Крупномасштабные пространственно-временные взаимодействия в нелинейной системе с оптической обратной связью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА., ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ • -' 0ЙунмВЕРСИТЕГ имени М.В.ЛОМОНОСОВА '

На правах рукописи " УДК 621.373:535.8

ИРОШНИКОВ Никита Георгиевич

КРШШАСШТАЕШЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ С ОПТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

(01.01.03 - математическая физика) > •

Авторефера т . диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА, 1993 г.

Работа выполнена на кафедре общей физики для физического факультета физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

" i

'V Научные руководители: доктор физико-математических наук. _ • профессор А.Н.Матвеев,

доктор физико-математических наук профессор М.А.Воронцов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профе ссор Ю.М.Романовский, . кандидат физико-математических наук, . .доцент А'.'в. Разгулян.

Ведущая организация: физический факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

Зэвдтэ состоится " 1\ " 1993 г.' ^часов

в ауд. Ю^^ на заседании Специализированного Ученого Совета N2 ОЭТФ (К 053.05.18) в МГУ им. М.В.Ломоносова (Москва, 119399, Воробьевы горы, физический факультет).

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ. ~ ;

Автореферат разослан " I"? " С-€М 1993 г.

Ученый секретарь специажзированного совета 112 ОЭТФ

кандидат физ.-мат. наук, ' "^Со-ЛЛ^^- П.А.Поляков

.--; .. .... .-.;..■■ : ; „ ' -3 -у. ' •.-.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ -- " - - :

Актуальность темы.' В настоящее время в -нелинейной оптике интенсивно исследуется новый класс задач, связанных с-:.фор?лгрр-.-'* • • ванием световых полей . со. слогшай • пространствш1Щ-врбм<;шо£Ь■* структурой.' В целом ряде_работ последних лет как" экспериментально, так и теоретически и методами числённого модй'лирования_ • -исследовались оптические системы ' (в частности, "н&лкнейшкз.'~ _ интерферометры с двумерной обратной связью), в которых воз^юкнз--- • реализация широкого снектра. явлений щюстранстветю-врёмГзшюй ;. динамики; включая генерацию разнообразных нелинейных структур. ' -

Открытие.явления оптической бистабильности (мультистабиль-ности) в таких системах привлекло к.шил интерес с точки зрения -создания на основе этих систем элементов оптических компьютеров'. -.(триггеры, элементы памяти и т.д.). Обнаруженные аналогии уравнений, описывающих нелинейные 'оптические системы с обратной связью, с уравнениями, возникающими при рассмотрении~ динамики искусственных нейронных сетей, привели к идее.использования таких систем в качестве нейрокомпьютеров. При этом оказалось не-, обходимым научиться реализовывзть (и, следовательно, описывать) ' пространственно-временные связи между отдельными точками оптической системы (нейронами) заданного типа: крупномасштабные и локальные. Наконец, явление перехода тагасс систем в состояние хаоса простим увеличением интенсивности входного поля, послужило толчком для использования их в качестве источников "искусственной турбулентности. Однако теоретическое исследование такйх систем затруднено в связи с тем, что происходящие в них " процессы имеют существенно нелинейный'характер.'В связи с этим актуальными являются попытки как численного анализа, таких систем, так и применения к ним различных методов исследования нелинейных систем, разработанных в синергетике и теории нейросетей.

Богатая нелинейная динамика явлений, наблюдаемых в оптических системах с двумерной обратной сеязью, связана с - наличием как локальных поперечных взаимодействий светового поля, обусловленных диффузией частиц нелинейной среды и дифракцией поля в контуре обратной связи, так и нелокальных, возникающих при пространственном преобразовании' и временном запаздывании шля в контуре обратной связи. Учет нелокальных взаимодействий приводит к постановке задач нового для нелинейной оптики типа: с

дифференциальным уравнением, содержащим значения неизвестной Функции е точках с преобразованными пространстЕенно-временшми координатами. Поиск методов решения таких задач является инте-ресшм объектом как для аналитического, так и для численного исследования.

Отметал, что в рассматриваемых системах сравнительно просто организовать управление образующимися в них нелинейными структурами. Аналитический анализ позволяет определить, какие именно параметры система являются определяющими для динамики структур, что необходимо для-экспериментальной реализации, той или иной модели поведения системы.

Целью диссертационной работы являлось изучение свойств нелинейного интерферометра с пространственным и временным .запаздыванием в контуре двумерной обратной связи, а также с учетом локальных взаимодействия за счет дифракции светового поля.

На.учная новизна результатов.' . '

- Впервые исследован нелинейный интерферометр с преобразованием поля в контуре обратной связи как по пространству (поворот), так и по времени (запаздывание сигнала) и предложен метод для анализа таких систем, основанный на разложении решения в ряд Неймана. '

- Установлено, что в такой системе возможно развитие ротацион-. них неустойчивостей пространственно-однородной модуляции фазы нелинейной среди при превышении интенсивностью входного поля некоторых пороговых значений, различных для временного и пространственного типа бифуркации фазы. . '.' • • ' ' -

- Выведено дисперсионное уравнение для ротационной неустойчивости с учетом запаздывания в контуре обратной связи и' показана возможность возбуждения таких неустойчивостей при произвольном угле поворота поля в контуре Обратной связи. ...

- Обоснована возможность примэнекя принципа подчинения для анализа взаимодействия ротационных волн вблизи порога возбухления; на основе этогб принципа произведена редукция бесконечномерной системы уравнений,.описывающих'взаимодействие ротационных мод, к конечномерной системе простых дифференциальных уравнений.

- Установлено, что вблизи точки бифуркации взаимодействие-ротационных волн реализуется в/форме конкуренции ИТА-типа ("победитель получает все"), характерной для динамики искусственных

.-■-. ' ' 5 нейросетей.

- Для численного анализа рассмзтрггеаемой' системы предложена разностная схема, дана оценка ее погрешности и обоснован метод дополнительных итераций для разрешения иелинейностн в этой схеме. • •

- Развит математический аппарат описания динамики нелинейного интерферометра с учетом дифракции поля в контуре обратной связи, оснований на-редукции исходной задачи к конечномерной системе уравнений- для амплитуд нелинейных мод.

- В результата аналитического и ч'ислэнного исследования удалось объяснить образование нового типа 'пространственной неустойчивости (полигоны) , наблюдавшейся в экспериментах. .

- Получено хорошее качественное соответствие между результатами теоретического исследования и экспериментальными наблюдениями условий-возбуждения'и дашаг,пии конкпзейщш полигонов.

- Показано, что взаимодействие полигонов шлоот характер кооперативной динамики. ' . ■

- Найдены условия удвоения пространственной частоты модуляции'-фазы нелинейной среды.

Практическая ценность диссертйшт. "

; Полученные в работе результаты и разработанные- в., процессе работы программы могут быть использованы для анализа динамических явлений -в оптических системах, - описываемых- нелинейными уравнениями в частных производных, а также при практической реализации систем на.основе интерферометров с двумерной обратной связью, применяемых для получения оптической турбулентности и формирования сЕетовых пучков с заданными свойства;,та. Защииавмые положения.' • • ■

1. Возможность на основе метода разложения решения в 'ряд Неймана адекватного описания динамики, модуляции Фазы нелинейной среды в нелинейном интерферометре с пространственно-временным преобразованием поля в контуре обратной связи. Метод позволяет учесть взаимодействие ротационных воля с различным пространственным периодом. .

2. Наличие запаздывания сигнала в контуре обратной связи приводит к обогащению спектра пространственно-временной неустойчивости вплоть до перехода к режиму динамического хаоса.

3. Взаимодейстзие ротационных, мод вблизи порога возбуждения

реализуется в. форме конкуренции WTA-типа. .. ..

- . 4. Усиление дифракционных эффектов в нелинейном интерферометре приводит к возникновению поперечных пространственных структур „полигонального типа. . .

5. Разработашшй математический аппарат описания динамики поли-~ тональных структур позволяет редуцировать исходную задачу к конечномерной системе уравнений для амплитуд нелиенйных мод. G. Дина?,вша взаимодействия-полигональных структур косит коллективный характер с возможностью порождения одних структур другими . -- • "

Апробация результатов работы.

Основные результаты диссертации докладывались на . Международной конференции "Оптическая память и нейронные сети" (Звенигород IS9I), XIV Международной конференции по когерентной и нелинейной оптике ICQIJ0'91, (Санкт-Петербург, 1991 г.),-.'-Международном симпозиуме по оптике, изображениям и . инструментарию SPIE, (Сан-Диего, 1993).

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация изложена на 130 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 79 наименований, содержит 52 рисунка. -

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ,

Во введении рассмотрены основные тенденции в изучении нелинейных оптичесютх систем, вызвавшие интерес к исследованию нелинейных интерферометров с преобразованием поля в контуре обратной связи. Сформулирована цель диссертационной работы, кратко изложены, содержание и структура. "

В первой главе диссертации рассмотрена.математическая модель пассивного нелинейного резонатора . с .оптической обратной связью, а также дан обзор ставших к настоящему времени класси-. чесними работ, посвященных анализу таких систем. Рассмотрены условия возбуждения и динамика пространственных поперечных структур в' зависимости от природа локальных и нелокальных езэ-

имодействий в контуре обратной связи. Дан анализ, влияния временного запаздывания в таких системах на динамику и переход к оптическому хаосу. Показано также, что в условиях сильной дифракции возникают пространственные структуры,' условия возбуждения и конкуренция которых существенно отличаются от случая локальных взаимодействий диффузионного типа.

В п.1Л рассматривается нелинейный интерферометр с поворотом поля в контуре обратной связи. Выводится уравнение для модуляции фазы нелинейной среды. Показано,- что в зависимости от угла поворота поля в контуре обратной связи в таких системах возможно возбуждение ротационных волн с различным пространственным периодом. Иллюстрируется также"гистерезисная зависимоЬть величины пространственно-однородного решения от интенсивности входного поля. Проанализирована зависимость порога возбуждения ротационных волн от характеристик резонатора.

В п.1.2. описывается, как влияет учет запаздывания сигнала в контуре обратной связи, т.е. конечность скорости распространения света, на. динамику системы. Показано, что по мере увеличения интенсивности входного поля в системе происходит каскад последовательных бифуркаций пространственно-однородного решения. Постепенное обогащение временного спектра решения через удвоение частот приводит; к квазихаотическ'ому режиму.

В п.1.3 описаны эффекты, возникающие в пассивном нелинейном резонаторе в случае "сильной" дифракции. В результате экспериментальных наблюдений и теоретических исследований обнаружено , ■ что в этом случае возможно возбуждение нового типа прост-•ранстЕенных структур - гексагонов, обладающих трансляционной симметрией 6 порядка и состоящих из отдельных локализованных в пространстве пятен.. Описан подход к описанию таких структур на основе разложения, пространственной модуляции фазы нелинейной среды в ряд по гармоническим фазовым решеткам. ' Показано, что конкуренция между гексагонами носит характер та-типа.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию одномерной по пространственной координате модели пассивного кольцевого ре-зонзтора с пространственно-временным. запаздыванием в контуре обратной связи. Приведен анализ динамики системы в окрестности точки .бифуркации. Найдены условий потери устойчивости пространственно-однородного решения и возбуждения ротационных мод.. На

•■''••. а

основе принципа подчинения произведена редукция бесконечномерной системы дифференциальных уравнений, описыващих амплитуды взаимодействующих менду. собой ротационных мод, к . конечномерной системе уравнений. Рассмотрены возможности . параметрического возбуждения ротационных мод при осцилляторной бифуркации средней фазы. Проанализирована конкуренция ротационных мод. Показано, что в результате конкуренции происходит подавление всех ротационных мод, кроме одной (динамика WTA-типа - "победитель получает все"). Приводятся результаты исследования динамики системы методами численного моделирования.

В п.2.1. показано,, что в случае запаздывания сигнала в контуре обратной связи как по времени, так и по пространству модуляция фазы нелинейной среда и в однопроходовом приближении, описывается уравнением:

а5У1Ы2 + u , jjöfiL + к £1 .+ 7С03 U(9+A,t-T)], (1)

вг вВ2

где 1 - время релаксации нелинейной среда, 0 - угловая координата, D - коэффициент диффузии, К - величина, пропорциональная интенсивности входного пучка, ц - видность интенференционной картины, А - угол поворота поля в контуре обратной связи, Т -время распространения сигнала с периодическими по углу граничными условиями. Решение ищется в еидэ гармонической волны (ро-' тационной моды): ' •

un(6,t) » An(t)C03(unt + n8) + ,u(t). (2)

Подставив (2) в (1) и считая амплитуда ротационных волн малыми, получены уравнения для'функций An(t), un(t) и частоты , (фазовые уравнения), из анализа которых найдены условия возбуждения ротационных мод, временных осцилляций, а танке выведено дисперсионное уравнение ш(п).-

. В n.2.Z. проанализирована система уравнений для параметра порядка. Решение (1) ищется в виде

о»

u(9,t) = ü(t) '+ £ An(t) coaCo)nt + п9]. (3)

П=1 '

После подстановки (3) в (1) получена бесконечная система урав-

нений для амплитуд ротационных мод An(t) (параметров порядка) и средней фазы ü(t), которая может быть отнесена к. известным в. синергетике системам уравнений для параметров порядка. Применяя к системе уравнений принцип подчинения, удается редуцировать систему к конечномерной, размерность которой N оценена как

1 /2 niax

^^{[«T-li/D] }+'l. . (4)

где через Int[ ] обозначена целая часть числа.

Оставшиеся Nmax уравнений описывают моды как с положительными, так и с отрицательными собственными значениями. Показано, чзо в окрестности точки бифуркации затухают мода с отрицательными собственными значениями, что позволяет произвести дальнейшую редукцию системы.

В п.2.3. рассмотрены вопросы, связанные с взаимодействием ротационных мод. Показано, что для рассматриваемой системы выполнено условие конкуренции. WTA-типа ("победитель получает все"), что означает, что в результате эволюции только одна мода может иметь ненулевую стационарную амплитуду.- Приведены результаты численных исследований как исходного уравнения (1), так и систем для амплитуд ротационных мод. Для решения уравнения (1) предложена неявная разностная схема, для разрешения нелинейности в правой части которой применен метод дополнительных итераций. Даш оценки аппроксимации и сходимости разностной схемы. Как показали численные исследования уравнения (1), в результате переходного процесса и нелинейной конкуренции в системе "выживает" лишь одна ротационная мода. "Победителем",, как правило, является ротационная мода, имеющая максимальное начальное значение коэффициента ап(0). .

Третья глава диссертации посвящена влиянию сильной дифракции на динамику нелинейного интерферометра с поворотом поля. Показано, что в таких системах формируются новые, полигональные структуры - "ахсеалн",'обладающие сложной кооперативной динамикой. В зависимости от угла поворота поля в контуре обратной связи (и начальных условий) образуются семейства ахсеалов с разной геометрией. Динамика WTA-типа наблюдается здесь при взаимодействии между семействами. Обсуждается также возможность порождения одногосемейства другим - свойства, существенно отличающего эту систему от случая гексагональных структур. Даш

результаты численного моделирования динамики такой системы.

В п.3.1. получена система ." уравнений, позволяющая учесть дифракцию при распространении света в контуре обратной связи: - ;

■ + и = Мхи + К |т0е1ф + VI А(г,ЪД)|г, (5а)

1вА(г,2,г)/02 = ¿^(г.г.г) "(5Ь)

А(г,0Д) = А1пехр(1и(гД)), - (5с)

где у/0 - коэффициент отражения зеркала ВЗ, и = 1 - т'0, <р ' -разность фазовых набегов ф = Ы.. Решение шлется в виде суперпозиции гармонических фазовых решеток - мод:

со

и(гД) = £ [«£<*) а1п(1уг) + а°(г) соа(1у) ] + йт (6).

_ „ п=1

(а®*с - амплитуды, кп - волновые векторы). После подстановки (6) в (5). получена система простых дифференциальных уравнений для Найдено выражение для порога возбуждения мод с' заданным волновым вектором.

В п.3.2. система простых дифференциальных уравнений редуцирована к 24 уравнениям для случая отсутствия поворота поля в контуре обратной связи и' к 4И - при повороте на угол 2%/Н. В правой части уравнений при этом остаются только определенные моды, геометрия расположения векторов которых соответствует преобразованию поля в контура обратной связи. -

В п.3.3. рассматривается взаимодействие различных мод друг с другом. Показано, что в линейном приближении (приближение малых амплитуд) в: случае отсутствия поворота, поля в контуре обратной связи динамика взаимодействия мод относится к конкуренции ИТА-типа. Однако, нарастание амплитуды победившей в конкурентной борьбе моды приводит к необходимости учета членов второго порядка. При этом оказывается, что "выжившая* мода порождает связанные с ней во втором порядке моды, которые ■ образуют стационарную структуру, соответствующую гексагону. В случае поворота поля мода взаимодействуют друг с другом уже в.первом порядке аппроксимации, причем возникающие структуры могут быть

как статическими, так и динамическими. В обоих случаях учет членов второго порядка по приводит к взаимодействию мод- с волновыми векторами, связанными соотношением: к = 2к'; определены условия, при которых такое взаимодействие приводит к порождении структур на удвоенной пространственной частоте.

Приведены результаты численного исследования системы (5), которые . подтвердили корректность проведенного амплитудного анализа. Полученные из (5) структуры показали хорошее качественное совпадение с наблюдаемыми в экспериментах.

В. заключении перечислены основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ • 1 .Предложен метод анализа динамики нелинейных ротационных волн в нелинейном интерферометре с оптической обратной связью при наличии запаздывания..Метод основан на использовании разложения решения в ряд Неймана и позволяет учесть взаимодействие ротационных волн с различными пространственными периодами.■ '

2.- Показано, что наличие запаздывания приводит к обогащению спектра пространственно-временной неустойчивости, а при увеличении значений управляющих параметров приводит к переходу к режиму динамического хаоса.

3. Показано, что вблизи по}к»га возбуждения взаимодействие ротационных волн реализуется в форме конкуренции ОТА-типа ("победитель получает все"), характерной для динамики искусственных нейросетей.

4. В результате численных экспериментов обнаружено, что усиле-•ние дифракционных эффектов в нелинейном интерфэромэгре может привести к возбуждению различного рода поперечных структур, обладающих круговой симметрией и состоящих из отдельных сильно локализованных в пространстве пятен (полигональные структуры).

•Определены условия возбуждения таких структур.

5. Развит математический аппарат описания динамики полигональных структур, основанный на редукции исходной задачи к конечномерной системе уравнений для амплитуд нелинейных мод.

6. В результате аналитического и численного исследования нелинейной пространственной динамики в интерферометре : с поборотом поля удалось объяснить образование нового типа пространственной неустойчивости (ахсеальные структуры), наблюдавшейся в экспери-

ментах. Получено хорошее качественной соответствие между результатам! теоретического исследования и экспериментом. Для таких структур найдены условия удвоения пространственной частоты модуляции фазы нелинейной среды. ■

. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Н.Г.Ирошников, "Поперечные ротационные волны в нелинейной оптической системе с запаздыванием", тез. ICONO'91, Leningrad, с.147, 1991.

2. M.A.Vorontsov, N.G.Iroshnlkov, "Nonlinear dynamics of neuro-morphic optical system with spatio-temporal Interactions", Proc. SPIE, vol.1621,'292-298, 19^1.

3. N.G.Iroshnlkov , M.A.Vorontsov . "Transverse rotating waves in the nonlinear optical system with spatial and temporal delay", Essay In nonlinear 0ptic3: ln memortam of Serge Atthma-nov. Бda.U.Weather, H.loroteev, M.ScuUu.-IG?, London, 1992. •

4. N.G.Iroshnlkov, "Diiiractional spatial patterns in optical systems with rotation", SPIE's 1993 International Symposium on Optics, Imaging and Instrumentation, San Diego, p.95.

Подписано в печать г! 09. ^ Заказ 73. • Тираж