Квантовые фазовые переходы и низкотемпературные свойства магнетиков с целым спином и большой одноионной анизотропией типа "легкая плоскость" тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Сизанов, Алексей Владимирович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Гатчина МЕСТО ЗАЩИТЫ
2012 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.04.02 КОД ВАК РФ
Диссертация по физике на тему «Квантовые фазовые переходы и низкотемпературные свойства магнетиков с целым спином и большой одноионной анизотропией типа "легкая плоскость"»
 
Автореферат диссертации на тему "Квантовые фазовые переходы и низкотемпературные свойства магнетиков с целым спином и большой одноионной анизотропией типа "легкая плоскость""

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Б. П. КОНСТАНТИНОВА"

УДК 538.115 На правах рукописи

СИЗАНОВ ^

Алексей Владимирович ^

КВАНТОВЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ СВОЙСТВА МАГНЕТИКОВ С ЦЕЛЫМ СПИНОМ И БОЛЬШОЙ ОДНОИОННОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ ТИПА "ЛЕГКАЯ ПЛОСКОСТЬ"

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Гатчина 2012

005018033

Работа выполнена в Отделении теоретической физики Петербургского института ядерной физики им. Б. П. Константинова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук А. В. Сыромятников,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В. И. Козуб,

кандидат физико-математических наук А. С. Овчинников.

Ведущая организация:

Институт физики металлов УрО РАН-

Защита диссертации состоится " ¿2- " 2012 г. в /{ часов

[1 002.115.01

на заседании диссертационного совета Д 002.115.01 при Петербургском институте ядерной физики им. Б. П. Константинова по адресу: 188300, Ленинградская обл., г. Гатчина, Орлова роща.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ПИЯФ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

И. А. Митропольский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Квантовые критические явления и экзотические низкотемпературные фазы без магнитного порядка являются сейчас интенсивно развивающимися областями физики конденсированного состояния, что во многом обусловлено открытием высокотемпературной сверхпроводимости. При этом особое внимание уделяется квантовым критическим точкам (ККТ), которые достигаются путем варьирования легко контролируемых в эксперименте параметров, таких как магнитное поле, давление, уровень легирования и т. д. Среди экзотических фаз особое место занимают спин-жидкостные фазы, в которых нет ни дальнего, ни ближнего магнитного порядка, т. е. средний спин на узле равен нулю, а спиновые корреляторы экспоненциально убывают с расстоянием (отсюда и название „спиновая жидкость"). Поскольку квантовые фазовые переходы отличаются от фазовых переходов по температуре, а спин-жидкостные фазы совершенно не похожи на привычные фазы с дальним магнитным порядком, актуальной является задача о разработке удобных методов исследования в этих областях.

Очень продуктивным способом описания спиновых систем является их представление через ансамбль бозе- или ферми-частиц. При помощи преобразований спиновых операторов через бозе- или ферми-операторы записываются бозевские (фермиевские) аналоги спиновых гамильтонианов, которые затем анализируются с использованием стандартной диаграммной техники. Поскольку форма представления зависит от особенностей основного состояния и первых возбужденных уровней рассматриваемой системы, нельзя написать универсального спинового представления. Например, представления Холстейна-Примакова и Дайсона-Малеева являются наиболее удобными для исследования магнитно-упорядоченных фаз, представление Йордана-Вигнера оказывается полезным для цепочек со спином 5 = 1/2, формализм "операторов связи" был предложен для описания спиновых жидкостей с димерным основным состоянием и т. д.

Одним из классов исследуемых сейчас систем, которые демонстрируют спин-жидкостное поведение и для которых до сих пор не существовало удобного спинового представления, являются квантовые магнетики с целым спином и большой одноионной анизотропией Б > О

типа "лёгкая плоскость" (ОАЛП), описываемой в гамильтониане членом Б ^¡(З*)2- В основном состоянии такой системы все спины находятся преимущественно в состоянии с нулевой проекцией спина на выделенную ось г. До сих пор помимо большого количества численных исследований этой модели аналитические выражения для некоторых наблюдаемых величин были получены лишь в случае 5 = 1 с помощью приближения случайных фаз [1], стандартной теории возмущений (только для цепочек) [2], "обобщенного спин-волнового подхода" [3, 4] и некоторых других самосогласованных процедур, недостатком которых является неконтролируемая точность вычислений. С другой стороны, введение удобного спинового представления позволило бы реализовать заманчивую идею использования обменного взаимодействия между спинами системы в качестве возмущения на фоне большой ОАЛП и нахождения выражений для наблюдаемых величин в нескольких первых порядках этой теории возмущений.

Такое представление позволило бы также исследовать поведение магнетиков с большой ОАЛП вблизи ККТ по магнитному полю Я, параллельному „трудной" оси 2, которое вызывает сейчас большой интерес. В этом случае система имеет как минимум две ККТ. Например, в системе с 5 = 1 без фрустрации их ровно две (см. Рис. 1). Для простой квадратной или простой кубической решёток с антиферромагнитным взаимодействием между ближайшими соседями одна ККТ Н = Нс\ разделяет парамагнитную (спин-жидкостную) фазу и фазу с дальним магнитным порядком, которая имеет скошенную антиферромагнитную спиновую структуру. Вторая ККТ Н — НС2 разделяет фазы с дальним магнитным порядком и полностью поляризованную (см. Рис. 1).

Известно довольно много соединений, являющихся магнетиками с большой ОАЛП: СзРеВгз, №8пС16 • 6Н20, СеРеС13, 8г3№РЮ6, №С12-48С(Ш2)2, (№(С5Н5Ш)б)(ГГОз)2 и ряд других. Из них наиболее хорошо исследованным является №С12-43С(МН2)2 (сПсЫого^е^аИэ Шоигеа-шске1 (И), сокращенно БТМ) [3, 4, 5]. Несмотря на то, что ККТ по магнитному полю в DTN вызывают очень большой интерес, уровень многочисленных экспериментальных работ чрезвычайно высок, а их результаты опубликованы в самых престижных научных изданиях, до сих пор не существовало удовлетворительного теоретического описания всех экспериментальных результатов. Хотя во всех статьях есть теоретические расчеты, которые выполнены на основе модели, предложенной в одной из первых работ, параметры этой модели меняются от статьи к

Рис. 1: (а) Показана эволюция уровней одного спина с 5 = 1 и сильной одноионной анизотропией при увеличении магнитного поля, направленного вдоль трудной оси (гамильтониан П^Б^+НБ*). При Н > Нс = Б спин оказывается в состоянии с Б* — — 1 (т.е., полностью поляризованным). Обменное взаимодействие (для определенности, антиферромагнитное) между такими спинами на решётке „размывает" этот переход, и при Т = 0 в интервале полей Нс\ < Н < Нс2 возникает „скошенная" антиферромагнитная фаза, а на плоскости Н—Т область существования этой фазы имеет форму купола, показанного на панели (Ь)

статье. Кроме того, некоторые экспериментальные данные предложенная модель не может объяснить принципиально (подробнее см. ниже). Поэтому весьма актуальной задачей является разработка модели, которая описывала бы весь набор экспериментальных данных, полученных в БТМ до сих пор.

Цели и задачи работы

Данная диссертационная работа имеет следующие цели:

1. найти представление операторов проекций целого спина через бозе-операторьг, удобное для описания низкотемпературной парамагнитной фазы магнетиков с большой ОАЛП;

2. с помощью найденного представления вычислить спектр элементарных возбуждений и энергию основного состояния гейзенберговского магнетика с большой ОАЛП при нулевой температуре; полученные результаты сравнить с имеющимися в литературе данны-

ми численных исследований этой модели; найденные выражения для спектра применить для описания экспериментальных данных, полученных в соединении №С12-48С(№12)2;

3. в рассматриваемых системах вычислить температурные поправки к спектру, намагниченности и теплоёмкости в окрестности ККТ по магнитному полю Н, разделяющей парамагнитную фазу и фазу с дальним магнитным порядком; полученные выражения применить для описания соответствующих экспериментов в №С1г-43С(ГШ2)2;

4. в первом порядке по 1/5 вычислить спектр гейзенберговского магнетика с объёмноцентрированной решёткой и ОАЛП в скошенной антиферромагнитной фазе, индуцированной магнитным полем; найти спектр указанной модели также вблизи от ККТ Я = Нс2, где Нс2 — поле насыщения, при помощи техники бозе-конден-сации магнонов; применить полученные результаты к описанию ЭПР-экспериментов в №С]2-48С(1\;Н2)2.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Предложено новое представление операторов целого спина через бозе-операторы. На его основе разработан новый подход к описанию низкотемпературной парамагнитной фазы магнетиков с большой однотонной анизотропией О типа "лёгкая плоскость".

2. При рассмотрении произвольного обменного взаимодействия ) между спинами в системе с произвольной решёткой Браве как возмущение в рамках этого подхода с помощью диаграммной техники найдены спектр элементарных возбуждений и энергия основного состояния гейзенберговского магнетика в третьем порядке теории возмущений (называемой далее, для краткости, разложение по степеням 3¡О) при нулевой температуре. Сравнение полученных результатов и результатов других аналитических методов с численными расчетами, выполненными в частном случае 5 = 1 на квадратной решётке, показало, что разработанный метод точнее и удобнее в применении.

3. С помощью разработанного метода и диаграммной техники исследована окрестность квантового фазового перехода по магнитному

полю в фазу с дальним магнитным порядком. Найдены температурные поправки к спектру низколежащих возбуждений, намагниченность и теплоёмкость в главных порядках по J/D и температуре. Найдено уравнение для фазовой границы на плоскости Н-Т.

4. С помощью 1/5'-разложения и техники бозе-конденсации магно-нов изучены свойства магнетика рассматриваемого типа, состоящего из двух слабовзаимодействующих тетрагональных магнитных подрешёток вблизи от ККТ Н = Нс2, разделяющей скошенную антиферромагнитную и полностью поляризованную фазы. При Н < Нс2 найдено расщепление спектра, двукратно вырожденного в отсутствие межподрешёточного взаимодействия. Показано что даже слабое обменное взаимодействие подрешёток приводит к значительной щели в одной из ветвей спектра.

5. Все полученные результаты применены для интерпретации экспериментальных данных в №С12-48С(КН2)2, наиболее хорошо исследованном веществе с большой ОАЛП. Продемонстрировано, что существовавшая ранее модель этого соединения неудовлетворительно описывает ряд экспериментов, а в некоторых случаях находится в остром противоречии с ними. Предложена новая модель этого вещества, хорошо описывающая весь набор экспериментальных данных.

Научная новизна и практическая ценность

Все результаты, полученные в работе и выносимые на защиту, являются новыми. Полученные выражения для спектра элементарных возбуждений, теплоёмкости и намагниченности могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных во всех веществах с большой ОАПЛ и целым спином. Выражения для спектра магнонов в магнетике с двумя слабо связанными подрешётками в магнитном поле могут быть использованы также в соответствующих веществах без ОАПЛ, например, в большом количестве гранатов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены и обсуждались на следующих российских и международных конференциях:

• Зимняя школа ПИЯФ (Санкт-Петербург, 2011)

• International Simposium "Spin Waves" (Санкт-Петербург, 2011)

• Moscow International Simposiumon Magnetism 2011 (Москва , 2011),

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация состоит из четырех глав, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 73 страницах и включает 18 рисунков и список литературы, состоящий из 72 ссылок.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава I является введением. В ней обоснована актуальность темы, дается обзор литературы, посвященной магнетикам с большой ОАЛП. Ставится цель и формулируются задачи диссертационной работы, дается краткое содержание диссертации, характеристика научной новизны и практической ценности полученных результатов.

В главе II предложен новый подход к изучению магнетиков с большой ОАЛП и целым спином. Такие системы описываются гамильтонианом:

■H = Dj2(SD2 + nint, (1)

i

где D > 0 — величина анизотропии, а Им описывает произвольное обменное взаимодействие спинов. При ~Нш = 0 и Т = 0 все спины находятся в состояниях |Sf =0) с нулевой проекцией на ось z. Нижние возбужденные уровни образуют дважды вырожденную плоскую зону с энергией D и получаются заменой на одном из узлов состояния | S* = 0) на |Sf = ±1). Обменное взаимодействие Нш, которое мы будем рассматривать как возмущение, приводит к дисперсии спектра элементарных возбуждений.

Для исследования фазы, в которой все спины находятся преимущественно в состоянии с нулевой проекцией на ось г, в диссертации предложено следующее новое представление спиновых операторов:

5? = ПМ -Па4, (2)

SÍ■=Sf+iSV =

И /(Д'-пм)(£+1 + "м) (3-паЛ)(3 + 1+паЛ) г\/ 1+пм у 1+п„,4 " 1 ;

где па,; = а|аг и = При этом состояние |5гг = 0) является вакуумным, и операторы а| и Ь\ создают из него состояния с 5г < О и > 0, соответственно. Легко проверить, что представление (2)-(3) воспроизводит коммутационные соотношения спиновых операторов на физическом подпространстве. Чтобы исключить вклад нефизических состояний, в которых на одном узле одновременно присутствуют частицы двух типов (типа а и типа Ь), в гамильтониан вводится член с бесконечным отталкиванием между ними:

Пи = ^^аЩафи и-^+оо. (4)

г

Если плотность частиц достаточно мала, можно разложить корень в выражении (3) в ряд и ограничиться, как это обычно делается в подобных случаях, учетом лишь первых членов получившегося нормально упорядоченного выражения. В результате приходим к упрощённому представлению:

5+ и Ь] - с2 + (с1 - с2 а^а») аи (5)

сх = >/5(5 + 1), (6)

Для определённости рассмотрим гейзенберговский магнетик с произвольным обменом на произвольной решётке Браве:

Им = ^ ХЗ •А»®«®.»' (8)

«л

/ /

Ь)

Рис. 2: (а) Диаграммы для собственно энергетической части второго порядка по <//.0. Сплошные и пунктирные линии обозначают, соответственно, функции Грина (9) для частиц типа а и Ъ. Линии, содержащие сплошную и пунктирную части, обозначают аномальную функцию Грина (10). (Ь) Вершинные функции, которые входят в диаграммы для собственно-энергетической части

Подставляя (2) и (5) в (1) и (8), приходим к бозевскому аналогу спинового гамильтониана, который исследуется при помощи стандартной диаграммной техники с использованием следующих функций Грина:

В качестве иллюстрации на Рис.2 приведены диаграммы для собственно энергетической части второго порядка по J/О. В результате вычисления этих и других диаграмм находим для спектра элементар-

в(р) = -г(ар«4) =-г(Ьр6*,), Пр)

(9) (10)

ных возбуждений в третьем порядке по 3¡О

С? 24+ 1с\с2 - 44 2 с\ 2 р = д + +-8Д-

L Зс? + 2с\с2 - 44 , з 11с? +Ъс\с2-Ъс\4 2

+-Ш*-^ --ЙД5-^

Зс? + 4с?с2 - 2С4С| с4 ^

+-32^2 У )р " )р 16£2 р' ^

где (,/п)р = . В частном случае цепочки спинов с 5 = 1 и

обменным взаимодействием только между ближайшими соседями выражение (11) совпадает с соответствующим выражением, полученным в работе [2] только для этого частного случая при помощи стандартной квантовомеханической теории возмущений. Вычисление энергии основного состояния в третьем порядке по З/О дает

Далее в Главе II предлагается ряд упрощенных представлений спиновых операторов для случая 5 = 1, и с их помощью воспроизводятся результаты (11) и (12).

После этого проводится сравнение результатов (11) и (12) с предыдущими численными расчетами, выполненными для 5 = 1, квадратной решётки и антиферромагнитного обменного взаимодействия 3 между ближайшими соседями. Сделан вывод о том, что разработанный подход работает в целом лучше предыдущих аналитических методов, при этом пользоваться им проще (так, наиболее точный из существующих аналитических методов "обобщенный спин-волновой подход" (ОСВП)[3, 4] требует численного решения самосогласованных уравнений). Для примера на Рис.3 изображены соответствующие графики для И = 10,7.

Далее рассматривается применение полученных результатов к описанию экспериментальных данных в соединении ШСЬ^БС^НгЬ (БТЫ), которому было посвящено множество работ в последнее время.

Магнитная подсистема БТИ состоит из ионов №++, расположенных в узлах двух тетрагональных подрешёток, „вложенных" друг в друга так, что общая магнитная решётка является тетрагональной объёмно-центрированной. Взаимодействие между атомами внутри каждой тетрагональной подрешётки антиферромагнитное и сильно анизотропное

Рис. 3: Спектр элементарных возбуждений магнетика на квадратной решётке с большой ОАЛП, с 5 = 1, с антиферромагнитным обменным взаимодействием 3 между ближайшими спинами и с В = 10^. Точки представляют результаты численных расчетов работы [6], пунктирная кривая — аналитический результат работы [1], штрих-пунктирная — "обобщенный спин-волновой подход", использованный в работах [3, 4], сплошная линия — результат данной работы

— обмен вдоль одного из направлений решётки Зг примерно в 10 раз больше, чем в двух других направлениях Зху. Таким образом, DTN — квазиодномерное соединение, состоящее из слабо связанных цепочек. Трудная ось направлена вдоль цепочек. Взаимодействием между магнитными тетрагональными подрешётками в абсолютном большинстве предыдущих работ пренебрегали.

В магнитном поле Я, параллельном трудной оси, фазовая диаграмма на плоскости Н—Т имеет вид купола, показанного на Рис. 1. Было экспериментально обнаружено, что НС1{Т) — Яс 1(0) ~ Т3/2 при Т —> 0. Так что квантовый фазовый переход в Я = Нл принадлежит к классу универсальности БЭК (бозе-эйнштейновская конденсация).

Для интерпретации большинства экспериментальных данных ранее

использовалась модель (1), (8) с параметрами

В = 8.9 К, Л = 2.2 К, = 0.18 К.

Хотя в этой модели при помощи "обобщённого спин-волнового подхода" было получено хорошее согласие с рядом экспериментальных данных (см., например, [3, 4]), в диссертации показано, что она не описывает нейтронный спектр, полученный в одном из первых экспериментов [3]. Более того, данная модель принципиально не может объяснить возникновения щели в одной из акустических ветвей в скошенной антиферромагнитной фазе, обнаруженных в ЭПР-эксперименте [7]. Для объяснения этой щели в работе [7] было предположено, что соседние спины из разных тетрагональных подрешёток связаны взаимодействием Дзялошинского-Мория. В то же время сами авторы работы [7] признавали, что вводят в рассмотрение обычно более слабое взаимодействие релятивистской природы, опуская более сильное обменное взаимодействие лишь для упрощения вычислений. С другой стороны, как было показано Е.Ф. Шендером [8], обменное взаимодействие двух одинаковых антиферромагнитных подрешёток приводит к щели в одной из ветвей спектра в результате взаимодействия флуктуаций (эффект „порядок из беспорядка"). По этой причине мы ввели в диссертации обменное взаимодействие V между ближайшими атомами из разных тетрагональных подрешёток и постарались описать весь имеющийся на сегодняшний день набор экспериментальных данных.

В Главе II показано, что формула (11) хорошо описывает экспериментальные данные нейтронного рассеяния со следующим набором параметров, который несколько отличается от общепринятого набора (13)'.

При этом набор (14) воспроизводит значения критических полей Нс\ и Нс2 в БТМ, известные из других экспериментов. На рис. 4 изображён результат подгонки спектра при помощи (11) к экспериментальным

В = 7.72 К,

Л = 1.86 К,

Зху = 0.2 К,

V = 0.1 К.

(14)

Рис. 4: Спектр элементарных возбуждений DTN. Точки — экспериментальные данные, полученные в работе [3] методом неупругого рассеяния нейтронов, сплошные кривые — результат, полученный в данной работе при помощи формулы (11) и параметров (14). Небольшое расщепление сплошной линии на панели (Ь) вызвано взаимодействием V между под-решётками DTN, введенным в настоящей работе

данным работы [3]. Видно, что теоретические кривые довольно хорошо ложатся на эксперимент. Небольшое расщепление сплошной линии на панели (Ь) вызвано взаимодействием V между подрешётками, которое снимает двойное вырождение спектра. Одна из этих ветвей немного выходит за рамки экспериментальных ошибок в точке к = 0. В диссертации показано, однако, что величина этого расщепления даётся плохо сходящимся рядом по J/D и для нахождения её точного значения необходим учёт членов высших порядков по J/D, что выходит за рамки данной работы.

В главе III с помощью разработанной техники рассматривается окрестность ККТ Н = Нс 1, разделяющей парамагнитную и магнитно упорядоченную фазы трехмерного гейзенберговского магнетика с большой ОАЛП в магнитном поле, параллельном трудной оси, при Т -ф- 0.

Взаимодействие спинов с магнитным полем Hh = Н Sf снимает двукратное вырождение спектра элементарных возбуждений (частицы а и 6 перестают быть эквивалентными) так, что энергия а-частиц с увеличением поля уменьшается, а энергия 6-частиц — увеличивается. В

поле IIС1 = еро, где ро - точка минимума спектра при Я = 0, спектр частиц а становится неустойчивым и образуется дальний магнитный порядок, характеризуемый волновым вектором р0. Частицы Ь оказываются, напротив, очень массивными. Считая температурные поправки малыми и вычисляя поправки к спектру в главных порядках по Г и ■1/0, автор получил выражения для кривой раздела двух фаз НгЛ (Т) на плоскости Н-Т и для намагниченности на этой кривой. Показано, что для этого достаточно вычислить температурную часть простой диаграммы Хартри-Фока для собственно энергетической части Еа,ь{р) а-частиц (первая диаграмма на Рис. 2(а)) с вершиной, найденной в лестничном приближении в первом порядке по 3/Б. В результате получены выражения

¿теа,н( Р) = 4Га(е(р)-Я,0,р)М(Я,Т), (15)

Не1(Т) = б(ро) + 4Га(0,0,ко)М(Я,Г), (16)

М(Н,Т) = 1£>(е(к)-Я), (17)

к

где Га(Г2,р^) — вершинная функция, запись ¿тХ обозначает температурную поправку к величине X и М(Н,Т) — намагниченность.

Намагниченность в критической области Мс = М{Н = #с1(Т),Т) и кривая разделения фаз Ясх(Т) для БТИ были измерены в работах [9] и [10]. Теоретические результаты, полученные при помощи формул (16), (17) и предложенных в диссертации параметров (14), очень хорошо описывают эти эксперименты при Т < 0,3 К. В диссертации показано, что это как раз та область, в которой еще не так сильно проявляется квазиодномерность БТК и предложенная теория применима. На Рис. 5 в качестве иллюстрации приведены результаты для НС1(Т).

В главе III найдено также выражение для теплоёмкости в окрестности ККТ Н = Нс 1 в главном порядке по температуре и ,//£> и показано, что оно хорошо описывает соответствующие экспериментальные данные, полученные для БТК в работе [4].

В главе IV с помощью 1/5-разложения и техники бозе-конденсации магнонов [11, 12] исследуются свойства гейзенберговского антиферромагнетика с ОАЛП, описываемого гамильтонианом (1), (8) в магнитном поле параллельном трудной оси. При этом предполагается, что решётка является тетрагональной объёмноцентрированной, которую можно се-

р

ли С-1-1-1-1-1-

О 4 0 05 0.1 0.15 0

О

о

о

о

I

2

О

0.2

0.1

0.6

0.8

"Р/2(К3'2)

Рис. 5: Критическое поле #с1 как функция от Т3/2 в БТИ. Круги и ромбы — экспериментальные данные работ [9] и [10] соответственно. Линии получены при помощи формул (16), (17) и параметров (14), предложенных в диссертации

бе представить в виде двух тетрагональных решёток „вложенных друг в друга". Такой структурой обладают, например, ВТИ и ряд гранатов (см. работу [8]). Величина ОАЛП не важна для анализа, проведенного в этой главе. В случае большой ОАЛП полученные результаты относятся лишь к индуцированной полем фазе с дальним магнитным порядком (см. Рис. 1).

При отсутствии взаимодействия между подрешётками спектр является дважды вырожденным и бесщелевым (голдстоуновские моды). Взаимодействие между подрешётками снимает это вырождение несмотря на то, что атомы одной подрешётки находятся в нулевом молекулярном поле атомов другой. Расщепление оптической ветви спектра происходит уже в спин-волновом приближении (в нулевом порядке по 1/5). Е.Ф. Шендер в работе [8] показал, что в случае Б = Н = 0 учет квантовых и температурных флуктуаций приводит в динамическому нарушению симметрии относительного вращения намагниченности подрешёток и одна из мод приобретает щель (эффект „порядок из беспорядка"), которая наблюдается в экспериментах на гранатах. Задачей данной главы является обобщение результата работы [8] на случай В/ОиЯ^Ои применение полученных формул для интерпретации результатов ЭПР-

эксперимента [7] в DTN.

В первом порядке по 1/5 и в старшем порядке по обменному взаимодействию между подрешётками получено следующее выражение для щели в спектре в скошенной антиферромагнитной фазе:

Д2 = 4S2 sin4 9(J0 + |Vk|2(S0U - П0к)2 e^3- (18)

k

где Jk и Vk — фурье-образы внутри- и межподрешёточного обменов,

D = ^fl-ÁV (1Э)

2S.

cos6> = Я/Яс2, (20)

£ок = (SJo + SJk) cos2d + (SJo + SD) sin20, (21)

n0fc = (SJo + SJk) cos2e — (SJo + SD) sin20, (22)

ek = S^J(Jo + Jk) (-Jo + Ju cos 26 + 2Z)sin26>). (23)

Выражение (18) является обобщением результата Е.Ф. Шендера [8] на случай D ф 0 и Я ф 0.

В спин-волновом приближении найдено следующее выражение для величины расщепления оптической ветви спектра:

2 Jp cos2 в + D sin2 в Semax и SVo ---_ ==■ (24)

\jjl cos2 0 + J0D sin2 в

В диссертации показано, что в случае больших значений ОАЛП 1/5-разложение не применимо при малых полях из-за сильных флуктуаций. С другой стороны, хорошо известно, что в окрестности ККТ Я = Яс2 флуктуации также сильны и 1/5-разложение при S ~ 1 может плохо работать (см. работы [11, 12]). Чтобы уточнить результат для щели при Я ~ Яс2 в диссертации с использованием техники бозе-конденсации магнонов [11, 12], хорошо учитывающей квантовые флуктуации вблизи ККТ Я = Яс2, получено следующее выражение:

ДВ£С = (Яс2 - Я) [4>/ЫА] . (25)

где Л и 7 — вершинные функции.

Выражение (18) при Н ~ Нс2 имеет ту же зависимость от поля, что и (25), но коэффициенты в (18) и (25) перед (Нс2 — Н) отличаются. Как показано в диссертации, это различие может быть существенным для систем с большими флуктуациями (например, для квази-одномерных систем с S ~ 1, к числу которых принадлежит DTN).

При помощи выражений (18), (24) и (25) проанализированы данные ЭПР-экспериментов в DTN [7]. К сожалению, неприменимость найденных выражений вдали от ККТ Н — Нс2 и отсутствие экспериментальных данных вблизи нее не позволило найти точное значение величины обмена между подрешётками V, а лишь оценить его — V ~ 0.1 К. Эта оценка согласуется с результатом главы II (см. (14)).

Заключение содержит основные результаты диссертации, а также сведения, касающиеся апробации данной работы.

В Приложении А приведены ангармонические члены гамильтониана, изученного в главе IV.

В Приложении В приведены некоторые детали вычисления вершинных функций.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. А. V. Sizanov, А. V. Syromyatnikov. Antiferromagnet with two coupled antiferromagnetic sublattices in a magnetic field //J. Pliys.: Condens. Matter. 23, 146002 (2011) [8 pages],

2. A. V. Sizanov, A. V. Syromyatnikov. Bosonic representation of quantum magnets with large single-ion easy-plane anisotropy // Phys. Rev. В 84, 054445 (2011) [11 pages],

3. A. V. Sizanov, A. V. Syromyatnikov. Quantum magnets with large singleion easy-plane anisotropy in magnetic field // Письма в ЖЭТФ 94, Т. 8, С. 710-715 (2011).

4. А.В. Сизанов, А.В. Сыромятников. Свойства магнетиков с сильной одноионной анизотропией "лёгкая плоскость" // Программа, тезисы и список участников, XLV Школа ПИЯФ РАН, Гатчина, секция физики конденсированного состояния,С. 25 (2011).

5. A.V. Sizanov, A.V. Syromyatnikov. Magnetics with large single-ion anisotropy // Book of Abstracts, Moscow International Symposium on Magnetism, p. 648 (2011).

Список литературы

Lindgard P. // Physica В. - 1983. - Vol. 120. - P. 190.

Papanicolaou N., Spathis P. // Journal of Physics: Condensed Matter. - 1990. - Vol. 2, no. 31. - P. 6575.

Zapf V. S., Zocco D., Hansen B. R. et al. // Phys. Rev. Lett. — 2006.-Vol. 96.-P. 077204.

Kohama Y., Sologubenko A. V., Dilley N. R. et al. // Phys. Rev. Lett. - 2011. - Vol. 106. - P. 037203.

Orendac M., Zvyagin S., Orendacova A. et al. // Phys. Rev. B. — 1999. - Vol. 60. - Pp. 4170-4175.

Oitmaa J., Hamer C. J. // Phys. Rev. В. — 2008.— Vol. 77.— P. 224435.

Zvyagin S. A., Wosnitza J., Kolezhuk A. K. et al. // Phys. Rev.

B. - 2008. - Vol. 77. - P. 092413.

Шендер E. Ф. 11 ЖЭТФ. - 1982. - T. 83. - C. 326.

Paduan-Filho A., Al-Hassanieh K. A., Sengupta P., Jaime M. // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Vol. 102.- P. 077204.

Yin L., Xia J. S., Zapf V. S. et al. // Phys. Rev. Lett. - 2008. -Vol. 101. - P. 187205.

Ватыев E. Г., Брагинский JJ. С. // ЖЭТФ. - 1984. — Т. 87. -

C. 1361.

Ватыев Е. Г. // ЖЭТФ. - 1985. - Т. 89. - С. 308.

Отпечатано в типографии ФГБУ «ПИЯФ»

188300, Гатчина Ленинградской обл., Орлова роща Зак. 24, тир. 100, уч.-изд. л. 1; 31.01.2012 г.

 
Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Сизанов, Алексей Владимирович, Гатчина

61 12-1/655

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ "ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Б. П. КОНСТАНТИНОВА"

УДК 538.115 На правах рукописи

СИЗАНОВ Алексей Владимирович

КВАНТОВЫЕ ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ

СВОЙСТВА МАГНЕТИКОВ С ЦЕЛЫМ СПИНОМ И БОЛЬШОЙ ОДНОИОННОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ ТИПА "ЛЕГКАЯ ПЛОСКОСТЬ"

01.04.02 - теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник A.B. Сыромятников

Гатчина 2012

Оглавление

Глава I Введение 4

1.1 Цель диссертационной работы.......................................8

1.2 Краткое содержание диссертации............................................9

Глава II Техника и её применения при Т = О 12

2.1 Представление спиновых операторов ....................................12

2.2 Применение техники............................................................16

2.2.1 Elementary excitation spectrum........................................16

2.2.2 Энергия основного состояния ........................................23

2.3 Обсуждение и сравнение с предыдущими результатами и экспериментом 23

2.3.1 Другие спиновые представления для S = 1 . . .....................24

2.3.2 Другие подходы к вычислению спектра............................25

2.3.3 Сравнение с численными результатами ............................26

2.3.4 Применение к NiCl2-4SC(NH2)2 ......................................28

Глава III Переход в упорядоченную фазу 37

3.1 Модификация техники в магнитном поле . .................................37

3.2 Т = 0 and Н ф 0. . . . ......................................38

3.3 Тф 0 and Я ~ НС1 (0).....................................39

3.4 Применение к DTN..............................■ 42

Глава IV Анализ скошенной антиферромагнитной фазы и окрестности поля насыщения при Т = 0 47

4.1 Спин-волновой анализ .............................49

4.2 Окрестность поля насыщения...............: ...............56

4.3 Обсуждение и применение к DTN...........................61

Приложение А. Выражения для and в спин-волновом гамильтониане 63

Приложение В. Вершинные функции 63

Список литературы 66

Глава I. Введение

Квантовые критические явления и экзотические низкотемпературные фазы без магнитного порядка являются сейчас интенсивно развивающимися областями физики конденсированного состояния, что во многом обусловлено открытием высокотемпературной сверхпроводимости. При этом особое внимание уделяется квантовым критическим точкам (ККТ), которые достигаются путем варьирования легко контролируемых в эксперименте параметров, таких как магнитное поле, давление, уровень легирования и т. д. Среди экзотических фаз особое место занимают спин-жидкостные фазы, в которых нет ни дальнего, ни ближнего магнитного порядка, т. е., средний спин на узле равен нулю, а спиновые корреляторы экспоненциально убывают с расстоянием (отсюда и название „спиновая жидкость"). Поскольку квантовые фазовые переходы отличаются от фазовых переходов по температуре, а спин-жидкостные фазы совершенно не похожи на привычные фазы с дальним магнитным порядком, актуальной является задача о разработке удобных методов исследования в этих областях.

Очень продуктивным способом описания спиновых систем является их представление через ансамбль бозе- или ферми-частиц[1]. При помощи преобразований спиновых операторов через бозе- или ферми-операторы записываются бозевские (фермиев-ские) аналоги спиновых гамильтонианов, которые затем анализируются с использованием стандартной диаграммной техники. Поскольку форма представления зависит от особенностей основного состояния и первых возбужденных уровней рассматрива-

емой системы, нельзя написать универсального спинового представления. Напри- ■„ мер, представления Холстейна-Примакова и Дайсона-Малеева являются наиболее удобными для исследования магнитно-упорядоченных фаз, представление Иордана-Вигнера оказывается полезным для цепочек со спином 5 = 1/2, формализм "операторов связи" [2] был предложен для описания спиновых жидкостей с димерным основным состоянием, и т. д.

Одним из классов исследуемых сейчас систем, которые демонстрируют спин- ■ жидкостное поведение и для которых до сих пор не существовало удобного спинового представления, являются квантовые магнетики с целым спином и большой одноионной анизотропией И > 0 типа "легкая плоскость" (ОАЛП), описываемой в .-.' гамильтониане членом В В основном состоянии такой системы все спины

находятся преимущественно в состоянии с нулевой проекцией спина на выделенную ось г. Мы будем рассматривать системы, описываемые гамильтонианом

Я = ^ + (5?)2, С1-1)

где суммирование производится по всем узлам решётки с произвольной (пока) пространственной размерностью, Б > 0 и знаки обменных интегралов не важны. Первый член предполагается достаточно малым, чтобы система находилась в парамагнитной фазе при Т = 0. 1

Известно довольно много соединений, являющихся магнетиками с большой ОАЛП: '■Существует и квантовая критическая точка Б = разделяющая парамагнитную фазу при Г) > Г)с и магнитно-упорядоченную или спин-жидкостную при В < Ос, Величина £>с, как и тип фазы при О < Вс зависят от размерности решётки и обменного взаимодействия[3, 4, 5].

СаРеВгз [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14], СзРеС13 [7], Зг3№РЮ6 [15], N£N0 [16, 17, 18], " КЕОТ [19, 20, 21], МВУС [22], №С12-48С(Ш2)2 [23, 24, 25, 26, 27, 17, 28, 29, 30, 31, 16, 32, 22, 20, 29, 33, 34, 35, 36], (№(С5Н5Ш)6)(Ш3)2 [37] и №8пС16 • 6Н20 [38, 39]. ;■•

Все эти соединения имеют 5 = 1 и все они - квази-одномерные магнетики. Вероятно, в этом причина того, что большинство теоретических исследований модели (1.1) с большим В > 0 сфокусированы на слабо связанных или независимых цепочках цепочках с 5 = 1 [40, 41, 42, 3, 43, 44, 45, 21, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 4, 52, 53, 54]. Аналитические выражения для некоторых наблюдаемых выличин были получены только для случая 5 = 1 в приближении случайных фаз[55, 7], "старомодной" теории возмущений [50](только для цепочек), , "обобщенного спин-волнового подхода" [26, 27] и некоторых других самосогласованных процедур[49, 56, 51, 57], недостат- . ком которых является неконтролируемая точность вычислений. С другой стороны введение удобного спинового представления позволило бы с помощью диаграммной техники реализовать идею использования обменного взаимодействия между спинами системы в качестве возмущения на фоне большой ОАЛП и найти выражения для наблюдаемых величин в нескольких первых порядках по обменному взаимодействию.

Такое представление позволило бы также исследовать поведение магнетиков с большой ОАЛП вблизи ККТ по магнитному полю Я параллельному "трудной" оси которое вызывает сейчас большой интерес. В этом случае система имеет как минимум две ККТ. Например, в системе с 5 = 1 без фрустрации их ровно две (см. Рис. 1). Для простой квадратной или простой кубической решеток с антиферромагнитным взаимодействием между ближайшими соседями одна ККТ Н = Нс\ разделяет парамагнитную (спин-жидкостную) фазу и фазу с дальним магнитным порядком,

которая имеет скошенную антиферромагнитную спиновую структуру. Вторая ККТ Н = Нс2 разделяет фазы с дальним магнитным порядком и полностью поляризованную (см. Рис. 1). Эквивалентность между спиновой системой и разреженным газом бозе-частиц, реальное выражение которой для данной системы мы и ищем, показала себя очень полезной в описании ККТ в магнетиках [58, 59, 60].

Рис. 1.1: (а) Показана эволюция уровней одного спина с S = 1 и сильной одноион-ной анизотропией при увеличении магнитного поля, направленного вдоль трудной оси (гамильтониан D{SZ)2 + HSZ). При H > Нс = D спин оказывается в состоянии с Sz = —1 (т.е., полностью поляризованным). Обменное взаимодействие (для определенности, антиферромагнитное) между такими спинами на решетке „размывает" этот переход, и при Т = 0 в интервале полей Н& < H < Нс2 возникает „скошенная" антиферромагнитная фаза, а на плоскости Н-Т область существования этой фазы имеет форму купола, показанного на панели (Ь).

Наиболее исследованным соединением, описываемым гамильтонианом (1.1) является NiCl2-4SC(NH2)2 (dichloro-tetrakis thiourea-nickel (II), сокращенно DTN)[26, 27, 17, 28, 30, 31, 16, 32, 22, 20, 29, 33, 34]. Несмотря на то что ККТ по магнитному полю в DTN вызывают очень большой интерес, уровень многочисленных эксперименталь-

пых работ чрезвычайно высок, а их результаты опубликованы в самых престижных научных изданиях, до сих пор не существовало удовлетворительного теоретического описания всех экспериментальных результатов. Хотя во всех статьях есть теоретические расчеты, которые выполнены на основе модели, предложенной в одной из первых работ, параметры этой модели меняются от статьи к статье. Кроме того, некоторые экспериментальные данные предложенная модель не может объяснить принципиально (подробнее см. ниже). Поэтому весьма актуальной задачей является разработка модели, которая описывала бы весь набор экспериментальных данных, полученных в DTN до сих пор.

1.1 Цель диссертационной работы

Данная диссертационная работа имеет следующие цели:

1. найти представление операторов проекций целого спина через бозе-операторы, удобное для описания низкотемпературной парамагнитной фазы магнетиков с большой ОАЛП;

2. с помощью найденного представления вычислить спектр элементарных возбуждений и энергию основного состояния гейзенберговского магнетика с большой ОАЛП при нулевой температуре; полученные результаты сравнить с имеющимися в литературе данными численных исследований этой модели; найденные выражения для спектра применить для описания экспериментальных данных, полученных в соединении №С12-43С(1ЧН2)2;

3. б рассматриваемых системах вычислить температурные поправки к спектру, намагниченности и теплоемкости в окрестности ККТ по магнитному полю Н, разделяющую парамагнитную фазу и фазу с дальним магнитным порядком; полученные выражения применить для описания соответствующих экспериментов в №С12-43С(Ш2)2;

4. в первом порядке по 1/3 вычислить спектр гейзенберговского магнетика с объ-емноцентрированной решеткой и ОАЛП в скошенной антиферромагнитной фазе, индуцированной магнитным полем; найти спектр указанной модели также вблизи от ККТ Н — НС2, где Нс2 — поле насыщения, при помощи техники бозе-конденсации магнонов; применить полученные результаты к описанию ЭПР-экспериментов в №С12-43С(]\ТН2)2.

1.2 Краткое содержание диссертации

В главе II предлагается представление спиновых операторов через бозе-операторы, удобное для описания систем, у которых при Т = О все спины находятся, в основном, в состоянии с нулевой проекцией спина на некоторую выделенную ось. Найден эквивалентный гамильтониан ансамбля бозе-частиц для системы с ОАЛП и обменным взаимодействием. Предложены элементы диаграммной техники (нормальные и аномальные функции Грина и вершины). С помощью диаграммной техники найдены выражения для спектра элементарных возбуждений при Т — 0 и энергии основного состояния в третьем порядке по 7/1?, применимые для любых решёток Браве и любых обменных взаимодействий. Результат сравнивается с имеющимися в литера.-

туре для случая 5* = 1 результатами численных экспериментов и аналитических исследования. Полученные выражения применены для описания ряда экспериментов с №С12-43С(ГШ2)2. Предложена ранее отсутствовавшая согласованная схема описания данных на основании единого набора параметров взаимодействия и анизотропии, с учётом обменного взаимодействия подрешёток БТЫ.

В главе III рассматриваются температурные поправки к ранее полученным результатам в окрестности фазового перехода по полю из парамагнитного состояния в упорядоченное для трёхмерных решёток. Найдены поправки к спектру низколежа-щих возбуждений, кривая разделения фаз на плоскости Н-Т при низких температурах в главных порядках по <///? и температуре. Показано что при достаточно общих предположениях относительно обменного взаимодействия этот фазовый переход относится к классу универсальности бозе-конденсации и кривая разделения фаз имеет вид НС\(Т) — Нс 1(0) ~ Т3//2. Также в главных порядках найдены намагниченность и теплоёмкость в критической области. Используя ранее определённые параметры взаимодействия для №С12-43С(]МН2)2, сравниваются теоретические результаты с экспериментальными данными.

В главе IV в первом порядке по 1/Б вычислен спектр гейзенберговского магнетика с объемноцентрированной решеткой и ОАЛП в скошенной антиферромагнитной фазе, индуцированной магнитным полем. Найден спектр указанной модели также вблизи от ККТ Н = Нс2, где Яс2 — поле насыщения, при помощи техники бозе-кондеисации магнонов. Показано что взаимодействие квантовых флуктуаций приводит к относительной анизотропии антиферромагнитных параметров порядка двух подрешёток. Обоими методами вычислена зависимость от магнитного поля для щели

квази-голдстоуновской моды, соответствующей относительному вращению этих параметров порядка, а также расщепление оптической моды. Полученные результаты применены к описанию соответствующих ЭПР-экспериментов в №С12-43С(НН2)2-

Глава II.

Техника и её применения при Т = О

2.1 Представление спиновых операторов

Основное состояние системы, описываемой гамильтонианом (1.1) в пределе 7/1} —> О есть прямое произведение состояний |5г2 = 0): П* ® = 0). Нижние возбуждённые состояния строятся из основного подстановкой [51? = ±1) вместо [Б* = 0) при любом г. Энергий таких состояний равна И. Спектр получается дважды вырожденный и

бездисперсионный:

€0р = Б. (2.1)

Обменное взаимодействие приводит к дисперсии спектра. Когда оно достаточно мало, можно искать выражения для спектра и других наблюдаемых, считая обмен возмущением. В частности, спектр элементарных возбуждений спиновой цепочки с 5 = 1 и обменным взаимодействием ближайших соседей был вычислен в работе [50] в третьем порядке обычной (не диаграммной) теории возмущений. Наша же цель состоит в построении представления спиновых операторов, которое позволит проводить подобные вычисление с помощью диаграммной техники. В частности, мы воспроизведём результат работы [50], используя диаграммную технику.

Предлагается следующее представление для уелого спина S: >

5? = nb,i-naii, (2.2) „

t (S-nb!l)(S +1 +nb¡i) (S-na¡i)(S+l + nati) ,

= -—-~ + \ -i |--- ' ai>

V 1 + Щ,г ]¡ 1 + na¡i

где аг и bi - бозе-операторы, na¡i = a\ai и = b\bi. Базис всего гильбертова пространства - состояния \р, q) с р и q частицами типов а и b соответственно, и операторы аг и Ьг действуют на эти состояния следующим образом:

(n+l,g( а\ |n,q) = л/п + 1, Vq, п>0,

(р,п + 1| b\ |р,п) — у/п + 1, Vp, п>0,

аг\0,д) =0, Vg > 0, . ,.

k |р, 0) =0, Vp > 0.

Базис подпространства физических состояний состоит из векторов ¡,Sf = —п) = \п, 0} и \Sf — п) = |0,п) с 0 < п < S. Физическое подпространство, таким образом, ' ограничено условиями

Па,{Щ,г = о, (2.4) ;

na,i 5í S,

(2.5)

< S.

Так, операторы а^ и $ создают в физическом подпространстве возбуждения с Sz = — 1 и +1 соответственно. Легко проверить, что выражения (2.2)-(2.3) воспроизводят спиновые коммутационные соотношения на физическом подпространстве, определённом выражениями (2.4) и (2.5).

Условие (2.4) выбирает состояния с частицами только а- или 6-типа на одном узле. Это условие удовлетворяется добавлением к гамильтониану члена, описывающего бесконечное отталкивание частиц а и Ь на одном узле:

После этой модификации обнуляются матричные элементы операторов (2.2)-(2.3) межде физическими и нефизическими состояниями, ограниченными условием (2.5). Это означает, что при нулевой (и, видимо, малой) температуре можно использовать выражения (2.2)-(2.3) и диаграммную технику, забыв про условие (2.5), как это делается в аналогичной ситуации при преобразовании Холстейна-Примакова. Ниже мы докажем это утверждение для 5 = 1, проведя вычисления с использованием

(2.2)—(2.3), принимая в расчёт член (2.6) и вводя в гамильтониан дополнительный член

который выбирает состояния с не более чем одним возбуждением на узле, что следует из условия (2.5) при 5* = 1. Стоит отметить, что можно построить спиновое представление, аналогичное (2.2)-(2.3), чьи матричные элементы будут нулями между физическими и нефизическими состояниями так, что не надо будет вводить член (2.6) в гамильтониан. Однако, такое представление было бы весьма громоздким. С другой стороны, член (2.6) не усложняет вычисления при любом целом Поэтому ниже используется имеено выражения (2.2)-(2.3) с членом (2.6).

При достаточно малом обменном взаимодействии и низкой температуре можно *-ожидать, что плотность частиц а и Ъ мала. Поэтому можно разложить корни в вы-

(2.6)

(2.7)

ражении (2.3) в ряды и ограничиться первыми членами нормально упорядоченного выражения:

и Ь\ ^сх - с2 + (сх - С'2 сц, (2.8)

С1 = л/Щ+Т), (2.9)

с2 = У/^ТТ)-А/(5~1)о(5 + 2)>0- (2.10)

+ ^ X) [и-^-1}а\ъ1а3ЬА (2.11с)

р1+р2=рз+р4

N

Используя выражения (2.2) и (2.8) и добавляя член (2.6), полчаем из гамильтониана (1.1)

П = Ее1РКйР + 6М (2.11а) р

2

+ ^^р(а^р + ар6_р) (2.11Ь) р

+ -1 + - ~ (Л + Лз) (а!4а3а4 + ь1фзЬ4) +

р1+р2=рз+р4

N

Р1+1

Л + + 4а3а2Ь1 + фз^ат) , (2.11с1)

р1+р2+рз=р4

где Jp = J^3elvn'гз, -/V - количество элементарных ячеек,

с2 с2

= + = £ + . (2.12)

и мы опустили индексы р в (2.11с) и (2.1Ы). Мы учли только члены с не более, чем четырьмя операторами в (2.11). Можно показать, что слагаемые с большим числом операторов приводят к поправкам к спектра и энергии основного состояния порядка (3 / Б)А и выше. Наша же цель - вычислить эти величины только до 3-го порядка, поэтому можно пользоваться гамил�