Квантовые механизмы полуканалирования и сопутстввующего электромагнитного излучения электронов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.20 ВАК РФ

национальный научный центр харьковский физико-технический институт

>'75 (; ]

Специализированный ученый совет Д64.845.01 ... ,, , .

Тнхонснков Игорь Эрнстович "V '

УДК 539.12... 17.

квантовые механизмы полуканалирования и сопутствующего электромагнитного излучения

электронов

01.04.20 - физика пучков заряженных частиц

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Харьков 2000

общая характеристика работы

Актуальность темы. При движении быстрых заряженных частиц под малым углом к плотноупакованным кристаллическим осям или плоскостям имеют место коллективные коррелированные механизмы взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. Среди возникающих при этом физических явлений наиболее известно каналирование заряженных частиц в кристаллах. Коллективное коррелированное взаимодействие заряженных частиц с решеткой кристалла возникает также при скользящем падении пучка на поверхность. Это явление называется полуканалированием. Механизм полуканалирования электронов, в зависимости от энергии частиц, может быть как классическим, так и квантовым. Пороговое значение энергии, ниже которого для полуканалирования электронов необходимо квантовое описание, по порядку величины равно 10 МэВ.

Плоскостное полуканалирование электронов (частица движется под малым углом к поверхности кристалла, однако ее импульс не составляет малый угол ни с какой кристаллической осью) может осуществляться только посредством квантового механизма зонного отражения (Воробьев С. А., 1983). Однако представления об этом механизме являются качественными, и потому попытка его экспериментального исследования была неудачной (Лазарь А.П., Коршунов Ф.П., 1995). Между тем, изучение этого явления представляет интерес потому, что его можно использовать для получения информации об эффективном потенциале взаимодействия электрона с кристаллом в условиях полуканалирования.

Классическая теория аксиального полуканалирования электронов (частица движется под малым углом к параллельной поверхности кристаллической оси) уже построена (Рожков В.В., 1983). Что же касается квантовых-механизмов аксиального полуканалирования электронов, то теоретические и экспериментальные исследования этих процессов до настоящего времени не проводились и о них имеются только общие представления. Не разработаны также численные методы расчета интенсивности отраженных пучков в условиях аксиального полуканалирования.

В последнее время интенсивно исследуется явление поверхностного волнового резонанса, которое проявляется в увеличении интенсивности зеркального рефлекса при дифракции быстрых (порядка десятков кэВ) электронов на отражение. Сейчас считают, что это явление обусловлено коллективным коррелированным взаимодействием электронов с поверхностью кристалла, но из-за отсутствия последовательной квантовой теории аксиального полуканалирования, пока не удалось полностью объяснить ориентационные зависимости интенсивности зеркального рефлекса, которые наблюдаются в таких экспериментах.

Процессы коллективного коррелированного взаимодействия электронов с кристаллом сопровождаются излучением фотонов. Классические механизмы излучения при полуканалировании электронов детально изучены (Рожков В.В.,. 1983). Исследования квантовых механизмов электромагнитного излучения при . полуканалировании электронов до настоящего времени проведены не были.

Таким образом, является актуальной научная задача, которая состоит в исследовании квантовых механизмов полуканалирования электронов низких (до 10 МэВ) энергий и квантовых механизмов генерации электромагнитного излучения при полуканалировании электронов, а также зависимости этих механизмов от структуры кристалла и типа поверхности, типа атомов кристалла, ориентации пучка и энергии частиц.

Связь работы с научными программами, планами, темами. Работа выполнена в отделе №34 Института физики твердого тела, материаловедения и технологий (ИФТТМТ) Национального научного центра «Харьковский физико-технический институт» (ННЦ ХФТИ). Выполнение работы проводилось в рамках «Программы работ по атомной науке и технике ННЦ ХФТИ», которая утверждена постановлением Кабинета Министров Украины №08.05-КМ/03-93 от 19 декабря 1996г. В выполнении работ по этой программе автор диссертационной работы принимал участие как исполнитель.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы являются квантовые механизмы полуканалирования электронов и квантовые механизмы генерации электромагнитного излучения при полуканалировании электронов, а также зависимость этих механизмов от структуры кристалла и типа поверхности, типа атомов, ориентации пучка и энергии частиц.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

• теоретически исследовать квантовые механизмы плоскостного полуканалирования электронов, получить формулы для коэффициента зеркального отражения;

• теоретически исследовать квантовые механизмы рассеяния электронов поверхностью монокристалла в условиях аксиального полуканалирования, получить формулы для интенсивности отраженных пучков;

• теоретически исследовать характеристики возникающего при полуканалировании электронов электромагнитного излучения, получить формулы для вероятности радиационных переходов и спектральной интенсивности излучения.

Объект исследования - полуканалирование электронов и генерация электромагнитного излучения при полуканалировании электронов.

Предмет исследования - квантовые механизмы плоскостного и аксиального полуканалирования электронов низких энергий и квантовые механизмы генерации электромагнитного излучения при плоскостном полуканалировании электронов, зависимость распределения отраженных от поверхности частиц в условиях полуканалирования и характеристик возникающего при полуканалировании электромагнитного излучения от структуры кристалла и типа поверхности, типа атомов, ориентации пучка и энергии частиц.

Методы исследования: квантовые механизмы плоскостного полуканалирования электронов исследовались с помощью теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами.. На основе этой теории были получены формулы для коэффициента отражения. Зави-_

симости коэффициента отражения электронов при плоскостном полуканалиронации от энергии электронов и угла скольжения пучка получены путем численного решения задачи Коши для одномерного уравнения Шредингера методом Рунге-Кутта второго порядка. При этом эффективный плоскостной потенциал рассчитывался на основе потенциалов Мольер и Дойля-Тернера. Изучение зависимости зонной структуры спектра уравнения Шредингера от структуры кристалла проводилось при помощи аппроксимации эффективного плоскостного потенциала модельным потенциалом типа Кронига-Пенни. Исследование квантовой задачи об аксиальном полуканалировании электронов проводилось с помощью разработанного в работе метода поверхностных Елоховских функций. Зависимость интенсивности отраженных пучков при аксиальном полуканалировании от ориентации падающего пучка получена с помощью разработанного в диссертации численного алгоритма, который построен на методе поверхностных Елоховских функций. Исследование излучения фотонов при плоскостном полуканалировании проводилось методами квантовой электродинамики. Этими методами получены формулы для вероятности радиационного перехода и спектральной интенсивности излучения и был проведен анализ влияния излучения на отражение электронов при плоскостном полуканалировании.

Научная новизна полученных результатов. При решении поставленной научной задачи соискателем были разработаны следующие новые научные результаты и положения.

1. Впервые исследована зависимость механизма зонного отражения при плоскостном полуканалировании от структуры кристалла, индексов поверхностной плоскости и типа атомов кристалла. Показано, что характер зонного отражения, а именно вид зависимости коэффициента зеркального отражения от энергии электрона и угла скольжения, слабо зависит от типа атомов, а оп- , ределястся безразмерным параметром, значение которого зависит только от структуры кристалла и индексов поверхностной плоскости.

2. Впервые предложен квантовый механизм отражения электронов низких энергий от поверхности кристалла в условиях аксиального полуканалирования -мультизонное отражение. Показано, что этот механизм может привести к полному отражению электрона.

3. Впсрпыс рассчитаны зависимости коэффициента зеркального отражения при аксиальном полуканалировании электронов от ориентации падающего пучка. Эти расчеты проведены на основе разработанного в работе метода поверхностных Елоховских функций.

4. Предложен квантовый механизм излучения электронов в условиях плоскостного полуканалирования. От ранее изученных квантовых механизмов излучения электронов он отличается тем, что увеличение интенсивности излучения фотона с данной энергией и в данном направлении происходит вследствие когерентного рассеяния электрона на параллельных поверхности атомных плоскостях, находящихся в приповерхностном слое, по толщине равному эффективной глубине проникновения частицы в кристалл.

5. Впервые показано, что процесс электромагнитного излучения при плоскостном полукананалировании может уменьшить вероятность отражения электрона. Это имеет место в тех случаях, когда излучение фотона происходит при переходе электрона в режим плоскостного каналирования в приповерхностном слое кристалла.

Практическое значение полученных результатов. Практическое значение полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

• Зонное отражение может быть обнаружено экспериментально. В работе определены оптимальные экспериментальные условия для исследования этого явления, а именно тип кристалла, индексы поверхностной плоскости, энергия электронов и угловая ширина области заметного отражения электронов от поверхности.

• Разработанный в работе метод поверхностных Елоховских функций можно использовать для исследования других задач о рассеянии волн на двумерных периодических структурах.

• Метод поверхностных Елоховских функций позволяет проводить эффективные численные расчеты картин рассеяния при аксиальном полуканалировании электронов. Результаты таких расчетов могут бьггь использованы для "объяснения экспериментальных данных.

• Изученные в работе физические явления целесообразно использовать для проведения экспериментов по исследованию коллективных коррелированных механизмов взаимодействия электронов с поверхностью кристалла и характеристик эффективного потенциала взаимодействия электрона с кристаллом в условиях полуканалирования, так как эти явления чувствительны к типу структуры кристалла, типу поверхностной плоскости, ориентации пучка и значению энергии электронов.

Личный вклад соискателя. В публикациях [1, 4, 5] соискателем получены формулы для коэффициента отражения при плоскостном полуканалировании, объяснена зависимость зонного отражения от типа структуры кристалла и вида отражающей плоскости. В публикации [7] соискателем был предложен метод понсрхностных Елоховских функций и на его основе разработан численный алго-. ритм расчета интенсивности отраженных пучков при аксиальном полуканалиро- . вании электронов. В публикациях [2, 6] соискателем получены формулы для вероятности излучения фотона и предложен квантовый механизм излучения при плоскостном полуканалировании.

Апробация результатов диссертации. Материалы диссертации докладывались на пятом Российско-Японском симпозиуме «Взаимодействие быстрых заряженных частиц с твердыми телами», Белгород 1996г., на XXIX международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами, Москва, 1999г., а также были представлены на XXVI и XXVII международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристалла-, ми,Москва, 1996 и 1997 г. " . ""

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 3 гатьи в научных журналах и 4 тезисов докладов на конференциях.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из «Введения», пяти азделов, раздела «Выводы» и списка использованных литературных источников, [олный объем диссертации составляет 159 страниц. Работа содержит 22 рисунка 1 таблицу. Объем рисунков - 10 страниц, объем таблицы - 1 страница. Список спользованных литературных источников содержит 186 наименований, а его бъем 16 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во «Введении» обоснована актуальность темы диссертационной работы, формул1фованы цель, объект и предмет исследования, научная новизна и прак-ическое значение полученных результатов.

Первый раздел «Исследования взаимодействия заряженных частиц с ювсрхностыо кристаллов» является обзором научной литературы по теме дис-ертации. Раздел начинается с обсуждения некоррелированных механизмов рас-:еяния пучков заряженных частиц поверхностью твердого тела. Далее приведен >бзор работ, в которых отражены основные этапы развития теории дифракции медленных электронов поверхностью кристаллов. Затем рассмотрено развитие федставлений о механизмах каналирования электронов. Обсуждаются работы, соторые привели к признанию необходимости кванговомеханического подхода тя описания каналирования электронов низких и средних энергий. Кратко рас-:мотрсны работы, посвященные излучению релятивистских электронов и пози-фонов при каналировании. При этом основное внимание уделено статьям, в которых излагались методы исследования и численного расчета энергии электродов, локализованных на атомной оси или плоскости, а также нелокализованных «адбарьерных частиц. Завершает обзор обсуждение литературы, непосредственно посвященной исследованию коллективных коррелированных механизмов взаимодействия электронов с поверхностью монокристаллов и сопутствующего электромагнитного излучения. Проведенный анализ литературы позволяет заключить, что вопросы, связанные с квантовыми механизмами полуканалирования и сопутствующего электромагнитного излучения в настоящее время полностью не исследованы. В то же время, данное направление представляется весьма перспектив-, ным в связи с тем, что эти механизмы чувствительны к структуре поверхности, значению энергии частиц, ориентации пучка и их можно использовать для изучения коллективных коррелированных взаимодействий электронов с поверхностью кристаллов.

Во втором разделе «Методы исследования квантовых механизмов полуканалирования и излучения электронов» рассмотрены методы, которые _ использовались для решения поставленной научной задачи." В подразделе 2.1 рассматриваются аппроксимации Мольер и Дойля-Тернера для эффективного -плоскостного потенциала и эффективного потенциала атомной цепочки,- В" под-

аздслс 2.2 приводятся результаты теории обыкновенных дифференциальных равнений второго порядка с периодическими коэффициентами, необходимые ля исследования квантовых механизмов плоскостного полуканалирования элек-ронов. В подразделе 2.3 рассматриваются некоторые модельные потенциалы тотенциалы, допускающие представление решений одномерного уравнения 1рсдингсра через элементарные или специальные функции). В подразделе 2.4 вантовая задача об аксиальном полуканалировании электронов рассмотрена на :нове метода Фурье-координатного представления (М. фон Лауэ, 1931; Хиба-аяши К., 1966), применительно к квантовой задаче об аксиальном полуканали-эвании электронов. В подразделе 2.5 рассмотрены общие формулы квантовой тсктродинамики для вероятности радиационного перехода и интенсивности изучения и их частные случаи, которые соответствуют излучению в условиях лоскостного полуканалирования.

В третьем разделе «Квантовая теория плоскостного полуканалирова-ия электронов» квантовые механизмы плоскостного полуканалирования элек-хжов исследованы теоретически и с помощью численных расчетов. В подразде-: 3.1 описаны условия задачи о плоскостном полуканалировании и приведены ормулы для коэффициента отражения. При исследовании этой задачи можно хшользоваться непрерывным приближением теории каналирования, согласно ггорому при достаточно высокой энергии и малом угле скольжения взаимодей-вие электрона с атомной плоскостью описывается одномерным эффективным юскостным потенциалом Up(z):

ie V2 есть элементарная ячейка поверхностной решетки;

!г\ - се площадь;

(x,y,z) потенциал кристалла.

В этом случае состояние электрона определяется волновой функцией y/(z), ггорая является решением уравнение Шредингера с релятивистской массой

+ fc - Up(z)V(z) = 0 • (2)

;ссь M = ту - релятивистская масса электрона; = Eime" -'релятивистский фактор;

- полная энергия электрона;

- масса покоя электрона;

L = pl/lM ■ поперечная энергия; L = рОр - поперечный импульс электрона;

- полный импульс электрона; -

, - угол скольжения к поверхности.

Уравнение (2) рассматривается на отрезке [0, (/,,], где с!р - межплоскостнос расстояние. Потенциал U¥{z) считается равным 0 при z < 0 (область вакуума) и периодическим с периодом dp при 2 > 0 (область, занятая кристаллом). Поэтому при г > 0 функция i//(z) удовлетворяет условиям Блоха

где qL - квазиволновое число электрона.

Спектр уравнения (2) обладает зонной структурой. Благодаря наличию поверхности поперечная энергия электрона EL может находится как в разрешенной зоне спектра уравнения (2), так и п запрещенной. В разрешенной зоне коэффициент зеркального отражения равен

|Л|2 = (УЛо + (¿-Jy/^l -sin^J J' _ (3)

(у/,0 -cos{qLdp)f + (a-J^I +sin(i7li/J): где ц/\ и i/2 такие решения уравнения (2), что

c,(o) = K(°)=i. K(°) = v2(0) = °' (4)

а (Сю = 4f\(dP), у/20 = Viidp)- В разрешенной зоне всегда |Л|: < 1. В запрещенной зоне волновая функция электрона убывает с ростом расстояния от поверхности, что соответствует полному отражению частицы. В этом случае \R\2 = 1. Этот механизм отражения был предложен Воробьевым С.Л.. Для того, чтобы определить оптимальные условия эксперимента по исследованию этого эффекта и изучить его зависимость от энергии частиц, вида поверхности и ориентации пучка необходимо провести численное решение уравнения (2) с реалистичным потенциалом.

В подразделе 3.2 анализируются результаты численных расчетов зависимости коэффициента отражения 1Д\2 от угла скольжения 0Р, энергии электрона Е. Вычисления \R(0P,E)\2 были проведены для низкоиндексных плоскостей (с индексами (100), (ПО), (111), (120), (221)) однородных монокристаллов со структурой ОЦК, ГЦК, типа алмаза и для кристаллов двухкомпонентных химических соединений со структурой типа NnCl. CsCl и ZnS для энергий электронов в интервале 0.1-10 МэВ. Эффективный плоскостной потенциал (1) рассчитывался с использованием потенциалов Мольер и Дойля-Тернера.

В результате было установлено, что эффект зонного отражения имеет место при некоторых значениях энергии для определенных кристаллов и плоскостей. В наиболее оптимальных случаях угловая ширина зоны заметного отражения от поверхности достигает половины величины критического угла плоскостного каналирования 01у (угла Линдхарда). При энергиях порядка нескольких десятков кэВ эта ширина равна десятым долям градуса, а для энергии в несколько МэВ она уменьшается до сотых долей градуса. Эффект зонного отражения проявляется для плоскостей с индексами (111), (210), (122) и выше. /Для плоскостей (100), (110) не следует ждать заметного проявления этого эффекта ни при каких значениях энергии.

Примеры рассчитанных зависимостей \R(9p,E)f приведены на рис. 1, где показаны графики |Л(0Я,£)|2 для плоскости (111) двух ОЦК кристаллов - Мо и W. Энергия на рис. 1 измеряется в МэВ, угол скольжения в углах Линдхарда

Рис. 1. Угловые и энергетические зависимости коэффициента отражения от поверхности (111) ОЦК-кристаллов.

Е -тс

2Щ

/ 2\"'

где а о - боровский радиус;

2 - заряд ядра атомов кристалла;

/г^ - число атомов на единицу площади поверхности;

г0 - радиус экранирования потенциала изолированного атома в модели Томаса-Ферми.

Графики на рис. 1 получены с использованием аппроксимации Мольер для плоскостного потенциала (температура кристалла Т= 293 К). На рис. 1 видно, что с ростом энергии зона полного отражения смещается в область малых углов. Ее угловая ширина увеличивается и достигает максимума при том значении энергии, при котором ее нижняя граница совпадает с точкой вр = 0.

При анализе численных расчетов установлено, характер зонного отражения, то есть вид зависимости Щвр, £)|2, слабо зависит от вида материала и определяется в основном типом структуры кристалла и индексами плоскости. Этот факт иллюстрирует рис 1., где вадно, что форма поверхности |Д(^,£)|2 на обоих рисунках практически идентична. График на нижнем рисунке смещен относительно графика на верхнем в область малых энергий. Это вызвано увеличением атомного номера при переходе от Мо к

Раздел 3.3 посвящен теоретическому исследованию обнаруженных с помощью численных расчетов особенностей зонного отражения. Для решения этой задачи необходимо определить, как зависит зонная структура спектра уравнения (2) от типа решетки и вида плоскости. Это было сделано с помощью разработанного в работе метода аппроксимации реалистического плоскостного потенциала модельным потенциалом типа Кронига-Пенни, параметры которого выбирались из условия совпадения трех интегральных моментов у исходного потенциала и у модельного. Эффективность такого метода проверялась численными расчетами. В результате оказалось, что для любой поверхности с небольшими индексами кубических однородных монокристаллов и кубических кристаллов двухкомпо-нентных химических соединений существует потенциал Кронига-Пенни, такой, что его зонная структура практически (с точностью 0.01 угла Линдхарда) совпадает с зонной структурой эффективного плоскостного потенциала, полученного для этих плоскостей с использованием потенциалов Мольер и Дойля-Тернера. Такое качество аппроксимации сохраняется во всем интервале низких энергий. Основываясь на этом факте удалось установить, что в области низких энергий спектр уравнения (2) зависит от энергии электрона Е = уте2, атомного номера 1 и типа структуры кристалла, как от безразмерного параметра где пр -

поверхностная плотность атомов на отражающей плоскости. Отсюда видно, что зависимость от Z слабая, а зависимость от типа структуры и индексов плоскости" заключена в безразмерном параметре '

Из сказанного следует, что зонное отражение должно проявляться одина-овым образом для кристаллов и плоскостей с близким по величине значением араметра рр1. Этот теоретический вывод подтверждается численными расчетами.

В подразделе 3.4 результаты компьютерного расчета сопоставлены с экс-ернментальными данными Лазаря А.П. и Коршунова Ф.П.. Они получили угло-ые распределения электронов с энергией 4.5 МэВ, отраженных от поверхности 111) для различных углов падения пучка. В условиях их эксперимента авторы г обнаружили заметного отражения электронов. Зависимость коэффициента гражения от угла скольжения (угол скольжения измеряется в углах Линдхарда Ф. 0.16°, V = 0р/0ь), рассчитанная в условиях эксперимента с использованием по-:нциала Дойля-Тернера, имеет вид, приведенный на рис. 2. Запрещенные зоны роявляются в виде очень узких последовательных экстремумов, поэтому в дан-ых условиях эффекта нет, что и согласуется с результатами эксперимента.

В подразделе 3.5 рассматривается отражение от кристалла конечной злщины в условиях плоскостного полуканалирования. Установлено, что если пело параллельных поверхности атомных плоскостей больше нескольких десят-)в, то зонное отражение происходит также как и от бесконечного кристалла. Тот акт, что заметное отражение электрона может произойти от достаточно малого пела плоскостей объясняется тем, что при попадании Е± в запрещенную зону кссяние электрона на атомных плоскостях имеет когерентный характер.

область угловой расходимости

. о ■ 1 \ .2

ic. 2. Угловая зависимость коэффициента отражения от поверхности (111) Si 1Я электронов с энергией 4.5 МэВ.

Четвертый раздел «Квантовая теория аксиального полуканалирования электронов» посвящен квантовой задаче о рассеянии электронов в при скользящем падении на поверхность в случае, если частица движется малым углом к некоторой кристаллической оси (ось Ох). В подразделе 4.1 описана постановка задачи. В этих условиях электрон взаимодействует с кристаллом, как системой параллельных поверхности атомных цепочек, воздействие которых на частицу описывается двумерным эффективным потенциалом ит(у, г):

где с1т - расстояние между атомами в атомной цепочке.

Атомные цепочки образуют двумерную решетку, векторы элементарных трансляций которой ^ и Ьх выбирались так, чтобы ^ был параллелен поверхности, а Ьк - перпендикулярен. Тогда в кристалле (при г > 0) потенциал ип(у, ¿)

периодичен: 11Лу + 2 + Ь±) = ит(у, г), а в вакууме (при г < 0) ит(у, г) = 0. При этом движение вдоль цепочек можно считать независимым от движения в поперечной плоскости уОг, и волновая функция частицы имеет вид

'{-"(г) = схр(/'А-1л:)'Р(у> г), где кх - составляющая волнового вектора к электрона

вдоль оси Ох. Функция У1'(у,2) является решением двумерного уравнения Шредин-гера с релятивистской массой

¿к +д^(у,2)+{Е1 -и„(у,г Му,*) = 0, (6)

где £ = рЦъМ - поперечная энергия электрона;

р± - составляющая импульса электрона вдоль плоскостиуОг.

В кристалле функция должна удовлетворять условиям Блоха

у(у + А,, г) = ехр(/?,А)У(У,г), дуЧ>(у + А,, г) = ехр(/?,Д)дЧ>(у,х), Т(и,г + 6А) = ехр^АУ^М. 3, Ч^, 2 + А А) = ехр> /Р (у, г), (7)

где число <7ц определяется волновым вектором к электрона

к Ь,

У II

2я

Здесь [а\ есть целая часть числа а.

Целью решения задачи (б)-(7) является определение чисел д^ и соответствующих им решений Ч'„(у,г). Если ¿7±,т действительно, то при трансляции на А "

величина |1Рт|2 не изменяется и функция. Тт описывает прошедшую в кристалл частицу'. Если <7х,т комплексно, .то |Ч'т|2 экспоненциально убывает с ростом рас-

«х о

стояния до поверхности. В этом случае функция ¥т соответствует частице, отраженной от поверхности. Волновая функция электрона в кристалле является суперпозицией функций Ч'т. Волновая функция электрона в вакууме (при г < 0) является суперпозицией падающего и отраженных пучков:

Л

где ?1={у,г), к±=(у,2);

II

В этой формуле зеркальному пучку соответствует номер п0. Цель исследования состоит в изучении зависимости коэффициентов отражения |Я„|2 от ориентации падающего пучка, энергии частиц и кристаллографической структуры поверхностной плоскости кристалла.

В подразделе 4.2 дано определение и рассмотрены элементарные свойства поверхностных Блоховских функций. Эти функции определяются как решения следующей задачи

д,ф.у+\>2)=етяА Р,ф.\У>2

Для каждого 2 е [0, 6Х] У задачи (8) существует счетное множество собственных значений ¿„(г), каждому из которых соответствует собственная функция Ф„(у,г). При фиксированном значении 2 система функций {Ф„(у,г)} полна в и ортогональна

и\\ о

Анализ задачи (б)-(7) основан на представлении решения ¥ и его производной

0/Г в ш1де рядов

В рамках этого формализма получены общие формулы для амплитуд состояний, которые возникают в кристалле, и для интенсивностей отраженных пучков.

Кроме функций Ф„{у,2) из задачи (8) определяются функции Ь„(г), которые имеют смысл некоторой энергии, отвечающей состоянию с номером п. В работе функции ¿„(г) называются «характеристическими потенциалами». В связи с тем, что задача (8) является одномерной, для заданного потенциала С/сгСи^) и числа <уц функции Ф„(у,2) и ¿„(г) могут быть вычислены практически с любой заданной

эчностыо. Это позволяет построить эффективный численный метод расчета нтенсивности отраженных пучков при аксиальном полуканалировании.

В подразделе 4.3 разработан метод расчета интенсивностей отраженных учков в условиях аксиального полуканалирования. В основе метода лежит пред-оложение о том, что зависимость поверхностных Елоховских функций Ф„(у,г) от асстояния до поверхности является слабой, то есть можно приближенно поло-сить

« Ф„(у,0). (9)

Используя приближение (9), задачу об определении чисел qnJ. и соответст-ующих им решении Ч'„(у,2) задачи (6) можно свести к анализу следующей сис-емы независимых обыкновенных дифференциальных уравнений

= (10)

Числа (]„л и соответствующие им решения задачи (б)-(7) определя-

отся характеристическими потенциалами Ь„{г). Так как функции Ьп(г) периодич-ш, то спектр каждого из уравнений (10) обладает зонной структурой. Если Е± юпадает в разрешенную зону спектра п-го уравнения то число действительно л решение Ч'„ соответствует частице, проникнувшей в кристалл. Если же наг годится в запрещенной зоне, то (Ч^2 убывает с ростом расстояния от поверхности н функция Ч'„ соответствует отраженной частице. Уравнения (10) в работе называются характеристическими.

В подразделе 4.4 описан новый квантовый механизм отражения электронов при аксиальном полуканалировании. При фиксированном значении полной энергии Е, поперечная энергия Ех. зависит от ориентации пучка, то есть является функцией угла скольжения 0Р и азимутального угла <р. Если при некоторых значениях 0Р и (р число Е±{др,<р) попадает в запрещенную зону спектра некоторого уравнения (10), то соответствующее этому уравнению решение задачи (6)-(7) становится затухающим. Это приводит к уменьшению числа частиц внутри кристалла и к увеличению отраженных частиц. Если же число Ех_{Ор,<р) переходит из запрещенной зоны в разрешенную, то число отраженных частиц уменьшается. Таким образом, на качественном уровне, число отраженных частиц при аксиальном полуканалировании также зависит от спектра характеристических уравнений (10), как и число отраженных частиц при плоскостном полуканалировании от спектра уравнения (2). Поэтому можно сказать, что при аксиальном полуканалировании отражение электронов происходит по зонному механизму Воробьева С.А., но, как бы, от нескольких «одномерных кристаллов», которые характеризуются характеристическими потенциалами ¿„(г). Это дает основание описанный квантовый механизм отражения назвать мультизонным отражением. Мультизон-ное отражение может привести к полному отражению частицы от поверхности.

го произойдет, если Е^6р,<р) окажется в запрещенной зоне всех уравнений (10). акая ситуация возможна, так как число незатухающий решений задачи (6)-(7) :егда конечно.

В подразделе 4.5 рассматриваются результаты расчета угловой зависимо-ги коэффициента отражения, полученные на основе разработанного в подразде-ах 4.2 и 4.3 метода. Расчеты были проведены для низкоиндексных направлений управлений с индексами [100], [110], [111], [120], [211]) однородных кристал-ов со структурой ОЦК, ГЦК и алмаза. Коэффициент зеркального отражения ассчитывался по следующей формуле

КГ

{к -G >+(f }

ыш

де

1десь величины ф" определяются согласно формулам

"II о

3 разрешенной зоне к-го характеристического уравнения

—рж— ЫЛ--1Щ-

i запрещенной зоне

г; к)

~де Y* (z), Y* (z) решения к-то уравнения (10) с начальными условиями (4).

В подразделе 4.6 результаты расчетов по описанной методике сравниваются с данными экспериментов по исследованию поверхностного волнового резонанса. На рис. 3 показана зависимость коэффициента зеркального отражения от угла скольжения 0Р и азимутального угла (р для электронов в условиях эксперимента Пенга Л. М. и Каули Дж. М. (Surface Sci.-I988.-V.201.-P.559-572). В этой работе исследовалась картина RHEED для электронов с энергией 100 кэВ, падающих на поверхность (110) кристалла GaAs под малым углом к направлению [100]. Азимутальный угол на рис. 3. отсчитывается от направления [100]. Углы вр и <р измеряются в углах Линдхарда который в этих условиях равен 41.13 рад (этот угол определяется при U0 - Ze2/dK) . В эксперименте при угле скольжения в 36 мрад (0.835-6У наблюдался максимум зеркального рефлекса при азимутальном угле 29 мрад (0.1-0L). На рис. 3 максимум находится в точке <р ~ 0.75 Поэтому численные расчеты демонстрируют азимутальную зависимость зеркального рефлекса, которая качественно согласуется с результатами эксперимента. Из

этого можно заключить, что полуканалирование частично проявляется уже при энергиях порядка 100 кэВ и что разработанный в подразделах 4.2 и 4.3 метод расчета интенсивности отраженных пучков можно использовать для объяснения

Рис. 3. Зависимость коэффициента зеркального отражения от угла скольжения и азимутального угла для электронов с энергией 100 кэВ, падающих на поверхность (110) ваАз под малым углом к направлению [100] (азимутальный угол этсчитываегся от направления [100]).

В пятом разделе «Квантовая теория излучения электронов при плоскостном полуканалированки» рассмотрены квантовые механизмы излучения при плоскостном полуканалировании электронов. В подразделе 5.1 выведены формулы для биспинорных волновых функций электрона в случае плоскостного полу-каналирования и в случае рассеяния на изолированной атомной плоскости. В подразделе 5.2 рассмотрено влияние одномерности задачи на изменение /и при радиационных переходах. В подразделе 5.3 рассмотрено излучение при рассеянии «а изолированной атомной плоскости в условиях полуканалирования.

Излучение при плоскостном полуканалировании рассмотрено в подразделе 5.4. В этом случае начальное значение может находиться в запрещенной зоне :пектра уравнения (2). Излучение фотона может происходить при переходе из запрещенного состояния в разрешенное (тип ГогЬ-Ггее) и при переходе в запрещенное состояние (тип ЯэгЬ-ГогЬ). Отношение между интенсивностями излучения {ютона с волновым вектором к при этих переходах и интенсивностью излучения гакого же фотона при рассеянии на изолированной атомной плоскости выражает-;я следующими равенствами

r(forb-frM) ЛЛ _ I ,,(fbrb-fra)|2 j ЛЛ , (fortvCort.) ЛЛ I w(for^fort.)|J j ЛЛ (Ц)

1 Bemichan VW Mtnichan ' plane \ /> 1 Kmichm V ! Mmichan plant V. J

W

(forb-free) _

plane \ /1 Kimchan \ / | iemjchan | plane V

ЕОТСЯ П(

2 exp^Jc/J

где величины | w(fortbfrte)|2 и !,v(rort>fort>)|2 определяются по формулам

wmichsi lenuchan

ztoshj^lrfJ-^cos^+^Vj]

|>r(forl>forb)p + (12)

•emichan

2[cosh(^.i!+|k)-cos a )1

Здесь qiti и qjx - квазиволновые числа в начальном и конечном состояниях. Величина S («знак запрещенной зоны») определяется по формуле S = sgn(^, idр)+у/'2 [dp))' где i^i W и ^г(') решения уравнения (2) с начальными

условиями (4).

Формулы (11)-(12) фактически описывают квантовый механизм излучении при плоскостном каналировании. От других квантовых механизмов излучения он отличается тем, что излучение фотона происходит вследствие когерентного рассеяния электрона на параллельных поверхности кристалла атомных плоскостях. Величины и |л^ГогЬ'|^1г,,)р имеют максимум порядка L \dp ) 2, соответст-

венно, при выполнении условий ^cos^ и SSf cos{/cidp) я 1 ■ Число

по порядку величины равно эффективной глубине проникновения электрона в кристалл при попадании EiX в запрещенную зону. Число \q, ¡[d р\' равно числу атомных плоскостей, которые находятся на расстоянии Таким обра-

зом, увеличение интенсивности излучения происходит в результате когерентного рассеяния электрона на плоскостях, находящихся в приповерхностном слое, по толщине равному эффективной глубине проникновения электрона в кристалл.

На рис. 4 показаны графики зависимости интенсивности излучения, приходящейся на один электрон, от энергии излученного фотона при плоскостном полуканалировании для электронов с энергией 430 кэВ (поверхность (120) Мо) и для электронов с энергией 810 кэВ (поверхность (111) Ge). Начальное значение поперечной энергии Ек± в обоих случаях находится в запрещенной зоне. Максимум интенсивности соответствует переходам в состояния с малым отрицательным значением Ej±. Это означает, что при излучении фотона электрон переходит в режим плоскостного полуканалирования в приповерхностном слое кристалла.

В подразделе 5.5 рассмотрено влияние процессов излучения фотонов при плоскостном полуканалировании на зонное отражение электронов. Показано, что радиационные процессы могут заметно уменьшить число отраженных частиц. Это имеет место в тех случаях, когда при излучении фотона происходит переход

электрона из режима отражения в режим каналирования в приповерхностном ;лое кристалла. Если процессы радиационного захвата маловероятны, излучение те оказывает сильного влияния на угловое распределение отраженных электродов.

Энергия фотона (еУ) Энергия фотона (еУ)

Мо (120), Е = 0.43 МэВ ве (111), Е = 0.81 МэВ

?ис. 4. Спектральная интенсивность электромагнитного излучения при плоскост-юм полуканалировании электронов.

Заключительный раздел «Выводы» содержит основные результаты дис-жртационной работы.

В результате выполнения данной диссертационной работы была решена шумная задача, которая состоит в исследовании квантовых механизмов полука-галирования электронов низких энергий и квантовых механизмов генерации (лектромагнитного излучения при полуканалировании электронов, а также зави-:имости этих механизмов от структуры кристалла и типа поверхности, типа ато-юв кристалла, ориентации пучка и энергии частиц.

На основании полученных в диссертационной работе результатов можно ¡делать следующие выводы:

В результате исследования квантового механизма зонного отражения при плоскостном полуканалировании электронов низких энергий, который ранее был описан только на качественном уровне, показано, что характер зонного отражения, а именно вид зависимости коэффициента зеркального отражения от энергии и угла скольжения, слабо зависит от типа атомов кристалла и определяется безразмерным параметром, значение которого зависит только от структуры кристалла и индексов поверхностной плоскости. !. Установлено, что механизм зонного отражения обусловлен тем, что в условиях плоскостного полу каналирования электрон может испытывать когерентное

рассеяние на параллельных поверхности кристалла атомных плоскостях. Благодаря этому эффект зонного отражения может проявляться на монокристаллическом слое, в котором содержится более нескольких десятков атомных плоскостей.

. На основании рассчитанных в работе угловых зависимостей коэффициента отражения при плоскостном полуканалировании интерпретированы результаты эксперимента по исследованию зонного отражения. Отсутствие эффективного отражения электронов, наблюдавшееся в эксперименте, объясняется тем, что угловая ширина зоны полного отражения составляла не более одной десятой части угловой расходимости пучка.

. В работе показано, что эффект зонного отражения можно наблюдать экспериментально и определены оптимальные условия для проведения таких экспериментов, а именно вид кристалла, индексы отражающей плоскости, энергия электронов и угловая ширина области углов скольжения, для которых следует ожидать заметное отражение электронов.

. Проведено теоретическое исследование квантовой задачи об аксиальном полуканалировании электронов низких энергий, на основе разработанного в работе метода поверхностных Елоховских функций. В результате впервые предложен квантовый механизм аксиального полуканалирования электронов - мульти-зонное отражение. Он состоит в том, что коэффициент отражения электрона при аксиальном полуканалировании определяется зонной структурой некоторого числа выведенных в работе характеристических уравнений. Показано, что этот механизм может привести к полному отражению электрона от поверхности.

. С использованием разработанного в работе численного алгоритма впервые рассчитаны ориентационные зависимости коэффициента зеркального отражения при аксиальном полуканалировании. Установлено, что влияние зонной структуры характеристических уравнений проявляется в виде осциляций коэффициента зеркального отражения.

Практическое значение разработанного в работе метода поверхностных Елоховских функций состоит в том, что он представляет самостоятельный методический интерес и может быть использован для анализа других задач о рассеянии волн двумерными периодическими структурами. Проведенные расчеты ориентационной зависимости коэффициента зеркального отражения при аксиальном полуканалировании электронов позволяют с точностью 10% интерпретировать азимутальные зависимости интенсивности зеркально отраженного пучка, которые наблюдались в некоторых экспериментах по исследованию поверхностного волнового резонанса. Это указывает на то, что разработанная в работе методика расчета интенсивностей отраженных пучков может быть использована для объяснения результатов экспериментов по исследованию аксиального полуканалирования электронов. В работе впервые исследованы квантовые механизмы электромагнитного излучения электронов при плоскостном полуканалировании. В результате

предложен и изучен новый квантовый механизм излучения, который от других механизмов отличается тем, что излучение фотона происходит вследствие когерентного рассеяния электрона на параллельных поверхности атомных плоскостях, для которых расстояние от поверхности меньше характерной глубины проникновения частицы в кристалл.

Исследовано влияние радиационных процессов на отражение электронов при плоскостном полу канал ировании. Показано, что процесс излучения может заметно уменьшить число отраженных частиц. Это имеет место в тех случаях, когда при излучении фотона происходит переход электрона из режима отражения в режим каналирования в приповерхностном слое кристалла. Условия, при которых такие процессы наиболее вероятны, определяются зонной структурой эффективного потенциала, энергией и углом скольжения электрона. Если процессы радиационного захвата маловероятны, излучение не оказывает сильного влияния на угловое распределение отраженных электронов. . Физические явления, которые были исследованы в работе, целесообразно использовать в экспериментальных исследованиях коллективных коррелированных механизмов взаимодействия электронов с поверхностью и характеристик эффективного потенциала взаимодействия электрона с кристаллом в условиях полуканалирования, так как эти явления чувствительны к типу структуры кристалла и поверхностной плоскости, ориентации пучка и значению энергии электронов.

. Изученные в работе квантовые механизмы полуканалирования и сопутствующего электромагнитного излучения электронов имеют место только при взаимодействии электрона с поверхностью кристалла. Это обусловлено тем, что энергетический спектр электрона в кристалле с поверхностью принципиально отличается от энергетического спектра электрона в бесконечном кристалле. При взаимодействии с поверхностью электрон может находится в состояниях, которые запрещены внутри неограниченного кристалла, а характер рассеяния электрона в запрещенном состоянии качественно отличается от рассеяния в разрешенном.

Основная идея диссертационной работы состоит в том, что обусловленное гичием поверхности кардинальное изменение энергетического спектра элек-»на является причиной появления новых квантовых механизмов рассеяния и :ктромагнитного излучения при полуканалировании электронов.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ СОИСКАТЕЛЯ ПО ТЕМЕ

ДИССЕРТАЦИИ

1. Дюльдя С. В., Рожков В. В., Тихоненков И. Э. Малоугловое отражение электронов низких энергий от поверхности твердого тела // Поверхность (Физика, химия, механика). 1996. №3. С. 66-72.

2. Дюльдя С. В., Рожков В. В., Тихоненков И. Э. Квантовая теория излучения электронов при плоскостном полу канал ировании // Поверхность (Рентгеновские, нейтронографические и синхротронные исследования). 1999. №10. С. 45-52.

3. Tikhonenkov I. Е. Influence of generation of photons on a reflection of low-energy electrons under planar semichanneling // VANT (Вопросы атомной науки и техники),1999. N 3(34). Р.110-112.

4. Дюльдя С. В., Рожков В. В., Тихоненков И. Э. Моделирование зонного отражения электронов низких энергий от поверхности твердого тела // Тезисы докладов XXIX межд. Конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. Москва. Изд. МГУ. 1996. С. 39.

5. Dul'dya S.V., Rozhkov V. V., Tykhonenkov I. E. Quantum theory of planar semichanneling and radiation // Proceedings of the 5-th Russian-Japan conference on the interaction of fast chaged particles with solids. Белгород. 1996. Изд. Белгородского университета. P. 33-34.

6. Дюльдя С. В., Рожков В. В., Тихоненков И. Э. Квантовая теория плоскостного полу канал ирования и излучения электронов // Тезисы докладов XXIX межд. Конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. Москва. Изд. МГУ. 1997. С. 74.

7. Рожков В. В., Тихоненков И. Э. Квантовая теория аксиального полуканалиро-вания электронов // Тезисы докладов XXIX межд. Конф. по физике взаимодействия зар-ных частиц с кристаллами. Москва. Изд. МГУ. 1999. С. 50.

Tikhonenkov I.E. Quantum mcchanisms of semichannelling and attendant electromagnetic radiation of electrons. - Manuscript.

Thesis applied for Ph. D. in Physics and Mathematics on speciality 01.04.20 -charged particles beams physics. National Since Center «Kharkov Institute of physic and technology», Kharkov, 2000.

In this work quantum mechanisms of semichannelling and attendant electromagnetic radiation of electrons has been investigated using theoretical and calculation methods. A quantum mechanism of planar semichannelling of electrons, so called band reflection, has been studied. It is shown that a behaviour of band reflection is determined by a crystal structure and surface plane indexes but the dependence of this phenomenon from a type of atoms is negligible. The optimum conditions for experimental research of band reflection has been pointed. It has been proposed a new quantum mechanism of reflection of electrons under axial semichannelling conditions - the multiband reflection. The angular dependencies of intensity of specular reflection

has been calculated using a new method - the surface Bloch functions method. A new quantum mechanism of electromagnetic radiation of electrons under planar semichan-nelling conditions has been found and examined. The difference of this mechanism from other types is that the radiation of photons is caused by the coherent scattering of electron on parallel to the crystal surface atomic planes which distance from the surface is less than the particle penetration depth. The influence of electromagnetic radiation on the band reflection has been studied and it is shown that a number of reflected particles may be reduced as radiation processes is very appreciable.

Key words: semichannelling of electrons, surface scattering, quantum mechanisms, band reflection, Bloch functions, electromagnetic radiation.

Тихоненков И.Э. Квантовые механизмы полуканалирования и сопутствующего электромагнитного излучения электронов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.20 - физика пучков заряженных частиц. Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт», Харьков, 2000.

В диссертационной работе квантовые механизмы коллективного коррелированного взаимодействия электронов низких энергий (до 10 МэВ) с поверхностью кристалла, или полуканалирования, и сопутствующего электромагнитного излучения при полуканалировании электронов исследованы теоретически и с помощью численных расчетов. Был изучен квантовый механизм зонного отражения при плоскостном полуканалировании электронов, который ранее был описан только на качественном уровне. Показано, что характер зонного отражения, а именно вид зависимости коэффициента зеркального отражения от энергии и угла скольжения, слабо зависит от типа атомов кристалла и определяется безразмерным параметром, значение которого определяется структурой кристалла и индексами поверхностной плоскости. Зависимости коэффициента отражения электронов при плоскостном полуканалировании от энергии электронов и угла скольжения пучка получены путем численного решения одномерного уравнения Шредин-гера. При этом эффективный плоскостной потенциал рассчитывался на основе потенциалов Мольер и Дойля-Тернера.

Установлено, что явление зонного отражения обусловлено когерентным рассеянием электрона на параллельных поверхности кристалла атомных плоско-л'ях. Благодаря этому эффект зонного отражения может проявляться на монокри-ггаллическом слое, в котором содержится более нескольких десятков атомных тлоскостей. Показано, что эффект зонного отражения можно наблюдать экспериментально и получены оптимальные условия для проведения таких эксперименте, а именно вид кристалла, индексы отражающей плоскости, энергия электро-юв и угловая ширина области углов скольжения, для которых следует ожидать сметное отражение электронов от поверхности.

Проведено теоретическое исследование квантовой задачи об аксиальном юлуканалировании электронов. Эта задача состоит в исследовании квантовых

механизмов рассеяния электрона поверхностью кристалла при условии, что его взаимодействие с кристаллической решеткой описывается двумерным эффективным потенциалом параллельных поверхности атомных цепочек. Впервые предложен квантовый механизм аксиального полуканалирования электронов - муль-гизонное отражение. Он состоит в том, что коэффициент отражения электрона при аксиальном полуканалировании определяется зонной структурой некоторого числа характеристических уравнений, которые выведены в работе. Показано, что мультизонное отражение может привести к полному отражению электронов от поверхности. Впервые проведен численный расчет ориентационной зависимости интенсивности отраженных пучков при аксиальном полуканалировании. Эти эасчеты проводились с использованием разработанного в работе метода анализа <вантовой задачи об аксиальном полуканалировании электронов - метода по-зерхностных Елоховских функций. На основе этого метода построен эффективный численный алгоритм расчета интенсивностей отраженных пучков при акси-шьном полуканалировании электронов. Показано ориентационные зависимости соэффициента зеркального отражения при аксиальном полуканалировании, полугенные с помощью этого алгоритма, позволяют интерпретировать зависимость пггенсивности зеркального рефлекса от ориентации пучка, которая наблюдалась ! некоторых экспериментах по исследованию дифракции быстрых (несколько 1есятков кэВ) электронов на отражение (ЛНЕЕО). Это указывает на то, что раз-»аботанная в работе методика расчета интенсивностей отраженный пучков может ¡ыть использована для объяснения результатов экспериментов по рассеянию лектронов с энергией порядка сотен кэВ и нескольких МэВ при скользящем вдении на поверхность кристалла, так как в этих условиях квантовые механиз-1Ы полуканалирования электронов должны быть доминирующими механизмами ассеяния.

В работе впервые исследованы квантовые механизмы электромагнитного злучения электронов при плоскостном полуканалировании. В результате пред-ожен и изучен квантовый механизм излучения при плоскостном полуканалиро-акии электронов. От ранее изученных механизмов он отличается тем, что излу-ение фотона с данной энергией и в данном направлении происходит вследствие огерентного рассеяния электрона на параллельных поверхности кристалла атом-ых плоскостях, находящихся в приповерхностном слое, по толщине равному арактерной глубине проникновения частицы в кристалл. Спектральная инген-ивность возникающего излучения определяется энергией электрона, углом кольжения пучка и зонной структурой эффективного плоскостного потенциала.

Исследовано влияние процессов электромагнитного излучения на отражено электронов при плоскостном полуканалировании. Показано, что процесс злучения может заметно уменьшить число отраженных частиц. Это имеет место тех случаях, когда при излучении фотона происходит переход электрона из ;жима отражения в режим каналирования в приповерхностном слое кристалла, ели такие процессы маловероятны, излучение не оказывает сильного влияния на -ловое распределение отраженных электронов.

Из полученных в работе результатов следует, что изученные физические явления целесообразно использовать в экспериментальных исследованиях коллективных коррелированных механизмов взаимодействия электронов с поверхностью и характеристик эффективного потенциала взаимодействия электрона с кристаллом в условиях полуканалирования, так как эти явления чувствительны к типу структуры кристалла, виду поверхностной плоскости, ориентации пучка и значению энергии электронов. Эти явления могут проявляться только при полу-каналировании электронов. Это обусловлено тем, что энергетический спектр электрона при движении внутри неограниченного твердого тела кардинально отличается от энергетического спектра при взаимодействии электрона с поверхностью кристалла.

Ключевые слова: полуканалирование электронов, поверхностное рассеяние, квантовые механизмы, зонное отражение, функции Блоха, электромагнитное излучение.