Контактные задачи для упругой кусочно-однородной полуплоскости с конечными и полубесконечными накладками тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АРМЯНСКОЙ ССР ЕРЕВАНСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ХАЧАТРЯН АЛЕКСАНДР РУБЕНОВИЧ уда 539.3

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОЙ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ С КОНЕЧНЫМИ И ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫМИ НАКЛАДКАМИ

(01.02.04 - Механика деформируемого твердого телаГ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ереван - 1990

Работа выполнена на кафедре механики сплошной среды Ереванского государственного университета.

Научные руководители: член-корреспондент АН'Армянской ССР, доктор физико-математических наук, профессор САРКИСЯН В,С.,

кандидат физико-математических наук, доцент ШГОРЯН Э.Х.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ПРОКОПОВ В.К.,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник АГАЯН K.I.

Ведущая организация - Институт проблем механики АН СССР

Защита диссертации состоится ¿¿Л^/СсМ^. 1990 г,

в /3 час. ауд. * на заседании специализированного совета К 055.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Ереванском государственном университете по адресу: 375049, Ереван-49, ул.Мравяна, I.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан ИД_" 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена математическому исследованию одного класса контактных задач о взаимодействии полубесконечных и конечных накладок и включений с кусочно-однородными полуплоскостями, кусочно-однородной полубесконечной прослойки (накладки в виде тонкой пластинки) с кусочно-однородным полупространством.

Актуальность темы. В последнее время очень интенсивно развивается один из наиболее важных разделов механики деформируемого твердого тела - смешанные и контактные задачи теории упругости.

Бурное развитие контактных задач теории упругости, связанных например с передачей нагрузки от тонкостенных элементов в виде накладок, включений, балок и штампов к упругим массивным телам, обусловлено тем, что с одной стороны методы, развиваемые для решения указанных задач обогащают научный арсенал математической физики и современной механики и представляют большой теоретический интерес. А с другой стороны они имеют важное практическое значение, поскольку строгое математическое решение этих задач (в рамках принятых математических моделей и гипотез), возникающих при проектировании инженерных конструкций и деталей машин, дает возможность ответить на важный вопрос о местах концентрации напряжений, определить законы распределения контактных сил, действующих под армирующими элементами, и выяснить характерные закономерности взаимодействия между контактирующими телами.

Следует отметить, что подавляющее большинство существующих исследований по указанному кругу задач относятся к однородным классическим телам (полуплоскости, плоскости, полупространства и т.д.). Между тем задачи о взаимодействии тонкостенных армирующих элементов, например, е кусочно-однородными полуплоскостями и полупространствами, нуждаются в дальнейших математически строго обоснованных аналитических и численных исследованиях и имеют важное теоретическое и практическое зия,гпние и представляют актуальную научнуи задачу. .

\

Цель работы заключается: в построении эффективных аналитических решений и расчетных формул для поставленных задач в рамках принятых физических моделей для взаимодействующих элементов при достаточно широком диапазоне изменения физических и геометрических параметров; в выяснении влияния неоднородности (кусочно-однородности) контактирующих элементов на закон распределения тангенциальных контактных сил; в определении особенностей контактных напряжений, действующих под армирующими тонкостенными элементами; в выявлении эффекта упругих моделей по сравнению с абсолютно-жесткими моделями.

Научная новизна. В работе исследован новый класс контактных задач хг взаимодействии полубесконечных и конечных накладок и кусочно-однородных полубесконечных прослоек с упругими массивными телами в виде кусочно-однородных полуплоскостей и полупространств. Получены новые результаты, относящиеся к выяснению характера особенностей распределения тангенциальных контактных сил в зависимости от кусочно-однородности основания. Выявлен ряд специфических особенностей решения задач этого класса, обусловленных неоднородностью основания и расположением контактирующих элементов. Полученные в работе результаты и развитые методы могут быть успешно распространены на другие смешанные граничные задачи для неограниченных областей, встречающихся в математической физике и механике сплошной среды. Для некоторых физико-механических и геометрических параметров контактирующих элементов выявлены характерные закономерности изменения тангенциальных контактных напряжений и по результатам вычислений построены графики.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы в различных областях машиностроения и строительства, при расчете и проектировании многих инженерных конструкций и деталей машин, взаимодействующих с тонкостенными армирующими элементами, в измерительной технике ж во многих других областях инженерной практики. Развитые в работе математические методы и способы их применения могут быть использованы и в других областях математической физики и имеют теоретическую значимость.

. Достоверность. При решении поставленных задач применялись

метод интегрального.преобразования Меллина, метод факторизации, метод Койтера для решения функционально-разностных уравнений, методы аналитических функций.

Полученные результаты в некоторых частных случаях сравнены с известными результатами.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач, строгостью и последовательностью при применении математического аппарата и изложении полученных результатов.

Апробация работы. Полученные в диссертационной работе результаты регулярно докладывались на научном семинаре "Механика сплошной среды" кафедры механики сплошной среды Ереванского государственного университета, на традиционных ежегодных сессиях профессорско-преподавательского состава и аспирантов Ереванского государственного университета (Ереван, 1986-1988 гг.), на У1 научной конференции молодых ученых Института механики АН Арм.ССР "Механика деформируемого твердого тела" (Арзакан, 4-8 мая.1987 г.).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликованы четыре работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа обстоит из введения, трех глав, заключения; библиографии и изложена на 133 страницах машинописного текста. Работа содержит 16 рисунков, 6 таблиц и список литературы, включающий 125 наименований отечественных и зарубежных авторов.

■ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко определены цель, научная новизна и актуальность выполненной работы и изложена история развития контактных задач, связанных с взаимодействием различных тонкостенных элементов разных форм и длин с упругими массивными телами. Приведен краткий обзор тех основных результатов и работ отечественных и зарубежных авторов, которые непосредственно связаны с проводимыми в диссертационной работе исследованиями,

указан круг обсуждаемых вопросов и коротко изложены основные результаты работы.

Первая глава посвящена решению первой краевой задачи для упругой кусочно-однородной полуплоскости.

В первом параграфе этой главы приведены некоторые сведения и основные соотношения теории упругости в полярной и цилиндрической системах координат.

Во втором параграфе этой главы с помощью интегрального преобразования Меллина решается первая основная краевая задача теории упругости для упругой кусочно-однородной полуплоскости, состоящей из двух изотропных и однородных четверть плоскостей с различными упругими характеристиками материалов, когда на ее границе действуют произвольным образом распределенные нормальные и тангенциальные силы. Получены выражения для трансформантов функций упругих перемещений граничных точек в предположении, что при отсутствии массовых сил полуплоскость находится в состоянии плоской деформации.

Вторая глава посвящена решению контактных задач о передаче нагрузки от полубесконечной накладки к кусочно-однородной полуплоскости вышеупомянутого типа, когда конец накладки выходит к линии разнородности полуплоскости, и о передаче нагрузки от полубесконечного включения к двум одинаковым кусочно-однородным полуплоскостям.

В первом параграфе этой главы решена плоская контактная задача для упругой кусочно-однородной полуплоскости, усиленной на своей границе полубесконечной накладкой, выходящей к линии разнородности, которая деформируется параллельной границе полуплоскости сосредоточенной силой Р , приложенной в конце накладки. Как обычно, накладка трактуется как одномерный упругий континуум, а для упругой кусочно-однородной полуплоскости считается справедливой модель плоской деформации. Задача о нахождении контактных тангенциальных напряжений, действующих на участке крепления накладки с полуплоскостью, с помощью интегрального преобразования Меллина сводится к решению функционально-разностного уравнения

^МТгС^О+Х^^а^о, £-!< 1?е.о(< о » и)

при условии

В (I) и (2) приняты следующие обозначения

интенсивность тангенциальных контактных сил,''действующих под накладкой, - комплексный параметр преобразования Меллина, Ен - модуль Юнга для материала накладки, , "ч>>1 - соответственно модуль упругости, и коэффициент Пуассона той четверти плоскости, на границе которой прикреплена накладка, Ь - толщина накладки, , ^ (> ¿«¿75) - коэффициенты, зависящие от упругих характеристик кусочно-однородной полуплоскости ( Ей . VI. , Ех ») • & < - показатель особенности тангенциальных контактных напряжений, действующих около конца накладки.

Решение функционально-разностного уравнения (I) строится с помощью метода Койтера 1*1. Для получено представле-

ние в виде бесконечного произведения относительно нулей функций $ (оО и В 6=0 • Аналогичное представление получено. также для однородной полуплоскости. Для некоторых вариантов кусоч-но-однородности получены разложения функции по степе-

ням Ч, вблизи концевой точки накладки и на бесконечности. По

*) Koiter W.T. On the Diffi 9ion of load From a Stiffener Into a Sheet.- The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, vol.8, 1955, & 2, pp. 164-178.

результатам проведенных численных расчетов построены графики, показывающие ход изменения интенсивности тангенциальных контактных сил в зависимости от отношения модулей упругости четверть плоскостей (рис.1). Выявлен характер особенностей тангенциальных контактных напряжений в концевой точке накладки ( г-£и при ) и на бесконечности (Тг(.1}~Тг

при 1-*—). Построены графики зависимостей показателя особенности В* от упругих постоянных материалов кусочно-однородной полуплоскости (рис, 2,3). Оказывается, что при уменьшении отношения / ВТ» показатель особенности £1 увеличивается и'в предельном случае, когда Е1 /Е».-* О , то &1-» I. В противном случае, когда величина Е11 Ег увеличивается, то £1 уменьшается. Как видно из рис.3, для однородной полуплоскости ( Е«.=Е» , ) все графики проходят через точку (I; 0,5),

т.е. Б1 = 0,5, что соответствует корневой особенности тангенциальных контактных напряжений, действующих в концевой точке накладки, г

Во втором параграфе рассмотрена контактная задача о передаче нагрузки от полубесконечного включения к двум одинаковым кусочно-однородным полуплоскостям, когда конец включения, приваренного к прямолинейным границам полуплоскостей, выходит к линиям разнородности полуплоскостей. Считается, что контактирующие упругие тела деформируются тангенциальной сосредоточенной силой 2 Р , приложенной в конце включения, имеющего малую постоянную толщину Ь . Принимая относительно включения и полуплоскостей те же допущения, что и в первом параграфе, с помощью интегрального преобразования Меллина задача сводится к решению функционально-разностного уравнения

КЛО^о^ + Х= 0 > 8г-*<Ь.«<0> (4) с граничным условием

А» 0,3 ¿Ч>»=0,5

/ /

/■

1 = 0, V* = 0/2 >v2= ол

Рис.2

Si

0,5

=0,5

! OA /

/

IU

0.2

В J Eí

Рис.3

10

1

-с15°1.А+ JeЫ3-J7olZ+Jgo( > \ - ACO.ii.EL

Аг~ Е^и+^^-Л) *

- >с/г ~ некоторые коэффициенты, зависящие от упругих постоянных полуплоскостей, а остальные величины определены в первой задаче (см.(3)). Здесь, как и в предыдущей задаче, уравнение (4) решается методом Койтера. Получены расчетные форщулы для тангенциальных контактных напряжений в случае кусочно-однородных и однородных полуплоскостей, с использованием нулей и полюсов функции К2(ог.) .

В третьей главе рассматриваются контактная задача о передаче нагрузки от конечной накладки к кусочно-однородной полуплоскости и антиплоская контактная задача для кусочно-однородного полупространства с полубесконечной кусочно-однородной накладкой.

-В первом параграфе этой главы рассматривается контактная задача для кусочно-однородной полуплоскости вышеупомянутого типа, которая деформируется тангенциальной сосредоточенной силой Р , приложенной в выходящем к линии разнородности конце конечной накладки, приваренной к границе одной из четверть плоскостей. Относительно накладки и полуплоскости принимая те же допущения, что и во второй главе, с помощью интегрального преобразования Меллина задача сводится к решению функционального уравнения Винера-Хопфа

Тоот: (<***)- (б)

8Г{< ЯсЫ.<о>

при граничном условии

В (6) и (7)" приняты следующие обозначения

т. д и М^ 7°<Г ГЫ

ственно трансформанты функций ЦС^) и ,

= (о-ч) - интенсивность тангенциальных контактных сил, 8° Со) = - тангенциальные деформации граничных точек

усиленной накладкой четверть плоскости, свободных от контакта, и)= 2/я. _ переменная, а остальные величины описаны во второй главе. Отметим также, что комплексные функвди с индексом ( - ) регулярны при Re.cO S.-i , а с ( + ) - при £е.°иО .

Решение функционального уравнения (6) при условии (7), с помощью метода Винера-Хопфа сведено к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода, ядро которого имеет логарифмическую особенность. Характер особенностей тангенциальных контактных напряжений около выходящей к линии разнородности конце накладки того же типа, что и в первой задаче, а в другом конце имеется корневая особенность.

В случае абсолютно жесткой накладки решение задачи получено в замкнутом виде, которое затем представлено в виде разложения по степеням сО . По результатам вычислений, для некоторых ■вариантов физико-геометрических параметров, построены графики зависимостей этих напряжений от отношения модулей Юнга кусочно-однородной полуплоскости (рис.4).

С помощью метода приближенной факторизации Койтера получено

Рис.4

выражение для ядра интегрального уравнения в явном виде, удобное для решения задачи в случае упругой накладки с помощью метода последовательных приближений.

Во втором параграфе этой главы с помощью интегрального преобразования Меллина решается первая основная краевая задача для упругого кусочно-однородного полупространства, состоящего из двух четвертей пространства с различными упругими свойствами материалов, когда на его границе действуют распределенные тангенциальные силы, параллельные линии разнородности на границе полупространства.

Получены выражения для трансформантов функций перемещений граничных точек полупространства в направлении линии разнородности.

Третий параграф этой главы посвящен решению антиплоской контактной задачи для упругого,кусочно-однородного полупространства, выполненного из двух изотропных и однородных четвертей пространства с различными упругими свойствами материалов; Считается, что полупространство усилено на своей границе полубесконечной кусочно-однородной пластинкой (накладкой) с достаточно малой постоянной толщиной Ь , пересекающей границу разнородности. Причем накладка состоит из двух частей: упругой - в виде бесконечной полосы шириной О- , и абсолютно жесткой - в виде полубесконечной пластинки. Считается также, что граница соединения частей накладок совпадает с линией разнородности на границе полупространства.

Предполагается, что упругое полупространство деформируется сосредоточенными по линиям постоянными силами Ра и р , приложенными соответственно к свободной границе полупространства, на расстоянии £ от границы упругой части накладки, и к боковой границе упругой накладки. Принимая, что под действием вышеуказанных сил полупространство и упругая часть накладки находятся в антиплоском напряженном состоянии, с помощью интегрального преобразования Меллина задача сводится к решению функционального уравнения Винера-Хопфа

(9)

т_ (,c¿+ D , 43. (©¿+ и - соответственно трансформан-

ты функций ТЦи^и , = (fcto) - интенсивность

контактных касательных сил, действующих под упругой накладкой, = - деформации граничных точек полупространст-

ва, свободных от контакта, Ef^i ( ¿»¿>2. ) й Ен , -соответственно модули Юнга и коэффициенты Пуассона четвертей пространства и упругой накладки, Q. - продольная сосредоточенная сила, действующая вдоль границы соединения частей кусочно-однородной накладки, ¡-0= ч/л,- переменная.

Отметим, что комплексные функции с индексом ( - ) регулярны при Rec<>-o¿o> а с ( + ) -г при Rto(<0.

Решение функционального уравнения (8) с помощью метода Ви-нера-Хопфа сводится к решению интегрального уравнения Фредголь-ма второго рода, с ядром, имеющим логарифмическую особенность, относительно интенсивности контактных сил - действующих на интервале ( О , й-).

Исследовано поведение функции контактных напряжений, действующих около граничных точек накладки и линии разнородности. Показано, что напряжения в прилегающих к линии разнородности точках имеют логарифмическую особенность, которая обусловлена неоднородностью накладки. В случае абсолютно жесткой накладки

— Р 11 <ЗГ с граничным условием

где приянты нижеследующие обозначения

Рис.5

эта особенность исчезает. В граничных точках накладки напряжения шест корневую особенность.

Для абсолютно жесткой накладки получен закон распределения контактных касательных напряжений, действующих на участке (О, IЬ) границы полупространства в явном виде. Проведены численные расчеты, по результатам которых построены графики, показывающие ход изменения контактных напряжений в зависимости от к для различных значений физико-геометрических параметров задачи (рис.5, 6).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертационной работе поставлен и решен ряд новых плоских контактных задач о взаимбдействии тонкостенных элементов в виде накладок и включений различных длин и свойств

с упругими кусочно-однородными полуплоскостями, состоящими из двух, соединенных вдоль общей прямолинейной границы, четверть плоскостей с различными упругими свойствами материалов, а также контактная задача для упругог© кусочно-однородного полупро- / странства, состоящего из двух четвертей пространства с различными упругими свойствами материалов, взаимодействующего с кусочно-однородной полубесконечной тонкой,пластинкой (накладкой). В рамках известных физических предположений относительно контактирующих элементов, соблюдая строгость математических постановок рассматриваемых задач теории упругости, в работе получены качественно новые результаты, отличающиеся от ранее полученных для аналогичных однородных областей. В достаточно широком диапазоне изменения физических и геометрических параметров контактирующих элементов выявлены характеры особенностей и получены законы распределения контактных сил.

2. Решение задачи о передаче нагрузки от полубесконечной накладки к полубесконечной кусочно-однородной полуплоскости, когда конец накладки выходит к линии разнородности, с помощью интегрального преобразования Меллина сводится к решению функционально-разностного уравнения относительно трансформанты

функции искомых тангенциальных контактных напряжений. Выявлен характер особенностей этих напряжений в концевой точке накладки и на бесконечности от упругих характеристик четверть плоскостей. Для различных вариантов кусочно-однородности построены графики этих зависимостей. Получены расчетные формулы и по результатам вычислений построены графики зависимостей тангенциальных контактных напряжений от механических и геометрических характеристик.

3. Решена контактная задача о передаче нагрузки от полубесконечного включения к двум одинаковым кусочно-однородным полуплоскостям, когда конец включения выходит к линиям разнородности полуплоскостей. С помощью интегрального преобразования Меллина задача сводится к решению однородного функционально-разностного уравнения относительно трансформанты Меллина функции распределения тангенциальных контактных сил. Получены расчетные формулы для определения тангенциальных контактных • напряжений.

4. Контактная задача о передаче нагрузки от конечной накладки к кусочно-однородной полуплоскости, когда один из концов скрепленной на границе полуплоскости накладки выходит к линии разнородности, с помощью интегрального преобразования Меллина задача сначала формулируется в виде функционального уравнения Винера-Хопфа, а затем сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода, ядро которого имеет логарифмическую особенность. Выявлен характер особенностей контактных напряжений в концевых точках накладки. С помощью метода приближенной факторизации Койтера получено выражение для ядра через элементарные функции, удобное для применения метода последовательных приближений. В случае жесткой накладки решение задачи получено в замкнутом виде. По результатам вычислений построены графики зависимостей тангенциальных контактных напряжений от упругих постоянных кусочно-однородной полуплоскости.

5. Рассмотрена антипдоская контактная задача для упругого составного полупространства, выполненного из двух изотропных и однородных четвертей пространства с различными упругими постоянными материалов, взаимодействующего с полубесконечной

кусочно-однородной тонкой пластинкой (накладкой), пересекающей границу разнородности полупространства. Считается, что накладка состоит из двух частей: упругой - в виде бесконечной полосы, и жесткой - в виде полубесконечной абсолютно жесткой пластинки, причем линии разнородности полупространства и накладки совпадают. Предполагается, что деформация происходит под действием сосредоточенных по линиям сил, приложенных соответственно на свободной границе полупространства, на некотором расстоянии от накладки, и к боковой границе упругой накладки., С помощью интегрального преобразования Меллина задача сначала сводится к.решению функционального уравнения Винера-Хопфа относительно трансформанты функции интенсивности контактных сил, действующих под упругой частью накладки, а затем с помощью метода факторизации Винера-Хопфа -1 к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, ядро которого содержит логарифмическую особенность. Выявлен характер особенностей контактных напряжений в граничных точках накладки и в точках, прилегающих к линии разнородности полупространства. В случае абсолютно жесткой накладки задача решена замкнуто и по результатам вычислений построены графики зависимостей касательных контактных напряжений для некоторых значений физико-геометрических параметров задачи.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих работах:

1. Григорян Э.Х., Хачатрян А.Р. Контактная задача для упругой кусочно-однородной полуплоскости с полубесконечным . стрингером. - Межвузовский сб. научных трудов, Механика. Ереван: изд. Е1У, 1987, № 6, с.82-87.

2. Хачатрян А.Р. Передача нагрузки от полубесконечного включения к двум кусочно-однородным полуплоскостям. - Механика деформируемого твердого тела. Ереван: изд. АН Арм.ССР, 1990, с.355-362.

3. Хачатрян А.Р. Контактная задача для упругой кусочно-однородной полуплоскости с конечным стрингером. - Межвузовский сб. научных трудов, Механика. Ереван: изд. ЕГУ, 1990, № 8, с.97-106.

4. Хачатрян А. Р. Антиплоская задача для упругого кусочно-эднородного полупространства с полубесконечной кусочно-однородной накладкой. - Ученые записки Е1У, естеств. науки, 1990, № I, с.35-41.

Подписано к печати 23.04.1990г. Бум. 60x84 печ. 1,25 листа Заказ 88 ВФ 03537 Тираж 100

Цех "Ротапринт" Ереванского госуниверситета. Ереван, ул. Мравяна ® I.