Комплексная задача Коши в пространствах аналитических функций с интегральными метриками

Бирюков, Алексей Михайлович

Комплексная задача Коши в пространствах аналитических функций с интегральными метриками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Бирюков, Алексей Михайлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Комплексная задача Коши в пространствах аналитических функций с интегральными метриками»

Автореферат диссертации на тему "Комплексная задача Коши в пространствах аналитических функций с интегральными метриками"

На правах рукописи

БИРЮКОВ АЛЕКСЕЙ МИХАЙЛОВИЧ

КОМПЛЕКСНАЯ ЗАДАЧА КОШИ В ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ МЕТРИКАМИ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2014 г.

15 ¡Ш11211

005548314

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "МЭИ" на кафедре Математического моделирования.

Защита состоится 18 июня 2014 г. в 17.00 на заседании диссертационного совета ДМ212.157.17 при ФГБОУ ВПО "НИУ "МЭИ" по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 13, корп. М, кафедра Математического моделирования, комн. М-710.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО "НИУ "МЭИ". Автореферат разослан_2014 г.

Отзывы на автореферат с подписями, заверенными печатью учреждения, просим направлять по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый Совет ФГБОУ ВПО "НИУ "МЭИ". Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ212.157.17

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Дубинский Юлий Андреевич Официальные оппоненты Лаптев Геннадий Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор Российского государственного социального университета, г. Москва Покровский Леонид Дмитриевич, кандидат физико-математических наук, доцент Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана, г.Москва

Ведущая организация Российский университет дружбы народов,

г. Москва

к.ф.-м. наук

Лерескоков А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Настоящая диссертация посвящена исследованию задачи Коши для системы комплексных линейных дифференциальных уравнений

= (0.1) 1 г) = <р(г) (0.2)

в классах аналитических функций с интегральными метриками. Исследование такого рода задач было начато в 1842 году О. Коши. Он изучил систему уравнений

+ Е Е А%{1, г, И)^ = Л,(«, г), (0.3)

к=0 ]=1

и получил, что, если коэффициенты операторов г, И) аналитические в некоторой области V С С^1 функции, и порядки этих операторов подчинены условиям

огйА^{Ь, г, £>) < s¡ - к, (0.4)

то для произвольных ЛД*, г), аналитических в некоторой окрестности IIг0) точки (<о,2о) € V и любых начальных функций <Ргк(г), аналитических в окрестности [/(¿0, г0) П {Ь = £0}, существует единственное решение задачи Коши

д3<щ , дки-

'~вёГ + £ г> = М*. *) (0.5)

к=0 ¿=1

д^и'

0,г)=1/ик(я) (0.6)

I = 1,..., ЛГ, А; = 0,1,..., — 1,

являющееся вектор-функцией г), аналитической в некоторой окрестности и^о, г0), которая, вообще говоря, меньше исходной окрестности £/(г0,

В 1875 году С. Ковалевская также установила условия (0.4). Более того, она выявила существенность этих условий, а именно, привела примеры, подтверждающие, что при нарушении неравенств (0.4) аналитической разрешимости может не быть.

В дальнейшем тоерией Коши-Ковалевской занимались многие исследователи. В 1974 году С. Мизохата доказал, что в случае одного уравнения неравенства Ковалевской являются необходимыми и достаточными для аналитической разрешимости задачи Коши.

Для систем уравнений этот результат не справедлив, как это следует из работы 1964 года Ж.Лере, Л. Гординга, Т.Котаке. Они доказали аналитическую разрешимость задачи Коши для систем, удовлетворяющих условиям Лере-Волевича

огйАу <ГП1 — т1 + Si — к, где 7711, ■•■, тдг— произвольные целые числа, т^ > 1.

Далее в работе Ю.А. Дубинского 1996 года получены необходимые и достаточные условия для локальной корректности задачи Коши (0.1), (0.2) в классах аналитических функций с супремум-нормами. Этот вопрос рассматривается в следующих случаях

1) Функции из пространства решений могут допускать особенности степенного характера при подходе к границе цилиндра или конуса (аналитическая задача Коши).

2) Функции из пространства решений могут допускать определённый экспоненциальный рост по "пространственной' переменной г на бесконечности (экспоненциальная задача Коши).

Таким образом, важно продолжить исследование разрешимости задачи Коши (0.1), (0.2) в различных функциональных пространствах, как для развития методов комплексной математической физики, так и для более глубокого изучения свойств аналитических функций.

Цели и задачи исследования. В диссертации мы изучаем вопрос об условиях для корректности задачи (0.1), (0.2) в классах аналитических функций аналогичных тем, которые рассматривались в работе Ю.А. Дубинского, но с интегральными нормами типа норм пространств Ьр с весом и Харди-Лебега с весом.

Как оказалось, благодаря детальному изучению и получению новых свойств аналитических функций в диссертации, в ряде случаев условия, необходимые и достаточные для локальной корректности рассматривае-

/ / \uj{t,z)\v(R-\z-zQ\)mi4xdy<%dT}

■МоМг/лМ

мой задачи, одинаковы как в пространствах с супремум-нормами, так и в пространствах с интегральными нормами.

Рассмотрим и кратко опишем функциональные пространства, в которых устанавливается разрешимость задачи Коши (0.1), (0.2)

1) Случай распространения особенностей степенного характера по "боковой" границе "цилиндра". Здесь пространство решений задаётся следующим образом:

Ат1,Я:р)(£о> го)- пространство аналитических в "цилиндре" Us,R(to, z0) = {(t, z)-.\t- г0| <5,\z- zqI < Д}

вектор-функций u(t, z) = {ux{t, z),..., uN(t, z)), для которых конечна норма N N '

1Мкт,Я;р = £ ll«j||i;mj,Ji3> = E j=l 1

где t = £ + irj.

2) Случай распространения особенностей по боковой границе "конуса". Здесь пространство решений задаётся таким образом:

^(ä>^m,R,c-,p)(t0,z0)(a > 0)- пространство вектор-функций u(t,z), анаг литических в "конусе"

VrMh zo) = {(«, z) ■ \t - iol <*Az-xa\<R- a\t - i0|},

для которых конечна норма

\\иЦ-,тЯм = £ Ml=

J=1

N Г / /2,г 1/

= £ sup I sup ((¡МЬь+ге^рм) Р(Д-<7Мо|-гН1.

Далее изучается экспоненциальная задача Коши. Также рассматриваются два случая:

1) Тип экспоненциального роста, который могут допускать функции из пространства решений, не зависит от "временной" переменной t. Здесь используется следующий класс

ExpmiRtq.p)(tQ)- пространство целых по г и аналитических по t при 11 -tQ\ < Ö вектор-функций u(t,z) = (Ul(t,z),...,uN(t,z)), для которых

1/Р

конечна норма

1Мкт,Л,?;р = £ =

3=1

N г , , 2тг

Г // \1/р

= Й (( { + гу^-пг*})].

2) Тип экспоненциального роста зависит определённым образом от "временной" переменной. В качестве пространства решений используется

д(5\ ЕхртЛ^ч.р){Ь0)~ пространство аналитических по £ при |г - ¿0| < 5 и целых по г вектор-функций для которых конечна норма

j=1

N Г f /27Г \ 1 /р

= £ sup sup ((/|и;(г,ге^)р<й>) (1 + r)~m'

>=l|t-to|<i L0<r<+oo о '

Научная новизна. Основное отличие настоящей работы от других работ по данной теме состоит в том, что здесь изучается вопрос о разрешимости комплексной задачи Коши в пространствах функций с интегральными метриками. В диссертации устанавливается, что существуют функции, которые принадлежат пространствам с интегральной метрикой, но не принадлежат соответствующим классам с супремум-нормой. А значит доказательства теорем о разрешимости, которые имеются в работах Ю.А. Дубинского для случая пространств с супремум-нормами, не работают в нашем случае, поскольку там используются поточечные оценки, которые могут быть не справедливы для функций из функциональных пространств, рассматриваемых в диссертации.

Основные положения, выносимые автором на защиту.Сформули-руем основные теоремы о разрешимости задачи Коши (0.1), (0.2) в каждом из рассматриваемых случаев.

1) Аналитическая задача Коши. Случай распространения степенных особенностей по "цилиндрической" поверхности.

Теорема.Задача (0.1), (0.2) локально корректна в шкале Dm,R.p тогда и только тогда, когда порядки дифференциальных операторов удовлетворяют следующим условиям

оп£4у (£, г, И) = ту < т{ - ту

Алл есеа; г, ^ = 1,..., N. При этом, если правая часть последнего неравенства отрицательна, то считаем, что оп£4у(г, .г, 1>) = -оо, по определению, а Ац(г,г,0) = 0.

2) Аналитическая задача Коши. Случай распространения особенностей по "конической" поверхности.

Теорема.Задача Коши (0.1),(0.2) локально корректна в шкале Отд1<г]р тогда и только тогда, когда порядки дифференциальных операторов удовлетворяют следующим неравенствам

ordЛ¿j(í, г, Б) <ТП1- т, +1

для всех г, ,7 =

При этом, если правая часть неравенства получается отрицательной, то считаем, что Лу (г, г, £>) = 0, а его порядок огйАу = -оо.

3) Экспоненциальная задача Коши. Случай, когда экспоненциальный рост на бесконечности по переменной л не зависит от "временной" переменной £.

Теорема.Задача (0.1), (0.2) локально корректна в шкалеЕхртдл-Р, если выполнены следующие условия:

1. ау(4, г)— суть полиномы по г;

2. степени этих полиномов удовлетворяют неравенствам

йеда?$, г) < тщ - то- \a\iq - 1),

причём, если правая часть неравенства получается отрицательной, то по определению считаем = 0, а его степень <1еда$$,г) = -оо.

4) Экспоненциальная задача Коши. Случай, когда тип экпоненциально-го роста по переменной г зависит определённым образом от "временной" переменной £.

Теорема.Задача (0.1),(0.2) локально корректна в шкале ЕхртЛгТл;р(С), если выполнены следующие условия

1. г)— суть полиномы по г;

2. Степени этих полиномов удовлетворяют неравенствам для всех г,3= 1,АГ,-

йеда§{г, г) < гщ - тп, - |а|(д - 1) + д,

причём, если правая часть неравенства получается отрицательной, то по определению считаем, что afj(t,z) = 0, а его степень dega%j(t,z) = —оо.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских конференциях:

- V Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания";

- Восемнадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика";

- XXI Международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии"

и научно- исследовательском семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Дубинского Ю.А. и проф. Амосова A.A.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи печатных работах, четыре из которых в статьях изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав. Диссертация содержит 75 страниц основного машинописного текста. Список использованной литературы включает 12 наименований. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Рассмотрим содержание работы подробно.

Первая глава посвящена вопросу о локальной корректности , как по t, так и по z, задачи Коши (0.1), (0.2) в двух случаях:

1) Случай распространения особенностей степенного характера по "боковой" границе "цилиндра". Здесь пространство решений задачи Коши (0.1), (0.2) задаётся следующим образом:

Ап,Я;р)(*о, zo)— пространство аналитических в "цилиндре" UsMtо, го) = {(i, z):\t- i0| < 5, \z - zo\ < R} вектор-функций u(t, z) = (m(t, z), ...,uN(t, z)), для которых конечна норма

N N

1Нкт,Я;г> = Е INkm^iP = Ё

¿=1 3=1

I I \uj(t,z)\p{R-\z-z0\)m>vdxdydZdTi

L|i-i0|<ä UR{zo)

где t = f + ¿77.

^(f! Ап,д,сг;р)(£о, z0)(a > 0)- пространство вектор-функций u(t,z), аналитических в "конусе"

К,л(«о, гь) = {(i, z):\t~ i0| < f, \z - zo\ < R - a\t - i0|},

для которых конечна норма N

M§;m,R,a;p = £ \\и}ЦщЛг,Р = j—1

= E sup f sup ((¡Ыг,го+ге0)\т)1/Р(Н-ак-и-г)тЛ].

И в первом и во втором случаях полностью описана структура систем дифференциальных уравнений, для которых имеется локальная корректность задачи Коши в заданной шкале функциональных пространств. А именно, в случае распространения особенностей по боковой границе "цилиндра" необходимыми и достаточными условиями являются следующие ограничения на порядки дифференциальных операторов

ordAij(t, z, D) < тщ - nij, где rrij— натуральные числа, характеризующие тип особенностей степенного характера. Это довольно жёсткие ограничения. А в случае распространения особенностей по боковой границе "конуса" необходимыми и достаточными условиями для локальной корректности являются условия Лере-Волевича

ordAij < mi — mj + 1, причём, если правая часть отрицательна, то считаем, по определению, Ац = 0.

Заметим, что, если mj = ... = mjv, то в последнем случае условия переходят в неравенства

ordAij < 1,

то есть в неравенства Ковалевской. Поэтому в этом случае для систем Ковалевской и только для них имеется локальная корректность в заданной шкале пространств аналитических функций с интегральными метриками.

Доказательство достаточности в обоих случаях проводится следующим образом. Задача (0.1), (0.2) сводится к эквивалентному ей интегродиффе-

ренциальному уравнению

t t u(t, z) = f А{т, z, D)u(t, z)dT + <fi(z) + J A(r, z)dr (0.7)

4o ta

и затем применяется принцип сжимающих отображений. При этом используется лемма, дающая оценку нормы производной аналитической функции через норму самой функции, которая, на наш взгляд, имеет и самостоятельный интерес

< С|М|т,Д;р-

Оказалось, что в нашем случае принцип сжимающих отображений адекватен исследуемой задаче, поскольку с помощью него мы получили необходимые и достаточные условия.

Доказательство необходимости основано на сравнении поведения функций при подходе к границе конуса или цилиндра левой и правой части равенства

«<.(*>>*) = Е

а=0

которое получается для решения задачи (0.1), (0.2). А именно, устанавливаются условия на коэффициенты og(t, z) дифференциальных операторов Afp при которых это равенство возможно. Основное отличие этого доказательства от доказательства, которое имеется в работе Ю.А. Дубинского для супремум-норм, в том, что в случае супремум-норм используются поточечные оценки соответсвующих функций, которые могут быть не справедливы для функций из наших пространств с интегральными метриками.

Во второй главе изучается экспоненциальная задача Коши. Также рассматриваются два случая:

■d(ö-, ExpmAi.p)(t0)- пространство целых по г и аналитических по t при 11 -tQ\ < 8 вектор-функций u(t,z) = (u^t^), ...,uN(t, z)), для которых конечна норма

1м1*т,я,«!р - ё imkm,a«3> = j=l

^ г г / 2т v 1/р

= Е sup sup (( J [Ujfrre^de) (1 + г)-^ехр{-ДгП)1. 7=1 ¡t-t„\<6 L0<r<+oo \ ^ о ' / J

2) Тип экспоненциального роста зависит определённым образом от "временной" переменной. В качестве пространства решений используется i9(S; ExpmiR (rq.v)(t0)~ пространство аналитических по t при \t - i0| < 5 и

целых по г вектор-функций u(t, z), для которых конечна норма N

IHIЫЛ'ЛР = Е hj\\s-,mj,R,a,q;p = N

= Е sup f sup (( f\uj(t,reie)\pde\ 1/,?(1 + r)~rni j=l|t-t0|<i L0<r<+oo " о '

exp{-(i? + a|i-i0|)r9})].

Получены условия на коэффициенты дифференциальных операторов Aij, которые являются достаточными для локальной по t корректности задачи (0.1), (0.2) в шкалах экспоненциальных пространств. В случае 1) это

a?j(t,z) суть полиномы по z, степени которых удовлетворяют неравенствам

degaf^t, z) < пц ~ mj - |a[(g - 1). (0.8)

В случае 2) это

afj(t,z) суть полиномы по г, степени которых удовлетворяют неравенствам

degaffaz) < ттц - mj - |a|(g - 1) +q. (0.9)

Если правые части (0.8), (0.9) получаются отрицательными, то, по определению, считаем, что afj(t,z)- нулевой полином.

Заметим, что во втором случае условия, которые накладываются на коэффициенты дифференциальных операторов, более мягкие по сравнению с первым случаем.

Соответствующая теорема, как и в первой главе, доказывается следующим образом. Задача (0.1), (0.2) сводится к эквивалентному ей интегродиф-ференциальному уравнению (0.7), а затем применяется принцип сжимаю-

щих отображений. При этом вновь ключевую роль играет лемма, дающая оценку нормы производной целой функции через норму самой функции

Затем мы покажем, что полученные условия (0.8), (0.9) являются существенными. Для этого рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения в форме уравнения теплопроводности

Установим, что условия (0.8), (0.9) являются необходимыми и достаточными для локальной корректности задачи (0.10), (0.11) в соответствующих шкалах экспоненциальных пространств.

Здесь также доказательства основаны на сравнении поведения функций, стоящих в левой и правой части равенства

при \г\ оо,

где «(£, г)-решение задачи (0.10), (0.11), соответствующее начальной функции <р и правой части г) = 0.

Выясняется, при каких условиях на а(0, г) эти равенства возможны.

Важную роль в этих доказательствах играет лемма, являющаяся обобщением известной теоремы Лиувилля. Она формулируется следующим образом

Пусть у{г)- целая функция и существует число М > 0 такое, что для любого г > 0 справедливо неравенство

Тогда ь(г) есть полином, степень которого не превосходитт.

Также в процессе доказательства выясняется, что существуют функции, которые принадлежат пространствам с интегральной метрикой, но не принадлежат соответствующему пространству с супремум-нормой, то есть соответствующему пространству типа Н - Ьр Харди-Лебега с весом, где

т+(9-1),К,5;р < СЦ^Ц^д^-р.

(0.10) (0.11)

щ(0,г) = а(0,г)1р"(г),

р = оо.

Список основных рабох по теме диссертации

1. Бирюков A.M. Комплексная задача Коши в классе аналитических функций с интегральной метрикой// Дифф. ур.,2013, т.49, №6, с. 779-783.

2. Бирюков A.M. Комплексная задача Коши в пространствах с интегральной метрикой//Вестник МЭИ, 2011, №6, с.126-132.

3. Бирюков A.M. Комплексная задача Коши в пространствах с интегральной метрикой в случае распространения особенностей по "цилиндрической1"поверхности//Вестник МЭИ, 2012, №6, с.95-104.

4. Бирюков А.М. О задаче Коши для комплексного "уравнения теплопроводности "//Вестник МЭИ, 2013, №6, с.104-109.

5. Бирюков A.M. Комплексная задача Коши в классе аналитических функций со степенными особенностями//Тезисы докладов V Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания"2011, Обнинск, с.45-46.

6. Бирюков A.M. Комплексная задача Коши в пространстве с интегральной метрикой//Тезисы докладов Восемнадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика"2012, Издательский дом МЭИ, т. 2, с.5-6.

7. Бирюков A.M. О корректной разрешимости комплексного "уравнения теплопроводности "//Труды международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии"2013, М.:Изд-во МЭИ, т.З, с. 102-107.

Подписано в печать Зак./^-/ Тир. ^00 п.л. А &

Полиграфический центр МЭИ, Красноказарменная ул., д.13

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Бирюков, Алексей Михайлович, Москва

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "МЭИ"

На правах рукописи

04201457982

Бирюков Алексей Михайлович

КОМПЛЕКСНАЯ ЗАДАЧА КОШИ В ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ

МЕТРИКАМИ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук

профессор Ю.А. Дубинский

МОСКВА - 2014

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Аналитическая задача Коши в пространствах с интегральными метриками 12

§1. Комплексная задача Коши в случае распространения особенностей по "цилиндрической" поверхности 12

§2. Комплексная задача Коши в случае распространения особенностей по "конической" поверхности 28

§3. Описание систем, удовлетворяющих условиям огс[Ац < тгц—т^ и огс1Агз < тг—т3+1 40

Глава 2. Задача Коши в классах целых функций конечного порядка 43

§1. Задача Коши в шкале Ехртулл-Ф 43

§2. Задача Коши в шкале 61

Литература 74

Введение

Настоящая диссертация посвящена исследованию задачи Коши для системы комплексных линейных дифференциальных уравнений

- А{Ь,г,0)и = Ц^г) (0.1)

и(Ь 0,х)=<р(г) (0.2)

&+ЕЕ 4(£' = ьь *), (0-3)

к=0 j=l

г = 1,N.

и получил, что, если коэффициенты операторов £)) аналити-

ческие в некоторой области V С С™*1 функции, и порядки этих операторов подчинены условиям

огААкф,г,0) < вг - к, (0.4)

то для произвольных Нг(Ь,г), аналитических в некоторой окрестности о, го) точки (¿о, 2о) £ V и любых начальных функций ^Ргк(г), аналитических в окрестности С/(¿о, ¿о) П {£ = существует единственное решение задачи Коши

дкщ

к -^(¿о, г) = щк{х) (0.6)

г = 1, ...,И,к = 0,1, ...,31 - 1,

являющееся вектор-функциейи(£, г), аналитической в некоторой окрестности ^(¿о, -2о), которая, вообще говоря, меньше исходной окрестности

и ^ 0,20).

В дальнейшем тоерией Коши-Ковалевской занимались многие исследователи. В 1974 году С. Мизохата [1] доказал, что в случае одного уравнения неравенства Ковалевской являются необходимыми и достаточными для аналитической разрешимости задачи Коши.

Для систем уравнений этот результат не справедлив, как это следует из работы 1964 года Ж.Лере, Л. Гординга, Т.Котаке [2]. В этой работе доказана аналитическая разрешимость задачи Коши для систем, удовлетворяющих условиям Лере-Волевича

ОГС1А^ < ТПг — ГП] + вг — к,

где Ш1, ...,7Плг— произвольные целые числа, mj > 1.

Далее в работе [3] получены необходимые и достаточные условия для локальной корректности задачи Коши (0.1), (0.2) в классах аналитических функций с супремум-нормами. Этот вопрос рассматривается в следующих случаях

2) Функции из пространства решений могут допускать определённый экспоненциальный рост по "пространственной' переменной £ на бесконечности (экспоненциальная задача Коши).

В настоящей диссертации мы также изучаем вопрос об условиях для корректности задачи (0.1), (0.2) в классах аналитических функций

аналогичных тем, которые рассматривались в [3], но с интегральными нормами типа норм пространств Ьр с весом и Харди-Лебега с весом.

Как оказалось, благодаря детальному изучению и получению новых свойств аналитических функций в настоящей работе, в ряде случаев условия, необходимые и достаточные для локальной корректности рассматриваемой задачи, одинаковы как в пространствах с супремум-нормами, так и в пространствах с интегральными нормами. Рассмотрим содержание работы подробно.

Первая глава посвящена вопросу о локальной корректности , как по так и по задачи Коши (0.1), (0.2) в двух случаях: 1) Случай распространения особенностей степенного характера по "боковой" границе "цилиндра". Здесь пространство решений задачи Коши (0.1), (0.2) задаётся следующим образом:

го)— пространство аналитических в "цилиндре" иб,ц{Ьо, го) = {(*, г) : - < 5, - 20| < К} вектор-функций и(£, г) = г),..., идг(£, г)), для которых конечна

норма

N N

\u\\ö;m,R;P = X) \\щ\\д-т^Щр = J2

3=1 3=1 1/р

zQ\)m^dxdyd^dr]

f f \Uj(t,z)\P(R-\z-

L\t-t0\<6 Ur(zq)

где t = f + irf.

Dm,R,(T;p)(to, zo)(cr > 0)— пространство вектор-функций u(t,z), аналитических в "конусе" Vff,R(t0, zq) = {(f, z):\t- to| < J, \z ~ zq\ < R - a\t - t0|},

для которых конечна норма N

IMU;m,J?,<r;p = £ llwj=

3=1

N г , , 27Г v i/p

= £ sup sup ((+ (.R — cr\t — ¿о| —

j=l|i-i0|<f 0<r<Д—a|t—io| 44 0 '

ordAij(t, z, D) < mi — rrij, где Tfij— натуральные числа, характеризующие тип особенностей степенного характера. Это довольно жёсткие ограничения. А в случае распространения особенностей по боковой границе "конуса" необходимыми и достаточными условиями для локальной корректности являются условия Лере-Волевича

ordAfj < rrii — rrij + 1, причём, если правая часть отрицательна, то считаем, по определению, Aij = 0.

Заметим, что, если mi = ... = т^, то в последнем случае условия переходят в неравенства or dА^ < 1,

то есть в неравенства Ковалевской. Поэтому в этом случае для систем Ковалевской и только для них имеется локальная корректность в за-

данной шкале пространств аналитических функций с интегральными метриками.

Доказательство достаточности в обоих случаях проводится следующим образом. Задача (0.1), (0.2) сводится к эквивалентному ей инте-гродифференциальному уравнению

и(Ь, г) = / А(т, г, £>)и(т, г)с1т + <р(г) + / /г(г, г)с£т (0.7)

||£Ч|т+1,Д;р < С|Мкд;р-

а=0

которое получается для решения задачи (0.1), (0.2). А именно, устанавливаются условия на коэффициенты г) дифференциальных операторов А^, при которых это равенство возможно. Основное отличие этого доказательства от доказательства, которое имеется в [3] для супремум-норм, в том, что в [3] используются поточечные оценки соответсвующих функций, которые могут быть не справедливы для функций из наших пространств с интегральными метриками.

Во второй главе изучается экспоненциальная задача Коши. Также

рассматриваются два случая:

$(<5; ExpmiR!q]p)(to)— пространство целых по z и аналитических по t при 1t — toi < <5 вектор-функций u(t,z) = (ui(t, z),..., z)), для которых конечна норма

1М1$;т,Д,д;р = Y1 11Ч?1 \à;rrij,R,q;p = 3=1

= £ sup Г sup (( f\uj{t,reie)\pde)1/P(l + r)-miexp{-Rr<i}) .

3=1 |t-i0|«* L 0<r<+oo ^ о ' '

$(<5; ExpmjR^q-p)(to)— пространство аналитических по t при \t — ¿о| < 5 и целых по 2 вектор-функций u(t, z), для которых конечна норма

\\u\\ô;m,R,a,q-,p ~ X) \\uj\\ô;mj,R,(T,q;p ~ 3=1

N г / , 2тг ч 1/р

= £ sup sup ( ( J \Uj(t,reie)\Pde) (1 +

j=l ¡t-tol<â Lo<r<+oo ^ Q '

Получены условия на коэффициенты дифференциальных операторов Ау, которые являются достаточными для локальной по£ корректности задачи (0.1), (0.2) в шкалах экспоненциальных пространств. В случае 1) это

суть полиномы по -г, степени которых удовлетворяют неравенствам

degafj(t, z) < mi-mj-\a\(q-1)

(0.8)

В случае 2) это

суть полиномы по г, степени которых удовлетворяют неравенствам

Если правые части (0.8), (0.9) получаются отрицательными, то, по определению, считаем, что г) — нулевой полином. Заметим, что во втором случае условия, которые накладываются на коэффициенты дифференциальных операторов, более мягкие по сравнению с первым случаем.

Соответствующая теорема, как и в первой главе, доказывается следующим образом. Задача (0.1), (0.2) сводится к эквивалентному ей ин-тегродифференциальному уравнению (0.7), а затем применяется принцип сжимающих отображений. При этом вновь ключевую роль играет лемма, дающая оценку нормы производной целой функции через норму самой функции

(1еда%М,х) < mi—mj—\a\(q-l)+q

(0.9)

(0.10) (0.11)

при \z\ -> оо,

где u(t,z)— решение задачи (0.10), (0.11), соответствующее начальной функции if и правой части h(t, z) = 0.

Выясняется, при каких условиях на а(0, z) эти равенства возможны.

Пусть v{z)— целая функция и существует число М > 0 такое, что для любого г > 0 справедливо неравенство

Тогда у(г) есть полином, степень которого не превосходит т.

Также в процессе доказательства выясняется, что существуют функции, которые принадлежат пространствам с интегральной метрикой, но не принадлежат соответствующему пространству с супремум-нормой, то есть соответствующему пространству типа Н — Ьр Харди-Лебега с весом, где р = оо.

Отсюда вытекает также, что доказательство необходимости условий (0.8), (0.9), которое имеется в [3] для случая р — сю, не работает для случая пространств с интегральными метриками, поскольку в этой работе используются поточечные оценки, которые могут быть не справедливы для функций из наших функциональных пространств.

Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских конференциях:

= a(0,z)(p"(z)

- V Международной конференции "Математические идеи П.Л. Че-бышёва и их приложение к современным проблемам естествознания "[4];

- Восемнадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика" [5];

- XXI Международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии "[6]

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7] - [10].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Юлию Андреевичу Дубинскому за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Глава 1. Аналитическая задача Коши в пространствах с интегральными метриками.

§1. Комплексная задача Коши в случае распространения особенностей по "цилиндрической"поверхности.

Введём следующие обозначения: N > 1— натуральное число, т = (тх, ...,тдг) — ЛГ- мерный вектор с целыми координатами т^ > 1,] = 1,..., Ы, р > 1, Я > 0, 6 > 0— произвольные вещественные числа. Через

г будем обозначать комплексные переменные.

В данном параграфе будем использовать следующие функциональные пространства

Ет!щр(го)— пространство аналитических в круге иц(го) = {г : \х — го\ < Я} вектор-функций (р(г) = (<£1(2),..., ср^(г)), для которых конечна норма

N N / \1/Р

ИИклз, = ЕМт,|Д;Р = Е I Ыг)ПЯ-\г-хо\)т^хаУ) .

3=1 3=1 \ины /

Ап,Д;р) (¿о> ^о)— пространство аналитических в "цилиндре"

^(¿о, *о) = {(*, г): |£ - < к - 20| < Я} вектор-функций и(Ь,г) = -г),..., г)), для которых конечна

норма

ЛГ ./V

М|$;т,.Д;р = X] = Е

3=1 3=1 1/р

I / \и^,г)ПЯ- \г-

2о I ^Шув^йг] где * = £ + 1г].

Нетрудно проверить, что введённые пространства являются банаховыми. Покажем, например, что пространство является банаховым. Возьмём последовательность функций {г>г} с такую, что 1К - о, к, I оо, Т.е.

/ \ук(г) - У1(г)\р(Я - \г\)тр(1х(1у ->• 0, к, I ->• оо, т.е.

ип

/ |ьк(г)(Я - \г\)т - у1{г){Я - \г\)т\р(1х<1у иЕ

В силу полноты пространства 17 (17д) существует единственная функция V Е Ьр^ц) :

/ |ьк(г){Я - \г\)т - у(г)\р(1х(1у 0, к ->• оо,

ин

а значит

ин

Следовательно,

/ М*) - - ИГ^Л/ -У 0, к оо.

Возьмём произвольную точку го е [/д. Существует такое число До : О < Яо < Я, что г0 6 17^ = {г : \г\ < Яо}.

I М*) - ~ N У*<Ь*у 0, к оо.

Но при < Я0 (Я - \г\)тр > (Я - Яо)тр, а значит

I М*) ~ (А 0, & ОО.

Известно тогда, например из [11], что функция (д^)™ является аналитической в С/д0, а значит в точке го. Так как ^о £ ^д— произвольная точка, то функция является аналитической в

Таким образом получили, что существует £ Ап.я-.р, причём

I М*) ~ Т0У \Р(Я ~ \А)т^хйу -». О, к оо.

Это и означает, что пространство От>щр является банаховым.

Приведём примеры вектор-функций из введённого пространства Ап,Д;р- Ясно, что если вектор-функция <р Е Отд-р в случае р = оо, то она принадлежит и всем пространствам От>щр для всех р : 1 < р < оо. Таковой, например, является вектор-функция

= ( (Я-г)™! ' (Д-г)тЛГ ) ■

Однако вектор-функция ,„г„\ _ (_1_ _

¥>(*) = (

(Л-г)т 1+1' •*•' (Д-г)тлг+1

принадлежит пространствам для всех р : 1 < р < 2, но не

принадлежит пространстранствам Отд-р, если р > 2 и тем более, если р = оо.

В области V рассматривается следующая задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений

где А(Ь, г, О)— матрица дифференциальных операторов конечного

с аналитическими в области V коэффициентами (¿, г). Здесь и далее £>аи(£, г) будет обозначаться частная производная функции г) порядка а по переменной г.

Определение. Будем говорить, что задача (1),(2) локально корректна в шкале если для любой точки (£о>2о) 6 V найдётся такое число 6 > 0, что для любой начальной функции <р £ От^;р(го) и любой правой части системы (1) Н Е $(5; Ап,Д;р)(£о} ¿о) существует единственное решение задачи (1), (2) и £ ^о)? и справедлива оценка

где М > 0— постоянная.

Основным результатом этого параграфа является следующая тео-

(1) (2)

порядка:

Агз (¿, £>)« = а% (¿, , г)

рема.

Теорема. Задача (1),(2) локально корректна в шкале Отд-р тогда и только тогда, когда порядки дифференциальных операторов удовлетворяют следующим условиям

ОгйА2, .О) = ТПц < ТПг — т, (3)

для всех = При этом, если правая часть неравенства

(3) отрицательна, то считаем, что з, £>) — —оо, по опре-

делению, а = 0.

Для доказательства теоремы нам понадобятся следующие леммы о свойствах аналитических функций из введённых нами функциональных пространств, которые, на наш взгляд, имеют и самостоятельный интерес.

Лемма 1 .Пусть функция £ ч9(3; Тогда щ(0,г) £

Ап,Д;р; и справедливо неравенство:

11*4(0, ОНт^р < С\\и\\5.тЛр,

где С > 0— постоянная, зависящая отр и 5.

Доказательство. Из интегральной формулы Коши следует, что справедливо следующее равенство для любого комплексного числа г такого, что \г\ < Я, и для любого £, такого что 0 < Щ < 5

= & I *

т:|т|=|*|

Тогда

27Г 2 Л*

о о

Поэтому

2тг

или

/ 2тг \ V

(2ж)ЩР\щ(0,г)\Р < .

Применяя неравенство Гёльдера, получаем

2тг

2тгтщ(0,г)\р < / \и{\Ь\е*,г)\*&р. о

Проинтегрируем последнее неравенство по С/д = {г : \г\ < К}. Имеем

2тг

I 1щ(0,г)1Р(Я-\г\)тРс1хс1у < / / г)\Р{П-\г\)тР(1х(1У(11р.

ия о иа

Домножая левую и правую части последнего неравенства на |£| и

интегрируя по от 0 до получаем

6 6 2тг

2тг ЛгГМ£| ! \щ{^г)\Р{Я-\г\)^хйу < / \t\d\t\ / <Ър / |«(|ф* 0 иа 0 0 ип

\г\)тРШу.

Следовательно,

^ I К(М1Р(Д - \АГ^хйУ < \\и\\Р6.тЛр.

ип

Или, что то же,

Лемма 1 доказана. Лемма 2.Пусть функцияу(г) £ Ап,Я;р- Тогда её производная Е

■От+1,Д;р> и справедливо неравенство \\пу\\гп+1лр < с\\у\\тлр,

где С > 0— постоянная, зависящая только от т.

Доказательство. В силу интегральной формулы Коши справедливо равенство для любого г : \г\ < Я

= А i ш>

К|=а

где а : \г\ < а < Я произвольное.

Поэтому справедливо неравенство

2-7Г, , . , , 2ж , , ., ,

i гытр^м с ± с нае у)ну _ а_ г |«(ае'У)|<Ар

1Л — 2тг Л |ое^-ге^|2 2тг ^ |ае^-ге^|2'

0 0

где г = гег6*.

Возводя в степень р обе части неравенства, имеем

\Dv(rew)\p < (аУ(2Г\^\^У-(аУ(2г( И^)1р У/р_1_

I uvyre )\ \JQ \ae%v —гегв\2) ~ \2ъ) \ Jq \\ae^-re*9\2 ) [ae'V-re^l2'2^

Далее применим неравенство Гёльдера

IDv(reie)\P < f-a-V У Нае^Р dw( 7_&_

\UV\re )\ Ъ J J \аегР—гег&\2 г у J \ae^-re^\2 J Как показывают нетрудные вычисления, интеграл

2тг

г dip 2ж

J \аегР—гег0\2 а2-г2 ' О

поэтому

\Dv(re*W<

Проинтегрируем последнее неравенство по кругу Ur : R 2тг

J = J rdr f |Dv{reif))\p{R - rYm+1^d9 < о 0

R 27Г / \ n / \ n—1 27T

< Дд - J (¿) / ggfrdede =

0 0 4 7 4 7 0 ^ / \p

= fltfzp) (R - r)(m+VPrdr J \v{aeilP)\Pdip < 0 4 ' 0

<f J\v№)

о 0

Положим a = Щ^-. Тогда

ч, , 2тг Л 2тг

J < f f \v(R±Lew)\vdip = 2P /(R-r^rdr JT

0 (^j 0 0 0

Сделаем замену переменной s = r = 2s-R,dr = 2ds. Тогда

Я 2тг

J <2P f 2mp(R - s)mp4sds f \v