Комбинаторные методы в теории линейных и арифметических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГб од

1 о ДПР 1503 .

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ТАЗГЕНЬ Олег Игнатьевич

КОМБИНАТОРИКЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ¡1 АРИФМЕТИЧЕСКИХ ГРУПП

(01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МИНСК - 1993

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Беларуси.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Григорчук Ростислав Иванович

доктор физико-математических наук, член-корреспондент Академии наук Беларуси

Залесский Александр Ефимович

Доктор физико-математических наук Ремесленников Владимир НиканороЕИУ

.'Ведущая организация - Белорусский государственный университет.

' Защита состоится "Л.З™ Шьр^ми1 1993 года в часов на заседании специализированного совета Д 006.19.01 в Институте математики Академии наук Беларуси по адресу: 220072, г.Мин^к, ул. Сурганова,11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Академии наук Беларуси.

Автореферат разослан " /2* ■ /ЦХ^ТУ 1993 года.

Ученый секретарь '

специализированного совета .^Ъ •и. {. Р.Т.. Вольвачев

Актуальность темы. Одно из центральных мест в теории групп занимают вопросы, связанные с линейными группами. Эта тематина-восходит еще к работам К.Йордана, Л.Диксона и др. Систематическое изложение теории классических линейных групп дано й.Дьедопне

Интерес к изучению Линейных групп не ослабевает и з наши дни. Теорию линейных групп в настоящее время трудно рассматривать в отрыве от таких снежных областей как теория групп Ли, теория алгебраических групп. Создание и развитие современных методов этой теории связано с именами К.Шевалле, А.Борзля, Н.Титса, В.Платонова и др. В самостоятельную область выделилась арифметическая теория алгебраических групп, посвященная исследованию такого важного подкласса линейных групп как арифметические группы (см., напр., обзор

Однако не все вопросы теории линейных групп допускают естественные формулировки в терминах алгебраических групп. В последнее десятилетие в теории линейных групп заметное место занимают исследования, проводящиеся под влиянием идеологии комбинаторной теории групп.

Проблема абстрактной характеризации линейных групп; вопрос о том, какими комбинаторными свойствами обладают линейные группы, принадлежащие тому или иному важному подклассу, "например, арифметические; комбинаторный подход к решению конгруэнц-проблемы; проблема линейной представимости отдельных классов групп и теоретико-групповых конструкций. Вот вопросы привлекающие сейчас пристальное 'внимание многих специалистов по теории линейных и арифметических групп.

Отметим, что и раньше был получен ряд результатов о комбина-- торных свойствах линейных групп ^. Однако, первым, кто получил, абстрактную характериэацию линейных групп был Любоцки ^. При

^Дьедонне И. Геометрия классических групп. - М.: Мир, 1974. 2^Платонов В.П. Арифметическая теория алгебраических групп // Успехи мат. наук 1982. Т. 37, N 3, С. 3-54'.

3y7its J. Free subgroups of linear groups // J.Algebra. 19.72.

V. 20. P. 250-270.

4^Lubotzky A. A group theoretic characterization of linear groups // J. Algebra. 1983. V. 113. P. 207-214.

этом он использовал при доказательстве следующую важную идею. Конечно порожденная группа G линейна тогда и только тогда, когда ее можно вложить в компактную р-адическую группу Ли. Эта идея позволяет включить в исследования линейных групп мощный аппарат аналитических р-адических групп, разработанный еще Лазаром .

Однако, как заметил Любоцки, несмотря на принципиальную важность такого рода критериев, они, как правило, малопригодны для доказательства линейности конкретных групп и конструкций. ( Конструкция прямой суммы линейных представлений показывает, что прямое произведение линейно представимых групп линейно пред-ставимо. Гораздо сложнее получается результат Нисневича о том, что свободное произведение G =.0г*0г линейно, когда линеен каждый из сомножителей G , i «• 1,2.

Полупрямое произведение G «■ Gt . G не обязательно должно быть линейным, если линейна каждая Gt, i = 1,2. То же справедливо в отношении амальгамированного свободного произведения G =G1*HG2. Найти критерий линейной представимости таких групп - старая проблема, не получившая пока-окончательного решения Ею занимались многие специалисты по теории линейных групп: Басс, Шален, Верф-риц и др., однако, сведения имеющиеся по-этой проблеме немногочисленны .

Известным открытым вопросом является также вопрос о линейной представимости групп автоморфизмов-и групп внешних автоморфизмов свободных групп: Aut F , п * 2, Out F , п * 3.

t\ > I П

/Лишь недавно Прочези и Форманек доказали непредставимость групп Aut F , п * 3/. Герстен связи с этим поставил проблему ариф-

П

метичности этих-групп. Он также предположил, что ответ, скорее всего, отрицательный.

^Lazard M. Groups analytiques p-adiques // Publ. Hath. IHES. 1965. V. 26. P. 389-603.

^Нисневич В.Л. О группах изоморфно представимых матрицами над коммутативным полем // Мат. сб. 1940. Т. 8. С. 395-404. "^Bass H. Groups of integral representation type // Pacific J. Math. 1980. V. 86. P. 15-51.

6)Gersten S,M. Selected problems // Ann. Math. Stud. 1987. N 111. P. 45-551.

В то ше ьремя в работах Рапинчука, Платонова и автора

был заложен принципиально новый подход к исследованию линейных и арифметических групп, использующий их комбинаторные свойства. Один из наиболее важных в методологическом плане результатов этого подхода состоит з тем, что, как оназалось, ряд феноменов теории линейных и арифметических групп имеет в своей основе одни и те же комбинаторные свойства исследуемых объектов.

Таким свойством является свойство конечной ширины группы. Это свойство используется для абстрактной характеризации линейных групп, обеспечивает жесткость линейных представлений группы, влияет на положительное решение конгруэнц-проблемы для арифметических групп. Анализируя имеющиеся работы по конгруэнц-проблеме А.С.Рапинчук выдвинул гипотезу о т.ом, что для. арифметической подгруппы простой односвязной алгебраической группы над полем алгебраических чисел конгруэнц-свойство и свойство конечной ширины эквивалентны. '

Кроме того, существует естественный аналог свойства конечной ширины для проконечных групп. Оказывается для про-р-групп наличие этого свойства эквивалентно аналитичности группы, что позволяет привлекать к исследованию аппарат теории аналитических групп.

Цель работы состоит в исследовании свойства конечной ширины и его применении к проблеме линейности теоретико-групповых конст-: рукций, арифметичности групп, а гакже к изучению конгруэнц-проблемы для S-арифметических групп.

Методика исследования .■ Использовались общие методы и результаты комбинаторной теории групп, теории линейных групп, а также методы теории аналитических групп'и алгебр Ли и теории' когомоло-гий. "

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Получены критерии линейной представимости полупрямых произведений и амальгамированных произведений линейных групп. В качестве след-

ПТ---' "

'Рапинчук A.C. Конгруэнц-проблема для арифметических 'групп конечной ширины // ДАН СССР. 1990.-Т 314, К .6. С. 1327-1331. ^Платонов В.П., Рапинчук A.C. Абстрактные характериза'ции арифметических групп С конгруэнц-свойством // ДАН СССР. 1991. Т. 319, N 6. С. 1322-132?. '

ствий получена линейная представимость конкретных классов групп. Доказана гипотеза Герстена с неарифметичности групп автоморфиз-физмов свободных групп. Доказана ограниченная гюрождаемость груцп Шевалле норналыюг'о и скрученного типа ранга г 2 над кольцами алгебраических чисел относительно корневых элементов. В результа-. те доказана гипотеза Рапинчука для квазиразложимых групп и получена тривиальность К-функтсра для нестандартных моделей колец алгебраических чисел. Свойство ограниченной псрождаемосги установлено также и для конгруэнц-подгрупп соответствующих групп..

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории линейных и арифметических групп, в дальнейших исследованиях, по конгруэнц-проблеме, а также в геометрической теории представлений . •

Аппробапия работы.Результаты диссертации излагались в докла-'дах автора на Международной конференции по алгебре, посвященной . памяти А.И.Мальцеву /Новосибирск, 1989/, Советско-Индийском сим.. позиуме "Алгебраические группы и алгебры Ли" /Алма-Ата,- 1989/, семинаре Тата-института фундаментальных исследований /Бомбей, 1992/, VI Республиканской конференции математиков Беларуси /Гродно, 3992/,' семинарах Университетов Мичигана /Анн Арбор,1992/, Чикаго /Чикаго,1993/.Институте высший исследований /Принстон,1993/.

' ' Публикации. Содержащиеся в диссертации результаты опубликованы в работах; список которых приведен в конце реферата, а также в ряде тезисов конференций и симпозиумов, содержание которых покрывается этими публикациями.

•.'.. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, .трех глав и списка цитируемой литературы. Объем работы страниц машинописного, текста.

.{Фатксз содержание диссертации. В первой главе собраны некоторые известные и необходимые в дальнейшем структурные свойтсва линейны* и аналитических групп. Кроме того, в этой же главе вводится и исследуется свойство конечной ширины применительно к линейным группам.

: . - В § 1.1 проводится построение групп Шевалле - нормального и .скрученного типа над произвольным коммутативным кольцом И с I,

основанное на использовании схем Шевалле-Демазюра ^^. Здесь такте указаны все основные соотношения между элементами базиса Ше-валле алгебры Ли й группы Шевалле б'и однопараметрическими подгруппами группы G. Эти результаты применяются в дальнейшем при доказательстве теорем главы 3.

В § 1.2 содержится обзор основных результатов, касающихся теории р-адических аналитических групп и их связи с проблемами теории линейных групп. Приводится абстрактная характеризация таких групп, основанная на понятии обильной про-р-группы. Затем устанавливаются основные свойства аналитических групп, их поведение' при переходе к подгруппам, группам автоморфизмов, расширениям групп. В конце параграфа приведены основные результаты о пополненных групповых алгебрах аналитических про-р-групп.

§ 1.3 посвящен исследованию важного для всех дальнейших рассмотрений свойства конечной ширины.

Определение 1.7. Скажем, что абстрактная группа Г имеет конечную ширину, если Г представляется в виде конечного произведения циклических подгрупп.

Это означает, что найдутся такие элементы т ... ,тп « Г (не обязательнокразличн^е), что любой элемент у в Г представляется в виде 7 = т.1 ... г к « г.

ж 1 Л , к

В предложении 1.10 содержится ряд общих хвойсув групп конечной ширины, из которых отметим свойство в) о том, что соизмеримые группы одновременно либо имеют, либо не имеют конечную ширину. При доказательстве этого утверждения мы используем переписываний процесс Редеймейстера-гШрейера.

Основным результатом параграфа является следующий критерий, .линейности абстрактных групп.

Дадим прежде еще одно определение. Определение 1.5. Назовем р-к о н г р у э н ц системой на группе Г убывающую цепь (Nf)ieN нормальных' делителей Г такую, что (I) Г/Nj - конечна;

lljAbe Е. Coverings of twisted Chevalley groups over commutative rings // Sei. Rep. Tokio Kyoiku Daigaku. 1977. A. 13. N 366-382. P. 194-218.

(II) - конечные р-группы для всех i i 1; и

(III) ^N; = (1).

Йод линейной группой мы везде понимаем подгруппу GLn(c), где с - поле комплексных чисел.

Теорема 1.6. Пусть G конечно порожденная группа. Тогда G линейна тогда и только тогда, - когда для некоторого простого р существует р-конгруэнц система на G G з G^ G2a . . . удовлетворяющая условию

/*/ для каждого i t 1, Gj/Gi'имеет конечную ширину степени а п, где п константа, не зависящая от i.

Этот результат аналогичен результату Любоцкого ^, однако, выгодно отличается тем, что оперирует лишь с факторгруппами G , а не всех 'G .

В качестве следствия получаем Следствие, Пус?ь G имеет конечную ширину и является почти р-аппроксимируемой. Тогда G линейна.

Доказательство теоремы основано на том, что существует естественный аналог свойства конечной ширины для проконечных групп и что про-р-группа конечной ширины является аналитической.

С помощью чисто комбинаторных методов доказывается следующий результат, утверждающий, что нетривиальное свободное произведение не может иметь конечную ширину.

Предложение 1.12. Пусть Г г группа, имеющая конечную ширину. Тогда Г не представляется в,виде нетривиального свободного произведения Г = А * В, где А;и В не равны одновременно г/22.

Это предложение используетск в главе 3 для доказательства того, что арифметические группы малого ранга не имеют конечной ширины.

Со свойством конечной ширины тесно связано свойство ограниченной порождаемости группы, которое имеет важные приложения для классических матричных групп, в К-теории.

Определение 1.8. Скажем, что группа G имеет ограниченную порождаемость относительно системы образующих X, если существует такое n е я.что любой элемент g е G представляется ■ в виде

g = gt •■■ gk, g, e X, k s n.

Множество X б определении назовем специальным,

если существует такое конечное подмножество У с X, что любой элемент X б ]( представляется в виде

я-у,1 •■•О V«*

и п ограничено константой не зависящей от к.

Следующее, важное в техническом отношении утверждение, позволяет переходить к конгруэнц-подгруплам матричных групп.

Пусть Gm нормальный делитель в G, порожденный ш-ми степенями элементов из G. Если X - система образующих G, то обозначим

Xй = !gxk"g"lix « X, g « G, k « z}. Лемма 1.13. Пусть группа G имеет ограниченную поровдаеыость относительно специального множества X. Тогда G" имеет ограниченную порсждаемость относительно X".

Глава 2 посвящена исследованию линейности и арифметичности некоторых важных теоретико-групповых конструкций и классов групп.

В §5 2i 1-2.3 мы применяем теорию аналитических групп для получения критериев линейности амальгамированных свободных произведений и полупрямых произведений линейных групп.

Отметим, что амальгамированное произведение двух линейных групп может быть даже не финитно аппроксимируемым. Существует достаточный (а в случае разрешимых групп и необходимый) критерий финитной аппроксимируемости, полученный Баумслагом . Сравнивая условия теоремы 1.6 и теоремы Баумслага, можно было бы ожидать", что их совместное выполнение обеспечивает линейность'амальгамированного произведения G = G * G .

1 H 2

В § 2.1 мы строим пример, который показывает, что' это не так. В примере существенным является тот факт, что H не нормальна в обоих G(. Поэтому можно сформулировать следующую основную гипотезу.

Гипотеза 2.1. Пусть 0 = амальгамированное сво-

бодное произведение и предположим, что H нормальна в Gj, j =1,2. Предположим, что существуют р-конгруэнц системы (G*) в_ каждой Gj такие, что

Т2Т---

'Eaumslag G. Ofl the residual finiteness of generalized free

products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math., Soe. 1963,. V.

106. P. 193-299.

(I) • G* / Gj имеет конечную ширину для j =1,2 и каждого i * 1 степени * С , и С^ не зависят от i;

(II) Gj n Н = Gj n Н для каждого 1*1;

(III) н.-,g.usj -^нв;. Тогда G линейна.

Первая теорема сводит эту гипотезу к некоторой гипотезе о пополненных групповых г^-алгебрах аналитических про-р-групп. Пусть R (лево) нетерово колыдо и I - двусторонний идеал в R. Определение 2.1. Говорят, что 1 обладает (широким) Двойством А р т к н а- Р и с а, если для всех конечно порожденных R-модулей М и подмодулей U с М

ГЫ n U с IU для некоторого натурального п.

, О П р еде л е\н и е 2.2. Скажем, что нетерова I - алгебра R

■ - *» •

является почти Артина-Риса алгеброй, если для любого двустороннего идеала J конечной коразмерности в R над-I существует двусторонний идеал I с J конечной коразмерности, который обладает свойством Артина-Риса.

". Здесь под идеалом I конечной коразмерности в R над jT мы подразумеваем идеал I со свойством '

- dira1|x R/I < >' .. '

Г H ii.jp т е з а 2. Если G аналитическая про-р-группа, то Zp[[G)} является почти Артина-Риса алгеброй.

Теорема 2:1. Из справедливости гипотезы 2 следует справедливость гипотезы 1.

Хорошо известным фактом коммутативной алгебры является утверждение, что если R - коммутативно, то каждый идеал обладает свойством Артина-Риса.

Свойство Артина-Риса для групповых колец полицикличёских групп с успехом применялось для доказательства финитной.аппроксимируемости некоторых классов групп в проблеме Холла Таким

13) —--—-

^'ftosel?lade J.E. Applications of the Artin-Rees lemma to group rings; fb Sy»Pf' Math, 1976, V. 17. . P. . 471-478.

образом, про-р-аналог этого свойства существенно глияет на линейную представимость.

Используя теорему 2.1 уже можно получать сведения о линейной представимости конкретных амальгамированных произведений.

С другой стороны, в условиях гипотезы 1 нетрудно показать, что группа G/Z, где Z - центр Н, линейна. Трудности, следовательно, возникают в случае абелевоЙ Н. В этом направлении можно получить

Теорема 2.2. В условиях гипотезы I пусть Н абелева, а Gj/H = 1,2 нильпотентны. Тогда G линейна.

В доказательстве этой теоремы существенную роль играет следующее предложение, представляющее независимый интерес. Предложение 2.4. Пусть N - конечно порожденная ниль-потентная про-р-группа и JM - ядро естественного гомоморфизма

I (IN)) * г . ■ •

р р

переводящего каждый элемент п « К в 1. Тогда 1н обладает свойством Артина-Риса. •

Используя теорему 2.2, можно получить Теорема 2.3. Пусть G=Gl "„G,. конечно поровдонные ниль-потентные группы, Н - абелева и нормальна в каждой Gt. Тогда G линейна.

Легко видеть, что существование р-конгруэнц систем с услови-" ями (I)-(II) является необходимым для линейности G. Таким образом, остается открытым вопрос о необходимости условия (III). Здесь получен следующий результат

Предложение 2.3. Пусть Gt~ конечно порожденные разрешимые группы; не совпадающие с Н! Тогда существование- р-крнгру-энц систем с условиями /I/-/III/ в гипотезе I является необходимым для линейности G.

В 5 2.1 содержатся формулировки и обсуждение основных результатов,'а §§ 2.2-2.3 содержат доказательства теорем 2.1-2.3 и предложения 2.3. Кроме того, в § 2.1 приведены критерии .линейной представимости полупрямых произведений групп. Они также используются при доказательстве основных теорем и,' кроме того, представляют независимый интерес.

Предложение 2.1. Пусть G - расширение групп (1) 1 -» G,-» G,-» G3-> 1.

/1/ Предположим, что с существует р-конгруэнц системз, удовлетворяющая условиям теоремь. 1.6 и такая, что (G,), нормальны в G. Пусть Ga линейна. Если Z - центр G4, то G/Z - линейна. /II/ Если последовательность /I/ расщепляется, тогда при условиях /I/," G линейна. Если G конечно пороэдона, то эти условия необходимы.

Теким образом, если

G = GA G, .1 2 -

конечно порожденная группа, то мы инеем критерий линейности G в терминах G .

Предложение 2:2.

/I/ Пусть группа Gj конечно порожденная группа без центра. Предположим, что Aut G, также конечно порождена. Тогда

»'а

.линейна для любой линейной группы Ga тогда и только тогда, когда Aut Gt линейна,

/II/ Пусть GjHMeeT конечную ширину. Тогда

6-Vе«

линейна.в том и толькЬ том случае, если'G , i=l,2 линейны.

Отметим, что достаточное число примеров групп конечной ширины доставляют конечно порожденные разрешимые минимаксные группы ^ или S-арифметические подгруппы групп Шевалле ранга » 2 (глава III).

Используя предложение 2.2 можно получить Следствие. Для любых n,m *' 3 существует нелинейное полупрямое произведение ■

Здесь Fn - свободная группа ранга n.

§ 2.4 посвящен доказательству неарифметичности групп авто-.морфизмов конечно порожденных свободных групп.

Пусть AutF - группа всех автоморфизмов F и / Out F - Aut" F /Inn F

n n , n

группа внешних автоморфизмов F (Здесь Inn F- подгруппа автомор-

n n

физмов задаваемых сопряжением на элемонты F ).

14/Kropoller Р.Н. On finitely generated soluble groups with no large wreath product section // Proc. London Math. Soc. (3). V. 49. P. 155-169. .

Известным вопросом является вопрос о том, будут ли группы

Aut F , п * 2, Out F , п » 3 линейны.

п п) п

Герстен ' поставил вопрос об арифкетичности этих групп. Он выдвинул гипотезу, что ответ на этот вопрос стрццательга:Г:. Теорема 2.4. Группы Aut F , п в 2 и Qüt Fr, n а 3 не являются S-арифметнческкгш группами.

Отметим, что в случае n = 1

Aut £ ES Out 2 a 2/22, а в случае п = 2

Out Fa a GL2(i).

При доказательстве теоревд 2.4 существенно используется структурная теория К-определешах алгебраических групп. Кроме того, отметим следующее утверждение, которое дает информации о комбинаторной структура S-арифмзткческих групп малого ранга. П р е д л о ¡к е к и о 2.4. Пусть Г - 5-аркфматическая подгруппа К-простсй алгебраической группы G и" £ ггг»0к Б 1 1. Тогда Г не

vea ""v

содержит подгрупп вида F3x

В случае арифметических групп большего ранга существенную роль в доказательстве играет теорема Маргулиса о том, что каждый, нормальный делитель бесконечного индекса в таких группах централен .

Заметим, что доказательство для групп Out F^ существенно отличается от доказательства для Aut F ; Оно использует дополнительные когомологические соображения. •

Глава III посвящена исследованию вопроса о том, как комбинаторные свойства арифметической группы влияют на ее арифметические свойства. .

В этих исследованиях как и в первой части ведущую роль играет понятие конечной ширины.

Пусть К - поле алгебраических чисел, S - конечное подмножество множества V* всех нормирований поля К, содержащее Множество неархимедовых нормирований V*. Тогда обозначим через 03 кольцо S-целых алгебраических чисел поля К, т.е.

О = (k € Kiv(k) а О, v б VK\S)

3 Q)

А.С.Рапинчук сформулировал следующую гипотезу .

Пусть G - простая односвязная алгебраическая группа, опреде-

леннея над полей алгебраических чисел. Тогда для'группы. G(og) -S-целых точек G конгруэнц-свойство и свойство конечной ширины эквивалентны.

С другой стороны, Картер и Келлер установили конечную ширину SLn(<?), п в 3 относительно элементарных матриц (трансвек-ций) etJ(t). Это имеет важные приложения в K-теории колец. Выла также получена следующая оценка v v(SL)n(o)) « I(3na - n) + 68û - 1,

где Д - не превосходит числа простых делителей дискриминанта К.

Из этого результата несложно следует конечная ширина SLл(о), n s 3 й, значит, гипотеза Рапинчука подтверждается в этом случае.

Основным результатом третьёй главы является широкое, обобщение теоремы Картера-Келлера на все группы Шевалле нормального и скрученного типа ранга к 2. Это подтверждает гипотезу Рапинчука для квазиразложимых групп и имеет некоторые следствия в К-теории.

Введем необходимые обозначения.

Пусть ^(Ф.Од) группа Шевалле нормального либо скрученного типа построенная по автоморфизму tr неприводимой приведенной системы корней Ф и кольцу os. Через "Ф обозначим "скрученную" систему корней и °"Е(Ф,0s) - элементарная подгруппа порожденная корневыми элементами *A(t), А е "Ф.

Теорема 3.1. Пусть <rG(0,os) группа Шевалле нормального либо скрученного типа, rank't е. 2 и Ч » гА . Тогда 'ЕСФ,о) име-

Зп S

ет ограниченную порождаемость .относительно множества корневых элементов X = (хдШ |А < "ф}. ' . .

Случай "Ф =аАа„ традиционнЬ "неудобен" для рассмотрения в рамках теории схем Шевалле-Демазюра, что связано с более сложным устройством однопараметрических подгрупп. Он разбирается ниже.

Первый шаг в доказательстве теоремы 3.1 представляет собой редукция к группам ранга 2. Пусть U*(os)(U^(os)) обозначают подгруппу.порожденную хдШ для всех положительных /соответственно, отрицательных/ корней А.' Тогда требуемая редукция легко получается из следующего утверждения.

^Carter D., Keller G. Bounded elementary generation of SL (c) // Amer. J. Math. 1983. V. 105; N 3. P. 673-687.

Теорема 3.4. Группа *£(<*>,Ю, rank ''Ф г га * 1, Ч *аА2п имеет ограниченную порождаемость относительно множества корневых элементов тогда и ТР^ь^о ТРГДЯ. когда это верно р случае fank = га.

Здесь R - любое коммутативное кольцо с 1,-Таким образоц, достаточно рассмотреть случаи групп типа Аа, С,. Ga, гА% и . Группу типа Аа и С3 играют.основную роль, поскольку остальные случаи сводятся i< первым двум.

В § 3.1 приведены формулировки основных результатов и редукция к группам ранга 2. § 3.2 посвящен доказательству теоремы 3.1 для классических групп, а § 3,.3 - для групп исключительных типов. ■ •

Доказательство теоремы для групп типа Са использует арифметику кольца ça, а такше некий аналог мультипликативности символа Менни.ке для Sp4.'

Наибольшие вычислительные трудности возникают в случае групп

3D .

4

В § 3.4 приводятся следствия теоремы З,.!. . Для обычных групп Щевадае Ь}атеумо,то ^ показал, что xA(t) порождают G(Ф,оз), если rank Ф а ?.. g. общем случае, если rank ""Ф г 2, то "Е(Ф,сд) имеет конечный- индекс в "'G(Ф,од). Можно получить более точный .результат. Предположим, что О< -таково, что. для любого ¡^-инвариантного идеала t с i гомоморфизм о• (о /<г)°

s s

сюръективен. Достаточно предположить, например, что 2 обратима в о .

s

Предложение 3.1. В условиях теоремы 3.1' предположим, что 2 обратима в Од в случае скрученных групп. Тогда ."Gii.o ) имеет ограниченную порождаемость относительно множества корневых элементов, за исключением, возможно, групп типа гЕ&, если S вполне мнимо,.

Т5Т----~'

'Matsumoto H. Sur les sous-groûpes arithmétiques des groupes

semi-sirapl.es déployés // Ann. scient. Ec. Norm. Sup. 1969. 4e sérié. T. 2. P. 1-62.

Обозначим через о либо прямое произведение ц cs, либо него i = i

стандартную модель кольца сд, т.е. фактор j* од по отношению эквивалентности, задаваемому неким нетривиальней'ультрафильтром на n. Для любого коммутативного кольца R с 1 обозначим (Ф,Ю = ^(Ф.Ю/^ЕСФ.Ю. Если не нормальна в ^ТКФ.Ю, то <rKi(í,R) определяется как

множество всех смежных классов с-выделенной точкой {1}.

Предложение 3.2. <гК1(Ф,Оа) = {1}, если rank "ф * 2, * гЛ„ за исключением, возможно, групп типа 2Е . если S впол-

2 г» о

не мнимо.

Проблема тривиальности Kt-функтора для нестандартных моделей колец алгебраических чисел и послужила отправной точкой исследо-, ваниЙ в . - .

Доказательство теоремы 3.1 конструктивно, что позволяет получить соответствующие оценки для v(<rG($,os)). Приведем их в случае, rank "Ф =■ 2. Теорема 3.4 немедленно позволяет распостранить их на все группы с rank "Ф г. 2.

Предложение 3.9. Пусть л - число простых делящих диск-.риминант поля К. Тогда

1) v(G(A2,Cs)) s 68Д + 14; ' ' .

2) v(G(C2,Os)) s 180л +27;

3)' v(G(G2,Cs)) з 68л +.25; ..

4) v(*G(A3,0s)) s 160A + 50;

5) v(3G(D4,0s)) з 68л + 57. .

Предполагая группу единиц о* кольцу cs бесконечной и выполненной некоторую обобщенную гипотезу Римана, можно получить более точные, оценки, к тому же не зависящие от поля К (следствие предложения 3.9). •

Оставшаяся часть § 3.4 посвящена доказательству гипотезы Ра-пинчука для квазиразложимых групп. Она следует из Теорема 3,2'. Пусть G - К-простая алгебраическая группа, квазиразложимая над К, и rank RG г 2 (исключая, возможно, группы типа sD4). Тогда любая ее S-арйфметическая подгруппа имеет конечную ширину. .-.■''., .

Отметим; что здесь случай групп типа■гА включен в рассмот-

рение.

Анализируя доказательства теорем 3.1 и 3.2, можно заметить, что для того, чтобы разобраться со случаем 3А2п в теорема 3.1, достаточно установить ограниченную порождаемость конгруэкц-под-групп групп остальных типов относительно соответствующих корневых элементов.

Этот же вопрос для групп Шеваллз был предложен автору Г.А.Маргулисом.

Пусть I с os (ненулевой) идеал кольца Од. Тогда обозначим <ГЕ(Ф,1) = <х (t), t в I, А в *Ф>.

А

Теорема 3.3. Сохраним предположения теоремы 3.1. Тогда °"Е(Ф,1) имеет ограниченную порождаемость относительно X = fx (t)|t « I, А в "Ф}.

А '

Следствие. Группа <гЕ(Ф,05) имеет ограниченную порождаемость относительно корневых элементов, если "Ф = 2Аал и rank 'í s 2.

Доказательство теоремы 3.3 приведено в $ 3.5. Оно не получается повторением или видоизмененнем доказательства теоремы 3,1." Здесь требуется существенно дополнительные рассмотрения.

ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ- АВТОРА 110 ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Тавгень О.И. Конечная ширина арифметических подгрупп групп Шевалле ранга а 2 // ДАН СССР. 1990. .Т. 310, Н 4. С. 802-806.

2. Тавгень О.И. Ограниченная порождаемость групп Шевалле над кольцами S-целых алгебраических чисел // Известия АН СССР, сер. мат. Т. 54, N 1. С. 97-122.

,3. Тавгень О.И. Неарифметичность групп Aut F и Out F // ДАН БССР. 1991. Т. 35, N 1. С. 5-3.

4. Тавгень О.И. Группы с ограниченной порождаемостью и линейные группы /У Межд. конф. по алгебра памяти А.И.Ширшова.: Тез. докл. по теории групп. Новосибирск, 1991. С. 165.

5. Tavgen' 0.1. Amalgamated free products of linear groups and Artin-Rees property.-Bombay, 1992.-21p. (Freprint/ Tata Institute

of Fundamental Research).

6. Tavgen' O.I. Bounded generation of normal and twistedd Cheval-ley groups over the rings of S-integers // Conterap. Math. 1992. V. 131, part 1. P. 409-422.

Подписано в печать 25.02.93. 'Формат.60x84/16. Усл.печ.л. 1,05. Усл.кр.-отт. Уч.-изд.л. 0.9СГ.

Тираж 100 экз. Заказ 40. Бесплатно.

Институт математики АН Беларуси. 220072, Минск, ул.Сурганова, И. Отпечатано на ротапринте Института повышения квалификации руководящих .работников и специалистов образования.