Квазиклассические спектральные серии нелинейного оператора типа Хартри тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Литвинец, Федор Николаевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Томск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Литвинец Федор Николаевич
Квазиклассические спектральные серии нелинейного оператора типа Хартри
Специальность 01 04 02 - теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Томск - 2007
003176456
Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики Томскою политехнического университета
Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики и математической физики
Томского политехнического университета Трифонов Андреи Юрьевич
Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики Томского
государственного университета Шаповалов Александр Васильевич
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор, проректор по научной работе Северской государственной
технологической академии Носков Михаил Дмитриевич
доктор физико-математических наук, профессор кафедры динамических систем
Омского государственного университета Широков Игорь Викторович
Ведущая организация Институт оптики атмосферы СО РАН
Защита состоится "20" декабря 2007 г в 1430 час на заседании диссертационного совета Д 212 267 07 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Томском государственном университете по адресу 634050, Томск, пр Ленина, 36
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета
Автореферат разослан
и/Г " ноября 2007 г
Ученый секретарь
диссертационного совета
доктор физико-математических наук,
профессор
И В Ивонин
Общая характеристика работы
В диссертации развит аналитический метод построения решений спектральной задачи для многомерного нелинейного уравнения типа Хартри и рассмотрены его приложения в теории фазы Берри и бозе-эйнштейновского конденсата
Актуальность темы
Актуальной проблемой современной теоретической физики является разработка точных и приближенных методов интегрирования нелинейных уравнений, которые служат основой построения моделей в квантовой теории многочастичных систем, в нелинейной оптике, в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках и др
Развитие новых лазерных технологий и их применение к исследованию ансамблей когерентных атомов привело к выдающимся достижениям в создании и исследовании бозе-эйнштейновских конденсатов паров атомов щелочных металлов В свою очередь, эги достижения стимулировали построение теоретических моделей, описывающих поведение нелинейных систем во внешних полях В моделях бозе-эйнштеновского конденсата широко используются локальное и нелокальное уравнения Гросса-Питаевского (которое в математической литературе принято называть уравнением типа Хартри) Таким образом, разработка методов построения решений нелинейного уравнения типа Хартри необходима для аффективного анализа этих систем
Возможности точного интегрирования многомерных уравнений с нелокальной нелинейностью ограничены Поэтому во многих случаях лишь асимптотические методы, среди которых наиболее эффективным является квазиклассическое приближение, позволяют найти в аналитической виде решения описывающие поведение нелинейных систем
В квантовых вычислениях, интенсивно развивающихся в последнее время, обсуждается возможность использования геометрических фаз в некоторых видах квантовых гейтов — так называемых 1еометрических гейтах Последние имеют преимущество перед обычными (не геометрическими) фазовыми гейтами, так как обладают большей отказоустойчивостью Примером технической реализации квантовых битов (кубитов) являются охлажденные ионы в линейной ловушке Пауля В такой системе каждый ион реализует кубит, а выполнение логической операции управляется внешним электромагнитным полем, создаваемым излучением лазера источником магнитного поля и др Следует также учитывать коллективные взаимодействия ионов, так как состояния ионов определяются не только
внешним полем, но и их коллективным взаимодействием Учет взаимодействия между элементами может приводить к нелинейным моделям, где, в частности, используется уравнение типа Хартри Таким образом, изучение геометрических фаз для нелинейных моделей, в том числе с помощью квазиклассических методов представляет интерес в современных разделах квантовой теории и их приложениях
Цель работы
Целью работы является развитие асимптотических методов интегрирования нелинейного стационарного уравнения типа Хартри, построение решений для конкретных моделей и применение полученных результатов для анализа физических систем
Научная новизна
Впервые получены асимптотические решения многомерного нелинейного стационарного уравнения типа Хартри на основе развитого в диссертации метода построения квазиклассических спектральных серий нелинейного оператора типа Хартри Показано, что результаты работы могут быть использованы в исследованиях бозе-эйнштейновского конденсата и теории геометрических фаз нелинейных уравнений
Основные результаты
В работе впервые получены следующие основные результаты
1 Предложен асимптотический метод построения решений стационарного нелинейного уравнения типа Хартри С точностью до 0(/г3^2), Н —> 0 построены квазиклассические спектральные серии нелинейного оператора типа Хартри с произвольным гладким потенциалом, отвечающие точке покоя классической системы Гамильтона-Эренфеста
2 В явном виде построены точные спектральные серии для одномерного квадратичного оператора типа Хартри с внешним полем обобщенного гармонического осциллятора и для трехмерного квадратичного оператора типа Хартри с внешним полем гармонического осциллятора и однородного магнитного поля
3 Развит метод построения квазикласси чески сосредоточенных решений нелинейного уравнения типа Хартри при адиабатическом изменении параметров системы
4 Построены квазиклассические фазы Бсрри для уравнения типа Хартри с произвольным падким потенциалом, адиабатически меняющимся со временем
5 Построенные квазиктассически сосредоточенные состояния сравнения типа Хартри применяются для расчета характеристик бозе-эйнштейновского конденсата Показано качественное соответствие полученных результатов с известными теоретическими и экспериментальными данными
Теоретическая и практическая ценность работы
Результаты диссертации представляют интерес с точки зрения развития методов интегрирования нелинейных моделей теоретической физики На примере нелинейного уравнения типа Хартри показана эффективность метода квази-кчассически сосредоточенных функций при построении асимптотических решений нелинейных уравнений
Построение квазиклассических спектральных серий для нелинейного стационарною уравнения типа Хартри представляет интерес с точки зрения проблемы соответствия квантовых и классических (нелинейных) систем
Развитый метод построения асимптотических решений показал свою эффективность в теории бозе-эйнштейновского конденсата, в моделях которого используется уравнение типа Хартри (нелокальное уравнение Гросса-Питаевскою)
Полученные результаты могут быть использованы в теории геометрических фаз нелинейных уравнений Геометрические фазы могут найти приложение в теории квантовых вычислений, где нелинейные модели для систем взаимодействующих частиц представляют интерес с точки зрения описания элементной базы квантовых компьютеров Результаты работы могут быть полезны для математического моделирования геометрических гейтов для кубитов, построенных не на одной частице (например ионе в гармонической товушке), а на когерентном ансамбле взаимодействующих частиц
Основные положения, выносимые на защиту:
1 Метод построения квазиктассичсских спектральных серий нелинейного оператора типа Хартри отвечающих точке покоя классической системы Гамильтона-Эренфеста На основе развитого метода потучены явные выражения ля ква-
зикласснческих спектральных серий (mod h3'"2) нелинейного оператора типа Хартри общего вида с гладким потенциалом
2 Точные спектральные серии для одномерною квадратичного оператора типа Хартри с внешним полем обобщенного гармонического осциллятора и для трехмерного квадратичного оператора типа Хартри с внешним полем гармонического осциллятора и однородного магнитного поля С помощью построенных решений получены аналитические выражения для пчотности и поля скоростей бозе-эйнштейновского конденсата зависимость которых от параметров внешнего поля и количества частиц системы согласуется с результатами экспериментов и других теоретических исследований
3 Метод построения квазиклассических решений нелинейного уравнения типа Хартри в условиях адиабатической эволюции На основе метода построены фазы Берри в нелинейных моделях в квазиклассическом приближении Показано что, как и в линейном случае, решение уравнения типа Хартри в адиабатическом приближении остается собственной функцией мгновенного гамильтониана
4 Явные выражения для фаз Берри одномерного и трехмерного уравнения типа Хартри с квадратичным потенциалом С помощью численного моделирования показано соответствие аналитических выражений для фазы Берри и предельных значений фазы квазиклассически сосредоточенного состояния при больших периодах эволюции
Апробация диссертации и публикации
Результаты диссертации докладывались на международных конференциях
— XVI международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики 22 июня - 03 июля 2004 г, Казань,
— XVII международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики 22 июня - 03 июля 2005 г Казань
— International seminar "Days on Diffraction'2005" June 28 - July 01, 2005 St Petersburg
— International seminar "Days on Diffraction 2006" Ma\ 30 - June 02 2006 St Petersburg
— International conference "Days on Diffraction'2007" Ma> 29 - June 01 2007 St Petersburg
а также на научных семинарах кафедры высшеи математики и математической физики Томского политехнического университета, кафедр теоретической физики и квантовой теории поля Томского государственного университета, кафедре прикладной математики Московского института электроники и математики
По теме диссертации опубликовано 7 статей в отечественно]! и зарубежной научной печати, а также 5 гезисов докладов на всероссийских и международных конференциях
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, содержащего 150 библиографических ссылок Общий объем диссертации составляет 103 страницы Работа содержит 8 рисунков
Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, проведен краткий обзор литературы и установлена связь результатов, представленных в диссертации, с результатами работ других авторов Дано описание структуры диссертации и сформулированы основные задачи, решаемые в ней
В первой главе диссертации подробно описывается метод построения асимптотических решений задачи Коши для нелинейного уравнения типа Хартри
{-М + ях(0}ф = о, Фе/да (1)
щх t,h)\t=0 = iKx,h), (2)
где действие оператора типа Хартри определяется формулой
ЯЛ*)ф = (Я(0 + *У(*,Ф))Ф (з)
Здесь
H(t) = Щг, t), V{t Ф) = J дуЩу t)V(z, w, t)Ф(у f), (4)
R"
самосопряженные в L2 операторы H(z i), V{z w t) - функции от некоммутиру-ющих операторов
£ = (-гПд/дх £), ш = (-гПд/ду, у) х у € Кп
Ф\нкшш Ф* KOMinCKCHO сопряжена к Ф х - вещественный параметр h— малый параметр h б (0 1)
Асимптотические по малому параметру ft решения уравнения (1) строятся в классе траекторно-сосредоточенных функций Т>\
Ph = Ti{Z{t,h),s(t ft))^
= {ф Ф(х t ft) = t, л/ft) exp[i(S(i ft) + {P(t ft), До))]} (5)
где комплекснозначная функция <t VE) принадлежит пространству Шварца § по переменной ( е I", гладким образом зависит от t и регулярно зависит от уД при ft —+ 0 Здесь Ах = х — X(t ft), а вещественная функция S[t,h) и 2п-мерная вектор-функция Z(t,h) = (P(t ft) X(t ft)), характеризующие класс Vf^Z^t, ft) S(t ft)) регулярно зависят от VH в окрестности h = 0 и подлежат определению при t > 0, 5(0, ft) = 0 и Z(0, ft) = Zo = (ро, fo) - произвольная точка фазового пространства Приводятся основные свойства класса траекторно-сосредоточенных функций, необходимые для построения асимптотических решений уравнения типа Хартри (1)
Процедура построения решения задачи Коши (1) (2) существенно использует решения динамической системы Гамильтона-Эренфеста (система уравнений для средних и центральных моментов) Для построения асимптотических решений уравнения типа Хартри с точностью до 0(ft3/2) необходимо знать решения системы Гамильтона-Эренфеста второго порядка
z = JVzH"(z,w Д)|и=11 Д = JMx{z)A - AMx{z)J Дт = Д (6)
где
H*(z,iо, Д) = H{z) 4- xV(z,w,t) + |sp((ff„(z) + xV„{z,vi) + йг^(г,ги))Д) M„{z) = г, 0) = Hzz(z) + w) |„=г (7)
С помощью решений системы Гамильтона-Эренфеста задача интегрирования нелинейного уравнения типа Хартри сводится к известной задаче построения асимптотических решений линейного ассоциированного уравнения Шредингера
Конструкции представленные в первой главе испочьзуются в последующих главах для построения интересующих нас решений
Во второй главе диссертации представлен основной результат работы В главе развивается метод построения квазиклассических спектральных серий нелинейного оператора типа Хартри (асимптотических решений стационарного уравнения типа Хартри)
Н^ Ф = ЕФ (8)
отвечающих точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста
Получены асимптотические (mod Л3/2) выражения для собственных значений и собственных функций оператора типа Хартри
Ev{h) = H(zt(h)) + h^Slt^k + \) +
Ы1
+x(V(z.(h) zt(h)) + z.(ft)))A°) (9)
ф„{х h) = Nv exp [^{P,(fi),i - X„(ft))] x
x exp [±(z- Uh) B^SJC-1^)^ - ^(fi)>] [A+(0)]"l (10)
где Zt(h) = + hZ}, Д2 — устойчивая (mod Л3/2) в линейном приближении точка покоя системы Гамильтона-Эренфеста второго порядка (6), величины гП^ — собственные числа матрицы JMx{zQt)
Матрицы B(z®),C(z®) определяются соотношением
B(t) = J3(zj!)diag(exp[ifiit], , exp[iiiat]) C(t) = C(2i)diag(exp[iil1t], exp[iQntJ)
где матрицы B(t) и C(t) являются решением системы в вариациях в матричной форме
Оператор рождения А+(0) определяется формулой
л;(0) = - - B{z4)C-\z°,)z; х - X.)), (12)
a Wj € С", Zj € С" — столбцы матриц B(zJ), C(z°), соответственно Звездочка над векторами г^, w^ означает комплексное сопряжение
Разработанный метод построения квазиклассических спектральных серий нелинейного оператора типа Хартри проиллюстрирован рядом примеров
Рассмотрен трехмерный оператор типа Хартри с квадратичным потенциалом в нелинейнои части и с гамильтонианом линейной части отвечающей суперпозиции поля осциллятора и постоянного магнитного поля
H = (i--ш fiY2 + + + Н!
\2т 2с V 2 2
= \ jdy[ax2 + 2b{x $+с?\\Щу)\2 (13)
Здесь а Ь с - параметры не токального потенциала т,к р - параметры системы Н - напряженность внешнего магнитного поля [Н .г] - векторное произведение
в к3 н х уем3
Системе (13) отвечает следующая спектральная серия
з ^
Еи = + Пк) + 2) (15)
Здесь
П,= (-1)п| + й,в| пз = V - Р2 (18)
2 тша 2míV ^^
i 9 еН /е2Я2 к + ха ~
77 = 1,2, =-, ---Р 18)
тс V 4m¿c¿ m
a — многомерные полиномы Эрмита, порожденные матрицей W
гфГа 0 \ / 0 1 0 \
фГа -гфГа 0 £ W= 1 0 0 , (19) \ О О У2Щ/ \ 0 0 1 /
(smi/3 cos íp cos в cos ip sm 0 \ — cos (fi sin <p cos в sini/ssinf? I (20) 0 - sin в cos 0 J
Здесь полярный угол <р и азимутальный угол 9 определяют направление магнитного поля H
Найден спектр одномерного оператора типа Хартри вида
п цр2 ах2 р(хр + рх) Я = —+ —+---
+00
У(Ф) = i J dy [ax2 + 2bxy + а/]\Щу)\2 (21)
—ос
Здесь abc - параметры нелокального потенциала ц,ор- параметры системы х у е R1
Собственные функции оператора Хартри (21) имеют вид
где НДС) — стандартизированные полиномы Эрмитл, Г2 = \/((т + ка)ц — рг Отвечающие им собственные значения определяются выражением
Отметим что асимптотическим по своей сути метод построения спектральных серий дает точные ответы для уравнения типа Хартри с квадратичным потенциалом
В качестве примера возможного обобщения метода построены квазиклааиче-ские спектральные серии двухкомпонентного оператора Хартри с нелинейным потенциалом гауссовского вида
Нх{-фп)-фп{х) = Ел1рп(х) (24)
где
ВД») = Я + Я = ад + цЦа, Я), (25)
= + М + + (26)
1 \т I
У(ф)ф = I фНу)Уе V и3
Здесь = {ф1(х) ф2{х)У - духкомпонентная функция, г¡)\х) — г/)2*(х))
- эрмитово сопряженная функция, п - набор квантовых чисел, (£/, 7, /х, т) - неотрицательные константы, х - параметр нелинейности (х > 0), Я - постоянный вектор, V - постоянная матрица, Уо = 8рК/2, Л; = 8р(\Лтг)/2, ст/-матрицы Паули, I = (1,2,3), 1 - единичная матрица 2x2
Спектральные серии двухкомпонентоного нелинейного оператора Хартри (25) имеют вид
р„{х) = цА{х,0 £ = ±1,
3 ( П2 - П2 \
Е" = + $> ^ (0 - ^(^о) п^у - + ЖО
Здесь
1 / Н1-гН2\ 1 / Я3 - Я
г_
к, х(у0+ай,яп - н
а =
тп 27 гт Н
= = А))*1*0' ^ ^п(а) = ~
В третьей главе диссертации в качестве при южения развитою метода построения квазиклассических спектральных серий получены стационарные состояния бозе-эйнштейновского конденсата и проанализировано соответствие полу чен-ных решений с известными теоретическими и экспериментальными результатами
Состояние конденсата определяется решением уравнения
р
[" т + + Уе*{£) + } " г))]Ф(£ ь) = 0 (28) к3
Функция ¿)|2 определяет плотность распределения конденсата,
ЛГ[Ф] = ||Ф(д,{)|(2 — ^з — число частиц конденсата Слагаемое Уех{(х)
описывает поле внешней ловушки У(\х — у\) является потенциалом парного взаимодействия частиц системы Уравнение (28) — нестационарное уравнение типа Хартрн, которое в теории БЭК принято называть нелокальным уравнением Гросса-Питаевского
В работе рассматривается осцилляторный внешний потенциал Уел (£) = тп (л \х\ + х\ 4- а;2 )/2, а потенциал парного взаимодействия выбирается в виде
Здесь параметр 7 характеризует радиус взаимодействия г0
На основе результатов второй главы построены выражения для квазиклассических стационарных состояний бозе-эйнштейновского конденсата
^=шгехр И]ехр [ -11ехр [ -1] ^=0 {30)
^ = + (31)
¡=1 '
Здесь р{х) — плотность распределения конденсата ¡1 — его химический потенциал
Распреде пение тотности конденсата (30) имеет форм\ трехмерного гауссовою пакета Характерные длины конденсата 6, можно записать счсдуюищм образом 6, = 1,0, где 3, = (1 — ~ масштабирующие коэффициенты
а, = у/Н/тгш, — характерные длины идеального БЭК в гармонической товуш-ке Таким образом в рамках предложенной модели влияние взаимодействия проявляется в деформации гауссовою распределения ппотности В стучае притягивающего взаимодействия (1о < 0) распределение конденсата становится уже а максимум интенсивности выше При отталкивающем взаимодействии (Уо > 0) распределение становится шире а пик интенсивности ниже Такая зависимость качественно согласуется с экспериментальными данными1 и рез\льтата\ш теоретических исследовании2 На рис 1, 2 представлена зависимость плотности распределения конденсата от радиального расстояния р(г) в сферически симметричной ловушке = и>2 = шз = ш для различных значений П^/ш2
«Г) М)
04 \\
02
05 1 1 5 2 25 3 '
Рис 1 Зависимость плотности распределения конденсата от радиального расстояния в сферически симметричной ловушке (£ = 1) при П^/о;2 = 0 (штриховая линия) = 01
(средняя линия), П^/ш2 = 05 (нижняя линия)
Рис 2 Зависимость плотности распредекния конденсата от радиального расстояния в сферически симметричной ловушке (£ = -1) при - 0 (штриховая линия), Г^/ш2 = 01 (средняя линия) = 05 (верхняя линия)
Также в данной главе исследована проблема расширения бозе-зинштеинове-кого конденсата при отключении внешнего поля ловушки
В четвертой главе диссертации решается задача о построении решении уравнения типа Хартри в адиабатическом приближении и нахождении соответствующих фаз Берри
Предположим, что оператор Хартри H*(R(t) Ф) медленно (адиабатически) изменяется со временем
{-jftft + Яя(Л(0, Ф)}Ф = 0 (33)
H^(R(t) Ф) = Я(Я(0) + XVт) Ф) (34)
Здесь R{t) — набор Т — периодических параметров от которых зависит гамильтониан Поставим для уравнения (33) начальные условия в виде собственных ф\нк-
^L V Hau В D Bii^cli С Liu, Z Dutton M M Burn.- and T \ Goknchttiko 1098 \cur resonant initial images of corfvnti Base Emstan condemates m a 4 Dee viagneitc bottle Pby= Rp\ A 58 R51
"Dalfcno Г and S Stnngari 1996 Bosons w anisotropic traps Ground s'att and tortice* Phvs Re\ Л 53 2477
ций (10) мгновенного оператораХартри Hx(R(tQ). Ф) в начальный момент времени
Ф(д\* ft)U, = W,(*,Ä(i0),A) (35)
Далее без ограничения общности будем считать, что tp = О
Так как параметры системы меняются медленно наряд}' с быстрым временем t входящим в оператор дифференцирования введем ' медленное ' время s, от которого зависят параметры системы — R(t) — R(s) Здесь s = t/T, T — период адиабатической эволюции
Для нахождения фазы Берри использован подход развитый для линейных уравнений Этот подход основан на точном (или приближенном) решении задачи Коши (33) (35) которое в дальнейшем разлагается по параметру адиабатичности Решение задачи Коши (33), (35) можно представить в виде
Ф(£, t, h) = Ф<0)(£ t, h) + (36)
S
Ф<0)(£, t, h) - exp [ - ~T J Ev{r)dT + i7„(a)]^„(* R(s), h) (37) о
Функция (37) — решение уравнения типа Хартри в адиабатическом приближении Рассматривая эволюцию за период, получим
1
ф(°Нх,Т) = ехр{-1т у"ед& + »7ЛТ)}ф<«(г,0) (38)
о
Здесь 7„(Т) — фаза Берри Как и в случае ''линейной" квантовой механики, решение уравнения типа Xapipn в адиабатическом приближении остается собственной функцией нелинейного оператора Ну и за время адиабатической эволюции приобретает лишь фазовый множитель Однако в отличие от линейного случая, фаза Берри 7,ДТ) нелинейного уравнения типа Хартри не может быть подсчитана посредством формулы
Г
7Î,т(Т) = г J (w(ï H(t))|v„(î R(t)))dt (39)
о
Это связано с тем что при выводе формулы (39) использован линейный принцип с\ перпозиции решений
В работе получено явное выражение для фазы Берри системы (33) В качестве иллюстрации полчченных результатов построены в явном виде выражения д ш фаз Берри трехмерной (13) и одномерной (21) систем в предположении что параметры этих систем медленно меняются со временем Для системы
(13) имеем следующий набор параметров ]î(s)=(m(.s) k(s) p{s) H{s) a(s) b(s) c(i) ) Cootbctctbj ющее выражение для фазы Берри имеет вид
+(^2 H{I"l [H\jlH'> - H2dIU\ (40)
Здесь Ну, Н2 #з - компоненты магнитного поля, Н = у/Н{ + Щ + Щ, С -контур в пространстве параметров, описываемый при эволюции системы
Система (21) зависит от времени через набор параметров Я(в)=(р(5) о~(в) р(в) а(з) Ь(в) с(в)) Фаза Берри определяется выражением
= (41)
с
Здесь С - замкнутый контур в пространстве параметров Выражение для фазы Берри можно представить в форме интеграла по поверхности П в пространстве параметров опирающейся на контур С
Ъ{Т) = + II ¿Н*^ Л (1(1) + р{йр Л ¿а) + р{<1д Л йр)}~ п
— Л ф) + р(с[р. Л йа) + р{<1а А с1р)}
а = а + на а — а + к(а + с) = \J\cr + ка\ц — р2 (42)
Отличие фазы Берри уравнения типа Хартри от фазы линейною уравнения Шредипгера {к — 0) сосаоит в изменении частоты Г2(в) и появлении дополнительного слагаемого
С
Отметим что все полученные выражения в предельном случае х —> 0 совпадают с известными результатами для линейного уравнения Шредингера
В приложении А приведены свойства системы в вариациях необходимые для полноты изложения
В приложении В приведены необходимые сведения о многомерных полиномах Эрмнта
В заключении перечислены основные результаты по 1\ченные в диссертации и выносимые на запит
Основные работы, опубликованные по теме диссертации:
1 Лнтвинец Ф Н , Трифонов А Ю , Шаповалов А В Фаза Ааронова-Анандана для уравнения типа Хартри с квадратичным потенциалом . ' Новейшие проблемы теории поля Труды XIV Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики / Под ред А В Аминовой - Казань Изд-во «РегентЪ», 2004 - С 203-216
2 Лисок А Л Литвинец Ф Н Трифонов А Ю , Шаповалов А В Геометрические фазы и квазиэнергетические спектральные серии уравнения типа Хартри с квадратичным потенциалом / ' Известия ВУЗов Физика - 2004 - Т 47, > 4 - С 55-62
3 Litvinets F N, Trifonov A Yu , Shapovalo\ А V Beriy phases for the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with a quadratic potential // Journal of Physics A Mathematical and General - 2006 -V 39 -P 1191-1206
4 Литвинец Ф H , Трифонов А Ю , Шаповалов А В Фазы Берри уравнения типа Хартри с квадратичным потенциалом // Новейшие проблемы теории поля Труды XVI Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики / Под ред А В Аминовой — Казань Изд-во «РегентЪ», 2006 - С 155-172
5 Литвинец Ф Н , Трифонов А Ю , Белов В В Квазиклассические спектральные серии оператора типа Хартри, отвечающие точке покоя классической системы Гамильтона-Эренфеста // Теоретическая и математическая физика — 2007 — Т 150, № 1 - С 26-40
6 Кирнос И В , Литвинец Ф Н,, Трифонов А Ю Шипуля М А Квазиклассические спектральные серии двухкомпонентного оператора типа Хартри / / Известия ВУЗов Физика - 2007 - Т 50, № 6 - С 77-81
7 Litvinets F N Trifonov A Yu , Shapovalov А V Berry phases foi 3D Hartree type equations with a quadratic potential and a uniform magnetic field // Journal of Physics A Mathematical and Theoretical - 2007 -V 40 -P 11129-11149
и
N?
Тираж 100 Заказ 1518. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр Ленина, 40
Введение
Глава 1. Задача Коши для уравнения типа Хартри в классе траекторио-сосредоточенных функций
1 Постановка задачи и обозначения
2 Класс траекторно-сосредоточенных функций
3 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста
3.1 Система уравнений Гамильтона-Эренфеста для упорядоченных по Вейлю операторов.
3.2 Система Гамильтона-Эренфеста, не содержащая постоянную Планка
3.3 Система Гамильтона-Эренфеста: приближение малых дисперсий.
4 Задача Коши для параметрического семейства линейных ассоциированных уравнений Шрёдингера
5 Рекуррентная система ассоциированных уравнений Шрёдингера
6 Счетный набор решений уравения типа Хартри (то<10{Н3^2))
Глава 2. Квазиклассичсские спектральные серии нелинейного оператора Хартри, отвечающие точке покоя классической системы
7 Постановка задачи
8 Конструкция траскторно-когерснтных состояний нестационарного уравнения типа Хартри
9 Квантование устойчивых точек покоя системы Гамильтона-Эренфеста
10 Спектр осциллятора с нелинейным квадратичным потенциалом
10.1 Спектр осциллятора в постоянном магнитном поле с нелинейным квад ратичным потенциалом.
10.2 Одномерный осциллятор.
11 Квазиклассические спектральные серии двухкомпонентного оператора Хартри с нелинейным потенциалом гауссового вида
Глава 3. Квазиклассичсские траекторно-сосредоточенные состояния бозе-эйнштейновского конденсата
12 Постановка задачи
13 Квазиклассичсские состояния бозе-эйнштейновского конденсата
Разработка точных и приближенных методов интегрирования нелинейных уравнений, которые служат основой построения моделей в различных областях современной теоретической физики, является актуальной проблемой. Так, развитие новых лазерных технологий и их применение к исследованию ансамблей когерентных атомов привело к выдающимся достижениям в создании и исследовании бозе-эйнштейновских конденсатов паров атомов щелочных металлов. То, что в системе частиц, подчиняющихся статистике Бозе, и число которых сохраняется, должна существовать температура, ниже которой макроскопически большое число частиц "конденсируются" в одном и том же состоянии, было предсказано Эйнштейном в 1924 году на основе идей Бозе. Хотя эффект конденсации был первоначально предсказан для системы невзаимодействующих частиц, уже в скором времени было обнаружено явление сверхтекучести жидкого гелия. Оказалось, что это явление связано с: бозе-эйнштейновской конденсацией частиц системы. В 1995 году удалось получить конденсат системы, сильно отличающейся по своим свойствам от жидкого гелия. Был создан конденсат паров щелочных металлов в магнитной ловушке [1,2].
В свою очередь, эти достижения стимулировали построение теоретических моделей, описывающих поведение нелинейных систем во внешних полях. В моделях бозе-эйнштейновского конденсата (БЭК) широко используются локальное и нелокальное уравнения Гросса-Питаевского (последнее в математической литературе принято называть уравнением типа Хартри). Таким образом, разработка методов построения решений нелинейного уравнения типа Хартри необходима для эффективного анализа этих систем. Возможности точного интегрирования многомерных нелинейных уравнений ограничены. Поэтому во многих случаях лишь асимптотические методы, среди которых наиболее эффективным является квазиклассическое приближение, позволяют найти в аналитическом виде решения, описывающие поведение нелинейных систем.
Предметом исследования данной диссертационной работы является спектральная задача для нелинейного оператора Хартри в квазиклассическом приближении где самосопряженный в Ь2 оператор типа Хартри действует следующим образом:
Здесь г = (-ШХ?х, £), \Ъ = (-Ш¥у,у),х,у е Ж™, //(-г), У(г, ю) - самосопряженные в И2 операторы, являющиеся гладкими функциями от некоммутирующих операторов, и упорядоченные по Вейлю [3,4], Ф* — комплексно сопряженная к Ф функция, к и Н — вещественные параметры, Н — "малый" параметр, Н € (0,1].
В важном частном случае, когда вейлевские символы операторов в (0.2), (0.3) имеют вид Н(г) = р2/2т + £/(£), р £ Кп, У(г,ги) = У(х,у), уравнение (0.1) записывается в виде
Ях Ф = £Ф
0.1)
Нх Ф = Н(г) Ф + хР(Ф)Ф,
0.2)
0.3)
0.4)
Это уравнение самосогласованного поля с внешним потенциалом [¡(х) и потенциалом взаимодействия У{х,у) играет фундаментальную роль не только в теории бозе-эйнштейновского конденсата [5]. В частности, оно используется в нелинейной оптике для описания распространения импульсов [6], в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках [7].
В линейной теории (когда в уравнении (0.1) я — 0) аппарат квазиклассических асимптотик, возникший практически одновременно с квантовой механикой, является реализацией важного для физической теории принципа соответствия [8,9] квантовых и классических задач. В определенном смысле математическое обоснование принципа соответствия дает теория Маслова [10,11], охватывающая наряду со спектральными задачами задачу с начальными данными и задачу рассеяния (см. также [12]).
Одним из важнейших моментов квазиклассического приближения является сведение построения квазиклассического решения квантовой задачи к исследованию решений уравнений движения соответствующей классической системы, ее геометрических и топологических характеристик. Для "линейной" квантовой механики [к = 0 в (0.1)) соответствующая классическая система — это априори гамилътонова система в фазовом пространстве с канонической 2-формой Ар А <1,х и гамильтонианом Н(г) (г = (р,х)) — символом оператора Я(г). В качестве геометрических объектов фазового пространства, порождающих квазиклассические ответы, выступают изотропные подмногообразия Л* {{йр Л с£г)|Л* = 0) размерности к, 0 < к < п, где п — размерность конфигурационного пространства.
В спектральных задачах квазиклассические собственные функции и собственные значения — спектральные серии или квазимоды [13-15] можно сопоставить компактным Ак лишь при условии их инвариантности относительно фазового потока д1н (Ак — д1цАк). При этом в маломерном случае, т. е. при к < п, инвариантные изотропные подмногообразия должны удовлетворять дополнительному условию типа условия устойчивости. Это условие на геометрическом языке означает существование инвариантного комплексного ростка Маслова г" над Ак [14,15], образованного комплексными траекториями линеаризованной системы в окрестности Ак. В простейшем случае к — 0, когда Л° — устойчивая точка покоя гамильтонова векторного поля JV2//(-г), алгоритм построения соответствующих спектральных серий методом комплексного ростка (канонический оператор Маслова с комплексной квадратичной фазой [13-15]), разумеется, эквивалентен известному в физике методу осцилляторного приближения в окрестности точки А0. В случае замкнутой фазовой кривой А1 [16-18] условие орбитальной устойчивости (условие существования комплексного ростка г" над А1) эквивалентно существованию базиса Флоке решений соответствующей системы в вариациях, косоортогональных касательному вектору к кривой А1 [14,15].
Обобщение рассмотренных конструкций на случай нелинейных квантовых систем заведомо нетривиально, поскольку сама постановка задачи о соответствии "классике" уже является проблематичной, так как не ясно (в отличие от линейного случая), что понимать под уравнениями классической механики, отвечающей в пределе при Н —> 0 заданной квантовой теории с нелинейным гамильтонианом (0.2).
Ответ на этот вопрос зависит, по-видимому, от класса функций, в котором строятся асимптотические разложения решения уравнения (0.1) и свойств гладкости символов оператора Так, например, для уравнения (0.4) с сингулярным потенциалом самодействия V(x, у) кулоновского типа квазимоды, сосредоточенные при h —> 0 вблизи маломерных подмногообразий в К", были получены [19-22] на основе "сингулярного" варианта ВКБ-мстода с помощью эталонных уравнений. Асимптотические спектральные серии оператора типа Хартри с притягивающим потенциалом взаимодействия гауссовою вида при отсутствии внешнего поля построены в [23].
Для общего оператора типа Хартри (0.2) с гладкими символами H(z), V(z,w) удалось в рамках метода квазиклассически сосредоточенных состояний [24-30] вывести классические уравнения движения, определяющие квазиклассические асимптотики (mod h3/2) нестационарной задачи mt = ад (0.5)
Щ1=о = Фо(х,Н) (0.6) в классе функций Vlh, называемых квазиклассически сосредоточенными [31,32] при h —> 0 в окрестности точки, движущейся по заданной кривой х = X(t,h) € R£, регулярно зависящей от малого параметра h.
Как показано в [29,30], асимптотические (mod /I3/2) решения задачи (0.5) определяются решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно динамических переменных z = (р,х) G R^J. и переменных г] = {щ,. . ,г]м) G Шм,М = п(2п + 1), смысл которых будет пояснен ниже. Набор этих переменных г] удобно представить в виде блочной 2п х 2п симметричной матрицы
А = (аз Д4) ' Ai = Ab AI = A4' Д2=Аз' где Дт - матрица, транспонированная к Д. Определим в расширенном фазовом пространстве х Е2п х Rff функцию Гамильтона с самодействием ir(z,w,A) = II(z) + xV(z,w,t) + ±Sp{(Hzz(z) + Wzz{z,w) + Www(z,w))A). (0.8)
Здесь через llzz{z) и Vww(z, w) обозначены 2п х 2п матрицы вторых производных функции II(z) и V(z,w) по переменным z = (р,х), w = (ру,у) соответственно, а х = х||Ф||2. Оп1)еделим симметричную 2п X 2п матрицу
Я 2
M„(z) = —H"(z,z,0) = H2Z(z) + xVzz(z,w)\w=z. (0.9)
Тогда классическая система, отвечающая оператору Хартри II ^ (0.2) и названная в [29,30] системой Гамильтоиа-Эренфеста, имеет вид z = JVzH"(z,w,A)\w=1, A = JM„(z)A - AM„{z)J, Дт = Д.
Здесь J — стандартная симплектическая матрица.
Физическое "обоснование" того, чтобы считать систему (0.10) классической системой, отвечающей нелинейной квантовой системе с гамильтонианом Н„ (0.2), основано на следующей концепции, лежащей в основе метода квазиклассически сосредоточенных состояний [33-36] (эта концепция обобщает первоначальный подход Эренфеста [9] к проблеме вывода классических уравнений движения в приближении по Я —> 0 из уравнения Шрёдингера). Под фазовой классической траекторией в Е" квантовой частицы, находящейся в состоянии Ф(:г, Я), где Ф(ж, Я) — решение уравнения (0.5), понимается вектор-функция Я) = (Р{1, Я), Х{1, Я)), компоненты которой есть средние значения операторов координат и импульсов в состоянии Ф: Р(£, Я) — (Ф| — г'ЯУ|Ф), ,Х(£,Я) — (Ф|£|Ф), х £ К". Здесь (|) — скалярное произведение в Если теперь приближенное или точное решение Ф(х, Я) принадлежит классу VI, то в системе Гамильтона-Эренфеста (0.10) дополнительные по отношению к (р, х) € Ж2п динамические переменные %, к = 1,М учитывают в первом приближении по Я —> 0 квадратичные квантовые флуктуации координат и импульсов около их предельных значений Х(£,0), Р(£, 0). В частности, начальные данные Коши Фо € РЦ для уравнения (0.5) индуцируют следующие начальные условия для системы (0.10): г=о = ад = (адФо), Р1«=О = Ро(Й) = (ФО|-^|Ф0); (0.11)
Д|г=о = А(Ф0), (0.12) где Д(Фо) — матрица квантовых центрированных моментов второго порядка для операторов импульса р = (—гЯУ) и координат х € К" в состоянии Ф0. Это означает, что пхп блоки матрицы Д|г=0 имеют вид Д4 = ^(Фо), Д1 = стрр{ Фо), А2 = сгрх(У0), Дз = а^(Фо), где аАВ = \{АААВ + АВАА), ДЛ = А - (А), АВ = В - (В). Через (А) обозначено среднее значение оператора А с символом А в состоянии Ф0: (А) = (Фо|Л|Фо).
Нетрудно установить (см. [31,32]), что на функциях класса Т^ матрица Д(Фо) имеет порядок О(Я), Я —> 0. Таким образом, решения классической системы (0.10), определяющие квазиклассическую асимптотику решения уравнения (0.5), сами зависят регулярным образом от малого параметра Я квазиклассического приближения в квантовой задаче. Этот факт имеет принципиальное значение для построения квазимод оператора типа Хартри (0.2) в рамках метода квазиклассически сосредоточенных состояний.
Классическая система Гамильтона-Эренфеста (0.10) позволяет определить (как и в линейном случае, когда к = 0) однопараметрическое семейство Ак(Н), 0 < к < п, инвариантных геометрических объектов в фазовом пространстве М2™ х Е^, которые можно проквантовать в квазиклассичсском приближении с точностью до 0(Я3/2), т. е. сопоставить им спектральные серии задачи (0.1) — числа Еи и функции Ф„(ж, Я) такие, что Ф„ = Е„Ф„ + 0(Я3/2),Я —► 0, V — мультииндекс длины п. В простейших случаях это точки покоя А0(Я) системы (0.10) или ее замкнутые траектории Л1 (Я).
Цель работы — квазиклассическое квантование точек покоя системы Гамильтона-Эренфеста, ассоциированной с нелинейным гамильтонианом Ях, при следующих условиях на вейлевские символы //(г), У(г,ю) операторов в (0.2), (0.3): функции //(г) и У(г, и)) являются С°°-гладкими функциями и вместе со своими производными но г и № растут при |г| —> 0 и |го| —+ 0 не быстрее, чем полином.
Основная идея построения соответствующих квазимод заключается в том, чтобы найти асимптотические решения £, Н) задачи Коши (0.5), зависящее от вреI мени по гармоническому закону: Н) = ехр — -А£ Фа(я> Щ- Ясно, что тогда пара
Л, Фд) есть квазиклассическая спектральная серия оператора II
В работе в качестве приложения развитого метода построения квазиклассических спектральных серий получены стационарные состояния бозс-эйнштейновского конденсата и проанализировано соответствие полученных решений с известными теоретическими и экспериментальными результатами [1,37-40]. Также исследована проблема расширения бозе-эйнштейновского конденсата при отключении внешнего поля ловушки.
Традиционно в теории БЭК принято использовать локальное уравнение Гросса-Питаевского [5,41-43]. Это уравнение представляет собой многомерное нестационарное кубично-нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ) с потенциалом внешнего поля. Для описания БЭК используются локализованные решения этого уравнения. При изучении таких моделей возникает ряд серьезных математических проблем, укажем две из них. Во-первых, для уравнения Гросса-Питаевского неизвестны методы точного интегрирования. Исключением является нестационарное одномерное нелинейное уравнение Шрёдингера, интегрируемое методом обратной задачи рассеяния при отсутствии внешнего поля [44-46]. При наличии внешнего поля решения удается построить лишь приближенно методами теории возмущения солитонов в предположении о малости поля [47,48]. Методы симметрийного анализа [49-54] для рассматриваемых задач также не дают желаемого результата. Симметрийный анализ позволяет изучать системы, обладающие высокой симметрией, но вычисление симметрии затруднительно при наличии нелокальных слагаемых. Во-вторых, уже в пространстве двух измерений локализованные решения НУШ с фокусирующей нелинейностью неустойчивы и в процессе эволюции испытывают коллапс [55], который не наблюдается в эксперименте. Так как большинство моделей, основанных на локальном уравнении Гросса-Питаевского, являются упрощением нелокальной модели [56], представляет интерес более детально проанализировать нелокальный оператор возникающий в ходе получения уравнения Гросса-Питаевского.
Со спектральной задачей в квантовой механике (с не зависящим от времени гамильтонианом) тесно связана проблема построения решений уравнения Шрёдингера с гамильтонианом, медленно меняющимся со временем. Известно, что "линейная" квантовая система с медленно (адиабатически) меняющимися параметрами характеризуется тем, что за время адиабатической эволюции квантовые числа её состояния сохраняются при невырожденном спектре гамильтониана. Другими словами, вектор состояния системы остается собственным для гамильтониана в каждый момент времени и приобретает за время адиабатической эволюции фазовый множитель (см., например, [57]). М. Берри [58] показал, что фаза, приобретённая за время адиабатической эволюции, состоит из двух частей — динамической и геометрической (или топологической). Такое разделение обусловлено различием механизмов их возникновения. Динамическая фаза определяется эволюцией системы, а топологическая фаза — геометрией пространства параметров системы. Обе фазы получаются в результате разложения полной фазы главного члена квазиклассической асимптотики по малому параметру 1/Т, где Т — время адиабатической эволюции. Динамическая фаза имеет нулевой порядок по 1/Т, а фаза
Берри — первый порядок. Включение в общую фазу топологической фазы необходимо для определения главного члена квазиклассической асимптотики по данному параметру разложения.
Адиабатическая фаза тесно связана с задачами теории Флоке для систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В квантовой механике геометрические фазы (ГФ) хорошо изучены для линейного уравнения Шрёдингера [59-62]. В частности, известен квазиклассический аналог фазы Берри - угол Хашш [63]. Угол Ханни - добавка к динамическому вкладу у переменной "угол" (при описании механической системы в переменных "действие-угол"), возникающая при адиабатической эволюции гамильтоновой системы, близкой к интегрируемой [64,65].
Геометрические фазы являются наблюдаемыми величинами [66-70] и проявляются в различных физических эффектах [71-73]. В квантовых вычислениях [74], интенсивно развивающихся в последнее время, обсуждается возможность использования фазы Берри в некоторых видах квантовых гейтов (gates) — так называемых геометрических гейтах [75]. Последние имеют преимущество перед обычными (не геометрическими) фазовыми gates, так как обладают большей отказоустойчивостью (fault-tolerance). Пример технической реализации геометрического гейта на основе ядерно-магнитного резонанса продемонстрирован в [76]. Примером технической реализации квантовых битов (куби-тов) являются охлажденные ионы в линейной ловушке Пауля [77]. В такой системе каждый ион реализует кубит, а выполнение логической операции (gate) управляется внешним электромагнитным полем, созданным излучением лазера, источником магнитного поля и др. Отметим, что ловушки Пауля могут быть описаны гармоническим потенциалом [77,78]. Следует также учитывать коллективные взаимодействия ионов, так как состояния ионов определяются не только внешним полем, но и их коллективным взаимодействием [77]. Учет взаимодействия между элементами может приводить к нелинейным моделям. Примером такой модели является БЭК, где используется уравнение типа Хартри. Это является одним из аргументов в пользу того, что изучение геометрических фаз для нелинейных моделей может представлять интерес в приложениях.
Исследования геометрических фаз для нелинейных уравнений представляют собой сложную математическую проблему вследствие того, что для построения фазы нужно, с одной стороны, рассматривать многомерные нелинейные уравнения с переменными коэффициентами, а с другой стороны, необходимы методы их интегрирования. Разработанный в дайной диссертационной работе метод построения квазиклассических спектральных серий с учетом результатов [29,30] может быть использован для нахождения асимптотических решений и соответствующих геометрических фаз Берри нелинейного уравнения типа Хартри при адиабатической зависимости параметров уравнения от времени.
Для определения фазы Берри в нелинейном случае приведём необходимые сведения из теории геометрических фаз линейных квантовомеханических систем. Следуя [58] (см. также [59,61]), рассмотрим гамильтониан H(t) = H(R(t)), зависящий от времени t через набор медленно меняющихся jT-периодических функций R(t). Обозначим через
ФE„(R(t)){x,R{t)) собственные функции мгновенного гамильтониана H(R(t)):
H(R(№eam) = Ev(R(t))VEl,m))(x, R(t)). (0.13)
Будем предполагать, что спектр гамильтониана H(R(t)) в каждый фиксированный момент времени невырожден. Поставим задачу Коши
-ihdi + H(R{t))}<a = 0, (0.14)
Ч=4о = Фед*о))(*,Я('о)). (0-15)
Согласно адиабатической теореме [57), если параметры R(t) зависят от В1)емени адиабатически1, то за время адиабатической эволюции Т квантовые числа сохраняются, т.е. решение задачи Коши (0.14), (0.15) отличается от начального состояния фазовым множителем
Ф(х,Т) = exp[i<f>u(T)}VEu{R{T))(x, R(T)). (0.17)
Согласно [58], фазу фУ(Т) представим в виде фи(Т) = 6„(Т)+Ъ(ТЪ (0.18) где SU(T) — динамическая фаза, которая определятся соотношением т
8V(T) = —I Eu{R{t))dt. (0.19) о
Фаза 7,ДТ) называется адиабатической фазой Берри и в случае линейного уравнения Шрёдингера определяется следующим выражением:
7(0 = ¿<ФМДМ) & Rm^E,m))(x, R(t))) (0.20) или т
7„(Т) = г J{9Evm)(x,R(t))\^Evm){x,R(t)))dt= <j> A'dW. (0.21) о 'с
Здесь
§)• <а22) а С - некоторый замкнутый контур в пространстве параметров. Функции Aj имеют смысл "индуцированного калибровочного поля", так как при калибровочных преобразованиях
Ф„ -> ехр(г£,(Я))Ф„ (0.23) значения Аи преобразуются как принято считать эволюцию системы адиабатической, если выполнено условие шах « 1, (0.16)
1 = 1, П Щ где Ri - параметры гамильтоииана (см. [79]).
Выражение (0.21) не зависит от преобразования (0.24), так как контур С замкнут. Динамическая фаза 6и(Т) характеризует среднюю энергию системы, а геометрическая фаза 7„(Т) не зависит от динамики системы. Фаза Берри зависит от геометрии пространства параметров системы и вида контура С.
В предположении о справедливости адиабатической теоремы для нелинейных уравнений определим фазу Берри соотношениями (0.18), (0.19). Формула (0.21), эквивалентная (0.18) в линейном случае, для нелинейных уравнений требует дополнительного обоснования.
В данной работе для нахождения фазы Берри использован подход, развитый для линейных уравнений [80,81]. Этот подход основан на точном (или приближённом) решении задачи Коши (0.14), (0.15), которое в дальнейшем разлагается по параметру адиа-батичности. Для нелинейного уравнения типа Хартри решение задачи Коши для уравнения (0.14) с начальным условием (0.15), в котором линейный гамильтониан заменён на оператор типа Хартри (0.2), строится иа основе метода, предложенного в [82,83]. Решение определяется двумя вспомогательными системами обыкновенных дифференциальных уравнений: системой Гамильтона-Эренфеста и системой в вариациях. При произвольной зависимости коэффициентов от времени решение этих систем неизвестно. Однако при адиабатической зависимости параметров от времени решения системы Гамильтона-Эренфеста и системы в вариациях можно искать в виде разложения по параметру адиабатичности, в качестве которого выбран 1/Т, где Т — некоторое "большое" характерное время, например период адиабатической эволюции системы. Решения системы Гамильтона-Эренфеста и системы в вариациях с нужной точностью по параметру 1/Т дают решение исходного уравнения (0.14) и адиабатическом приближении. Для таких решений фазу Берри можно найти в явном виде.
Перейдем к описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 150 библиографических ссылок. Общий объём диссертации составляет 103 страницы. Работа содержит 8 рисунков.
Заключение
В работе впервые получены следующие основные результаты:
1. Предложен асимптотический метод построения решений стационарного нелинейного уравнения типа Хартри. С точностью до 0(Я3/2), Л —> О, построены квазиклассические спектральные серии нелинейного оператора типа Хартри с произвольным гладким потенциалом, отвечающие точке покоя классической системы Гамильтона-Эренфеста.
2. В явном виде построены точные спектральные серии трехмерного квадратичного оператора типа Хартри с внешним полем гармонического осциллятора и однородного магнитного поля и одномерного квадратичного оператора типа Хартри с внешним полем обобщенного гармонического осциллятора.
3. Развит метод построения квазиклассически сосредоточенных решений нелинейного уравнения типа Хартри при адиабатическом изменении параметров системы.
4. Построены квазиклассические фазы Берри для уравнения типа Хартри с произвольным гладким потенциалом, адиабатически меняющимся со временем.
5. Построенные квазиклассически сосредоточенные состояния уравнения типа Хартри применяются для расчета характеристик бозе-эйнштейиовского конденсата. Показано качественное соответствие полученных результатов с известными теоретическими и экспериментальными данными.
Результаты диссертации опубликованы в работах [28,121,146-150]. В заключение я хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Трифонову А. Ю. и научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Шаповалову А. В. за многочисленные обсуждения различных аспектов данной работы, постоянную помощь в работе.
1. М. Н. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, С. E. Wieman, E. A. Cornell Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor // Science. — 1995. — V. 269.- P. 198.
2. Kendall B.D., Marc-Oliver M., Michael A.J., Michael R.A., Ketterle W. Evaporative cooling of sodium atoms // Phys. Rev. Let. 1995. - V. 74, No 74. - P. 5203.
3. Карасев M.B., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991. - 368 с.
4. Гроот С.Р. де, Сатторп Л.Г. Электродинамика. — М.: Мир, 1982. — 560 с.
5. Питаевский Л.П. Конденсация Бозе-Эйнштейна в магнитиых ловушках. Введение в теорию // Усп. Физ. наук 1998. - Т. 168. - С. 641-653.
6. Lai Y., Haus H.A. Quantum theory of solitons in optical fibers. I. Time-dependent Hartree approximation // Phys. Rev. A. — 1989. — V. 40 — P. 844-853 Quantum theory of solitons in optical fibers. II. Exact solution // Ibid. 1990. - V. 40. - P. 854-866.
7. Давыдов A.C. Солитоны в молекулярных системах. — Киев.: Наукова думка, 1984.- 286 с.
8. Born М. Quantenmechanik der Stobvorgänge // Zeitsch. fur Phys. — 1926. — Bd. 38. — S. 803-b27.
9. Маслов В.П. Теория возмущения и асимптотические методы. — М.: Изд-во МГУ, 1965. 549 с.
10. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Паука, 1976.
11. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущения. — М.: Наука, 1988.- 312 с.
12. Маслов В.П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973. — 544 с.
13. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. — М.: Наука, 1977.
14. Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход // Теор. матем. физика. — 1988. Т. 92, № 2. — С. 215-254.
15. Бабич В.М., Лазуткин В.Ф. О собственных функциях, сосредоточенных в окрестности замкнутой геодезической // Проблемы мат. физики. Вып. 2. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. С. 15-25.
16. Бабич В.М. Собственные функции, сосредоточенные вблизи геодезических // Математические вопросы теории распространения волн: Записки науч. семин. ЛОМИ. Т. 9. Л., 1968. - С. 15-63.
17. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах диффракции коротких волн. — М.: Наука, 1972. — 465 с.
18. Карасев М.В., Перескоков А.В. Правило квантования для уравнений самосогласованного поля с локальной быстроубывающей нелинейностью // Теор. матем. физика. 1989. - Т. 79, № 2. - С. 198-208.
19. Карасев М.В., Перескоков А.В. Логарифмические поправки в правиле квантования спектр полярона// Теор. и матем. физика. — 1993. — Т. 97, № 1. — С. 78-93.
20. Карасев М.В., Перескоков А.В. Асимптотические решения уравнений Хартри, сосредоточенные вблизи маломерных подмногообразий. I. Модель с .логарифмической особенностью // Изв. РАН, Сер. Матем. — 1998.
21. Карасев М.В., Перескоков А.В. Асимптотические решения уравнений Хартри, сосредоточенные вблизи маломерных подмногообразий. II. Локализация в плоских дисках // Изв. РАН, Сер. Матем. — 1998.
22. Сименог И.В. Об асимптотике решения стационарного нелинейного уравнения Хартри // Теор. матем. физика. 1977. - Т. 30, No 3. - С. 408-414.
23. Lisok A.L., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. The evolution operator of the Hartree-type equation wth a quadratic potential // J. Phys. A: Math Gen. — 2004. — V. 37. — P. 4535-4556.
24. Лисок А.Л., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Функция Грина уравнения типа Хартри с квадратичным потенциалом // Теор. матем. физика. — 2004. — Т. 141, № 2. С. 228-242.
25. Lisok A.L., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. Semiclassical approach to the geometric phase theory for the Hartree type equation // Proc. of Inst. Math. NAS of Ukraine. — 2004. V. 50, No 3. - P. 1454-1465.
26. Lisok A.L., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. Exact solutions and symmetry operators for the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with quadratic potential // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. — 2005. — V. 1, No 007. — P. 1-14.
27. Litvinets F.N., Shapovalov A.V., Trifonov A.Yu. Berry phases for the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with a quadratic potential //J. Phys. A: Math, and Gen. — 2006. -V. 39.-P. 1191-1206.
28. Belov V.V., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. The trajectory-coherent approximation and the system of moments for the Hartree type equation // Int. J. Math, and Math. Sci. (USA). 2002. - V. 32, № 6. - P. 325-370.
29. Белов В.В., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Квазиклассическое траекторно-когерентное приближение для уравнения типа Хартри // Теор. мат. физика. 2002. - Т. 130, № 3. - С. 4С0
30. Багров В.Г., Белов В.В., Трифонов А.Ю. Квазиклассически сосредоточенные состояния уравнения Шрёдингера // Лекционные заметки по теоретической и математической физике. — Т. 1, Ч. 1. — Казань, 1996. — С. 15-136.
31. Багров В.Г., Белов В.В., Кондратьева М.Ф. Квазиклассическое приближение в квантовой механике. Новый подход // Теор. матем. физика. — 1994. — Т. 98, № 1. С. 48-55.
32. Bagrov V.G., Belov V.V., Kondratyeva M.F., Rogova A.M., Trifonov A.Yu. A new formulation of quasi-classical approximation in quantum mechanics //J. Moscow Phys. Soc. 1993. - V. 3. - P. 1-12.
33. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu. New methods for semiclassical approximation in quantum mechanics // Proc. Inter. Workshop. Quantum Systems: New Trends and Methods / Ed. by A.O. Barut et al. (Singapore: World Scientific). 1994. - P. 533-543.
34. Камчатнов A.M. Расширение бозс-эйнштейновского конденсата, удерживаемого в квазиодномерных или квазидвумерных ловушках // Журн. эксперим. теор. физ. — 2004. Т. 125, вып. 5. - С. 1041-1051.
35. Baym G., Pethick С. Ground-state properties of magnetically trapped Bose-condensed rubidium gas // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 76 - P. 6.
36. Perez-Garcia V.M., Michincl H., Cirac J.I., Lewenstein M., Zoller P. Dynamics of Bose-Einstein condensates: variational solutions of the Gross-Pitaevskii equations // Phys. Rev. A. 1997. - V. 56. - P. 1424.
37. Dalfovo F., Minniti C., Stringari S. Nonlinear dynamics of a Bose condensed gas // Phys. Lett. A. 1997. - V. 227. - P. 259.
38. Dalfovo F., Giorgini S., Pitaevskii L.P., Stringari S. Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases // Rev. Mod. Phys. — 1999. — V. 71. — No 3. — P.463-542.
39. Питаевский JI.П. Вихревые линии в неидеальном Возе газе // Журн. эксперим. теор. физики. 1961. - Т. 40. - С.646-651.
40. Gross Е.Р. Structure of a quantized vortex in boson systems // Nuovo Cimento. — 1961. V. 20, No 3. - P. 454-477.
41. Захаров B.E., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980.
42. Calogero F., Dcgaspcris A. Spectral Transform and Solitons: Tolls to Solve and Investigate Nonlinear Evolution Equations. — Amsterdam: North Holland, 1982.
43. Newell A. C. Solitons in Mathematics and Physics. — Arizona: Soc. Indus. Appl. Math.,1985.
44. Kivshar Y.S., Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems // Rev. Mod. Phys. 1990. - V. 8. - P. 763-915.
45. Карпман В.И., Маслов Е.М. Теория возмущений для солитонов // Журн. эксперим. теор. физики. 1977. - Т. 73, вып. 2(8). - С. 537-558.
46. Ovsjannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. — New York: Academic, 1982.
47. Meirmanov A.M., Pukhnachov V.V., Shmarev S.I. Evolution Equations and Lagrangian Coordinates. — Berlin: Walter de Gruyter, 1994.
48. Anderson R.L., Ibragimov N.H. Lie-Backlund Transformations in Applications. — Philadelphia, PA: SIAM, 1979.
49. Olver P.J. Application of Lie Groups to Differential Equations. — New York: Springer,1986.
50. Fushchich W.I., Nikitin A.G. Symmetries of Maxwell Equations. — Dordrecht: Reidel,1987.
51. Gaeta G. Nonlinear Symmetry and Nonlinear Equations. — Dordrecht: Kluwer, 1994.
52. Bang O., Krolikowski W., Wyller J., Rasmussen J.J. Collapse arrest and soliton stabilization in nonlocal nonlinear media // Phys. Rev. E. — 2002. — V. 66, No 4. — P. 046619.
53. Deconinck В., Kutz J.N. Singular instability of exact stationary solutions of the nonlocal Gross-Pitaevskii equation // Phys. Lett. A. — 2003. — V. 312, No 1. — 7 p.
54. Мессиа А. Квантовая механика. — Т. 2. M.: Наука, 1979.
55. Berry M.V. Quantum phase factors accompanying algebraic changes // Proc. Roy. Soc. London. 1984. - V. A392, No 1802. - P. 45-58.
56. Виницкий С.И., Дербов B.JI., Дубовик B.M., Марковски Б.Л., Степановский Ю.П. Топологические фазы в квантовой механике и поляризационной оптике // Усп. физ. наук. 1990. - Т. 160, вып. 6. - С. 1-49.
57. Moore D.J. The calculation of nonadiabatic Berry phase // Phys. Rep. 1991. - V. 210, No 1. - P. 1-43.
58. Клышко Д.Н. Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах // Усп. физ. наук. 1993. - Т. 163, вып. 11. - С. 1-18.
59. Biswas S.N., Soni S.K. Quantal phase of Berry and its relation to Hannay's angle in classical mechanics // Proc. Indian natn. Sci. Acad. — 1990. — V. 57 A, No 1. — P. 1-44.
60. Berry M.V. Classical adiabatic angles and and quantal adiabatic phase //J. Phys. A: Math. Gen. 1985. - V. 18. - P. 15-27.
61. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989. 472 с.
62. Hannay J.H. Angle variable holonomy in adiabatic excursion of an integrable Hamiltonian // J. Phys. A: Math. Gen. 1985. - V. 18. - P. 221-230.
63. Akira Tomita, Raymond Chiao Y. Observation of Berry's topological phase by use of an optical fiber // Phys. Rev. Lett. 1986. - V. 57, No 8. - P. 937-940.
64. Suter D., Mueller K.T., Pines A. Study of the Aharonov-Anandan quantum phase by NMR interferometry // Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 60, No 13. - P. 1218-1220.
65. Chiao R.Y., Antaramian A., Ganga M., Jiao H., Wilkinson S.R. Observation of a topological phase by means of a nonplanar Mach-Zehnder interferometer // Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 60, No 13. - P. 1214-1220.
66. Raymond Chiao Y., Yong-Shi Wu Manifistations of Berry's topological phase for the photon // Phys. Rev. Lett. 1986. - V. 57, No 8. - P. 933-936.
67. Bitter Т., Dubbers D. Manifestation of Berry's topological phase in neutron spin rotation // Phys. Rev. Lett. 1987. - V. 59, No 3. - P. 251-254.
68. Baily S.A., Salainon M.B. Berry-phase contribution to the anomalous Hall effect in gadolinium // Phys. Rev. B. 2005. - V. 71. - P. 104407.
69. Delacretaz G., Grant E.R., Whetten R.L., Woste L., Zwanzinger J.W. Fractional quantization of molecular pseudorotation in Na3 // Phys. Rev. Lett. — 1986. — V. 56, No 24. P. 2598-2601.
70. Aharonov Y., Stern A. Origin of the geometric forces accoinpanyng Berry's geometric potentials // Phys. Rev. Lett. 1992. - V. 69, No 25. - P. 3593-3597.
71. Deutsch D. Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer // Proc. Roy. Soc. Lond. 1985. - V. A400. - P. 97-117.
72. Ekert A., Ericson M., Hayden P., Inamory H., Jhonatan A.J., Daniel K.L., Vedral V. Geometric quantum computation // J. Mod. Opt. 2000. — V. 47. — P. 2501-2513.
73. Biswas A.J., Vedral V., Ekert A., Castagnol G. Geometric quantum computation using nuclear magnetic resonance // Nature. — 2000. — V. 403. — P. 869-871.
74. Preskill J., Lo In H.-K., Spiller Т., Popescu S. Quantum Information and Computation.
75. Singapore: World Scientific, 1998.
76. Scala M., Militello В., Messina A. Geometric phase accumulation-based effects in the quantum dynamics of an anisotropically trapped ion // e-print: quant-ph/0409168. — 2005. 10p.
77. Ландау Л.Д. Лифшиц E.M. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. — М.: Наука, 1988. С. 199.
78. Додонов В.В., Климов А.В., Манько В.И. Физические эффекты в коррелированных квантовых состояниях // Тр. ФИАН. 1991. - Т. 200. - С. 56-105.
79. Trifonov A.Yu., Yevseyevich А.А. Maslov's complex germ method and Berry's phase // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. - V. 27, No 18. - P. 6267-6286.
80. Лисок А.Л., Трифонов АЛО., Шаповалов А.В. Функция Грина уравнения типа Хартри с квадратичным потенциалом // Теор. матем. физика. — 2004. — Т. 141, № 2. С. 228-242.
81. Lisok A. L., Trifonov A. Yu., Sapovalov A.V. The evolution operator of the Hartree-type equation with a quadratic potential //J. Phys. A: Math. Gen. — 2004. — V. 37. — P. 4535-4556.
82. Малкин M.A., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. — М.: Наука, 1979, — 320 с.
83. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применение. — М.: Наука, 1987. 271 с.
84. Hau L.V., Busch B.D., Liu С., Dutton Z., Burns M.M., Golovchenko J.A. Near-resonant spatial images of confined Bose-Einstein condensates in a 4-Dee magnetic bottle // Phys. Rev. A. 1998. - V. 58. - P. R54.
85. Bradley C.C., Sackett C.A., Tollett J.J., Hulet R.G. Bose-Einstein condensation of lithium: observation of limited condensate number // Phys. R,ev. Lett. — 1995. — V. 75.- P. 1687.
86. S.K. Adkihary Numerical solution of the two-dimensional Gross-Pitaevskii equation for trapped interacting atoms // Phys. Lett. A. V. 265, No 1-2. - 2000. - P. 91-96.
87. Dalfovo F., Stringari S. Bosons in anisotropic traps: ground state and vortices // Phys. Rev. A. 1996. - V. 53. - P. 2477.
88. Шрёдингер Э. Непрерывный переход от микро- к макромеханике // Избр. тр. но квантовой механике. — М.: Наука, 1976. — С. 51-55.
89. Glauber R.J. The quantum theory of optical coherence // Phys. Rev. — 1963. — V. 130, No 6. P. 2529-2539.
90. Glauber R.J. Coherent and incoherent states of radiation field // Ibid. — V. 131, No 6.- P. 2766-2788.
91. Додонов В.В., Курмышев Е.В., Манько В.И. Коррелированные когерентные состояния // Тр. ФИАН. 1986. - Т. 176. - С. 128-150.
92. Рашевский П.К. О математических основах квантовой электродинамики // Усп. мат. наук. 1958. - Т. 13, вып. 3. - С. 3-110.
93. Klauder J.R. Continuous-representation theory. 1. Postulates of continuous representation theory // J. Math. Phys. 1963. - V. 4, No 8. - P. 1055-1058.
94. Klauder J.R. Continuous-representation theory. 2. Generalized relation between quantum and classical dynamics // Ibid. P. 1058-1073.
95. Klauder J.R. Continuous-representation theory. 3. On functional quantization of classical system // Ibid. 1964. - V. 5, No 2. - P. 177-187.
96. Черников H.A. Система с квадратичным гамильтонианом в виде зависящей от времени квадратичной формы от х и р // Журн. эксперим. теор. физики. — 1967. — Т. 53, вып. 3. С. 1006-1017.
97. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя. Функции параболического цилиндра. Ортогональные многочлены. -М.: Наука, 1966.- 296 с.
98. Белов В.В., Кондратьева М.Ф. Гамильтоновы системы уравнений для квантовых средних // Мат. заметки. 1994. - Т. 56, вып. 6. - С. 27-39.
99. Белов В.В., Кондратьева М.Ф. Уравнения относительно квантовых средних для матричных гамильтонианов // Мат. заметки. — 1995 — Т. 58, вып. 6. — С. 803-817.
100. Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнма-на. М.: Наука, 1976. - 192 с.
101. Маслов В.П. Уравнения самосогласованного поля // Совр. пробл. матем. — 1978.- Т. И. М.: ВИНИТИ. - С. 153-234.
102. Карасев М.В., Маслов В.П. Алгебры с общими перестановочными соотношениями и их приложения // Совр. пробл. матем. — 1979. — Т. 13. — М.: ВИНИТИ. — С. 145-267.
103. Маслов В.П. Квантование термодинамики и ультравторичное квантование. — М.: Изд-во ИКИ, 2001. 384 с.
104. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A.A. Quasiclassical spectral series of the Dirac operators corresponding to quantized two-dimensional Lagrangian tori // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. - V. 27, No 15. - P. 5273-5306.
105. Белов В.В., Маслов В.П. Квазиклассические траекторпо-когереитные состояния оператора Дирака с аномальным взаимодействием Паули // Докл. АН СССР. — 1989. Т. 305, № 3. - С. 574- 577.
106. Белов В.В. Квазиклассический предел уравнений движения квантовых средних для нерелятивистских систем с калибровочными полями — Томск, 1989. (Препринт / Томский научный центр СО АН СССР; № 58.)
107. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A.A. Quantization of closed orbits in Dirac theory by Maslov's complex germ method // J. Phys. A: Math. Gen. — 1994. V. 27, No 3. - P. 1021-1043.
108. Багров В.Г., Белов В.В., Тернов И.М. Квазиклассические траекторио-когерентные состояния нерелятивистской частицы в произвольном электромагнитном поле // Теор. мат. физика. 1982. - Т. 50, № 3. - С. 390-396.
109. Bagrov V.G., Belov V.V., Ternov I.M. Quasiclassical trajectory-coherent states of a particle in arbitrary electromagnetic field //J. Math. Phys. — 1983. — V. 24, No 12. — P. 2855-2859.
110. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu. Semiclassical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics: II. High order corrections to the Dirac operators in external electromagnetic field // e-print:quant-ph/9806017. — 1998. — 27 pp.
111. Белов В.В., Маслов В.П. Квазиклассические ТКС в квантовой механике с калибровочными полями // Докл. АН СССР. 1990. - Т. 311, выи. 4. - С. 849-854.
112. Белов В.В., Кондратьева М.Ф. "Классические" уравнения движения в квантовой механике с калибровочными полями // Теор. матем. физика. — 1992. — Т. 92, № 1. С. 41-60.
113. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A.A. Quasi-classical trajectory-coherent approximation in quantum mechanics of a charged particle in a curved spacetime // Class. Quantum Grav. 1991. - V. 8. - P. 515-527.
114. Robertson H.P. An indeterminacy relation for several observables and its classical interpretation // Phys. Rev. 1934. - V. 46, No 9. - P. 794-801.
115. Lisok A.L., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. Quasi-energy spectral series and the Aharonov-Anandan phase for the nonlocal Gross-Pitaevsky equation // e-print:math-ph/0612017. 2006. - 17 p.
116. Лисок А.Л., Литвинец Ф.Н., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Геометрические фазы и квазиэнергетические спектральные серии уравнения типа Хартри с квадратичным потенциалом // Изв. вузов. Физика. — 2004. — Т. 47, № 4. — С. 55-62.
117. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. — М.: Мир, 1977. 360 с.
118. Ablovitz М., Segur Н. Solitons and the inverse scattering transform. — Philadelphia: SIAM, 1981.
119. Seshadri S. , Lakshrnibala S., Balakrishnan V. Geometric phases for generalized squeezed coherent states // Phys. Rev. A. 1997. — V. 55. — P. 869.
120. Zhang W.-M., Feng D.H., Gilmore R. Coherent states: theory and some applications // Rev. Mod. Phys. 1990. - V. 62, No 4. - P. 867-927.
121. Castin Y. Bose-Einstein condensates in atomic gases: simple theoretical results // e-print:cond-mat/0105058. 2001. - 30 p.
122. Leggett A.J. Bose-Einstein condensation in the alkali gases: some fundamental concepts // Rev. of Mod. Phys. 2001. - V. 73. - P. 307-356.
123. Mudrich M., Kraft S., Singer K., Grimm R., Mosk A., Weidemuller M. Sympathetic cooling with two atomic species in an optical trap // Phys. Rev. Lett. — 2002. — V. 88.- P. 253001.
124. Modugno G., Modugno M., Riboli F., Roati G., Inguscio M. Two atomic species superfluid // Phys. Rev. Lett. 2002. - V. 89. - P. 190404.
125. Matthews M.R., Anderson B.P., Haljan P.C., Hall D.S., Wicman C.E., Cornell E.A. Vortices in a Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. Lett. 1999. - V. 83. — P. 2498.
126. D.S. Hall, M.R. Matthews, J.R. Ensher, C.E. Wieman, E.A. Cornell Measurements of relative phase in two-component Bose-Einstein condensates // Phys. Rev. Lett. — 1998.- V. 81. 1539. - P. 1-4.
127. Holland M.J., Jin D., Chiofalo M.L., Cooper J., Emergence of interaction effects in Bose-Einstein condensation // Phys. Rev. Lett. — 1997. — V. 78. — P. 3801.
128. Stenger J., Inouye S., Stamper-Kurn D.M., Miesner H.-J., Chikkatur A.P., Ketterle W. Spin domains in ground state spinor Bose-Einstein condensates // Nature. — 1998. — V. 396. P. 345-347.
129. Barrett M.D., Sauer J.A., Chapman M.S. All-optical formation of an atomic Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. Lett. — 2001. — V. 87. — P. 010404.
130. Kasamatsu K., Tsuboto M., Ueda M. Vortices in inulticomponent Bose-Einstein condensates // Int. J. of Mod. Phys. B. 2005. - V. 19, No. 11. - P. 1835-1904.
131. Bagrov V. G., Gitman D.M., Baldiotti M.C., Levin A. D. Spin equation and its solutions // Ann. of Phys. 2005. - V. 14, No 11-12. - P. 764-789.
132. Pethick C.J., and Smith H. Bose-Einstein condensation in dilute gases. — Cambridge: University Press, 2002.
133. Castin Y., Dum R. Bose-Einstein condensates in time dependent traps // Phys. Rev. Lett. 1996. - V. 77. - P. 5315.
134. Anandan J. and Aharonov Y. Geometric Quantum Phase and Angles // Phys. Rev. D.- 1988. V. 38, No 6. - P. 1863-1870.
135. Garrison John C., Raymond Chiao Y., Geometrical phases from global guage invariance of nonlinear classical field theories // Phys. Rev. Lett. — 1988. — V. 60, No. 3. P. 165168.
136. Fuentes-Guridi I., Bose S., Verdal V. Proposal for measurement of harmonic oscillator Berry phase in ion traps // Phys. Rev. Lett. — 2000. — V.85, No 24. P. 5018.
137. Vertesi T., Vibok A., Halasz G.J., Baer M. The Berry phase revisited: application to Born-Oppenheimer molecular systems //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. — 2004. — V. 37. P. 4603-4620.
138. Vertesi T., Vibok A., Halasz G.J., Baer M. On the peculiarities of the diabatic framework: New insight // J. Chem. Phys. 2004. - V. 120. - P. 2565-2574.
139. Pati A.K. Adiabatic Berry phase and Hannay angle for open paths // Ann. of Phys. — 1998. V. 270. - P. 178-97.
140. Shchesnovich V.S., Kraenkel R.A. Vortices in nonlocal Gross-Pitaevskii equation //J. Phys. A: Math. Gen. 2004. - V. 37. - P. 6633-6651.
141. Литвинец Ф.Н., Трифонов А.Ю., Белов В.В. Квазиклассические спектральные серии оператора типа Хартри, отвечающие точке покоя классической системы Гамильтона-Эренфеста. // Теор. мат. физ. 2007. - Т. 150, № 1. - С. 26-40.
142. Кирнос И.В., Литвинец Ф.Н., Трифонов А.Ю., Шипуля М.А. Квазиклассические спектральные серии двухкомпонентного оператора типа Хартри // Изв. вузов. Физика. 2007. - Т. 50, № 6. - С. 77-81.
143. Litvinets F.N., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. Berry phases for 3D Hartree type equations with a quadratic potential and a uniform magnetic field //J. Phys. A: Math. Theor. 2007. - V. 40. - P. 11129-11149.
