Корректные и некорректные задачи для дифференциально-операторных уравнений в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

\ ■ АКАШШ НАУК СССР

/ | СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

' ' | ИНСТИТУТ иштщ

/ На правах рукописи

МЕЛЬНИКОВА Ирина Валерьяновна

УЖ 517.983:51?.986:51?»955

КОРРЕКТНЬЕ И НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ Ш ДИШРЕНЩММО-ОДЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОХ.01.02 - дифференциальные уравнения и математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой стзшшя доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1987

Работа выполнена на кафедра математического анализа Уральского отдана Трудового Красного Зш-лни государственного университета им.А.М.Горького.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор АРСЕНИН Василий Яковлевич; доктор $изико-математических наук, профессор ЮМАНОВ Владимир Гаврилович; доктор физико-математических наук, профессор ВИНОКУРОВ Валерий Алексавд-рович.

Ведущее учреждение - Институт математики АН БССР.

Защита состоится " ^ " ¿¿¿¿¿-/¿'.^_198в года

в /С часов на заседании Специализированного совета Д 002.23.02 при Институте математики 00 АЙ СССР по адресу: 630090, г.Новосибирск, 90, Университетский пр., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Инста-. тута математики СО АН СССР.

. Автореферат разослан "/3 " ■ 1988 г.

Ученый секретарь Совета доктор физико-математических наук

а ШЖШЬ О.Д.

'ГССГК;.; : я..» ¡.

: I. Общая характеристика работы

'-'тдэл • • •

г££Г5Н11*Актуальность темы.' Теория дифференциально-операторных уравнений возникла на стыке двух математических дисциплин: задачи Кош для дифференциальных .'/равнений и теории полугрупп.

Первая из этих дисциплин развита в трудах И.Г.Петровского, С.Л.Соболова, И.М.Гельфанда, Г.Е.Шилова и др. и посвящена решению задачи Кош для систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка

1-0, и/.0-ч„

где Ц. - (и^,... и.^) , ц.1=гЙ.1(.0£^) - элемент некоторых пространств обобщенных функций; А.('|"3:)"* мажрица,

элементами которой являются диффэрэнциальпыэ по х. операторы. Здесь появилось диффере1щиально-операторноа уравнение, хотя оператор Д оставался оператора« специального ввда, а условия существования, единственности и устойчивости решения были указаны в терминах поведения матрицы Д^ (X), полученной после применения преобразования Фурье (см., напр., / 1,2/).

Вторая из указанных дисциплин, теорал полугрупп в банаховых (позже в локально-выпуклых) пространствах, построена Э.Хкл/ш, Р.С.Филлипсом, К.Иосидой. и др. Фундаментальные .результаты, получешше для дифференциально-операторных уравнений на основа теория полугрупп, следущие: теорема Филляпса ■ о том, что для равномерной корректности задачи Кош

du.it) .. /л I п <*)

сИ

з

Au.lt), ЬО. и(о) = и0,

с замкнутым линейным оператором X в банаховом пространство Л (С ) необходимо и достаточно, чтобы операг. тор А был производящим операторе»,! полугруппы класса С» > теорема Миядеры-Феллераг-Фшштса («Ш), дающая необходимые и достаточные условия в терминах резольвенты оператора А , и теорема Хилле-Иосвдн, дающая достаточное условие /3-5/ .

Возникнув в результата развития методов функционального анализа и необходимости решать все более слсшше задачи для дифференциальных уравнений, теория дифференциалъно-оператор-• дых уравнений дала возможность решать задачи для уравнений, дифференциальных по одной, ввделенной переменной Ь , и разнообразной природы по остальным переменным; в частности, дон уравнений дифференциальных, интегро-дифференциалышх и уравнений с запаздыванием, широко применяемых в физике и технике. При атом "естественную среду для таких задач, образует банахово пространство" /6/ ;

Первым эталгал в развитии теории дифференциально-операторных уравнений было исследование задачи Кош для уравнений первого порядка (I). Вторим этапом ~ исследование задачи Ко-ши для уравнений второго порядка

+ ьо, и(0)-ив. а'Ю)-^, (2)

в частности, неполных

(А-0)

^тг-Ьи, ЬО, и,(0)«и«, и'(0)-иА. ^

01

ш уравнений Ю- -го порядка

Г0

Первые результаты о корректности задач (2)-(3> были получены С.Г.Крейном, П.Е.Соболевским, С.Я.Якубовым, М.Совой /5,7/ методом сведения к уравнению первого порядка в произведении пространств и исследования резольвенты получающегося оператора-матрицы. На пути сведения к уравнению первого порядка в /5,8/ получены достаточные условия па операторы А ,

в случае, когда один из них мсано считать "главным". При этом не было дано определение главного оператора и оставался открытым вопрос, всегда ли .один из операторов Д , £> можно 'считать в уравнении главным и получать условия разрешимости задачи Коши (2), накладываемые на этот один, главный, оператор.

Метод сведения задачи Кош (2) к задача Коши для системы уравнений первого порядка, или дан уравнения первого, порядка в произведении пространств, и в настоящее время является широко применяемым методом исследования задачи (2). Однако на этом пути не были получены условия, необходимые и достаточные для корректности задачи Кош (2) в общем случае, так как при сведении к системе появляются дополнительные условия на решение или на операторы, обусловленные методом сведения. Как показано Х.Фатторини, требование корректности задачи Коти для получаемых систем в общем случав сильнее требования корректности зада>га Коши (2),

В частном случав задачи Коши для неполного уравнения (3) М.Совой, Х.Фатторшш, Г.Да Прато и и.Джусти был прэдло-

ь \

жен другой метод исследования - метод фундаментальных решений, Авторами построена теория С, 5 (С0$-,$иг~) оператор-функций и получен аналог теоремы Филлипса, то есть необходимые и-достаточные условия равномерной корректности задачи Кош (3) в терминах существования С, 3 функций,, и аналог теоремы Мфф, то есть необходимые достаточные условия корректности в терминах резольвенты оператора В . Развитию этого метода в настоящее время посвящено большое число работ (см. библ. в /9,10/ ),

В глава I, посвященной исследованию корректности задачи' Коли для полного уравнения (2) в банаховом пространстве, автором диссертации построена теория ( оператор-фу]зкций, обобщающих С, 5 функции. На основе этой теории, во-первых, получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности задачи Кош (2) в терминах'существования ^ |\| семейства и поведения резольвенты операторов А, ^ , во-вторых, исследован вопрос о связи между корректностью задачи Кош (2) И задачи Кош дт систеш, к которой она сводится, в-третьих, введено понятие главного оператора и дана классификация уравнений со сравнимыми операторами А, .а также исследована разрешимость неоднородных уравнений.

Следующим, после исследования задачи Коши, этапом в развитии дифференциально-операторных уравнений было решение краевых задач для уравнений уь -го порядка, в частности, имеющих многочисленные приложения краевых задач для уравнений второго Порядка

11 и. = <*и и.(0) -«■ и.' Ю) + ри и.(Т) + ри иЛТ) -) 1,

I - I,

и

Изучение общих краевых задач связано с потребностью решать, с одной стороны, нетрадиционные задачи дои дифференциальных уравнений в частных производных известных типов, с другой стороны, с потребностью решать краевые задачи для уравнений, не принадлежащих ни к одному классическое типу. Одним из немногих' известных здесь общих фактов для дифференциальных уравнений является теорема Хермавдера о существовании для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в ограниченной области из 6 некоторой корректной граничной задачи /II/ . Однако, кроме самого факта существования, важно дать описание граничных условий, при которых соответствующая: краевая задача имеет единственное и устойчивое решение. К настоящему 'времени это малоисследованная задача.

Первые результаты по краевым задачам для дифференциально-операторных уравнений в баягховом пространстве были получены для задачи (5) о оператором Б , поршиашщм эллиптический случай /5 /, то есть именно для того типа уравнений, для которого з теории уравнений в частных производных, тра-

диционно решаются краевые задача.

Общие краевые задачи (4) для уравнений с дифференциальными операторами А » Ь в гильбертовом пространстве рассмотрены А.А.Дезиным/ 12/ , а для уравнений п, -го порядка В.К.Романко /13/ , с помощью описания так называемых правильных операторов. При этом применяемая методика существенно использует специфику дифференциальных операторов и гильбертова пространства.

Интенсивно развиваемая в настоящее время теория некорректных задач, - в том числе некорректных задач для дифферен-циалыю-операторных уравнений, наряду с нахождением условий корректности настоятельно требует изучения характера причин, вызывающих некорректность краевых задач.

Глава П диссертации посвящена исследованию корректности в банаховом пространстве краевых задач для уравнений первого порядка и неполных уравнений второго порядка с оператором Ё, , порождающим эллиптический и гиперболический случаи. Получены простыо необходимые и близкие к ним достаточные условия однозначной разрешимости. На основе этих результатов для уравнений с указанными операторами В установлена двойственность в вопросе корректности краевых задач, обобщалая хорошо известную двойственность между задачами Кошл и Дирихле для уравнения колебаний и уравнения Лапласа. Полученные условия разрешимости даат возмсшость понять суть явления некорректности многих известных краевых задач для дифференциальных уравнений, в частности, краевых задач для уравнений гиперболического типа, где некорректность связана с проблемой малых знаменателей /14/ .

Проведанные исследования корректности краевых задач по-

зволкоот применять их для регуляризации некорректных краевых задач.

Необходимость решать некорректные задачи, то есть задачи, в которых не выполнено хотя бы одно из трех требований корректности по Ддачару - существования, единственности и устойчивости, в настоящее время является общепризнанной. При этом наиболее развитыми являются теория к методы решения некорректных задач, записываемых в форме операторных уравнений первого рода

(6)

Исследованию уравнений (6) и некоторых других аспектов .теории некорректных задач посвящено большое число работ, в частности известные монографии А.Н.Тихонова и В.Я.Арсенина / 15/ , В.К.Иванова, В.В.Васина и В.П.Таяаны /16/ , М.М.Лаз-рентьева, В.Г.Романова и С.П.Шишанского /17/ , О.А.Лисковца /18/ .

Известно, что многие некорректные задачи для дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений могут быть сведены к операторным уравнениям первого рода (6), однако операторы !_» , получаемые при сведении дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений к уравнению (6), как правило, слишком сложны, поэтому такой способ решения неэффективен.

Для решения некорректных задач управления для дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом пространстве Ж,-Л.Лионсоы и Р.Латтесом был предлонен метод квазиобращения /19/ . Метод подучил широкое распространение для задач управления и б-:д применен для решения не-

корректных обратных задач. Суть этого метода состоит в том, что некорректная краевая задача заменяется корректной введением в уравнение дополнительных членов с малым параметром. Однако, получаемые при этом повышение порядка дифференциальных уравнений и экспоненциальные оценки погрешности заставляют искать более совершенные методы регуляризации. Ддейно близким к методу квазиобращения является метод, который можно назвать методом краевых задач, где замена исходной задачи задачей корректной осуществляется введением дополнительных членов в краевые условия.

Глава Ш диссертации посвящена, во-первых, исследованию возможности регуляризации некорректных краевых задач для дифференциально-операторных уравнений в банаховом пространстве, во-вторых, исследованию общего подхода к устранению расход.имостей. Развита предложенная В.К.Ивановым /20/ общая схема, объединяющая методы устранения расходимостей разного рода, в том числе методы регуляризации некорректных задач, методы регуляризации расходящихся интегралов в теории обоб-щашшх функций и в квантовой теории паяя, методы суммирования расходящихся рядов.

Цель работы. Для дифференциально-операторных уравнении яайтл необходимые и достаточные условия корректности краевых задач, в том числе задачи Коши, выделить некорректные задачи, имеющие различный характер некорректности и на этой основе исследовать методы регуляризации некорректных задач для дифъ феревдиаяьио-операторных уравнений; исследовать общий подход к проблемам устранения разного рода расходимостей, возникающее в физике и математике, в том числй к проблеме неустойчивости в теории Некорректных задач.

ХО

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Кроме того, новой является сама постановка проблемы исследования наряду о условиями корректности, характера некорректности краевых задач и проблемы общего подхода к задачам устранения расходимостей.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы, помимо полученных результатов о корректности краевых задач и задачи Кош для дифференциально-операторных уравнений, состоит в том, что для важных некорректны:»: задач изучен характер их некорректности и, в зависимости от этого, исследована возможность регуляризации различными методами; проблема регуляризации некорректных задач рассмотрена как часть общей проблемы устранения расходимостей. Практическая ценность работы состоит в следующем:

I. Полученные результаты о корректности задачи Коши для полных дифференциально-операторных уравнений позволяют применять их для исследования дифференциальных уравнений, не входящих в классы гиперболических и других уравнений, для которых изучена задача Коши, а также для интегро-дифференци-альных и более общих уравнений в банаховых пространствах.

3. Полученные результаты о корректности краевых задан дают для областей специального вида (0,Т) х , С С общий метод.исследования краевых задач, в частности задачи Коши, для дифференциальных уравнений.

3. Полученные'результаты по методам регуляризации используются прк решении конкретных некорректных задач в банаховых пространствах: обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности, задачи Дирихле для уравнения колебаний и др.

т т

Совокупность полученных в диссертационной работа результатов можно квалифицировать как новое научное направление - исследование корректности краевых задач для дифференциально-операторных уравнений и применение этих исследований к вопросам изучения расходящихся процессов, в том числе регуляризации некорректных задач.

Апробация работы. Диссертационная работа обсуздалась на научных семинарах кафедры математического анализа Уральского госуниверситота (рук. чл.-корр. АН СССР В.К.Иванов), на семинар-.: отдела условно-корректных задач ВЦ СО АН СССР (рук. акад. АН СССР М.^.Лаврентьев), на объединенном семинаре отдела условно-корректных задач и отдела геометрии и анализа ИМ СО АЛ СССР (рук. акад. АН СССР М.М.Лаврентьев, чл.-корр. АН СССР Ю.Г.Решетняк), на объединенном семинаре лаборатории вычислительной математики и лаборатории уравнений математической физики Ш АН БССР (руге. акад. АН БССР В.И.Крылов, проф. В.Н.Абрашш), на семинаре по дифференциальным уравнениям в ВЛТИ (рук. проф. С.Г.Крейн), на семинаре по некорректным задачам математической физики в МГУ (рук. проф. А.В.Гончарский, проф. В.А.Винокуров, проф. А.Г.йгода),на семинаре кафедры высшей математики в ¡ЖГИ (рук. В.А.Винокуров).

Результаты работы докладывались на Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (г. Минск, 1978 г., г. Челябинск, 1986 г.); на Всесоюзных шкалах-семинарах по методам решения некорректно поставленных задач (г. Фрунзе, 1979 г., Ноорус Эст.ССР, 1981 г., г.Самарканд, 1983 г., г. Саратов, 1985.г.); на Воронежских зшшос математических школах (1981 г., 1982 г., 1886 г., 1987 г.); на заседаниях 'Уральского математического общества (1985 г.), на

Сибирской школе•по методам решения условно-корректных задач (г. Красноярск, 1986 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в работах /32-60/ .

Объем работы. Диссертация излажена на 237 страницах. Библиография содержит 181 наименование.

2. Содержание работы

Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на'семнадцать параграфов.

Нумерация теорем в диссертации (сохраненная в автореферате) двойная: первая цифра означает номер параграфа, вторая - номер теоремы в параграфе.

Глава I "Корректность задачи Коши для полного уравнения второго порядка" посвящена исследовании в банаховом пространстве £ задачи Коши для уравнения

иЧО-Аи'Ю+ЫО, UO; tt[0)-u.,&'(0)-O7>

где А. » Ь линейные замкнутые операторы из Е в [Г с плотными областями определения : "ЩД) «■"])(£>)'— £ •

Определение I. функция U (t) называется решением задачи Коши (7), если при t з» 0 определены и непрерывна

а'Ш » Au,'(t)* Е>иШ î u(t) удовлетворяет урав-. нению при и начальным условиям при 1=0

Определение 2. Задача Коши (7) называется равномерно корректной на X, У ( X Y — £ ) » 9cyn*

а) решение существует и единственно для любых U.,e)( ,

б) решение равномерно по té [ 0,Т ] устойчиво относительно начальных данных.

Определение 3. Задача Коши (7) называется со -равномерно корректной на X , У » если

а) решение существует для любых Ц„£ X , У ;

б) существуют константы Ц ^ 0 . и) 0 • такие,

что

Ilutóla Le*pM)(ltU+IUj).

Глава I состоит из §§ 3-7, В § 3 главы I введено семейство M , N оператор-функций.

Определение 4. Однопараметрическое семейство ограниченных операторов Hit) > M(t) • t'^û, называется сильно непрерывным семейством , f\J функций (порожденных онэраторами , Ь ) > если

Io. М(ьи-МШМЫ + ШОЖи, Hit* ü - Ш) Ш - МИМЬ) ■+ к Кьл » о ;

2°, M (0) ■= 0 » м (0) - Î , определены опера-

îoph tf(0)-r. М'(0}=0;

Mit) > H(li-) сильно непрерывны по ■ t, k s 0 H КОММУТИРУЮТ при любых í, L s> 0 S

Определение 5. Сильно непрерывное семейство M , [j функций называется сильно непрерывным типа со , если для него выполняется условие

4°. ЗЫ,ш*(мио IMWUNft)K«pU),

называется Д- ( £>-) сильно непрерывным, если к условию 3°

добавить условие:

3°а. Функция А H (О С ) сильно непрерывна по

fc^O-

называется Д , 6> - непрерывным, если к условию 3° добавить условие :

3°б. A.MШ сильно непрерывна по t ?0 » bH(t) непрерывна на D (Д) .

Определение 6. Операторы

с областями определения

Ъ(ГО)) l"b(M"(û) )-(а: ]#)и

( M(lV ) дважды непрерывно дифференцируема в нуле | называются производящими семействами M , f\l функций. Доказана основная

Теорема 3.3. Пусть линейные операторы А « В с плотными областями определения коммутирует и имеют непустое резольвентное множество. Для того, чтобы задача Кошн (7) была со -.равномерно корректной на Х^Ъ(кЬ), У = Ъ(^) П1) (о) необходимо и достаточно, чтобы операторы А » В были производящими сильно непрерывного типа и) 1 семейства И , |\j функций:

N40)-А. М*(о)-Ь.

При этом решение имеет ввд

«¿Ш-МЮииМЦ. и^У. »

В частном случае Д = 0 семейство И ("0 > НШ функций, продолженное на , M(t) - четным образом,

^i(t) - нечетным, превращается в семейство оператор-функций, удовлетворяющих условиям:

1) Mít-Ü + Mít + kb2M(t)M(W), tUfc1,

2) MÍO) - I ,

3) Mit) сильно Herrpepuâïa по t €Г,

Hit) - i Mlt)otr,

и совпадает с сильно непрерывным семейством С-функций:

M(t)-C(tt. Stt)^ fc(T)«te '

/10,20/. °

Поэтому в случае А = 0 теорема 3.3 превращается в известную теорему о том, что для равномерной корректности задачи Кош

на X — У ~"î)i£>) необходимо и достаточно, чтобы оператор В> был производящим семейства ' С -функций.

Кроме условий корректности для однородных уравнений сфорлулированц условия на функцию ^(t) , при которых pas- . яошрло корректна задача Кош "для неоднородного уравнения

W,l(t) -Aw'í-O+MtbjíO. Wo)-«.,w'(obiit,

и получена формула решения

t о

аналогичная полученной в /1С/ для С -функций, - тео-

рема 3,4.

Полученная нами теорема 3.3 является обобщением теоремы Филлипса для уравнения первого порядка и аналогичной теоремы о существовании семейства С-функций для неполного уравнения второго порядка. Отличив в формулировка теоремы 3.3 от указанных теорем состоит в требовании экспоненциальной ограниченности решения и М » М семейства, которое для полугруппового семейства и семейства С -функций следует из определений.

В § 4 главы I показано, что расширение классов корректности X » У Д° максимальных в случае коммутирующих операторов А , Е> приводам к экспоненциальной ограниченности решения и М » N семейства:

Теорема 4.1. Пусть Д. , - линейные коммутирующие операторы с плотными областями определения, имеющие непустое резольвентное множество. Тогда следующие"утверждения эквивалентны:

(1) Задача Коли (7) равномерно корректна на 1)(Ь) ,

ЪШ I

(2) Задача Коши (7) со -равномерно корректна на 1)(Ь),

Ш);

(3) Операторы А , Ь являйтся производящими Д " ,

Е> - непрерывного типа и) семейства 1*1 , Н функций л

Идейно близкой по доказательству к теореме 4.1 является теорема 4,2 о связи корректности задачи Коши (7) с корректностью задачи Коши для системы или длн уравнения в произведении пространств Е * £ .В теореме 4.2 в терминах ^ ({) функций указано простое дополнительное условие, при котором задача Кош (7) и задача Коши для уравнения в банаховом пространстве {Г х (Г

v4t)-ävLft), V(0)-{tt..tt^i.&u«"b(eOL

^D(A),

где ß> А/ . эквивалент-

ны, Выделен вшрокий подкласс операторов А . В . для ко- , торых это условие выполняется, то есть имеет место эквивалентность.

Введенное в § 3 семейство М , N функций народу с необходимым и достаточным условием корректности задачи Кош (7) в терцинах существования M(t),N(t) функций, позволило получить аналог теоремы М<ЕФ - необходимое и достаточное условие в терминах резольвент операторов Ä . Ь • и® оператора, обратного к пучку операторов К » Ь .

Определение 7. Оператор, обратный к оператору Б + л\(\ -\1Г и определенный на всем пространстве, назовем резольвентой операторов Ä , Ь и будем обозначать

IIa основа теоремы 3.3 и метода работ / 21,22/ в § 5 получен аналог теоремы МФФ:

Теорема 5,1. Цусть линейные замкнутые операторы Д ,Ь о плотными областями определения коммутируют. Для того, чтобы задача Кош (7) была W - равномерно корректной на

t • У**Ъ(К) А(Е>) ^ необходимо и достато-

чно, чтобы выполнялись условия

2 L>0, ы»о ^«л

•^Й(Х')

Ы „. <8)

, J.

В теорема 5.2 доказана необходимость условий (8) в общем случае некот*утирующих операторов А , В .

Необходимость и достаточность условий (8) для класса бязамкнутых операторов, более узкого, чая замкнутые опера-торн, была доказана ранее М.Совой /7/ .

Второй круг вопросов главы I, рассмотренный в § 6, связан о нахождением возможно более простых достаточных условий Однозначной разрешимости задачи (7), в частности, условий на один оператор,.называемый в этом случае главным, если таковой существует.

Задача нахождения конечного числа достаточных условий (в отличие от бесконечного числа условий в теореме МФФ) является задачей достаточно трудной, в важном частном случав | »0 таких убловий до сих пор не найдено. Теорема 6.3 в некоторой степени объясняет причину этого явления.

В § 6 главы I получено достаточное условие типа Хилле-Иосиды существования единственного решении задачи Кош (7):

Теорема 6.1. Пусть для резольвенты замкнутых линейных . операторов k , £> выполнено условие:

Тогда при lte, U,t € В (ДМ * ) Г| Ъ (интеграл

Э) - * к к i «р W [W •d > ы'

J

абсолютно сходится и J \л/ \ 3(+ 0) -t = 0 дает 0ДШЬ ственное решение задачи Коши {?). ш

Кроме того, в § 6 выделены классы уравнений со сравнимыми операторам Д , Ь (в § 6,7 дано несколько способов сравнения операторов), для которых достаточные условия могут быть наложены на резольвенту одного из операторов Д , 2> , главного, и классы уравнений, для которых этого сделать нельзя,

В результата дана классификация уравнений со сравнимыми операторами и решен остававшийся открытым вопрос о главном операторе. Дело в тем, что достаточные условия разрешимости задачи Коши (7) обычно исследовали в двух случаях. Первый ~ когда оператор Д порождает сильно непрерывную полугруппу, а оператор в некотором смысле "слабее" оператора Д . Показано, что здесь оператор h, - является главны?«!. Второй - когда оператор порождает корректную задачу Коши для уравнения

n4t) - Ь ult), (9)

или, что эквивалентно, сильно непрерывное семейство С -функций, а оператор Д равен нулю или ограничен. Показано, что здесь оператор & является главным. Случай, когда оператор Д неограничен и оператор В> не "слабей" одоратора Д или не рассматривался, например, /8/, или пред-

полагалось, что уравнение (7) может быть либо эллиптическим, либо гиперболическим /5/ . В § 6 показано, что на самом деле оператор Н0 определяет поведения задачи Коши в этом

случае, и в уравнении нельзя ввделить главный по задаче Коши оператор.

Результаты теорем 6.2 и 5.4, полученные в § 6 на идеях теории возмущения операторов, говорят о важности умения сравнивать операторы. В настоящее время известно несколько способов сравнения операторов: по Крейну /5/ - подчиненность, подчиненность с порядком и вполне подчиненность, сравнение по lia.ro /23 / - относительная ограниченность и сравнение, которое можно назвать сравнением по Ньбрандеру, /8 / - через сравнение областей определения,

В последнем § 7 главы I указана связь мезду известными способами сравнения операторов. Полученные результаты приведены в виде наглядной схемы.

Глава П "Корректность краевых задач" посвящена исследованию в банаховой пространстве £ корректности краевых за-йач

и.'"' и) - Ь и. (О + ^(Й. О ^ Ь «Т.

(10)

й-0

I »* 1, .. ,

Основные результаты получены для и, =2 с оператором В , порождающим гиперболический и эллшгаиесюй случаи, и для К " 1 .

Определение 8, Оператор 6 назовем порождающим гиперболический случай, если он удовлетворяет условию

,£U '» (RiX-w) .

Как показано X. Фат торкни /21 / для замкнутого оператора Е> со всвду плотной областью определения условие (Г) эквивалентно следующим условиям

1) Оператор & порождает равномерно корректную задачу Коли для уравнения (9),

2) Оператор В является производящим семейства С -функций (типа и>).

Определение 9, _ Оператор назовем порождающим эллиптический случай, если он удовлетворяет условию

ЗК>0. П<х Ю

Будем обозначать оператор, удовлетворяющий условиям (Г), через , условию (Э) - через B^j .

Традиционно в теории дифференциальных уравнений в частных производных краевые задачи рассматривали для уравнений эллиптического типа. Исследование краевых задач для дифференциально-операторных уравнений (9) 'с оператором ь , обобщающих уравнения эллиптического типа, дано в монографии / 5/ . Исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений независимо от типа, точное для дифференциально-операторных уравнений с дифференциальными операторами в гильбертовом пространстве, посвящена монография /12 /, хде возмой-

• -несть отррсктнш: яостгяовок краевых задал исследована в терминах правильных операторов (оператор, обратный к правильному, дает единственное и устойчивое решение краевой задачи). При этом общий вид граничных условий, дающих правильный оператор, получен только длн уравнений первого порядка, для уравнений порядка п. > 2. указаны некоторые краевые- условия, дадаив правильный оператор.

В главе П подучена достаточно полная картина корректности краевых задач (10) при -1,2 в банаховом пространстве и в пространствах обобщенных функций.

Глава Д состоит из § 8-12, В § 8 получено простое необходимое условие корректности краевой задачи (10) в терминах $(£>} - спектра оператора Ь и А - множества собственных значений соответствующей (10) скалярной задачи

[»¿^ — О, I-1,... и*.

.Определение 10, Задача (10) называется корректной на

Х^Е, 1-1.2....* С^-Е). ¿сС{[0,Т],£Ь вслида

любых 6 Х1 » € 2 ее решение существует, единственно и устойчиво по отношению к , .

Теорема 8.1, Пусть существует последовательности ЬЛсА и такие, что .

Тогда задача (10) некорректна, (Доказательство дано длй случая м.-2 .) а

В частности, для корректности краевой задачи (10) необходимо, чтобы

!

Основная часть § 8 посвящена исследованию корректности краевых задач (10) при п. « 2 :

и,'Ш - ЬиЮ*^). 0«ит. <12>

ий- -^^.^и'^ч^иШ^^аЧТ)»}:^«^.

с оператором • Лда уравнения с таким оператором най-

ден общий вид решения и показано, что задача (12) с регулярными граничными условиями, в общем случае, некорректна, а с нерегулярными может быть как корректной, так и некорректной.

Определение II. Граничные условия задачи (12) называют-» ся регулярными в следующих трех случаях /24/ .:

1) с1г< + О,

2) 3 1

3) -о, <4^0,

где сЦ- - миноры, составленные из 1-го и" ^ —го столбцов матрицы граничных условий

( ¿11 Ь К*

\ о1гг |>г2 I,

остальные условия называются нерегулярными.

Нерегулярные условия, для которых с!^0, с!,г ч ,

назовем условиями типа Коши.

Теорема 8.3. Краевая задача (12) с оператором и

то задача корректна на Хл - = Т)(Ь), 2 — С , если

регулярными граничнамя условиями в общем случае некорректна. Задача <12) заведомо некорректна для оператора , уд о-

влв1ворявдеро условию

ЛЫ -О (Л^бСЕЛ), (13)

и регулярных граничных условий, за исключением случая 2),

¿л * /. , . > [ , а /Щгь ~ и*)

Теорема 8.5, Цуеть оператор {Ь^ удовлетворяет условию (13), 1)(Ь) С ' а граничные условия нерегулярны. Тогда, если

I 'Аи * «1« + О, « О

«=, V - Г \

а ч си 0, + 0 ,

то при условии - + ^ 4 6 (БСО)

г С(|Ь ,

задача корректна на "Ь(Ь), С > если

Ш с|а ч = 0 ,

то задача некорректна, а

¡Здесь 5 (Т)- ^-функция с производящим оператором

'Ь . ■

Полученные положительные результаты Основаны на использовании общего вида решения, указанного в теореме 8.4, отрицательные результаты основаны на теореме 8.1.

Условия корректности краевых задач (12), полученные в теореме 8.5, для гиперболического случая, и условия, полученные в / 5/ , дщ эллиптического случая, являются условиями, выражаемыми через функции оператора Е> - С (О- 5(1) и

V (.1) • соответственно. В отличие от них квойндашк« условие корректности (II) - это условие на спектр самого оператора В . Желание получить близкое к необходимому простое достаточное условие, привело в § 9 главы П к условию типа (II):

М) П Л - ф, (14)

ч

где 6 (£>) и А некоторые расширения множеств ¿(6) и Л в С ~ специальным образом построенном расширении комплексной плоскости элементами , позволяющем различать стремление точек из множеств А и €>(£)) к бесконечности по разным направлениям, Додо в том, что поскольку для корректности задачи, кроме условия Ш), необходимо, чтобы точки из А и 6 (£>) не могли неограниченно сближаться, условие (II) достаточным не является! переход к зашкашш множеств Л и <э ( Ь) в расширенной комплексной плоскости С проблему нахокдокия достаточных условий не решает, так как условие

ёПь) П1 - у

не является ни необходимым, ни достаточным. (Этот факт можно проследить на примере корректности задачи Дирихле и некорректности задачи Кош для уравнения Лапласа в подходящим образом выбранных пространствах.) Причина указанного явления в том, что замыкание в С не учитывает возможности стремления точек иа множеств (5(Ь) и А к бесконечности по разным направлениям.

' В § 9 главы П для операторов и Ь{э) указана

структура множеств А и в зависимости от гранич-

ных условий:

Теорема 9.1. Для оператора 8>1Р) ют Ь(э) я граничных условий типа Коши имеет место равенство

¿(е>) о л - б(ь>$п

душ остальных граничных условий -

0 Л -¿(ь)г ааг .

Показано, что условие (14) вместе с некоторым дополнительным условием на резольвенту является достаточным для существования единственного решения задачи

иЧ^-ЬиШ. 0*-иТ, (15)

и-ь М (Ъ-ЕЬ-и.

с оператором и ; указан вид решения в форме ин-

теграла Кош-Тейлора - теоремы 9.2 - 9.5.

Сравнение результатов § 8, 9 с результатами /5/ о корректности. краешс. задач в эллиптическом- случае позволило получить в § 10 достаточно полную картину корректности краевых задач для широкого класса операторов в' банаховом пространстве. Результаты сравнения представлены в виде таблицы, из которой хорошо видна двойственность в вопросе корректности краевых задач в гиперболическом и эллиптическом случаях.

Кроме того, в § 10 показана необходимость условий, обобщающих (II), для некоторых полных уравнений второго порядка»

Рассмотренные в § 8-10 уравнения с операторам Ь^ и относятся к так называемым стабильным уравнениям /13/. Для этих уравнений в § 8-10 в соответствии о результатами ДЗ/ показало, что существуют локальные граничные условия, дающие корректные краевые задачи - задача Коши з ги- . перболическом случае и задача-Дирихле - в эллиптическом, а кроме того, существует круг нелокальных граничных задачч примыкакщих соответственно к задаче Коши и задаче Дирихле.

В § II главы П рассмотрена, краевая задача для уравнения первого порядка в банаховом пространстве

^'Ш- Au.lt), 0* иТ,

с оператором А , в общем случае не являющимся стабильным. Указаны условия на спектр оператора Д и параметр ц, , при которых существует единственное радение - теоремы IX.2-11.4.-'

Идейная основа полученных в § II результатов, так лее как и результатов § Э - использование операционного исчисления в форме интегралов Коши-Тейлора.

Это операционное исчисление и полученные на его основе формулы решения краевых задач дая диф^еренциально-оператор-ных уравнений монно рассматривать как обобщение операционного исчисления для дифференциальных" операторов, построенного в теории псеадодифференциадьных операторов, в частности псевдодафференциальных операторов бесконечного порядка, применяемых при решении краевых задач для дифференциальных уравнений / 25 / .

В последнем § 12 главы П рассмотрена краевая задача (15) с самосопряженным оператором £> в гильбертовом пространстве 14 . Для рассматриваемого достаточно простого объекта получили свае завершение исследования § 8-10: показано, что для корректности (полукорректности) краевой задачи (15) необходимо и достаточно условие

3Г0 {/¿Л Л Т1? (А) =

где - множество собственных значений оператора В •

II (Ю "" 9-окрестность множества А ( "И-(А.) и А уз ^

зависят от граничных условий) - теоремы 12.1-12,2.

Доя задач, с невыполненным условием (16), указаны пространства обобщенных функций Ц (У СЩ , в которых эти задачи являются корректными в слабом смысле, или корректными по Соболеву - теоремы 12.3-12.4.

Определение 12. Назовем задачу (15) корректной на

«V

С (4 , или на X в пространстве Ц , если для любых

I £ V ,1-1,2 > ее решение (обобщенное) существует, 1 ' т- >

единственно и устойчиво в пространстве н

Полученные в § 12 результаты лежат в русле предложенного В.К.Ивановым /20/ нового направления в изучении некорректных задач: исследования вопросов существования решения некорректных задач для операторных уравнений в пространствах "новых" обобщенных функций, построенных в работах /27,28/ и др. В случае дифференциальных уравнений идея выбора для решений краевых задач подходящих пространств обобщенных функции реализована в работе Ю.А.Дубинского /25 /.

Глава Ш посвящена проблемам устранения расходимостей

разного рода, в частности- регуляризацяа некорректных задач для дифференциально-операторных уравнений»

Некорректные задачи для диффэренциалько-онараторяых уравнений - сравнительно молодое направление в теории некорректных задач. Основные результата» подучат» здесь» «»носятся к гильбертовым пространствам*

Первая часть главы Ш (§ 13-15) косвяндаа иоояедовашро в банаховом пространстве возможности я методов регуляризации некорректной задачи Копи для дифференциально-операторных уравнений первого порядка и основных некорректных задач для дифференциально-операторных уравнений второго порядка задачи Кош в эллиптическом случав и задачи Дирихле в гиперболическом случае.

Идейной основой полученных здесь результатов является использование результатов первых глав диссертаций с корректности краевых задач для указанных уравнений. При втом следует подчеркнуть, что развитые там дифференциально-операторные метода позволяют не только дать ответ о корректности краевых задач для уравнений более широкого класса, чем дифференциальные, но и, что не менее ваяно для решения некорректных задач, позволяют исследовать природу их некорректности и развивать общие метода решения дая задач, имеющих одинаковый характер некорректности.

В § 13 главы Щ рссладована некорректная задача Кош для уравнения первого порядка

и'Ш-М«, 0-4ит, и(0)-и„ (17)

с оператором Д , удовлетворяющим условию

т»® ишшьки^ио"1, (18)

«да ,

где

Показана возмойносйь {регуляризации этой задачи методом ква-зиойращешш и методом краевых задач:

Теорема 53.-2.-Пусть для оператора ({ выполнено условие (18),, ">и существует решение задачи (I?) при Н; —1Г тогда

^ ^—-¿г^елрСи-ех'ЮЙа.(¡ад

7

являетгй дягуляризущгод алгоритмом задачи (17) при ^ — Т .

Фйфша '13.3. Пуоть для оператора Д выполнено усло-_

= £ и существует решение задачи (17) щ>и

'Ь Т , тогда

является регуляризувщим алгоритмом задачи (17) при 1:;»О,

1<Т . *

В § 14 аналогичные результаты получены дои некорректной задачи Коши для уравнения второго порядка

и'ЧО-Ый, ЬО. иЮ^и*. ¿(О-и*. (22)

с оператором Е>(э) - теоремы 14.1, 14.3.

Ддя метода квазиобрацения подучены точные по порядку оценки погрешности, для метода краевых задач - оценки сверху, на основе полученных оценок дано сравнение указанных методов регуляризации. <

В § 15 главы Ш показано, что некорректная задача Дирихле для уравнения (22) с оператором , в отличие от некорректной задачи Коши, в общем случае не может быть регуляризована с помощью действительного параметра методом краевых задач, то есть показано, что при регуляризации задач Коши и Дирихле имеет место двойственность, подобная двойственности в вопросе корректности этих задач.

В связи с указанным фактом представляет интерес построение рехуляризующих алгоритмов для конкретных некорректных задач Дирихле. В § 15 рассмотрена задача Дирихле для уравнения колебаний

^и "к«» 0«1*Т, 0 иД0,Ь)~ а(*.Т)-ц.т.

Построен регуляризующий алгоритм решения рассматриваемой задачи в обычном для некорректных задач предположении, что решение при точно заданных и-, и ит существует. Показано, что в качестве регуляризувдего алгоритма может быть взят конечный отрезок ряда Фурье. При условии, что Ие ,

ит - гладкие функции, а - бесконечная непрерывная дробь с ограниченным элементом (множество таких дробей всю-

ду плотно в й ), получена достаточно хорошая оценка сходимости алгоритма. Кроме того, получена оценка погрешности, возникающей при замене дробей с ограниченным элементом рациональными числами, доказывающая устойчивость полученного алгоритма относительно Т при фиксированном I - теоремы 15.1 - 15.3.

Для задач, рассматриваемых в теории некорректных задач, характерно, что решение, зачастую единственное, предполагается существующим, но нарушается устойчивость, то есть, если это задачи в форме уравнений первого рода (6), то оператор

^ 1 предполагается существующим, но не являющимся непрерывным. При этом регуляризущий алгоритм , введенный А.Н.Тихоновым /15/ при соответствующей связи мевду параметрами регуляризации £ и погрешности , позволяет восстановить устойчивость решения.

Кроме некорректных задач, в которых нарушается третье условие корректности по Дцамару - условие устойчивости, существует множество других некорректных задач, связанных с несовершенством .математических моделей, приводящих к различным расходящимся процессам - расходящимся интегралам в квантовой теории поля /30/ и в теории обобщенных функций /I /, расходящимся рядам и т.д.

В § 16 главы Ш развита предложенная В.К.Ивановым /20 / общая -схема, объединяющая методы устранения расходимостей разного рода, а именно, методы регуляризации расходящихся интегралов в теории обобщенных функций и в квантовой теории пата, методы суммирования расходящихся радов, в частности, асимптотических, методы регуляризации некорректных задач.

Основная вдея предложенной схемы состоит в том, что во

всех перечисленных задачах задан неограниченный оператор Р с областью определения 1)(Р) С Г и областью значений

2 ( р) (где Ц - линейные•топологические пространства) и строитбя Р -"расширение" оператора Р с области определения на. все пространство р следующим образом: элемент | € р* с учетом заданной дополнительной информации раскладывают в сушу Л

| - ^ - ь,. ^ е 1ХР),

и полагают Р ^ Р^ . Элемент 1и назвал контрчленом, Р<^, - квазизначением.

Для вариационных методов решения некорректных задач -метода квазирешений, метода невязки и метода Тихонова, дли регуляризации по Адамару расходящихся интегралов и для некоторых методов суммирования расходящихся рядов указаны конкретная реализация обшей схемы и характер построенных квазизначений в зависимости от задаваемой дополнительной информации - теоремы 16.1-16.5. По аналогии о понятием рвгуляризую-щего алгоритма в теории некорректных задач введено понятно регуляризации по параметру расходящихся интегралов.

В последнем § 17 главы Ш установлена связь мезду регуляризацией по параметру расходящихся интегралов и регуляризацией некорректных задач для дифференциально-операторных уравнений. Эта связь показана на примера некорректной задачи Коши для уравнений первого порядка (17) в банаховом пространстве £ .

Известно/5/, что если оператор Д удов-

летворяет условию

2К>о, п (ь.\>и>)-~

(■г.в, пороадает аналитическую полугрушу), достаточному для корректности задачи Коши (17), то для il0 £ I) (А') с {Г ее решение макет быть записано в форме интеграла Коши-Тейло-ра

It it) = - ^ Je,p(\i) 1 h

При этом оператор v(0 в силу его полугрупповых свойств называют операторной экспонентой - ехр(Ц) Если же оператор ([ порождает некорректную задачу Коши, то интеграл (23) является, в общем случае, расходящимся.

В теоремах 17.I - 17.4 показано, что рогуляризующие алгоритмы решения некорректной задачи Коши (17), полученные методом квазиобращения (20) и методом краевых задач (21), представляют собой регуляризацию расходящегося интеграла (23).

Кроме того, на этом пути, связывающем регуляризующие фггоритда с регуляризацией расходящихся интегралов, расширен известный результат В.П.Маслова об эквивалентности существования решения и сходимости регуляризущаго алгоритма /31/ . Этот результат был получен для случая алгоритма типа Лаврентьева, регуляризундего уравнение (6) в гильбертовом пространстве. В § 17 показано, что регуляризующин алгоритм РеТцЗ> подученный методом квазиобращения, обладает свойством Маслова, то есть для него эквивалентны сходимость QaT U. при £ и существование решения задачи

(17). Поэтому Ьт. К£ТЩ> для тех \1„ , где он существует, моает*$ыть взят за определение (ДТ) ц.0 на классе операторов Д , значительно более широком, чем это было сделано ранее.

Заключение

Из вышесказанного следует, что проблема исследования

г

корректности краевых задач для дифференциально-операторных уравнений является важный как для дальнейшего развития твори, так и для ее приложений. В этом направлении в диссертационной работе получены следующие основные результата, которые и выносятся на защиту:

1. Построена теория М » Н оператор-функций, на основе которой получены теоремы о необходимом и достаточном условии корректности задачи Кошк для полного уравнения второго порядка, исследована связь с корректностью системы и решен вопрос о главном операторе в уравнении.

2. Получены простые необходимые и близкие к ним достаточные условия корректности общей краевой задачи для двучленных уравнений второго порядка. На основе этих результатов показана двойственность в вопросах корректности краевых задач для уравнений в гиперболическом и эллиптическом случаях и в вопросах регуляризации соответствующих некорректных задач. Построены регуляриэующие алгоритмы решения некорректных задач Коши и Дирихле.

3. Развита общая схема устранения расходимостей, предложенная В.К.Ивановым. На основе этой схемы установлена связь мавду регуляризацией некорректных задач для ^дийгерзнцкально-оиераторных уравнений и регуляризацией расходящихся интегралов.

Литература

1. Гельфанд И.М., Шилов P.E. Обобщенные функции и действия над ниш. B.I. - М. : Ш, 1958. - 470 с.

2. Гелъфадц И.И., Шилов Г.З. Некоторые вопросы теория дифференциальных уравнений. В.З. - Н.: IS58. ~ 274 с.

3. Хилла 3., Филлипс P.C. Функциональный анализ и полугруппы. - М.: КИЛ, I9S2. - 829 с.

4. йосида К. Функциональный анализ. - М. : Мир, 1967. -624 с.

5. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - И.: Наука, 1967. - 464 с.

6. Рихтмадер Р. Принципы современной математической физики. - М.: Мир, 1982. - 486 с.

7. Sova M. Problèmes de Cauchy pour équations hyperboliques opérationnelles a coefficients constants non-bornés // Ann. scuola norm. super. Pisa. Sei. fia. e mat.- 1968,- Vol.22, no•1•— P.67-100.

8. Keubrander F, Well-posedness of higher order abstract Cauchy problems: Diss.Math.- Tubingen: Eberhard-Karls-Univ., 1984.- 120 p.

9. Fattorini H.O. Second order differential equations in Ba-nach space.- Amsterdam etc.:Uorth-Holland, 1985.- 314 p.

10. Travis G.C., Webb G.F. Cosine families and abstract non linear second order differential equations // Acta Math. Acad. Sei. Hung.- 1978.- Vol.32, no.3-4.- P.75-96.

XI. Хермнндер JI. Линейные дифференциальные операторы с частным производными. М.: Мир, 1965. - 379 с, 12. Дззин A.A. Обпдае вопросы теории граничных задач. - М.;

Наука, i960. - 20? с.

13. Романко В.К, Граничные задачи для общих дифференциальных операторов с выделенной переменной: Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат.наук: 01.01.02. - M., 1980. - 26 с.

14. Пташник В.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, - Киев: Нау-кова ¿умка, 1984. - 264 с. . ,

15. Тихонов А.И., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - U. : Наука, 1979. - 285 с.

16. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.И. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. - М.: Наука, 1978. -206 с.

17. Лавлентьев i.i.M., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. ~ М. : Наука, 1980. - 286 с. •

18. Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. - Минск, Наука и техника, 1981. - 343 с.

19. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. ~ М.: Мир» 1970. - 336 с.

20. Иванов В.К. Некорректные задачи и расходящиеся процессы // Успехи мат.наук. - 1985. - Т.40, вып.4. - C.I65-I66.

21. Fattorini H.О. Ordinary différentiel équations in linear topological spaces.II // J. Différent. Equat.- 1969.- Vol. 5, no.6,- F.50-70.

22. Любич Ю.И. Классическое и локальное преобразование Лапласа в абстрактной задаче Коши // Успехи мат.наук. -1966. - Т.21, »3. - C.3-6I.

23. Ката Т. Теория возцущеяий линейных операторов. - М.: Мир, 1972. - 740 о.

24. Наймарк И.А. Линейные дифференциальные операторы. - М.: Наука» 1969. - 526 с.

25. Дубинский S3. А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и ее приложения к математической физике // Успехи мат,наук. - 1982. - Т.37, $ 5. -с.96-137.

26. Иванов В.К. Слабо корректные задачи и обобщенные функции // Сиб.мат.журн. - 1987. - Т.28, й 6.- С.53-59.

27. Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций. М,: Наука, 1974. - 400 с.

28. Pilipovic S. Generalization of Zemanian spaces of generalized functions which have orthonormal series expansions // SIAM J. Math. Analysis.- 1986.- Vol.17, no.2.- P.477-

484.

29. Карасик Б.Г. Условно-корректная задача Коши для дифференциально-операторных уравнений и их приложений. -Дис. ...канд.физ.-мат.наук: 01.01.02. - Баку, 1978. -106 с.

30. Петрина Д.Я,, Ребешсо А.Л. Проекционно-итератхшный метод решения уравнений квантовой теории поля и его связь с теорией перенормировок. Уравнения квантовой теории поля и некорректно поставленные задачи математической

.физики // Теор. и матем.физика. - 1980» - Т.42, £ 2. -С.167-183.

31. Маслов В.II. Существование решения некорректной задачи эквивалентно сходимости регуляризационного процесса //

Успехи мат.наук. - 1968. - Т.23, вып.З. - С.183-184.

Работы автора по теме диссертации:

32. Мельникова й.В. Метод квазиобращения для абстрактных параболических уравнений в банаховых пространствах // Сб. "Методы решения условно-корректных задач". - Свердловск, УНЦ ЛН СССР, 1975. - С.31-37.

33. Мельникова И.В. Полутруцповой подход к задачам Коши и1 Дирихле // Тез.докл. Всесоюз.школы по теории операторов в функциональных пространствах. - Минск, 1978. - С.92-93.

34. Мельникова И.В», Морнова В.М. О задаче Коши и методе квазиобращения для уравнений второго порядка в банаховых пространствах // Дифференц.уравнения. - 1979. - Т.15, № 4. - С,613-618.

35. Мельникова И.В. О задаче аналитического продолжения и обратной задаче Коши // Всесоюз.конф. по некорректно поставленным задачам. - Фрунзе, 1979. - С.80.

36. Мельникова И.В. Связь между задачами Дирихле и Кош // Дифференц.уравнения. - 1980. - Т.16, И 2. - С.311-316.

37. Мельникова И.В. Решение обратной задачи Коши методом . квазиобращения // Изв. вузов. Математика. - 1981. -

Я 6. ~ С.36-38.

38. Мельникова И.В. Регуляризация задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Тр. Всесоюз.школы-семинара "Методы решения некорректно поставленных задач". - Новосибирск. - 1982. - С.229-230.

39. Мельникова И.В. Оператор-функции , и корректность задачи Коши для урайнения'вторсго порядка /

Урал.гос.уц-т. - Свердловск, 1982. - 15 с, - Деп. в ВШЮТ, & 4537-82*

40. Мельникова Й.В. Корректность задачи Кош для уравнения второго, порядка и свойства обобщенной резольвенты / Урал, гоо.ун-т. - Свердловск, 1982. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ, № 5523-82.

41. Мельникова И. В. О задаче Коши для уравнения второго порядка // Дифферещ. уравнения. - 1983. - Т. 19, № 3.

. - С.537-638.

42. Мельникова И.В., Кудрявцев А.Г. Регуляризация задачи Ко-ши для уравнения первого порядка в банаховом пространстве с помощью краевых задач // Тез.докл. Всесоюз.школы "Теория и методы решения некорректно поставленных задач".

- Новосибирск, 1983. - С.142«

43. Мельникова И.В., Кудрявцев Л.Г. Регуляризация задачи Коши для уравнения первого порядка в банаховом пространстве с помощью краевых задач. - Тр. Всесоюз.школы "Теория и методы решения некорректно поставленных задач".

- Новосибирск, 1983. - С.260-261.

44. Мельникова И.В., Филинков А.И. Классификация и корректность задачи Кот для уравнения второго порядка // Докл. АН.СССР. - 1984. - Т.276, й 5. - С.1066-1071.

45. Мельникова И.В. О решении некорректной задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений второго порядка // Дифференц.уравнения. - 1984. - Т.20, № 6. - С.1092-1095.

46. Мельникова И.В. Семейство М » М функций и уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Изв. вузов. Математика. - 1985. - В 2. - 0.45-52.

47. Мельникова И.В., Кудрявцев А.Г. Краевая задача для уравнения первого порядка в банаховом пространстве // Изв. вузов. Математика. - 1985. - и 3. - С.1-5.

48. Мельникова И.В. Теорема типа Миядеры-Феллера-^иллипса для полного уравнения второго порядка в банаховом прост-

• ранстве // Изв. вузов. Математика. - 1985. - И 4. -С.34-40.

49. Мельникова И.В., Фрейберг А.Ю. О регуляризации краевой задачи для уравнения колебаний // Журн. вычисл.математики и мат.физики. - 1985. - № 5. - С.783-789.

50. Мельникова И.З., Фшшнков А.И. Дифференциально-оператор~ ные методы для уравнений в частных производных высшего порядка / Урал.гос.ун-т, - Свердловск, 198&. - 15 с. -Деп. в ВИНИТИ, » 464-®.

51. Мельникова И.В., Фрейберг А.Ю. О регуляризации методом краевых задач // Тр. Всесоюз.школы "Теория и методы решения некорректно поставленных задач". - Саратов, 1985. -С. 99.

52. Иванов В.К., Мельникова й.В. Регуляризация расходящихся интегралов и регуляризация некорректных задач // Тр. Всесоюз. школы "Теория и методы решения некорректно поставленных задач", Саратов, 1985. - С.68.

53. Иванов В.К., Мельникова И.В. Регуляризация расходящихся интегралов и некорректные задачи // Изв. вузов. Математика. - 1986. - № 4, - С,44-49.

54. Мельникова Й.В. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений второго порядка // Тез.докл. XI Всесоюз. школы по теории операторов в функциональных прост-

ранетвах. - Челябинск. - 1986. - С.72.

55. Мельникова И.В., Филинков А.И. Свойства решений абстрактной задачи Коши // Тез.докл. XI Всееоюз.школы по теории, операторов в функциональных пространствах. - Челябинск, 1986. - С. 73.

56. Мельникова И.В,, Кудрявцев А.Г. О корректности задачи Дирихле для уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Изв. вузов. Математика, - 1986, № 8. -С.46-52.

67. Мельникова И.В., Фрейберг А.Ю, Регуляризация некорректной задачи Кот дня уравнения второго порядка в банаховом пространстве / Дифференц.уравнения. - 1986, ~ Т.22, X 8. - С.1332-1338.

58. Мельникова И.В., Филинков А.И. О главном по задаче Коши операторе для полного уравнения второго порядка в банаховом пространстве / Урал.гос.ун-т. - Свердловск, 1986. -20 с. - Деп. в ВИНИТИ, Ш 3719-В86.

59. Мельникова И.В. Корректные и некорректные задачи для дифференциально-операторных уравнений // Успехи мат. наук. - 1987. - Т.42, вып.З. - 0.233*234.

60. Мельникова И.В. Регуляризация некорректных краевых задач в банаховом пространстве // Тр.Сиб.школы по услоЕ-но-корректнш задачам ыатеы. физики и анализа, Красноярск. - 1987. - 7 с.

Подписано к печати 28.I0.87r. МН 08423

Формат бумаги 60x84 1/16 Объем 1,80 п.л., 1,58 уч.изд.л.

Заказ 257 Тирах 100 экз.

Отпечатано на ротапринте института математики" СО АН ииО!' 630090, Новосибирск,90, Университетски« проспект,