Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ Б О*

2 5 дек гт

На правах рукописи

Бозиев Олег Людинович

Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типа

Специальность: 01.01.02 - «Дифференциальные уравнения»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАЛЬЧИК, 2000

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук и Кабардино-Балкарском государственном университете им Х.М.Бербекова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки РФ, академик АМАН Нахушев А.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Солдатов А.П., кандидат физико-математических наук, доцент Ксрефов A.A.

Ведущая организация: Кабардино-Балкарская государственная

сельскохозяйственная Академия

Защита диссертации состоится « лъ » декабря 2000 г. на заседании регионального диссертационного совета К200.74.01 в НИИ ПМА по адресу: 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89А в 10-00.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке НИИ ПМА.

Автореферат разослан « 1Лу> ноября 2000 г.

Ученый секретарь ДС К200.74.01:

к.ф.-м. н. filitl^vv Шибзухов З.М.

B-te<f,S2i, 2 -з OS 3192, -ie Z 2/3-{^оз

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние годы продолжается интенсивное исследование нагруженных уравнений, связанное, в частности, с различными приложениями задач, ассоциированных с этими уравнениями. К последним относятся, например, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирование процессов переноса частиц, некоторые задачи оптимального управления.

К первым работам, касающихся нагруженных интегральных уравнений, следует отнести работы Kneser А.(1914), Лихтенштейна JT.(1931), Гюнтера Н.М.(1932), Назарова Н.Н.(1948).

Общее определение нагруженных уравнений дано A.M. Нахушевым.

Важными примерами нагруженных уравнений являются односкоро-стное уравнение переноса с изотропным рассеянием

уравнение, описывающее распределение давления почвенной влаги, поглощаемой корнями растений

--г и —-

2 ас, 2

гиперболическое уравнение Кирхгофа

з

уравнение вида

г \

и„ - Аи +

сЬс и, = 0, р = сот!> О,

чп

возникающее в теории оптимального управления

В силу нелокальности нагруженных уравнений весьма актуальным является исследование вопроса существования и единственности классических или обобщенных решений краевых и смешанных задач для таких уравнений. Кроме того, представляет значительный интерес разработка численных методов решения подобных задач.

Диссертационная работа посвящена исследованию смешанных задач для класса нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа.

Цель работы. Доказательство существования и единственности обобщенных решений смешанных задач для нагруженных гиперболических уравнений и построение алгоритма их приближенного решения.

Общие методы исследования. В работе применяются метод компактности, метод Галеркина, теоремы вложения Соболева и численные методы.

Научная новизна. В работе исследованы линейные краевые задачи для нагруженных уравнений гиперболического типа. В ней получены следующие результаты:

1. Для широкого класса нагруженных дифференциальных операторов с частными производными второго порядка гиперболического типа с двумя независимыми переменными получены априорные оценки в норме ¿2 и на их основе доказано существование единственного обобщенного решения третьей смешанной задачи.

2. Для дифференциального уравнения (1) методом априорных оценок доказаны единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для любогор > 0 и его существование прир = 3,4.

3. Предложен метод численного решения смешанной задачи для квазилинейного дифференциального уравнения с даламбертианом в главной части, моделирующего явление гидравлического удара.

4. Доказаны существование и единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для нагруженного уравнения с даламбертианом в главной части, моделирующего явление гидравлического удара.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы для дальнейшего построения теории нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных и при математическом моделировании различных процессов тепломассопереноса в капиллярно-пористых средах, в особенности в почвогрунтах.

Апробация работы. По материалам диссертации сделаны доклады и сообщения на семинаре по современному анализу, информатике и физике Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, совмест-

ном семинаре математических кафедр Кабардино-Балкарского государственного университета, на Куйбышевском областном межвузовском научном совещании-семинаре (Куйбышев, 1984), на Международной конференции по прикладной математике «ЕЬВ1Ш8-97», на международной конференции «Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики», посвященной 80-летию академика РАН и НАН Украины Ю.А. Митропольского (Нальчик, 1997 г.).

Публикации. Основные результаты выполненных исследований опубликованы в шести работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии, содержащей 109 наименований. Объем диссертации составляет 94 страницы.

Во введении сформулирована цель работы, обоснована ее актуальность и практическая значимость, приведен краткий аналитический обзор научной литературы по теме диссертации, изложены основные ее результаты.

Пусть Ьр(0) - банахово пространство измеримых в ограниченной области С2 функций/=Дх) с конечной нормой

Содержание работы.

/

\

р

(/>.?) - - скалярное произведение в

(т

|/М12,е = Я1/М2 а*

Чоп

(£1) — пространство Соболева, (О) — подпространство пространства

(П) функций, обращающихся в нуль на границе сЮ области О, ||-||0 -

о

норма в пространстве Соболева 1Г2'(0).

Пусть X— банахово пространство с нормой Следуя Ж.-Л. Лион-су через Ьр(0,Т; X) обозначим пространство измеримых функций м(?), заданных на (О, Т) и имеющих значения в X, с нормой

, 1<£<СС,

вирелуЦкСОЦ у,Р = со-

<с[0 ,п

В первой главе исследуются смешанные задачи для нагруженных гиперболических уравнений второго порядка.

В §1 рассматривается следующая задача: в области <2 = Ох (0,7), £1 = (0, /) найти решение и = и(х, г) уравнения

к(х'0— +д(х,1)и-а(1)\и(х,1)<к = Дх,1),

дГ дх

дх

(2)

удовлетворяющее начальным и граничным условиям

и(х,0)= <р(х), — (х,0) = у/(х), 0 <х<1, д1

. du

—U-, ,-,-v-,-,, , (4)

Чо,о = А«(о,о, о<t<T,

du

-—(l,t) = ß2u(l,t), 0 <t<T.

Доказана

Лемма. Пусть a{t),q(x,t),f{x,t),a,(t),qt{x,t),k,{x,t)&L2(Q), <p{x), y/(x) e L2 (Q), k(x, t) e (Q) и a(t), ßx,ß2> 0, k,q,a„k„ q,<C2 = const > 0, k,q>Ci = const > 0. Тогда для любого регулярного в области Q решения и(х, t), принадлежащего при любом t > 0 пространству W2 (Q), справедлива априорная оценка

+Kn +IIC +IWL+НЕ. J

где К- положительное число, не зависящее от ç, у/и f.

В §2 рассмотрен вопрос существования решения задачи (2) - (5). Определение. Функция и e Lœ(0,T;fV2(Q)), такая, что и, e Lx(0,T;L2(Q)), называется обобщенным решением задачи (2) ~(5), если она удовлетворяет первому из условий (3) и тождеству

t I

(w,,w)+ , wj + («¡ты, w) - (a, w)• judx + о о

+ k(l, r )ß2u{l, t)w(1) + A(0,r)^,M(0,r)w(0)]i/r = (f + y/,w)

при всех W e W\ (Q) и f bL2 (Q). Имеет место следующая

Теорема 1.1. Пусть (р е (С!), у/ е Ь2 (Д). Тогда существует функция и(х, I) являющаяся обобщенным решением задачи (2) — (5). В §§3-5 для уравнения

1

ии (х, г)- и^ (х, г) + и, (х, Г) ||м {х, I )|р сЬс = О; (6)

о

в области () = 0.х(0,Т), £2 = (0,1) рассмотрена задача: найти решение

уравнения (6), удовлетворяющее начальным и граничным условиям

и(х,0) = (р(х), и,{х,0) = у(х), 0<лг<1, (7)

и( 0,0 = 0, 2/(1,0 = 0, О </<7\ (8)

где <р{х), Ц1(х) — заданные функции, р — целое, р> 2.

о

Определение. Функция (О, Т\ й^1 (П) Г)(Ц)), такая, что и, еХ00(0,Г;£2(0)), называется обобщенным решением задачи (б) - (8), если она удовлетворяет первому из условий (7) и тождеству

(и,, м>)+ и>х)+ (и,, И')]// = 0/,

о

о

при всех И' е (О).

С использованием теорем вложения Соболева, неравенства Гронуол-ла и его нелинейного аналога получены априорные оценки решения поставленной задачи при значениях показателя р = 3, 4 и доказана

о

Теорема 1.2. Пусть (р е у/ е 12(0), р = 3, 4. Тогда сущест-

вует функция и, являющаяся обобщенным решением задачи (б)- (8).

Теорема 1.3. Для любого р > 2 задача (7), (8) для уравнения (б) не имеет более одного обобщенного решения.

В §§1-3 второй главы реализован метод численного решения смешанной задачи для квазилинейного уравнения

д2и 2 дги "К | ,ди _

—5—а -Г + — М-= 0>

дг2 дх2 £>' 'д/

которое играет важную роль при математическом моделировании явления гидравлического удара. Здесь и(х, /) - скорость течения жидкости в трубе диаметра £), а - скорость звука, Я - коэффициент гидравлического сопротивления.

В §§4-6 для уравнения

ии-а2иа+ц

1

|и(х,/)г£с

и. =0

(10)

в области 0 = йх(0,7), О = (0,/) рассмотрена задача: найти решение уравнения (10), удовлетворяющее начальным и граничным условиям

и(*,0) = р(х), и,(*,0) = ^(х), 0 <х<1, (11)

и(0,0 = 0, и(ЛО = 0, 0 <1<Т, (12)

где <р(х), у/(х) - заданные функции, а, ¡л - положительные числа.

о

Определение. Функция (0, Т; IV} (О)), такая, что

и, еЬх(0,Т;Ь2(С1)), называется обобщенным решением задачи (10) - (12), если она удовлетворяет первому из условий (10) и тождеству

ю

(и„м>)+ |

/ / \ -

"„IV

\ 0

при всех -м еШ^О).

На основе теорем вложения Соболева и неравенства Гронуолла получены априорные оценки, которым удовлетворяет любое решение задачи (10)-(12). Доказана

о

Теорема 2.1. Пусть (р £ ^(С!), ц/еЬ2(0.) . Тогда существует обобщенное решение задачи (10) - (12).

Кроме того, имеет место

Теорема 2.2. Функция и(х, !), являющаяся обобщенным решением задачи (10) - (12), единственна.

и

Публикации по теме диссертации.

1. Бозиев О.JI. О слабых решениях квазилинейной системы уравнений в частных производных первого порядка. // Дифференциальные уравнения (Математическая физика). Тезисы докладов участников Куйбышевского областного межвузовского научного совещания-семинара 20-25 мая 1984 г. Куйбышев, 1984.

2. Бозиев О.Л. О некоторых решениях одного гиперболического уравнения. //Молодежь и естественные науки. Тезисы докладов и сообщений республиканской научно-теоретической конференции, посвященной 40-летию Победы советского народа в Великой Отечественной войне. Нальчик, 1985.

3. Бозиев O.JI. О слабых решениях одного гиперболического уравнения. // Сообщения Академии наук Грузинской ССР, 1987, т.128, № 3.

4. Бозиев O.JI. Об одном способе расчета одномерного течения жидкости в горизонтальной трубе.// Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сборник научных трудов. -Киев: Институт математики HAH Украины, 1994.

5. Бозиев О.Л. Расчет одномерного течения жидкости в наклонной трубе.// Вестник КБГУ. Вып. 2. Серия физ.-мат. наук. Изд. КБГУ. Нальчик, 1996.

6. Крахмалев В.Ю., Байрактаров Б.Р., Знаменский B.C., Бозиев О.Л., Буздов Б.К. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2000610430. // Реестр программ для ЭВМ. Москва, 2000.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Существование и единственность решений смешанных задач для нагруженных гиперболических уравнений второго порядка.

§ 1. Априорная оценка решения смешанной задачи для нагруженного волнового уравнения.

§ 2. Существование обобщенного решения смешанной задачи для нагруженного волнового уравнения.

§ 3. Априорные оценки решения первой смешанной задачи для нагруженного уравнения, возникающего в теории оптимального управления.

§ 4. Существование обобщенного решения задачи (1.23) - (1.25) прир = 3 яр = 4.

§ 5. Единственность обобщенного решения задачи (1.23) - (1.25).'.

Глава II. Приближённое решение нелинейного гиперболического уравнения методом редукции к нагруженному уравнению.

§ 1. Уравнения неустановившегося движения воды в трубопроводе.

§ 2. Редукция задачи (2.3) - (2.5) к смешанной задаче для нагруженного уравнения второго порядка.

§ 3. Решение задачи неустановившегося движения жидкости в трубе.

§ 4. Априорные оценки решения первой смешанной задачи для нагруженного однородного уравнения.

§ 5. Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для нагруженного однородного уравнения.

§ 6. Единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для нагруженного однородного уравнения.

В последние годы продолжается интенсивное исследование нагруженных уравнений, связанное, в частности, с различными приложениями задач, ассоциированных с этими уравнениями. К последним относятся, например, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирование процессов переноса частиц, некоторые задачи оптимального управления.

К первым работам, касающихся нагруженных интегральных уравнений, следует отнести работы Kneser А.[93],[94], Lichtenstein L.[95], Гюнтера Н.М.[21], Назарова Н.Н.[54].

Термин "нагруженное уравнение", впервые появился в работах Кнезера [93], [94] применительно к интегральным уравнениям. Определение нагруженного интегрального уравнения, данное Кнезером, приведено в книге В.И.Смирнова [68].

Метод исследования нагруженных интегральных уравнений был также предложен Н.М.Гюнтером [21].

Общее определение нагруженных уравнений дано A.M. Нахушевым в работе [55]:

Определение 0.1. Пусть П— n-мерная область евклидова пространства R" точек х = (xj, ., х1г). Заданное в области Q дифференциальное, интегро-дифферетщальное или функциональное уравнение Lu = f(x), называется нагруженным, если оно содержит некоторые операции от следа искомого решения и - и fx) на принадлежащих замыканию Q многообразиях размерности меньше п.

Определение нагруженных дифференциальных и интегральных уравнений приведено в [58, с.90, с.94].

В качестве важнейших примеров нагруженных дифференциальных уравнений можно привести односкоростное уравнение переноса с изотропным рассеянием х2 + и = |и(х,и(х) = и(х{,х2), хеЯ2, или уравнение, описывающее распределение давления почвенной влаги, поглощаемой корнями растений д2и . ди удххдх2 дхх J М д

Эх. I

2 0

Среди начальных и краевых задач для дифференциальных уравнений, относящихся к классу нагруженных, наиболее исследованы задачи для гиперболического уравнения Кирхгофа вида иа - а\

А и = /(х,/1) и его обобщений (см., например, [1],[8],[61],[79],[80],[81],[83],[103],[104], [105]), а также задачи для параболического уравнения вида \ и2хс1х и, - а|

Аи = 0 возникающие при изучении проникновения электромагнитного поля в вещество, коэффициент электропроводности которого зависит от температуры ([20], [22],[23],[24],[25],[43]).

Менее изучены задачи для дифференциальных уравнений вида и„ и( =0, р — сот1 > 0, возникающее в теории оптимального управления (см. например, [47],[102],[103]).

Представляет также интерес исследование систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, содержащие нагруженные уравнения, например система, получаемая из обобщенного волнового уравнения^], щ =

71

1+ |У2(х,/)Й6С Л

V 0 или модель популяции [87] дБ дБ да Ы о о 3/5/ . оа сЛ а также некоторые другие системы ([66],[82],[85],[96],[98]).

Обширная библиография по нагруженным уравнениям приведена в [26].

Решение начально-краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных во многих случаях можно найти с удовлетворительной точностью методом редукции к нагруженным дифференциальным уравнениям.

Пусть Ь - дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор с областью определения И(Ь), а Ь - нагруженный дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор такого же типа и порядка, что и Ь, который с той или иной степенью точности аппроксимирует Ь. Метод редукции к нагруженным уравнениям, состоит в замене уравнения

Ьи=/(х), иеВД, (0.1) аппроксимирующим уравнением

Lu = f{x\ и е D(L) = D(L). - (0.2)

Определение 0.2 [55]. Функция и е D(L) называется приближенным решением, задачи (0.1), если она является точным (или приближенным) решением аппроксимирующей задачи (0.2).

Сущность метода редукции к нагруженным уравнениям раскрыта в [52] на некоторых модельных задачах.

Приведем используемые в работе определения и обозначения. LP(Q) - банахово пространство измеримых в ограниченной области Q функций f=fx) с конечной нормой

1/(4 р,п

J| f(x)\Pdx f>g) ~ \f(x)g(x)dx - скалярное произведение в Z2(Q); п т f(xALo=\ \\\fi^tfdxdt on о пространство Соболева, ^(О.)- подпространство пространства (О) функций, обращающихся в нуль на границе дС1 области О,

1 и(х) о,п и{х)\ + ди(х) дх

Л Л dx

- норма в пространстве Соболева (Q) .

Пусть Х- банахово пространство с нормой ||-||А. Следуя Ж.-Л. Лионсу[42] через Ьр(0,Т; X) обозначим пространство измеримых функций заданных на (0, Т) и имеющих значения в X, с нормой

U\

Px dt 1 < p < со,

L„(0,T;X) p- GO.

Основными методами, используемыми в работе, являются метод компактности и метод Галеркина.

Перейдем к краткому изложению содержания работы. Глава I.

В первой главе исследуются смешанные задачи для нагруженных гиперболических уравнений второго порядка.

В §1 рассматривается следующая задача: в области () = О х (О, Т), О = (0, /) найти решение и = и(х, уравнения д и д df дх дгЛ 1 k(x,t)— + q(x,t)u-a(t) \u(x,t)dx = f{x,t), дх) nJ

0.3) удовлетворяющее начальным ы граничным условиям

Зы и(х,0)= <р(х), —(х,0) = у/(х), 0 < х < /,

Ot (0.4)

CjU

0,0 = Ди(0,0, 0 <t<T, ох (О.Ь) t) = p2u(!,t\ o<t<т. дх (0.6)

Доказана

Лемма. Пусть a(t),q{x,t), f (x,t),at(t),q ^x^^^xj) e L2(Q), (p(x), y/(x) e L2 (Q), k(x, t) g Wx2 (Q) и a(t), Д, p2 > 0, k, q,apkp qt<C2= const > 0, k,q>C} = const > 0. Тогда для любого регулярного в области Qрешения и(х, t), принадлежащего при любом г > О пространству И7^ (О), справедлива априорная оценка и,

П+Ыко + и

2Л1 ЩГ

2,2 2

2,П где К ~ положительное число, не зависящее от ср, у/и/.

В §2 рассмотрен вопрос существования решения задачи (0.3) - (0.6). Определение. Функция и е ^(0,7";^'(О)), такая, что и1 е А» {0,Т;Ь2 (О)), называется обобщенным решением задачи (0.3) -(0.6), если она удовлетворяет первому из условий (0.4) и тождеству

I I и,, м?) + ^¿ких, и'д) + (ци, м;)-(а,м?)- ^ыск + о о Щ, г)/32и{1, т)л»{1) + к( 0, г) Д и(0, г)и<0)]^ = (/ + м>) при всех уу е ^ (О) и / е 12 (0. Имеет место следующая

Теорема 1.1. Пусть (р е И'2' (£)), ^<е£2(0). Тогда существует функция и(х, являющаяся обобщенным решением задачи (0.3) — /77.6/ В §§3-5 для уравнения 1 ии (х, /) - м (х, /) + и< (х, /) ||и(х, 0 Р сЬс = 0 ^

0.7) в области 0. = П х (0, Т), О = (0,1) рассмотрена задача: найти решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным и граничным, условиям и{х,0) = (р{х), и( (х,0) = ц/(х), 0< х < 1, (0.8) и( 0,0 = 0, и( 1,0 = 0, 0 <Г<Т, (0.9) где <р{х), у/(х) - заданные функции, р - целое, р> 2.

Определение. Функция такая, что и( (О,Т;Ь2(0.)); называется обобщенным решением задачи (0.7) - (0.9), если она удовлетворяет первому из условий (0.8) и тождеству

I г при всех м? е

С использованием теорем вложения Соболева, неравенства Гронуолла и его нелинейного аналога получены априорные оценки решения поставленной задачи при значениях показателя р - 3, 4 и доказана о

Теорема 1.2. Пусть (р е \У2 (О), у/ е Ь2(0), р = 3, 4 . Тогда существует функция и, являющаяся обобщенным решением задачи (0.7)- (0.9).

Теорема 1.3. Для любого р > 2 задача (7), (8) для уравнения (6) не имеет более одного обобщенного решения. Глава II.

В §§1-3 второй главы реализован метод численного решения смешанной задачи для квазилинейного уравнения д2и 9 д2и X | ди дГ а и\ дх2 В 1 0, которое играет важную роль при математическом моделировании явления гидравлического удара. Здесь и(х, - скорость течения жидкости в трубе диаметра £) ,а - скорость звука, Я - коэффициент гидравлического сопротивления.

В основе метода лежит предложенный А.М.Нахушевым метод редукции к нагруженным дифференциальным уравнениям.

В §§4-6 для уравнения ии ~а 11 хх +,и

111 = о

0.11)

0-12) (0.13) в области {2= Ях(0,Т), О = (0,1) рассмотрена задача: найти решение уравнения (0.11), удовлетворяющее начальным и граничным условиям м(х,0) = </?(х), иг(х,0) = у/(х) , 0 <х</, и( 0,0 = 0, м(/,0 = 0, 0<t<T, где (р(х), у/(х) — заданные функции, а, ¡и - положительные числа. о

Определение. Функция меД^О,!";^'(□)), такая, и1 <еЬх (0,Г; (О)), называется обобщенным решением задачи (0.11) - (0.13), если она удовлетворяет первому из условий (0.12) и тождеству что а2(их,ых)+{1 л ип ю

V 0 )

Ж = (у/,М>) при всех м? е Ж, (О).

На основе теорем вложения Соболева и неравенства Гронуолла получены априорные оценки, которым удовлетворяет любое решение задачи (0.11) -(0.13). Доказана о

Теорема 2.1. Пусть <р е ^(О). у/ е Ь2(С1) . Тогда существует обобщенное решение задачи (0.11) - (0.13).

Кроме того, имеет место

Теорема 2.2. Функция и(х, являюъцаяся обобщенным решением задачи (0.11) - (0.13), единственна.