Комплексные дифференциальные системы и касательные уравнения Коши-Римана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ИНВОЛЮГИВНЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

§ I. Предварительные сведения

§ 2. Полный ранг комплексных дифференциальных систем.

§ 3. Комплексный ранг дифференциальных систем

§ 4. Канонический вид инволютивных комплексных дифференциальных систем.

Вполне интегрируемые системы

Глава 2. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СЯ-ШЩ/Й И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Предварительные сведения.

§ 2. (С-интегральное многообразие вполне интегрируемой системы и его локальная структура.

§ 3. Теорема о локальном расслоении.

§ 4. Локальные свойства ея -функций и решений систем комплексных дифференциальных уравнений

Глава 3. ШТЕГРИЕУЕМОСТЬ КОМПЛЕКСНЫХ ДИШЕРЕНЦЙАЛЬНЫХ СИСТЕМ

§ I. Предварительные сведения

§ 2. Условие Нагумо и его обобщение

§ 3. Системы с вполне интегрируемыми подсистемами.

ЦИТИРОВАННАЯ ЖТЕРАТУРА.

В современном многомерном комплексном анализе важное место занимает изучение следов голоморфных функций на вещественных подмногообразиях lit комплексных многообразий, или, общее, функций на М-, для которых производные по направлениям,сопряженных к комплексным касательным,равны нулю (функции Коши — Римана,или,короче, -функции).Содержательная теория таких функций развивается на многообразиях,у которых размерность комплексной касательной плоскости постоянна,так называемых 6$ -многообразиях.Развитие этой,так называемой в Я -теории,в последние десятилетия связано с проникновением в комплексный анализ геометрических методов и методов теории дифференциальных уравнений.

Начало -теории,по-видимоцу,восходит к Г.Леви (1956 г). Большая заслуга в развитии этой теории принадлежит таким математикам,как С.Хилл,А.Андреотти,Л.Хант,Р.Уэллс,Г.М.Хенкин, Е.М.Чирка,Л.Ниренберг и т.д. Существенную роль в

-теории сыграли теорема Гринфилда [24] о С Я.-расширениях и теорема Баоэнди - Трева [25] о -аппроксимациях.

Было давно замечено ( например,Г.Леви [ 23] ,А.Андреотти -С.Хилл [29]) ,что некоторые комплексные дифференциальные системы после подходящего преобразования координат принимают вид, аналогичный тому,в котором можно локально записать касательную систему Коши-Римана ( ^-систему).Исследование связи произвольных комплексных дифференциальных систем с el

-системами оказывается полезным для развития как соответствующих разделов теории дифференциальных уравнений,так и ея

-теории.

Отметим,что взаимосвязь произвольных гладких комплексных дифференциальных систем с 6 Ш -системами существенно зависит от интегрируемости таких систем.Этот вопрос,как показал,например, Л.Ниренберг [?],нетривиален и,к настоящему моменту,открыт. Поэтому представляют интерес достаточно обширные классы интегрируемых комплексных дифференциальных систем.

Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении.В ней произведен локальный анализ произвольных гладких комплексных дифференциальных систем, выяснен канонический вид таких систем без условия вполне интегрируемости,установлено, когда эти системы являются,по крайней мере локально, -системами на некотором порождающем № -многообразии,исследована локальная структура порождающих ея -многообразий,выяснены некоторые вопросы единственности ея -функций и решений систем линейных дифференциальных уравнений с комплексными коэффициентами. Приведены новые достаточные условия локальной вполне интегрируемости таких систем.

1. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях.- М.:Мир,1971.- 232 с.

2. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии.- М.:Мир, 1970.- 412 с.

3. Смирнов В.И. Курс высшей математики.-М.:Наука,I981, т.4, ч.2. 550 с.

4. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных.- М.: Иностр.Лит.,1957.- 444 с.

5. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.:Мир, 1970.- 720 с.

6. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка.- М.:Наука,1966.- 260 с.

7. Ниренберг Л. Лекции о линейных дифференциальных уравнениях с частными производными.- УМН, 1975, т.30, № 4, с. 147-204.

8. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ.- М.:Наука,1976, ч.2.- 400 с.

9. Хенкин Г.М.,Чирка Е.М. Граничные свойства голоморфных функций нескольких комплексных переменных.- В кн.:Современные проблемы математики.ВИНИТИ,1975, т.4, с. 13-142.

10. Айрапетян Р.А.,Хенкин Г.М. Аналитическое продолжение-функций через острие клина.- Докл. АН СССР, 1981, т. 259, № 4, с. 777-781.

11. Садуллаев А. Внутренние функции в R Матем.Заметки, 1976, т.19, с. 63-66.

12. Туманов А.Е. О граничных значениях голоморфных функций нескольких комплексных переменных.- УМН, 1974, т. 29, № 4,с. 158-159.

13. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.:Наука,1964.- 272 с.

14. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции.- М.:Физматгиз, 1959.- 628 с.

15. Горн. Введение в теорию дифференциальных уравнений с частными производными.- М.: ГОНТИ НКТП, 1938.- 272 с.

16. Курант Р. Уравнения с частными производными.- М.:Мир,1964.-830 с.

17. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплекс- ' ных переменных.- М.:Мир,1968.- 280 с.

18. Абросимов А.В. Система Бельтрами с несколькими независимыми комплексными переменными.- Докл. АН СССР, 1977, т. 236, №6, с. 1289-1292.

19. Абросимов А.В. Комплексные дифференциальные системы и касательные уравнения Коши Римана.- Мат.Сборник, 1983,

20. Ж. (Ln example of a smooth /лпеап-partial differential eamlionwithout solution.-От. Шк.,ШР,и:66,№, p. {35-{5 &

21. Kill ift.Xaiani famihesofanafytiedisss in. C^imik SounUies on a prescribed PA-Su^maniSotds- CLnn.$<ivol(i florm. Sz/pen flisaxff,jri,pMF-3gO.

22. Treves $ Remarks a@out eettain order Hi near 93}^ in turoтПаШе-вотт.(Part 2>z#. 8%".,(Щ V.S, p.3ft-416.

23. Ctndreoth d.y ЖМ ЁЖ SompPex etiamekrtstie eoordmtes and tangential Gauchu-Qiemarin e^ualwns-dnri. Scuoia Worn. Super: fPisa,v.ie,jf%, p. 139-314.

24. Jlirea$er<j Ci complex §го&епШ theorem- Seminar- ofdnaPj/Ue functions, sDnstihte Sor ddiraneed Study, iSSf. p. i?l~№.