Локализованные состояния и флуктуации в графене

Чэнь Сяосин

Локализованные состояния и флуктуации в графене тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

Чэнь Сяосин АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.10 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Локализованные состояния и флуктуации в графене»

Автореферат диссертации на тему "Локализованные состояния и флуктуации в графене"

005003950

Чэнь Сяосин

ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ И ФЛУКТУАЦИИ

В ГРАФЕНЕ

Специальность: 01.04.10 - Физика полупроводников

- 8 ДЕК 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

005003950

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент Ктиторов Сергей Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе РАН

кандидат технических наук,

заместитель директора

НОЦ "Нанотехнологии" СПбГЭТУ

Давыдов Сергей Юрьевич

Афанасьев Алексей Валентинович

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится «22» декабря 2011 г. в 15 час. на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.238.04 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан «21» ноября 2011г.

Ученый секретарь

совета по защите докторских ^

и кандидатских диссертаций А'У

д.ф.-м.н., профессор Мошников В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

1. Актуальность темы:

Первое отделение моноатомного слоя графита, получившего название графен, послужила началом бурного развития экспериментальных и теоретических исследований этого объекта. Присуждение нобелевской премии по физике в 2010 году А. Гейму и К. Новоселову означало признание важности этих исследований. Интерес к графену обусловлен как уникальными физическими свойствами этого объекта, так и перспективами его применения в электронике. Среди важных необычных свойств графена можно отметить аномально высокую фермиевскую скорость (~108см/с) и подвижность носителей заряда (-2-105 см2 В"'с"'), что важно для повышения быстродействия электронных приборов. Одной из интересных особенностей электронного спектра графена является закон дисперсии, имеющий вид двуполостного конуса вблизи критических точек в зоне Бриллюэна, характерный для бесщелевых полупроводников первого рода. Это позволяет описывать соответствующие электронные состояния с помощью двухзонного уравнения, математически эквивалентного уравнению Дирака для двухкомпонентного спинора. Однако, некоторые особенности электронных состояний графена не могут быть описаны уравнением Дирака и требуют явного учета кристаллической структуры объекта.

Другой важной особенностью графена является двухмерность кристаллической структуры, так что монослойный или бислойный лист графена можно рассматривать как мембрану с поверхностным натяжением. С этой стороны возникает одна фундаментальная физическая проблема в связи с получением монослойного графена - вопрос о возможности существования устойчивых двумерных кристаллических структур при конечной температуре. Ландау и Пайерлс показали, что для двумерных кристаллических систем в гармоническом приближении амплитуда флукгуационных колебаний атомов расходится логарифмически в плоскости в длинноволновом пределе. Мермин и Вагнер доказали, что длинноволновые флуктуации разрушают дальний порядок в двумерной системе. Кроме того, длинноволновые флуктуации смещений атомов расходятся и в перпендикулярном направлении плоскости кристалла. Но все эти

суждения обоснованы для строго плоской структуры в гармоническом приближении. При образовании статических волн изгиба плоскости или учете ангармонической поправки происходит стабилизация состояния системы.

2. Основная цель диссертационной работы состоит в том, чтобы построить простую теоретическую модель, позволяющую адекватно описывать поведение электронов и фононов в графене с учетом особенностей симметрии его кристаллической структуры при разрушении дальнего порядка, т.е. при наличии дефектов и примеси или сильном элекгрон-фононном взаимодействии. В рамках этой модели проанализировать характерные свойства электронной и фононной подрешеток. ,

Для достижения поставленной цели в диссертационной, работе предстояло решить следующие задачи:

• построение функции Грина с решеточной особенностью, с помощью которой можно аналитически исследовать электронные состояния и их плотность в идеальном кристалле, а так же оптическое поглощение света в идеальном и неупорядоченном кристаллах;

• теоретическое исследование с помощью решёточной функции Грина влияния точечных дефектов и локальной примеси на плотность, резонансы и рассеяние электронных состояний;

• проанализировать поведение электронных состояний в модели блоховских осцилляций.при. однородном электрическом поле;

• предложить возможность динамического рождения щелей в электронном спектре при сильном элекгрон-фононном взаимодействии в модели Гросса - Неве в (2+1) -мерном пространстве;

• предложить так же возможность существования доменов инверсии зон благодаря электрон-фононному взаимодействию;

• построить модель дискретного бризера в двумерной решетке.

3. Методами исследования являются теория функций Грина в конденсированной среде, зонная теория полупроводников, метод континуального

интегрирования, теория систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и теория нелинейных волн.

4. Положения, выносимые на защиту:

1. Построена приближенная решеточная функция Грина для монослойного графена, учитывающая реальную кристаллическую структуру и особенности Ван Хова, с помощью которой можно аналитически описывать локализованные электронные состояния и оптическое поглощение. В частности, с ее помощью получены характеристические уравнения для связанных и резонансных электронных состояний, вычислен интервал энергий |е| < t = 2v¡.Ba (где t ~ 2, 8 эВ -1/6 ширины разрешенной зоны), в котором существуют острые резонансы в рассеянии электронов; вычислен оптический коэффициент поглощения графена в широком диапазоне частот фотонов, как в области применимости уравнения Дирака, так и за ее пределами, где сказывается влияние особенностей Ван Хова.

2. Найдены квазиклассические поправки к условиям квантования уровней Ваннье-Штарка, вызванные взаимодействием зон при eEa/t« 1.

3. Показана возможность флуктуационного рождения щели и доменов при достаточно сильном элекгрон-фононном взаимодействии. Найден порог образования щели по величине константы электрон-фононного взаимодействия: g > gcr ~ 0.8 эВ/см.

4. Показана возможность существования дискретного бризера в двумерной* решетке. Получена зависимость частоты нелинейных колебаний центрального узла от их амплитуды. Отмечено, что амплитуда колебания в относительно широком диапазоне частот достаточно медленно убывает, а вблизи порога сильно убывает до нуля за счет связанных состояний.

5. Достоверность и обоснованность проведенных расчетов и результатов обеспечена обоснованностью применяемых методов математической физики и теории полупроводников, сопоставлением полученных нами теоретических результатов в некоторых предельных областях с экспериментальными и теоретическими результатами, представленными . в работах других авторов, апробацией основных научных результатов на научных, научно-технических

конференциях, семинарах, симпозиумах различного уровня, публикацией в научных реферируемых журналах.'

6. Научная новизна работы:

• Впервые показана возможность флукгуационного рождения щели в электронном спектре и существования доменов инверсии зон благодаря сильному электрон-фононному взаимодействию. Найдена критическая константа электрон-фононного взаимодействия, при котором возникает щель.

• Сформулирована и проанализирована аналитически решаемая модель нелинейного дискретного бризера в двумерной решетке, получена зависимость частоты бризера от его амплитуды.

• Получен коэффициент оптического поглощения в графене в широком диапазоне частот.

7. Научное и практическое значение работы

Результаты диссертационной работы могут быть использованы для объяснения оптических и кинетических свойств монослойного графена. Предложенная диссертантом модельная решеточная функция Грина может быть использована другими авторами для осуществления количественных аналитических вычислений при дальнейшем изучении кинетики и оптики графена. Методы, развитые в диссертации, могут послужить основой для разработки лекционного курса по теории низкоразмерных бесщелевых полупроводников и соответствующих курсовых работ.

8. Личное участие автора в получении представленных результатов состоит в том, что все включенные в диссертацию материалы получены им лично или при его непосредственном участии.

9. Апробация работы.

Основные научные выводы и положения докладывались на следующих конференциях: llth International Conference on Atomically Controlled Surfaces, Interfaces and Nanostructures, St. Petersburg, October 3-7,2011; Научно - технические

конференции профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ, СПб, 2009, 2010, 2011, а также на семинарах в Физико-техническом институте им. А.Ф. Иоффе.

£9. Публикации:

Основные теоретические и практические результаты диссертации опубликованы в 4 научных статьях и докладах, из них по теме 4, среди которых 2 публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК, 1 в другом издании, доклад доложен и получил одобрение на 1 международной конференции. Список публикаций приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 126 наименований. Работа изложена на 108 страницах машинописного текста, содержит 28 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследования, отмечены научная новизна и практическая значимость основных полученных научных результатов, перечислены научные положения, выносимые на защиту.

Первая глава носит обзорный характер.

Приведен обзор современных научных публикаций по кристаллической структуре и электронному спектру в монослойном графене. Теоретическое исследование поведения электронов в двумерном гексагональном кристалле было начато в середине 20-го века, в одной из первых работах [1] была предложена модель приближения сильной связи для описания электронных состояний в монослойном графите. Характерной особенностью электронного спектра графена является линейная дисперсионная зависимость вблизи критических дираковских точек, движение электронов в данном случае может быть описано уравнением Дирака для безмассового фермиона [2].

; Приведены результаты работ [3,4], в которых было применено приближение линейной дисперсии электронов с помощью метода функции Грина в конденсированной среде для модели сильной связи в графене. Было отмечено, что данное решение является хорошим приближением в случае, если возмущение, вызванное дефектами или внешним полем, является плавным в масштабе периодичности решетки и слабым по сравнению с шириной разрешенной зоны. В противном случае, для некоторых интересующих нас величин, например плотности электронных состояний, выше упомянутая модель не дает правильный результат в пределе больших энергий (Е > ~ 2,8 эВ).

В обзоре также рассмотрено влияние точечных дефектов, находящихся на одной из подрешеток [3,5]. Дана общая оценка разрабатываемой в настоящее время модели для описания рассеяния электронных состояний.

приведены сведения об устойчивости при конечной температуре двумерной кристаллической структуры. В работах Пайерлса, Ландау, Мермина и Вагнера было обосновано утверждение о том, что двумерный кристалл с дальним порядком не может существовать из-за логарифмически расходящейся интенсивности термодинамических флуктуации. Было отмечено, что данное утверждение обоснорывается только при гармоническом приближении и для абсолютно плоского кристалла.

Глава заканчивается формулированием цели и задач исследования.

Вторая глава посвящена построению аналитически решаемой модели приближения сильной связи с помощь функции Грина, в которой учитывается сложная геометрическая симметрия графена. Чтобы учитывать трансляционную симметрию необходимо учесть важный факт, что в элементарной ячейке графена имеются два атома. .

В первом разделе рассматривается функция Грина для графена без дефектов в рамках приближения линейных комбинаций атомных орбиталей (ЛКАО). Функция Грина при этом является матричной [3]:

где:

1 + е-'*4" +е-'г-«

(2)

где г - 2у/т/3а - параметр масштаба ширины разрешенной зоны. ±|/{| является

собственной энергией электрона, и содержит сложную комбинацию тригонометрических функций. Данная функция аналитически вычисляется крайне сложно, нами были приняты две аппроксимации:

Первая - приближение простой тригонометрической дисперсии, функция заменяется на приближенное выражение:

В этом случае гексагональная решетка превращается в топологически эквивалентную.

Вторая аппроксимация решеточной функции Грина для гексагональной решетки с учетом взаимодействия ближайших соседей - метод быстрого преобразования Хоригучи, впервые полученный в работе [6]. Метод представляет собой преобразование гексагональной решетки в треугольную решетку. С помощью данного метода мы можем получить функцию Грина быстро в виде полного эллиптического интеграла. Следуя Хоригучи, функция Грина для гексагональной решетки может быть выражена через функцию Грина для треугольной решетки. В рисунке 1 изображены точная и приближенная дисперсии энергии электронов.

(3)

Рис. I Зависимости энергии электронов от волнового вектора, а) при точной формуле, б)в приближении простой тригонометрической дисперсии, в) в приближении быстрого преобразования Хоригучи, д) в линейной приближении вблизи точек Дирака

Таким образом, были вычислены диагональные элементы функции Грина:

где: К[£(е)] - полный эллиптический интеграл первого рода и имеет логарифмические особенности, порождающие ванхововские особенности плотности состояний в полюсах к(е) , и я(е) = 4/(Зе2 -4г2) , к(е) = [Зе2/4(2-1) для первого приближения, £(г) = 8[г-1][г + З]"* , к(е) = 4гм [г-1]3" [г + 3] для второго, соответственно. Также были получены недиагональные элементы в разных случаях. С помощью диагональных элементов функции Грина для чистого графена получена плотность электронных состояний. Действительная часть функции Грина в зоне, где |е| < I имеет отрицательный знак производной по энергии. В этом случае имеет место резонансное электронное состояние.

Рис.2 а) Плотность электронных состояний и действительная часть функции Грина от энергии для графена, б) ширина резонансных состояний

Во втором разделе второй главы была рассмотрена проблема электронных состояний при наличии дефектов. Рассматривается графен с дефектами с потенциалом, действующим на одну из подрешеток. Были найдены поперечное сечение и тангенс фазы рассеяния. Рассмотрена проблема дефекта с потенциалом в виде столбца, действующим на все диагональные элементы функции Грина. Для этого случая получено характеристическое уравнение. Было отмечено, что в случае, когда один из элементов потенциала дефекта равен нулю, получается квазиоднозонная ситуация, напоминающая ситуацию с уравнением Шрёдингера.

В третьем разделе было вычислен коэффициент оптического поглощения в широком диапазоне частот фотонов в чистом и неупорядоченном графене.

В третьей главе рассматривается квантование электронных состояний под действием внешнего однородного электрического поля. В идеальном кристалле внешнее электрическое поле Е приводит к локализации волновых функций электронов. При этом квазинепрерывные зоны распадаются на эквидистантные уровни (так называемая "лестница Ваннье-Штарка") [7]. Дистанция между уровнями Де = еЕа£, где а - расстояние между ближайшими атомами, е - заряд электрона, £ - геометрический фактор порядка единицы; его величина зависит от направления вектора электрического поля.

В графене уравнение для волновых функций - дираковских спиноров, описывающее воздействие внешнего электрического поля принимает вид:

■ 7 Л Е-1еЕ—

с1к

-и

-ч

■ г а

¿к.

Исключив один из элементов волновой функции, получим дифференциальное уравнение второго порядка для и:

(¡2и

Сделаем замену переменной:

'Не йи ГЫ2-2 16

[еЕ и Я) е2Е2 \

йи

« = 0.

и(к] = и>(£)ехр

-1

2/с 1 ^ еЕ Гц Лк

(6)

(7)

Здесь функция и периодическая, т.е. удовлетворяет граничным условиям, а функция и> нет. Уравнение становится уравнением без первой производной, и в силу малости еЕа/1 « 1 можно пренебречь слагаемыми, содержащими еЕ, получим уравнение Матье:

(8)

Если электрическое поле направлено по направлению одной из кристаллографических осей, чтобы по соответствующему волновому вектору зона была узкой (означает , что по этому направлению будет квантование электронных состояний), то проблема становится одномерной. Это означает что Функция у/ может быть записана через функцию Блоха {к) = ехр(гх&)ит т (к) . итх -периодическая по 2п/а в к пространстве, и (к) = (к).

В уравнении (8) наблюдается аномальный знак энергии и потенциала, следует решать, найдя собственные значения с отрицательным знаком. В случае еЕаЛ « 1,

амплитуда "потенциала" |/{|2 велика, уравнение (8) можно решать квазиклассически.

Связь между собственной энергией и координатой (в роли волнового вектора для обычного случая):

= (х/а), (9)

где Д,„ 0 1 /у[хехр(-8/ Я) и Х = еЕаП.

Условие квантования принимает вид: 4 .

х-~ = т. ' " (10)

еЕх

Четвертая глава посвящена проблеме флуктуационной устойчивости графена в модели Гросса-Неве.

В первом разделе четвертой главы рассматривается возможность динамического рождения щели в электронном спектре монослойного графена. Хотя бесщелевой электронный спектр графена считается надежно установленным [2], однако существует ряд работ, где рассмотрены случаи, когда может возникать небольшая щель. Нами была предложена альтернативная возможность: динамическое нарушение симметрии, сопровождающееся возникновением щели благодаря достаточно сильному электрон-фононному взаимодействию. Аналогичное явление хорошо изучено в теории сверхпроводимости, квантовой теории поля и теории бесщелевых полупроводников. Стоит заметить, что размерность системы играет решающую роль. Поскольку бесщелевой спектр электронов в графене связан с симметрией решетки, следовательно, для рождения щели необходимо нарушение симметрии. Здесь мы изучаем частный случай спонтанного нарушения симметрии, который не проявляет себя на уровне теории самосогласованного поля Ландау, а требует учета однопетлевых поправок теории возмущений.

Лагранжиан дираковских электронов, взаимодействующих с фононами, имеет

вид:

2 2

L = lLll{inVtVJp8»Y°-mV°y*dWa-grPV*4/a) + P0}lVl 12> (12)

/,=1 0=1

где 7, = iffy , у у = -iax , у о = tjz —матрицы Паули, у/ — 2-спинор (аналогичен 2-вектору, но в спинорном пространстве), уа = —сопряженный по Дираку спинор, т. е. эрмитово-сопряженный и умноженный на гамма-матрицу, р —

двумерная массовая плотность решетки, ср — скалярное поле, представляющее оптический фонон со спектром <о(кх, ку)= соа, g — константа электрон-фононного взаимодействия, v/r— скорость электронов вблизи вершины конуса, ди = d/cbc,,, д0 = 5/5/. Принимаем стандартную процедуру метода самосогласованного поля при

условии стационарности действия, и просуммируем по мацубаровским частотам, в результате получаем уравнение самосогласования для щели:

М.г г

= Т 1п

ей

2Т

-Лп

км

(13)

<2р1)"2/д

0.2 0.1751

0.13 0.12Б" 1 0.015

V \ «0.010

0Л75'

0.№5

Рис. 3. а) Графическое решение уравнения самосогласования. По оси абсцисс отложена безразмерная масса (щель) т, по оси ординат — обратная безразмерная константа связи б) граница щелевого и бесщелевого состояний на плоскости обратная безразмерная константа связи и температура Т.

Для графена (в 2+1 мерном случае) было получено пороговое значение безразмерной константы взаимодействия. Щель возникает при ¿>§с=(2я-)2/Л <£ > » 0.8 эВ/см). Щель соответственно пропорциональна отклонению константы взаимодействия от критической: тосд(#-£с) . Приравняв в уравнении (13) величину щели нулю, мы получаем зависимость порогового значения безразмерной константы взаимодействия от температуры (рис. 36). Таким образом, мы показали, что при определенных условиях достаточно сильное элекгрон-фононное взаимодействие может привести к динамическому рождению щели в электронном спектре моноатомного графена. Присутствие щели является необходимым условием для работы большинства электронных приборов, поэтому понимание природы щели важно для возможных приложений.

Во втором разделе рассматривается возможность возникновения доменов. Согласно квантовой теории поля получен производящий функционал. Принимая стандартную процедуру по эффективному

действию = £/(ф)+ — (Уф)2 +...

разложенному по градиенту

классического поля, получаем уравнение для неоднородных электронных состояний:

Дф+аф + рф3 = 0 (14)

Уравнение (14) имеет два однородных состояния, связанные солитонным решением. Отрицательный знак массы означает инверсию зон. В нашем случае в отличии от доменов в ферромагнетике и сегнетоэлектрике, устойчивость доменов определяется минимизацией Гауссовой кривизны изгиба плоскости.

В пятой главе рассмотрена проблема дискретного нелинейного бризера в двухмерной решетке. Понятие бризера введено при столкновении солитона с антисолитоном. Когда солитон и антисолитон имели точно совпадающие параметры, они при столкновении образуют локализованную квазичастицу, которая обладает временной периодичностью, пространственной локализованностью и достаточно продолжительным временем жизни. Конечно, чтобы получить бризерные решения, уравнение должно удовлетворять очень строгим условиям, в первую очередь условию интегрируемости. Для непрерывного нелинейного уравнения решение чувствительно зависит от формы уравнения, малейшее изменение формы нарушает точную интегрируемость, а вместе с ней пропадают и бризеры. Нелинейные дискретные бризеры (НДБ) [8] являются новыми объектами, привлекающими к себе большое внимание исследователей, поскольку дискретность в большой степени снимает зависимость бризерного решения от начальных условий и формы уравнения движения. Привлекает их удивительная стабильность, особенно принимая во внимание тот факт, что соответствующие системы не являются вполне интегрируемыми.

Рассматривается двумерная квадратная решетка. Уравнение движения для бризера фононов имеет вид:

= 0, (15)

где 1/(и ) = -нелинейныйпотенциал.

I 4 о

Потенциальная функция должна удовлетворять двум условиям: во-первых, она должна обеспечивать существование нетривиалных решений и, следовательно система должна иметь не менее двух точек равновесия с1Щи)/с1и=0; во-вторых, должна быть обеспечена по крайней мере локальная устойчивость относительно малых, но конечных возмущений везде вдали от бризера

Нами была предложена модель приближения с одноузельной нелинейностью аи\ = «у* Д о. Во многих работах по существованию и стабильности бризера, обнаружено, что амплитуда бризера локализована в довольно узкой окрестности некоторого узла решетки, В силу симметрии и в приближении вращающейся волны получаем уравнения самосогласования для амплитуды:

Отмечено, что амплитуда колебания в относительном широком диапазоне частот достаточно медленно убывает, а вблизи порога сильно убывает до нуля за счет связанных состояний.

В заключении сформулированы основные научные результаты и выводы, полученные автором в ходе решений поставленных задач.

1. Построена модельная функция Грина, аналитически описывающая главные особенности электронных состояний монослойного графена, учитывающая симметрию кристаллической решетки и ванхововские особенности.

2. С помощью модельной электронной функции Грина, учитывающей дискретность кристаллической решетки, вычислены плотность состояний и коэффициент оптического поглощения для чистого и неупорядоченного монослойного графена.

(16)

Получена зависимость амплитуды центрального узла от частоты:

п (а + АЬ-о2)

Ы00,1 = г Т •

(17)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

3. Получено характеристическое уравнение для связанных и резонансных электронных состояний при наличии точечного дефекта. Проанализирован случай, когда отличен от нуля матричный элемент потенциала дефекта на одной из подрешеток графена. При выводе характеристического уравнения использована полученная нами модельная электронная функция Грина.

4. Получена система уравнений, определяющая квантование электронного спектра в присутствии однородного электрического поля (блоховские осцилляции). Установлено нарушение эквидистантности уровней Ваннье-Штарка, благодаря кр взаимодействию зон.

5. Показана возможность флуктуационного рождения щели в электронном спектре, благодаря сильному электрон-фононному взаимодействию.

6. Проанализирована возможность существования доменов инверсии зон благодаря электрон-фононному взаимодействию.

7. Построена и проанализирована модель дискретного бризера в двумерной решетке в приближении одноузельной нелинейности.

Публикации в изданиях, рекомендованных в перечне ВАК:

1. С.А. Ктиторов, A.M. Прудан, Сяосин Чэнь, Неравновесные состояния ангармонических фононов // Физика твердого тела - 2009 - Т. 51 - Вып. 8 - С. 15041508

2. С.А. Ктиторов, Сяосин Чэнь, Динамическое рождение щели в монослойном графене // Письма в журнал технической физики - 2010 - Т. 36 - Вып. 9 - С. 90-94

Другие статьи и материалы конференции:

1. Ktitorov S.A., Chen Xiaoxing. Dynamical creation of gap in the monolayer graphene // arXiv:0910.3319vl [cond-mat.mes-hall] 17 Oct 2009

2. Ktitorov S.A., Chen Xiaoxing. Electronic states of the monolayer graphene in the tight-binding approximation / Электронные состояния в монослойном графене в приближении сильной связи [Текст] // 11th International Conference on Atomically Controlled Surfaces, Interfaces and Nanostructures: Book of abstracts - P. 171 October 3-7-2011 - St. Petersburg

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

[1]. Wallace P.R. The Band Theory of Graphite // Phys. Rev. - 1947 - V. 71 - N. 9 - P. 622.

[2]. Castro Neto A.H., Guinea F., Peres N.M.R., Novoselov K.S., and Geim A.K. The electronic properties of graphene // Rev. Mod. Phys. - 2009 - N. 81 - P. 109

[3]. Basko D.M. Resonant low-energy electron scattering on short-range impurities in graphene // arXiv:0806.2785v4 [cond-mat.mtrl-sci] 26 Sep 2008

[4]. Фальковский Л.А. Оптические свойства графена и полупроводников А»Вб // Успехи физических наук - 2008 - Т. 175 - № 9 - С. 923-934

[5]. Feher А., Господарев И.А., Гришаев В.И., Кравченко К.В., Манжелий Е.В., Сыркин Е.С., Феодосьев С.Б. Влияние дефектов на квазичастичные спектры графита и графена // Физика низких температур - 2009 - Т. 35 - № 8/9 - С. 862-871

[6]. Horiguchi Т. Lattice Green's functions for the triangular and honeycomb lattices // J. of Math. Phys. - 1972 - V. 13 -N. 9 - P. 1411-1419

[7]. Wannier G. Wave Functions and Effective Hamiltonian for Bloch Electrons in an Electric Field // Phys. Rev. - 1960 - V. 117 - P. 432-439

[8]. Flach S., Willis C.R. Discrete Breathers // Phys. Rep. - 1998 - V. 295 - P. 181

Подписано в печать 15.11.2011. Формат 60x84/1 б Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис». Печать ризографическая. Заказ № 3/1115. П. л. 1.0. Уч.-изд. л. 1.0. Тираж 110 экз.

ЗАО «КопиСервис» Адрес: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 3. тел.: (812) 327 5098

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Чэнь Сяосин

Введение.

Глава 1. Кристаллическая структура и электронный спектр монослойного графена.

1.1. Кристаллическая структура и симметрия графена.

1.2. Модель сильной связи и зонная структура.

1.3. Точечные дефекты в графене.

Глава 2. Локализованные электронные состояния и оптическое поглощение в монослойном графене в приближении ЛКАО.

2.1. Функция Грина и плотность электронных состояний.

2.2. Влияние точечных дефектов на электронные состояния графена

2.3. Оптическое поглощение в графене.

Глава 3. Квантование и локализация электронных состояний в графене во внешнем однородном электрическом поле.

Глава 4. Спонтанное нарушение симметрии в монослойном графене.

4.1. Динамическое рождение щели в электронном спектре.

4.2. Динамическое образование доменов электронного спектра.

Глава 5. Дискретный бризер в двухмерной кристаллической решетке.

5.1. Введение в дискретный бризер в приближении вращающейся волны, антиинтегрируемость Обри.

5.2. Дискретный бризер с одноузельной нелинейностью.

Введение диссертация по физике, на тему "Локализованные состояния и флуктуации в графене"

Актуальность темы:

5 2 11 подвижность носителей заряда (-2-10 см В" с" ), что важно для повышения быстродействия электронных приборов. Одной из интересных особенностей электронного спектра графена является закон дисперсии, имеющий вид двуполостного конуса вблизи критических точек [29] в зоне Бриллюэна, характерный для бесщелевых полупроводников первого рода. Это позволяет описывать соответствующие электронные состояния с помощью двухзонного уравнения, математически эквивалентного уравнению Дирака для двухкомпонентного спинора. Однако, некоторые особенности электронных состояний графена не могут быть описаны уравнением Дирака и требуют явного учета кристаллической структуры объекта.

Другой важной особенностью графена является двухмерность кристаллической структуры, так что монослойный или бислойный лист графена можно рассматривать как мембрану с поверхностным натяжением. С этой стороны возникает одна фундаментальная физическая проблема в связи с получением монослойного графена - вопрос о возможности существования устойчивых двумерных кристаллических структур при конечной температуре. Ландау и Пайерлс [5-7] показали, что для двумерных кристаллических систем в гармоническом приближении амплитуда флуктуационных колебаний атомов расходится логарифмически в длинноволновом пределе. Мермин и Вагнер [8,9] доказали, что длинноволновые флуктуации разрушают дальний порядок в двумерной системе. Кроме того, длинноволновые флуктуации смещений атомов расходятся и в перпендикулярном направлении плоскости кристалла. Но все эти суждения обоснованы для строго плоской структуры в гармоническом приближении. При образовании статических волн изгиба плоскости или учете ангармонической поправки происходит стабилизация состояния системы.

Основная цель диссертационной работы состоит в том, чтобы построить простую теоретическую модель, позволяющую адекватно описывать поведение электронов и фононов в графене с учетом особенностей симметрии его кристаллической структуры при разрушении дальнего порядка, т.е. при наличии дефектов и примеси или сильном электрон-фононном взаимодействии. В рамках этой модели проанализировать характерные свойства электронной и фононной подсистем.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе предстояло решить следующие задачи:

• теоретическое исследование с помощью решеточной функции Грина влияния точечных дефектов и локальной примеси на плотность, резонансы и рассеяние электронных состояний;

• проанализировать поведение электронных состояний в модели блоховских осцилляций при однородном электрическом поле;

• предложить возможность динамического рождения щелей в электронном спектре при сильном электрон-фононном взаимодействии в модели Гросса-Неве в (2+1) - мерном пространстве;

• построить модель дискретного бризера в двумерной решетке.

Методами исследования являются теория функций Грина в конденсированной среде, зонная теория полупроводников, метод континуального интегрирования, теория систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и теория нелинейных волн.

Положения, выносимые на защиту:

1. Построена приближенная решеточная функция Грина для монослойного графена, учитывающая реальную кристаллическую структуру и особенности Ван Хова, с помощью которой можно аналитически описывать локализованные электронные состояния и оптическое поглощение. В частности, с ее помощью получены характеристические уравнения для связанных и резонансных электронных состояний, вычислен интервал энергий |е| < Г = 2у/г/3а (где ? ~ 2, 8 эВ — 1/6 максимальной ширины разрешенной зоны), в котором существуют острые резонансы в рассеянии электронов; вычислен оптический коэффициент поглощения графена в широком диапазоне частот фотонов, как в области применимости уравнения Дирака, так и за ее пределами, где сказывается влияние особенностей Ван Хова.

2. Найдены квазиклассические поправки к условиям квантования уровней Ваннье-Штарка, вызванные взаимодействием зон при еЕа/1 « 1.

3. Показана возможность флуктуационного рождения щели и доменов при достаточно сильном электрон-фононном взаимодействии. Найден порог образования щели по величине константы электрон-фононного взаимодействия: g> gcr~ 0,8 эВ/см.

4. Показана возможность существования дискретного бризера в двумерной решетке. Получена зависимость частоты нелинейных колебаний центрального узла от их амплитуды. Отмечено, что амплитуда колебания в относительно широком диапазоне частот достаточно медленно убывает, а вблизи порога быстро убывает до нуля.

Достоверность и обоснованность проведенных расчетов и результатов обеспечена обоснованностью применяемых методов математической физики и теории полупроводников, сопоставлением полученных нами теоретических результатов в некоторых предельных областях с экспериментальными и теоретическими результатами, представленными в работах других авторов, апробацией основных научных результатов на научных, научно-технических конференциях, семинарах, симпозиумах различного уровня, публикацией в научных реферируемых журналах.

Научная новизна работы;

• Впервые показана возможность флуктуационного рождения щели в электронном спектре и существования доменов инверсии зон благодаря сильному электрон-фононному взаимодействию. Найдена критическая величина константы электрон-фононного взаимодействия, при которой возникает щель.

• Получен коэффициент оптического поглощения в графене в широком диапазоне частот.

Научное и практическое значение работы

Личное участие автора в получении представленных результатов состоит в том, что все включенные в диссертацию материалы получены им лично или при его непосредственном участии.

Апробация работы.

Основные научные выводы и положения докладывались на следующих конференциях: 11th International Conference on Atomically Controlled Surfaces, Interfaces and Nanostructures, St. Petersburg, October 3-7, 2011; Научно -технические конференции профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ, СПб, 2009, 2010, 2011, а также на семинарах в Физико-техническом институте им. А.Ф. Иоффе.

Публикации:

Структура и объем диссертации

Заключение диссертации по теме "Физика полупроводников"

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Чэнь Сяосин, Санкт-Петербург

1. Novoselov К.S., Geim А.К., Morozov S.V., Jaing D., Zhang Y., Dubonos S.V., Grigorieva I.V., Firsov A.A. Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films // Science. 2004. V. 306. P. 666.

2. Novoselov K.S., Jiang D., Schedin F., Booth T.J., Khotkevich V.V., Morozov S.V., Geim A.K. Two-dimensional atomic crystals // Proceedings of the National Academy of Sciences. 2005. V. 102. No. 30. P. 10451.

3. Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V., Jaing D., Katsnelson M.I., Grigorieva I.V., Dubonos S.V., Firsov A.A. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene //Nature. 2005. V. 438. P. 197.

4. Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphene // Nature Materials. 2007. V. 6 P. 183.

5. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов. I. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1937. Т. 7. С. 19.

6. Peierls R.E. Remarks on transition temperatures // Helvetica Physica Acta. 1934. V. 7. P. 81.

7. Peierls R.E. Quelques propriétés typiques des corpses solides // Annales de l'Institut Henri Poincaré. 1935. V. 5. P. 177.

8. Mermin N.D., Wagner H. Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models // Physical Review Letters. 1966. V. 17. P. 1133.

9. Mermin N.D. Crystalline Order in Two Dimensions // Physical Review. 1968. V. 176. P. 250.

10. Kroto H.W., Heath J.R., O'Brien S.C., Curl R.F., Smalley R.E. C60: Buckminsterfullerene //Nature. 1985. V. 318. P. 162.

11. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. 1991. V. 354. P. 56.

12. Елецкий A.B., Искандарова И.М., Книжник A.A., Красиков Д.Н. Графен: методы получения и теплофизические свойства // Успехи физических наук.2011. T. 181. №3. C. 233.

13. Li Q., Li Y.W. Comparative study of plane triangle lattice and hexagonal lattice // Journal of Yanbei Teacher's college. 2001. V. 17. N. 3. P. 32.

14. Pogorelov Y.G. Anomalous impurity resonance in graphene // arXivxond-mat/0603327 2006.

15. Cheianov V., Fal'ko V.l., Altshuler B.L. The Focusing of Electron Flow and a Veselago Lens in Graphenep-n Junctions. // Science. 2007. V. 315. P. 1252.

16. Cheianov V.V., Fal'ko V.l. Friedel Oscillations, Impurity Scattering, and Temperature Dependence of Resistivity in Graphene // Physical Review Letters. 2006. V. 97. 226801.

17. Bena C., Kivelson S. Quasiparticle scattering and local density of states in graphite // Physical Review B. 2005. V. 72. 125432.

18. Bena C. Effect of a Single Localized Impurity on the Local Density of States in Monolayer and Bilayer Graphene // Physical Review Letters. 2008. V. 100. 076601.

19. Wehling T.O., Balatsky A.V., Katsnelson M.I., Lichtenstein A.I., Scharnberg K., and Wiesendanger R. Local electronic signatures of impurity states in grapheme // Physical Review B. 2007. V. 75. 125425.

20. Dahal H.P., Balatsky A.V., Zhu J.X. Tuning impurity states in bilayer graphene // Physical Review B. 2008. V.77. N.l 1. 115114.

21. Peres N.M.R., Klironomos F.D., Tsai S.W., Santos J.R., Lopes dos Santos J.M.B., Castro Neto A.H. Electron waves in chemically substituted graphene // Europhysics Letters. 2007. V. 80. 67007.

22. Peres N.M.R., Guinea F., Castro Neto A .H. Electronic properties of disordered two-dimensional carbon // Physical Review B. 2006 V. 73. 125411

23. Vozmediano M.A.H., Lopez-Sancho M.P., Stauber T., Guinea F. Local defects and ferromagnetism in graphene layers // Physical Review B. 2005. V. 72. 155121.

24. Ando T. Screening Effect and Impurity Scattering in Monolayer Graphene // Journal of the Physical Society of Japan. 2006. V. 75. 074716.

25. Mariani E., Glazman L.I., Kamenev A., Oppen F. Zero-bias anomaly in thetunneling density of states of grapheme // Physical Review B. 2007. V. 76. 165402.

26. Katsnelson M.I., Geim A.K. Electron scattering on microscopic corrugations in graphene // Philosophical Transactions of the Royal Society A. 2008. V. 366. N. 1863. P. 195.

27. Skrypnyk Y.V., Loktev V. Impurity effects in a two-dimensional system with the Dirac spectrum // Physical Review B. 2006. V. 73. 241402.

28. Skrypnyk Y.V., Loktev V. Local spectrum rearrangement in impure grapheme // Physical Review B. 2007. V. 75. 245401.

29. Wallace PR., The Band Theory of Graphite. // Physical Review. 1947. V. 77. P. 622.

30. Bena C., Montambaux G. Remarks on the tight-binding model of grapheme // New Journal of Physics. 2009. V. 11. 095003.

31. Semenoff G.W., Semenoff V., Zhou F. Domain walls in gapped grapheme // Physical Review Letters 2008. V. 101. 087204.

32. Ando T., Nakanishi T., Saito R. Berry's Phase and Absence of Back Scattering in Carbon Nanotubes // Journal of the Physical Society of Japan. 1998. V. 67. P. 2857.

33. Basko D.M. Resonant low-energy electron scattering on short-range impurities in graphene // Physical Review B. 2008. V. 78. 115432.

34. Firsova N.E., Ktitorov S.A., Pogorelov P.A. Bound and resonance electron states in the monolayer graphene with the short-range impurities // arXiv:0905.3618. 2009

35. Ktitorov S.A., Kuzmin Yu.I., Firsova N.E. Electron states in single-layer graphene containing short-range defects: The potential separable in the momentum representation // Semiconductors. 2011. V. 45. N. 9. P. 1199.

36. Firsova N.E., Ktitorov S.A. Electrons scattering in the monolayer graphene with the short-range impurities // Physics Letters A. 2010. V. 374. N. 10. P. 1270.

37. Firsova N.E., Ktitorov S.A., Pogorelov P.A. Bound electron states in the monolayer gapped graphene with the short-range impurities // Physics Letters A. 2009. V. 373. N. 5. P. 525.

38. Semenoff G., Condensed-Matter Simulation of a Three-Dimensional Anomaly // Physical Review Letters. 1984. V. 53. P. 2449.

39. Dresselhaus M.S., Dresselhaus G. Intercalation Compounds of Graphite // Advances in Physics. 2002. V. 51. N. 1. P. 1.

40. Castro Neto A.H., Guinea F., Peres N.M.R., Novoselov K.S., Geim A.K. The electronic properties of graphene // Reviews of Modern Physics. 2009. V. 81. N. 1. P. 109.

41. Sitenko Yu.A., Vlasii N.D. Electronic properties of graphene with a topological defect // Nuclear Physics B. 2007. V. 787. P. 241.

42. Давыдов С.Ю., Сабирова Г.И. Модель адсорбции на графене // Физика Твердого Тела, 2011. Т. 53. №. з. с. 608.

43. Sherafati М., Satpathy S. RKKY interaction in graphene from the lattice Green's function // Physical Review B. 2011. V. 83. 165425.

44. Sakaji A.J., Asad J.H., Hijjawi R.S., Khalifeh J.M. Applications of the lattice Green's Functions for Triangular Lattice // Electronic Journal of Theoretical Physics. 2004. V. 3. P. 8.

45. Horiguchi T. Lattice Green's Functions for the Triangular and Honeycomb Lattices // Journal of Mathematical Physics. 1972. V. 13. N. 9. P. 1411.

46. Katsura S., Horiguchi T. Lattice Green's Function for the Body Centered Cubic Lattice // Journal of Mathematical Physics. 1971. V. 12. P. 230.

47. Katsura S., Morita Т., Inawashiro S., Horiguchi Т., Abe Y. Lattice Green's Function. Introduction // Journal of Mathematical Physics. 1971 V. 12. P. 892.

48. Katsura S., Inawashiro S., Abe Y. Lattice Green's Function for the Simple Cubic Lattice in Terms of a Mellin Barnes Type Integral // Journal of Mathematical Physics. 1971 V. 12. P. 895.

49. Morita T., Horiguchi T. Lattice Green's Functions for the Cubic Lattices in Terms of the Complete Elliptic Integral // Journal of Mathematical Physics. 1971. V. 12. P. 981.

50. Morita T., Horiguchi T. Calculation of the Lattice Green's Function for the bcc, fee, and Rectangular Lattices // Journal of Mathematical Physics. 1971. V. 12. P. 986.

51. Horiguchi T., Chen C.C. Lattice Green's function for the diced lattice // Journal of Mathematical Physics. 1974. V. 15. P. 659.

52. McKinnon B.A., Choy T.C. A Tight Binding Model for the Density of States of Graphite-like Structures, Calculated using Green's Functions // Australian Journal of Physics. 1993. V. 46. P. 601.

53. Slonczewski J. C., Weiss, PR. Band structure of graphite // Physical Review. 1958. V. 109. P. 272.

54. McClure J.W. Band Structure of Graphite and de Haas-van Alphen Effect // Physical Review. 1957. V. 108. P. 612.

55. Moritz B., Schwalm W. Triangle lattice Green functions for vector fields // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2001. V. 34. P. 589.

56. Cserti J. Application of the lattice Green's function for calculating the resistance of infinite networks of resistors // American Journal of Physics. 2000. V. 68. N. 10. P. 896.

57. Guttmann A.J. Lattice Green's functions in all dimensions // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2010. V. 43. 305205.

58. Choy T.C. Density of states for a two-dimensional Penrose lattice: Evidence of a strong Van-Hove singularity // Physical Review Letters. 1985. V. 55. P. 2915

59. Painter, G.S., Ellis, D.E. Electronic Band Structure and Optical Properties of Graphite from a Variational Approach // Physical Review B 1970. V. 1. P. 4747.

60. Charlier J.C., Michenaud J.P., Gonze X., Vigneron J.P. Tight-binding model for the electronic properties of simple hexagonal graphite // Physical Review B. 1991. V. 44. 13237.

61. Hijjawi R.S., Asad J.H., Sakaji A., Khalifeh J.M. Lattice Green's Function forthe Face Centered Cubic Lattice // International Journal of Theoretical Physics. 2004. V. 43. N. 11. P. 2299.

62. Giovannetti G., Khomyakov P.A., Brocks G., Kelly P.J., van den Brink J. Substrate-induced band gap in graphene on hexagonal boron nitride: Ab initio density functional calculations // Physical Review B. 2007. V. 76. 073103.

63. Zhou S.Y., Gweon G.H., Fedorov A.V., First P.N., de Heer W.A., Lee D.H., Guinea F., Castro Neto A.H., Lanzara A. Substrate-induced bandgap opening in epitaxial graphene // Nature Materials. 2007. V. 6. P. 770.

64. Watson, G.N. Three Triple Integrals // Quarterly Journal of Mathematics. Oxford 1939. Ser. 2. V. 10. P. 266.

65. Sievers A. J., Takeno S. Intrinsic localized modes in anharmonic crystals // Physical Review Letters. 1988. V. 61. P. 907.

66. Flach S., Gorbach A. Discrete breathers advances in theory and applications // Physics Reports. 2008. V. 467. P. 1.

67. Flach S., Willis C.R. Discrete breathers // Dedicated to Peter Fulde on the occasion of his 60th birthday / Physics Reports. 1998. V. 295. P. 181.

68. Flach S. Tangent bifurcation of band edge plane waves, dynamical symmetry breaking and vibrational localization // Physica D. 1996. V. 91. P. 223.

69. Campbell D.K., Flach S., Kivshar Yu.S. Localizing energy through nonlinearity and discreteness // Physics Today. 2004. V. 57. P. 43.

70. Flach S., Kladko K., MacKay R.S. Energy Thresholds for Discrete Breathers in One-, Two-, and Three-Dimensional Lattices // Physical Review Letters. 1997. V. 78. P. 1207.

71. Ivanchenko M. V., Kanakov O. I., Mishagin K.G., Flach S. q-breathers in finite two- and three-dimensional nonlinear acoustic lattices // Physical Review Letters. 2006. V. 97. 025505.

72. Sandusky K.W., Page J.B. Interrelation between the stability of extended normal modes and the existence of intrinsic localized modes in nonlinear lattices .with realistic potentials // Physical Review B. 1994. V. 50. P. 866.

73. MacKay R.S., Aubry S. Proof of existence of breathers for time reversible orhamiltonian networks of weakly coupled oscillators // Nonlinearity. 1994. V. 7. P. 1623.

74. Овчинников A.A. Локализованные долгоживущие колебательные состояния в молекулярных кристаллах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1969. Т. 57. №1. С. 263.

75. Косевич A.M., Ковалев А.С. Самолокализация колебаний в одномерной ангармонической цепочке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1974. Т. 67. С. 1793.

76. Swanson В. I., Brozik J.A., Love S. P., Strouse G.F., Shreve A.P., Bishop A.R., Wang W.Z., Salkola M.I. Observation of intrinsically localized modes in a discrete low dimensional material // Physical Review Letters. 1999. V. 82. P. 3288,

77. Schwarz U. Т., English L.Q., Sievers A. J. Experimental generation and observation of intrinsic localized spin wave modes in an antiferromagnet // Physical Review Letters. 1999. V. 83. P. 223.

78. Sato M., Sievers A. J. Direct observation of the discrete character of intrinsic localized modes in an antiferromagnet // Nature. 2004. V. 432. P. 486.

79. Wrubel J. P., Sato M., Sievers A. J. Controlled switching of intrinsic localized modes in a one-dimensional antiferromagnet // Physical Review Letters. 2005. V. 95. 264101.

80. Binder P. Abraimov D., Ustinov A. V., Flach S., Zolotaryuk Y. Observation of breathers in Josephson ladders // Physical Review Letters. 2000. V. 84. P. 745.

81. Marin J. L., Aubry S. Breathers in nonlinear lattices: numerical calculation from the anticontinuous limit // Nonlinearity. 1996. V. 9. P. 1501.

82. Aubry S., Kopidakis G., Kadelburg V. Variational proof for hard discrete breathers in some classes of Hamiltonian dynamical systems // Discrete and Continuous Dynamical Systems B. 2001. V. 1. P. 271.

83. Flach S. Existence of localized excitations in nonlinear Hamiltonian lattices // Physical Review E. 1995. V.51. P. 1503.

84. Kevrekidis P.G, Rasmussen K.0., Bishop A.R. Two-dimensional discrete breathers: Construction, stability, and bifurcations // Physical Review E. 2000. V.61. P. 2006-2009.

85. Flach S. Conditions on the existence of localized excitations in nonlinear discrete systems // Physical Review E. 1994. V. 50. P. 3134.

86. Kastner M. Dimension dependent energy thresholds for discrete breathers // Energy. 2004. V. 17. N. 5. P. 1.

87. Su W.P., Schrieffer J.R., Heeger A.J. Solitons in Polyacetylene // Physical Review Letters. 1979. V. 42. P. 1698.

88. Lherbier A., Blase X., Niquet Y.M., Triozon F., Roche S. Charge Transport in Chemically Doped 2D Graphene // Physical Review Letters. 2008. V. 101. 036808.

89. Saito R., Dresselhaus G., Dresselhaus M.S. Physical properties of carbon nanotubes. / London: Imperial College Press. 1998

90. Adamyan V., Zavalniuk V. Phonons in graphene with point defects // Journal of Physics: Condensed Matter. 2011. V. 23. 015402.

91. Feher А., Господарев H.A., Гришаев В.И., Кравченко K.B., Манжелий Е.В., Сыркин Е.С., Феодосьев С.Б. Влияние дефектов на квазичастичные спектры графита и графена // Физика низких температур. 2009. Т. 35. № 8/9 С. 862.

92. Basko D.M. Theory of resonant multiphonon Raman scattering in graphene // Physical Review B. 2008. V. 78. 125418.

93. Falkovsky L.A. Symmetry constraints on phonon dispersion in graphene // Physics Letters A. 2008. V. 372. N. 31. P. 5189.

94. Sui Y., Low Т., Lundstrom M., Appenzeller J. Charge Transport in Chemically Doped 2D Graphene // arXiv: 1102.3654. 2011.

95. Hu XX., Zhang ZH., Liu XH., Qiu M., Ding КН., Tight binding studies on the electronic structure of graphene nanoribbons // Acta Physica Sinica. 2009. V. 58. N. 10. P. 7156.

96. Ктиторов C.A., Петров Ю.В., Шалаев Б.Н. Динамическое разрушение бесщелевого состояния // Физика Твердого Тела. 1987. Т. 29. С. 3357.

97. D. Gross , A. Neveu, Phys. Rev. D, 10, 3235 (1974).

98. Бонч-Бруевич В.Л., Звягин И.П., Кайпер Р., Миронов А.Г., Эндерлайн Р., Эссер Б. Электронная теория неупорядоченных полупроводников. / М.: Наука.1981. 387 с.

99. Тауц Я. Оптические свойства полупроводников / М.: Мир, 1967, 74 с.

100. Тауц Я. Оптические свойства полупроводников в видимой и ультрафиолетовой областях спектра // Успехи физических наук. 1968, Т. 94. №. 3. С. 501.

101. Falkovsky L.A. Optical properties of grapheme // Journal of Physics: Conference Series. 2008. V. 129. 012004.

102. Фальковский JI.A. Оптические свойства графена и полупроводников типа А4В6 // Успехи физических наук. 2008. Т. 178. № 9. С. 923.

103. Falkovsky L.A., Varlamov A.A. Space-time dispersion of graphene conductivity // The European Physical Journal B. 2007. V. 56. N. 4. P. 281.

104. Ктиторов C.A., Симин Г.С., Синдаловский В.Я. Влияние брэгговских отражений на высокочастотную проводимость электронной плазмы полупроводников//Физика Твердого Тела. 1976. Т. 18. С. 1140.

105. Wannier G. Wave Functions and Effective Hamiltonian for Bloch Electrons in an Electric Field // Physical Review. 1960. V. 117. P. 432.

106. Bryksin V.V., Firsov Yu.A., Ktitorov S.A. Electrophonon resonance in narrow band semiconductors // Solid State Commun. 1981. V. 39. P. 385

107. Ктиторов С.А., Петров Ю.В. Спонтанное разрушение бесщелевого состояния 1 рода вблизи точки инверсии //Физика Твердого Тела. 1986 Т. 28. С. 394.

108. Казаринов Р.Ф., Сурис Р.А. О возможности усиления электромагнитных волн в полупроводнике со сверхрешетками // Физика и техника полупроводников. 1971. Т. 5. С. 797.

109. O.V. Gamayun, E.V. Gorbar, and V.P. Gusynin Gap generation and semimetal-insulator phase transition in grapheme // Physical Review B. 2010. V. 81. 075429.

110. Gorbara E.V., Gusynina V.P, Miransky V.A. Energy gaps at neutrality point in bilayer graphene in a magnetic field // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2010. Т. 91. №. 6. С. 334.

111. Градштейн И.С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / 4-е изд. М.: Наука. 1963. 1100 с.

112. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 832 с.

113. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. / М.: Наука, 1969.

114. Прудников А.П.,Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды элемнтарные функции / М.: Наука. 1981. 801 с.

115. Прудников А.П.,Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды специальные функции / М.: Наука. 1983. 753 с.

116. Шриффер Дж. Теория сверхпроводимости / М: Наука. 1970.

117. Ashcroft N.W., Mermin N.D. Solid State Physic / Philadelphia, PA: Saunders College. 1976. 826 p.

118. Канаков О.И., Флах С. Динамическая локализация энергии в решеточных системах: основы теории и приложения: Учебное пособие. / Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет. 2011. 85 с.

119. Energy localisation and transfer // Advanced Series in Nonlinear Dynamics. V. 22. / Ed. by Dauxois T., et al, World Scientific. 2004. 409 p.

120. Давыдов A.C. Теория твердого тела / M.: Наука. 1976. 639 с.

121. Zinn-Justen J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena / Oxford: Clarendon Press. 1996.

122. Абрикосов A.A., Горьков Л.П., Дзялошинскай И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. / М.: Физматгиз. 1962. 444 с.

123. Попов В.Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. / М.: Атомиздат. 1976. 256 с.

124. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. / Издание четвертое, исправленное при уч. Питаевского Л.П. М.: Наука. 1989. 767 с.

125. Косевич A.M., Ковалев A.C. Введение в нелинейную физическую механику. / Киев: Наук. Думка. 1989. 304 с.