Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с кратными характеристиками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ОМАРОВ МУРАД ШАМИЛЬЕВИЧ

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Специальность: 01.01.02 - дифференциальные уравнения и математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала -1997

Работа выполнена в Дагестанском им. В.И. Ленина.

государственном университете

Научный руководитель

- доктор физико-математических наук, профессор Якубов С.Я.

Официальные оппоненты: - доктор физико-

математических наук, профессор Вагабов А.И., - доктор физико-математических наукЖи-ков В.В.

Ведущая организация

- Московский государственный университет им.

М.В. Ломоносова Г диссертацией можно ознакомиться в 'библиотеке Дагестанского государственного университета.

Защита состоится " оЛ/егЪиЬЬ^ 1997 г. в 14.00 на заседании специализированного совета К 06? '(■> 1.07. по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Дагестанском государственном университете по адресу: 367000, г. Махачкала, Дзержинская 12, 3ми этаж, математический факультет.

Автореферат разослан "¿Г?" ШпЯЪр^ 1997г.

Ученый секретарь специализированного совета Р.И. Кадиев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы: Изучение линейных операторов, связанных с краевыми задачами играет важную роль в различных математических и прикладных дисциплинах. Для дифференциальных операторов, заданных на конечном интервале, фундаментальные результаты были получены еще .Дж.Биркгофом, Я. Д.Тамаркиным, М.Стоуном, В.А.Стекловым, М.В.Келдышем. Дальнейшее развитие теория имела в работах их многочисленных последователей, - В.Б.Лидского, М.А.Наймарка, В.А.Ильина, А.Г.Костюченко, А.С.Маркуса, А.П.Хромова, М.Г.Гасымова, С.Я.Якубова, А.А.Шкаликова, А.И.Вагабова, ДясУолтера, С.Фултона.

Основными при этом являлись вопросы разложимости в обобщенные ряды Фурье, суммируемости разложений, а также вопросы полноты системы корневых векторов как для абстрактных операторов, так и для линейных дифференциальных операторов.

Многие случаи изучаемых задач не нашли еще сколько либо полного решения. К ним относится и задача полноты корневых функций обыкновенных линейных дифференциальных пучков в случае кратных корней их характеристических уравнений.

Цель работы: Получение теорем о спектре и о кратной полноте корневых функций краевой задачи для обыкновенных линейных тафференци-альных уравнений четвертого порядка с двумя кратными (переменными) характеристиками в главной части, и с произвольными операторами в подчиненной части, при граничных условиях общего вида на заданном интервале (0,1).

Методика исследования: Наряду с аналитическими методами непосредственного построения и исследования резольвенты, с целью получения основных теорем, применяются методы теории полиноминальных операторных пучков и интерполяционных пространств (Якубов С.Я. Матем. сборник, 1990, т. 181, № 1, с.95-113).

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

В работе рассмотрен трудный случай краевой задачи с двумя кратными характеристиками в главной части для обыкновенного линейного дифференциального уравнения четвертого порядка на интервале (0,1). При этом найден наиболее общий вид подчиненных слагаемых в уравнении и граничных условиях. Новизну представляет и то, что не предполагается

постоянство arg «¡(х), i=l,2 для характеристических корней. Установлена теорема четырехкратной полноты для указанной краевой задачи.

Ценность представляют методы развитые в работе, сочетающие непосредственный расчет в главной части с "замороженными" коэффициентами с последующим общим обоснованием и привлечением теорем абстрактных пучков. Эти методы могут быть использованы для уравнений в частных производных. Результаты работы могут быть использованы при разработке спецкурсов в соответствующих вузах.

Апробация работы: Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах института математики и механики АН Азербайджана, на семинарах ДГУ, ДГТТУ, а также на 2-ой СевероКавказской региональной конференции в г. Махачкала.

Публикации: По теме диссертации жающие ее основное содержание.

Объем работы: Работа изложена на го текста и состоит из введения и двух глав.

Библиографии: Список использованной литературы содержит 26 названий. •" '

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение представляет краткий обзор работ и перечень основных результатов.

-, • Объектом исследования является краевая задача

(¿-Wx)) u(x)+¿X4-kBku(x) = f(x) ,

-00 < X < 00 , (1)

mv . _

Lv(X)u- 2>k avku(m-k)(0) + ßAu(m-k)(l) + Tvku } = fv, v= 1,4 ,(2) k=0

где coi(x), co2(x)- комплекснозначные функции.

Bx . линейные компактные операторы из (0,1) в Lq(0,l),

опубликовано 3 работы, отра-

•Ч

£0.. страницах компьютерно-

T vk - линейные функционалы в W™v k (ОД). avk, ßvk, fv - комплексные числа, mv,<3, Я. - комплексный параметр.

В главе 1 даны коэрцитивные оценки решения задачи (1) - (2). С этой целью в § 1 рассмотрено обыкновенное дифференциальное уравнение

id Vid V

L„(X)u= -o^J u(x) = f(x),-оо <х<со, (3)

a¿ - константы, arg ©i -Ф- arg ra2, для решения которого найдена

оценка:

i

(4)

k=0

где Ы >R е , Ve >0, — - ю + е < arg X < — - со - с , X > 4 ,

11 2 ~ 2

ш = min { arg шь arg w2+ тс}, и = шах { arg юь arg ю2+ тг} . Оценка (4) получена путем непосредственного представления решения уравнения (3) в виде интеграла Фурье. Далее в теореме 1.2 подобная оценка получена для задачи

L0(X)u(x) = f(x) , 0<х< 1 , - (5)

ГПу ,

Lv0(A,)u(x) =2Xkja4ku(^-k)(0) + ßvku(m-k)(l) } = fv,

k=0

v — 1Д , (6)

а именно,

Г 4 . , _ 1 N

>

1 > max {4, mv+l, v= 1,4 }. (7)

Оценка (7) достигается представлением решения задачи (5) - (6) в

виде

U=U]+U2, где Ui - решение уравнения (3) с правой частью f(x), (см. (5)), продолженной нулем вне (0,1), а и2 - решение задачи

1. (Oj(X) 6 С1"4[0,1 ], j = 1,2. со, (х)*0, С02(х)^ О, Cöj(0) = G)j(l),

1 >max {7, mv+l: v= 1,4 };

2. 0 (0) ф О, 9(1) * О, где 0 (х) = det { Avj(x)} ^ ,

Avl(x)= £avkto™>" (х), Av2(x)= 2avk(mv-k)cirv " (х>> (8)

к-0 к=0 mv mv

Av3(x)=2ßvk®2v (х), Av4(x)=2ßvk(mv-k)ü3^-k-'(x).

k=0 ' k=0

3. Операторы Bk из Wk(0,l) в Lq(0,l) и из W^4+k(0,l) в W';"4(0,1

компактны, q e (1, oo);

4. При некотором г] e [1, oo) функционалы Tvk непрерывны : W™"-k(0,l).

Тогда для Ve >0 3 Rs > 0 такое, что при | к | >Re,

— - ш + с < argX<—- со - £, где со =inf min{arg coi(x), arg <»2(х)

2 2 х "

c'j = sup max {arg Ш|(х), arg аь(х) -hi}, a - со < л,

X

оператор Z(X): U -» (L(Ä.)u, L,(X.)u,..., L4(?i)u)

из W J, (0,1) на W q-4 (0,1) x С4, при указанных X является изоморфизмов

и имеет место оценка (7).

В доказательстве теоремы 1.4 использован метод "замораживания" не ременной х.

В §4 результат теоремы 1.4 проиллюстрирован в случае

г (х) 1

Вк = —- , т.е. растущих коэффициентов при х -> 0, ак< — + к - 1

ха" q

к-13 , ...

04 < —+2, гк(х) - непрерывны на [0,1], причем граничные услови

q

имеют вид

L1u=a10u(m')(0)+ß10u(m| (1)+T10u=f, .

L2u = а20 u(mi)X0)+ß2Ou(m^ (1)+T20 u=f2 ,

L3u=u(0)=0, L4u=U(1)=0.

В главе 2 устанавливается основная теорема о дискретности спектра и четырехкратной полноты корневых функций задачи (1) - (2).

В §1 приводятся необходимые сведения и теорема 2.1. [С.Я.Якубов,

.Матем. сб. 1990, т.181,№1, с.97]. Пусть II иГГ, v= 1,mгильбертовы пространства. Рассмотрим систему полиномиальных операторных пучков L(?i)u sX"u + Г"1 A,u +...+ Anu = 0 в Н ,

ЦД)и AvoU+A.nv""' +Avlu...+Avnvu=0 в Hv, (9)

v=l, ш .

(Lv(/.) - граничные операторные пучки). Пусть

1) существуют гильбертовы пространства Ньк=0п,НпсНп., с ... с Но = Н, Н;

2) при некотором р>0 Je5p(Hk) Ны), к= 1, п, где J - обозначает оператор вложения из Нк в

Нк.,, а 5Р (Нк, Нк.,) - операторы из Нь Ны , для которых сумма р-ных степеней их s-чисел сходится;

3) операторы Ak: Hk-> Н, k= 1, п , ограничены;

4) операторы Avt: Н n_n +k Hv, к= 0,nv , v= l,m, ограничены

5) линейное многообразие Я] = {v/ v=(v,,..., vn) е Нп © .... ®НЬ Av0v n+s + ... + А vs = 0 при тех s= 1, п- n v , v= 1, m, при которых Avk,

k=0,n из Нn+| „ +к_! в Hv ограничены} плотно в пшьбертовом пространстве

Я = {у/ v=(vb Vn) 6 Hn.,© .... © Ho,AvoVni+s+...+AvnyvI=0, при s= 1,n-nv -1, v= 1,m, для которых Avk: HHv, k=0,nv ограничены};

6) существует лучи lk={Ä. | arg А=фк} с углами между соседними лучами

не больше — и целое q такие, что Р,

I \Z-\K) | | В(Н® Ш Ф ... ©Hm, Hn) ^

к= О, п из Н n+i_n +к_! в Н v ограничены} плотно в гильбертовом

пространстве

Н = {V/ v=(vb ..., Vn) е Hu_i (

Но, AvoVn +s+ ... +А№ v.= О,

при s= 1, n- nv -1, v= 1,m, для которых Avk: H —

n—n +k-s

•Hv,

k= 0, n v ограничены};

. S) существует лучи lt={X | arg ^=фк} с углами м^жду соседними лучами не больше — и целое q такие, что Р,

I Iz-1^) I lc(ii®Hi®...®H,^Hn) <cUh, A, elfo |ЯI —>оо,

(Z(X) = (L(X),L1(X), ... ,L„A)) : Н->НФН'© „, ФНШ).

Тогда спектр системы пучков (9) дискретен и система ее корневых векторов n-кратно полна в пространстве Нъ

Теорема 2.1 используется далее для доказательства основной теоремы второй главы . С этой целью ь §2 доказываются две теоремы о плотных подпространствах в пространствях типа Соболева (аналоги подпространств НкдляН = Lj (0,1)).

В §3 доказывается основная Теорема 2.4 . Пусть mv < 3 и 1. coj(x) е С3[0,1], j = 1,2 ; ш,(х) ю2(х)*0 , 2.01 (0) * о, е, (i) * о, е2(0) * о, е^ (i) * о, где 6,(х)* det {А„- (х)} í , 02(х) * det {В*(х)} *, ' Avj (х) определены формулами (8); Bvj (х) получаются из А^ (х) заменой ю^х) на со2(х), а со2(х) наю^х).

3. Существуют числа соь ю2 такие, что

ш.

а10со11

Ш, «20е0 1

m-, «30® 1

m, «40й 1

m.-l а10т1ш11

т? -1

а20т2ю,

т,-1

а30п1з^1

Ш. -1

а40ш4ю1

Рю®

PzoM2

т.-1

т,-1

Рт. -1 10т1ю2

Pnu-l 20т2а2

Рзо®

т3-1 2

2

ß30m3cö™

Рт

40т4й2

4. Операторы Вкиз (0,1) в 1^(0,1) компактны.

5. Функционалы Т\.к непрерывны в (ОД) при некотором

Л е [1,«э).

Тогда спектр задачи (1) - (2) (Г з = 0) дискретен и система ее корневых функций четырехкратно полна в пространстве

Я, ={ V | V = (VbV2.V3.V4) е 0 \У2~к (°Л),

к=0

ту , _____

Е Ь к Уьн=0, 8= 1,4-, V = 1,4 }.

к=0

Доказательство теоремы 2.4 опирается на теорему 2.1 с использованием цепи компай-но вложенных пространств

\У2(0,1) с с' с и проверку усло-

вий 2.1 для данного случая.

В §4 теорема 2.4 применяется в случае уравнения'(1) с растущими коэффициентам;; при граничных условиях частного вида.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Омаров М.Ш. Регулярность с дефектом 2 краевых задач для дифференциальных уравнений 4-го порядка с кратными характеристиками. Труды 2-ой Северо-Кавказской конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложения, Махачкала 1989, 1 с.

2,Омаров М.Ш. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения с растущими коэффициентами.

- М„ 1997. - 4 с. Деп. в ВИНИТИ 14.07.97. №2375-В97.

З.Омаров М.Ш. О коэрцитивности задачи для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений 4-го порядка с переменными коэффициентами.

- М, 1997. - 4 с. Деп. в ВИНИТИ 14.07.97. №2374-В97