Конформная структура на гиперповерности проективного пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. II. ЛЕНИНА

Специализированный Сопег К 053.01.02

На правах рукописи

КОННОВ Валерий Владимирович

КОНФОРМНАЯ СТРУКТУРА НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

01.01.04 — геометрия н топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва 1992

Работа выполнена на кафедре геометрии Московского ордена Лешша и ордена Трудового Красного Знамени педагогического государственного университета имени В. И. Лешша.

II а у ч н ы 11 р у ново д н т е л ь:

доктор физико-математических наук, профессор М. А. АКИВИС

О ф н ц и а л ь н ы е о н попоит ы:

доктор физико-математических наук, профессор Д. В. АЛЕКСЕЕВСКИЙ,

кандидат физико-математических наук Е. В. ФЕРАПОНТОВ

Ведущая организация — Казанский государственный университет.

Защита состоится «...В......г. в час. на

заседании специализированного совета К 053.01.02 по при-сужденшо ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В. II. Ленина (адрес университета: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, МПГУ им. В. И. Лешша).

Автореферат разослан «............»........................1992 г.

Ученый секре^';

Яшзцроваппого совета Г. А. КАРАСЕ В

■ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

■ Актуальность теш исследования. Теория коиТормнкх структур занимает особое место з ряду общих вопросов теории С -структур на многообразиях [19] и представляет собог одно яз важнейших и широко изучаемых направлений в диФТ'-Р^шиаль-пой геометрии. Эта теория первоначально возникла при изучении тех свойств римановмх в псевдоримановых многообразий, которые остается ннварнантнкми пр!! кок£орллоу. преобразовании метрики 1 i 51, Оказывается, что иыенно эти свойства играют важную роль в пршененш! теории псевдориьаноЕЬ'х пространств к теоретической физике. Кон1оруло ннвефиэятнкми являются свето-въе конуса ютирехг/еркого шогообразия обце^ теории относительности,' и поэтому' когг|юр|/ная метрика играет основную роль в , теории; твисторов Пьнро'уза. Mr 3. С б ] . Конс!ормно. инвариантными являются также автодуалыше уравнения Яяга-Ь'ялса f 8 ] , которым, удовлетворяет Лорка кривизны SV(2) -связности на четьрех-мёряоы многообразии. Конфоршой яышется и классификация Петрова- Г? J пространств общей теории, относительности, ice это, й тш^е многие другие аспекты, делают актуальным изучение чис-. то геометрической теории конформных структур.

V Кон^ярмная структура аа многообразии И определяется относительно инвариантной невырожденной квадратичной формой ¿j = ■*q:iU}{Oú\ эта структура будет собственно конформной, то есть СО (к)-структурой, • еслй форма д положительно определена, и -€0fp,<j) -структурой,- если форма . g имеет сигнатуру

: Часто форма g , задающая конформную структуру, определяется на многообразии М каким-либо естествённнм образом. Так на подмногообразиях евклидова пространства конфорулая структура порождается метрикой этого пространства ПН , Точно также геометрией объемлющего пространства яонЬормная структура порождается на. подмногообразиях конформного пространства i и].

В последнее ьремя появились работы £.-2¿>j ,Ci21 ,[10] лаучап^ке вопроси вложения многообразий в эквиаффкнное пространство в качестве гиперповерхностей. В атах работах в качестве метрик, на гиперповерхностях рассматривается их вторые Фундаментальные <?ормы, называемые "аффинныщ метриками". Вторые даменталькыё. формы ( .или, что токе самое, асимптотические фор-

mw ) рассматривались в качестве метрик тамге к. и. Норде ко к Г5] , H.A. Щироковкм и А.П. Широком м СЗУ при изучении гиперповерхностей аффинного и проективного пространств. Однако конформные свойства этих метрик остались в, стороне несмотря на то, что асимптотическая Форма гиньрп'овер^носг.и задается лишь с точностью до множителя и инвариантно определяет'именно конформную структуру, тогда как рассмотрение этой Форлш в качество метрики требует ее нормировки.

Б силу вышесказанного, актуельшы яшяется лгаучешш кои-,. формной структуры, иороздонкой на гиперповерхности проектнЕно- . го пространства с сл ьы т о ти ч е ско й Нормой,этой гиперповерхности (асимптотической конформной структуры*, что и составляет г,с. настоящего исследования. Конкретными задачами диссертации яв~ : ляются: ■ : . ■ ■ .. ■

1. Построение на тангенциально невырожденной гиперповерхности проективного пространства инвариантной конформной саяз-ности и исследование ее тензора Вейяя. - ,•"':',;.-•" V

2. Исследование гиперповерхностей с плоской, асимптотической конформной структурой, . •;•••'•.

3. Исследование асимптотической конформной. структура. на четырехмерных гиперповерхностях и изучение гиперповерхностей.

с полуплоской ( автодуальной и аятиавтодуельной ) ашилтоти- ' ческой конформной структурой.

Неучкад новизна, Есе результаты, 1;о; ученш;е в диссертации -. являются новыми. В.щелим из нйх следумдие. - • ■

1. К тангенциально невырожденной .гиперповерхности V "

Ри + <

инвариантно. присоединяется- . конформная связность, определяемая асимптотической форыоИ-'гиперповерхности V " . Доказано, что ее тензор-ЕеЯля алгебраически ■ выражается через тензор Дарбу гиперповерхности Vй ,.'

2. Изучены гиперповерхности, несущие плоскую асимптота-- -"'■ ческую конформную структуру.'Доказано,- что в Р". (и >¿) кромб гиперквадрик такую структуру несут огибаощле второго порядка однопараметркческих семейств невырожденных гиперквадрик,. Найдены конечные уравнения .таких огибающих. -Скояструкровгж глдер- • " поверхности с плоской асимптотической конформной.структурой" '•любой сигнатуры. ^ '. '.. '. .

3. Найдены аналитические условия'Полудлоскостностк и ' ■ плоскостности четырехмерной асищтоткчёсюй-.конформной струк- .:

туры сигнатуры (2,2), и дана геометрическая характеристика вполне изотропных двумерньх подмногообразии асимптотической СО (2,2)-структуры.

4. Выделен и изучен класс четырехмерных гиперповерхностей с полуплоской асимптотической конформной структурой.

"стоя исследования. Работа вгполнена у.етодом подвижного репера и внешних дифференциальных 'Торм Картана Г141 , . Рассмотрение носит локальный характер, а все многообразия к ■заданные на них геометрические объекте предполагается достаточно гладкими.

Теоретическое и практическое значение. Все результату носят теоретический характер и могут быть использованы в исследованиях, посвященных конйоршгом структура*1 на многообразиях я проективно-ДиТ^еренциальной геометрии гиперповерхностей, а так-хе при. чтении спепкурсов по этой тематике в высших учебнкх заведениях. "Полученные уравнения конформно плоских и полуллос:;их гипоршвёрхностей могут найти приложение в теоретической физике.

Апробация работы. Основное результаты диссертации докладывались на конференции "Ьроблеыш теоретической и прикладной математики"' /Тарту, 1990 г./, на заседании иколн-семинара по теории тканей /Со,','ара, 1991 г/, на международной конференции "Лобвчевский и современная геометрия" /Казань, 1992 г./, на заседаниях семинаров по дифференциальной геометрии в Московском Институте Стели и Сплавов /1990, 1991 и 1992 гг./ и Московском Педагогическом Государственном Университете /1992 г./.

ПУ&тикадии. Основное содержание выполненных исследований отражено в б публикациях Сааз-сй?] , написанных'*без соавторов.

Структура и объем работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, включающих в себя 15 параграфов, л списка цитируемой литераторы, содержащего 56 работ отечественных п зарубежных авторов. Объем диссертации составляет 114 • страниц кашинопйсного текста. К тексту прилагаются 7 рисунков.

! ' . ■ ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДКССЬРТЛЦКИ

Во введении Формулируются основные задачи диссертационного исследования, обосновывается их актуальность и приводится крат-

кое содержание основных результатов диссертации.

Первая глава. "Ди^ереншальная геометрия тангенциально невырожденной гиперповерхности проективного пространства" /§§ 1-4/ посвящена изложения основных фактов проективно-диМ'ерен-цкальной геометрии, являющихся основным аппаратом дальнейшего' исследования. ' '

В параграфе I выводятся основные уравнения расслоенного многообразия реперов У(Р ) вещественного проективного.прост- , ранстьа Р , которые являются структурными уравнениями Каурера-Картана полной проективной группы PGL(IV).

Далее вводится понятие расслоенного многообразия реперов первого порядка ?(Н) , инвариантно связанного с подмногообразием М прооктивного пространства Pv . Приводятся основные ди^-еренциальные уравнения многообразия -£(М) , которые опре- . деляют М в PrJ с точностью до проективного ^образования. Формулируется основная теорема тензорного анализа дад подмногообразий проективного пространства.

Параграф 2 содержит основные уравнения гиперповерхности V" проективного пространства Р""*1 . Здесь же. определяется вторая фундаментальная Форма Ч-Я^си^ио* гиперповерхности Vй , которая является относительно инвариантной на V" и называется такг.е асимптотической формой гиперповерхности V"1'.

Гиперповерхность V " называется тангенциально .невырожденной, если невыроэдена ее асимптотическая форма-..V 1 . Далее -рассматриваются лиль тангенциально невырожденные гиперповерхности. Для них определяется кубическая Форма Дарбу и записывается уравнение пучка соприкасающихся' гиперквадрик Дарбу. Вдоль конусов Дарбу Y- О все эти квадрики..имеют каса- ' ние третьего порядка с гиперповерхностью V"1

Следующий параграф посвящен изучению кубической 'формы Дарбу У тангенциально невырожденной гиперповерхности V" пространства Рn+Y . Здесь вводится определение ранга x^nkf кубической формы Дарбу Y , как разность между размерностью -п гиперповерхности V а размерностью вершинной плоскости конуса Дарбу Y -о , и доказывается • :

Теорем al. Кубическая Форма Y тангенциально невырожденной гиперповерхности Vй проективного пространства Р"** имеет постоянный pain? xttnkV'm , о < та и •,' тогда и только тогда, когда эта гиперповерхность является огибающей т -

параметрического семейства соприкасающихся гиперквадрик Дарбу., Если ранг ограничения асимптотической форд® У гиперповерхности V" на верлииные плоскости конусов /.арбу равен 3 ,, о^ Ззи-т, то характеристикам! огибающей V" являются (п-тИ— мерные' тангенциально вырожденные поверхности второго порядка1, ранга я .

Эта теорема обобщает результат Вербицкого С 2 3 и Лаптева; С 3] о том, что тангенциально невкрежденная гиперповерхности. • V*1 вироядается в типерквадрику тогда и только тогда, когда тензор Дарбу гиперповерхности тождественно равен нулю.

Заметим, что форма Дарбу подробно изучалась Т. К<лт''$даиЛ' еце в 1925-1930 годах £-16].- Г-/23 .

- Вторая Ш2Ш 5-7/ посвящена кзучеша? конфорг.аэдй'. структуры на тангенциально невырожденной гиперповерхноста У"' „ определяемой на V" ее асимптотической квадратичной формой,

- В параграфе 5 дается определение гсонфоркной структзры т гладком многообразии И , как 0 -структуры ва М1 ш егдаь-турной группой

С - С О(р,Ч)-0(р>Ч)х1К,р + <:1= И .

, ' Далее записнсалтся структурные уравнения инвариантной ков-фордшоЙ связности, присоединенной к многообразию М' с э-адак-ной на нем СО Ср,9)-структурой. Определяется тензор Вейля этой структуры и перечисляются его свойства.

0.' параграфе б доказывается

Т е о р е м а 2. К тангенциально невкрозденио? гюерлоьерх-ности V" проективного пространства Р "+1 инвариаггагго'присоединяется конформная структура, определяемая асимптотической формой гиперповерхности Vй , тензор Еейля которой выракает-ся через тензор Дарбу гиперповерхности V"1 по формуле

Тп^Тх^Т) & aJtl< аеле } гдв . 6 = Й а'* - тензор обрат-

ный асимптотическому.

Отметим,' что эта формула приводится-также в работе Ц'ЗЩ, вышедшей из печати в 1968 году. Автором диссертации онз выведена независимо от [211 и впервые опубликовала в тезисах „

Из теоремы 2 следует, что ггросгейлим примером гипордазерх-иоотей проективного пространства с плоской асимптотической

конформной структурой являются невырожденные гиперквадрики, которые, как известно, служат моделью конформного пространства» Говорят, что две гиперповерхности V" и V" проективного пространства находятся в асимптотическом соответствии, если существует д!гМ;еоморЬизм , при котором асимптотические линии одной гиперповерхности отображаются на асимптотические линии другой.

Параграф 7 посвяыен изучению асимптотического соответст-,/ вия гиперповерхностей проективного пространства. Здесь доказыва- : ется

Теорема 4. Лае тангенциально невырожденные гиперпо-всрхности проективного пространства г при и >3 находятся в асимптотическом соответствии тогда и только тогда, когда в под- ■ ходящей системе координат равны тензоры Вейля асимптотических конформных структур этих гиперповерхностей. •

В ему этой теоремы, класс всех конформно плоских гипер- -.. поверхностей пространства щш состоит'из гиперпо-.

верхносте?, находящихся в а симдтогическом соответствии с гиперквадриками. - ,- ■ ' ,'

Глав 3 "Конформно плоские гиперповерхности проективного пространства" /§§ 8 - II/ посвящена построении нетривиальных примеров гиперповерхностей проективного пространства Рк** с плоской асимптотической конформной структурой.

Параграф 8 начинается со следующего определения. Гиперповерхность V" проективного пространтва Р""' называется ; огибающей второго порядка семейства гиперквадрикесли в любой своем точке она имеет касание второго порядка с некоторой гиперквадрикой семейства. Справедлива '

Теорема 6. Асимптотическая конформная структура на'. огибающей второго порядка однопараме'тического семейства невырожденных гиперквадрик в проективном пространстве РпЧ1 приказ является плоской.

Геометрическое строение такюс.огибающих раскрывает * Теорема 7. Огибающая одно п араме три че с кого семейства невыровденннх гиперквадрик в проективном пространстве Р"^ • при п ^з является огибающей второго порядка этого семейства гиперквадрик тогда и только тогда, когда характеристиками этой огибавдей являются двукратные поверхности второго порядка.

Следующий параграф посвящен выводу конечных уравнений таких огибающих. Справедлива

Теорема 8. Однопараметрическое семейство невырожденных гиперквадрик (2(О в проективном пространстве Р"*' имеет огибающую второго порядка тогда и только тогда, когда уравнение этого семейства приводится к виду.

о

причем выполняются усломхя

Едись Си„ и Си - постоянные, а и - глад- • кие функции одной переменной. В силу теоремы 6, огибающие-таких ' семейств будут, йести плоскую асимптотическую конформную струк- ■ туру. Конечные уравнения таки огибающих получаются после исклю-. ченая параметр« из систем! уравнений <2 И ) = о и

В параграфе Ю строятся примеры гиперповерхностей пространства . Р**' , а>з « с плоской асимптотической конформной струк*-турой.любой сигнатуры Ср,<}1 . »• Одним из результатов является -. У

Пре д д о к е н и <э 4. Пусть V", п •> - аМлшная •

гиперповерхность вреденид, заданная уравнением

; = ....." >

Гдо $ - гладкая положительная Функция одной переменной,- а хсвадратичная Форма С^- у * : имеет сигнатуру <{),/>»<}* п . Тогда, на гиперповерхности Vй реализуется плоская асимптотическая конформная структура, которая является СО (р. ф -структурой, если функция $ выпукла вверх Ца< О /, и -€0 (р- <? и) -структурой. если функция Ь выпукла вниз /$">о /.

. Здесь С{! - постоянные, а { / / X*} - неоднородные ипп °

координаты в Р . • .

Особое значение имеот изучение конформных структур на четырехмерном глюгообразкп, ввиду их тесной, связи с теорией гравитации. Особенностью четкрехк.ёрных конформных структур является тот факт, что их тензор ЗеРля допускает разложение на • его автодуачьную и автодуальную части. Поэтому в. "этом случае мокло говорить не только о плоских, но и о полуплоских /автодуальных или антйазтоду альных/ конформных структурах.

Глава 4 /§§ 12 - 15/ посвящена изучению.гиперповерхностей.

пространства Р , асимптотическая конформная структура кото-* ркх имеет сигнатуру. (2,2).

Параграф 12 носит реферативный характер и содержит основные определения и Т>акты из теории С0(2,2)-структур на многообразии, неойходшлне для дальнейшего исследования.

В работе Г13 , посвященной изучении СО(2,2>-структур, ^водится понятие вполне изотропных двумерных подмногообразий, с помощью которых находится геометрическая характеристика четырехмерных лолуплоских и моста С0{2,2¿-структур.

£ параграфе 13 полученные выше результаты об асимптотических конформных структурах, а также'результаты работы Г 1] , переносятся на случай асимптотических СО(2,2)-структур на гиперповерхности пяткмерного проективного пространства. Здесь В1*чийгя«ся автодуальная и антиалтодуальная части тензора Вей-ля и находится аналитическое условие полуплоскостности и плоскостности асимптотических 00(2,2)-структур.

ПараграЬ 14 посвящен изучению вполне изотрошшх двумерных подмногообразий асимптотической СО(2,2)-структуры на гиперповерхности. Здесь доказывается

Т е о р е и а 10. Пусть V1 - вполне изотропное подмногообразие четырехмерно;: гиперповерхности V'' , цосуи&й асимпто-тическ;.» С0(2,2)-структуру. Тогда возможны следующие четыре случая: I/. V1 - двумерная плоская образующая гляердоцерхнос-ти V * ; 2/. V2 - двумерный торс, то есть тангенциально вырожденная поверхность, несущая однопараметрическое семейство прякблинеЯшх образующих, вдоль которых постоянна касательная

. плоскость к V 1 . Соприкасающееся пространство такого подмногообразия трехмерно и лежит в касательной гиперплоскости к гиперповерхности V4 ; 3/. V'1 - тангенциально нешрозден-ная линейчатая поверхность. Четырехмеряоз сонрикасагдаесд пространство такого подмногообразия совпадает с -касательной гиперплоскостью к гиперповерхности У1* ; а). V' -тангенциально невырожденная поверхность, несущая сеть сопрядешшх линий. • Соприкасающееся пространство такогч подмногообразия четырехмерно к совпадает с касательной гиперплоскостью' к гиперповерхности V4 .

В параграфе 15 рассматриваются гиперповерхности с полуплоской асимптотической конформной структурой. Здесь доказывается - -следующая теорема. ■ '.

. , ч

Т е о р е м а II. Пусть V - тангенциально неа по.-кденная гиперповерхность проективного пространства Ps , через каждую точку которой проходят две двумерные а>оскио образуацис обдего положения. Тогда на птсрповсрхностк Vv реализуется полуги.ос-кая асимптотическая СО(2,2)-структура.

Лалее находятся конечное уравнения таких ги.черпот.рхностсй и доказывается '

Теорема 12. Пусть V гиперповерхность с полуплоской СО{2,2)-структурой, описанная в теореме т1. Эта гиперповерхность является проекцией многообразия Сегре Р1* Р* , лежащего в восьмимериом проективном, пространстве Рг , на пяти.ер-ное подпространство Ps из двумерного центра проекции Z . ' ■Здесь же изучается еще один класс кон^оркно плоских гипер-поЕсрхностоЯ пространства Р5 . Kr/еет место

Теорема 13. Пусть V1* - тангенциально невырожденная гиперповерхность проективного пространства , через ка«ду1 точку которой проходят четыре плоские образующие, прачек. две ;».з них принадлежат одному семейству изотропных плоскостей асиупто-. тического конуса,, а две другие - его втором;;' семейству. Тогда гиперповерхность V4 несет плосхсуо асимптотическую СО(2,2)-структуру. . • .

Гиперповерхности, йпкевшше в зтоК теореме, также !.;огут бкть получены из многообразия Сегре Р х Р1 при проектировании Р8 на Ps при некотором специальном расположении центра проекции .2 и многообразия Сегре в пространстве Р* . Необходимые конструкции приводятся в этом же параграфе. Здесь же находятся конечные уравнения таких гиперповерхностей.

Б заключении автор вкражает благодарность профессору Акивису М.А. за постановку. задачи и постоянное внимание, к раб'о-• tg.

Использованная -литература

1. Акквкс I...А. С вполне изотропных подмногообразиях четырехмерно? псевдоконформной структуры // Изв. Вузов. 1/ат.- 1983.-

а I.- с.з-ю. .■•■•■

2. Вербицкий Л./. О метрической дифференциальной геометрии

гиперповерхности второго порядка // 'Груды cer/инара по век-, торному и тензорному анализу / Изд-во 1.ТУ.- f.i., 1949.т • LvnycK ?.- С.319-340.

3. Лаптев F.i. JhMеренциальная геометрия погруженных многообразий // 1953.- Т.2.- C.275-3S2.

4. .','апин Г.П. Холибровочяые поля и комплексная геометрия.- , ' • :.:. : Наука, 1984.- 336 с.

5. ¡¡орден A.Ii. Пространства анашной связности, 2-е изд.-

: Наука, 1976.- 432 с.

6. Пе.чроуз Р., Риндпер Б. Спиноры и пространство-время,- Ivi. : I.Ii:p, I9c8.- 574 с.

7. Петров A.S. Классификация пространств, определяющих поля тяготения // Ученые записки Казанского ун-та.- Казань, 1954.-T.II4.- Кн;:гс. 6.- C.55-S9.

8. Фрид J.., Уленбек К. Инстантоны и четырехмерные шогооб-; радия.- Ы.: ;.1ир, 1988.- 272 с.

9. Широков П.А., Широков А.Л. АФПпшая диЭДеренцлальная геометрия.- I.!.: Гос. изд-но ?из.-мат. лит., 1959.- 319 с.

10. Воклл VemiXu Sîhich V. Ji$Cn< ktjmxsvcjck ces

WClk рлгл^е i cuét'c- jjx r%\ S // Тйко|си Hxtk .T. -

- Î330.- V.4iy Ы1,- P. iOt-108.

11. Ccl-cîo.4 £. La. lit^otruatlon Jti, kîfit*su"ij<xctu.s. ¿'t.ijxic<. cvH^oztxe a clCmcu^.i'wij // $o<.. Miik. h-ta.n.e.e.- '/S (1S ff). ~ P. 57- Ï2 1 .

12. Dt^fe-n F., tfùnliu H., Vxa.«k.<>n.?, CoHiwfj&t*. сонпес. £C¿»4. ¿«-d RtKcLott'S iki.ox.it>x <SLJffCni dtyttXKi;«jgtfmcéti ^ HoK^i -sck, Ma.ik.~ 12ÏQ.- V, Ц.* P.iUi- 23SI

13. Ziictika-ti L.P, Ясе>пап.п.{ач îjjwk^ // PX.I'kc*-4Ô*I

Pxt.%%, i326.- ЯС2 ff.

14. G-UjSUki, PHaxxis. T. MqeéyLdCt '^eowi-ixy o-n.4

lcco-Ч à-i^é n..i-ic<x£ tjet>*«e-tt-tf // i«K. stc'c« i . £<-.,

■b/oxM^Si+f., 131$.- V.1'2, - KSSS~43Jl.

15. §iLjtitk<> P. ,0л Co-^an's mtéLod <?j Lie ¡¡toufs

mcvitu^ jx<x.Me-s, ai Af>f>£ced 4o uKÙguene^z

e.UiitHic 1« diftttantî&C ' ye '

•cy //Ma.H. Тех,, - P, ¿74*.

16. j, ¿>u cuxoes a Llpvis,Uïj<xct. 4 in -èhe. ^WnidiHû^ sp&ce if Me*. CoCêeye Se S.'

• \Luoio J^pL-u'ae. UnCtr., i'J 25". - КЗ.. - I\1ZS- ÏSJ.

17. V,аH-i-ia.nl J. Sur ¿ç» ¿a for™ de. Hattfcu-K

de e.'kitfLx<>u\j«cc fí &u€¿. Sot. Maík. France, IdЗг,-- V.SP. ÜOG-2-ff.

18. Kanlta-ILL t. Sur e'Áiptx sut f Ace dátil! ¿a j-cim< de Рл-iíW ÍS¿ Un. cuée рлх/л/é //Jnn. Fee. Sc¿.Tr?u fouit,l'îlo.-v. S.-P.2*-V.7.

19. Kíéa^ds/tL á, Tta к-sfot mA¿¿¿n <jti'<¿ps ¡n .dcj$iittt-í¿a/ --Silhi^ï -J'ítíüg, ñltlln-títidtCit^- títw У\rck, f3?i.: iii

20¿ t/ort\îïu К., Pi rl (tí» И. Сл -iAt t>f aftCn* ¿'»«/ме-t-

%it¡*¡¡ ti Ha-ik. 2,, iZSf.- Y.ÍSS.- fv/3.- P. 16S- Í?S. ■ 21; 'SüLiáU т. Ок ihc §ecr*tity с>/ Aj^sMijue«; i<¡ua¿Cc*<%

d¿íí-ci¿níct££<-s, cí&its £c cU<xiuf e€H*féem'.- v. i CS<tAs--. '1ÜÍS3L -Pufe.- lib*. Hiek. N*U4 Uiu'v. Lttu's '

'fafteu* , SéiasifeuÂj , - P. itS~tCi.

■ Публикации автора по тоге диссертации

22. KótutOB З.Б. Асимптотическая псевдоконформная структура на . четырёхмерной гиперповерхности п ее вполне изотропные дау-

' . мерные поданогбобразат // Изв. Вузов, Мат.- 1932.- Г* 6,.." с.71-79. ' ' .'-..";•.•' •

23. Коннов В.В. О ранге кубической формы Харбу тангенциально не-■ : Еьрогденной гиперповерхности // Памяти Лобачевского посвящается / Кзд-во Казанского ун-та.- Казань, 1992.- Выпуск 2.' - ' С.Б-20.;

24; Концов В.В. Ко;?!)ор№ая. структура на гиперповерхности'проективного пространства // Проблем теоретической и прикладной . математики : тезисы докл. конф,- Тарту, I9SD.- С. 53-54. 25. Конйов В.В* Конформно плоские гиперповерхности проективного ' пространства //Лобачевский и современная геометрия: тезисы докладов конФорегаша.- Казань, 1992.- Часть I.- С.42. 25. Коннов B.B¿ Об едкж ivtaccs гшериоверхностей многомерного проективного пространства-а плоской асимптотической кон^орм-. ной структурой //. Деп. БШШ ')? 2SS6-B92 от 7.08.92,- 30 с. 27. Коннов В.В. О реализаций полуплоских 'конформных структур на четырехмерной гиперповерхности проективного пространства // ■ ;; Деп. ВИНИТИ & 25&7-В92 от.7.08.92,- 29 с. '