Краевые задачи для управления теорией упругости с условиями типа неравенств на границе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Министерство образования Российской Федерации Новосибирский государственный университет

На правах рукописи УДК 517.9; 539.375

Р Г Б ОД

2 О ОКТ. 1999

ПОПОВА Татьяна Семеновна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С УСЛОВИЯМИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ НА ГРАНИЦЕ

Специальность: 01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 1999

Работа выполнена на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений математического факультета Якутского государственного университета им. М.К.Аммосова.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор А.М.Хлуднев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор А.И.Кожанов,

кандидат физико-математических наук, В.Н.Старовойтов

Ведущая организация: Красноярский государственный

университет

Защита диссертации состоится 999 г. в

•¿Г часов в аудитории на заседании диссертацион-

ного совета К 063.98.04 в Новосибирском государственном университете по адресу: г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан " " 1999 г.

Председатель диссертационного совета

В.Н.Монахов

В i у-о^з

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена изучению краевых задач для тел с трещинами: доказаны теоремы существования, а также исследованы дифференциальные свойства решений.

Актуальность темы. Краевые задачи - одна из тех областей математической науки, которые имеют наиболее тесную связь с реальными объектами. Моделирование природных процессов в виде краевых задач не только быстро находит приложение на практике, но и нередко бывает вызвано требованиями науки и техники на текущий момент.

Разрушение материалов является одной из важнейших проблем механики сплошных сред. В настоящее время теорию разрушения можно рассматривать как самостоятельную область механики твердых тел. При этом теория трещин занимает в ней одно из центральных мест. Опыт показывает, что уже на ранней стадии эксплуатации конструкций из различных материалов, а иногда и в процессе их изготовления могут появитьсятрещины. Поэтому изучение свойств твердого тела, имеющего одну или несколькотрещин, несомненно является интересной и актуальной стороной проблемы разрушения.

Целью работы является исследование краевых задач для тел, имеющих трещины, с граничными условиями в виде неравенств на разрешимость и изучение гладкости решений.

Основные задачп исследований:

-исследовать гладкость решений задачи равновесия для трехмерного упругого тела с трещиной;

-получить результаты о существовании решения задачи о равновесии трехмерного вязкоупругого тела, имеющего трещину и изучить вопросы регулярности решений;

-изучить контактные задачи для пластин, имеющих трещины, с граничными условиями, учитывающими толщину пластин, а также с приближенными краевыми условиями.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- использованием фундаментальных законов механики сплошных сред при построении моделей упругих и вязкоупру-гих тел;

- применением строгих математических доказательств при исследованиях краевых задач.

Научная новизна:

- исследованы на разрешимость краевые задачи для трехмерных тел с трещинами при условии непроникания, заданном на берегах трещины;

- получены результаты о гладкости решений задач о равновесии упругого и вязкоупругого тела с трещиной при условии нулевого раскрытия трещины;

- доказана теорема существования для задачи о контакте двух вязкоупругих пластин, одна из которых имеет трещину, исследована гладкость решений рассматриваемой задачи с условиями непроникания, учитывающими толщину пластины и изучен вопрос о регулярности решений контактной задачи для пластины с трещиной в случае приближенного условия непроникания берегов трещины.

Практическая ценность работы заключается в том, что предложенные исследования краевых задач с условиями типа неравенств на границе могут служить аналитическим

о

аппаратом при численном решении задач о равновесии тел с трещинами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на международной научной студенческой конференции "Студент и НТП", г.Новосибирск, 1996 г.; на республиканской научно - практической конференции молодых ученых и специалистов "Молодежь и наука РС(Я)", г.Якутск, 1996 г.; на международной конференции по математическому моделированию, г.Якутск, 1997 г.; на научной конференции студентов и молодых ученых PC (Я) в рамках программы "Лаврентьевские чтения", г.Якутск, 1998 г., 1999 г.; на III Сибирском конгрессе ИНПРИМ, г.Новосибирск, 1998 г.; на семинаре кафедры математического анализа ЯГУ, руководитель семинара - к.ф.-м.н., доц. Л.Т.Кутукова; на семинарах НИИПМиИ ЯГУ "Дифференциальные уравнения с частными производными", руководительсеминара - д.ф.-м.н., проф. И.Е.Егоров; на семинаре кафедры дифференциальных уравнений НГУ "Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики", руководитель семинара - д.ф.-м.н., проф. А.М.Блохин; на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела ИГиЛ СО РАН, руководитель семинара - д.ф.-м.н., проф. О.В.Соснин;

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 160 наименований. Объем диссертации составляет 93 страницы текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, определены цели и описана методика выполнения работы. Приведен краткий обзор литературы по различным теориям, разработанным для аналогичных задач. Указаны особенности подхода к исследованиям. Описаны структура и краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматривается задача о равновесии линейного трехмерного упругого тела, имеющего трещину. Предполагается, что тело занимает ограниченную область О в пространстве Л3 с гладкой границей Г. Тело считается анизотропным и упругим, выполняется закон Гука, перемещения малы. Таким образом, в задаче предусматривается физическая и геометрическая линейность тела. Кроме того, на Г задаются условия

и = О на Г,

где и(х) = (щ,и2,щ) - вектор малых перемещений точек тела. Тело имеет трещину, которая представляет собой регулярную поверхность в трехмерном пространстве и обозначается через Гс. Трещина имеет два берега Г+ и Г". Будем предполагать, что на Г+, Г- функции и(х) могут принимать различные значения. Тогда можно определить скачок [и] функции и(а;) как разность значений на Г+ и на Г-. За положительное направление нормали и к поверхности Гс принимается положительное направление внешней нормали к Г-. Рассматривая Гс как часть границы области Г2С = Г] \ Гс, будем задавать на ней краевые условия в виде неравенств:

[и]и >0 на Гс, (1)

Эти условия выражают взаимное непроникание берегов и трещины.

Множество допустимых перемещений вводится следующим образом:

К = {иЕ Я^Пс)! и = 0 на Г; [и]и > 0 п.в. на Гс}.

Здесь Я1 (0,с) - пространство Соболева всех функций, суммируемых с квадратом в Г2С и имеющих производные первого порядка, также суммируемые с квадратом в области Пс.

Задачу равновесия для линейного трехмерного тела с трещиной можно поставить как вариационную

где П(м) - функционал потенциальной энергии тела, имеющий вид

Здесь а^(и), Ец(и) - компоненты тензоров напряжений и деформаций соответственно, / = (/1, /2, /з) £ - известный вектор функций внешних нагрузок.

Таким образом, задача сведена к минимизации коэрцитивного дифференцируемого функционала на выпуклом замкнутом множестве. Коэрцитивность следует из справедливости неравенства Корна для области Пс, которое показано в пункте 2. В этом же пункте доказано существование решения задачи минимизации функционала П(и) и эквивалентность

Ы П(и),

(2)

С1

о

этой задачи вариационному неравенству, которое имеет вид

и £ К : j (Гц(и) £ц(ь — и) сЮс > J /(у — и) Уу 6 К.

пс пс

(3)

Более того, решение единственно.

Постановка задачи в виде вариационного неравенства позволяет исследовать свойства решений задачи равновесия.

В пункте 3 из вариационного неравенства получена система краевых условий, выполняющихся на внутренней границе Гс. Для этого доказывается, что в области имеют место уравнения равновесия

-<ъЛЮ = А, ¿ = 1,2,3 (4)

в смысле распределений. Затем, предполагая дополнительную по сравнению с заданной гладкость решений, и выбирая подходящим образом пробные функции, выведен вид краевых условий на Гс. Система граничных условий выглядит следующим образом

ат = 0, сг^ < 0 на Гс,

= 0 на Гс, . ..

[и]и > 0 на Гс, [ '

[и]1/аи = 0 на Гс.

Эти условия выполняются в смысле интегральных тождеств и имеют естественную физическую интерпретацию. В этом же пункте доказывается эквивалентность двух постановок задач: в виде уравнений равновесия вместе с полученными краевыми условиями и в виде вариационного неравенства. Эквивалентность понимается в следующем смысле: любое решение краевой задачи является решением вариационного

неравенства и любое гладкое решение вариационного неравенства удовлетворяет уравнениям равновесия и всем полученным граничным условиям.

В пункте 4 первой главы исследована гладкость решений и(х) задачи равновесия. Рассматривается дополнительное условие

I[и] с1Гс = 0. (6)

гс

I

Доказывается, что при этих ограничениях наличие трещины не влияет на дифференциальные свойства решения и(х). В частности, при бесконечно дифференцируемых функциях внешних нагрузок функция п(х) также принадлежит классу

Вторая глава диссертации посвящена изучению вопроса о равновесии трехмерного неупругого тела с трещиной. Тело выполнено из материала "с памятью", т.е. для описания его напряженно-деформированного состояния необходимо знать историю его нагружения.

В первом пункте главы дана постановка задачи равновесия и доказана ее разрешимость. Пусть, как и в первой главе, область, занимаемая телом, обозначается через = П \ Гс, Гс - поверхность, задающая форму трещины, и(х) - вектор функций малых перемещений. Введем дополнительные обозначения

<

и*{г,х) = и{г,х) + Iи(т,х)(1г, г е (о,т). (7) о

Тогда задачу равновесия для вязкоупругого тела с трещиной можно поставить следующим образом. В четырехмерном ци-

линдре = £1с х (О, Т) ищется функция удовлетво-

ряющая уравнениям

-^=/„.• = 1,2,3, (8)

где а^(и*) - компоненты тензора напряжений вязкоупругого тела, /,•(£,£) £ Нх(0, Т;Ь2($1С)) - функции внешних нагрузок. Кроме того, искомая функция должна удовлетворять некоторой системе краевых условий. Одним из условий на границе Гс является условие непроникания берегов Г+ и Г-, которое выбирается в виде

[и]и > 0 на Гс х (0,Т). (9)

Остальные граничные условия, выполняющиеся на внутренней границе, выводятся в пункте 3. Здесь приведем условие закрепления по внешней границе

и = 0 на Гх(0 ,Т). (10)

Далее доказана теорема существования для задачи о равновесии вязкоупругого тела с трещиной. Задачу сформулируем в виде вариационного неравенства, которое вместе с (9) и (10) содержит полную информацию о других граничных условиях, выполненных на Гс х (0, Т). Пусть

К = { и е я1'0^) | [и\у > 0 п.в. на Гс},

где Я:'°(Ос) - пространство Соболева, функций суммируемых с квадратом, обращающихся в нуль на Г, и имеющих производные первого порядка, суммируемые с квадратом в

Пс.

Введем множество допустимых перемещений точек тела:

К = { и е Ь2{О, Т; Я1,0(ПС)) | и(г) € Я" га.о. па (О, Т) }.

Пусть скобки {•, -)г), (•, -)5 обозначают интегрирование произведения по области £> и по кривой 5 соответственно. Отсутствие индекса означает интеграл по Г2С.

Теорема 1.Существует единственная функция и(1,х), удовлетворяющая вариационному неравенству

ие/с, щеь2(0,т-н^{пс)),

т т

J (а^(и*), - и))<а > У (/, V - и)(И, Уг; € /С. (11)

о о

Доказательство теоремы основано на методе монотонных операторов в применении к оператору

т

(А(и),ь) = I (ац(и*),ец{ь))(И} V е Ь2(0, Г; Я1'0^)).

о

Таким образом, доказано, что решение существует. Более того, оно единственно.

Предполагается, что функция является суммируе-

мой с квадратом на (О, Т) по переменной Поэтому определить след х) на сечении цилиндра при фиксированном £ = 1°, вообще говоря, невозможно. Однако, результаты, полученные в пункте 2 второй главы показывают, что регулярность решения по временной переменной выше по сравнению с исходной: существует первая производная по £ функции х). Это позволяет рассматривать задачу равновесия, т.е. вариационное неравенство, при фиксированном значении

переменной t. Тогда в вариационном неравенстве можно избавиться от интегрирования по Ь от 0 до Т. Однако, функции (Гц зависят от и , т.е. интегралы наследственного типа в неравенстве сохранятся.

Далее, в пункте 3 выведена система краевых условий, выполняющихся на Гс х (О,Т). Она аналогична системе (5), но функции сгц в этом случае зависят от х). С помощью этих краевых условий и в предположении достаточной гладкости решений получена эквивалентная постановка задачи. Кроме того, исследована задача оптимального управления внешними нагрузками и изучен вопрос регулярности решений х) при условии нулевого раскрытия трещины в окрестности выбранной точки х° £ Гс.

Третья глава посвящена изучению контактных задач для пластин с трещинами.

Первая задача поставлена для двух контактирующих вяз-коупругих пластин, одна из которых содержит трещину. Неизвестным в задаче является вектор перемещений точек срединной плскости пластины. Для пластины, имеющей трещину, вводится ограничение на ее берегах вида

№> е\ф\ на Г х (0,Т). (12)

По внешнему краю обе пластины жестко защемлены. Поскольку модель вязкоупругая, то задача рассматривается в цилиндре с = Г2сх (О, Г), где = 13\ГС. Ввиду воздействия внешних нагрузок пластины могут контактировать друг с другом, но область контакта считается заранее не заданной. Для того, чтобы исключить проникание пластин друг в друга в задается условие

ги > и — 5 в Ос,

где и), и - прогиб верхней и нижней пластин соответственно, Л > 0 - расстояние между пластинами в недеформированном состоянии.

Используя методы вариационных неравенств и монотонных операторов, доказывается разрешимость задачи равновесия. Также исследуется регулярность решения по переменной в частности, доказано существование производной первого порядка. Найден вид краевых условий на Гс х (О, Т). Кроме того, доказана теорема об оптимальном управлении и исследована регулярность решений по х.

Во второй части главы 3 рассмотрена задача о равновесии упругой пластины, имеющей трещину и контактирующей с жестким штампом. Условия непроникания выбраны в виде

\\V\v > 0 на Гс. (13)

Более того, на решение х = и!) накладывается условие непроникания точек пластины и штампа, в котором участвует только прогиб пластины т.

Для поставленной задачи равновесия доказано существование решения и исследована его регулярность. Показано, что для бесконечной дифференцируемости функции горизонтальных перемещений IV (х) достаточно бесконечной гладкости функции внешних нагрузок и нулевого раскрытия трещины.

Заключение

Основными результатами диссертации являются

1. доказательство теорем о разрешимости и гладкости решения задачи о равновесии трехмерного упругого тела с трещиной;

2. доказательство однозначной разрешимости задачи о равновесии трехмерного вязкоупругого тела, имеющего тре-

щину и регулярности решений в случае нулевого раскрытия ' трещины;

3. доказательство теорем о разрешимости и гладкости решения задачи о равновесии двух контактирующих вязко-упругих пластин, одна из которых имеет трещину;

4. доказательство гладкости решения задачи о контакте упругой пластины с трещиной и жесткого штампа;

5. доказательство разрешимости задач оптимального управления с целевыми функционалами, характеризующими раскрытие трещины в вязкоупругих телах.

По теме диссертации опубликованы работы:

1. Попова Т.С. Контактная задача для пластины с трещиной. Материалы XXXIV международной научной студ. конференции "Студент и НТП". Новосибирск, 1996, с.70-71.

2. Попова Т.С. О регулярности решения задачи равновесия для пластины с трещиной. // Математические заметки ЯГУ. 1996. т.З. вып.2. с.124-132.

3. Попова Т.С. Задача о равновесии линейного упругого тела с трещиной. II международная конференция по математическому моделированию. Тезисы докладов. Якутск, 1997. с.48.

4. Попова Т.С. Задача о равновесии трехмерного тела с трещиной при условии ползучести. Сибирская школа-семинар "Математические проблемы механики сплошных сред". Тезисы докладов. Новосибирск, 1997. с.111.

5. Попова Т.С. О регулярности решения задачи равновесия для пластины с трещиной. Тезисы докладов республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов "Молодежь и наука РС (Я)". ч.1. Науки о Земле, физико - математические и технические науки.

Якутск, 1996. с.69.

6. Попова Т.С. Задача о равновесии линейного упругого тела с трещиной. Тезисы докладов республиканской научно -практической конференции молодых ученых и специалистов "Молодежь и наука РС(Я)". ч.1. Науки о Земле, физико -математические и технические науки. Якутск, 1996. с.68.

7. Popova T.S. The Equilibrium Problem for a Linear Elastic Body with a Crack. // Математические заметки ЯГУ. 1998. т.5. вып.1. с.113-127.

8. Popova T.S. The Equilibrium Problem for a Linear Viscoe-lastic Body with a Crack.// Математические заметки ЯГУ. 1998. т.5. вып.2. с.118-134.

Подписано в печать 16.08.99г. Уч.-изд„л. 1

Офсетная печать. Формат 60x84 1/16» Тираж 100 экз. Заказ №346.

Лицензия ЛР N<021285 от 6 мая 1998г.

Издательский центр НГУ; 630090, Новоскбирск-90,ул.Пирогова,2.