Квазирефлективные группы движения пространств Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

лк&дегдк ш:с ссс?

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕН® Институт г/этпматкки

На правах рукописи

РУа'/АНОВ Олег Петрович

уда 512.517

группы дпккяяй пространств

ЛОБАЧЕВСКОГО OI.OI.C4 - гссглстрпч и топология

Л в 1 о р о ф о р a ï

диссертации ка соискание ученой степени кандидата фкзшш-м2:-елаа оттеках наук

!ЮВ0С,Г!ЗИРСК ISSI

Работа шлеляена ка кафодре алгебры и геометрии Кемеровского государственного университета

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук, доцент Г.А.Сойфер

Официалънне оппоненты - доктор физико-датематических

наук А.Д.Медаых

- кандидат физико-математических наук, с.и.с. К.А.Гусевский

Ведущая организация - Московский государственный

университет

Зашита диссертации состоится "_" ___1991 г.

в _ часов на заседании специализированного совета

К 002.23.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики СО АН СССР. (630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_"_1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математичес: наук, доцент

.В.Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКГЕЖТЖА РАБОТЫ

Актуальность теш. Геометрические методы изучения дяокрот-них групп движент'Ч прос ^анств Лобачевского, восхода®з к классическим работам Ф.Клейка к А.Пуанкаре, основываются на построении фундаментального многогранника заданной группы к пороа-дающих ое движений, которые попарно совмещают грани максимальной размерности фундаментального многогранника. В частности, хорошо известная теорема Пуанкаре к ее обобщения позволяют най- -ти копредстааченяе рассматриваемой грунта, зная комбинаторное строение к величина двугранкнх углов ее фундаментального мно- ■ гогранника. Однако, построение фундаментального многогранника дискроткой группы, движений, пространства Лобачевского, почти всегда сложная задача, за исключением некоторых специальных случаев, один из которых - группь, пересданные отражениями относительно гиперплоскостей.

Широко употребительный метод исследования дискретных групп -переход к их подгруппа?* конского инцэксз или даже к соизмеримым с ними группам. Дискретную группу движений пространства Лобачевского называют рефлективной, если она содерлит подгруппу конечного индекса, порожденную отражениями. '■,■-. ' ' .

Классический источник примеров дискретных -групп; движений '■ пространств Лобачевского - изучение групп автоморфизмов' целочисленных квадратичных форм сигнатуры , I), -Подгруппа'индекса 2 такой группы милеет быть рассмотрена на.к дискретная группа движений VI-мерного проотранса-га Лобачевского; в;дальней-шем, говоря о группе.автоморфизмов квадратичной форма сигнатуры ' (Я' , I), кн.будем иметь ввиду именно" эту еэ Водгрукпу.

Еще в конце прошлого века Р.Фрике ^показал, что группы автоморфизмов некоторых целочисленных квадратичных форм сигнатура (2, I) рефлектизны, и нашел фундамент? чьные многоугольники кх подгрупп, порожденных отражениями.

Отметим еще один класс примерок дискретных групп движений пространств Лобачевского - группы Еълнки. Напомним, что группой Бьянхи В, (т) напивается группа Р(И2 [А^) >? (ТУ, где (\м - кольцо целых элементов мнимого квадратичного поля С (1Рй7) и Г - элемент порядка 2 , действующий на А™ как кошцгексиое сопряжение. Л.Бьянки показал, что группа Вам) может быть рассмотрена как дискретная »группа движений трехмерного пространства. Лобачевского и , при !Г?19, УП г 14, 17, содержи? подгруппу индекса 2 или I, порожденную отражениями. Он также явно описал фундаментальные многогранники полученных дискретных групп, порожденных отражениями.

. Для некоторых Уп , удовлетворяицих условиям Бьянки, Р. Суон ^построил фундаментальные многогранники групп Р$1.г (подгрупп конечного индекса в группах Вс 1т) ) и нашел непредставления групп

Существенное развитие теория рефлективных групп получила

1)Гг1с4е Р. 17-ве-г еЫе. &ейоисАегс \(£<хй$е ск$соп±'(.-пьиег&сйег Сгирр^ги чм£е1 вшеагег //

.УПаИ/А**.-1881. - УЛ8. - Р. ЧЫ-чи.

сои яррдг^еиеи-бс а Согр1 a.мacíп>{tc¿.

,, //.Щ[, ^ .-V, ¿/0.-9.212-</12.

К. .Сеиег-а^огЛ <аис( ¿у0г сег^йн

. ¿рес^ ¿¿„вйГ лге.р* ///Ц/ . -19?*. -

, •. - V. С . - /V 1. - Р. /-77 - .

в работах Э.Б.Винберга и В.Б.Никулина (смотри обзор^ ). В частности, Э.Е.Еинбергом доказано, что если Г - дискретная группа движений пространства Лобачевского. Г^, - ее подгруппа, порожденная всеми отражениями, содержащимися в группе Г , 2),-выпуклкй фундаментальный многогранник группы Г^ , то

Г : Г, » Д , где Д - подгруппа группы симязтрий многогранника . Группу.Д мы будем навивать нерефлехститой

частью группы Г1 , она определена с точностью до внутренних Р

автоморфизмов группа I , Ясно, что в кэишх обозначениях рефлективность группы Г ¿квизалектна конечности группы Д . В случае, если Г - рефлективная группа автоморфизмов целочисленной квадратичной формы сигнатуры , I), з указанной работе Э.Б.Винберга предложен алгоритм построения фундаментального многограншпса группы Гч , т.е. решена-задача описания самой группы Г1 . в частности, с помощью этого алгоритма исследованы группы автоморфизмов унимодуляр:-?нх цело«иолени£,. квадратичных форм (форм, определители матриц которых равны -I ). Оказалось,

-что эти группы рефлоктизны, сели и 'только если ранг формн не о ■<)

превосходит 20 ,

Группа автоморфизмов четной утетасдулярной целочисленной квадратично;: фор.мы сигнатуры (25, I) не рефяектпвна, однако

^Впнберг Э.Е., Шварцман О.В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.29. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ' АН СССР). - ГЛ.. 1388. - С.147-253. 2\

'Еинберг Э.Б. Об унимодуля^чнх целочисленных квадратичных фермах /' Фуккц. анализ. - 1972. - Т.6. - С.25-32.

^ Винберг Э.Б., Каплинскзя И.1,1. О группах 1

// Докл. АН СССР. - 1Н78. - Т.238. - С.1273-1 75.

Д*:. Конвой^ описал эту группу, ксполк oboe с-е разложение в полу-пркмоо произведению цодгрушм отраяений а нерефлективной части. В этом случае фундаментальный многогранник подгруппы, порсзден-ной отражениями, г-шзет бесконечное число граней, которые касаются некоторой орисфэры максимальной размерности; нерефлекткв-ная часть группы бесконечна к действует на втой орисфере, оставляя неподвакным ее центр - бесконечно удаленную точку пространства Лобачевского. Учмтувая, что всякая конечная груша движений пространства Лобачзвского имеет неподвижную точку, и сфера с центром в этой точке инварианты* относительно действия рассматриваемой группа, можно сказать, что нерзфлективкая часть группы, иссяедованой Дж.Конаеем, относится к простейшая бесконечным лчскрепщгл группам движений пространств Лобачевского, а сама х'руппа - к простейшим нэрефлективнкм группам.

Ввиду сказанного выпе, нам представляется естественным исследование дискретных групп движений пространств Лобачевского, нерефлоктивше части которых имеют неподвижные бесконечно удаленные точки и инвариантно действуют на.орасфер§х с центрами в этих "'точках. Мы будем рассматривать только, .кристаллографические -руппы, то есть дискретные группы, фундаментальные многогранники которых имеют конечный объем. Отметим, что группы Бьянки, группы автоморфизмов целочисленных квадратичных форм, и другие наиболее интересные примеры дискретных груш движений пространств Лобачевского являются кристаллографическими группами. х

p^ism group of Me

26 - dimensional ei/en uyiLrnodnfar LoteiniiiAH &tit lce// 3 Ai^ctfra. ~ i. 23. - V. 20. - P. 1S3-1C3.

Цель работы. I. Изучение гоодэттрии действля кшсталло-графических групп дьикений пространств Лобачевского, нсрофгах-тивные части которых имеют неподаадшэ бесконечно удалекнке точки и инвариантно действуют на орнсйерах с центраг.м в это: точках; 2. Построение примеров классических дискретных групп движений пространств Зсбачег-адкого, принадлежащих описанное в пункте I классу дискретных групп; 3. Вычисление непредставлений некоторых дискретных групп движений пространств Лобачевского к связанных с ними линейных групп.

Научная новизна. В роботе определен новый класс дискретных групп движений пространств Лобачевского - клазирефлоктав-пье группы. Подучен критерий газазлрефлекткшостя кристаллографической группы на я:шке геометрии фундаментального многограк-пика подгруппы отражений дэчноЛ группы. Доказана квазирефлек-гавкссть пяти групп Бьянхи и некоторых групп «втотлорфизмов це- . лоччелбннух квадрат:г-ших форм. Про.ггшеи* модификация алгоритма Зягтб-зрга построения фун.г-'шденгагьпогэ ш:огогра;..:ика подгруппы отраяоиий группы автоморТй^моз кваддотэтноЗ $ор«ж, в случае если эта группа кшзлрейлсктизка. Наедена ксхгподстаЕлення некоторых групп Бьянкп и связанных с ними линейных групп.

Прилогония. ' Получогпше результаты могут найти применение а гешэтрги Лобачевского,' геомзтраа трехмерных многообразий,' теории чисел и алгебре.

Апробация. Основные результат:-' работы докладывались на. Международной коифоренциа по алгебре (Новосибирск, 1389), се-глшарс ксфздры алгебры и геометрия Кемеровского государственного уиквореггета, сб'ьсдвкеь ом семинаре отдела анаявза а геометрии института иатокаижл СО ЛЬ' СССР. - .

о

Публшации. Результате диссертации частично опубликованы в работах I и 2 , список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объом работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения. Общий объем составляет 83 страниц машинописного текста. Список литературы содержит 30 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИИ РАБОТЫ

В первой главе настоящей работы дако следующее

ОПРЕДЕЛЫШЕ 1.1. Кристаллографическую группу Г движе-нпй пространства Побечэаского Л назовем уда&ирафлективной. если ее нерофяективнан. чаать Д имеет неподвижную бесконечно удаленную точку я. и содержит параболическое двжяние про-

I п

странотва А

Это определение эквивалентно тому, что нерефлективная часть Д группы Р бесконечна и инвариантно действует на лхь бой орисфере максимальной размерности с центром в точке С^ . В предложении 1.1 доказано, что точка С^- является единственной с точностью до Г-эквивалентности параболической точкой группы Г такой, что фактор-группа стабилизатора точки в группе Р по подгруппе отражений бесконечна. При этом указанная фактор-группа изоморфна группе Д -нерефлективной части группы Р (следствие Г.2).

Кристаллографическая группа Р рефлективна тогда.и только тогда, когда фундаментальный многогранник ее подгруппы отражений имеет конечный объем, в частности,все бесконечно удаленные точки этого многогранника являются его вершинами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Х.З. Пусть Р. -• выпуклый многогранник б пространства Л . Будем говорить, что Р - квазиограшн. ;кный многогранник, если существует единственная бесконечно удалем-ная точка С^ многогранника Р , нз являющегося его вершиной.

г-т

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть I - кристаллографическая группа движений пространства А , 2).г - выпуклый фундаментальный многогранник группы Г^ - подгруппы отр&яений группа Г' . Группа Г7 - квазирефлективна, если и только если шогогран-ник - квазиограничешг 'й.

Основной предает изучения главы 2 - группы автоморфизмов гиперболических квадратичных решеток или, что эквивалентно, группы автоморфизмов целочисленных квадратичных форм.

ХЕадратичной решеткой мы будем называть свободную абеле-ву группу конечного ранга, снабженную целозначной симметрической билинейной функцией - "скалярным произведением". Если А - симметричная целочисленная матрица, то через С А ] обозначим квадратичную решетку, матрица Граш некоторого базиса которой совпадает с матрицей А . Через А 1 РА обозначил квадратичную решетку - ортогональную прямую сумму решеток А и М .

Решетка называется евклидовой (гиперболической),если векторное пространство О? евклидово (имеет сигнатуру (К , I) ).

Обозначил через О (/-) группу автоморфизмов квадратичной гипе^еЛиЧаокой решетки !__, , сохраняющих полы конуса векторов с отрицательным скалярным квадратом при действии в псевдоевклидовом пространстве ¿, ® А? . Известно, что ощ - кристаллографическая группа движений пространст- -

иг Лобаче- и<с~-с, ао.социнро зонного с поовдоевклкдовам простран-ранотзо;.! & (К . Гиперболическую решетку будем ка-з за та, квазаре&товгяркой, воля груша • 0 (¿Д кваз/рвфлвк-тавиа. В втом случае гиперболическая решать Л необходимо явлав'л^я изотропной, то есть ссдер:етт ненулевой вектор, малярный кзгдраг которого равен, 0 . .

Ь'а5'.болъгл"1 интерес представляет изучение решеток, группы автоморфизмов которых акяедкалькы среди грулч автоморфязаол репоток заданной размерности. Слс-дующая теорема, которая является обобщением" неопубликованного результата Р.Еарлау, позволяет ограничить наши- исследования решеткам: специального вида.

ТЕСРЕЛ 2.1. Пусть' А1 - изотропная гиперболическая решетка, размерное ш больше;! 2. Тогда найдется гиперболическая рэ-пеата той «е разцеркосгв,'такая, О(М)я0(1,) и

— ¿л 1 | т ^ . где - четкая евклидова решетка.

Теоремы 2.2 и 2.3 уточняют .формулировку теоремы 2.1 для решеток размерностей 3 и 4 соотвех тв.енно. Догазатальства теорем 2.1 - У..З опираются па методы теории чисел, но характерные

■л

для декной работы, и приведены а приложений к настоящей работе.

Так как гиперболические решетки одного рода почти всегд, язомор&ы, то изучение гиперболической рошергга вида

х 11 о] означав? «изучение I да евкчздезой решетки •

ПВДШШМВ 2.2. Пусть ' £ = [р- М ' - кгамроф-

лскткшая гиперболическая рогаеткг, причем в редо

реветки /_ изоморфна. Тогда в роде ег.-г- .свой гл/сг и / со-

держится не более одной нерефлектквной репетки.

Нгса ближайшая задача - описание группу автоморфизмов квазирофлективной гиперболической решетки 1 [1 о! *

где и - нерефлективная евклидова решетка.

Ш^ДОЕЕКИБ 2.4. Если четкая евклидова решетка но— рефлективка, гиперболическая репгетта ± [ г о I

квазирефлективна и Д иерефдектазная часть группы О; Д), то группа Д изоморфна „акторгрушю группы аффитйк автоморфизмов решетки по ее подгруппе отражений.

В § 2 главы 2 предложена несложная модификация алгоритма Влнберга, позволяющая построить фундаментальный мкогогран-

ник подгруппы отражений группы автоморфизмов реигткк , п-

в случае, если и - квазирефлективна.

Использовав описанную выше процедуру, мы доказали квазирефлективность следущих решеток сигнатура (3, I) (примеры 2.1-2.6):

= Г? б] 1 [? о] ~ [I \г] 1 [1 о]

г. = с? Пл сггз« пл7х С? и '

Ц - П 5] 1 I]

(Г)

Глава- 3 посвящена изучению групп Бьянкк и связанных с ни-.ли линейных групп. Известно, что группа Бьякки В с (Иг) макет быть влэкока в качестве подгруппы конечного индекса в группу О (/-.„) . гяе

Г2 0 1 Г° 1 7 / \

/ ■ } 2т-' если ^ = * МП ^ {ута\Ч)

1 Г2 Ч Ге11: , , I ^

1.1 ] 1 11 С;]. еола И1 = б (Мор{ Ч)

Грушу О обозначим через Вс(гп) и будем называть

расширенной группой Еькнки.

Обозначим через С (Дт) группу классов идеалов поля С? . В рабо-гех' показано, что если группа В-1 (т) реф-

лективна, то группа С - 2-и»-риодйчнз.

ИРЕЦПЮ22ЕК£! 3.1. Если группа В£ (»») квазирефлективча, то С (А„.) - циклическая группа треп^его или четвертого порядков.

Б случае, если С {$„,} ^мес-т порядок 3, группа 9с(№) совпадает с группойВ: (ж) . в частности, В( (2.?)= 81(11) =

- 0(2'х] п в с в1(.н) = ОС£>) (сютри

I И 2), ТЕК что группы Бьянкк Ен (2$) П ВЦ'И) - КЕР-

зярефлегсг-кшш.

СЛЕДСТВИЕ 3 2-. Если группа 81' Ц кшедрефлбктигяа

к гпудпа С ¡А*) - циклическая гоуппа -»отпертого посядка» -Гч.

то группа Вс (т) рефлеетггиа.

Бянборг Э.Б. Подгруппы отражений в групт дх Бьянки. Вопросы теории групп к гомологической алгебры. С . научных трудов. -Ярославль, 1587. - С.'Х21-12С-.

В предложении 3.2 доказаг-», что группы Bi (fit) , Bi '17) и Bi(33) суть квазирефлективше подгруппы групп автоморфизмов рефлективных решеток.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть M = 1 или 1 {wotAHj или

M é Si . Тогда группа Bi (м) квазирефлектиша только для m = 14, 17, 23, 31, 39 .

ТЕОРЕМА 3.1 является аналогом соответствующего результата

т)

для рефлективных групп Бьянких'.

Описанные выше результата главы 2 позволяют найти непредставление грушш автоморфизмов квазирефлективной х'ипер-бтлической решетки сигнатура (3, I) . В § 2 главы 3 мы находим копредставленне грушш . Основываясь на том, что группа PQLi(Am) изоморфна подгруппе собственных изометрий группы Bi (m) также находим копредставления групп a GLz (Аг3) .

Аналогичные вычисления проделаны для гп =39: группа Bi (35) квазирефлективная подгруппа грушш автоморфизмов рефлективной решетки.

Приведем конечные результаты наших вычислений:

■ = ФО«=(Р1Т,Т1Ф^г1; тД^тД; фт.Ф^Т;1

^ Шварцман О.В. Подгруппы отражений в группах Бьянки П Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Сб. научных трудов. - Ярославль, 1987. - С.134-139.

'gz.2(AJ = (Ъ.КЛЛЯ,з

(F^Pf = i ] ' '

Ф, J -- J <р;; Фу г J(P>

' / ■ - •

.. /

. СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ Д['1ССЕРТЛ ТЦШ: '

1. Рузг.т.-пов О.П. Подгруппы отражений в группах Бьянки Ц г/е.тд. кейф, по алгобре ( Новосибирск, 21-26 августа 19Й9 г, ): Теп. докл. по теории групп.-- Но во с и б к ¿Ь к, I9SS. -- С. 104.

2. Ру:;:л;,иов О.П, Подгруппы отражений в группах Бьянки Ц Успехи г/ат. наук.- J.99G.- Г.45.- С. 189-190.