Кратно локальные формации с заданной решеткой подформаций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ргв од 1 1 ноя

Гомельский государственный университет ем. Ф.Скорины УДК 512.542

САФОНОВ Василий Григорьевич

КРАТНО ЛОКАЛЬНЫЕ ФОРМАЦИИ С ЗАДАННОЙ РЕШЕТКОЙ ПОДФОРМАЦИЙ

01.01.06 -математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических нар

Гомель, 1996 г.

Работа выполнена в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор СКЙБА Александр Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук ЧЕРНИКОВ Николай Сергеевич кандидат физико-математических наук

"РЛШГЛ ТЗтеантплгт МЛПГУЯУ-.тутттт

Оппонирущая организация - Красноярский государственный

Защита состоится " I1! " НОЯЕУ^ 1996 года в Ю часов н; заседании совета по защите диссертаций Д 02.12.01 в Гомельског государственном университете имени Ф.Скоршш по адресу: 246695 г. Гомель, ул. Советская, 104.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Гомельской государственного университета им. Ф. Скорины.

Автореферат разослан 11 3 " сж~яь?.я 1996 года.

Ученый секретарь

совета по защите диссертаций,

кандидат физико-матема

университет

профессор

В.С.МОНАХОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТН

Актуальность теш диссертации. Формации копечшх груш - это классы конечных груш, замкнутые относительно взятия гомо$к>р$шх образов и подпряшх произведений. Понятие формации было введено В.Гаавдом в его знаменитой работе "Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen" (ifath. Z., 1963, 80, & 4, с.300-305). Там ш был впервые выделен важный для приложений класс насыщенных формаций (формация g называется насыщенной, если всегда нз G/$(G) е g следует G с g), и пррдловвн способ конструирования такого рода формаций при помощи специальных функций. Нашмша, что функция /, определенная на множестве всех простых чисел со значениям во множестве всех формаций конечных груш, называется формацвонной функцией или экраном (Л.А.Шеиетков, 1974 г.). Если формация $ такова, что G € 3 ^гда и только тогда , когда G/Fp(G) е f(p) для всех простых делителей.р порядка группы G, то форкационнув функцию f называют локальным экраном формации Формация, обладащая хотя бы одним локальный экраном, называется локальной,: Как показал Гапдац (1863 г.), всякая локальная фор&щия насндена." В дальнейшем Любвзедер (1963 г.) и П.Шаад (1978 г.) установили, что всякая непустая насыщенная фориацвя локальна. Тают образе?«*, оказалось, что класс непустых насыщенных формаций совпадает с классом всех локальных формаций. Идеи, заюкенные в отмеченной выше работе Гашюца, привлекли шимаше шш специалистов по алгебре, и исследования, связанные с локальными формациями, составили одно из доминирующи направлений современной теории классов груш.

Уже в перше годы развития теории формаций выделилась три обще задачи: 1) применение локальных формаций в вопросах исследования внутреннего строения непростых конечных груш; 2) разработка методов конструирования локальных формаций с различными заданными свойствами; 3) классификация локальных формаций. Следует однако отметать, что до конца 70-х годов основное внимание уделялось анализу первых двух задач. Итога этого этапа развития теории формаций были подведен! в книге Л.АЛЕеметкова "Формации конечных.

груш" (И.: Наука, 1978). Отмен®, что идеи и проблематика этс книги дшш естественный толчок к анализу общей проблема классики кадии локальных формаций. В настоящее время реализация этой зада чи идет в основном по пути выделения и классификации различны типов локальных формаций, ваша для приложений.

В ра<5отв (1} А.Н.Скиба ввел понятие кратно локальной форма ции, которое оказалось весьма полезным при решении многих вопро сов теории классов конечных грушг. При этом, всякая формаца групп считается О-кратно локальной, а всякая локальная форыация • 1 -кратно локальной. Формация-# называется 2-кратно летальной, если она имеет' такой локальный экран, все непустые значения которого также являются локальными формациями. В общей случае (при п } 1) 'формация 3 называется п-кратно локальной, если она имеет тако! локальный экран, всякое непустое значение которого - (п-1 )-кратнс локальная формация. Значение понятия кратно локальной форнацив связано преадв всего с те«, что большинство классических формаций п-кратно локальны 15а любш натуральном п. Отметим еще ряд моментов, указывающих на важность изучения такого рода формаций. Во-первых, сопоставляя каждой конечной группе 0 п-кратно локальную формацию Цагпв, порожденную этой группой, можно ставить вопрос

0 связи внутреннего строения группы С со свойстваш формации

1 ХагаС. Такая идея впервые рассматривалась А.Н.Скибой в его работах [1, 23. Шло доказано 113, что груша б тогда и только тогда разрешила и ее нилыютентная длина не превосходит п+1, когда в п-кратно локальной формации, ею порожденной, наследственны все п-кратно локальные подфорыавди. Во-вторых, используя понятие кратно локальней формации, тавво получить новое задание для ряда' важных типов формаций (примитивных, тотально локальных формаций, формаций Шеметкова и др.), позволящее более эффективно исследовать их свойства и использовать в различных приложениях. Обратим внимание еще на один- аспект. По мере развития теории формаций стал проявляться определенный параллелизм в конструкциях и результатах, относящихся к локальным и нелокальным формациям. Поясним это на двух известных пракерах: Брайант, Брайе и Хартж

(1970 г.) доказали, что формация, пороаденная конечной разрешимой группой, содержит лишь конечное число подфорлацийу а локальная формация, пороаденная конечной разрешимой группой, содержит лишь конечное число локальных шдформаций. Еще один пример.: Из наблюдений работ П.Неймана [31 и А.Н.Скиба (2] вытекает, что фонация нильпотентнз тогда и только тогда, когда каждая ее подформация наследственна* В работе £23 был установлен следущий факт: локальная формация метанилыютентна тогда и только тогда, когда ка-, ждан ее локальная годформация наследственна. Как- показывают следующие результаты, параллелизм приведенных утверждений является лиеь проявлением общей закономерности, присущей счетным сериям формаций: п-кратно локальная формация, порожденная конечной- разрешимой группой, содерЕит лишь конечное число п-кратно локальных подформаций; тогда и только тогда п-кратно локальная формация $ состоит из разрешимых групп,, нилыютентная длина которях не превосходят п+1, когда в $ наследственны все п-кратно локальные под-формации Ц.Н.Скиба (1]). Уже в перше года развитая теорти крат^ но локальных формаций они оказались весьма аффективным средством при решети целого ряда вопросов теории формаций, а также при ха-рактеризации различных классов-непростых конечных групп- Значение таких формаций особенно возросло в последние года, когда была обнаружена связь кратно локальных формаций с теорией пришивных-формаций и теорией локальных классов Фяттинга. Дальнейшему развитию теории кратно локальных формаций и некоторым ее приложениям и посвящена данная дассертация.

Связь, работы с крупныт научными програшаш. темами. Диссертация выполнена в рамках госбюджетной теш Гомельского госуниверситета «Развитие формационных методов теории групп и других алгебраических систем"-, входящей в перечень важнейших научшх тем-по Республике Беларусь. Настоящая работа была выполнена при финансовой поддержке- Междунароной Соросовской Програшы в области точных наук.

Цель и задачи исследования. Целью дассертации является дальнейшее развитие теории кратно локальных формаций к применение по-

лучении результатов к решению некоторых открытых задач теории локальных фориавдй конечных груш. Для этого решается следующие задачи: описание ншшыальннх п-кратео локальных не ^-формаций конечных групп для произвольной я-кратао локальней формации т > п } 0; описание под$ормацин фрагтини разрешимой кратно локальной формация конечных груш; описание кратно локальных формаций с системами наследственных и нормально наследственных подфориаций; класс0$нкацая разрешвшх кратно локальных формаций конечных груш нильпотантного дефекта 3.

Научная новизна полученных результатов. Все основные результата диссертации является новыми.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результата диссертации могут быть использованы б исследованиях по теории классов груш, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госушверситстах и пединститутах.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Описание минимальных гс-кратно локальных не ^-формаций конечных груш для произвольной ¡я-кратно локальной формации 5, т > п.* 0.

2) Описание подформации Фраттини разрешимой кратно локальной формации конечных груш.

3) Описание кратно локальных формаций с системами наследственных и нормально наследственных годфорюаций.

' 4} Классификация разрешимых кратно локальных формаций конечных груш нильпотентного дефекта 3.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертаций получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результате диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры и геометрии Гомельского государственного университета, на Международной математической конференции, посещенной 25-летию Гомельского госуниверситета (Гомель, 1994 г.), на Международной конференции по алгебре и анализу, посвященной памяти Н.Г.Чеботарева (Казань, 1994 г.) и на Международной математической конференции, посвященной

памяти С.АЛушхина (Гомель, 1995 г.). '

Опубликованвость результатов. Основше результата диссертации опубликованы в 5 статьях, 2 препринтах и 5 тезисах ковфэрен-.. ций.

Структура и . объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характе-' ристики работы, пяти глав основной части, выводов иг списка использованных источников, расположенных в алфавитное порядке в. количестве 53 наименований. Объем диссертации - 106 страниц.- ,...

КРАТКОЕ (ЗДЕШНИЕ ДЙССЕРТЛЩИ .

Рассматриваются только конечные группы; используются определения и обозначения принятые в книгах [6,73. ,•...'

Глава 3 "Минимальные кратно локальные не ^-формации" включает в себя два раздела и посвящена классификации маншальных-п-кратно локальных не ^-формаций. Напомним, что локальная форма- . ция д. называется минимальной локальной не ^-формацией (Л.А.Шемет-ков, 1980 г.), или иначе ^-критической формацией, если $ не входит в класс групп 5, но всякая собственная локальна», подфоргация из ^ содержится в Формации такого типа нашли применение при решении многих задач теории локальных формаций. При изучении кратно локальных формаций вместо «^-критических формаций более удобно использовать их следующий аналог: п-кратно локальная, формация 3 называется минимальной п-кратно локальной не §-формацией, если $ % но все собственные п-кратно локальные подформацин из 3 входят в

; В работе 111 было получено описание миншальных п-кратно локальных не ^-формаций, где - класс всех разрешш: групп с шлыготентной длиной не превосходней к. Глава 3 посвящена построению общей теории минимальных п-кратю локальных не .^-формаций. Полученные здесь результат существенно используются в последующих главах диссертации.

Прежде чем сформулировать основные результат глава 3, на-

помним некоторые определения и обозначения. Для любой последовательности простых чисел р}, ..., р и всякой непустой совокупности групп I рекурсивно определяется класс групп 2 .1)2'-

(А/1 (4)11 с Ю, 2) /г"Рп = № Ц)\А € /г"Рп~1); после-Р1 рп

довательность р{, рп называют подходящей для £, если р{ (

%(%) и для любого ( € (2, п.} число р. принадлежи

рг--р, ,

); символом Р(2) обозначают многество всех подходящи для X последовательностей; через Рп(2) обозначают множество всех подходящих для % последовательностей р7, .... рп, удовлетворяющих условию Р1 * Ри]> 1 = 1» ...» в-1; последовательность рг,...,рл из Рп(3) записывает в виде (р"), в частности полагают (р|) = р?.

Если $ - п-кратно локальная форация (п>0), р?, р4 -некоторая подкодявдя для ^ последовательность Ц<п), то через обозначают минимальный (п-1)-кратно локальный экран форлаци (п-£-1 )-кратно локальный экран • • -Р4 определяют следующим образом; 1) = <№)п_,: 2)\рг..р4 =(3ПРГ..^^(Р,))^ В. разделе 3.1 описываются общие свойства минимальных п-кратно локальных не й-фэрьшдай. В частности, здесь доказана следующая теорема.

3.1.9. Теорема. Пусть ш > п > 0 - целые числа. И пусть § -произвольная и-кратяо локальная формация. Тогда и только тогда $ - разрешимая минимальная п-кратно локальная не ^-формация, когда 3 = 1пГоиа в, где б - йонолитическая группа с монолитом Р • = Ф, причем при п > 1 б удовлетворяет одному из следующих условий: ;

1)6- груша простого порядка;

2) 0 = ?тх(Р?х...х(Р{х И)..,), где Р{ - самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в Р{х(Р{+?х...х(Р^ Я)...), 1Р(1

= р{1, ^ = 1, Ь (1 ^ 1 <уг) при этом:

2.1) (р{) € Р<б). Р, совпадает с (*р

корадикалом группы #)•••)« I = 2.....^

2.2) ЛГ - такая ионолвтическая груша с монолитом В 0 Щ),

что р± £ %(Я), Я совпадает с Ц^.-.р^ (р^)-корадикалом группы Ми Я/8 £ —Р4_,(<?> прт <? € *(Я)\{р4_,>;

р,••«рх

2.3) й = V - группа порядка г £ ), если t < п.

Наблюдения раздела 3.1 используются в разделе 3.2 для получения описаний минимальных кратно локальных не $-формаций для наиболее важных конкретных формаций В частности, здесь приведены следущие результаты.

3.2.1. Следствие. Тогда и только тогда 3 - минимальная п-кратно локальная неразреяимая формация, когда $ = 1п1опС, где У - неполитическая группа с таким неаоелевым монолитом Н, что груша (?/й разрешима.

3.2.4. Следствие (А.Н.Скиба, 1987). Тогда и только тогда $ -минимальная п-кратно локальная ненильпотентная формация, где п > 1, когда § = 1п£огйС? и выполняется одно из следующих условий:

1)6- груша Шщцта;

2) п = 1, С - простая неабелева группа.

3.2.8. Следствие. Пусть п } 2. Тогда и только тогда $ - минимальная п-кратно локальная несверхразрешимая формация," когда 2 = 1пХогя£, где 0 - некоторая груша йшдта.

3.2.10. Следствие (А.Н.Стскба, 1987). Тогда и только тогда $ - минимальная п-кратно локальная не З^-формация (1с > 1, п } 0), когда Й = 1 Гогт (?, где С - одна из следущих груш:

1) монолитическая груша с таким неабелевым монолитом Я, что факторгруппа б/Я разрешима и п + 1(<?/Я) $ 1с;

2) в = Р1х(Р2у...у(Р^ И)...), где Р{ - самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в Р{х(Р{+;х...х(Р^ Я)...), |Р{|

= рг1, I' = 1, ..., N - разревшая груша и 1 + Щ) = 1с+1, причем если п > к, то 1 = ¿с + 1, если же п < к, то í = п+1.

Как известно, формации я-замкнутых, я-разлоаимых» ф-дис-персивных, %-специальшп., я-отделишх груш являйся п-кратно локальными формациями при любом натуральном п. Используя теорему 3.1.1, для каждой из таких формаций мокно получить описание минимальных п-кратно локальных не 5-формаццй. .

. Результаты главы 3 используются в главе 4 при исследоваь различных классов кратно локальных формаций с заданными система подформаций.

Напомним, что в работе il] А.Н.Скиба доказал следующую те рему: n-кратно локальная формация g в том и только том случ состоит из разрешимых групп, иильпотентная длина которых не пр восходит п+1, когда каадая л-кратно локальная подформация из наследственна.

В дальнейшем в работе [4] было высказано предположение том, что этот результат* монет быть расширен, следу щим образо: пусть13 - (разрешимая) n-кратно локальная формация, р - прост число. Тогда и только тогда для любой я-кратно локальной подфо мации S из$ формация йр1 (нормально) наследственна, когда g 3tpSln+i. Частично это предположение было подтверждено в рабо (41, где оно доказано в случаях когда п = 0, 1. В разделе 4 • дается решение этой задачи в общем случае.

4.1.2. Теорема. Пусть g - n-кратно локальная формация, р простое число. Тогда и только тогда для любой тг-кратно локальн подформация 1 из g формация наследственна, когда g с syftn

4.1.3. Теорема. Пусть g - разрешимая n-кратно локальная фо мация, р - простое число. Тогда и только тогда для любой п-крат локальной подформации В из g формация нормально наследстве; на, когда g s 3rp3ln+i.

При n = 1 из теорем 4.1.2, 4.1.3 вытекают соответственно

4.1.4. Следствие (А.Н.Скиба, 1987). Пусть g - n-кратно л кальная формация. Тогда если любая n-кратно локальная подформац из g наследственна, то g с tf1*1.

4.1.5. Следствие (А.Н.Скиба, 1987). Пусть g - разрешим n-кратно локальная формация. Тогда если любая n-кратно локальн подформация из g нормально наследственна, то g с я™'.

Заметим, что как показывает пример 4.1.6 из S-заыкнутос (Бп-замкнутости) произведения 3tpt, где 1 - n-кратно локальн формация, в общем случае не следует S-замкнутость (S -замкн

Ть

тость) формации 8.

Напомним определение ^-дефекта локальной формации. Пусть $ и § - локальные фармации. Тогда если решетка Л § локальных формаций, заключенных мевду $ П & и конечна и имеет длину к, то число к называют ^-дефектом формации Аналогично молю определить ^-дефект д-кратно локальной формации пусть 5 -п-кратно локальная формация, причем решетка П $ п-кратно локальных формаций, заключенных между $ П 9> и конечна и имеет длину к, тогда по определению ^(3) = к.

Целью раздела 4.2 является изучение кратно локальных формаций с заданным 5-дефектом. Основными результатами этого раздела являются следующие теоремы.

4.2.8. Теорема. В точности тогда нильпотентный дефект п-кратно локальной формации $ равен 1 (п > 1), когда $ = В Vп 8, где Э - нильгогентная локальная формация, 5 - минимальная п-кратно локальная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая нилыютентная по/формация из Я входит в IV (б П Л); 2) всякая ненильпотентная п-кратно локальная подформация из д имеет вид Ь\% П *).

4.2.10. Теорема. Пусть $ - приводимая п-кратно локальная формация, п ^ 1. Тогда и только тогда,£^(3) = к, когда 3 удовлетворяет одному из следующих условий:

1) з = 5 Уп I, где 5 - неприводимая п-кратно локальная формация и с£(&) = г, 1 а I - такая п-кратно локальная формация, что = к - 1 и 1 П £ - максимальная п-кратно локальная подформация формации 5;

2) Я = & V Я, где 1 5 Я, а 5 - такая неприводимая п-кратно локальная формация, что = к и Л £

В этой теореме, как обычно, & 7п Ж обозначает п-кратно локальную формацию порожденную классом § и в, т.е. $ V 1 - переев-.

ТЬ

чение всех п-кратно локальных формаций, содержащих класс групп & и I.

Отметим некоторые следствия этих результатов.

4.2.9. Следствие (А.Н.Скиба, Е.А.Таргонский, 1987). В точности тогда нильпотентный дефект локальной формации $ равен 1,

когда § = 1 где I - нильпотентная локальная формация, | минимальная локальная ненильпотентная формация, при этом: 1) в< кая нильпотентная подфзрмация из $ входит в 1 Уг (1 й); 2) в< кая ненильпогентная локальная подфорлация из ¡$ имеет вид $ (д1 Л Я).

4.2.12. Следствие. Пусть $ - приводимая локальная формацз Тогда и только тогда нильпотентный дефект фармации 3 равен 1с, I гда 3 удовлетворяет одному из следующих условий:

1) 3 = 5 Уг где § - неприводимая локальная формация ши потентного дефекта - такая локальная фор ция нильпотентного дефекта 1с - 1, что 1 П & - максимальная J кальная додфзрмацяя формации

2) 2( = & У1 1, где И с а § - неприводимая локальная фс мгцвя пилыютэнтного дефекта к к » £

4.2.13. Следствие (А.Н.Скиба, Е.А.Таргонский, 1987). Пусть - приводимая локальная формация. Тогда нильпотентный дефект фс мации $ в том и только в том случае равен 2, когда $ удовлета ряет одному из следующих условий:

1) 3 = Ь1■ Ь2 *» ГДе * £ а Ь1 и Ьг ~ различные шп мапьные локальные ненильпотентные формации;

2) 8 = § 1, где ~ неприводимая локальная фэрл ция, нильпотентный дефект которой равен 2, 1 £

Непосредственно доказательству теорем 4.2.8, 4.2.10. пре шествует ряд вспомогательных результатов, часть из которых пре ставляет, на наш взгляд, самостоятельный интерес. Одним из таг результатов является следуадая леша, дающая оценку §-дефек кратно локальной формации.

4.2.6. Леша. Пусть 1, $ и $ - произвольные п-кратно лока^ нне формации, п 2 0. Тогда если ^-дефект формаций X и $ конече то

Уп*) < <£«') + <£(*) - <£(1 П *).

В частности, если и - нейтральный элемент решетки п-кратно л кальных формаций, то

<£(» V/) = + - а^т п X).

Пусть Ь и Л - подформации формации Тогда § называют дополнением к Я в д (А.Н.Скиба, 1981 г.), если Л = ГоппШ II и А П $ = (1).

Изучение формаций с системами дополняемых подформаций было начато А.Н.Скибой в 1981г.. В дальнейшем в работе [5] В.А.Ведерниковым была поднята проблема изучения локальных формаций, все локальные подформации которых дополняемы. Как оказалось, все такие формации нилыготентны (А.Н.Скиба, 1994г.). Более того, локальная формация нилыютентна, если в ней дополняемы все нильпо-тентные локальные подформации (А.Н.Скиба, 1994г., А.В.Ведерников, 1994г.). Развивая этот результат В.В.Аниськов и А.Н.Скиба (1993 г.) описали локальные формации у которых дополняема все непкльпо-тентные локальные подформации.

В разделе 4.3 диссертации доказана следующая теорема, дающая характеризацию разрешимых кратно локальных формаций с дополняемыми кратно локальными по^юрмацияки-заданного нилыготентного дефекта.

4.3.1. Теорема. Пусть 3? - разрешимая п-кратно локальная формация, п £ 1. Тогда следующие условия эквивалентны:

п

2) в 3 дополняема каздая п-кратно локальная подформация нильпотентного дефекта к;

3) всякая п-кратно локальная подформация из имеющая ниль-потентный дефект к, дополняема в решетке п-кратно локальных подформаций формации

При п = 1 из теоремы 4.3.1 вытекает

4.3.2. Следствие. Пусть $ - разрешимая локальная формация. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) нильпотентный дефект формации $ равен -1с;

2) в 3 дополняема каждая локальная подформация нильпотентного дефекта к;

3) всякая локальная подформация из имеющая нильпотентный

дефект к, обладает локальным дополнением в д.

Пусть % с g, где ® и g - п-кратно локальные формации. Тогда если ig/JRI = 2, то 1 называется максимальной n-кратно локальной подформацией формации д. Пересечение всех таких додформаций формации g обозначается через и называется п-подформацией Фраттини формации д. Если ке в g нет максимальных n-кратно локальных подформаций, то полагают Ф (g) = g.

В 1981г. А.Н.Скиба описал общие свойства n-подформации Фраттини при п = 0, 1. В дальнейшем, Херцфельд (1988 г.) было доказано, что если g - локальная формация, то ее подформация Фраттини Ф0($) = д. В разделе 4.4 изучается свойства n-подформации Фраттини для произвольного целого неотрицательного п. Основным результатом этого раздела является следующая теорема.

4.4.5. Теорема. Пусть g - n-кратно локальная формация, G ~ разрешимая группа, принадлежащая g, п è 0. Тогда G/F(G) е Фп(3).

В-частности, из теоремы 4.4.5 вытекает

4.4.6. Следствие. Пусть g - локальная формация, G - разрешимая группа, принадлежащая д. Тогда если 1 - произвольная максимальная локальная подформация из g, то G/F(G) е Ж.

Построенный в данном разделе пример 4.4.7 показывает, что условие разрешимости в теореме 4.4.5 играет существенную роль.

Напомним, что А.Н.Скиба и Е.А.Таргонекий (1987 г.) описали локальные формаций с нильпотентным дефектом ^ 2. В книге [61, под номером 20.9 была поставлена проблема описания локальных формаций с нильпотентным дефектом 3. В главе 5, на основе результатов глав 3, 4, дается решение этой проблемы в классе разрешимых групп.

5.1.4. Теорема. Пусть g - приводимая локальная формация. Тогда и только тогда нилыютентный дефект формации g равен 3, когда g удовлетворяет одному из следующих условий:

D Ъ = Vi&sWi*' где * с а $1« Ь2. Ь3 ~ различные минимальные локальные ненильпотентные формации;

2) g = 5?Vz§2Vz3e, где * С Я, - неприводимая локальная формация нильпотентгого дефекта 2, %2 - такая минимальная локальная ненильпотентная формация, что §2 fi &};

3) 21 = где 2 е к, 5, И 52 - такие неприводимые локальные формация нильпотентного дефекта 2, что Ь2 ~ локальная формация нильпотентного дефекта 1;

4) 21 = & где 3? е 51, 5 - неприводимая локальная формация нильпотентного дефекта 3 и X £

5.2.2. Теорема. Пусть 21 - разрешимая неприводимая локальная формация. Тогда и только тогда нильпотентный дефект формации 8 равен 3, когда $ удовлетворяет одному из следувдих условий:

1)3 = 1ГошС, где б = Р х Я, Р = С0(Р) - минимальная нормальная р-подгруппа в С, а И - р'-группа Шшдга с тривиальной подгруппой Фраттини;

2) ¡Л - локальная формация длины 5.

Отметим, что локальные формации из условия 2) теоремы 5.2.2 описаны А.Н.Скибой в 1986 г.

вывода

1) В диссертации получено описание минимальных гс-кратно локальных не 5-формаций для произвольной т-кратно локальной формации где и > п и д ? О.

2) Описаны разрешимые локальные формации с нильпотентным дефектом 3, что дает решение проблемы 20.9 из книги Л.А.Шеметкова и А.Н.Скибы ["Формации алгебраических систем".- М.: Наука, 1989. -259с.] в классе разрешимых групп.

3) Дано описание подформации Фраттини разрешимой кратно локальной формации.

4) Доказано, что п-кратно локальная формация $ входит в класс 51 51п+1, если для кавдой ее п-кратно локальной подформации 1 формация 5у1 наследственна. Этим самым дано положительное решение задачи, поставленной в работе [4].

5) Получена классификация разрешимых п-кратно локальных формаций, у которых все п-кратно локальные формации нильпотентного дефекта к дополняемы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Скиба А.Н. Характеризация конечных разрешимых груш заданной нилыютентной длины // Вопросы алгебры. - Минск: Мзд-во "Университетское", 1987. Вып.3ГС. 21-31.

2. Скиба А.Н. Характеризация конечных метанильпотентных групп П Мат. заметки. - 1980. - Т.27. Л 3. - С. 345-351.

3. Neumann Р.Н. A note on formations■oi finite nilpotent groups // Bull. London Math. Soc.- 1970.- Vol. 2, Jt 1.- P. 91.

4. Скиба A.H., Рыжик В.И. О метанильпотентных формациях. - Препринт / Гомельский госуниверситет. Гомель, 1994. >19. 8с.

5. Ведерников В.А. Вполне факторизуемые формации конечных групп // Вопросы алгебры.- Минск: Университетское, 1990.- Вып.5. С. 28-34.

6;. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем, Ы.: Наука, 1989. -256 с.

7. Шеметков Л.А. Формации конечных груш. М.: Наука, 1978. -272 с.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

8. Сафонов В.Г. К теории критических формаций // Мевдународ-ная конференция по алгебре и анализу памяти Н.Г.Чеботарева: тез. докл.- Казань, 1994.- С.82-83.

9. Скиба А.Н., Сафонов В.Г. О подформации Фраттини кратнс локальной формации // Международная математическая конференция, посвященная 25-леиш Гомельского государственного университета: тезисы докладов, часть 1.- Гомель, 1994.- С. 58.

10. Скиба А.Н., Сафонов В.Г. О подформации Фраттини крата локальной формации. - Препринт / Гомельский госуниверситет. Гомель, 1994. J& 14. 5с.

И. Скиба А.Н., Сафонов В.Г. Подформации Фраттини кратнс локальных формаций // Мевдународная конференция по алгебре и ана-

лизу памяти Н.Г.Чеботарева: тез. докл.- Казань, 1994.- С.89.

12. Сафонов В.Г. О разрешимых локальных формациях нильпо-тентного дефекта 3 // Международная математическая конеференция, посвященная памяти С.А.Чуннхина. 4.1. Гомель, 1995. С. 111.

13. Сафонов В.Г. О локальных формациях с ограниченным ниль-потентным дефектом // Международная математическая конеференция, посвященная памяти С.А.Чунихина. 4.1. Гомель, 1995. С. ИЗ.

14. Сафонов В.Г. О разрешимых кратно локальных не §-форма-циях. - Препринт / Гомельский госуниверситет.- Гомель, 1995.- Л 22. - 16с.

15. Сафонов В.Г. О минимальных кратно локальных не ^-формациях конечных груш // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1995. Вып.8. С. 109-138.

16. Скиба А.Н., Сафонов В.Г. О подформации Фраттини кратно локальных формаций // ДАН Беларуси. - 1995. Т.39, & 5. - С. 101103.

17. Сафонов В.Г. О кратно локальных формациях с ограниченным нильпотентшм дефектом // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во'Гомельского ун-та, 1996. Вып.9. С. 112-127.

18. Сафонов В.Г. О кратно локальных формациях с системами нормально наследственных подформаций // Изв. вузов. Математика.-1996, $ 8.- С. 1-6.

19. Сафонов В.Г. О разрешимых локальных формациях нильпо-тентного дефекта 3 // Изв. АН Беларуси. Сер. ^из.-мат. наук. 1996, 13. С.'8-12.

РЕЗШЕ

Сафонов Василий Григорьевич Кратно локальные формации с заданной решеткой подформаций

Ключевые слова: конечная груша, класс груш, кратно локальная формация, подформация, локальный экран, локальная формация,

решетка формаций, ^-дефект, подформация Фраттини.

В диссертации с помощью методов теории формаций и метод общей теории решеток изучаются кратно локальные формации с зада ной решеткой подформаций. Классифицированы минимальные п-крат локальные не ^-формации, где 0 - к-кратно локальная формация, ш п > 0. Описана подформация Фраттини разрешимой гс-кратно локальн формации. Классифицированы разрешимые гс-кратно локальные формац шльпотентного дефекта $ 3. В классе разрешимых групп реше проблема 20.9 из книги Л.А.Шеметкова, А.Н.Скибы [Формации алге раических систем. М.: - Наука, 1989. - 256с.].

Все основные результаты работы являются новыми. Они име теоретический характер и могут быть использованы в исследовани по теории формаций алгебраических систем, а также • при чтен спецкурсов в университетах и пединститутах.

РЭЗЮМБ

Сафонау Вас1ль Рыгорав!ч Кратна лакальныя фармацы! з зададзенай рашоткай падфармацый

Ключавыя словы: канечная група, клас груп, кратна лакалы фармация, падфармацыя, лакальны экран, лакальная фармаць рашотка фармацый, ^-Дэфект, падфармацыя Фратын!.

У дысертацы! з дапамогай метадау тэоры! фармацый 1 мета; агульнай тэоры! рашотак вывучаюцца кратна лакальныя фармацы! зададзенай рашоткай падфармацый. Клас1ф1каваны м!н1малы д-кратна лакальныя не ^-фармацы!, дзе 5 - я-кратна лаквлы фармацыя, т > п } 0. Ап1сана падфармацыя Фратын! разрашш /г-кратна лакальнай фармацы!. Клас1ф!каваны разрашымыя га-кра' лакальныя фармацы 1 н!льпатэнтнага дэфекта < 3. У класе разраш-груп рашана праблема 20.9 з кн!г! Л.А.Шамяткова, А.Н.Ск:

[^apMaupl ajiredpai<fflHX cIctbm. M.: Hasyita, 1989. - 256c. ]

yce acHOjteae bhhIkI npaija 3'3BJiflK)uua hobhmI. Hhh Maioub Tsapara^HH xapaKTap i Moryiib öaub BHKapacTaHH y ^acjie^aBaffiïax na TBopai $apMaunft ajircdpaiimx cIctsm, a TaKcaMa irpa BHKJia^aHHi cneuKypcay y Ä3ipcyHiBepciT9Tax 1 neflincTUTyrax.

Summary

Safonov Vaslliy Grigorevich Multiply lokal formations with given lattice of subformations

Key words: finite group, class of groups, multiply local formation, subformation, local screen, local formation, g-defect, lattice of formations, Frattini subformation.

In this thesis the multiply lokal formations with, given lattice of subforniations is studed with the help of the methods of the formations theory and the methods of general theory lattices. Minimal n-multiply local non g-formations have been classified where % is a ^-multiply local formation for m > n } 0. A Frattini subformation of soluble n-multiply local formation has been disc-ribed. The soluble n-multiply local formations with nilpotent defect $ 3 have been classified. The solution of problem 20.9 from book L.A.Shemetkov, A.N.Skiba [Formations o.f algebraic systems. Moscow. Nauka. Main Editorial Board for Physical and Mathematical Literature, 1989.] are given in the classe of finite soluble groups.

All the main results of this thesis are new. They are of a theoretic character and may be used while providing investigations at the theory of the algebraic systems formations and while teaching institutes.

special courses in ujnversities and pedagogical

САФОНОВ Василий Григорьевич

Кратно локальные формации с заданной решеткой подформаций Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандида та физико-математических наук

Подписано в печать 20.09.96. Формат 60x90 1/16.

Бумага писчая 11. Усл. печ. листов 1,1. Уч.-изд. листов 1,0,

Тираж 75 экз. Заказ 15 9

Отпечатано с макета-оригинала на ротапринте ГГУ им. Ф.Ско-рины: 246699 г. Гомель, ул. Советская, 104.