Колебательные режимы и мультистабильность в несимметрично связанных системах с различными бифуркационными сценариями

Поздняков, Михаил Валерьевич

Колебательные режимы и мультистабильность в несимметрично связанных системах с различными бифуркационными сценариями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Поздняков, Михаил Валерьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Колебательные режимы и мультистабильность в несимметрично связанных системах с различными бифуркационными сценариями»

Автореферат диссертации на тему "Колебательные режимы и мультистабильность в несимметрично связанных системах с различными бифуркационными сценариями"

005006217

На правах рукописи

ПОЗДНЯКОВ Михаил Валерьевич

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ И МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ

В НЕСИММЕТРИЧНО СВЯЗАННЫХ СИСТЕМАХ С РАЗЛИЧНЫМИ БИФУРКАЦИОННЫМИ СЦЕНАРИЯМИ

01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 5 ЛЕК 2011

Саратов - 2011

005006217

Работа выполнена на базовой кафедре динамических систем факультета нелинейных процессов Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Сергей Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Астахов Владимир Владимирович доктор физико-математических наук Селезнёв Евгений Петрович

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное обра-

Защита состоится 22 декабря 2011 года в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д. 212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, д. 83, III корпус, ауд. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке им. В.А. Артисевич Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Автореферат разослан 16 ноября 2011 г.

зовательное учреждение высшего профессионального образования

"Юго-Западный государственный университет"

Учёный секретарь диссертационного совета

В.М. Аникин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Исследование связанных систем со сложной динамикой остается актуальной проблемой радиофизики. Эта проблема является сложной и многоплановой. Она исследовалась в работах В.С.Анищенко, В.В.Астахова, Т.Е. Вадивасовой1, Д.Э. Постнова, A.B. Шабунина, В.Д. Шалфеева, Г.В. Осипова, В.В. Матросова, Б.П. Безручко, Е.П. Селезнева2, С.П. Кузнецова, Ж.Т. Жусубалиева3, Ю. Майстренко, А. Пиковского, М. Розенблюма, К. Канеко, Ю. Куртца4, У. Фойдель, Э. Мозекильде и других авторов. Среди обсуждаемых вопросов можно выделить исследования устройства пространства параметров и картины бифуркаций связанных систем, хаотической синхронизации, мультистабильности, критических явлений с использованием метода ренормализационной группы, анализ различных связанных электронных схем и генераторов и т.д. Эта проблематика имеет как фундаментальное значение для нелинейной динамики, так важна и для приложений в радиофизике, экономике, биофизике (например, для описания взаимодействия нефронов, при исследовании нейросетей) и т.д..

Один из возможных подходов к классификации сложной динамики связанных систем может быть основан на том, какой тип динамики демонстрируют отдельные подсистемы или объединенная система.

Исследование связанных систем с удвоениями периода. Простейший бифуркационный сценарий перехода к хаосу ассоциируется с удвоениями периода. Классической моделью, демонстрирующей такой сценарий является квадратичное логистическое отображение, так что возникает задача исследования связанных таких отображений. Различные аспекты этой задачи (случай идентичных по управляющим параметрам подсистем, случай неидентичных подсистем, мультистабильность и т.д.) подробно обсуждались в литературе. Аналогичный подход применяется и к потоковым системам, описываемым дифференциальными уравнениями. В качестве наиболее популярного примера парциальной подсистемы используется система Рёсслера5, исследовались также такие системы, как генератор Анищен-ко-Астахова, Кислова-Дмитриева, разнообразные модели Спротта и др. Однако многие аспекты динамики связанных систем с удвоениями периода еще не получили полного освещения. Так недостаточно исследовано влияние асимметрии связи на динамику составной системы, на устройство про-

1 Анищекко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Стрелкова Г.И. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний. Москва-Ижсвск: Институт компьютерных исследований, 2008,144 с.

2 Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейгснбаумовских систем. // Письма в ЖТФ, 1989, т. 15, № 3, с. 60-64.

3 Жусубалиев Ж.Т., Пахомова Е.П., Чевьтчелов С.Ю. Бифуркация рождения тора в кусочно-импульсных системах // Системы управления и информационные технологии, 2005, № 3, с. 26-28.

4 Пиковский А., Розснблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003,496 с.

5 Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Динамика двух неидентичных связанных автоколебательных систем с удвоениями периода на примере осцилляторов Ресслера // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2006. т. 14, №2, с. 3-15.

странства параметров такой системы, а также на картину мультистабиль-ности.

Исследование связанных систем с бифуркацией Неймарка-Сакера. С бифуркацией Неймарка-Сакера ассоциируется возникновение квазипериодической динамики6. При этом в фазовом пространстве потоковой системы из предельного цикла рождается тор. Несмотря на канонический характер этой бифуркации, выбор модели для исследования в виде подходящего отображения не столь тривиален, как в предыдущем случае. Для неавтономных систем в области малых амплитуд воздействия хорошей моделью служат отображения окружности или кольца, но они не применимы в области больших амплитуд, когда наблюдается бифуркация Неймарка-Сакера. С другой стороны, такая бифуркация возможна и в автономных системах. Известно не так много примеров автономных генераторов квазипериодических колебаний с такой бифуркацией. Это, например, специальным образом модифицированный генератор Анищенко-Астахова, или гибрид автогенератора релаксационных колебаний и системы с жестким возбуждением, предложенный А.П.Кузнецовым, С.П.Кузнецовым, Н.В.Станкевич7. Для таких систем отображение в сечении Пуанкаре может быть построено только численно. С другой стороны, известно множество примеров простых аналитических, но формальных моделей с бифуркацией Неймарка-Сакера в виде двумерных или трехмерных отображений. Большой список (несколько десятков) можно, найти, например, в монографии и работах Спротта8. В качестве базовой модели в настоящей работе используется двумерное отображение9, которое обладает универсальным характером в том плане, что демонстрирует все характерные бифуркации на плоскости своих параметров, в качестве которых выступают след и якобиан матрицы преобразования возмущений. Это отображение, однако, введено формальным образом. Поэтому интересным является вопрос о возможности его радиофизической схемотехнической реализации, как варианта автономного генератора квазипериодических колебаний.

6 Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Ижевск: РХД, 2002,560 с.

7 Kuznctsov А.P., Kuznetsov S.P., Stankevich N.V.. A simple autonomous quasiperiodic self-oscillator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations, 2010, № 15, p. 1676-1681.

R Zeraoulia E., Sprott J.. 2-D quadratic maps and 3-D ODE systems, World Scientific Series on Nonlinear Science, 2010, 356 p.

9 Кузнецов А.П., Кузнецова А.Ю., Сатаев И.Р.. О критическом поведении отображения с бифуркацией Неймарка-Сакера при разрушении фазовой синхронизации в предельной точке фейгенбаумовского каскада // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2003, т. 11, № 1, с. 12-18

ве связанных осцилляторов. Так в работе С.П. Кузнецова, О.Б. Исаевой и А.Ю. Жалнина10 обсуждается применимость такого подхода для одной из основных моделей гиперболической теории - известного отображения «кот Арнольда». В то же время вопрос о схемотехнической реализации такой системы до сих пор не обсуждался. Отметим, что отображение «кот Арнольда» - консервативная система. Поэтому представляет интерес исследование отображения, возмущенного таким образом, что оно переходит в класс диссипативных систем, имеющих аттракторы. Соответственно, возникает вопрос об исследовании простейшей диссипативной версии такого отображения.

Цели и задачи работы

Целью настоящей работы являлось выявление особенностей динамики связанных систем с различными бифуркационными сценариями (на основе удвоений периода и бифуркации Неймарка-Сакера) и радиофизическая реализация на основе связанных осцилляторов системы с гиперболическим хаосом, описываемой отображением «кот Арнольда». Для этого решались следующие задачи.

1. Исследование модификации картины динамических режимов и мультистабилыюсти в связанных системах с удвоениями периода при введении несимметричной связи.

2. Исследование картины динамических режимов и мультистабиль-ности в связанных универсальных отображениях с бифуркацией Неймарка-Сакера, и разработка их радиофизической реализации.

3. Построение радиофизической схемы системы с гиперболической динамикой - «кот Арнольда» - на основе связанных осцилляторов и исследование диссипативные версии такого отображения.

Методы исследования

В ходе выполнения работы был использован широкий набор различных численных методов. Для анализа устройства пространства параметров отображений и потоков использовались методы карт динамических режимов, карт старшего показателя Ляпунова и карт, отображающих спектр ля-пуновских показателей. Последний метод позволяет отследить более высокоразмерные хаос и квазипериодичность. Для анализа систем с несколькими сосуществующими аттракторами предложен метод карт мультистабилыюсти, в рамках которого численно определялось количество сосуществующих аттракторов в каждой точке плоскости параметров. При вариации одного из управляющих параметров использовались метод построения сосуществующих бифуркационных деревьев на одной диаграмме. Строились также бассейны притяжения различных аттракторов. Для радиофизической реализации модельных отображений использовался программный

10 Isaeva O.B., Jalninc A.Yu. and Kuznctsov S.P. Arnold's cat map dynamics in a system of coupled nonauto-nomous van der Pol oscillators III Phys. Rev. E74, 2006, 046207.

пакет электрических схем «МиШвт 10.0». С его помощью исследовались осциллограммы, фигуры Лиссажу, фазовые портреты, Фуръе-спектры сигналов предложенных схем.

Положения и основные результаты, выносимые на защиту

1. Карты мультистабильности, как метод, предложенный в работе и апробированный на примере связанных логистических отображений и связанных систем Рёсслера, позволяет выявлять области сосуществования различных динамических режимов в пространстве параметров широкого класса нелинейных систем со сложной динамикой.

2. При введении асимметрии связи в системах с удвоениями периода, как с дискретным, так и с непрерывным временем происходит сокращение количества сосуществующих аттракторов, а также существенное искажение формы бассейнов притяжения, фрактализация их границ, слияние отдельных частей бассейна в односвязную область.

3. Для введенной в рассмотрение системы связанных универсальных модельных отображений, демонстрирующих все основные сценарии перехода к сложной динамике, включая удвоения периода и бифуркацию Неймарка-Сакера, в пространстве параметров обнаруживаются области гиперхаоса и трехчастотной квазипериодичности, размер которых сокращается при увеличении степени асимметрии связи.

4. Универсальное двумерное отображение и система двух связанных таких отображений допускают радиофизическую реализацию в виде схем на основе операционных усилителей, представляющих собой примеры генераторов квазипериодических колебаний.

5. Система с динамикой на аттракторе, описываемой отображением «кот Арнольда», допускает радиофизическую реализацию на базе двух пар связанных неавтономных осцилляторов Ван дер Поля. В отображении «кот Арнольда» при добавлении диссипативных членов определенного вида с ростом возмущения осуществляется переход от гиперболической динамики Аносова к гиперболическому ОА-аттрактору, с последующим его разрушением, возникновением периодической динамики, и, после бифуркации утроения периода, переходом к негиперболическому хаосу.

Аргументированность, обоснованность и достоверность результатов диссертации

Достоверность полученных результатов обусловлена использованием взаимодополняющих методов (построение карт мультистабильности, сосуществующих бифуркационных деревьев, бассейнов притяжения). Дополнительным аргументом достоверности служит также соответствие результатов, полученных численными методами, и результатов моделирования с помощью пакета «МиШвт 10.0».

Научная новизна работы

В работе впервые

• Проведено комплексное исследование влияния асимметрии связи на картину режимов связанных систем с удвоениями периода, включающее построение карт динамических режимов, карт мультиста-бильности и семейств бифуркационных деревьев. Проведена оценка площади различных листов мультистабильных состояний на плоскости управляющих параметров подсистем.

• Построена радиофизическая модель, отвечающая универсальному двумерному отображению, и продемонстрирована ее эффективность, в частности, возможность генерации автономных квазипериодических колебаний.

• Исследованы колебательные режимы связанных универсальных двумерных отображений в трех характерных случаях динамики подсистем: удвоения периода, синхронизация 1:3 и квазипериодический режим. Обнаружено уменьшение областей гиперхаоса и трехчастот-ной квазипериодичности при увеличении степени асимметрии связи подсистем.

• Предложена радиофизическая реализация связанных универсальных двумерных отображений.

• Построена радиофизическая модель, описывающая систему с гиперболической динамикой - отображение «кот Арнольда».

• Исследована динамика диссипативно возмущенного отображения «кот Арнольда», обнаружено разрушение гиперболического аттрактора с возникновением простых регулярных колебаний, а также возможность эффекта утроения периода.

Научная и практическая значимость

Полученные в диссертации результаты вносят вклад в понимание взаимосвязи формальных моделей теории динамических систем и теории гиперболического хаоса с реалистичными радиофизическими системами в виде электронных схем. Представленный подход может быть распространен и на другие системы, включая различные варианты двумерных и трехмерных отображений. Результаты, касающиеся систем с асимметричной связью, могут быть важны для приложений, так как в реальных системах случай несимметричной связи представляется достаточно типичным. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе в рамках курсов по радиофизике и теории колебаний.

Личный вклад

Постановка задач, обсуждение и интерпретация результатов проводилась совместно с соавторами совместных работ и научным руководителем. Автор лично выполнил физико-математическую формализацию задач, программирование задач, разработал новые методики графического представления результатов, провел необходимые численные расчеты, а также

осуществил моделирование динамики электронных схем и обработку данных.

Апробация работы и публикации

Основные результаты работы докладывались на научных конференциях: «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010), XV Всероссийской научной конференции «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2010), II - VI конференциях молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011), международных школах «Хаотические колебания и образование структур» (Саратов, 2007, 2010), международной школе-семинаре «81а11пй)» (Россия, Саратов, 2009).

Частично результаты диссертации получены в процессе выполнения работ, поддержанных АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1./1738) Минобрнауки РФ и грантом Президента РФ для молодых ученых-кандидатов наук (МК-905.2010.2).

По теме диссертационной работы опубликовано 18 работ, в том числе две статьи в рецензируемом журнале, рекомендованном ВАК, и 16 тезисов докладов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основной текст диссертации состоит из введения, четырёх глав и заключения.

Во введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе приведён обзор ранее известных результатов, касающихся колебательных режимов и мультистабильности в связанных системах. Рассматривается динамика симметрично связанных систем, демонстрирующих переход к хаосу через последовательность удвоений периода. В качестве модельной системы с дискретным временем были выбраны связанные логистические отображения с инерционной:

и диссипативной связью:

*„« =1 - А*2 + {£~ 3Ь1 ~ Х11

где \ - управляющий параметр первой подсистемы, Я, - управляющий параметр второй подсистемы, е - амплитуда связи, 3 - отстройка по параметру связи. В первой главе рассматривался случай симметричной связи, когда ¿ = 0.

Пространство параметров изучалось путем построения, как традиционных карт динамических режимов, так и карт мультистабильности, пред-

ставляющих собой плоскость параметров, окрашенную различными цветами в зависимости от количества сосуществующих аттракторов в каждой из областей. На рис. 1а приведена карта мультистабильности логистического отображения с инерционной связью. Показано, что области мультистабильности располагаются вдоль диагонали на плоскости параметров, причем наблюдается схожее устройство пространства параметров систем (1) и (2). Цифрами обозначено количество аттракторов, сосуществующих в каждой из областей. Карты мультистабильности дополнялись построением бифуркационных деревьев, т. е. зависимостей динамических переменных от одного из параметров. Причём, поскольку в системе наблюдается мультистабильность, для каждого значения параметра выбирать множество начальных условий на фазовой плоскости (х0,у0).

0 15 НННННИМ.'

Рис. 1. Слева - карта мультистабильности отображения (1) при е = 0.01, ¿ = 0. Справа - карта мультистабильности для связанных осцилляторов Рёсслера при ц = 0.01 и 6 = 0.

В качестве примера потоковой системы, демонстрирующей переход к хаосу через последовательность удвоений периода, была выбрана система связанных осцилляторов Рёсслера:

¡¿с, с/х,

^-х, + а1у1 + (м-я)(у2-у>\ % = *2 + я2;и2 +С"+ <?)(;>>,-л), (3)

ш аI

¿г, , ¿/2, ,

—- = Ь + (х,-с,)г„ -± = Ь + (х2-с2):2,

ш ш

где х,, у,, г, - динамические переменные первой подсистемы, хг, у2, гг~ динамические переменные второй подсистемы, д,, Ь, с,, а2, сг - управляющие параметры, // - амплитуда связи, 5 - отстройка по параметру связи. В первой главе, как и для связанных логистических отображений, ограничимся симметричным случаем, т.е. <5 = 0.

Изучалось устройство плоскости параметров (а(, а2), остальные управляющие параметры выбраны в виде: Ь = 0.1, с1=с2=8.5. Показано, что области мультистабильности располагаются вдоль диагонали плоскости параметров (рис.1) и имеют структуру, схожую с наблюдавшейся для

отображений (1) и (2).

Во второй главе рассмотрено влияние асимметрии связи на колебательные режимы, мультистабильность и бассейны притяжения в связанных системах с удвоениями периода. Показано, что при увеличении асимметрии связи происходит уменьшение возможного количества сосуществующих аттракторов. Области мультистабильности становятся несимметричными относительно диагонали, сокращается их площадь (рис. 2), при больших отстройках происходит их полное исчезновение. Данные закономерности наблюдаются как для связанных логистических отображений (1), (2), так и для связанных осцилляторов Рёсслера (3).

1.45|

1.15

1.55

Рис. 2. Карта мультистабильности отображения (1) при £" — 0.01 и значении отстройки: (а) - S = 0.02, (б) — 5 = 0.05 . Цифрами обозначено количество аттракторов, сосуществующих в каждой из областей.

Обнаружено существенное искажение формы бассейнов притяжения аттракторов во всех рассмотренных системах. При больших отстройках возможно объединение отдельных частей бассейна в односвязную область, фрактализация границ бассейнов, их «изрешечивание».

Третья глава посвящена исследованию систем, в которых возможно наблюдение квазипериодического поведения и перехода к хаосу через его разрушение. В качестве модели выбрано универсальное двумерное отображение, которое задаётся в виде:

*„« =/(*„,;'„). У,м = £(*„, Л )> где функции fix,у), g(x,y) представляются как

f(x,y) = Sx-y-(x1 + y2),

, , , (5)

g(x,y) = Jx----.

Отображение (4)-(5) интересно тем, что его параметры S, J представляют собой непосредственно след и определитель матрицы Якоби. На рис. За приведена полученная численно карта динамических режимов системы (4)-(5) на плоскости параметров (S, J), на которой виден характерный «тре-

(4)

угольник устойчивости». Цифрами обозначен период динамики на аттракторе. При переходе через левую сторону этого треугольника для отображения (4)-(5) развивается переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода по Фейгенбауму. На правой границе происходит касательная бифуркация с жёстким переходом на другой режим, а сверху треугольник ограничен линией бифуркации Неймарка-Сакера, к которой примыкает система языков синхронизации и область квазипериодических режимов.

Рис. 3. Карта динамических режимов универсального двумерного отображения (4)-(5). Цифрами обозначены периоды режимов в отмеченных областях. Также обозначены «пути» движения по плоскости для исследования связанных систем.

Далее исследуется система двух связанных универсальных двумерных отображений, представляющая собой две системы (4)-(5), связанные дис-сипативно по обеим динамическим переменным:

= /(*, .Л) + (е- 8)(Д"„ .V.) ■-Л*. ,у,)). У..и = . ) + (е - 8)(г(и., V.) - , )), "„«=/(«„ ^„) + (е + 8)Ш*,.>.)-Ж.О),

у„м = . v.) + (е + 5)(г(*„ ,у,)~ g(u„, v,,)), где е - амплитуда связи, 6 - отстройка по параметру связи.

Использование в качестве подсистем универсальных двумерных отображений позволяет изучить последовательно три возможных различных варианта, когда при вариации параметров подсистем: 1) наблюдаются удвоения периода, 2) возникает периодический режим, отвечающий языку Арнольда на плоскости параметров, 3) характерным является квазипериодическое поведение. Примеры соответствующих маршрутов на плоскости параметров отображения даны на рис. 3 и обозначены соответственно цифрами 1,2 и 3.

Было исследовано устройство плоскостей «одноимённых» управляющих параметров системы (6), т. е. (5Ь и Для этого два других параметра выбирались постоянными и равными между собой. Плоскость 52) исследовалась при J¡=J2= 0 (линия / на рис. 3), когда в каждой из подсистем при уменьшении параметра 5 имеет место переход к хаосу че-

рез последовательность удвоений периода. Плоскость параметров (,1\, ,/2) исследовалась при двух значениях параметров (5,, Л). Значение 5, = ^ =-1 (линия 2 на рис. 3) отвечает движению на плоскости параметров автономной системы через язык синхронизации периода 3, опирающийся на линию бифуркации Неймарка-Сакера. Линия 3 (5, = = 0.2) проходит через область квазипериодических режимов. Значение амплитуды связи е было выбрано равным 0.01. Для исследования влияния отстройки связи, как и в предыдущих главах, было рассмотрено несколько случаев с различными значениями параметра отстройки 8.

Показано, что на плоскости параметров (¿'1, 52) при фиксированных JI,J2 («маршрут» 1) наблюдается схожее с ранее рассмотренными системами (1), (2) и (3) устройство областей мультистабильности. При введении отстройки связи наблюдаются аналогичные закономерности эволюции этих областей. Помимо построения карт мультистабильности использовалось построение карт спектра показателей Ляпунова. С этой целью в каждой точке плоскости параметров находился аттрактор, соответствующий данным значениям параметров, для него вычислялись четыре показателя Ляпунова, и определялся их знак. Периодическим режимам соответствовало наличие четырех отрицательных показателей, хаосу — одного положительного и остальных отрицательных. На плоскости (, 52) наблюдался гиперхаос (два положительных ляпуновских показателя). В случае симметричной связи область гиперхаоса располагалась вдоль диагонали плоскости. При введении отстройки 3 область гйперхаоса сокращалась в размерах и при больших отстройках исчезала.

На плоскости (/ь У2) при =52 =-1 («маршрут» 2) в языке синхронизации периода 3 располагается область сосуществования трёх аттракторов. Она представляет собой перекрытие двух листов сосуществования двух аттракторов и симметрична относительно диагонали (рис. 4а). При введении отстройки 3 листы начинают расходиться, при этом сокращается их площадь. При дальнейшем увеличении отстройки мультистабильность наблюдаться перестаёт.

Обратимся теперь к случаю квазипериодической динамики подсистем. Параметры (./¡, /2) отвечают за степень возбуждения подсистем. Поэтому рассмотрим устройство плоскости (■/], У2), фиксируя ^ =52 = 0.2. Это отвечает движению через область квазипериодических режимов в каждой из подсистем вне языков синхронизации (линия 3 на рис. 3). Для визуализации непериодических режимов на рис. 5а приведена карта спектра показателей Ляпунова при <5 = 0. На ней видны области двухчастотного тора (т.е. равенство нулю старшего ляпуновского показателя). Вдоль диагонали расположены две области трёхчастотного тора. При введении отстройки эти области сужаются и с ростом 8 исчезают (рис. 56).

Для радиофизической реализации универсального двумерного отображения (5) была применена идея схемы с переключаемыми конденсаторами (см., например, пособие "). Конкретная представленная в диссертации схема на основе операционных усилителей, является оригинальной и разработана с использованием программного пакета «МиШвйп 10.0». Также разработана и представлена схема, соответствующая системе связанных отображений (6). Было выполнено моделирование процесса функционирования этих схем в программном пакете «МиШвип 10.0» при различных параметрах, отвечающих режимам периодических, квазипериодических и

" Беспятов А.Б., Пономаренко В.И. Сложная динамика схемы на переключаемых конденсаторах. Изд-во ГосУНЦ "Колледж", Саратов, 1999, 26 с.

-0.8

-0.8 У, 1.4 0.7 Jx 1.6

а б

Рис. 4. Карта мультистабильности системы (6) на плоскости параметров (J,, J2) при S, =S2 =-1, £ = 0.01, (а) - <5 = 0,(6)- ¿ = 0.05.

0 ^ 1.8 0 ./, 1.8 а б

Рис. 5. Карта спектра показателей Ляпунова системы (6) на плоскости параметров (У,, J2) при 5, = Я, = 0.2, е = 0.01, (а) - при 8 = 0, (б) - при 8 = 0.04. Символами Т2 и Т3 обозначены области двухчастотных и трёхчастотных торов.

хаотических колебаний в хорошем соответствии с результатами, полученными при численных расчетах для соответствующих отображений (см. иллюстрации на рис.6 и 7). При моделировании схемы, отвечающей системе

Уг

Рис.6. Фазовые портреты, полученные при моделировании радиофизической реализации универсального двумерного отображения: период 2, период 3 и квазипериодический режим.

0.4

Ух, В

1 1

А .1 1 1111

Ух, В

;

1 ;

п1......

1—¡-Р......

юНгт I

v, кГц

(V)

Рис.7. Спектры колебаний, полученные при моделировании радиофизической реализации универсального двумерного отображения, для периодического режима (слева) и хаотического режима (справа).

В четвёртой главе рассматривается вопрос радиотехнической реализации отображения с гиперболической динамикой «кот Арнольда». Согласно работе 10, отображение «кот Арнольда» приближенно описывает динамику фаз последовательно генерируемых цугов колебаний в системе двух пар связанных осцилляторов, возбуждаемых попеременно: х-[Асо&(2м!Т)—хг}х+ со]х = асоэау, у - [Л со5(2лг/7") - у2+ а>2у = ем, '¿-[-А со&(2т/Т) - 2г ]г + 4а2 г = еху, М1-[~Л соб(2л!/Т) - и<2 ]н>+ а>1 м> = ех.

С помощью программного пакета «МиШвип 10.0» была сконструирована схема устройства, которое обеспечивает динамику, отвечающую уравнениям связанных осцилляторов (7), и, соответственно, отображению «кот Арнольда» на качественном уровне. Схема приводится в диссертации с подробным объяснением принципа ее функционирования. На рис. 8 показаны реализации, полученные для четырех динамических переменных, представленных напряжениями на соответствующих элементах схемы, при моделировании в программной среде МиМвт. Обработкой полученных результатов для одной из пар осцилляторов было показано, что динамика

фаз высокочастотного заполнения для последовательных цугов колебаний согласуется с динамикой переменных отображения «кот Арнольда».

r—-----"tjfr- ....... t.j X л

Г <(ff 4tli ' l)t .....ML.....Ум

i ,11

II-'IMMMI^" ,м< i .»i, i i ш i g> § ♦ # 1 IMP Ш. i: W

о 0.4 0.8 1.2 1.6 t. ms

Рис.8. Временная динамика переменных для электронной схемы, качественно соответствующей уравнениям (7).

Отображение «кот Арнольда» является консервативным и, соответственно, для него не наблюдаются аттракторы. Чтобы они стали возможными, необходимо внести некоторое диссипативное возмущение. Примером такой системы может служить отображение12:

Рп*\ ~ Р., + Ч +e(sin2npa +—sin4np„)/2n modi,

2 (8) 1 I

= 2qn + pn + E(sin 1кр„ + —sin 4л-bsinSTtij, + —sin4ngJ/2ji modi.

Было исследовано изменение динамики системы (8) при увеличении амплитуды возмущения. Для этого строились бифуркационные деревья на плоскости (р, g) (рис. 9) и в пространстве (р, q, е) для множества начальных условий, а также графики зависимости показателей Ляпунова от амплитуды возмущения с. При небольших значениях амплитуды возмущения (от О до 1.25), старший показатель Ляпунова положителен. Пока амплитуда возмущения очень мала, модель демонстрирует характерный для систем Аносова гиперболический хаос, обладающий свойствами эргодичности и перемешивания на всей поверхности тора. С увеличением возмущения, в определенном интервале по параметру е реализуется гиперболический аттрактор, который относится к типу так называемых DA-аттракторов (термин введен Смейлом и расшифровывается как «Derived from Anosov»). Этот аттрактор разрушается при дальнейшем увеличении амплитуды возмущения. При е>1.25 старший показатель Ляпунова становится отрицательным, что соответствует регулярной динамике. Здесь сосуществуют две устойчивые неподвижные точки. При дальнейшем увеличении амплитуды возмущения каждая из них порождает цикл периода 3, т.е. наблюдается

12 Кузнецов С.П. Гиперболические странные аттракторы систем, допускающих физическую реализацию. Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика, 2009, т. 17, № 4, с. 5-34.

эффект утроения периода. Аттрактор при этом устроен таким образом, что у двух его элементов переменная р совпадает, и на бифуркационном дереве в проекции на плоскости (р, е) на рис.6 видны только два элемента. При дальнейшем увеличении е (е = 2.7) возникает квазипериодическая динамика, а затем реализуется переход к хаосу вследствие ее разрушения.

ШбЯяШШ !

шиимядНИ!

|ННННН .1 ¡§§ ¡рр

О е 5

Рис. 9. Бифуркационное дерево системы (8) на плоскости (р, е).

Основные результаты и выводы

1. Наблюдается сходство возникновения, эволюции и разрушения мультистабильных режимов в отображениях и потоках, демонстрирующих переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. Области мультистабильности на плоскости параметров, отвечающих за удвоения периода, располагаются в основном вдоль диагоналей этих плоскостей и симметричны относительно них. Наблюдается определенное сходство динамики систем с инерционной и диссипативной связью.

2. При введении асимметрии связи в связанных системах с удвоениями периода происходит сокращение возможного количества сосуществующих аттракторов. При этом наиболее существенные изменения претерпевают карты мультистабильлности. Так листы, отвечающие сосуществованию трех аттракторов, расходятся от диагонали на плоскости управляющих параметров, в результате чего область перекрытия исчезает. Эти изменения проявляются и в структуре бифуркационных деревьев, построенных вдоль диагонали: мягкое возникновение соответствующих аттракторов сменяется на жесткое.

3. Площади листов мультистабильности, отвечающих сосуществованию двух и трех аттракторов, имеют максимумы при значении отстройки по параметру связи 8, примерно равному среднему значению параметра связи £, что отвечает случаю однонаправлено связанных систем. С дальнейшим ростом параметра отстройки происходит существенный спад площади этих листов.

4. При введении асимметрии связи с ростом отстройки по параметру связи наблюдается существенное искажение формы бассейнов притяжения и появление «изрешечивании» бассейнов синхронного и несинхронного аттракторов, фрактализации их границ, слиянии отдель-

ных частей бассейна в односвязную область.

5. Указанные особенности влияния асимметрии связи наблюдаются как для модели в виде связанных логистических отображений, так и для связанных потоковых систем Рёсслера.

6. Универсальное двумерное отображение позволяет исследовать динамику связанных систем в случаях, когда автономные подсистемы демонстрируют каскад удвоений периода, автономные квазипериодические колебания и внутренние резонансы, связанные с бифуркацией Неймарка-Сакера.

7. При значениях параметров, отвечающих автономной квазипериодической динамике в обеих подсистемах, на плоскости параметров возбуждения подсистем наблюдаются различные типы двухчастотной квазипериодичности. Это могут быть режимы, отвечающие слабо возмущенному почти синхронному движению подсистем или доминированию одной из подсистем. Эти режимы ограничивают области трехчас-тотной квазипериодичности на плоскости параметров возбуждения. В области, где степень возбуждения подсистем велика, наблюдаются также различные резонансные двухчастотные режимы и гиперхаос. На базе синхронных режимов в подсистемах могут возникать новые листы карты режимов на плоскости параметров.

8. При введении асимметрии связи происходит искажение границ трех-частотной квазипериодической динамики и гиперхаоса, сокращение и исчезновение областей их существования на плоскости управляющих параметров.

9. Предложена радиофизическая реализация универсального двумерного отображения со всеми типичными бифуркационными сценариями, в частности, бифуркацией Неймарка-Сакера. Эта система может рассматриваться как пример автономного радиофизического генератора квазипериодических колебаний.

10. Рассмотрена система связанных радиофизических электротехнических схем, отвечающих связанным универсальным двумерным отображениям. Данная система демонстрирует все характерные режимы, наблюдавшиеся при численном исследовании связанных отображений.

11. Отображение с гиперболической динамикой «кот Арнольда» допускает радиофизическую реализацию в виде электронной схемы, основанную на поэтапном возбуждении четырех связанных осцилляторов. Эта схема позволяет иллюстрировать основные (топологические) особенности отображения «кот Арнольда».

12. В диссипативно возмущенном отображении «кот Арнольда» гиперболический аттрактор разрушается с ростом величины возмущения. Он исчезает жестким образом, при этом вместо пего возникают две устойчивые неподвижные точки. Затем происходит эффект утроения периода этих точек. При дальнейшем росте возмущения возникает квазипериодическая динамика с последующим ее разрушением и переходом к классическому хаосу.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Поздняков М.В., Савин A.B. Особенности мультистабильных режимов несимметрично связанных логистических отображений.// Изв. ВУЗов «ПНД». 2010. Т. 18. № 5. С. 45 - 54.

2. Поздняков М.В. Динамические режимы и мультистабильность в системе несимметрично связанных универсальных двумерных отображений, демонстрирующих бифуркации удвоения периода и Неймарка-Сакера.// Изв. ВУЗов «ПНД». 2011. Т. 19. № 4. С. 68 - 76.

3. Поздняков М.В. Мультистабильность и устройство бассейнов притяжения в связанных отображениях с удвоениями периода. //Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2006. Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов, 25 - 28 октября, 1 - 2 ноября 2006 г. Саратов: РИО журнала «Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика», 2007. С. 89 - 92.

4. Поздняков М.В. Структура бассейнов притяжения в несимметрично связанных логистических отображениях. //Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2007. Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов, 16-20 октября 2007 г. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2008. С 86 - 89.

5. Кузнецов А.П., Поздняков М.В., Савин A.B. Мультистабильность в несимметрично связанных логистических отображениях. //11 Конференция молодых учёных «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». Саратов, 14-17 мая 2007 г. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2007. С. 87 - 88.

6. Кузнецов А.П., Поздняков М.В., Савин A.B. Мультистабильность и бассейны притяжения в логистических отображениях с несимметричной связью. //Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика: Тез. докл. III конференции молодых учёных. Саратов, 25 - 28 июня 2008 г. Саратов: Изд-во Сарат. университета, 2008. С. 59 - 61.

7. Кузнецов А.П., Поздняков М.В., Савин A.B. Мультистабильность в несимметрично связанных системах Рёсслера. //Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика: Тез. докл. IV конференции молодых учёных. Саратов, 7-9 сентября 2009 г. Саратов: Изд-во Сарат. университета, 2009. С. 80 - 82.

8. М.В. Поздняков, A.B. Савин. Мультистабильность в несимметрично связанных системах. //Материалы Международной школы-семинара «StatInfo-2009», Россия, Саратов, 2-5 июня 2009 г. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2009. С. 42 - 45.

9. Кузнецов А.П., Поздняков М.В., Савин A.B.. Динамика несимметрично связанных универсальных двумерных отображений. //XV научная школа «Нелинейные волны - 2010». Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики. Конференция молодых учёных. Нижний Новгород, 6-12 марта 2010 г. Нижний Новгород: 2010. С. 101 - 102.

10. Поздняков М.В. Особенности динамики несимметрично связанных систем с удвоениями периода //Нелинейные дни в Саратове для

молодых - 2008: сборник материалов научной школы-конференции. Саратов, 29, 31 октября, 5-8 ноября 2008 г. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2009. С. 89-92.

П.Поздняков М.В. Динамика несимметрично связанных универсальных двумерных отображений //Нелинейные дни в Саратове для молодых -2009: сборник материалов научной школы-конференции. Саратов, 16 -18 ноября 2009 г. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2010. С. 111 - 114.

12. Аржанухина Д.С., Поздняков М.В. Динамика диссипативных модификаций отображения «кот Арнольда» //Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2009: сборник материалов научной школы-конференции. Саратов, 16 - 18 ноября 2009 г. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2010. С. 61-64.

13. Кузнецов А.П., Поздняков М.В., Савин A.B. Мультистабильность в несимметрично связанных универсальных двумерных отображениях. //Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика: Тез. докл. V конференции молодых учёных. Саратов, 6-8 сентября 2010 г. Саратов: Изд-во Сарат. университета, 2010. С. 79 - 80.

14. Аржанухина Д.С., Поздняков М.В. Исследование аттракторов в отображении «кот Арнольда» при введении диссипативных добавок //Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика: Тез. докл. V конференции молодых учёных. Саратов, 6-8 сентября 2010 г. Саратов: Изд-во Сарат. университета, 2010. С. 81 - 82.

15. Кузнецов С.П., Поздняков М.В. Реализация устройства, моделирующего динамику систем связанных универсальных двумерных отображений //«Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика»: тез. докл. VI Всерос. конф. молодых учёных. Саратов, 13-15 сентября 2011 г. Саратов: Изд-во Сарат. университета, 2011. С. 135 - 136.

16. Аржанухина Д.С., Поздняков М.В. Сложная динамика и разрушение гиперболического хаоса в отображении «кот Арнольда» с диссипативным возмущением. //«Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика»: тез. докл. VI Всерос. конф. молодых учёных. Саратов, 13-15 сентября 2011 г. Саратов: Изд-во Сарат. университета, 2011. С. 88-89.

17. Кузнецов А.П., Поздняков М.В., Савин A.B. Устройство областей мультистабильности и бассейнов притяжения аттракторов в несимметрично связанных логистических отображениях. //Материалы XIII международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур». Саратов, 9 - 14 октября 2007 г. (электр.) http://nonlin.sgu.ru/chach2007/chaos2007.pdfC. 83 - 84.

18. Кузнецов А.П., Поздняков М.В., Савин A.B. Исследование динамики связанных универсальных двумерных отображений при введении несимметричной связи. //Материалы IX международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур». Саратов, 4-9 октября 2010 г. (электр.) http://nonlin.sgu.ru/chach2010/data/ProceedingP.pdf С. 112-113.

ПОЗДНЯКОВ Михаил Валерьевич

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ И МУЛЬТИСТАБИЛЬНОСТЬ

В НЕСИММЕТРИЧНО СВЯЗАННЫХ СИСТЕМАХ С РАЗЛИЧНЫМИ БИФУРКАЦИОННЫМИ СЦЕНАРИЯМИ

01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

Формат 60x84 1/16. Подписано в печать 11.11.2011 г. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Объём - 1 печ. л. Тираж 100 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Поздняков, Михаил Валерьевич

Введение.

Глава 1. Колебательные режимы и мультистабильность в симметрично связанных системах с удвоениями периода.

1.1 Связанные системы с удвоениями периода: общие сведения.

1.2 Система связанных логистических отображений.

1.2.1 Аналитическое исследование плоскости «управляющий параметр - амплитуда связи» для идентичных отображений.

1.2.2 Численное исследование системы: плоскость управляющий параметр - величина связи. Карты динамических режимов и карты мультистабильности.

1.2.3 Численное исследование системы: плоскость управляющих параметров.

1.3 Система связанных осцилляторов Рёсслера.

Выводы.

Глава 2. Колебательные режимы и мультистабильность в несимметрично связанных системах с удвоениями периода.

2.1 Система связанных логистических отображений.

2.1.1 Численное исследование плоскости «управляющий параметр - амплитуда связи» систем в случае несимметричной связи.

2.1.2 Численное исследование плоскости управляющих параметров подсистем в случае несимметричной связи.

2.1.3 Исследование площади областей мультистабильности от отстройки по параметру связи.

2.2 Мультистабильность в несимметрично связанных системах

Рёсслера.

2.3 Бассейны притяжения

2.3.1 Влияние асимметрии связи на бассейны притяжения аттракторов связанных логистических отображений.

2.3.2 Влияние асимметрии связи на бассейны притяжения аттракторов связанных систем Рёсслера.

Выводы.

Глава 3. Связанные универсальные двумерные отображения с бифуркацией Неймарка-Сакера.

3.1 Бифуркация Неймарка-Сакера и универсальное двумерное отображение.

3.2 Связанные универсальные двумерные отображения.

3.3 Исследование динамики системы в случае симметричной связи.

3.3.1 Удвоения периода в подсистемах.

3.3.2 Возникновение синхронных режимов в подсистемах.

3.3.3 Квазипериодические режимы в подсистемах.

3.4 Исследование динамики в случае несимметричной связи.

3.4.1 Удвоения периода в подсистемах.

3.4.2 Возникновение синхронных режимов в подсистемах.

3.4.3 Квазипериодические режимы в подсистемах.

3.5 Бассейны притяжения в системе связанных универсальных двумерных отображений.

3.5.1 Бассейны притяжения в случае симметричной связи.

3.5.2 Бассейны притяжения в случае несимметричной связи.

3.6 Исследование физической реализации универсального двумерного отображения.

3.6.1 Исследование автономной системы.

3.6.2 Исследование связанных систем.

Выводы.

Глава 4. Связанные осцилляторы и отображение с гиперболической динамикой - кот Арнольда.

4.1. Система с гиперболической динамикой - отображение кот

Арнольда и его представление в виде связанных осцилляторов.

4.2 Радиофизическая реализация системы связанных осцилляторов, моделирующих отображение кот Арнольда.

4.3 Диссипативная версия отображения кот Арнольда

ДА-аттракторы) и его свойства.

Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Колебательные режимы и мультистабильность в несимметрично связанных системах с различными бифуркационными сценариями"

Актуальность работы

Исследование связанных систем со сложной динамикой остается актуальной проблемой радиофизики. Эта проблема является сложной и многоплановой. Она исследовалась в работах В.С.Аншценко, В.В.Астахова, Т.Е.Вадивасовой, Д.Э.Постнова, А.В.Шабунина, В.Д.Шалфеева, Г.В.Осипова, В.В.Матросова, Б.П.Безручко, Е.П.Селезнева, С.П.Кузнецова, Ж.Т.Жусубалиева, Ю.Майстренко, А.Пиковского, М.Розенблюма, К.Канеко, Ю.Куртца, У.Фойдель, Э.Мозекильде и других авторов [1-61]. Среди обсуждаемых вопросов можно выделить исследования устройства пространства параметров и картины бифуркаций связанных систем [1-19], хаотической синхронизации [20-33], мультистабильности [34-42], критических явлений с использованием метода ренормализационной группы [43-50], анализ различных связанных электронных схем и генераторов [1416,19,54-57] и т.д. Эта проблематика имеет как фундаментальное значение для нелинейной динамики, так важна и для приложений в радиофизике, экономике, биофизике (например, для описания взаимодействия нефронов, при исследовании нейросетей) и т.д. [5-8,51-53].

Исследование связанных систем с удвоениями периода. Простейший бифуркационный сценарий перехода к хаосу ассоциируется с удвоениями периода. Классической моделью, демонстрирующей такой сценарий является квадратичное логистическое отображение, так что возникает задача исследования связанных таких отображений. Различные аспекты этой задачи (случай идентичных по управляющим параметрам подсистем, случай неидентичных подсистем, мультистабильность и т.д.) обсуждались, например, в [9-13,35,39,40,43-46 ]1. Аналогичный подход применяется и к потоковым системам, описываемым дифференциальными уравнениями. В качестве наиболее популярного примера парциальной подсистемы используется система Ресслера [17, 20 - 23,25,32,33], исследовались также такие системы, как генератор Анищенко-Астахова [2,3,14 - 16], Кислова-Дмитриева [19, 58], разнообразные модели Спротта [18] и др. Однако многие аспекты динамики связанных систем с удвоениями периода еще не получили полного освещения. Так недостаточно исследовано влияние асимметрии связи на динамику составной системы, на устройство пространства параметров такой системы, а также на картину мультистабильности.

Исследование связанных систем с бифуркацией Неймарка-Сакера. С бифуркацией Неймарка-Сакера ассоциируется возникновение квазипериодической динамики [1,59,60]. При этом в фазовом пространстве потоковой системы из предельного цикла рождается тор. Несмотря на канонический характер этой бифуркации, выбор модели для исследования в виде подходящего отображения не столь тривиален, как в предыдущем случае. Для неавтономных систем в области малых амплитуд воздействия хорошей моделью служат отображения окружности или кольца, но они не применимы в области больших амплитуд, когда наблюдается бифуркация Неймарка-Сакера [1, 59,61]. С другой стороны, такая бифуркация возможна и в автономных системах. Известно не так много примеров автономных генераторов квазипериодических колебаний с такой бифуркацией. Это, например, специальным образом модифицированный генератор Анищенко-Астахова [62 - 64], или гибрид автогенератора релаксационных колебаний и системы с жестким возбуждением, предложенный А.П.Кузнецовым, С.П.Кузнецовым, Н.В.Станкевич [66, 67]. Для таких систем отображение в виде сечения Пуанкаре может быть построено только численно. С другой стороны, известно множество примеров простых аналитических, но формальных моделей с бифуркацией Неймарка-Сакера в виде двумерных или

1 См. в связи с этим также соответствующий обзор в первой главе работы. 6 трехмерных отображений. Большой список (несколько десятков) можно, л найти, например, в монографии и работах Спротта [68 - 70] . В качестве базовой модели в настоящей работе используется предложенное в [71] двумерное отображение, которое обладает универсальным характером в том плане, что демонстрирует все характерные бифуркации на плоскости своих параметров, в качестве которых выступают след и якобиан матрицы возмущений. Это отображение, как и модели [68 - 70], однако, введено формальным образом. Поэтому интересным является вопрос о возможности его радиофизической схемотехнической реализации, как варианта автономного генератора квазипериодических колебаний.

В свою очередь, объединение подсистем может приводить к новому типу поведения. В этом плане вызывают интерес недавно предложенные системы с гиперболическим хаосом на основе связанных осцилляторов. Грубые гиперболические аттракторы до недавнего времени были известны только как искусственные математические конструкции, предложенные в работах Аносова, Плыкина, Смейла-Вильямса. Недавно был развит подход, который позволяет строить системы с гиперболической динамкой на основе связанных осцилляторов [72 - 74]. Так в [75] обсуждается применимость такого подхода для одной из основных моделей гиперболической теории -известного отображения «кот Арнольда». В то же время вопрос о схемотехническй реализации такой системы не обсуждался. Отметим, что отображение «кот Арнольда» - консервативная система. Поэтому представляет интерес исследование отображения, возмущенного таким образом, что оно переходит в класс диссипативных [74]. Соответственно, возникает вопрос об исследовании простейшей диссипативной версии такого отображения. л t

Одна из работ Спротта носит характерное в этом плане название: «А Minimal 2-D Quadratic Map with Quasi-Periodic Route to Chaos» - Минимальное двумерное отображение с квазипериодическим сценарием перехода к хаосу [68].

Цели и задачи работы

Для этого решались следующие задачи.

1. Исследование модификации картины динамических режимов и мультистабильности в связанных системах с удвоениями периода при введении несимметричной связи.

2. Исследование картины динамических режимов и мультистабильности в связанных универсальных отображениях с бифуркацией Неймарка-Сакера, и разработка их радиофизической реализации.

3. Построение радиофизической схемы системы с гиперболической динамикой- «кот Арнольда» - на основе связанных осцилляторов и исследование диссипативной версии такого отображения.

Методы исследования

В ходе выполнения работы был использован широкий набор различных численных методов. Для анализа устройства пространства параметров отображений и потоков использовались методы карт динамических режимов, карт старшего показателя Ляпунова и карт, отображающих спектр ляпуновских показателей. Последний метод позволяет отследить более высокоразмерные хаос и квазипериодичность. Для анализа систем с несколькими сосуществующими аттракторами предложен метод карт мультистабильности, в рамках которого численно определялось количество сосуществующих аттракторов в каждой точке плоскости параметров. При вариации одного из управляющих параметров использовались метод построения сосуществующих бифуркационных деревьев на одной диаграмме. Строились также бассейны притяжения различных аттракторов. Для радиофизической реализации модельных отображений использовался программный пакет электрических схем «МиШвип 10.0». С его помощью исследовались осциллограммы, фигуры Лиссажу, фазовые портреты, Фурье-спектры предложенных схем.

Положения и основные результаты, выносимые на защиту

2. При введении асимметрии связи в системах с удвоениями периода, как с дискретным, так и с непрерывным временем происходит сокращение количества сосуществующих аттракторов, а также существенное искажение формы бассейнов притяжения, фрактал из ация их границ, слияние отдельных частей бассейна в односвязную область.

5. Система с динамикой на аттракторе, описываемой отображением «кот Арнольда», допускает радиофизическую реализацию на базе двух пар связанных неавтономных осцилляторов Ван дер Поля. В отображении «кот Арнольда» при добавлении диссипативных членов определенного вида с ростом возмущения осуществляется переход от гиперболической динамики Аносова к гиперболическому БАаттрактору, с последующим его разрушением, возникновением периодической динамики, и, после бифуркации утроения периода, переходом к негиперболическому хаосу. Аргументированность, обоснованность и достоверность результатов диссертации

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием при расчётах апробированных и известных численных методов. Принималось во внимание соответствие взаимодополняющих методов, таких как карты мультистабильности, построение сосуществующих бифуркационных деревьев, а также бассейнов притяжения. Дополнительным аргументом служит также соответствие результатов, полученных численными методами, и результатов моделирования с помощью пакета «МиШвнп 10.0».

Научная новизна работы

В работе впервые

• Проведено комплексное исследование влияния асимметрии связи на картину режимов связанных систем с удвоениями периода, включающее построение карт динамических режимов, карт мультистабильности и семейств бифуркационных деревьев. Проведена оценка площади различных листов мультистабильных состояний на плоскости управляющих параметров подсистем.

10 гиперхаоса и трехчастотной квазипериодичности при увеличении степени асимметрии связи подсистем.

• Предложена радиофизическая реализация связанных универсальных двумерных отображений.

• Поострена радиофизическая модель, описывающая систему с гиперболической динамикой - отображение «кот Арнольда».

Научная и практическая значимость

Личпый вклад

Краткое содержание работы

Основной текст диссертации состоит из введения, четырёх глав и заключения. В первой главе рассмотрена динамика симметрично связанных систем, демонстрирующих переход к хаосу через последовательность удвоений периода, на примере связанных логистических отображений с инерционной и диссипативной связью и связанных осцилляторов Рёсслера. Приведён обзор ранее известных результатов, касающихся колебательных режимов и мультистабильности и колебательных режимов в связанных системах.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Выводы

1. Отображение с гиперболической динамикой «кот Арнольда» допускает радиофизическую реализацию в виде электронной схемы, основанную на поэтапном возбуждении четырех связанных осцилляторов. Эта схема позволяет иллюстрировать основные (топологические) особенности отображения «кот Арнольда».

2. В диссипативно возмущенном отображении «кот Арнольда» гиперболический аттрактор разрушается с ростом величины возмущения. Он исчезает жестким образом, при этом вместо него возникают две устойчивые неподвижные точки. Затем происходит эффект утроения периода этих точек. При дальнейшем росте возмущения возникает квазипериодическая динамика с последующим ее разрушением и переходом к классическому хаосу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с поставленными задачами в настоящей работе проведено исследование особенностей динамики связанных систем с различными бифуркационными сценариями (на основе удвоений периода и бифуркации Неймарка-Сакера) и радиофизическая реализация на основе связанных осцилляторов гиперболической системы - отображения кот Арнольда. В качестве систем, демонстрирующих переход к хаосу через последовательность удвоений периода были выбраны системы связанных логистических отображений с инерционной и диссипативной связью, а также связанные системы Рёсслера. Изучение динамики систем с бифуркацией Неймарка-Сакера проводилось на примере системы связанных универсальных двумерных отображений. При этом получены следующие результаты и выводы.

3. Площади листов мультистабильности, отвечающих сосуществованию двух и трех аттракторов, имеют максимумы при значении отстройки по параметру связи д, примерно равному среднему значению параметра связи £, что отвечает случаю однонаправлено связанных систем. С дальнейшим ростом параметра отстройки происходит существенный спад площади этих листов.

5. Указанные особенности влияния асимметрии связи наблюдаются как для модели в виде связанных логистических отображений, так и для связанных потоковых систем Ресслера.

7. При значениях параметров, отвечающих автономной квазипериодической динамике в обеих подсистемах, на плоскости параметров возбуждения подсистем наблюдаются различные типы двухчастот-ной квазипериодичности. Это могут быть режимы, отвечающие слабо возмущенному почти синхронному движению подсистем или доминированию одной из подсистем. Эти режимы ограничивают области трехчастотной квазипериодичности на плоскости параметров возбуждения. В области, где степень возбуждения подсистем велика, наблюдаются также различные резонансные двухчастотные режимы и гиперхаос. На базе синхронных режимов в подсистемах могут возникать новые листы карты режимов на плоскости параметров.

8. При введении асимметрии связи происходит искажение границ

154 трехчастотной квазипериодической динамики и гиперхаоса, сокращение и исчезновение областей их существования на плоскости управляющих параметров.

12. В диссипативно возмущенном отображении кот Арнольда гиперболический аттрактор разрушается с ростом величины возмущения. Он исчезает жестким образом, при этом вместо него возникают две устойчивые неподвижные точки. Затем происходит эффект утроения периода этих точек. При дальнейшем росте возмущения возникает квазипериодическая динамика с последующим ее разрушением и переходом к классическому хаосу.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Поздняков, Михаил Валерьевич, Саратов

1. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003, 496 с.

2. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Издательская группа URSS, изд.2, доп., 2009, 320 с.

3. Анищенко B.C., В.В. Астахов, Вадивасова Т.Е, Стрелкова Г.И. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008, 144 с.

4. Ланда П.С., Неймарк Ю.И. Стохастические и хаотические колебания.— М.: ЛИБРОКОМ, изд.2, доп., 2009, 424 с.

5. Mosekilde Е. Topics in nonlinear dynamics: applications to physics, biology and economic, 1996, World Scientific, Singapore, 380 p.

6. Balanov A.G., Janson N.B., Postnov D.E., Sosnovtseva O. Synchronization: from simple to complex. Springer, 2009, 437 p.

7. Mosekilde E., Maistrenko Y., Postnov D. Chaotic Synchronization. Applications to Living Systems. World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A. Vol. 42, 2002, 430 p.

8. Encyclopedia of dynamical systems. wu^v.scholarpedia org/'article/Encv clopedia of dynamical systems.

9. Reick C., Mosekilde E. Emergemce of quasiperiodicity in symmetrically coupled, identical period-doubling systems // Phys. Rev. E52, 1995, № 2, p. 1418-1435.

10. P. С. Rech. M- W. Beims and J. A. C. Gallas. Naimark-Sacker Bifurcations in Linearly Coupled Quadratic Maps. arXiv:nlin CD/0408010 vl 5 Aug 2004.

11. Schult R. L., Creamer D. В., Henyey F. S., Wright J. A. Symmetric and nonsymmetric coupled logistic maps // Phys. Rev. A 35, 1987, № 7, p. 31153118.

12. Udwadia F.E., Raju N. Some global properties of a pair of coupled maps: Quasi-symmetry, periodicity, and synchronicity // Physica D, 1998, v. 11, № 14, p. 16-26.

13. Jian-Min Y., Mingwhei Т., Hsuan F., Lorenzo N. Instability and irregular behavior of coupled logistic equations // Phys. Rev. A, 1983, v. 28, № 3, p. 1662-1666.

14. Кузнецов А.П., Седова Ю.В., Сатаев И.Р. Устройство пространства управляющих параметров неидентичных связанных систем с удвоениями периода // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2004, т. 12, №5, с. 46-57.

15. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Генератор Аншценко-Астахова как одна из базовых моделей детерминированного хаоса // Известия Саратовского университета. Сер. Физика, 2005, т. 5, вып. 1, с. 54-67.

16. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э., Сафонова М.А. Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса // Радиотехника и электроника, 1991, т. 36, №. 2, с. 338-351.

17. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova М.А., Synchronization of chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1992, v. 2, № 3, p. 633-644.

18. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Динамика двух неидентичных связанных автоколебательных систем с удвоениями периода на примере осцилляторов Ресслера // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2006, т. 14, №2, с. 3-15.

19. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Динамика систем связанных осцилляторов Спротта с неидентичными управляющими параметрами // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2007, т. 15, № 3, с. 95-105.

20. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Динамика системы двух связанных неидентичных генераторов Кислова-Дмитриева // ЖТФ, 2008, т. 786 вып. 4, с. 129-132.

21. Rosenblum M., Pikovsky A., Kurths J. Phase Synchronization of Chaotic Oscillators //Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, p. 1804-1807.

22. Osipov G., Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical Rossler oscillators // Phys. Rev. E, 1997, v. 55, p. 2353-2361.

23. Boccalettia S., Kurthsc J., Osipovd G., Valladaresbe D.L., Zhouc C.S. The synchronization of chaotic systems // Physics Reports, 2002, v. 366, p. 1-101.

24. Pikovsky A., Grassberger P. Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic oscillators //J. Phys. A: Math. Gen., 1991, v.24, p. 4587-4597.

25. Maistrenko Yu. L., Maistrenko V. L., Popovych O., and Mosekilde E. Desynchronization of chaos in coupled logistic maps // Phys. Rev. E60,1999, № 3, p. 2817-2829.

26. Yanchuk S., Maistrenko Yu., Mosekilde E. Loss of synchronization in coupled Rossler systems // Physica D, 2001, v. 154, № 1-2, p. 26-42.

27. Zhan M., Zheng Z., Hu G., Peng X. Nonlocal chaotic phase synchronization // Phys. Rev. E., 2000, v. 62, № 3. p. 3552.

28. Kunick A., Steeb W.-H. Coupled Chaotic Oscillators. // Journal of Physical Society, 1985, v.5 4, № 4, p. 1220-1223.

29. Rul'kov N.F., Volkovskii A.R., Rogriguez-Lozano A., Del Rio E., Velarde M.G. Mutual synchronization of chaotic self-oscillators with dissipative coupling. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1992, v. 2, № 3, p. 669-676.

30. Hasler M., Maistrenko Y. An introduction to the synchronization of chaotic systems: coupled skew tent maps // IEEE Transaction on Circuits and Systems, 1997, v. 44, № 10, p. 856-866.

31. Maistrenko Y., Kapitaniak T. Different types of chaos synchronization in two coupled piecewise linear maps // Phys. Rev. E, 1996, v.54, № 4, p. 3285-3292.

32. Астахов B.B., Шабунин A.B., Анищенко B.C. Механизмы разрушения хаотической синхронизации в системе связанных кубическихотображений. // Изв. вузов: Прикладная нелинейная динамика, 1999, т. 7, №2-3, с.3-11.

33. Yanchuk S., Maistrenko Yu., Mosekilde E. Loss of synchronization in coupled Rôssler systems // Physica D, 2001, v. 154, № 1-2, p. 26-42.

34. Короновский A.A., Куровская M.K., Москаленко О.И., Храмов А.Е. Два сценария разрушения режима хаотической фазовой синхронизации // Письма в ЖТФ, 2007, вып. 1, с. 21-29.

35. Feudel U. Complex dynamics in multistable systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2008. v. 18, № 6, p. 1607-1626.

36. Beims M.W., Rech P.C., Gallas J.A.C. Fractal and riddled basins: arithmetic signatures in the parameter space of two coupled quadratic maps // Physica A295, 2001, № 1-2, p. 276-279.

37. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Oscillation types, multistability, and basins of attractors in symmetrically coupled period-doubling systems // Chaos, Solitons and Fractals, 2003, v. 15, p. 695-711.

38. Carvalho R., Fernandez В., Vilela Mendes R. From synchronization to multistability in two coupled quadratic maps // Physics Letters A. 2001, v. 285, №5-6, p. 327-338.

39. Rasmussen J., Mosekilde E., Reick C. Bifurcations in two coupled Ressler systems // Mathematics and Computers in Simulation, 1996, v. 40, № 3-4, p. 247-270.

40. Астахов B.B., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем. // Письма в ЖТФ, 1989, т. 15, № 3, с. 60-64.

41. Astakhov V., Shabunin A., Stalmakhov P. Multistability, in-phase and antiphase synchronization in period-doubling systems. // Izvestiya VUZ: Applied Nonlinear Dynamics, 2002, v. 10, № 3, c. 63-79.

42. Постнов Д.Э., Некрасов A.M. Механизмы фазовой мультистабильности при синхронизации ЗО-осцютляторов // Известия вузов. Прикладнаянелинейная динамика, 2005, т.13„ №. 1-2, с. 47-62.159

43. Шабунин А.В., Литвиненко А.Н., Астахов В.В. Управление мультистабильностью с помощью би-фазного резонансного воздействия. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2011, т. 19, № 1, с. 25 -39.

44. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума//Известия вузов. Радиофизика, 1985, т. 28, № 8, с. 991.

45. Kook Н., Ling F.H., Schmidt G. Universal behavior of coupled nonlinear systems //Phys.Rev. A43, 1991, № 6, p. 2700-2708.

46. Kim and S.-Y. Kook H. Period doubling in coupled maps // Phys. Rev. E48, 1993, №2, p. 785-799.

47. Kim S.-Y. and Kook H. Critical behavior in coupled nonlinear systems // Phys. Rev. A46,1992, № 8, p. 4467-4470.

48. Alstrom P. Stassinopoulos D. Space-time renormalization at the onset of spatio-temporal chaos in coupled maps // Chaos 2, 1992, № 3, 165872 (6 pages).

49. Lemaitre. H. Chate. Renormalization Group for Strongly Coupled Maps. // Journal of Statistical Physics, 19996v. 96, № 5-6, 1999, p. 915-962.

50. Kim S.-Y. and Kook H. Period doubling in coupled maps // Phys. Rev. E48, 1993, №2, p. 785-799.

51. Kook H., Ling F.H., Schmidt G. Universal behavior of coupled nonlinear systems // Phys. Rev. A43, 1991, № 6, p. 2700-2708.

52. Кузнецов А.П.,.Кузнецов С.П, Седова Ю.В. О свойствах скейлинга идентичных связанных логистических отображений с двумя типами связи без шума и под воздействием шума // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика, 2006, т. 14, №5, с. 94-109.

53. Postnov D.E., Sosnovtseva O.V., Mosekilde Е., Holstein-Rathlou N.-H. Synchronization of Tubular Pressure Oscillations in Interacting Nephrons // Chaos, Solitons and Fractals, 2003, v. 15, № 2, p. 343-369.

54. Sosnovtseva, A.N. Pavlov, E. Mosekilde, and N.-H. Holstein-Rathlou. Bimodaloscillations in nephron autoregulation // Phys. Rev. E 66, 061909 (2002).160

55. Encyclopedia of Computational Neuroscience. http://\vw\¥.scholarpedia.org/article/Categor\:Computational neuroscience

56. Rulkov N. Images of synchronized chaos: Experiments with circuits // Chaos, 1996, v. 6, № 3, p. 262-279.

57. Мишагин К.Г. ,Матросов В.В., Шалфеев В.Д., ШохнинВ.В. Экспериментальное исследование генерации хаотических колебаний в ансамбле двух каскадно-связанных фазовых систем // Письма в ЖТФ,2005, вып. 24, с. 31-38.

58. Кальянов Э.В. Хаотическая синхронизация в системе индуктивно связанных генераторов // Письма в ЖТФ, 2001, вып. 16, с.76-84.

59. Кальянов Э.В. Управляемая хаотическая система на основе индуктивно связанных бистабильных генераторов // Письма в ЖТФ, 2007, вып. 23, с. 59-65.

60. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. 278 с.

61. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Ижевск: РХД, 2002, 560 с.

62. Kuznetsov Y.A. Elements of applied bifurcation theory. New York: Springer, 1998, 593 p.

63. Mettin R., Parlitz U., Lauterborn W. Bifurcation Structure of the Driven Van der Pol Oscillator // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1993, v. 3, №6, p. 1529-1555.

64. Анищенко B.C., Николаев C.M. Устойчивость, синхронизация и разрушение квазипериодических колебаний // Нелинейная динамика,2006, т. 2, № з, с. 267-278.

65. Анищенко B.C., Николаев С.М. Генератор квазипериодических колебаний. Бифуркация удвоения двумерного тора // Письма ЖТФ, 2005, т. 31, вып. 19, с. 88-94.

66. Anishchenko V., Nikolaev S. and Kurths J. Winding number locking on a two-dimensional torus: Synchronization of quasiperiodic motions // Phys. Rev. E, 2006, v. 73, 056202.

67. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Stankevich N.V. A simple autonomous quasiperiodic self-oscillator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations, 2010, № 15, p. 1676-1681.

68. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Станкевич H.B. Автономный генератор квазипериодических колебаний // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2010, т. 18, № 2, с. 51.

69. Zeraoulia Е., Sprott J. 2-D quadratic maps and 3-D ODE systems, World Scientific Series on Nonlinear Science, 2010, 356 p.

70. Elhadj Z., Sprott J. A Minimal 2-D Quadratic Map with Quasi-Periodic Route to Chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos, 2008, v. 18, № 5, p. 1567- 1577.

71. Elhadj Z., Sprott J. On the dynamics of a new simple 2-D rational discrete mapping // International Journal of Bifurcation and Chaos, 2011, v. 21, № 1, p. 1-6.

72. Kuznetsov S.P. Example of a Physical System with a Hyperbolic Attractor of the Smale-Williams Type // Phys. Rev. Lett., 2005, v. 95,144101.

73. Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: от математики к физике // Успехи физических наук, 2011, т. 181, вып.2, с. 121-149.

74. Кузнецов С.П. Гиперболические странные аттракторы систем, допускающих физическую реализацию. Известия вузов Прикладнаянелинейная динамика, 2009, т. 17, № 4, с. 5-34.162

75. Isaeva O.B., Jalnine A.Yu. and Kuznetsov S.P. Arnold's cat map dynamics in a system of coupled nonautonomous van der Pol oscillators III Phys. Rev. E74, 2006, 046207.

76. Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations//J. of Stat. Phys., 1978. Vol. 19, № 1. Pp. 25-52.

77. Кузнецов С.П. Динамический хаос. M.: Физматлит, 2006, 356 с.

78. Ott Edward. Chaos in dynamical systems / Canada: Cambridge University Press, 1993. 386 pp.

79. Кузнецов С. П. Бифуркации удвоения в простой модели распределённой системы//Радиофизика, 1982. T. XXV. с. 1364-1368.

80. Кузнецов А. П., Кузнецов С.П. Критическая динамика одномерных отображений//Изв. вузов «ПНД», 1993, Т 1, № 1, 2. с. 15 -33.

81. Кузнецов А. П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Критическая динамика одномерных отображений. Часть II. Двухпараметрический переход к хаосу //Изв. вузов «ПНД», 1993. Т. 1, № 3, 4. с. 17 -35.

82. Кузнецов А. П., Кузнецов С.П. Критическая динамика решеток связанных отображений у порога хаоса (обзор) // Изв. вузов. Радиофизика, 1991. Т. 34, №10,11,12. с. 1079-1115.

83. Кузнецов А. П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Критическое поведение при переходе к хаосу через удвоения периода. Модельные отображения и ренормгрупповой анализ // Нелинейные волны' 2002, Н. Новгород: ИПФ РАН, 2003. с. 395-415.

84. Кузнецов С. П. О критическом поведении одномерных цепочек // Письма в ЖТФ, 1983. Т. 9, №2. с. 94 98.

85. Аншценко В. С., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: из-во СГУ, 1999. 368 с.

86. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова E.H., Селезнёв Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах И ЖТФ, 1990. т. 60, вып. 10. с. 19-26.

87. Безручко Б.П., Селезнёв Е.П. Бассейны притяжения хаотических аттракторов в связанных системах с удвоениями периода // Письма в ЖТФ, 1997, т. 23, №4. с. 40-46.

88. Астахов С.А., Безручко Б.П., Селезнёв Е.П., Смирнов Д.А. Эволюция бассейнов притяжения аттракторов связанных систем с удвоениями периода// Изв. вузов «ПНД». 1997. т. 15, №. 2,3. с. 87 99.

89. Daniele Fournier-Prunaret, Ricardo Lopez-Ruiz . Basin bifurcations in a two-dimensional logistic map // http://lanl arXiv.org/abs/nlin/0304059vl.

90. Kuznetsov A.P., Sataev I.R., Sedova J.V. Dynamics of coupled non-identical systems with period-doubling cascade // Regular and Chaotic Dynamics, 2008. Vol. 13, №1. Pp. 9-18.

91. Вадивасова Т.Е., Сосновцева O.H., Баланов А.Г. Фазовая мультистабильность в системах с квазипериодическим воздействием // Письма в ЖТФ, 1999. т. 25, вып. 22. с. 49 56.

92. Osinga Н., Wiersig J., Glendinning P., Feudel U. Multistability and nonsmooth bifurcations in the quasiperiodically forced circle map // http://lanl.arXiv.org/abs/nlin/0005032vl.

93. Carcasses J, Mira C., Bosch M., Simo C., Tatjer J. C. «Crossroad area spring area transition» . (1) parameter plane representation // Int. J. Bif. & Chaos, 1991. Vol. 1, № 1. Pp. 183-196.

94. Carcasses J., Mira C., Bosch M., Simo C., Tatjer J. C. «Crossroad area spring area transition» (ii) foliated parametric representation // Int. J. Bif. & Chaos, 1991. Vol. 1, № 2. Pp. 339-348.

95. Carcasses J., Mira C. On the crossroad area saddle area and spring area transition // Int. J. Bif. & Chaos, 1991. Vol. 1, № 3. pp. 641 - 655.

96. Кузнецов А.П., Савин A.B., Тюрюкина JI.B. Введение в физику нелинейных отображений. Саратов: изд-во «Научная книга», 2010. 134 с.

97. Thompson J.M.T., Stewart Н.В. Nonlinear dynamics and chaos. Geometrical methods for engineers and scientists. New York, John Wiley and Sons, 1986, 392p.

98. Kuznetsov Yuri A. Elements of applied bifurcation theory // New York: Springer, 1998, 593p.

99. Kuznetsov Yu.A., Meijer H.G.E., van Veen, L. The fold-flip bifurcation // Int. J. Bifurcation and Chaos, 2004, vol. 14, p. 2253-2282.

100. Meijer H.G.E. Codimension 2 bifurcations of iterated maps // Ph.D. Thesis Utrecht University, http://igilur-an:hi\elibrar\.uu-nl dissertations/2(K)6-1204-200716/index.htm.

101. Matsumoto Т., Chua L., Tokunaga R. Chaos via torus breakdown // IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1987, Vol. 34, No. 3, p. 240.

102. Егоров E.H., Короновский A.A., Храмов A.E. Струтура бассейнов притяжения аттракторов генераторов "TORUS" // Радиотехника и электроника, 2004, т. 49, №6, с. 720.

103. Nishiuchi Y., Ueta Т., Kawakami Н. Stable torus and its bifurcation phenomena in a simple three-dimensional autonomous circuit // Chaos, Solutions & Fractals, 2006, Vol. 27, No. 4, p. 941.

104. Zhusubaliyev Zh.T. and Mosekilde Erik. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. World Scientific, New Jersy, London, Singapore, Hong-Kong, 2003, 372 p.

105. Жусубалиев Ж.Т., Пахомова Е.П., Чевычелов С.Ю. Бифуркация рождения тора в кусочно-импульсных системах // Системы управления и информационные технологии, 2005, № 3, с. 26-28.

106. Жусубалиев Ж.Т. О бифуркациях рождения двумерного тора в широтно-импульсной системе // Автоматика и телемеханика, 2008, № 7, с. 19-28.

107. Аншценко B.C., Николаев С.М. Генератор квазипериодических колебаний. Бифуркация удвоения двумерного тора // Письма ЖТФ, 2005, т.31, вып. 19, с.

108. Аншценко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Стрелкова Г.И. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний.

109. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008, 144 с.165

110. Anishchenko V., Nikolaev S., and Kurths J. Bifurcational mechanisms of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // CHAOS, 2008, Vol. 18. p. 037123.

111. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Stankevich N.V. A simple autonomous quasiperiodic self-oscillator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations, 2010, No. 15, p. 1676.

112. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Станкевич H.B. Автономный генератор квазипериодических колебаний // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2010, т. 18, №2, с. 51.

113. Беспятов А.Б., Пономаренко В.И. Сложная динамика схемы на переключаемых конденсаторах. Учебно-методическое пособие. Изд-во ГосУНЦ "Колледж", Саратов, 1999, 26 с.

114. Kuznetsov S.P. Example of a Physical System with a Hyperbolic Attractor of the Smale-Williams Type //Phys. Rev. Lett., 2005, v. 95,144101.

115. Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: от математики к физике // Успехи физических наук, 2011, т. 181, вып.2, с. 121-149.

116. Кузнецов С.П. Гиперболические странные аттракторы систем, допускающих физическую реализацию. Известия вузов Прикладная нелинейная динамика, 2009, т. 17, № 4, с. 5-34.

117. Smail S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. (NS). 1967. Vol. 73. P. 747.

118. Newhouse S.E. Lectures on dynamical systems // In Dynamical Systems С. I. M. E. Lectures Bressanone, Italy, June 1978, 1-114. Progress in Mathematics №8, Birkhauser Boston: Boston.

119. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1978, 304 с.

120. Шустер Г. Детерминированный хаос. М., Мир, 1988, 253 с.

121. Дельи Эспости М., Граффи С., Изола С. Классический предел квантового cat-отображения Арнольда: подробное изложение // Алгебра и анализ, 1996, №2, с. 1-64.

122. Кузнецов С.П. Отображение "кот Арнольда": Квантовый хаос и динамика операторов в представлении Гейзенберга // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1998, т.6, № 3, с. 3-48.

123. Сотов Л.С., Харин В. Н. Цифровой генератор подкачки энтропии на базе отображения Арнольда // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2009, т. 17, № 6, с. 57-66.

124. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. МИАН СССР, 1967, т. 90, с. 3-210.

125. Coudene Y. Pictures of Hyperbolic Dynamical Systems // Notices of the AMS, 2006, №1, p. 8-13.

126. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем / Пер. с англ. М.: Изд. «Факториал», 1999, 768 с.

127. Публикации по теме диссертации

128. Поздняков М.В., Савин A.B. Особенности мультистабильных режимов несимметрично связанных логистических отображений.// Изв. ВУЗов «ПНД». 2010. Т. 18. № 5. С. 45 54.

129. Поздняков М.В. Динамические режимы и мультистабильность в системе несимметрично связанных универсальных двумерных отображений, демонстрирующих бифуркации удвоения периода и Неймарка-Сакера.// Изв. ВУЗов «ПНД». 2011. Т. 19. № 4. С. 68 76.

130. Поздняков М.В. Структура бассейнов притяжения в несимметрично связанных логистических отображениях. //Нелинейные дни в Саратове для молодых 2007. Сборник материалов научной школы-конференции.

131. Саратов, 16-20 октября 2007 г. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2008. С 86 -89.

132. М.В. Поздняков, A.B. Савин. Мультистабильность в несимметрично связанных системах. //Материалы Международной школы-семинара «StatInfo-2009», Россия, Саратов, 2-5 июня 2009 г. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2009. С. 42-45.

133. Поздняков М.В. Динамика несимметрично связанных универсальных двумерных отображений //Нелинейные дни в Саратове для молодых -2009: сборник материалов научной школы-конференции. Саратов, 16-18 ноября 2009 г. Саратов: ООО Щ «Наука», 2010. С. 111 114.