аналогичная задача с предположением, что дно состоит из разнородных материалов. Построение решения разбивается на несколько этапов: первый этап включает вариационный подход, второй — сводит решение к краевой задаче Рима-на. Асимптотические подходы, описанные во второй главе, носят принципиально новый характер относительно методов разрешения задач гидроупругости, где участвует вязкая жидкость и дают возможность получить не только дисперсионные кривые [21], [22], но и полностью поле скоростей жидкости и поле перемещений упругого тела. Общие уравнения движения тел с полостями, частично заполненными вязкой жидкостью, выведенные в [93], не разрешимы в квадратурах даже для случая, когда полости, заполненные вязкой жидкостью, считаются абсолютно жесткими. Решение же, построенное в квадратурах методом, изложенным во второй главе, позволяет проанализировать особенности поведения жидкости, вызванные скачкообразной неоднородностью упругого дна. Сам метод построения решения краевой задачи, описывающий взаимодействие жидкости с неоднородно-упругим материалом, может выступать как самостоятельный асимптотический метод решения задач математической физики со смешанными граничными условиями.

Третья глава настоящей диссертационной работы посвящена исследованию влияния упругого дна на устойчивость движения вязкой двухслойной жидкости внутри замкнутого цилиндрического сосуда. На основе синтеза двух методов: Вишика-Люстерника и метода Боголюбова-Крылова выводится зависимость влияния податливости дна на движение жидкости относительно сосуда. Этот результат, во-первых, значительно расширяет методику исследования подобного рода задач, изложенных в работе [2], где за основу взят вариационный метод [42, 53, 43, 55] и родственные к нему [48, 49, 50, 67, 29, 30, 4, 26]. Главное достоинство вышеупомянутого результата состоит в том, что отпадает необходимость составлять и решать бесконечные системы интегро-дифференциальных уравнений, к которым обычно сводятся описанные выше задачи. При исследовании взаимодействия упругих колебаний оболочки и колебаний свободной поверхности жидкости с помощью вариационного подхода и родственных к нему рассматриваются разные случаи соотношения между собственными частотами свободной поверхности жидкости и упругих колебаний оболочки. В первом случае низшая собственная частота упругих колебаний превышает все учитываемые частоты колебаний свободной поверхности жидкости [40]. По мере увеличения масштабов объекта возможно сближение этих частот. Именно условия выполнения резонансных соотношений между собственными частотами колебаний свободной поверхности жидкости и частотой колебаний несущей оболочки создают предпосылки для взаимодействия форм колебаний и передачи энергии колебаний от жидкости к оболочке и наоборот. Поскольку коэффициен

25 ты поправки к частоте свободных колебаний жидкости выражаются через упругие параметры и геометрические размеры объекта явно, то результаты главы III указывают точный путь нахождения параметров цилиндрического сосуда с упругим дном, когда сближение частоты колебаний жидкости и низшей собственной частоты пологой оболочки (дна) минимально. Учитывая соображения, касающиеся резонансных соотношений между частотами жидких и упругих сред, которые приведены выше, можно сказать, что алгоритм и метод построения решения задачи, описанный в главе II, являются развитием методики исследования взаимодействия упругой и жидкой сред: по найденному решению и частоте колебаний жидкой среды находятся частота и вектор перемещений упругой среды, т. е. явный вид взаимодействия жидкой и упругой сред, в предположении выполнения резонансных соотношений, т. е. когда упругая и жидкая среда наиболее активно влияют друг на друга [40].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, можно кратко сформулировать результаты проведенного исследования: построена асимптотика решения задачи, описывающей движение вязкой жидкости в сосудах негладкой формы; на основе гидроупругой модели движения вязкой жидкости внутри сосуда с жесткими стенками и упругим дном, найдено решение в нулевом приближении данной гидроупругой модели для случаев однородного и неоднородного дна; изучено поведение жидкости вблизи линии раздела жидкой и упругой сред; исследовано колебательное движение вязкой двухслойной жидкости в жестком сосуде с упругим дном; исследовано влияние упругих частей сосуда на устойчивость движения двухслойной жидкости относительно сосуда.

1. Аносов Ю. Н. О нелинейных колебаниях жидкости в цилиндрической полости // Прикл. математика и механика, 1966. 2, № 10. С. 22-28.

2. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Колебания нетвердого тела с полостью, содержащей тяжелую жидкость // Изв. АН СССР, МТТ, 1986. № 1. С. 27-36.

3. Богоряд И. Б. Динамика вязкой жидкости со свободной поверхностью. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1980. 102 с.

4. Богоряд И. Б., Дружинин И. А., Дружинина Г. 3., Либин Э. Е. Введение в динамику сосудов с жидкостью. Томск: Изд-во Томск, унта, 1977. 144 с.

5. Бояршина Л. Г. Нелинейные волновые формы движения упрз^гой цилиндрической оболочки с жидкостью в условиях резонансов // Прикл. механика, 1988. 24, № 5. С. 105-111.

6. Балабух Л. И., Молчанов А. Г. Осесимметричные колебания сферической оболочки, частично заполненной жидкостью // Изв. АН СССР, МТТ, 1967. № 5.

7. Бутузов В.Ф., Нефедов H.H., Полежаева Е. В. Асимптотическое решение линеаризованной задачи о распространении звука в ограниченной среде с малой вязкостью // Вычисл. математ. и матем. физика, 1987. 27. № 2. С. 226-236.

8. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.

9. Бутузов В. Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущенных задачах с частными производными // Дифф. уравнения, 1979. Т. 15. Вып. 10. С. 1848-1862.

10. Вольмир A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979. 320 с.

11. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1979. 432 с.

12. Вишик М.И., Люстерник JI.A. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН, 1957. 12, № 5.С. 3-122.

13. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 208 с.

14. Ганиев Р. Ф., Украинский JI. Е. Динамика частиц при взаимодействии вибраций. Киев: Наукова думка, 1975. 167 с.

15. Гатауллин И. Г., Столбецов В. И. О немалых колебаниях жидкости в подвижных полостях // Изв. АН СССР, МЖГ, 1969. № 6. С.115-126.

16. Гузь А.Н., Кубенко В. Д., Бабаев А.Э. Гидроупругость систем оболочек. Киев: Вища шк., 1984. 208 с.

17. Гольденвейзер А. JL, Радовинский А. JI. Свободные колебания оболочек, содержащих жидкость // Колебания упр. конструкций с жидкостью: Труды IV сими., Москва, 1980. С. 82-88.

18. Гнуни В.Ц., Казарян P.C. О колебаниях слоистой ортотропной цилиндрической оболочки, контактирующей с жидкостью // Ко-лебан. упруг, констр. с жидкостью: Труды IV сими., Москва, 1980. С. 82-88.

19. Грибков В. А. Динамические свойства заполненных жидкостью составных оболочек вращения в спектре частот неосесимметрич-ных колебаний // Колеб. упр. констр. с жидкостью: Труды IV симп., Москва, 1980. С. 93-97.

20. Грибков В. А. К расчету основных динамических характеристик упругих оболочек с жидкостью // Колеб. упр. констр. с жидкостью: Труды IV симп., Москва, 1980. С. 97-102.

21. Гузь А. Н. К вопросу о представлении решений уравнений Навье-Стокса // Прикладн. механика, 1980. Т. 16, № 10. С. 3-16.

22. Гузь А. Н. О методе решения задач гидроупругости с начальными смещениями и напряжениями // Приклад, механика, 1980. Т. 16, № 3. С. 4-12.

23. Гахов Ф. Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 296 с.

24. Докучаев Л. В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. М.: Машиностроение, 1987. 232 с.

25. Докучаев Л. В. Механическая модель осесимметричного тела с жидкостью, совершающего нелинейные движения // Изв. АН СССР, МТТ, 1976. № 2. С. 25-29.

26. Докучаев Л. В., Шетухин В. Л. Устойчивость немалых колебаний жидкости в сосуде, совершающем угловые движения // Теория устойчивости и ее приложение. Новосиб.: Изд-во Новосиб. энерг. ин-та, 1979. С. 100-106.

27. Ильгамов М. А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.: Наука, 1969. 181 с.

28. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 334 с.

29. Колесников К. С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1980. 376 с.

30. Колесников К. С., Сухов В. Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления. М.: Машиностроение, 1974. 267 с.

31. Коваленко А. П., Лимаренко О. С. Экспериментальное исследование поведения жидкости при известном возбуждении // Прикл. механика, 1979. 15, № 1. С. 95-97.

32. Кубенко В. Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой. Киев: Наукова думка, 1981. 160 с.

33. Кубенко В. Д., Кузьма В. М., Пучка Г. Н. Динамика сферических тел в жидкости при вибрации. Киев: Наукова думка, 1989. 200 с.

34. Кубенко В.Д., Лакиза В.Д., Павловский B.C., Пелых H.A. Динамика упруго-газожидкостных систем при вибрационных воздействиях. Киев: Наукова думка, 1988. 256 с.

35. Кубенко В. Д., Ковальчук П. С., Подчасов Н. П. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек. Киев: Вища школа, 1989. 208 с.

36. Кашалов А. 3. Собственные колебания сжимаемой жидкости в цилиндрической оболочке с упругими днищами // Колеб. упр. констр. с жидкостью. Новосибирск: Новосиб. эл.-техн. ин-т, 1973. С. 97-108.

37. Кузнецов В. Н. О взаимодействии несжимаемой жидкости с концентрическими цилиндрическими оболочками / / Приклад, механика, 1988. Т. 24, № 1. С. 30-37.

38. Кравцов A.B., Секерж-Зенысович С. Я. Параметрическое возбуждение колебаний вязкой двухслойной жидкости в замкнутом сосуде // ЖВМ и МФ, 1993. Т. 33, № 4. С. 611-619.

39. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. JI.: Судостроение, 1979. 263 с.

40. Кубенко В. Д., Ковальчук П. С. и др. Нелинейная динамика осе-симметричных тел, несущих жидкость. Киев: Наукова думка, 1992. 183 с.

41. Ладыженская О. А.Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

42. Луковский И. А. Нелинейные колебания в сосудах сложной геометрической формы. Киев: Наукова думка, 1975. 135 с.

43. Луковский H.A., Барияк М.Я., Комареико А.Н. Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости. Киев: Наукова думка, 1984. 232 с.

44. Лимарченко О. С. Исследование некоторых нелинейных задач динамики совместного пространственного движения цилиндрического резервуара и частично заполняющей его жидкости. Киев, 1984. 57 с. (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 84.58).

45. Ламб Г. Гидромеханика.М.:, Л.: Гостехиздат, 1947. 928 с.

46. Любимов Д. В., Черепанов A.A. О возникновении стационарного движения жидкости в колеблющемся сосуде // Изв. АН СССР. МЖГ, 1986. № 6. С. 8-13.

47. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 670 с.

48. Моисеев H.H., Румянцев B.B. Динамика тес с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 439 с.

49. Микишев Г. Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 248 с.

50. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М.: Машиностроение, 1971. 563 с.

51. Мнев Е. Н., Перцев А. К. Гидроупругость оболочек. J1.: Судостроение, 1970. 365 с.

52. Моисеев H.H., Петров A.A. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. М.: ВЦАН СССР, 1966. 270 с.

53. Нариманов Г. С., Докучаев JT. В., Луковский И. А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью. М.: Машиностроение, 1977. 206 с.

54. Нариманов Г. С. О динамике твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью // Прикл. математика и механика, 1956. 20, № 1. С.21-38.

55. Нариманов Г. С. О движении сосуда, частично заполненного жидкостью: учет немалости движения последней // Прикл. математика и механика, 1957. 21, вып. 4. С. 513-524.

56. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 853 с.

57. Образцова E.H., Шклярчук Ф. Н. Нелинейные параметрические колебания ортотропного цилиндрического бака с жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью: Труды IV симп., Москва, 1980. С. 216-225.

58. Петренко М. П. Собственные колебания жидкости со свободной поверхностью и упругого днища цилиндрической полости // Прикл. механика, 1969. 5, № 6. С. 67-76.

59. Петренко М. П. Совместные колебания столба жидкости со свободной поверхностью и пологой сферической оболочки // Колебания упр. констр. с жидкостью. Новосибирск: Новосиб. электро-техн. институт. 1973. С. 183-194.

60. Пшеничнов Г. И. Некоторые приближенные методы в теории колебаний упругих систем с жидкостью // Колебания упр. конструкций с жидкостью. Сб. научи, докл. III симп. 1976. С. 331-337.

61. Попов А. Л., Чернышев Г. Н. Метод собственных функций в задаче о высокочастотных квазипоперечных колебаниях замкнутой оболочки с жидкостью // Колебания упр. конструкций с жидкостью: Труды IV симп., Москва, 1980. С. 238-243.

62. Пожалостин А. А. О некоторых решениях в задаче о колебаниях двусвязного объема с жидкостью // Колеб. упр. констр. с жидкостью: Труды IV симп., Москва, 1980. С. 233-238.

63. Пожалостин A.A. Малые колебания в упругом баке с мембраной на свободной поверхности жидкости // Колеб. упр. констр. с жидкостью: Труды III симп., Москва, 1976.

64. Паникаровская Т. М., Потеионко Э.Н. Гашение волн поверхностными пленками // Вопросы волновых движений жидкости. Ростов-на-Дону, 1989. 171 с.

65. Потетюнко Э. Н., Срубщик JI. С. Асимптотический анализ волновых движений вязкой жидкости со свободной границей // ПММ, 1970. Т. 34, вып. 5. С. 891-910.

66. Рабинович Б. И. Введение в динамику ракетносителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1966. 393 с.

67. Рапопорт И. М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью. М.: Машиностроение, 1967. 360 с.

68. Столбецов В. И. О немалых колебаниях в прямом круговом цилиндре // МЖГ, 1967. № 2. С. 59-66.

69. Столбецов В. И. О нелинейных колебаниях жидкости в оболочках различной формы // Колебания упругих конструкций с жидкостью. Новосибирск: Новосиб. электротехн. ин-т, 1974. С. 205-209.

70. Самойлов Е. А. Некоторые задачи колебаний сферических оболочек с жидкостью // Колеб. упр. констр. с жидкостью. Новосибирск: Новосиб. эл.-техн. ин-т, 1973. С. 251-259.

71. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. IV. М.: Наука, 1953. 804 с.

72. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: ОН-ТИ НКТН СССР, 1936. 303 с.

73. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер В. Пластинки и оболочки Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1966. 635 с.

74. Черноусько Ф. Л. О движении тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью // ПММ, 1966. Т. 30, вып. 6. С. 977-992.

75. Шмаков В. П. Об уравнениях осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки с жидким заполнением // Изв. АН СССР. Механика и машиносроение, 1964. № 1. С. 170-173.

76. Шмаков А. И. О взаимодействии несжимаемой жидкости с цилиндрической оболочкой // Прикл. механика, 1982. Т. 18, № 3. С. 4349.

77. Шагидуллин Р. Р. Деформация упругой цилиндрической оболочки при поперечном обтекании вязкой несжимаемой жидкостью // Колебал, упр. констр. с жидкостью. Новосибирск, 1974. С. 216— 221.

78. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 711 с.

79. Abramson H.N. The dynamic behavior of liquids in moving containers with applicatios to space vehides technology. Washington: NASA SP-106, 1966. 467 p.

80. Baner H.F., Chang S.S., Wang I.T.S. Nonlinear liquid motion in a longitudinally exited container with elastic bottom // AIAAS. 1971. 9, № 12. P. 36-43.

81. Bouligand J. Sur les petits mouvements de surface d'un liquicle clans lc champ d'une force tes Rendus, 154, 1338-1340, 1912.

82. Chu, К an a. A theory for nonlinear transverse vibrations of a partially filled elastic tank // Ibid. 1967. 5, № 10. P. 1828-1835.

83. Green. On the Motion of Waves in a Variable Canal of small depth and width. Camb. Trans., IV, 1837.

84. Hadamard J. Sur les ondes liquides. Comptes Rendus, 150, 609-611, 722-774, 1910.

85. Lamb H., Miss Swain. Phil. Mag. (6), XXIX, 736, 1915.

86. Miles J.W. Resonantly forced surface waves in circular cylinder // Ibid. P. 15-31.

87. Miles J. Parametrically exited solutary waves // Ibid. 148. P. 451-460.

88. Nefedov N. On some singularly perturbed problems for viscous stratified fluids. Journal of Mathematical Analyses and Applications. 1988. 131, № 1. P. 118-126.

89. Poisson. Sur les petites oscillations de l'eau contenue dans un cylindre. Ann. de Gergonne, XIX, 225. 1869.

90. Pocklington M. Standing Waves Parallel to a Plane Beach. Proceed of the Cambridge Ph. Society, XX, 308-310, 1921.

91. Rayleigh. Phil. Mag. (5), I, 257, 1876.

92. Sen B.M. Waves in Canals and Basins, P. L. M. (2), 26, 363-376, 1927.

93. Tong P. Liquid motion in a circular cylindrical container with a flaxible bottom // AIAAS. 1967. 5, № 10. P. 139-146.

94. В. M. Александров, Д. А. Пожарский. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел // М.: Факториал, 1998. 288 с.

95. А. А. Золотарев. К решению интегро-дифференциальных уравнений, возникающих при моделировании неустановившихся колебаний кусочно-однородных пластин на слое жидкости // Ростов-на-Дону: Межвуз. сб. науч. тр., 1997. Вып. 2.119

96. В. Г. Имедашвили, Э. Н. Потетюнко. Вариационный подход к построению асимптотики в задаче о гармонических колебаниях жидкости // ЖВМ и МФ, 1996. № 10. С. 190-191.

97. Имедашвили В. Г. К вопросу об устойчивости движения двухслойной жидкости // У-ая научн. конф. «Прикладные проблемы механики жидкости и газа». Севастополь, 1996. Тез. докл. С. 39.

98. Имедашвили В. Г. О взаимодействии технических конструкций с жидкостью // 50-ая межд. научно-техн. конф. «Актуальные проблемы строительства и архитектуры». Санкт-Петербург, 1996. Тез. докл. С. 54.

99. Имедашвили В. Г. Об особенностях периодического пограничного слоя вязкой несжимаемой жидкости внутри цилиндрического сосуда // Деп. в ВИНИТИ № 2545-В96, 1996.

100. Имедашвили В. Г. Об одном асимптотическом подходе к решению задачи гидро-упругости со смешанными граничными условиями // Деп. в ВИНИТИ № 2546-В96, 1996.

101. Имедашвили В. Г. Вибрационный пограничный слой вязкой несжимаемой жидкости в сосуде прямоугольной формы // Деп. в ВИНИТИ № 2547-В96, 1996.