Контактные задачи и концентраторы деформаций. Деформация и разрушение тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

[

:1

БУХАНЬКО Анастасия Андреевна

I КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ И КОНЦЕНТРАТОРЫ ДЕФОРМАЦИЙ.

| ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ

1

I

1 01.02.04. - механика деформируемого твердого тела

!

I

I

1 Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2003

Работа выполнена в Институте машиноведения и металлургии ДВО

РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Хромов Александр Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Олейников Александр Иванович, кандидат физико-математических наук Полоник Марина Васильевна

Ведущая организация: Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 20О£ года в /3 ^часов

на заседании диссертационного совета Д 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5 ИАПУ ДВО РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института машиноведения и металлургии ДВО РАН

Автореферат разослан Об года.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.А. Гузев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из важных проблем механики деформируемого твердого тела является построение моделей и алгоритмов расчета конструкций и технологических процессов при больших пластических деформациях с учетом разрушения. Исследование этой проблемы заключается в решении задач с учетом изменения геометрии деформируемых тел и формулировке критериев разрушения. Этой постановке проблемы отвечает одна из моделей механики деформируемого твердого тела - модель идеального жесткопластического тела.

Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано с именами М. Леви, Р. Мизеса, Треска, Сен-Венана, Л. Прандтля, Г. Гейрингер, А. Рейса, А.Ю. Ишлинского, С.А. Хри-стиановича, В.В. Соколовского, Р. Хилла, Д.Д. Ивлева, В. Прагера, В. Койтера.

Построение решений с учетом изменения геометрии деформируемых тел имеет большое значение при решении задач по определению деформаций, особенно при решении задач, связанных с разрушением. Решение таких задач актуально при разработке методов расчета технологических процессов, обработки материалов давлением, резанием, тесно связанных с решением контактных задач; для проектирования оборудования, используемого при этих процессах; при расчете оценки несущей способности конструкций при длительной эксплуатации с накоплением большим пластических деформаций и в экстремальных условиях; при расчете конструкций одноразового действия. Анализ накопления больших пластических деформаций связан в первую очередь с исследованием деформаций в окрестности элементов

конструкций с резким изменением геометрии свободной поверхности, которые принято называть концентраторами напряжений. Эти элементы с точки зрения теории идеального жесткопластического тела являются концентраторами деформаций, определяющими несущую способность всей конструкции.

Целью работы является исследование полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линии разрыва поля скоростей перемещений и центра веера линий скольжения, которые по существу являются концентраторами деформаций); определение зон возможного разрушения материала для классических контактных задач теории пластичности и концентраторов деформаций в виде V-образных вырезов в полосе; построение решений с учетом разрушения материала.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- исследованы поля деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения для классических задач теории пластичности;

- исследован процесс деформирования и разрушения V-образных концентраторов деформаций (полосы с У-образными вырезами) при одноосном растяжении.

Достоверность полученных результатов основана на классических подходах механики сплошных сред и строгих математических выкладках.

Практическая значимость работы. Полученные поля деформаций могут быть использованы при анализе поведения конструкции при больших пластических деформациях в условиях экстремальной ситуации, расчете конструкций одноразового действия, при расчете и про-

ектировании технологических процессов обработки материалов давлением. Элементы полученных решений (распределение деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения) могут быть непосредственно использованы в различных численных методах расчета контактных задач и концентраторов деформаций.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

- международной научной конференции «Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях», Комсомольск-на-Амуре, 2000г.

- одиннадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 2001 г.

- III Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Ростов-на-Дону, 2002 г.

- XXVII Дальневосточной школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова, Владивосток, 2002 г.

- 13-ой Зимней школе по механике сплошных сред и Школе молодых ученых по механике сплошных сред, Пермь, 2003 г.

- IV Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Петрозаводск, 2003 г.

- XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", June 22 - July 2, 2003, St. Petersburg (Repino), Russia.

- XXVIII Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова, Владивосток, 2003 г.

- IV Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия), Сочи, 2003 г.

- международной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», г. Хабаровск, 2003 г.

Работа в целом докладывалась в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (101 наименование). Объем работы - 144 страницы, в том числе 58 рисунков.

Во введении показана актуальность поставленной проблемы; проанализированы вопросы исследования плоского деформированного состояния и разрушения идеального жесткопластического тела. Представлено содержание диссертации по главам.

В первой главе представлены соотношения теории плоской деформации идеального жесткопластического тела.

В первых двух параграфах приводятся основные положения теории: полная система уравнений теории плоской деформации идеального жесткопластического тела, общие соотношения вдоль линий скольжения. В третьем параграфе приведены условия построения полного решения задач теории пластичности.

В четвертом параграфе описан метод исследования деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линии разрыва поля скоростей перемещений и центра веера линий скольжения). В качестве меры деформации принят тензор конечных деформаций Альманси:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

где а у - компоненты дисторсии.

Первое главное значение Е] тензора Альманси и угол в между первым главным направлением тензора конечных деформаций и касательной к линии разрыва скоростей перемещений на линии разрыва скоростей перемещений определяются соотношениями:

Е,=-

1+4-1

2

29 = -=. (2)

4

Абсолютное значение величины

- [VI

\У= 1 т1 (3)

С-Уп

имеет физический смысл объемной плотности энергии диссипации, получаемой материальной частицей при пересечении поверхности разрыва поля скоростей, отнесенной к пределу текучести. Здесь [Уг] -модуль вектора разрыва скорости, Уп - нормальная компонента скорости движения частиц на лини разрыва, в - нормальная скорость распространения линии разрыва скоростей.

Изменение компонент дисторсии с течением времени определяется уравнением:

<1а,: да,: дан 5У,

— = —+—Ук+ак:^ = 0, к = 1,2,3; (4)

л а зхк к Ч; ^

9 л, 5

где — = — + У(- - материальная производная по времени. Для оп-

<Й дЬ Эх,

ределения поля деформаций в окрестности центра веера линий скольжения используется преобразованная система уравнение (4), получаемая в результате преобразований:

s

1) введения подвижной системы координат с началом в центре веера линий скольжения, движущегося со скоростью V = a'i + b'j;

2) перехода к криволинейной системе координат, связанной с полем линий скольжения в окрестности центра веера;

3) выполнения предельного перехода при стремлении к нулю радиуса кривизны соответствующего семейства поля линий скольжения (а или /?).

Уравнение (4) принимает вид:

—A — ausmpcos <р + a21 cos2 <р = О, d (р

da,, — 2

——A-aí2 sin<pcos<p + а22 cos (р-О,

9 (5)

d<p

—A-au sin2 <р + я.гх sin<pcos<p = О,

А - а12 sin2 <р + а22 sin<pcos<p = 0;

d(p

— u-a' coscp-b' sin IP

где А =-—-; q> - полярный угол наклона первого се-

dv и + — д<р

мейства линий скольжения, которое получается отклонением по часовой стрелке от первого главного направления тензора Альманси на угол тг/4; а', Ь' - компоненты скорости движения центра веера линий скольжения, u, v - проекции скорости перемещения на линии скольжения, соответственно а, ¡3. Аналогично записывается система дифференциальных уравнений для веера линий скольжения второго семейства.

Первое главное значение Е! и угол в в окрестности центра веера линий скольжения определяются при интегрировании системы (5) из соотношений

Е,=е + ё, Щ2в= 2(аиа21+а12а22) ? (6)

а11 +а12 -а21 -а22

где е = ^(Еп+Е22), ё = р/(Еп -Е22)2 + 4Е?2 .

В пятом параграфе рассмотрена проблема неединственности пластического течения в задачах теории плоской деформации. Для выбора предпочтительного решения используется критерий: предпочтительным является решение, для которого наибольшее значение первого главного значения тензора Алъманси Е, в пластической области минимально:

(7)

V <Р

где Е^, у) - функция, характеризующая распределение деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (по аргументу <р) при различных изменениях пластической области в процессе деформирования; (р - угол, характеризующий положение частицы среды внутри центрированного веера в пластической области, ц/ - угол, характеризующий изменения пластической области (в рассматриваемых в работе задачах ц/ задает направление движения центра веера линий скольжения).

В шестом параграфе формулируются критерии разрушения и выбора направления развития трещины:

- разрушение материала происходит, если деформации достигают критического значения Е„:

Е1(<р,у/) = Е.; (8)

- разрушение происходит в направлении, при котором приращение работы, необходимой для деформирования образца, максимально:

¿А(0=5И/?<5А[^(0]. (9)

V

Во второй главе рассмотрены пластические течения с учетом изменения геометрии тела в процессе деформирования материала при внедрении клинообразных и плоских штампов.

Рис.1

В первом параграфе исследованы поля деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения в задаче о внедрении клина с полным углом раствора 2 ц в жесткопластическое полупространство

(рис.1). Показано, что до значения 7° наибольшие деформации

наблюдаются в окрестности центра веера линий скольжения ПАЕ

(DiAiEi), при //>31.7° - на линии разрыва поля скоростей перемещений BDEC (BDiEiCi).

Во втором параграфе рассмотрены автомодельные решения задачи о раздавливании бесконечного клина с полным углом раствора 2 ц гладким плоским штампом. Определены поля деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения для решений Хилла (рис.2,а), Прандтля (рис.2,б) и несимметричного решения (рис.2,в). Показано, что наибольшие деформации могут наблюдаться как на линии разрыва поля скоростей перемещений (рис.3,а), так и в окрестности центра веера линий скольжения (рис.3,б):

- для решения Хилла при /л е [26.6°, 44°) - в окрестности центра веера линий скольжения DAE (.DjAjEj), при /л > 44° - на линии разрыва скоростей перемещений BDEC (BDiEjCi);

- для решения Прандтля приц е [l4°, 66.3°) - в окрестности центра веера линий скольжения DAE (DAiEj), при ¡л > 66.3° - на линии разрыва скоростей перемещений DEC (DEtCi);

- для несимметричного решения при /¿е [22.5°, 53.3°) - в окрестности центра веера линий скольжения DAE, при /л > 53.3° - на линии разрыва скоростей перемещений BDEC.

Согласно предлагаемому критерию выбора решения (7) предпочтительным является решение Прандтля, т.к. в этом решении для любого значения угла раствора клина /л наибольшие деформации являются минимальными как на линии разрыва скоростей перемещений, так и в окрестности центра веера линий скольжения (рис.3).

V = 1

aï

В третьем параграфе рассмотрены решения задачи о раздавливании усеченного клина гладким плоским штампом. Исследованы поля деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения для обобщенных на случай усеченного клина решений Хилла (рис.4,а), Прандтля (рис.4,б) и несимметричного решения (рис.4,в). На рис.5

приведены графики сравнения этих деформаций для случая 2/и = 60°: а) - на линиях разрыва поля скоростей перемещений, б) - в окрестности центра веера линий скольжения. Наибольшие деформации минимальны в решении Прандтля в окрестности центра веера линий скольжения jDAE (рис.5,б).

В третьей главе рассмотрена задача о растяжении полосы с V-образными вырезами. Наибольшие деформации наблюдаются в угловых точках V-образных вырезов, являющихся центрами веера линий скольжения. Эти точки являются концентраторами деформаций.

В первых трех параграфах рассмотрены известные решения этой задачи: решения Е. Ли (обобщения решений Хилла и Прандтля задачи о внедрении плоского штампа в жесткопластическое полупространство) и решение О. Ричмонда. На основе анализа поля скоростей в пластической области показано, что эти решения содержат противоречия, которые приводят к нарушению сплошности среды.

Предложено новое решение с несимметричным пластическим течением (рис.6), не содержащее противоречий, которое удовлетворяет всем требованиям построения полного решения с учетом изменения геометрии тела при растяжении полосы с V-образными вырезами для углов 8 > 52.4°. Показано, что материал наиболее деформируется в точках А, А] и Е. Одним из условий, определяющих изменение

Рис.6

пластической области при сохранении ее вида без разрушения материала, принимается, что вершина выреза должна оставаться на свободной поверхности в процессе деформирования. Исследована неединственность решения. Показано, что в процессе растяжения полосы вершина выреза (точки А и А/) должна двигаться вдоль подвижной свободной поверхности (поверхности АО и А&1, соответственно). При этом в окрестности угловой точки выреза образуется новая деформированная поверхность (АС и А ¡С/). Угол наклона вновь образующейся поверхности определяется скоростью движения точки А (А/) вдоль свободной поверхности АО (А^^. Направление движения точки А выбирается из условия (4), где у/ - угол, характеризующий направление движения центра веера линий скольжения (точки А). Распределение деформаций определяется из решения системы дифференциаль-

ных уравнений (2), для случая движения центра веера линий скольжения по закону:

г АО

,АО

а' = —2—соз(ш + 8), Ъ' = -±-8т{у/ + б), зту/ эту/

(?)

т/ зирЪ^р,у/)

где = соз 8 +1 - нормальная скорость распространения свободной

поверхности АО в процессе деформирования.

Расчеты показывают, что в диапазоне изменения угла е [52.4°, 90°] симметричность вырезов сохраняется. При изменении угла 8 от 90° до 52.4° деформации возрастают и при

значении £ = 52.4° они достигают значения Е, =0.5 (рис.7), т.е.

70

Рис.7

в этом случае должно происходить разрушение материала. Поэтому построение решения для вырезов с углом 8 < 52.4° при предположении, что пластическая область состоит из прямоугольных треугольников и центрированных вееров, не возможно.

Показано, что в окрестности центра веера линий скольжения наибольшие деформации наблюдаются на линии разрыва скоростей перемещений АЕ. Наибольшие деформации минимальны в случае, когда свободная поверхность образуется под углом у = 8.

На основе этого замечания предложено другое решение (рис.8), когда в пластическом состоянии попеременно находятся верхняя и

Рис.8

нижняя части полосы. При этом шаг по времени А1 разбивается на две части А1 = Д^ + Д12, где At1 - время нахождения в пластическом состоянии верхней части полосы, Д12 - время нахождения в пластическом состоянии нижней части полосы. В работе рассматривается пластическое течение при А^ = &\2, которое при стремлении А1 к нулю приводит к симметричному пластическому течению. В процессе деформирования полосы на каждом временном шаге значения деформаций, полученные на предыдущем шаге, являются начальными значениями для данного шага по времени X, т.е. учитывается история процесса деформирования. При этом деформации в окрестности центра веера линий скольжения в пластической области С^/ЕАО уменьшаются (рис.8) по сравнению с решением, предложенным на рис.6.

В четвертой главе предложено решение задачи о разрушении полосы с V-образными вырезами при растяжении: рассмотрено разрушение полосы в окрестности центров вееров линий скольжения, т.е. происходит образование двух внешних трещин со свободной поверхности полосы (рис.9).

В процессе разрушения происходит образование криволинейных поверхностей, которые примыкают к жестким недеформируемым областям, движущимся поступательно. Разработан алгоритм построения свободной поверхности в процессе разрушения. Изменение положения этой поверхности описывается смещением точек поверхности за выбранный интервал времени А1 согласно скоростям жесткой области, к которой они примыкают.

Направления развития трещин определяются из условий (8) и

(9).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены поля деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения в задачах о внедрении клина в жесткопластическое полупространство, раздавливании клиньев (бесконечного и усеченно-

Рис.9

го) гладким плоским штампом, растяжении полосы с V-образными вырезами.

2. Во всех рассмотренных задачах указаны области возможного разрушения материала (на основании деформационного критерия разрушения) для различных параметров деформируемых тел.

3. Исследованы известные решения задачи о растяжении полосы с V-образными вырезами (Е. Ли, О. Ричмонда). Показано, что эти решения содержат противоречия, которые приводят к нарушению сплошности среды.

4. Предложено новое решение задачи о растяжении полосы с V-образными вырезами без разрушения, являющееся полным для углов

раствора вырезов 2S > 104.7°.

5. Рассмотрена задача о разрушении полосы с V-образными вырезами при растяжении; показано возможное направление развития трещины: образование внешних трещин со свободной поверхности в окрестности вершин вырезов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Буханько A.A., Хромов А.И. Определение полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения // Вестник КнАГТУ. Сб.1, ч.З «Прогрессивные технологии в машиностроении» / Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 2000. С. 8-14.

2. Буханько A.A., Хромов А.И. Поля деформаций и разрушение при локализации пластических деформаций в контактных задачах теории пластичности // Материалы международной научной конференции

1 S,

«Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях» / Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 2000. С. 14.

3. Буханько A.A. Задача о прессовании полосы // Труды одиннадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", ч.1. - Самара: СамГТУ, 2001. С. 35-37.

4. Буханько A.A. Исследование полей деформаций в задаче о прессовании полосы // Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. Вып.2. Владивосток: Дальнаука, 2001. С. 37-44.

5. Буханько A.A. Деформация и разрушение клинообразного уступа под действием плоского штампа // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов. - М.: ОПиПМ, Т. 9, вып. 1, 2002. С. 173-175.

6. Буханько A.A. Концентраторы деформаций // Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова / Тезисы докладов. - Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 71-72.

7. Буханько A.A., Хромов А.И. Поля деформаций при внедрении клинообразных и плоских штампов // Дальневосточный математический журнал, ч. 3, № 2. - Владивосток: Дальнаука, 2002. С.311-319.

8. Буханько A.A. Растяжение полосы с V-образными вырезами в рамках теории плоской деформации // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая) / Тезисы докладов. - Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С.65.

9. Буханько A.A. Разрушение полосы с V-образными вырезами при растяжении // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов. - М.: ОПиПМ, Т. 10, вып. 1, 2003 г. С. 111-113.

10. Khromov A.I., Buhanko A.A., Zchigalkin K.A., Kozlova O.V. Deformations and distraction of materials at localization of plastic deformations // Book of abstracts. XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", June 22 - July 2, 2003, St. Petersburg (Repino), Russia. P. 55.

П.Буханько А.А., Хромов А.И. Пластическое течение в окрестности V-образных концентраторов деформаций // Фундаментальные и прикладные вопросы механики: Сборник докладов международной научной конференции / Под ред. К.А. Чехонина. - Хабаровск: Изд-во Хабар. гос. техн. ун-та, 2003. С.678-688.

Личный вклад автора. Работы [3-6,8,9] выполнены автором лично. В работах [1,2,7,10,11] в рамках сформулированной научным руководителем проблемы получил необходимые для теоретического анализа и численных расчетов соотношения и провел необходимые вычисления.

*

Буханько Анастасия Андреевна

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ И КОНЦЕНТРАТОРЫ ДЕФОРМАЦИЙ. ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ

Автореферат

Подписано к печати 10.09.03. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИМиМ ДВО РАН. г. Комсомольск-на-Амуре, Металлургов, 1.

lS2o? »18209

Введение

Глава 1. Соотношения теории плоской деформации идеального жесткопластического тела

1.1. Теория плоской деформации.

1.2. Соотношения вдоль линий скольжения.

1.3. Построение полного решения.

1.4. Деформации в окрестности особенностей поля линий скольжения

1.5. Неединственность решения. Критерии выбора предпочтительного решения.

1.6. Критерии разрушения и выбора направления распространения трещины.

Глава 2. Контактные задачи теории плоской деформации идеального жесткопластического тела

2.1. Внедрение клина в полупространство. Автомодельное решение.

2.2. Раздавливание клина плоским штампом. Автомодельное решение

2.2.1. Решение Хилла.

2.2.2. Решение Прандтля.

2.2.3. Несимметричное решение.

2.2.4. Сравнение результатов. Выбор предпочтительного решения.

2.3. Раздавливание усеченного клина гладким плоским штампом.

2.3.1. Обобщенное решение Хилла.

2.3.2. Обобщенное решение Прандтля.

2.3.3. Несимметричное решение.

2.3.4. Сравнение результатов. Выбор предпочтительного решения.

Глава 3. Растяжение полосы с V-образными концентраторами деформации 91 3.1. Решение Ли.

-33.2. Обобщение решения Прандтля задачи о внедрении гладкого плоского штампа в полупространство.

3.3. Решение Ричмонда.

3.4. Решение с несимметричным пластическим течением.

3.4.1. Симметричное решение.

Глава 4. Разрушение полосы с V-образными вырезами при растяжении

4.1. Разрушение полосы в окрестности центров вееров линий скольжения.

Одной из важных проблем механики деформируемого твердого тела является построение моделей и алгоритмов расчета конструкций и технологических процессов при больших пластических деформациях с учетом разрушения. Исследование этой проблемы заключается в решении задач с учетом изменения геометрии деформируемых тел и формулировке критериев разрушения. Этой постановке проблемы в настоящее время отвечает одна из моделей механики деформируемого твердого тела — модель идеального жесткопластического тела.

Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано с именами М. Леви, Р. Мизеса, Треска, Сен-Венана, JL Прандтля, Г. Гейрингер, А. Райса, А.Ю. Ишлинского, С.А. Христиановича, В.В. Соколовского, Р. Хилла, Д.Д. Ивлева, В. Прагера, В. Койтера [29-33, 35, 58, 62, 66, 69, 80, 88, 91, 94-97, 100]. Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов: Б.Д. Анина, Г.И. Быковцева, Б.А. Друянова, М.И. Ерхова, А.А. Ильюшина, Л.М. Ка-чанова, Е.В. Ломакина, П.П. Мосолова, В.П, Мясникова, А. Надаи, Ю.В. Неми-ровского, Р.И. Непершина, Ю.Н. Работнова, Е. Ли и др. [1-2, 15-19, 23-29, 35, 38,49-50, 65, 71-74,77-85, 90-91,100].

Теория пластичности развивалась как технологическая теория пластичности, задачи которой были прямо связаны со многими задачами обработки металлов давлением, резанием [23, 26, 29, 36-38, 51, 63]. Получены решения многих технологических задач о внедрении штампов различной формы, волочении, прокатки и прессовании. Вместе с тем эти задачи рассматривались в основном как задачи предельного равновесия или задачи об установившемся пластическом течении.

В рамках этой теории дано ограниченное число решений с учетом изменения формы геометрии свободных поверхностей: решения задач о растяжении полосы в условиях плоской деформации, автомодельные решения о вдавливании плоского клина в полупространство и сжатии плоским штампом клинообразной заготовки, решение задачи о вдавливании криволинейного штампа в полупространство, [85, 86, 90, 91, 98-100]. При решении подобных задач деформации материала оценивались по полю перемещения частиц, находящихся в начальный момент времени в узлах прямоугольной сетки и изменению формы геометрии свободных поверхностей, ограничивающих деформируемое тело. Данные характеристики только качественно описывают поведение среды и не характеризуют (собственно) деформации материала как изменения относительного расстояния между частицами. Это приводит к ограниченному использованию получаемых результатов. Одной из характеристик, дающих точное количественное описание деформаций в точке, является тензор конечных деформаций Альманси:

В работах [16,17, 30, 33,71-72] показано, что деформации в пластической области распределяются крайне неравномерно и основные деформации, как правило, наблюдаются на особенностях поля линий скольжения: линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера линий скольжения.

Решение задачи с учетом изменения геометрии необходимо для определения полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера характеристик). Так как изменение свободной поверхности определяет изменение положения этих особенностей. Деформации на них значительно превышают деформации в непрерывном поле скоростей перемещений. Эти деформации могут определять процессы разрушения материала.

Другой особенностью современного состояния теории жесткопластиче-ского тела является незаконченность теории разрушения жесткопластического тела. Разрушение идеальных пластических материалов рассматривалось в работах [37, 44, 45, 50]. В этих работах отмечалась возможность разрушения материала на особенностях поля линий скольжения. Но при этом не была представлена теория расчета деформаций в окрестности этих особенностей и поэтому не была сформулирована замкнутая теория распространения трещин при разрушении. Деформация - один из основных параметров, который входит в определяющие соотношения теории идеального жесткопластического тела (ассоциированный закон пластического течения) через тензор скоростей деформаций. Естественно ввести эти величины в критерий разрушения.

При выборе деформационного критерия разрушения возникает другая проблема теории идеального жесткопластического тела - неединственность поля скоростей перемещений. Данная неединственность связана с тем, что модель идеального жесткопластического тела является предельной моделью по отношению к другим более сложным моделям: упруго пластическое тело, упрочняющееся пластическое тело, упругое вязкопластическое тело и т.п. В рамках этих моделей решение задач является, как правило, единственным и этим решениям должно соответствовать некоторое определенное решение для идеального жесткопластического тела при предельных значениях параметров, характеризующих эти модели (например, параметр упрочнения для упрочняющегося пластического тела должен стремиться к нулю).

Осуществление такого предельного перехода в настоящее время невозможно, т.к. аналитических решений в рамках этих сложных моделей не получено. Поэтому формулировка выбора предпочтительного решения должно быть основано на общих термодинамических и экспериментальных закономерностях. Одной из таких экспериментально замеченных закономерностей является то, что упрочнение материала есть осреднение деформаций по объему осред-няемого тела [66]. На основе этого сформулирован деформационный критерий выбора предпочтительного решения [72, 73]: предпочтительным является решение, для которого наибольшее значение первого главного значения тензора Альманси Е] в пластической области минимально.

Целью данной работы является исследование полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линии разрыва поля скоростей перемещений и центра веера линий скольжения, которые по существу являются концентраторами деформаций); определение зон возможного разрушения материала для классических контактных задач теории пластичности и концентраторов деформаций в виде V-образных вырезов в полосе; построение решений с учетом разрушения материала.

Решение таких задач актуально при разработке методов расчета технологических процессов, обработки материалов давлением, резанием, тесно связанных с решением контактных задач; для проектирования оборудования, используемого при этих процессах; при расчете оценки несущей способности конструкций при длительной эксплуатации с большим накоплением остаточных деформаций и в экстремальных условиях; при расчете конструкций одноразового действия. Анализ накопления больших пластических деформаций связан в первую очередь с исследованием деформаций в окрестности элементов конструкций с резким изменением геометрии свободной поверхности, которые принято называть концентраторами напряжений. Эти элементы с точки зрения теории идеального жесткопластического тела являются концентраторами деформаций, определяющими несущую способность всей конструкции.

В первой главе данной работы представлены основные соотношения теории плоской деформации идеального жесткопластического тела. Описан метод исследования деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера характеристик). Обозначены требования к построению и существованию полного решения задач теории идеального жесткопластического тела. Рассмотрена возможность неединственности решения в задачах теории плоской деформации. Сформулирован используемый деформационный критерий выбора предпочтительного решения. Формулируются критерии разрушения и выбора направления развития трещины.

Во второй главе рассмотрены контактные задачи теории плоской деформации идеального жесткопластического тела. Рассмотрены пластические течения с учетом изменения геометрии тела в процессе деформирования материала при внедрении клинообразных и плоских штампов. Получено распределение деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения. На основании неединственности решения произведен выбор предпочтительного решения.

В третьей главе рассмотрена задача о растяжении полосы с V-образными концентраторами деформации. Проанализировано поле скоростей в пластической области для существующих решений этой задачи: решения Е. Ли (обобщения решений Хилла и Прандтля задачи о внедрении плоского штампа в полупространство) и решение О. Ричмонда. Показано, что эти решения содержат ряд противоречий, которые приводят к нарушению сплошности среды. Предложено новое решение с несимметричным пластическим течением, которое является полным для вырезов, углы раствора которых не меньше, чем 104.7°. На основе этого замечания рассмотрено другое решение, когда в пластическом состоянии попеременно находятся верхняя и нижняя части полосы.

В четвертой главе рассмотрена задача о разрушении полосы с V-образными вырезами при растяжении. В основу анализа положено новое решение, предложенное в главе 3. Проанализированы возможные направления развития трещин при разрушении: разрушение полосы в окрестности V-образных вырезов.

В работе принята тройная нумерация формул: первая цифра — номер главы, вторая — номер пункта; и двойная нумерация рисунков: первая цифра — номер главы.

- 136-ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты:

1. Получены поля деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения в задачах о внедрении клина в жесткопластическое полупространство, раздавливании клиньев (бесконечного и усеченного) гладким плоским штампом, растяжении полосы с V-образными вырезами.

2. Во всех рассмотренных задачах указаны области возможного разрушения материала (на основании деформационного критерия разрушения) для различных параметров деформируемых тел.

3. Исследованы известные решения задачи о растяжении полосы с V-образными вырезами (Е. Ли, О. Ричмонда). Показано, что эти решения содержат противоречия, которые приводят к нарушению сплошности среды.

4. Предложено новое решение задачи о растяжении полосы с V-образными вырезами без разрушения, являющееся полным для углов раствора вырезов 28 > 104.7^.

5. Рассмотрена задача о разрушении полосы с V-образными вырезами при растяжении; показано возможное направление развития трещины: образование внешних трещин со свободной поверхности в окрестности вершин вырезов.

-137

1. Анин Б.Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: НГУ, 1975. 96 с.

2. Анин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного на-гружения. Новосибирск: Изд-во Со РАН, 1999. 342 с.

3. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. — Самара: СамГТУ, 2001. 632 с.

4. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. -М.: Ил., 1955.444 с.

5. Буханько А.А., Хромов А.И. Определение полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения // Вестник КнАГТУ: Вып.2 Сб. 1 Прогрессивные технологии в машиностроении: Ч.З: Сб. науч. тр., 2000, с. 8-14.

6. Буханько А.А. Задача о прессовании полосы // Труды одиннадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", ч.1. Самара: СамГТУ, 2001. С. 35-37.

7. Буханько А.А. Исследование полей деформаций в задаче о прессовании полосы // Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. Вып.2. Владивосток: Дальнаука, 2001. С. 37-44.

8. Буханько А.А. Концентраторы деформаций // Дальневосточная школа-семинар им. академика Е.В. Золотова.- Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 71-72.

9. Буханько А.А. Растяжение полосы с V-образными вырезами в рамках теории плоской деформации // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С.65.

10. Буханько А.А. Разрушение полосы с V-образными вырезами при растяжении // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, Т. 10, вып. 1,2003 г. С. 111-113.

11. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Об определении предельной нагрузки тел, вдавливаемых в пластическую среду // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1961. № 1. С. 173-174

12. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука. 1998. 528 с.

13. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская деформация идеальных жесткопла-стических тел с учетом изменения границы // Изв. АН СССР. МТТ, 1979. №2. С.71-78.

14. Введение в механику сплошных сред: учеб. пособие / Черных К.Ф. Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. 280 с.

15. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. — М.: Наука, 1978. 304 с.

16. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос.изд.физ.-мат.лит., 1963. 660с.

17. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. М.Е Машиностроение, 1979. 567 с.

18. Друянов Б.А. Начальное течение полосы при вдавливании гладкого криволинейного штампа // Исследование пластического течения металлов. М.: Наука, 1973. С. 98-106.

19. Друянов Б.А. О полных решениях некоторых задач деформации полосы // МТТ, 1968. № 2. С.171-173.

20. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. — М.: Машиностроение, 1990. 272 с.

21. Дудукаленко В.В„ Мяснянкин Ю.М. Об определении изменяющейся границы тела при плоском пластическом деформировании // На-уч.тр.фак.прикл.мат. и мех.Воронеж.ун-та, 1971. Вып.2, С.131-134

22. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы / В.К. Семенченко. М.: Мир, 1974. 604 с.

23. Ерхов М.И. Теория идеальнопластических тел и конструкций. — М.: Наука, 1978. 352 с.

24. Ивлев Д.Д. К построению теории идеальной пластичности // ПММ, 1958. Т.22, вып.6. С.850-855.

25. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

26. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. — М.: Наука, 1978. 208 с.

27. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

28. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. К.1. Механика вязкопла-стических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. 360 с.

29. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

30. Качанов J1.M. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969. 420 с.

31. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979. 208 с.

32. Койтер В. Соотношения между напряжениями и деформациями // Механика, № 2, 1960.

33. Колесников Ю.В., Морозов Е.М. Механика контактного разрушения. — М.: Наука, 1989. 224 с.

34. Корнев В.М. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов (антиплоская задача). // Прикладная механика и техническая физика. Т.43, № 1 2002. С. 153-139.

35. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981. 236 с.

36. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения // Разрушение, т. 111. С. 67-262.

37. Макклинток Ф., Арагон А. Деформация и разрушение материалов. — М.: Мир, 1970.443 с.

38. Михлин С.Г. Математическая теория пластичности // Некоторые новые вопросы механики сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР, 1938.

39. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 56 с.

40. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. -СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1997. 132 с.

41. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. — М.: Наука, 1981. 208 с.

42. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. — М.: Мир, 1969. 864 с.

43. Пластичность и разрушение / под ред. B.JI. Колмогорова. М.: Металлургия, 1977. 336 с.

44. Прагер В. Проблемы теории пластичности, Физматгиз, 1958.

45. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Издательство иностранной литературы, - 1956. 400 с.

46. Проблемы механики неупругих деформаций: Сборник статей. К семидесятилетию Д.Д. Ивлева. М.: Физматлит, 2001. 400 с.

47. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. 80 с.

48. Работнов Ю.Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1991. 196 с.

49. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: Учеб. пособие для вузов. -М.: Наука, 1988. 712 с.

50. Разрушение: Энциклопедический справочник / под ред. Г. Либовица. — М.: Мир, Т.1, 1973. 616 е.; Т.2,1975. 764 е.; Т.3,1976. 797 с.

51. Райе Дж.Р. Локализация пластических деформаций // Теоретическая и прикладная механика. Труды XIV Междунар. конгр. IUTAM. — М.: Мир, 1979. С. 438-471.

52. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1970. 568 с.

53. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1990. 296 с.

54. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения // Инж.журн. 1961. Т. 1, вып.З. С. 116-121.

55. Соколовский В.В. Теория пластичности. — М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

56. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Высшая школа, 1979. 318 с.

57. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. — М.: Мир, 1964.308 с.

58. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. В 2ч. 4.1. Деформация и разрушение. -М.: Машиностроение, 1974. 472 с.

59. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит, 1956. 407 с.

60. Ходж Ф. Краевые задачи пластичности. Пластичность и термопластичность. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.

61. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре: Мат. сб. (Нов. сер.) 1938. Т. 1, вып. 4.

62. Христианович С.А., Михлин С.Г., Девисон Б.Б. Некоторые вопросы механики сплошных сред. Изд-во АН СССР, 1938.

63. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. Владивосток: Дальнаука, 1996, 181 с.

64. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при растяжении. // Механика твердого тела. № 1. 2002. С. 136-142.

65. Хромов А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел // Докл. РАН. 1998. Т. 362, № 2. С. 202205.

66. Хромов А.И., Жигалкин К.А. Математическое моделирование процесса деформирования материалов//Дальневосточный математический журнал. — Владивосток: Дальнаука, ч. 3, № 1,2002. С. 93-101.

67. Чрепанов Г.П., Ершов JI.B. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. 224 с.

68. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.

69. Frendental A.M., Geiringer H. The mathematical theories of the inelastic continuum // Handbuch der Physic. Berlin, 1958. V.6.

70. Ewing D.J.F., Hill R. The plastic constraint of V-notched tension bars. J. Mach. and Phys. Solids, 1967, v. 15. P. 115-124.

71. Geiringer H. Fondements mathematiques de la theorie des corps plastiques isotropes. Memorial des sciences mathematiques. Gauthier-Villars, Paris, 1937.

72. Green A.P. The plastic yielding of shallow notched bars due to bending. J. Mach. and Phys. Solids, 1956, v. 4. P. 259-268.

73. Hadamard J., Lecons sur la propagation des ondes et les equations de l'hydrodynamique, Paris, 1903.

74. Hency H. Uber einige statisch bestimmten Falle des Gleichgewichts in plastischen Korpern //ZAMM, 1923. BD.3, h.4. P.241-251.

75. Hill R. Discontinuity relations in mechanics of solid, Progress in Solid Mechanics, vol.11,1961. P. 247-276.

76. Hill R. On the State of Stress in a Plastic-Rigid Body at the Yield Point. Phil. Mag., 1951, v. 42. P. 868-875.

77. Hill R., Lee E.H., Tupper S.J. The theory of wedge indentation of ductile materi-als//Proc. Roy. Soc. L., 1947. Ser. A. v. 188. 273 p.

78. Koiter W.T. General theorem for elastic-plastic solids // Progress in Solid Mechanics, 1960. V.l, ch.IV.

79. Lee E.H. The theoretical analysis of metal forming problems in plane strain. J. appl. Mech., v.19,1952. P. 97-103.

80. Lee E.H. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension. J. appl. Mech., 1952, v.19. P.331-336.

81. Levy M. Sur lintegration des equtions aus differences partielles relatives aux pouvments interieurs des corps solids ductiles lorsque ces mouvements ont lieu parplaus puralleles // C.R. Acad.Sci. (Paris), 1871. V.73. P. 1098-1103

82. MacClintock F.A. Ductile Fracture instability in shear // J. Appl. Mech., 1958. V.25, № 4. P. 582-587.

83. Neimark J.E. The Fully Plastic, Plane-Strain Tension of a Notched Bar. J. appl. Mech., 1968, V.35.P. 111-116.

84. Onat E.T., Prager W. The Necking of a Tension Speciment in Plane Plastic Flow., 1954, v. 25, № 4. P. 491-493.

85. Prager W. Problem der Plastizitatstheotie. Basel, 1955.

86. Prager W., Hodg Ph.G. Theory of perfectly plastic solids. N.Y., 1951.

87. Prandtl L. Anwendungsbiespiele zu einem Henckyschen Satz uber das plastische Gleichgewicht // ZAMM, 1923. BD.III, h.6.

88. Prandtl L. Uber die Harte des plastischer Korper // ZAMM, 1921. BDI, h. 1.

89. Richmond O. Plane strain necking of V-notched and un-notched tensile bars. J. Mech. Phys. Solids, 1969, v. 17. P. 83-90.