Лагранжевы подмногообразия и интегралы по нильпотентным орбитам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Хорошо известно, что всякое коммутативное кольцо полезно представлять геометрически как кольцо функций на подходящем многообразии (спектре кольца). Эта точка зрения широко применяется как в алгебре (алгебраическая геометрия), так и в анализе (теория банаховых алгебр). Многочисленные достижения упомянутых дисциплин подтверждают целесообразность геометрического подхода. Поэтому хотелось бы распространить этот подход и на некоммутативную алгебру. В настоящее время адекватного, геометрического языка для задач некоммутативной алгебры не известно. Однако, имеется целый ряд как физических, так и математических аргументов, указывающих на его существование. В частности, одной из целей данной работы является попытка разобраться в геометрии, лежащей в основе раздела некоммутативной алгебры, относящегося к теории представлений групп и алгебр Ли.

Напомним основные моменты этой теории. Одной из ее важнейших задач является описание всех неприводимых,(вообще говоря, бесконечномерных) представлений заданной группы Ли G .

Обратимся сначала к случаю, когда группа G компактна. Неприводимые представления такой группы обязательно конечномерны. Их полное описание было получено в классических работах Софуса Ли, Эли Картана и Германа Вейля. Пусть Т - максимальный тор в группе (В* . Согласно картановской теории; старших весов, неприводимое представление однозначно определяется своим старшим весом -- гомоморфизмом А • Т7—тора Т в группу комплексных чисел. Соответствующее представление реализуется в виде подпространства в пространстве сечений одномерного расслоения на однородном многообразии G/T Именно, рассмотрим главное Т -расслоение G —*<3*/Г

Пусть - ассоциированное линейное расслоение, отвечающее одномерному представлению Я тора Т, Груша G естественно действует на сечениях Далее, на многообразии (?/Т имеется естественная комплексная структура, при которой превращается в голоморфное расслоение. Ввиду компактности G/T пространство голоморфных сечений расслоения <£д конечномерно. Можно показать, что представление группы G в этом пространстве неприводимо и имеет старший вес, равный А.

Следующим шагом явилось построение в начале пятидесятых годов неприводимых представлений группы Лоренца (т.е. группы G = SL (С) комплексных 2*2 -матриц с определителем L ) и его л обобщение на другие комплексные полупростые группы Ли /5/. Именно, в группе SL^ ((С ) рассмотрим подгруппу В- верхнетреугольных матриц и подгруппу Т с В диагональных матриц. Так же как и в случае компактных групп, представление G связывается с кажjf дым гомоморфизмом Л : Т —* С . Гомоморфизм /) прежде всего тривиально продолжается на треугольную подгруппу В . По этому одномерному представлению группы В строится линейное расслоение J^ на От/ В , ассоциированное с главным В -расслоением G*—~*G/B, Естественное действие группы G в пространстве всех квадратично-интегрируемых сечений расслоения ^ задает искомое представление . Оно называется индуцированным представлением с подгруппы В , а также представлением основной серии. Пространство этого представления естественно отождествляется с пространством функций на G , удовлетворяющих условию : - *Р(з) , j€ G, U В> '

Можно показать, что для общих значений параметра j) представление ^ неприводимо. Однако, для некоторых вырожденных Д оно становится приводимым и распадается на конечное число неприводимых подпредставлений. Далее?в случае группы Лоренца G * L д С С) , доказывается, что получающиеся таким образом неприводимые представления (при всевозможных Я » включая и вырожденные) исчерпывают список неприводимых представлений. Для более общих комплексных полупростых групп G ф SZ.CO это уже не так. Однако, как показал Хариш-Чандра /33"/, представлений основной серии с невырожденными Я всегда достаточно для разложения регулярного представления (т.е. представления группы G в /AG) посредством левых сдвигов). Это означает, в частности, что представления с невырожденными Л образуют подмножество полной меры в множестве всех неприводимых представлений (на котором имеется естественная мера Планшереля).

Дальнейшее продвижение в теории неприводимых представлений связано с методом орбит. В своей диссертации /14/ А.А.Кириллов впервые применил этот метод для классификации неприводимых унитарных представлений произвольной нильпотентной группы Так же. как в случае комплексных полупростых групп, неприводимые представления группы G строятся в виде представлений (J?^ ^) , индуцированных с одномерных характеров А : £ С * некоторых подгрупп Р 0 G» Роль метода состоит в точном указании необходимых подгрупп J? и характеров Л. Именно, рассмотрим алгебру Ли группы G и произвольный линейный функционал £ на векторном пространстве &J, По функционалу f выбирается подалгебра Ли f> с , обладающая свойством и в опРеДеленном смысле максимальная среди подалгебр с этим свойством. Подалгебра jo называется поляризацией jf. Группа j? , участвующая при построении индуцированного представления о£(Р/ по определению есть подгруппа в G , алгебра Ли которой совпадает с jb , а характер J - суть характер i? , дифференциал которого равен 2Jilf. В /14/ доказано, что представление - неприводимо и что его класс не зависит от выбора (вообще говоря, не единственной) поляризации точки ^ Кроме того, при замене функционала ^ на сопряженный, класс представления также не меняется. Таким образом, множество неприводимых унитарных представлений группы G может быть отождествлено с множеством орбит группы G в пространстве у* , двойственном к

Полученная параметризация, примечательна: своей универсальностью: ответ дается исключительно в терминах самой группы G. В частности, промежуточные объекты В и А в ответе не участвуют. Таким образом, по крайней мере формально, можно пытаться переносить этот ответ на другие классы групп. Например, для орбит общего положения в двойственном пространстве к комплексной полупростой алгебре Ли он сводится к описанной выше конструкции.

В последнее десятилетие развитие метода орбит происходило в основном в двух направлениях. Прежде всего была открыта геометрическая конструкция унитарных представлений, эквивалентная методу орбит /16/. Обнаружилась тесная связь этой конструкции с физикой, в особенности с теорией квантования механических систем /40/, а также с теорией фейнмановских интегралов по траекториям.

Второе направление, развиваемое в основном в работах французских математиков, состоит в создании алгебраической версии метода орбит, предназначенной для исследования алгебраически-неприводимых представлений алгебр Ли. Основным объектом этих исследований являются универсальные обертывающие алгебры алгебр Ли. В частности, М.Дюфло /31/ построил запас неприводимых представлений обертывающей алгебры произвольной комплексной алгебры Ли, аннуляторы которых образуют плотное подмножество примитивного спектра этой алгебры. (Напомним, что примитивным спектром алгебры называется множество аннуляторов всевозможных ее неприводимых представлений; сами аннуляторы называются примитивными идеалами). Большая часть относящихся сюда результатов изложена в книге Ж.Диксмье/12/

Резюмируя вышесказанное (а также на основе ряда других результатов, см. /21/, /22/, /2€/), можно сделать следующие выводы:

A. для представлений комплексных алгебр Ли имеется соответствие между орбитами в у общего положения и точками общего положения в примитивном спектре обертывающей алгебры.

При переходе от алгебр Ли к группам Ли ситуация усложняется. Тем не менее, для широких классов групп (компактные, разрешимые, полупростые, .) известно, что:

Б. по любой орбите общего положения в , удовлетворяющей определенным условиям целочисленности, можно построить, вообще говоря, несколько неприводимых унитарных представлений рассматриваемой группы G , причем полученные представления образуют подмножество полной меры в множестве всех неприводимых унитарных представлений.

Далее, имеются примеры, показывающие, что:

B. существующих конструкций метода орбит заведомо недостаточно для построения всех неприводимых представлений (даже на уровне примитивных идеалов в обертывающей алгебре).;

Г. существуют такие выровденные орбиты в ^ , точки которых не имеют никаких поляризаций. По этим орбитам известными до настоящего времени способами невозможно построить какое-либо представление (ни алгебры Ли, ни, тем более, группы Ли).

Данная диссертация состоит из шести глав. Она может быть условно разделена на три части. В первых трех главах исследуется случай общего положения: между орбитами и представлениями общего положения имеется хорошее соответствие и наша цель состоит в изучении его свойств. Основной результат этой части диссертации состоит, по существу, в том, что показано,как при помощи выбора подходящих координат на орбите соответствующее представление приводится к стандартному виду, не зависящему ни от орбиты,ни от представления, ни даже от рассматриваемой алгебры Ли.

В следующих двух главах мы переходим к изучению вырожденных орбит. Развиваемый в главе 1У аппарат симплектической геометрии применяется в главе У для построения новых неприводимых представлений, ассоциированных с любыми, сколь угодно вырожденными, орбитами коприсоединенного представления. Насколько известно,автору, никаких общих конструкций для построения представлений по вырожденным орбитам ранее не существовало.

Наконец, в главе У1 доказывается формула, выражающая интеграл по нильпотентной орбите в комплексной полупростой алгебре Ли в виде предела комбинаций интегралов по орбитам общего положения. Хотя формально этот результат и независим от предыдущего, фактически он оказывается важен при описании асимптотического поведения характеров вырожденных представлений соответствующей группы вблизи особых точек. Таким образом, можно считать, что последняя глава есть более детальное исследование вырожденных представлений, построенных в предыдущей главе, в важном специальном случае полупростых групп.

Перейдем к изложению результатов каждой из глав. В §1 главы I, носящем вводный характер, вводится симплектическая структура

Кириллова) на орбитах коприсоединенного представления в двойст

SL венном пространстве ^ произвольной алгебры Ли ор. Рассматриваются лагранжевы & -инвариантные слоения на орбитах. При этом существенную роль играет

Определение 1.4. Подалгебра Ли f> с о^. , являющаяся в то же время максимальным изотропным подпространством кососимметрической формы X, у I—* Л (С*,у]) на ^ , называется поляризацией функционала Й €

Показано, что выбор поляризации однозначно определяет лаг-ранжево слоение на соответствующей орбите. Изучены канонические системы координат на орбитах, согласованные с заданным лагранже-вым слоением. Оказывается (см. предложение 1.6), элементы алгебры Ли принимают в этих координатах особенно простой вид.

В §2 рассматриваются два класса поляризаций. Во-первых, гоу ворят, что поляризация р точки ^ € ^ удовлетворяет условию Пуканского, если с G'A (см. п.2.1). Такие поляризации особенно важны в теории представлений (см., например, /13/ и /26/). В этой связи представляет интерес

Теорема 2.1. Всякая точка общего положения в у обладает разрешимой поляризацией, удовлетворяющей условию Пуканского.

Если в формулировке теоремы слова "точка общего положения" заменить на "регулярная точка", то утверждение перестает быть верным. Чтобы получить аналогичный результат для всех регулярных точек,вводится

Определение 2.4. Разрешимую поляризацию р назовем допустимой, если Vх z jz ненулевые собственные значения оператора ad х в пространствах j> и у/р противоположны по знаку (с учетом кратностей).

Условие допустимости является более гибким, чем условие Пу-канского. С одной стороны,имеет место

Теорема 2.4. Если - алгебраическая алгебра Ли и А -- регулярная точка в j* , то всякая разрешимая поляризация J , удовлетворяющая условию Пуканского, допустима.

С другой стороны, "допустимость" сохраняется при предельном переходе, так что справедливо х

Предложение 2.4.2. Любая регулярная точка в у обладает допустимой поляризациёй.

Отметим важное для теории вполне интегрируемых систем утверждение, вытекающее из теоремы 2.1: jf

Предложение 2.2. Любые два полуинварианта на ^ находятся в инволюции.

Глава П посвящена изучению представлений, ассоциированных с регулярными орбитами.

В §1 доказываются необходимые в дальнейшем результаты о суммируемости функций на алгебраических многообразиях. Предлагается . такое

Определение (п.1.1 гл.П). Непрерывная функция на вещественная алгебраическом многообразии называется быстро убывающей, если ее произведение с любой регулярной функцией ограничено.

Теорема I.I. Каждая быстро убывающая функция на неособом ориентируемом алгебраическом многообразии суммируема относительно любой регулярной формы объема.

Из этой теоремы вытекает положительное решение проблемы, поставленной в /26/ и /32/

Теорема 1.4. Пусть - алгебра Ли вещественной алгебраической группы и Cf - замкнутая орбита в Тогда любая быстро убыхвающая функция на су. суммируема относительно симплектической формы объема на

В §2 главы П определяется представление JT^ , ассоциированное с точкой Л € у* и ее поляризацией £. Приводится геометрическая интерпретация этого представления и его явный вид в канонических координатах (предложение 2.1). Отмечается, что представление ^ получается естественной процедурой квантования механической системы, связанной о орбитой GO.

В §3 доказывается "универсальная формула для характера" представления СГ) , отвечающего регулярной точке Й. Эта формула была впервые выдвинута А.А.Кирилловым в качестве гипотезы в /15/. До настоящего времени она была доказана лишь для некоторых классов групп Ли: для нилъпотентных групп - в /14/, для разрешимых групп -в /26/, для комплексных полупростых - в /5/. Мы даем единое доказательство в общем случае. Результат состоит в следующем:

Теорема 3.2. Пусть ^ - положительно определенная гладкая функция на группе G с компактным носителем, лежащим в V (см. п.3.1). Пусть Jjf> есть преобразование Фурье функции л »—* х)< det^H ^ (-*/*>) на ^ , <r*G-A.

Если ограничение Jty на (У есть суммируемая функция, то оператор ^ (<f>) имеет след, равный

Ь эг (jp) * / У* (*) л (У

В случае, когда орбита (У замкнута, эта теорема допускает значительное усиление. Именно, с использованием результатов первого параграфа выводится следующая

Теорема 3.3. Пусть G - связная комплексная алгебраическая v Xгруппа с алгеброй Ли , и - регулярная замкнутая орбита в ^ и А (У. Предположим, что - глобальная разрешимая поляризация точки Л и CfJ - соответствующее представление G, Тогда а) для всякой суммируемой функции 1-\(т) оператор ^j(^) компактен • " 5 б) если У € Cfl (G) , то оператор Jj (?) - ядерный, а функционал jp ь—"fri ЭГ^ (<р) является обобщенной функцией на G , равной интегралу (*) ее ли ^ирр а У,

В §1 главы Ш рассматривается алгебра формальных степенных рядов q ~ &[[ г]] над произвольным алгебраически замкнутым полем k характеристики 0 . в (J определена скобка Пуассона: Ф Г * -- I ( ^ • - ^ ' - )

Мы изучаем деформации закона умножения в алгебре Q , имеющие вид: t

Известна одна такая деформация, возникшая из квантовой механики и носящая название "квантования Вейля". Оказывается, что этой деформацией по существу исчерпываются все нетривиальные деформации алгебры Точнее, справедлива

Теорема I.I. Пусть С- непрерывная (в естественной топологии) деформация вида (ш) такая, что элементы пространства С 2J] коммутируют со всеми элементами Q относительно умножения (зеО. Тогда деформация С эквивалентна деформации Вейля.

В §2 мы рассматриваем универсальную обертывающую алгебру U ( произвольной алгебры Ли &J как деформацию коммутативной алгебры многочленов на у* . По каждой точке Л < на вводится некоторая топология. Пополнение обертывающей алгебры относитель

- 12 -А но этой топологии обозначается U, и называется микролокализациЛ ей алгебры U(oj) в точке Л (Определение п.2.2). Алгебру можно рассматривать как некоторую дефорамцию алгебры степенных рядов. Если Д - точка общего положения, то в окрестности 2 можно выбрать канонические координаты «Из единственности деформации алгебры Пуассона, доказанной в §1, выводится следующий мик-ро-локальный аналог гипотезы Гельфанда-Кириллова:

Следствие 2.2.1. Если Л - точка общего положения в , то в алгебре U^ существуют образующие р, 1 g удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям: С р; , % • 3 ~ ; . ч ' ' * i V

Б частности, структура алгебры U^ почти не зависит от исходной алгебры Ли Л

В §3 фиксируются точка общего положения /} € Qj и лагранжевы слоения на всех орбитах в окрестности Д , выбранные согласол ванным образом. Через fyобозначается пространство (формальных, см. п.2.2) функций, голоморфных в окрестности Л и постоянных вдоль слоев лагранжевых слоений. Далее, л. можно естественным образом отождествить с подпространством в U. Одним из основных И результатов главы Ш является

Теорема 3,1. Ограничение умножения в U на А. совпадает с обычным умножением функций (на ).

Говоря неформально, эта теорема означает, что на функциях, постоянных вдоль слоев, деформация умножения, отвечающая переходу от коммутативной алгебры СС^ J к обертывающей алгебре тривиальна.

Ясно, что инварианты, то есть многочлены, постоянные на всех орбитах в tn , постоянны и на слоях, и, следовательно, лежат в Дд. Поэтому из теоремы 3.1 в качестве простого следствия вытекает известная теорема М.Дюфло об изоморфизме центра обертывающей алгебры и кольца инвариантных многочленов на у*. Чтобы сформулировать этот результат точнее, отождествим с алгеброй обобщенных функций на группе G , сосредоточенных в единице. Рассмотрим экспоненциальное отображение * J —* G и для каждой (обобщенной) функции и,на G положим

Если через и обозначить операции свертки на G и ^ , соответственно, то упомянутый выше результат принимает вид:

Теорема 3.2.2. Если Ц^ и две центральные обобщенные функции на G , сосредоточенные в единице, то ut Ux )V - (ц* ) £ иА ) .

Далее показано, что представление алгебры Ли jr * определенное в главе П, может быть продолжено до представления пополненной алгебры U , Следующий аналог теоремы 3.1 утверждает, А что функциям, постоянным вдоль слоев, отвечают при представлении операторы умножения. Именно, справедлива Теорема 3.4. При Фе А^ оператор ST^Ci) совпадает с оператором умножения на ограничение функции $ на орбиту G*.A.

Из этой теоремы вытекает формула для инфинитезимального характера представления ^ , предсказанная А.А.Кирилловым /13/.

Точнее, обозначим через преобразование Фурье обобщенной фун-v кции II на 0J. (см. выше).

Следствие 3.4.1. Если 2 - элемент центра обертывающей алгебры, то оператор Х^Съ) есть оператор умножения на число ^и^А)

1. Арнольд Б.И.Математические методы классической механики. М., Наука, 1979.

2. Гельфанд И.М., Кириллов А.А.Структура тела Ли, связанного с полупростой расщепимой алгеброй Ли. Функ. анализ и его прил. 3(1969), 7-26.

3. Гельфанд й.М., Наймарк М.А., Унитарные представления классических групп. Труды МИАН, 1950.

4. Гийемин В., Стернберг С., Геометрические асимптотики. М.,"Мир? 1981.

5. Гинзбург В.А., Обертывающие алгебры и деформации. Успехи Мат. Наук, 1978, ХХП, 2, 127-128.

6. Гинзбург В.А., Метод орбит и теория возмущений. ДАН СССР, 249, Ш, 1979, 525-528.

7. Гинзбург В.А., Метод орбит в теории представлений комплексных групп Ли., Функ. анализ и прил., 1981, 15, Ж, 23-27.

8. Гинзбург В.А., Симплектическая геометрия и представления., Функ. анализ и прил., 1983, 17, Ш, 75-76.

9. Гинзбург В.А., Интегралы по нильпот.ентным орбитам и представления групп Вейля, ДАН СССР, 271, №4, 1983, 780-783.

10. Диксмье Ж., Универсальные обертывающие алгебры, М., "Мир", 1978.

11. Кириллов А.А., Элементы теории представлений, М., "Наука", 1978.

12. Кириллов А.А., Унитарные представления нильпотентных групп, Успехи Мат.Наук, 1962, 17, Я2, 57-110.

13. Кириллов А.А., Характеры унитарных представлений групп Ли, Функ. анализ и прил., 2:2(1968), 40-55.

14. Костант Б., Квантование и унитарные представления, Успехи Мат.Наук, 1973, ХУШ вып. I, 163-225.

15. Семинар "Софус Ли", Теория алгебр Ли, Топология групп Ли., М., ИЛ, 1962.

16. Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях., М., "Мир", 197а.

17. Хермандер Л., К теории общих дифференциальных операторов в частных производных., М., ИЛ, 1959.

18. Хермандер Л., Интегральные операторы Фурье., Математика 16:2 (1972), 67-136.

19. Andler М., Sup des representations construites par la mSthode des orbites., C.R. Acad. Sci., Paris, 1980, 290, 5, 873-875.

20. Aaslander L., Kostant B., Polarisations and unitary representations of solvable Lie groups., Invent. Math., 14/1971/, 255-354.

21. Barbasch D., Vogan D., The local structure of characters., J. Funct. Anal., 37/1980/, 27-55.

22. Barbasch D., Vogan D., Primitive ideals and orbital integrals in complex classical groups., Math. Ann. 259/1982/, 153-199.

23. Barbasch D., Vogan D., Primitive ideals and orbital integrals in complex exceptional groups., J. Algebra., 80/1983/, 350-382.

24. Bernat P., Conze N. et coll., Repr6sentations des groupes de Lie R6solubles., Monographies Soc. Math. Prance, Dunod, Paris, 1972.

25. Borho W., Gabriel P., Rentschler R. Lecture Notes in Math., 357» Springer-Verlag, Berlin, 1973*

26. Borho W<|, MacPherson R., Representations des groupes de Weyl et homologie df intersection pour les variSt^s nilpotentes., C.r. Acad. Sci. Paris, 292/1981/, 707-710.

27. Brylinski J.-L., Malgrange В., Verdier J.-L., Transformation de Pourier gSometrique., C.r. Acad. Sci. Paris, 297/1983/, 55-58.

28. Dixmier J., Duflo M., Vergne M., Sur le repersentation coad-jointe d'une algebre de Lie., Compos. Math,, 1974, 29, N 3, 329-325.

29. Duflo tyl., Construction of primitive ideals in an enveloping algebra. Publ. of 1971 Summer School in Math. Janos Bolyai Math. Soc., Budapest, 77-93.

30. Duflo M., Operateurs differentiels bi-invariants sur une group de Lie., Ann. Scient; Ecole Norm. Super., 19771 10, 265-283.33» Gore sky M. , MacPherson R. , Intersection homology II. Invent. Mathem. 72/1983/, 77-129.

31. Guillemin V., Sternberg S., Geometric quantization and multi-plicaties of group representations., Invent. Math. 67/1982/, 515-538.

32. Harish-Chandra, The Plancherel formula for complex semisim-ple Lie groups. Trans. Amer. Math. Soc., 76 , 3, 1954 , 485-528.

33. Joseph A., Goldie rank in the enveloping algebra of a semi-simple Lie algebra., J. Algebra, 65 /1980/, 269-306.

34. Kashiwara M., Vergne M., The Campbell-Hausdorff formula And invariant hyperfunctions., Invent. Math. 47/1978/, 249-272.

35. Lusztig G., Green polynomials and singularities of unipotent classes., Advances in Math. 42/1981/, 169-178.

36. Bentschler R., Vergne M., Sur le semi-centre du corps enve-loppant d'une algebre de Lie, Ann. Sci. Sc. Norm. Super. 6/1973/, 389-406.

37. Souriau J.M., Structure des systemes dynamiques., Maitrise de MathSmatiques., Paris: Dunod, 1970.

38. Steinberg R., Differential equations invariant under finite reflection groups., Trans. Amer. Math.,Soc., 112/1964/, 392-340.

39. Steinberg R., On the desingularization of the unipotent variety. , Invent. Math. 36/1976/, 209-224.

40. Springer T.A., The construction of representations of Weyl groups., Invent. Math. 44/1978/, 279-293.

41. Vergne Me, La structure dePoisson sur Iеalgebre symmetrique d'une algebre de Lie nilpotent., Bull. Soc. Math. France., 1972, 100, 301-334.

42. Vergne M., Wolf J., Existence des polarisations positives dans les algebres des Lie., C.R. Acad. Sci., Paris, 1972, 274, N 4, 299-302.

43. Vogan D., Gelfand-Kirillov dimension for Harish-Chandra modules., Invent. Math. 48/1978/, 75-98.

44. Vey J., Deformation du crochet de Poisson sur une variety symplectique. Comment. Math. Helv. 50/1975/» 4, 421-454.