Липшицевость и уплотняемость одного класса нелинейных интегральных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.'.

ГЛАВА Г. О некоторых свойствах нелинейного интегрального оператора.»•••.«.«.

§ I. Обозначения, понятия, предворительные сведения

§ 2, Условия непрерывности нелинейного интегрального оператора

§ 3» Некомпактность одного класса нелинейных интегральных операторов

§ Критерии липшицевоети- нелинейного интегрального оператора в пространстве непрерывных функций. •

§ 5. Уплотняемость нелинейного интегрального оператора.

ГЛАВА II. О неподвижных точках нелинейного интегрального оператора . 5k

§ I. Нелинейный интегральный оператор, оставляющий инвариантныи конус в пространстве измеримых функций.

§ 2. К вопросу о существовании решения одного класса интегро - дифференуиальных уравнений

Интегральные операторы являются важным и часто встречающимися в приложениях классом операторов» Основы теории нелинейных интегральных операторов были заложены в трудах М.А.Ляпунова, Л.Лихтенштейна, Э.Шмидта, П.С.Урысона, А.Гаммерштейна.

Дальнейшее развитие теория нелинейных интегарльных операторов получила в работах Н.Н.Назарова, В.В.Немыцкого [29] , М.А.Красносельского и его учеников [19 - 24] , П.П.Забрейко [10 - 13] , М.Отелбаева и А.Г.Суворченковой [34] , Р.Ойнарова и М.Отелбаева [32] , Р.Ойнарова [3l] , Т.К.Нурекенова [30J и многих других авторов.

Следует отметить, что здесь перечислены наиболее близкие к теме работы, которые в разное время вносили ощутимый вклад в теорию нелинейных интегральных операторов.

Нелинейные интегральные операторы и w, %(s)) cLjuh) рассматриваемые в данной работе, интересны тем, что многочисленные задачи физики, астрофизики и других отраслей науки описываются нелинейными уравнениями с операторами ( распределение выходящего излучения в задачах переноса поляризованного рассеивающегося света в атмосфере; удлинения полимерных волокон или пластин под действием силы, приложенной к их концам; встречаются в задачах связанных с многоэнергетическим уравнением стационарного переноса нейтронов в плоском случае и т.д. [ 27, 39 - 47J . Поэтому настоящая работа посвящена свойствам нелинейного интегрального оператора с ядром

Это объясняется тем, что основным методом доказательства существовании решения у уравнения dCli 4 = ^ является применение принципе» неподвижных точек. Наиболее часто употребляемые в анализе принципоя неподвижных точек являются принцип Банаха - сжатых отображений и принцип Шаудера, а также принцип Садовского, которое в последнее время часто применяется для анализа уравнений более общего вида , уравнений с уплотняющими операторами. При использовании этих принципов специфика конкретного уравнения выражается лишь в общих свойствах ( непрерывность, компактность, сжимаемость, уп-лотняемость и др.) интегральных операторов уравнения

Хи + 4 =- ^ .

Рассмотрим краткое содержание работы. Диссетация состоит из двух глав и списка цитируемой литературы. Глава I содержит пять параграфов. В первом праграфе даны определения нелинейного интегрального оператора, рассматриваемого в данной работе, в частности интегрального оператора Урысона и нелинейного оператора суперпозиции, также перечислен ряд известных свойств нелинейных интегральных операторов, известные утверждения.

В последующих параграфах рассмотрены свойства нелинейного интегрального оператора

- /сея UM, Ws))djWs) ^ ( i ) где ( Е , J* ) - пространство с полными - конечными мерами, а функция

С: ErFfllU K = f- —, —) суперпозиционно . JH/Ji> -измерима.

Основным результатом параграфа 2 является теорема 2.1, где доказана непрерывность оператора ( I ), имеющего "непрерывную мажоранту", из Lf (в) В L^ ft) ( ).

Далее, для оператора

П.)Ш Ffl, шц №u,s, U(s))dffs)) ( 2 > доказана теорема: пусть функции , F v) удовлетворяют условиям Каратеодоири. Если оператор Урысона $ с ядром ^C-ir^^Uj регулярен [22] из в I Л ^ j? ^ t 4 ^ & ^ ) и нелинейный оператор

Р действует из L^/i^ в ^^

С ^ ^ ^^ )» то оператор ( 2 ) действует из пространства \~fjju в пР°стРанство Lbr и непрерывен.

В параграфе 3 установлена некомпактность оператора ( I ), действующего из Lp в при условии, что

4, % Щ (Ц ns))ls f №1+, S, Vj4r)f Ufs)№ ъ • * для некоторых ИЗ ^ f и

РкИ } \АЛ (s)7 VLjs)] £ Ufs ) а /гиж { U^fs), t^U) \ если оператор Урысона

X, и )(*)=- f w, S, Ы,т))ск здесь функция фиксированная из пространства

LP Ге) ) компактно действует из L р в L ^ ,

Пусть ядро ^>ty) оператора (I) непрерывено по совокупности переменных ° £ -Ь , S ^ 4 , ^ Я- / у «="==' . Тогда имеет место

Теорема 4.1. Для того чтобы оператора 1

СШ, S, №, WsUs р был липшицевым из ^г/ в необходимо и достаточно

М«Ц>11оГ buf Hb&i+iJ+l)сL>0 leltfl О Irlt-Ji lolU ItlU

0U4, причем константа Липшица равна числу М

Если через // обозначим множество натуральных чисел или его ограниченное подмножество и мера J^ любой точки из № С как подмножества У ) равно единице, то дискретный аналог оператора (I), рассматриваемый в пространстве числовых последовательностей, имеет вид

В параграфе 4 доказаны критерии липшицевости оператора (3) в t : пусть функции Зуу fatty) непрерывны по совокупности переменных —«=»<=> ^ ^ и оператор (3) действует из / <=«=, в .

Тогда оператор (3) дявляется липшицевым в о— тогда и только тогда, когда

М - Ц> hup Mfi + А) шв icia «

Р н\й шк причем константа Липшица =• ^

Условия уплотняемости, С t , у? ) - ограниченности оператора (I) в пространствах суммируемых функций даны в параграфе 5.

Теорема 5.1. Пусть оператор Урысона

Г, Utn)cLju(s) ^ , J ) - ограничен из ^ в L ^^ при любой фиксированной из ^/> уи и Z г ' да u(s^Lr>/u

Тогда оператор

Ли )(*)=$ Wi, s, иш, ;

С 1С + С , J ) - ограничен из в ^уи

Теорема 5.2. Пусть интегральный оператор ^ ил v.)(-t) = S, ъ W, WsUjti*) действует из в L ^ ^ и регулярен при любой

ОСоШй\, /1L • ПУСТЬ Для любого Я > & существует К ^ О , такое, что

IIJ ш, vtsHml^ ten где BpfYo } К) - шар в ^ P, yw c Центром в

V0(-tr)6 l?} f радиуса К >0 . Пусть, наконец, для любого jt- О существует Л > О

I. ь t II и<-ц, I, Тогда оператор (I), при К + С 4 , X уплотняющий из пространства L ^ уи в пространств© L ^ ^ , где У р (Ж) - мера некомпактности Хаусдорфа множества

Л ъ lhju [I, 25 , Ъ]Р, г ^ —) •

1. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С., Садовский Б.Н. Уплотняющие операторы. В кн:,Итоги науки и.техники. Математический анализ., М.,1980, тЛ8, с.185 250.

2. Борисович Ю.Г., Сапронов Ю.И. К топологической.теории уп -лотняющих.операторов. Докл. АН СССР, 1968, т.183,М,с.18 20.

3. Вайнберг.М.М. Вариационный метод и метод монотонных опера. торов. М., Наука, 1972, 415с.

4. Владимиров В*С. Уравнения математической физики. М.,Наука,1976, -528. с. . . ,

5. ДанФорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. T.I. Общая теория.М., Издательство ИЛ. 1962,- 859 с. .

6. Жумагалиева А.Е. Критерий липшицевости некоторого нелинейного, оператора. В сб.:Краевые задачи для дифференциаль -ных- уравнений и их приложения в механике и технике. АлмаАта, 1983, с.51.- 55. .

7. Жумзгалиева.А.Е 0 разрешимости одного класса нелинййных интегральных-уравнений. Изв. АН КазССР. Серия Физ. -- мат., 1984, № 5, с.68 - 69.

8. Жумагалиева А.Е. Некоторые свойства-нелинейного интеграль-. ного оператора. Вестник АН КазССР, 1984, №.7,. с.70 - 72.

9. Забрейко П.П. Идеальные пространства Функций, I. Вестн. Яросл. ун-та., вып.8 (Качественные и приближенные методыисследования.операторных уравнений). 1974, с.12 -.52.

10. Забрейко П.П. К теории интегральных операторов, I. В кн.: Качественные и приближенные методы исследования операторныхуравнений.Ярославль. 1981, с.53 61. . .

11. Забрейко П.П. К теории интегральных операторов, II. В кн.: Качественные и приближенные методы исследования оператор. ных уравнений» Ярославль,, 1982, с. 80 - 89. . .

12. Забрейко П.П.,.Майорова H.JI. О разрешимости, нелинейного интегрального уравнения Урысона. В кн.: Качественные.и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1978, с.61 - 73. . . . .

13. Интегральные.уравнения*(Забрейко П.П., Кошелов А.Н. Драсно-. сельский.М.А. и др.) М., Наука,. 1968, 448 е.

14. Иосида К. Функциональный анализ,. М., Мир, 1967,- 624 с.

15. Канторович Л.В., Акилов Г.П.Функциональный анализ. 2-изд. . переработанное^ дополненное. М., Наука, 1977,- 744 с. .

16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории Функций и функционального анализа. 4 -.изд. переработанноеи дополненное.М., Наука, .1976, 544 с. . ,

17. Коротков В.Б. Интегральные операторы. Новосибирск, изд. • наука, 1983, - 224.с. .

18. Красносельский М.А. Два замечания.о методе последовательных приближений. УМН 10:1, 1955, с.123-127.

19. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нели -нейных интегральных уравнений. М.,Гостехиздат, 1956,- 392 с.

20. Красносельский М.А. Положительные.решения операторных урав-. нений. М.,Физматгиз, 1962, 392 с. . .

21. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., .Соболевский П.Е., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. Наука, 1966,.-499 с. . . .

22. Красносельский М.А.* Забрейко. П.П. Геометрические методы . нелинейного анализа. М., Наука,.1975, ^ 512 с.

23. Красносельский М.A.j Рутицкий Я.Б.Выпуклые Функции и . пространства.Орлича. М., Физматгиз, 1958,,- 272 с. . .

24. Лататуев А. Н., Майорова Н.Л., Морозов М.К» 0 разрешимостисистемы нелинейных интегральных уравнений. В кн.:.Качественные и.приближенные методы исследования операторныхуравнений.Ярославль, 1981, с.88- 94.

25. Лялькина Г.Б.Некоторые вопросы теории, нелинейных . операторных уравнений с уплотняющими операторами. -Автореферат диссертации на соискание ученой степеникандидат Физ,- мат.н. Свердловск, 1980, 16 с. . . .

26. Мельник A.M. О неотрицательных решениях одного нелинейного интегрального уравнения, -iЛатвийский математический• ежегодник, -1979, е-,62 68.

27. Натансон И.П. Теория-Функций вещественной переменной. М., . Наука, 1974, .- 480 с.

28. Немыцкий В.В. Теоремы существования и единственности для нелинейных интегральных уравнений,- Математический сборник, 1934, т.41, № 3, с,421 452.

29. Hypeкенов Т.К. О полной непрерывности одного класса нелинейных интегральных операторов Урысона и ее применение.к разрешимости решений нелинейных-интегральных уравнений.Изв. АН КазССР, Серия Физ.-мат., 1982, № 5, с.58 60. . .

30. Ойнаров Р. -Непрерывность.и липшицевость нелинейных интегральных операторов Урысона.- Диссертация на соискание ученойстепени кандидата Физ.-мат. наук, Алма-Ата, .1981, 76 с.

31. Ойнаров Р. ,-Отелбаев М. О разрешимости одного класса нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Изв. АН КазССРСерия физ.-мат., 1983, 5, с.44 46. .

32. Отелбаев М. Коэрецитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в & . « Труды МИАН, 1983, т.151,с.195 217. .

33. Отелбаев М., Суворченковой Г.А. Необходимые и достаточные условия ограниченности и непрерывности одного.класса .; операторов Урысона. Сибирский матем. журнал, 1979, т.20,№ 2, с.428 ^ 432. .

34. Садовский.Б.Н. Предельно.компактное.и.уплотняющиеоператоры. УМН, 1972, т.27, вып.I, с.81 - 196. .

35. Садовский Б.Н. .0 трех результатах в теории мер некомпакт -ности и уплотняющих операторов. В сб.:- Школа-по теории операторов в Функциональных пространствах. Минск, 1978,с.128 .- 130, . . .

36. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.5. М.,Гостехиздат,1959, 656 с.