Кусочно-непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.54. 517.968.23

Болотин Иван Борисович

КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2004

Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа Смоленского государственного педагогического университета

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор РАСУЛОВ Карим Магомедович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЗВЕРОВИЧ Эдмунд Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент ВАСИН Андрей Васильевич

Ведущая организация -Брянский государственный университет

Защита диссертации состоится Ю М'-С 2004 года в часов на засе-

дании Диссертационного совета К 212.199.02 в Российском государственном педагогическом университете им. А.И. Герцена по адресу:

191186, г. Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, 48, корп. 1, ауд. 226.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГПУ им. А.И. Герцена. Автореферат разослан " " 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. н., доцент А.П

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важнейшей областью современного комплексного анализа является теория краевых (граничных) задач для аналитических функций и различных их обобщений.

В настоящее время теория линейных граничных задач в классах аналитических функций комплексного переменного благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского, И.Н. Векуа, Н.П. Векуа, ФД Гахова, Э.И. Зверовича, Г.С. Литвинчука, С.Г. Михлина, H.H. Мусхелншвили, Б.В. Хведелидзе, Л.II. ЧибрикивоП и многих других известных математиков, в основном, приняла уже завершенный вид.

В то же время, за последние годы как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Китай, КНДР, Украина, ФРГ, Югославия и др.) интенсивно изучаются различные краевые задачи в классах функций более общих, чем класс аналитических функций комплексного переменного.

Одним из естественных обобщений аналитических функций комплексного переменного являются бианалитические функции.

Определение 1. Функция F(a) = U(x,у) + iV(x, у) называется бианалитической в области D комплексного переменного z = x + iy, если она в D имеет непрерывные частные производные по х и по у до второго порядка включительно (т.е. F(z) 6 C2{D)) и удовлетворяет там уравнению

д:2

= 0,

(1)

где

di~ 2\дх+%ду)

- дифференциальный оператор Коши-Рпмана.

Действительная и мнимая части бианалитической в области Б функции Г(г) = и(х,у) + ¿К(х,!/) являются бигармоническими в этой области, т.е.

Д2£/(х,у) = 0

ДяК(х,») = 0,

4 а2 а2

Д = — + —оператор

Лапласа.

Важно отметить, что впервые бианалитические функции зародились в математической теории упругости благодаря основополагающим работам Г.В. Колосова2 и Н.И. Мусхелишвили3. В частности, Г.В. Колосовым было обнаружено, что эффективным средством решения задач плоской теории упругости могут служить бианалити-ческие функции.

Основной цикл работ, посвященных изучению краевых задач для бпаналитических функций, был выполнен в течение трех последних десятилетий XX века математиками различных стран (СССР, ФРГ, Югославии и др.). Большой вклад в развитие теории краевых задач для бианалитических функций внесли A.B. Бицадзе, В А Габринович, М.П. Ганин, ФД. Гахов, В.И. Жегалов, Э.И. Зверович, КМ. Расулов. B.C. Рогожин. ИА Соколов, Н.Т. Хоп, Б. Дамьянович и другие.

Известно, что краевые задачи для бианалитических функций в зависимости от условий, налагаемых на искомые функции, делятся на три

1 Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.:Наука, 1977.

'Колосов Г.В. Применение комплексной переменной в теории упругости. - М.-Л.: ОНТИ, 1935. -224 с. . _

'Мусхелишвили Н.И. Некоторые иснинные задачи мичеьаЯО&ДОЩКОМАЛЬНАЯ М.: Наука, im-707 с. I БИБЛИОТЕКА

I Cflmi 3 » 03 too

и

1) непрерывные задачи - от искомых функций требуется непрерывность вплоть до границы-,

2) кусочно-непрерывные задачи - допустимо нарушение непрерывности искомых функций лишь в конечном числе точек границы;

3) разрывные задачи - все остальные.

В настоящее время в случае непрерывных коэффициентов и областей, границами которых являются гладкие замкнутые кривые, теория краевых задач для бианалити-ческих функций приобрела практически завершенный вид4. Однако, в случае разрывных коэффициентов и областей, границами которых являются разомкнутые кривые, основные краевые задачи в классах бианалитических функций до настоящего времени оставались не исследованными.

К таким задачам относятся следующие две классические краевые задачи типа Римана.

Пусть X - произвольный гладкий (замкнутый или разомкнутый) контур в плоскости комплексного переменного г = х + »у, уравнение которого имеет вид: < = х{з) + ¿¡/(з), 0 < з < где ,5 - натуральный параметр.

Требуется найти все кусочно-бианалитические футЩя^ слиниейскачков Ь, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие при Ь следующим краевымусло-виям:

Задача I.

(2) (3)

где

+ {¿к-)

(4)

(5)

- производная по внутренней (внешней) нормали к контуру

<7*(0 = 0,1,2) - заданные на контуре Ь функции.

Отметим, что впервые граничные задачи вида в случае непрерывных ко-

эффициентов и областей, границами которых являются гладкие замкнутые кривые, были поставлены Ф. Д. Гаховым в его известной монографии "Краевые задачи" как одни из основных краевых задач для бианалитических функций.

В случае, когда контур Ь состоит из конечного числа попарно непересекающихся простых гладких замкнутых кривых и непрерывных коэффициентов, задачи I и II были подробно исследованы в работах К. М. Расулова4.

В дальнейшем задачи будем называть

ми задачами типа Римана в классах бианалитических функций или, для краткости, задачами и соответственно.

чРасулор К.М.'Краевые задачи дл(Г полианалитических функций и некоторые и* приложения.

Поскольку задачи Й1,г и до сих пор оставались не исследованными в случае разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров, то разработка методов их решения на сегодняшний день является актуальной проблемой.

Цель работы. Разработка методов решения кусочно-непрерывных краевых (граничных) задач типа Римана (задач й^з и Й2,з) в классах бианалитических функций в случае областей, границами которых являются окружность, дуга окружности, прямая и объединение конечного числа отрезков, лежащих на одной прямой, построение теории их разрешимости, исследование их на нетеровость.

Методика исследования. В диссертации используются методы комплексного анализа, теория скалярной краевой задачи Римана с разрывными коэффициентами для аналитических функций комплексного переменного.

Научная новизна. В диссертации впервые исследуются краевые задачи типа Ри-мана в классах бианалитических функций с разрывными коэффициентами в случае круга и полуплоскости, а также в случае, когда границей области является дуга окружности и совокупность отрезков, лежащих на одной прямой. Разработаны методы решения рассматриваемых задач, установлены условия их разрешимости.

Теоретическая значимость заключается в том, что в диссертации исследуются основные кусочно-непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианали-тических функций. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости и нетеровости рассматриваемых задач.

Практическая значимость. Рассматриваемые в работе краевые задачи и различные их обобщения представляют ти приложения в тех областях, где

функций комплексного переменного и их обобщений, например, в теории упругости и теории фильтрации.

Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов, а также на спецкурсах и лабораторных занятиях для математиков и физиков прикладных групп.

Достоверность результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Методы решения задач й],2 и й^ с разрывными коэффициент ами в случае кр> га

и полуплоскости;

2. Установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач Й1,2 и йг,2 с разрывными коэффициентами в случае круга и полуплоскости;

3. Методы решения задач и в случае полуокружности и в плоскости со щелями;

4. Установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач и в случае полуокружности и в плоскости со щелями;

Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя. В совместных работах [4], [7] постановки задач и методика исследования картин разрешимости принадлежат научному руководителю. Все выкладки в обосновании результатов принадлежат автору диссертации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения" (Смоленск, 2003 г.), на 12-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004 г.), на научной конференции Терце-новские чтения" (Санкт-Петербург, 2004 г.), научном семинаре кафедры математического анализа Брянского государственного университета (руководитель - Шамоян ФА, Брянск, 2004 г.), на Минском городском семинаре по математическому анализу и его приложениям (руководитель - профессор Э.И. Зверович) и неоднократно на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам комплексного анализа и их приложениям при Смоленском государственном педагогическом университете (руководитель - профессор К.М. Расулов).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из них, как уже отмечалось, работы [4], [7] выполнены совместно с научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 76 наименований. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (1.2) (или теорема 12) означает вторую формулу (теорему) в первой главе. Общий объем работы составляет 106 страниц, подготовленных с использованием издательской системы LATEX.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, кратко изложено основное содержание диссертационной работы.

Первая глава "Вспомогательные сведения и краткий обзор литературы" состоит из двух разделов. В первом разделе вводятся основные и часто используемые обозначения и понятия. Главным среди них является определение кусочно-бианалитической функции класса Л2(£>) П

Второй раздел посвящен исследованию свойств производной решения краевой задачи Римана, играющих важную роль при изучении первой и второй основных задач типа Римана для бианалитических функций.

В подразделах 1.2.1 - 1.2.3 приводятся известные результаты исследования краевой задачи Римана с разрывными коэффициентами как в случае гладкого замкнутого контура, так и в случае областей, границами которых являются гладкие разомкнутые кривые I.. в классах кусочно-аналитических функций с лнпиеП скачков /,, имеющих

полюс первого порядка в одной точке.

Далее существенную роль будет играть задача Римана. состоящая в отыскании всех кусочно-аналитических функций с линией скачков имеющих полюс в начале координат, ноль заданного порядка на бесконечности и удовлетворяющих

на контуре L следующему краевому условию:

df(z) dz

/+(0 = С(0Г(<) + 5(<),

где и </(<) - заданные на Ь функции.

Подраздел 1.2.4 посвящен подробному исследованию поведения производной

решения краевой задачи (6) в окрестности узлов, а также ее граничных значений в случае разрывных коэффициентов и гладкого замкнутого контура.

Поведение производной решения задачи Римана с разрывными коэффициентами в окрестности узлов играет важную роль при исследовании основных краевых задач типа Римана и Яг,г с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций.

И, наконец, в подразделе 1.2.5 исследуется поведение производь

dz

краевой задачи (С) в окрестности концов, а также ее граничных значений в случае областей, границами которых являются гладкие разомкнутые кривые.

Поведение производной решения задачи Римана в случае областей, торых являются гладкие разомкнутые кривые, в

роль при исследовании основных краевых задач типа Римана в случае

областей, границами которых являются гладкие разомкнутые кривые.

В третьем разделе представлен обзор литературы по теме диссертации.

Вторая глава "Первая и вторая основные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций с разрывными коэффициентами в случае круга и полуплоскости" посвящена исследованию задач и в случае, когда коэффициенты задачи имеют разрывы I рода в конечном числе точек (узлах) при условии, что контур Ь является либо единичной окружностью с центром в начале координат, либо действительной осью.

Данная глава состоит из четырех разделов.

В разделе 2.1 дается точная постановка задачи Л^г с разрывными коэффициентами в случае единичной окружности и излагается суть метода ее исследования.

Пусть Ь = {*: Щ = 1}, 0+ = {г : |г| < 1} и Я" =

Известно, что всякую кусочно-бианалитическую функцию с линией скачков можно представить в виде:

РЫ _ J = VÎW + itfW. г G ÎW"l /-(*) = Vb W + W, « € D-,

(7)

где <ft{z) - аналитические функции в области D+ (т.е. tp]£(г) € A(D+)), ¥>*(г) -аналитические функции в области D~ (т.е. ^ï(z) е A(D~)), к = 0,1, называемые аналитическими компонентами кусочно-бианалитической функции F(z).

Здесь устанавливается, что для решения и качественного исследования первой основной краевой задачи типа Римана Яи в случае круга, целесообразно искать ее решение в виде:

При этом функции /¿(z), f*(:) аналитические в области D+ за исключением, быть может, точки ; = 0, а /¿"(-г), /Г(г) аналитические в области D~ функции, которые связаны с аналитическими компонентами искомой кусочно-бианалитической функции следующими формулами:

viw = JÎM - vf («) = */.*(*)-

(9)

Учитывая соотношения

дх дг+ЯГ дy~l\dz dz) '

(Ю)

и замечая, что на L = {i : |i| = 1} справедливо равенство

1

t =

t'

(11) (12)

краевые условия (2)-(3) можно переписать в виде:

Ф+(«) = с, (0ФГ(*) + <&(*),

где - исчезающие на бесконечности

кусочно-аналитические функции с линией скачков £ класса Н. И. Мусхелишвили /¡о, связанные с аналитическими функциями /о(г) и /*(;) следующими формулами:

(13)

(14)

Таким образом, установлено, что задача Я^г в случае единичной окружности равносильна системе двух независимых задач Римана относительно исчезающих на бесконечности кусочно-аналитических функций соответственно.

Далее, используя метод решения таких задач, предложенный Ф.Д. Гаховым, находим функции Ф1 (г) и Фа(г), то есть решения задач (13) и (14).

По найденным $1(2) и Фз(г) функции /о(г) И /1(2) определяются по формулам:

(15)

(16)

где Г+ (Г") - произвольная гладкая кривая, целиком лежащая вобл (Ой) и соединяющая точки

Наконец, по формулам (9) восстанавливаются аналитические компоненты искомой кусочно-бианалитической функции, а затем и сама кусочно-бианалитическая функция по формуле (7).

Таким образом, в разделе 2.1 получен следующий результат. Теорема 2.1. Пусть Ь = {< : = 1}. Тогда решение задачи Ям сводится к решению в классе Н.И. Мусхелишвили Ио двух обычных скалярныхзадач Римана (11) и (12) относительно кусочно-аналитическихфункций, исчезающихна бесконечности. Задача й^г разрешима тогда и только тогда, когда одновременноразрешимы задачи (11) и (12) в указанных классах функций.

Затем исследуется картина разрешимости задачи в случае единичного круга. Обозначим через «1 и л'з индексы задач (И) и (12) соответственно. Число к = будем называть индексом задачи в случае единичного круга, а и к^ - ее частными индексами.

Тогда для полного исследования картины разрешимости нужно рассмотреть 9 различных случаев в зависимости от значений частных индексов К| к Кг-

Заключает эти исследования следующая теорема.

Теорема 2.2 При любых значениях индекса к = + кг каы число р условий разрешимости неоднородной задачи Я^г, так и число 1 линейно независимых решений соответствующей однородной задачи, являются конечными, т.е. задача ,й]у является нетеровой.

Раздел 2.2 посвящен исследованию задачи йг,2 с разрывными коэффициентами в случае единичного круга. Здесь дается точная постановка задачи, в подразделе 2.2.1 подробно излагается решение задачи Яг.з, а в подразделе 2.2.2 описывается картина разрешимости задачи в данном случае.

Предложенный в разделе 2.2 метод решения Дг.а в случае круга иллюстрируется на конкретном примере (пример 2.1).

В разделе 2.3 дается точная постановка задачи й^з с разрывными коэффициентами в случае полуплоскости и излагается метод ее исследования.

Поскольку вснкую кусочно-бианалигическую функцию с линией скачков £ можно

представить в виде (7), то здесь устанавливается, что для решения и качественного исследования первой основной краевой в случае полуплоскости,

целесообразно искать ее решение в виде:

(17)

При этом аналитические в области функции /о"(г), и аналитические в об-

ласти функции /¡¡(я), /Г(г) связаны с аналитическими компонентами искомой кусочно-бианалитической функции следующими формулами:

(18)

Тогда, учитывая соотношения (10), и в силу того, что на действительной оси Ь = {( : справедливо равенство краевые условия (2)-(3) можно переписать

соответственно в виде:

*Л0 = С,(»)ФЛ0+Й(0. (19)

ЛЧО = са(о/г(<) + - адмо -

(20)

¿г

где Ф0(»

Таким образом, установлено, что задача в случае полуплоскости сводится к последовательному решению двух задач Римана (19) и (20) относительно кусочно-аналитических функций, имеющих на бесконечности ноль не ниже второго порядка.

Далее, используя метод решения таких задач, предложенный Н.Н. Мусхелишвили, находим функции Фо(г) И /1(2), то есть решения задач (19) и (20).

По найденной функции с помощью интегрирования находим:

/о(*) = /

(21)

где Г+ (Г-) произвольная гладкая кривая, ЦСЛПКОМ лежащая в области 0+ (1)~) II соединяющая точку с произвольной точкой области

Наконец, по формулам (18) восстанавливаются аналитические компоненты искомой кусочно-бианалитической функции, а затем и сама кусочно-бианалитическая функция по формуле (7)

Таким образом, в разделе 2.3 получен следующий результат. Теорема 2.5. Пусть Ь = {/ : /т/ = 0}. Тогдо решение юдачи Я,-г 6 случае полуплоскости сводится к решению в классе Н. И. Мусхелишвили кц двух Обычных скалярных задан Римана (19) и (20) относительно кусочно-аналитических функций, имеющих на бесконечности ноль второго порядка. Задана Я^ разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы задачи (19) и (20) в указанных классах функций.

В заключение этого раздела исследуется картина разрешимости задачи Ях.2 в случае полуплоскости.

Обозначим через Ку и Кг индексы задач (19) и (20) соответственно. Число к = К1 + к% будем называть индексом задачи #1,2 в случае полуплоскости, а числа к.\ И К} - ее частными индексами.

Тогда для полного исследования картины разрешимости нужно рассмотреть девять различных случаев в зависимости от значений частных индексов и Кг.

Подытоживает эти исследования следующая теорема.

Теорема 2.6 При любых значениях индекса к = + к? как число р условий разрешимости неоднородной задачи /?1,а, так и число I линейно независимых решений соответствующей однородной задачи, являются ронечныии. т.е. мдача Я^г является нетеровой.

Раздел 2.4 посвящен исследованию задачи йг,2 с разрывными Коэффициентами в случае полуплоскости. Здесь дается точная постановка задачи, в подразделе 2.4.1 подробно излагается решение задачи Яз.з, а в подразделе 2.4.2 исследуется картина разрешимости задачи Яг,2 в данном случае.

Предложенный в разделе 2.4 метод решения в случае полуплоскости иллюстрируется на конкретном примере (пример 2.2).

Третья глава "Первая и вторая основные краевые задачи типа Римана для биана-литических функций в случае полуокружности и плоскости со щелями" посвящена исследованию задач Я^г И Яг,2 в случае, когда контур £ является либо дугой единичной окружности с центром в начале координат, либо исключенными из полной комплексной плоскости отрезками действительной оси.

Данная глава состоит из четырех разделов.

Раздел 3.1 посвящен исследованию задачи Я1.2 в случае, когда контур Ь представляет собой

постановка задачи, в подразделе 3.1.1 подробно излагается решение задачи /?|,з. а в подразделе 3.1.2 исследуется картина разрешимости задачи Й1,2 в данном случае.

В разделе 3.2 дается точная постановка задачи в случае, когда контур является дугой единичной окружности, и излагается метод ее исследования.

Так как всякую кусочно-бианалитическую функцию с линией скачков можно представить в виде:

*"(*) = ¥>о(г) + гуч(г). (22)

где ^(г) £ А(0) {к = 0,1), то здесь указывается, что для решения и качественного исследования второй основной краевой задачи типа Римана, целесообразно искать ее решение в виде:

ОД = /о(г) +(«-!)/, (г). (23а)

При этом функции /о(г), Л(г), аналитические в области £>, за исключением быть может, начала координат, связаны с аналитическими компонентами искомой кусочно-бианалитической функции формулами:

<*»(*) = Ш - Л(»), лМ = г/,(г

Тогда, учитывая соотношения

(236)

и замечая, что на контуре Ь справедливо равенство краевые условия (4)-(5) можно переписать в виде:

(24)

(25)

Таким образом, установлено, что задача в случае полуокружности сводится к последовательному решению двух задач Римана (24) и (25) относительно кусочно-аналитических функций, имеющих полюс первого порядка в начале координат.

Причем устанавливается, что решение задачи (24) следует искать в классе функций, исчезающих на бесконечности и ограниченных на концах контура £: решение задачи (25) следует искать в классе Н. И. Мусхелишвили Ло и имеющих на бесконечности ноль третьего порядка.

Далее, используя метод решения таких задач, предложенный Ф.Д. Гаховым, находим функции то есть решения задач (24) и (25).

Тогда по формулам (236) восстанавливаются аналитические компоненты искомой кусочно-бианалитической функции, а затем и сама кусочно-бианалитическая функция по формуле (22).

Таким образом, в разделе 3.2 получен следующий результат.

Теорема 3.3. Пусть Ь = {< : 4 = е",0 < 3 < 1г}. Тогда решение задачи Ла.а сводится к последовательному решению двух обычных скалярных задач Римана (24) и (25) относительно кусочно-аналитических функций, имеющих полюс перього порядка в начале координат. Причем решение задачи (24) требуется искать в классе функций, исчезающих на бесконечности и ограниченных на концах контура Ь; решение задачи (25) следует искать в классе функций, имеющих на бесконечности НОЛЬ третьего порядка и бесконечность интегрируемого порядка на концах контура Ь.

Далее исследуется картина разрешимости задачи Д^д в данном случае.

Обозначим через К\ И кг индексы задач (24) и (25) соответственно. Число л" = К1 + «2 будем называть индексом задачи Л],2 в случае полуокружности, а числа К\ и «2 - ее частными индексами.

Тогда для полного исследования картины разрешимости нужно рассмотреть 9 различных случаев в зависимости от значений частных индексов и к2.

Завершает эти исследования следующая теорема.

Теорема 3.4 При любых значениях индекса К = к.\ + Кг как число р условий разрешимости неоднородной задачи Ктак и Число I линейно независимых решений

соответствующей однородной задачи, являются конечными, т.е. задача Rzj является нетеровой.

Раздел 3.3 посвящен исследованию задачи üi,a в случае, когда контур L представляет собой совокупность отрезков действительной оси, не имеющих общих точек,

»I

то е L = U Lm, где Ln — [ümibm]. ь приводится точная постановка задать

чи, в подразделе 3.3.1 подробно излагается решение задачи Äj.j, а В подразделе 3.3.'2 рассматривается картина разрешимости задачи Rlti в данном случае.

Завершает это исследование конкретный пример (пример 3.1).

В разделе 3.4 дается точная постановка задачи Rjj в плоскости со щелями и излагается метод ее исследования.

Зная, что всякую кусочно-бианалитическую функцию с линией скачков L в области D можно представить в виде (22), здесь указывается, что для решения и качественного исследования второй основной краевой задачи типа Римана, целесообразно искать ее решение в виде:

= + (*-*)/»(*). (26а)

При этом кусочно-аналитические в области D функции /о(г) И fi(z) связаны с аналитическими компонентами искомой кусочно-бианалитической функции формулами:

Тогда, учитывая соотношения

и замечая, что на L справедливо равенство t = i, краевые условия (4) (5) переписать соответственно в виде:

Таким образом, установлено, что задача в случае плоскости со щелями сводится к последовательному решению двух задач Римана (27) и (28) относительно кусочно-аналитических функций в плоскости со щелями. Причем доказывается, что решение задачи (27) следует искать в классе функций, исчезающих на бесконечности на концах контура решение задачи (28) следует искать в классе функций, имеющих на бесконечности НОЛЬ игорого поря 1Ка и бесконечность КНГС1-рируемого порядка на концах контура

Далее, используя метод решения таких задач, предложенный Ф.Д. Гаховым, находим функции /о(г) И /,(*), то есть решения задач (27) и (28).

Наконец, по формулам (26б) восстанавливаются аналитические компоненты искомой кусочно-бианалитической функции, а затем и сама кусочно-бианалитическая функция по формуле (22)

Таким образом, в разделе 3.4 получен следующий результат.

Теорема 3.7. П )L ~ Ü ¿mj & ~ C\L. <) а решение задачи в плоскости

со щелями сводится к последовательному решению двух обычных скалярных задач Римана (27) и (28) относительно кусочно-аналитических функций с линией скачков L.

(266)

(27)

(28)

Причем решение задачи (27) ищется в классе функций, исчезающих на бесконечности и ограниченных на концах контура; решение задачи (28) ищется в классе функций, имеющих на бесконечности ноль второго порядка и бесконечность интегрируемого порядка на концах контура Ь.

В заключение этого раздела исследуется картина разрешимости задачи Я2,2 в плоскости со щелями.

Обозначим через И «г индексы задач (27) и (28) соответственно. Число к = К] + Кг будем называть индексом задачи Яг,г в плоскости со щелями, а ЧИС1Э /С) И «г - ее частными индексами.

Тогда для полного ксслрювания картины разрешимости нужно рассишрек, (р-

вять различных случаев в зависимости от значений индексов и «2

Устанавливается справедливость следующего утверждения.

Теорема 3.8. При любых значениях индекса к = + к^ как число р условий разрешимости неоднородной задачи в плоскости со щелями, так и число линейно независимых решений соответствующей однородной задачи, являются конечными, т.е. задача Яг.г в плоскости со щелями является нетеровой.

Предложенный в разделе 3 4 метод решения Яг.г иллюстрируется на конкретном примере (пример 3.2).

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Болотин И.Б., Расулов К.М. Об одной модельной однородной задаче типа задачи Римана с бесконечным индексом в классе бианалитических функций // Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям / Смоленский гос. пед. ун-т. - Смоленск, 2002. - Вып. 4.- С. 26-36. (0,5/0,13 п.л.)

2. Болотин И.Б. Об одной краевой задаче типа задачи Римана для бианалитических функций на отрезке // Материалы международной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения". - Смоленск: Изд-во СГПУ, 2003. - с. 102-103. (0,06 п.л.)

3. Болотин И.Б. О краевой задаче типа задачи Римана ДЛЯ бианалитических функций на плоскости с разрезами // Труды матем. центра НМ. Н.И.Лобачевского. - Казань, 2003. - Т. 19. - С. 36-37. (0,06 п.л.)

4. Болотин И.Б. Вторая основная краевая задача типа

ких функций в плоскости со щелями // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции "Герценовские чтения - 2004". - СПб. - 2004. - С. 8-14. (0,38 п.л.)

Первая основная краевая задачи типа Римана с разрывными ко эффициентами для бианалитических функций в случае полуплоскости // Материалы V международной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения". - Смоленск: Изд-во СГПУ, 2004. - с. 112-113. (0,06 п.л.)

6. Bolotin LB., Rasulov K.M. About the solution of the first basic boundary value problem of Riemann's type for bianalytical functions in a plane with slots // Mathemmatical Modeling and Analysis. - Vilnius. - Volume 9. - N2. - 2004. - P. 9198. (0,4/0,1 п.л.)

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю К.М. Расулову за постановку задач и внимание, оказанное при выполнении данной работы.

Подписано в печать 43» О^.

Тираж 100 экз. Заказ №799 Санкт-Петербург, ООО "АБЕВЕГА", Московский пр., д. 2/6 Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД № 69-299

» 12 ö 37

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Основные обозначения и понятия

1.2. Некоторые вспомогательные предложения

1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических функций

ГЛАВА II. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ КРУГА И ПОЛУПЛОСКОСТИ

2.1. Первая основная краевая задача типа Римана с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций в случае круга

2.2. Вторая основная краевая задача типа Римана с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций в случае круга

2.3. Первая основная краевая задача типа Римана с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций в случае полуплоскости

2.4. Вторая основная краевая задача типа Римана с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций в случае полуплоскости

ГЛАВА III. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПОЛУОКРУЖНОСТИ И ПЛОСКОСТИ СО ЩЕЛЯМИ

3.1. Первая основная краевая задача типа Римана в классах бианалитических функций в случае полуокружности

3.2. Вторая основная краевая задача типа Римана в классах бианалитических функций в случае полуокружности

3.3. Первая основная краевая задача типа Римана в классах бианалитических функций в плоскости со щелями

3.4. Вторая основная краевая задача типа Римана в классах бианалитических функций в плоскости со щелями

Важнейшей областью современного комплексного анализа является теория краевых (граничных) задач для аналитических функций и различных их обобщений.

В настоящее время теория линейных граничных задач в классах аналитических функций комплексного переменного благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского [17], И.Н. Веку а [18], Н.11. Векуа [19], Ф.Д. Гахова [23], И И. Данилюка [25], Э.И. Зверовича [28]-[30], Г.С. Литвинчука [38]-[40], С.Г. Михлйна [42], Н.И. Мусхелишвили [45], Б.В. Хведелидзе [70], Л.И. Чибриковой [71] и многих других известных математиков, в основном, приняла уже завершенный вид.

В то же время, за последние годы как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Китай, КНДР, Украина, ФРГ, Югославия и др.) интенсивно изучаются различные краевые задачи в классах функций более oбщиXj чем класс аналитических функций комплексного переменного.

Одним из естественных обобщений аналитических функций комплексного переменного являются бианалитические функции.

Определение 0.1. Функция Р(г) = и{х,у) + г\г(х,у) называется бианалитической в области П комплексного переменного 'г-'— х + гу, если она,в I) имеет непрерывные частные производные по х и по у до второго порядка включительно (т.е. £ С2(1))) и удовлетворяет там уравнению . а ^ где — ■= - [ -—|- г~.|: - дифференциальный оператор Коши-Римана. дz 2 \ох , ду)

Это определение принадлежит П. Бургатти [74].

Действительная и мнимая части бианалитической в области I) функции ^(2) = ?7(ж, ?/)+гУ(ж, у) являются бигармоническими в этой области, т.е.

ААЪт(х,у) = 0 и ААУ(х:у) = О, д2 д2 где А = ——¡г + —г - оператор Лапласа (см., например, [9], [23]). ох1 оу1, , ■

Важно отметить, что впервые бианалитические функции зародились в математической теории упругости благодаря основополагающим,работам Г.В. Колосова и Н.И. Мусхелишвили (см., например, [33],

44]). В частности, Г.В. Колосовым было обнаружено, что эффективным средством решения задач плоской теории упругости могут служить бианалитические функции.

Основной цикл работ, посвященных изучению краевых задач для бианалитических функций, был выполнен в течение трех последних десятилетий XX века математиками различных стран (СССР, ФРГ, Югославии и др.). Большой вклад в развитие теории краевых задач для бианалитических функций внесли A.B. Бицадзе, В.А. Габринович, М.П. Ганин, Ф.Д. Гахов, Б. Дамьянович, В.И. Жегалов, K.M. Расулов, B.C. Рогожин, И.А. Соколов, Н.Т. Хоп и другие.

Известно (см., например, [59]), что краевые задачи для бианалитических функций в зависимости от условий, налагаемых на искомые функции, делятся на три группы:

1) непрерывные задачи - от искомых функций требуется непрерывность вплоть до границы;

2) кусочно-непрерывные задачи - допустимо нарушение непрерывности искомых функций лишь в конечном числе точек границы;

3) разрывные задачи - все остальные.

В настоящее время в случае непрерывных коэффициентов и областей, границами которых являются гладкие замкнутые кривые, теория краевых задач для бианалитических функций приобрела практически завершенный вид (см. [55] и имеющуюся там библиографию). Однако, в случае разрывных коэффициентов и областей, границами которых являются разомкнутые кривые, основные краевые задачи в классах бианалитических функций до настоящего времени оставались неисследованными.

К таким задачам относятся следующие две классические краевые задачи типа Римана.

Пусть L - произвольный гладкий (замкнутый или разомкнутый) контур в плоскости комплексного переменного z = х + гу, уравнение которого имеет вид: t = x(s) + iy(s), 0 < s < /, где s - натуральный параметр.

Требуется найти все кусочно-бианалитические функции F(z) = = {F+(z), F~(z)}, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие при t £ L следующим краевым условиям:

Задача I.

Задача II.

0.4) д ( д \ - , -X где —— —— - производная по внутренней (внешней) нормали к оп+ \ОП-] контуру (?*.(£), дь(Ь) (к = 0,1,2) - заданные на контуре Ь функции.

Отметим, что впервые граничные задачи вида I и II в случае непрерывных коэффициентов и областей, границами которых являются гладкие замкнутые кривые, были поставлены Ф. Д. Гаховым в его известной монографии (см. [23], с. 316) как одни из основных краевых задач для бианалитических функций.

В случае, когда контур Ь состоит из конечного числа попарно непересекающихся простых гладких замкнутых кривых и непрерывных коэффициентов, задачи I и II были подробно исследованы в работах К. М. Расулова [49]-[55].

В дальнейшем задачи I и II будем называть первой и второй основными краевыми задачами типа Римана для бианалитических функций или, для краткости, задачами и #2,2 соответственно.

Поскольку задачи и ^2,2 Д° сих пор оставались не исследованными в случае разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров, то разработка методов их решения на сегодняшний день является актуальной проблемой.

Целью настоящей работы является разработка методов решения кусочно-непрерывных краевых задач типа Римана (задач и ^2,2) в классах бианалитических функций в случае областей, границами которых являются окружность, дуга окружности, прямая и объединение конечного числа отрезков, лежащих на одной прямой; построение теории их разрешимости, исследование их на нетеровость.

Перейдем к краткому изложению содержания работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12]-[16], [73] и докладывались на IV и V международных конференциях "Системы компьютерной математики и их приложения" (Смоленск, 2003-2004 гг.), на 12-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004 г.), на научной конференции "Герценовские чтения" (Санкт-Петербург, 2004 г.), на Минском городском семинаре по краевым задачам и интегральным уравнениям (руководитель - профессор Э.И. Зверович), на научном семинаре кафедры математического анализа Брянского государственного университета (руководитель - профессор Ф.А. Шамоян) и неоднократно на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам комплексного анализа и их приложениям при Смоленском государственном педагогическом университете (руководитель - профессор K.M. Расулов).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 76 наименований. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (1.2) (или теорема 1.2) означает вторую формулу (теорему) в первой главе. Общий объем работы составляет 106 страниц, подготовленных с использованием издательской системы LATEX.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю K.M. Расулову за постановку задач и внимание, оказанное при выполнении данной работы.

Глава I \

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР

1.1. Основные понятия и обозначения

2. Всюду в дальнейшем класс бианалитических в области И функций будем обозначать через .^(.О), а через А(О) класс аналитических (голоморфных) в В функций. \

3. Если Ь состоит из одной разомкнутой гладкой дуги или нескольких гладких разомкнутых дуг Ьт = атЬт, т = 1,2, .,п, не имеющих общих точек (в том числе и концов), то полную комплексную плоскость, разрезанную вдоль будем обозначать через

4. Следуя Н.И. Мусхелишвили (см. 45., с. 16), точки, которые служат концами гладких дуг, составляющих кусочно-гладкий контур X, мы будем называть узлами линии Ь.

5. К числу узлов мы можем, по нашему усмотрению, в зависимости от удобства, относить и любые другие точки контура Ь, то есть точки, расположенные на его гладких частях.

6. Точки контура Ь, отличные от узлов, мы будем называть обыкно,-венными.

7. В дальнейшем понятие кусочно-аналитической (кусочно-голоморфной) функции с линией скачков Ь понимается в смысле Н.И. Мусхелишвили (см. 45., с. 36).

8. Если бесконечно удаленная точка принадлежит контуру Ь, то вместо (1.1) функция д{£) должна удовлетворять условиюд(Ь)-д{Ь)<А1.2)1 1 ^1. Тг~Т2

9. Класс функций д(Ь), определенных на Ь и удовлетворяющих условию Гельдера вместе со своими производными до порядка ш (ш > 1) включительно, будем обозначать через Н^^Ь).

10. Во всех рассуждениях, где значение показателя Гельдера ¡1 не играет роли, вместо Нр(Ь) и будем писать Н(Ь) и Н^т\Ь) соответственно.

11. Пусть <%(£) функции, однозначно определенные соответственно на (закрытых) дугах Ь^ (к = 1,2, составляющих Ь, и пусть д(Ь)- функция, определенная на Ь следующим образом:л-ри t е Ьк, к = 1,2,.,р.

12. Если все функции удовлетворяют условию Гельдера на соответствующих (закрытых) дугах то мы будем говорить, что функция д{£) принадлежит классу на Ь (см. также 45., с. 32).

13. Замечание 1.1. В узлах контура Ь функция <?(£) может иметь только разрывы I рода.

14. Класс функций, принадлежащих классу Но вместе со своими про-зводными до порядка т (т > 1) включительно, будем обозначать1. Я(т) О •

15. Замечание 1.2. Заметим, что производные функции могут иметь разрывы I рода не только в узлах контура Ь. Точки разрыва производных мы для удобства будем причислять к узлам.

16. Пусть функция <р(г) является аналитической в некоторой области Т, содержащей бесконечно удаленную точку.

17. Определение 1.1. Число т будем называть порядком функции в точке 2 = оо и обозначать оо}, если разложение в рядфункции в окрестности этой точки имеет вид1 1

18. Как известно 9., [23], [55], всякую однозначную бианалитическую в области D+ функцию F+(z) можно представить в виде

19. F+(z) = <pt(z) + z<pt(z)i (1.4)где z — х — iy, a <p£(z) (к = 0, 1) однозначные аналитические функции (аналитические компоненты бианалитической функции) в1. D+.

20. Аналогично всякая однозначная бианалитическая в D~ функция представима в виде+ О1-5)где z — х — iy, a <pi(z) (к = 0, 1) однозначные аналитические функции (аналитические компоненты бианалитической функции) в причем П(у>Гэ°°) > 2.

21. В случае областей D~ и D аналогично определяются классы A2(D~)r)lW(L) и A2{D)f.lW(L).

22. При этом кусочно-бианалитическую функцию F(z) будем называть исчезающей на бесконечности, если П(у>о,оо) > 1.

23. Аналогично определяется кусочно-бианалитическая функция с линией скачков L в случае, когда контур L является разомкнутым.

24. Некоторые вспомогательные предложения12.1. Краевая задача Римана с разрывными коэффициентами в случае замкнутого контура.

25. Точки разрыва ci,c2,.,cp коэффициента задачи (1.7) будем называть узлами.

26. Замечание 1.3. Если агдО(с1 — 0) — агдС(сх + 0) — 2тгк = 0 или агдС(с — 0) — агдС{с + 0) = 0, где с любой из узлов сг,сз, .,ср, то такие узлы, следуя Н. И. Мусхелишвили (см. 45., с. 256), будем называть особенными.

27. Число к = к + 1 будем называть индексом задачи (1.7). Каноническая функция задачи (1.7) имеет вид:

28. Х(г) = (* сО-'е*), Г(,) = ¿ / (1.12)

29. Если к > п, то общее решение задачи (1.7) задается формулой:где

30. РК-п-- многочлен степени не выше к — п — 1 с произвольными комплексными коэффициентами, с произвольная комплексная постоянная.г1.13)

31. В случае, когда к < п — 1, решение задачи (1.7) будет также задаваться формулой (1.13), в которой нужно положить Ркп1(г) = О, при соблюдении —к + п условий разрешимости вида:

32. Замечание 1.4. Если требуется найти решение задачи (1.7) в классе аналитических функций, то в формуле (1.13) нужно положить с= 0.

33. Пусть Ь = {г : 1тпЬ = 0}, !)+ = {г : 1тпг > 0} и Т>~ = С\{И+ и I}.

34. Решим задачу (1.16) методом, предложенным Н.И. Мусхелишвили (см. 45., § 83).

35. Тогда индекс задачи (1.16) будет задаваться формулой:к = А- агдС^Ъ (1-20)

36. Каноническая функция задачи (1.16) имеет вид:1. Г ег(2) г еО+ = { (1-21)где

37. Если к > п, то общее решение задачи (1.16) будет иметь вид:/(*) = ф(г) + Рк-п , (1.23)где1. Т ( \ — г ^^ 3{т) йт

38. Рк-п(г) — многочлен степени не выше к — п с произвольными комплексными коэффициентами.

39. Решим задачу (1.26) методом, изложенным в 23., § 43. Пусть

40. С(ак) = га^е9к, С(Ък) = гЬ}ке^+Авк\ (1.27)где Авк = агдв(г).1к.

41. Тогда индекс задачи (1.26), следуя Ф. Д. Гахову (23., с. 448), будет равентп1.32)1. К = 1 + X) «А1. А=1

42. Каноническая функция задачи имеет вид:1. А» = П (* т = 12тг{ ^ т — г1.33)где

43. Если к > п, то общее решение задачи (1.26) будет иметь вид:

44. Н = Х(г) ф(*) + ^ + РК-п-х (*). , (1.34)

45. ФЫ = -1- Г 9{т) Ат Щ ) 2тгг/ Х+(т)т-х>1.35)

46. РК-п-1(2) многочлен степени не выше к — п — 1 с произвольными комплексными коэффициентами, с - произвольная комплексная постоянная.

47. В случае, когда к < п — 1, решение задачи (1.26) будет также задаваться формулой (1.34), в которой нужно положить Рк-п-1(2) = 0, при соблюдении —к + п условий разрешимости вида:г д(т) Х+(т)1,Т = —с.1.36)= °> = 2> ••>-« + п• { ^ Чг)

48. Замечание 1.6. Для того чтобы найти решение задачи (1.26) в классе аналитических функций, в формуле (1-34) нужно положить с= 0.

49. Замечание 1.7. Будем называть узел (конец) а*, контура Ь особенным, если 9к = 0, а узел Ьк если — кк = 0.2ж12.4. Исследование поведения производной решения задачи Римана с разрывными коэффициентами.

50. В этом разделе будем предполагать, что контур Ь такой же как в разделе 1.2.1.

51. Будем также считать, что коэффициенты задачи (1.7) принадлежат классам 6?(£) € Н^ и д(£) е а решение ограничено вблизивсех узлов.

52. Точки разрыва производной СЗД будем относить к узлам.

53. Исследованию предпошлем следующую лемму.

54. Рассмотрим интеграл типа Коши с плотностью <р{Ь)\1/

55. Будем исходить из того, что производная интеграла типа Коши (1.37) имеет вид (см. 23., с. 42):1. Ф 1 > 9.iri J (<r р(т)2m { (r-z)dr.1.41)

56. Разобьем контур Ь на дуги с\с2, с2с3, стс\. Интегрируя по частям (1.41) вдоль указанных дуг, получим (1.38).

57. Пусть теперь в (1.38) г —> £ £ Ь (точка t отлична от узлов), тогда с учетом формул Сохоцкого-Племеля (см. 23., с. 38) получим (1.39) и (1.40). Лемма доказана.

58. Приступим к изучению поведения производной решения задачи (1.7).

59. Без ограничения общности можно исследовать поведение производной в окрестности точки с\.

60. Дифференцируя по z равенство (1.13), получим