Магнитные свойства 2D фрустрированных антиферромагнетиков в ВТСП купратах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

003490943

Козлов Николай Александрович

Магнитные свойства 2Б фрустрированных антиферромагнетиков в ВТСП купратах

01.04.07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Троицк - 2010

003490943

Работа выполнена и Учреждении Российской академии наук Институте физики высоких давлений им. Л.Ф. Верещагина РАН

НаучныИ руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Барабанов Александр Федорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН, профессор Максимов Евгений Григорьевич

Защита состоится 15 февраля 2010 года в 11 часов на заседании диссертационного сонета Д 002.97.01 ири Учреждении Российской академии наук Институте физики высоких даилений им. Л.Ф. Верещагина РАН по адресу: 142190, г.Троицк, Мое. обл., Калужское ш., стр. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВД РАН.

доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН,

профессор Максимов Леонид Александрович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт спектроскопии РАН

Автореферат разослан <_> января 2010 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 002.97.01 кандидат физико-математических наук

Валяпская Т.В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

Решающим структурным элементом ВТСП куиратов является плоскость СмОг (с большой величиной аптиферромагнитпого спинового обмена 7 ~ 100 -г- 150)мэВ. Нейтронные эксперименты это подтверждают: например, спиновые свойства наиболее хорошо изученных Ьа2~х(3г, Ва)хС'иО^ и УВа2СщОб+х подобны, за исключением различий, вызванных наличием двух близко лежащих С11.О2 плоскостей в У Ва,2СщОц+х.

Интенсивный и уже многолетний теоретический анализ свойств плоскости СыОг пока пе привел к однозначному и общепризнанному пониманию проблемы. Для такого анализа привлекается несколько различных моделей.

Перечислим важнейшие из них. Это во-первых исходная, предложенная сразу после открытия ВТСП, трехзоппая модель Хаббарда, которая детально описывает все существенные взаимодействия медь-кислородной плоскости (мы не будем приводить громоздкий гамильтониан модели).

Нередко для упрощения рассматривают одпозоппый варипат модели Хаббарда, то есть стандартную классическую модель Хаббарда [1, 2| с гамильтонианом

НИМаЫ = £ (а1~аз + Кьз) + иЛ Ь М

<г]> г

здесь а^и рождают на узле г электрон со спином вверх и вниз, £ и 11 - перескоковый интеграл и впутриузелыюе кулоновское отталкивание, < г] > обозначает пары узлов. Ситуация в купратах отвечает пределу сильной корреляции £ <С и.

Широко используется также производная от модели Хаббрда í — J модель

Я(_.7 = г (о/а,- + Щ) + .1^ ^ (2)

<ц> <у>

Первая сумма и /. — ./ гамильтониане описывает движение скоррслированных электронов (прыжок возможен только па свободный узел), вторая обменное взаимодействие электронных снииов (,/ ~ Вопрос о корректности

перехода от (1) к (2) и возможности отбросить при этом трехузельные члены посвящена обширная литература, пе будем па нем останавливаться, стандартные преобразовпапия выполнены в [3, 4, 5, С].

Некоторые авторы считают, что вся основная физика медь-кислородпой плоскости может быть описана в рамках в — (1 модели (она же з — / модель, регулярная модели Копдо, спин-фермиопная модель), описывающей взаимодействие спинов локализованных и зонных электронов (Э; и в, соответственно)

Д. ^ = £ /,,г-,;гх1 + ./£(з)

<г.7 > г

здесь сг+ = = обменный член записан в гейзенберговском виде.

Все эти модели довольно сложны, и псе они содержат как свободные носителя, так и взаимодействие свободных носителей с магнитным фоном (1! одно- и трехзониой модели Хаббарда выраженное неявно).

Простейшая модель без свободных носителей, то есть описывающая только спиновую подсистему изотропная двумерная фрустрироваппая модель Гейзепберга на квадратной решетке:

Я^^З^+^^ВД+а (4)

¡,е ¡,<1

Он описывает локализованные на квадратной решетке = 1/2 спины, ,7] -атиферромагпитпая обменная константа для первых ближайших соседей, ,/2 для вторых ближайших, д, (1 вектора первых и вторых ближайших соседей.

Исследованию некоторых свойств именно этой модели посвящена данная работа.

Везде далее употребляется стандартная переменная р ("параметр фрустрации") р = ^/(Л + Л), •/) — (1 — р)3, ,/2 = р./, все энергетические величины измеряются в единицах 3 и считается 7 = 1.

Решающее предположение при использовании данной модели для описания свойств слабодопированиой СиО2 плоскости состоит в соответствии между допированием в моделях со свободными носителями и фрустрацией в чисто спиновой модели, которое впервые предложено в [7|. Это предположение физически естественно: движущаяся дырка разрушает магнитный порядок, в чисто спиновой модели то же происходит с ростом р. Кроме того, оно основано па сходном характере изменения спиновых корреляторов в зависимости от допирования х и фрустрации р. Строгих утверждений относительно соответствия х <—> р не существует. Однако оказывается, что чисто спиновая фрустрироваппая модель позволяет воспроизвести основные

свойства спиновой подсистемы кунратои 1! диапазоне; допирования от пулевого до оптимального.

Отметим, что фрустрация всегда присутствует в спиновой подсистеме допированной плоскости СиОъ- Даже и диэлектрическом пределе отношение обмена па вторых соседях к обмену на первых оценивается примерно к ./2/./1 и 0.1 [8].

Итак, фрустрировапная 21) модель Гейзепберга непосредственно связана с экспериментом, с другой стороны эта модель представляет существенный общетеоретический интерес. Она занимает важнейшее место к общей задаче об оспомпом состоянии и спектре возбуждений антиферромагнетика (АФМ). В соответствии с теоремой Маршалла, основное состояние антиферромагнетика есть еинглет [9]. Считается, однако, что в трехмерном случае двухподрешеточпое описание вполне адекватно ]10].

Точное решение одномерной модели, в абсолютном соответствии с теоремой Маршалла, показывает, что основное состояние - еинглет и подрешетки отсутствуют.

Двумерный случай занимает промежуточное положение. Точное решение здесь отсутствует, сеть лишь теорема Мермина-Вагнера [11], которая запрещает дальний, порядок при р = 0, и отличной от пуля температуре. Естественно предположить, что дальнего порядка нет и при р > 0, Т > 0 (строгое доказательство отсутствует).

При нулевой же температуре ситуация следующая. Алтернативные вычисления различными методами [12] показывают, что при р = 0, Т = 0 дальний порядок существует. Однако, общепризнано, что с ростом фрустрации в области J\ ~ 0.5 (р и 0.3) дальний порядок исчезает с образованием спиновой жидкости.

Этот переход шахматное упорядочепие<->епиновая жидкость является одним из самых ярких и широко обсуждаемых примеров квантового фазового перехода [13, 14, 15, 16], представляющего фундаментальный теоретический интерес.

Таким образом, исследуемая в настоящей работе модель, актуальна как с экспериментальной (свойства спиновой подсистемы ВТСП), так и с теоретической (проблема основного состояния антиферромагнетика и квантовый фазовый переход) точек зрения.

Цель и задачи исследований.

Развитие сферически-симметричного самосогласованного подхода для 2В фруетрироваппой модели Гейзепберга с учетом затухания спиновых возбуждений, выход за рамки обычно используемых приближений (например, приближение линейных спиновых волн).

Изучение влияния затухания спиновых флуктуаций па динамическую спиновую восприимчивость двумерного фрустрированпого (допированпого) й = | антиферромагнетика в широком диапазоне по температуре и фрустрации. Описание свойств спиновой подсистемы донироваппых высокотемпературных сверхпроводников, иптериритация нейтронных экспериментов в купратах. Отметим, что вплоть до настоящего времени пе существует регулярного рассмотрения затухания в зависимости от температуры и фрустрации.

Исследование в рамках развитого подхода различий между одно- и двух11лоскост] I ым и купратам и.

Исследование фрустрированной спиновой системы при больших затуханиях спиновых возбуждений вблизи точки квантового фазового перехода. Изучение возможных состояний системы в данной области.

Научная новизна работы.

Впервые изучено влияние температурпо-зависящего затухания спиновых возбуждений двумерного антиферромагнетика (20 АФМ) в широком диапазоне по температуре и фрустрации. Это позволило объяснить экспериментально наблюдаемую скейлингоиую зависимость динамической магнитной восприимчивости 2D АФМ в широком диапазоне по допированию в сверхпроводящих купратах.

Учет затухания спиновых возбуждений впервые позволил воспроизвести особенности спиновой восприимчивости двухнлоскостпых купратов относительно случая одпоплоскостных купратов.

Вблизи точки квантового фазовой) перехода для 21) АФМ изучены особенности трансформации из состояния с дальним порядком в состояние спиновой жидкости. При Т—0 построена фазовая диаграмма по параметрам фрустрация-затухание (в доступной для сравнения области результаты согласуются с численным моделированием).

Впервые в области точки квантового фазового перехода обнаружено и исследовано нетривиальное состояние с двумя сосуществующими типами дальнего порядка (дальний порядок нселевского типа и дальний порядок

квантовой страйи ({¡азы). Работа содержит существенный методический «клад и развитие сферически-симметричного самосогласованного подхода для спиновых иизкоразмерпых систем.

Практическая и научная значимость работы. Полученные результаты являются качественно новыми. Они вносят существенный вклад в понимание физических свойств допировапных купратов. Разработанная теория спиновой восприимчивости может быть использована при анализе экспериментальных данных и при теоретических исследованиях физических свойств новых материалов, при постановке дипломных и аспирантских работ. Достоверность результатом обеспечена комплексным характером исследований, использованием хорошо зарекомендовавших себя методов в теории силыюкоррелировапиых электронных систем, непротиворечивостью с результатами полученными другими авторами для частных предельных случаен, результаты расчетов позволяют попять целый ряд имеющихся экспериментальных данных.

Личное участие соискателя в проведении исследований состоит как в постановке задач и развитии методических подходов, так и в определении стратегии самосогласовапия при разработке и реализации компьютерных программ.

Апробация работы.

В диссертацию вошли материалы, полученные в период с 2005 по 2009 год. Результаты работы докладывались па следующих конференциях: Международная Конференция молодых ученых "Проблемы физики твердого тела и высоких давлений"(Сочи, 2000; Сочи, 2008), Научная конференция МФТИ "Современные проблем],! фундаментальных и прикладных наук" (Москва, 2005; Москва, 2000; Москва, 2007; Москва, 2008; Москва, 2009), Конференция Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления (ИФВД, 2007; ИФВД, 2008; ИФВД, 2009). Работа также докладывалась на семинаре в ИФВД РАН.

Публикации.

По результатам работы опубликовано 4 статьи, 5 тезисов докладов па конференциях и 2 статьи в сборниках ИФВД. Список публикаций приведен в кош 1,е автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Принята сквозная нумерация литературных ссылок

и рисунков. Диссертация содержит 98 страниц текста, включающего 33 рисунка. Список цитируемой литературы содержит 92 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении обоснована актуальность диссертации, сформулированы основные цели и результаты исследования.

Первая глава посвящена обзору экспериментальных данных но ВТСП купратам (в первую очередь данные, полученные неунругим рассеянием нейтронов) и некоторых теорий по их трактованию.

Излагаются основные особенности спиновой восприимчивости купратов в зависимости от допирования, температуры и одно-, либо двух- плоскостной ('СиС>2) структуры.

Во второй главе выводится выражение для магнитной восприимчивости модели одной плоскости с учетом затухания спиновых воли:

<«>

Обсуждается экспериментально наблюдаемый скейлипг, и роль затухания в его формировании. Показано, что в рамках используемой модели, для воспроизведения скейлинга мнимой части спиновой восприимчивости, проинтегрированной по квазиимпульсу q,

Х2 в(и,Т) = I с1ч1тхЫ,и,Т) (С)

достаточно постулировать линейную зависимость затухания спиновых возбуждений от температуры 7 ~ Т.

Скейлинг для нескольких температур 0.1,7 < Т < 0.4./ изображен па Рис.1 (с температурной зависимостью затухания 7 и щели Д во вставке). Экспериментальные результаты по скейлиигу обычно аппроксимируются функциями (2/-7г) агс1ап(1.3а:) или 1/(пп{х) + 1).

Рис.2 демонстрирует нарушение скейлингого закона в случаях, когда величина затухания не укладывается и линейный закон 7 = Т.

В среднем поле магнитную восприимчость можно представить в следующем виде:

1тХтЧч, и) = —*[г(а/ - ич) - 6(и + и,)]. (7)

Рис. 1: Сксйлипговые кривые / = (Х'2о(ы,Т) = / >1({1тх(ч,^,Т)) дли набора

температур 0.1/ < Т < 0.4,7 как функции ш/Т. Пунктирная линия - (2/7г)агЫ,ап(1.31), точка-пунктир - 1 /(пп(ш/Т) + 1) дне этих функции используются для аппроксимации экспериментальных результатов по скейлингу. Во вставке щель Д и АФМ точке (¡2 = (тг,1г), затухание 7 и обратная корреляционная длина как (функции температуры (в единицах 3 = 1 и постоянная решетки а = 1).

Кроме того, ь области малых фрустраций аналитически получено, что скейлингоиый закон выполняется при линейной температурной зависимости затухания и спиновой щели.

Основной вклад и Х2о(и>) "ри не слишком больших частотах дает область вблизи точки <2: <7 = < 5о, где с% ~ 3 наибольший энергетический

параметр 'задачи (вклад от окрестности 5 = 0 подавляется числителем Fq (5)). Тогда разложение спектра ш2(ц) « А2 + с2?2 (А = Ад), и простое интегриронание (6), (7) дает для ш < и>и = Щ)

К \ + /А2 — а;2\ 1 Х*>И = ^ {аг<*д -) _ агс1д ^ |

47ГС2

Ф(ш,Д,7); 7Г + Ф(а;, А, 7);

0< 1 в> 1

Ф(ш, А, 7) = агс1д

{ 72ш2 + (с2^ + А2 - а;2)(А2 - а;2)

с

(8) (Э)

Рис. 2: Отклонения от оптимального екейлипга, когда 7 ф Т. Сплошная линия -оптимальный скейлинг.

Здесь - сроднее от медленно меняющейся в рассматриваемой области функции

Из эксперимента известно, что скейлипговый знаменатель Т —> 0)

постоянен в широком диапазоне частот. Это же видно из (8) - так как при Т —> 0 в диэлектрическом пределе Д,7 —> 0, то —> 0) =

Таким образом, скейлинг фактически управляется числителем о{ш,Т), то ест1> функцией А, 7), которая при А2,ы2,72 -С приобретает вид

А,7) « аг«д = агсЬд {щ^^} • (И)

Выражение (8) доказывает, что линейности щели и затухания по температуре 7 = аТ и А = /ЗТ являются необходимым условием екейлинга.

В рассматриваемом пределе переключение режимов (8), (10) определяется 0-функцией в(0) — 6{ш2 — А2) = Э((^)2 — /?2). Тогда скейлинговая функция приобретает вид

„„ш^, „0ч Г аш/Т 1 , „.

/(у) = тг0((у) - /З2) + {(/?2_(^/т)2)} . (12)

В третьей главе представлен вывод выражений для акустической и оптической магнитных восприимчивостсй в модели двух взаимодействующих С11О2 плоскостей.

-2^ае(д)

Хас\<1,ы)=—-гг--:—; (13)

ХоМ")= 2 ТГ^ ■ • (14)

и1 - МщМ) -

Мнимые части спиновых восприимчивостсй имеют вид:

(ч) ^7

// / \__^ ас,ор1 ^ / /1 г\

х ос,орДЧ) 7—5-2—( ,—5Т- I10/

Обсуждаются экспериментальные результаты для УВа,2СщОи+х.

Мы рассматри!!аем случаи фрустрации р = 0.15 (относим его к сильно недодонирошшпому режиму х = 0.15) и р = 0.28 (режим большого и оптимального допировапния х ^ 0.5). Везде выбираются фиксированные реалистические значении» обменных констант ,]\ = 120гпеУ и ./ц = 0.1./1 = 12теУ. В случае режима р = 0.15 предполагается сравнительно малое затухание 7;)=ол5 ~ 0.171 и высокая температура Т])=ц 15 = 0.25.7] и .'!()() (сравнивать с экспериментом для диэлектрика У Ва^Сч^О^лг, при Т = 29БК), а для р = 0.28 выбирается 7р=о.28 = Л и Т?)=0.= 0.07,Д и 90К (сравнивать с экспериментом для УВачСщОс,^_ «7 при низких Т).

В качестве спектра, который надо сравнивать с экспериментом (Рис.За) следует принимать значение частоты при которой для фиксированного

д восприимчивость х (4>ш) (15) достигает максимума. Для р = 0.15 благодаря малому затуханию Ы) практически совпадают с

(Рие.ЗЬ, пунктирные линии). Как видно из сравнения пунктирных линий на Рис.За и Рие.ЗЬ, представленный спектр ¿^„¿''(ч) колличсствепно отражает экспериментальный спектр для диэлектрика.

Для р = 0.28 перенормироваипый затуханием спектр ^ас^ТЫ) представлен па Рие.ЗЬ сплошными линиями, положение которых относительно диэлектрического спектра ^^¿'(ч) такое же, как у

относительно ш^5^: па эксперименте <

Сравнение перепормированпых и пеперсиормировапных ^,Г^28(ч)

(Рие.ЗЬ, - штрих-пунктир) показывает, что в случае сущсствеипого затухания (7р=о.28 ~ ЮОмэВ) эти спектры в точке <3 могут отличаться на величину

Рис. 3: Спектр акустических и оптических мод относительно точки р = (7г;7г).

a) Данные из нейтронных эксперимента!) |17|. Пунктирные линии отвечают спектрам

п) диэлектрика VВа-гСщОьщ при Т = 290К |18|. Пустые и полные кружки отвечают соответственно ш£Г°"г,(ч) и для допировапного УВагСщОц.г, при Т = 5К,

сплошные линии - квадратичная подгонка ш2 = Шц + 2qi.

b) Вычисленные спектры для двух фрустраций р = 0.15 (Т,,=о.15 = 0.25^; 7,,=0.15 ~ ОЛ^) и р = 0.28 (Г,,=о.28 = 0.0771; = 7;) П1>и (})икси{)Овапных значениях ,1\ = 120мэВ, 7) -- 12мэВ. Пунктирные линии отвечают спектрам ^асо^Ы) "Р11 Р = (соответствуют пунктирным линиям па Рис.За). В случае р = 0.28: штрих-пунктирные линии - Шас^ТЫ': сплошные линии - спектры определяемые по положениям никои у х1с,ч<((4>ш) (сравни со сплошными линиями и Рис.За.)

порядка ЗОмэВ. Отметим, что и качественно отличаются:

> СГт а < ^ГЫ

На Рис.4 и Рис.5 представлены ^-проинтегрированные восприимчивости Х2Е>,01'1(Ш) Для Р = и V ~ 0-28 соответственно. Результаты качественно согласуются с экспериментальными данными для диэлектрического и сильно допировапного (вставка на Рис.5) случаев. Наиомпим, что вычисленные

"ac.mil г \

Х20 строго удовлетворяют правилу сумм, нарушение которого может

приводить к некорректным результатам. Рис.4 и Рис.5 так же демонстрируют, что увеличение фрустрации и затухания сдвигает пик х2о(ш) из области и) « 250мэВ в область и « 50мэВ, как это и наблюдается па эксперименте при росте допирования.

Рис. 4: Экспериментальные (диэлектрик YВагСщОц_\^, Т = 29СК |18]) и нычнслсппые для р — 0.15 (крш!ые показании стрелками) ^-iipoHirrciiinpoisaiuibic шснриимчииости Х2о(ш) 11 Хг»'(ш)- Вычисленные Хго'"1''^) отвечают' спектрам на Рис.ЗЬ.

ш[теУ]

Рис. 5: Вычисленная (/-проинтегрированная восприимчивость и Х2о'(ш) Для случая

р = 0.28, а так же Х2п(и}) Л1151 одной Си02 плоскости (,7з = 0). Параметры те же, что и для Рис.ЗЬ. На вставке экспериментальные результаты |19| для сильно допироваппого УВа2Сщ06.Г. а) х^М; Ь) хЙГИ-

Рис. б: Q-llики (х"(СЗ,^)) для случая фрустрации р = 0.28 (параметры то же, что и для Рис.ЗЬ). На истанке экспериментальные результаты |19] для сильно дониронаиного УВа2СщОц.7.

На Рис.6 приведены экспериментальные и вычисленные С^-пики х'^о.гяЮ^)- Сравнение показывает, что для x"a':(Q,w) высоты и положения пиков качественно совпадают. Ширина С^-пика Хр=о.28^1естественно определяется затуханием 7Р=о.28 и такого же порядка (40 ~ БОмэВ), как на экспериментальных кривых. Поэтому выбранное нами затухание 7р=о.28 — ЮОмэВ представляется реалистичным.

На Рис.7 представлены акустические ветви спектра для р = 0.15 и

р = 0.28 в четверти зоны Бриллюэпа. Явно видно, что увеличение фрустрации приводит к уменьшению щели в точках X =(0; 7г),(я"; 0) и к возникновению седловой точки в области д = (-гт/2; 7г/2), то есть реализуется страйн сценарий перестройки спиновой системы (при формальном увеличении р —> 1 щель в точках X закрывается и при низких Т состояние системы отвечает когерентной суперпозиции двух классических страйп фаз [20, 21]). Следствием этого является упомянутый сдвиг пика Х2'Е(и) 1! область и « 50мэВ.

С150-

р=0 15

100 -

Рис. 7: Акустические ветви неренормировашюго спектра смииовых возбуждений шаг.(ц) для р = 0.15 и р = 0.28 (параметры те же, что и для Рис.ЗЬ). Показана четверть зоны Бриллюэпа, М = С2 = (тг;7г), X =(0;тг), (7г;0).

В четвертой главе при Т = 0 изучается вопрос влияния затухания спиновых флуктуации на спиновую корреляционную функцию, опрсделющую дальний порядок в 2Б фрустрироваппой моделе Гейзспбсрга.

Показано, что для объяснения свойств модели, полученных ранее численными методами важным является введение затухания. В (5) в выражения для и входят корреляторы сг для первых пяти

координационных сфер. Они могут быть выражены через функцию Грина

В результате для корреляторов получаем систему самосогласованных уравнений, которая решается численно:

(ФГ) С?:

(17)

е-?,Чг_

1

(соя(пкх) соь(гпку) + сов(?пкх) сов(пку)).

Определив отсюда сможно найти коррелятор сг для любого г.

При пуле температуры (далее мы рассматриваем только этот предел) структурный фактор сч = является суперпозицией обычного члена

(щ и копденсатпых членов сЦ6(q — Цу) в симметричных точках зоны Бриллюэпа отвечающего за дальний порядок. Это соответствует тому, что спип-спиповая корреляционная функция в прямом пространстве принимает форму:

Сг = (¿»П+Г^п) = С»<1е;<,Г + £ ^ (18)

П "

Первый член в правой части (18) определяет локальные корреляции и исчезает на бесконечных расстояниях г —> оо, второй член (конденсат - модуль спин-спинового коррелятора на бесконечности) контролирует наличие дальнего порядка. Существование ненулевого коидепсатного члена эквивалентно равенству пулю щели спиновго спектра в соответствующих точках зоны Бриллюэпа. В частности, для сферически-симметричного пеелевского состояния (ССТ-Неель) = Ц = (7г; 7г) и дальний порядок имеет вид шахматной структуры

= (19)

где г = пхёх + Пу%у, и ^ (1,0), = (0,1) вектора решетки.

Эффективная намагниченность т1Ча'1 = у/с$ее1 зависит от параметра фрустрации р.

ССТ-Неель состояние реализуется при малых значениях фрустрации, тКеег убывает от своего максимального значения нри р = 0 до нуля в точке р*м, где пропадает дальний порядок (рдг ~ 0.2, [22, 23]). Напомним, что в ССТ (Б*) = 0 I! любой фазе.

При Т = 0 в зависимости от фрустрации возникают как решения с конденсатом, так и бескондепсатпые спин-жидкостные решения |20, 21].

На Рис.8 представлена полученная в рамках изложенного метода зависимость конденсата с() (отвечающего шахматной фазе) от фрустрации р и затухания 7 для значения параметра га = 1, который определяет вершинные поправки: га = ^Еу, где ат - вершинные поправки, входящие I! выражение Сг = агСг (приближение, отвечающее проекционному методу, для трехузельпых членов ФГ, возникающих при написании второго уравнения

г =1.000

Рис. 8: Зависимость конденсата сп (отвечающего шахматной фазе) от фрустрации р и затухания 7 для значения параметра та = 1.0. Линия со = 0 отвечает потере дальнего шахматного порядка (ее пилообразиость есть артефакт, вызванный линейной экстраполяцией значений, промежуточных между расчетными).

движения для ФГ). Линия нулевого конденсата отвечает потере дальнего шахматного порядка.

Можно заметить, что при нулевом и малом затухании величина фрустрации в точке перехода очень чувствительна к га, а с ростом затухания эта зависимость ослабевает. Это можно увидеть па Рис.9, па котором показана фрустрация р* в точке перехода при 7 = 0.01 и 7 = 0.5 в широком диапазоне значений параметра га. Хорошо видно, что при затухании 7 > 0.5 величина фрустрации р* в точке перехода почти пе зависит от га.

Из Рис.8 видно, что при любом фиксированном значении р с ростом затухания растет и конденсат, то есть усиливается дальний порядок (так, например, при га = 1.0 и р = 0.01 для малого затухания 7 = 0.001 конденсат со = 0.006, а для 7 = 0.5 Сц = 0.037). Это можно пояснить следующим образом.

Усиление дальнего порядка связано с наличием и системе спинового копстрсйнта сг=о = Х^сод + со = 1/4, где без затухания, то есть в случае „7=0 = 0Ч 2шч ■

Рис. 9: Фрустрация р* в точке потери дальнего шахматного порядка при 7 = 0.01 и 7 = 0.5 в зависимости от значения г„. Пунктир экстраполяции в область значений параметров, где самосогласованно затруднено.

При ненулевом затухании 7 > 0 функция Грина имеет вид (5) =

,7>0 р т. г

ь0я

оо

-7

<1ы

о>7

[(о;2-о;2)2+а;272'

2тг

МГ

4я*

7

л/Ь

-1п

(о;2-72/2)-Н;)-17

6 = о;2 - 72/4 > 0 ; Ь < 0;

6 = 0.

(20)

Из (20) легко видеть, что при любом и>ч всегда справедливо < из-за переноса спектрального веса в область меньших ш при 7 > 0. Это означает,

что для выполнения коистрейнта при конечном затухании система должна перестроится таким образом, чтобы увеличилась величина конденсата с0.

Отмстим, что вывод сохраняется в том числе и в пределе р = 0, то есть для стандартной двумерной модели Гейзепберга.

В области р = О,Т = 0 для 2D модели Гейзепберга существует результаты нескольких альтернативных подходов |12|, в том числе расчетов методом Монте-Карло. Последние дают для спин-спинового коррелятора на ближайших соседях оценку Cg = 2cg = —0.223 ± 0.003 и для определяемой конденсатом эффективной намагниченности тп = у^о = 0.304 ± 0.004 (использована нормировка из [12, 24]).

При р = 0 сферически симметричный подход в приближении среднего ноля (7 = 0) позволяет воспроизвести только одну из указанных величин (при та = 0.852 Cg = -0.223, 110 m = 0.253, при г„ = 0.826 гп = 0.300, 110 Cg = 0.234

124|).

В рамках данного подхода, чтобы удовлетворить этим условиям необходимо конечное затухание 7* = 0.252 и г* = 0.915.

Таким образом, сопоставление результатом самосогласованной CGT, учитывающей затухания спиновых возбуждений, с данными альтернативных вычислений позволяет получить оценку для величины затухания в двух точках - при пулевой фрустрации р = 0 и в точке потери дальнего шахматного порядка (р ~ 0.275). В обоих пределах затухание оказывается значительным, в первом случае 7* ~ 0.25, во втором 7 ~ 0.55. В промежуточном диапазоне фрустраций естественно предположить монотонную, близкую к линейной зависимость затухания от фрустрации, делать количественные оценки такой зависимости пока не представляется возможным.

В пятой главе было получено состояние с двумя типами дальнего порядка вблизи точки квантового фазового перехода.

Вблизи точки квантового фазового перехода, р яз 0.3 обычно рассматривается класс основных состояний 2D АФМ, нарушающие как трансляционную Т\ (1 -вектор решетки), так и спиновую SU(2) симметрию Гамильтониана. Это состояния полуклассического Нееля с шахматным порядком (р < 0.3) и полуклассичсской страйн фазы (р > 0.3). Кроме того существует класс сипглетных состояний (S= 0 valence bond crystal (VBC) (p ^ 0.3, T\ симметрия нарушена, SU(2) симметрия выполняется). В VBC состояниях спины группируются в нары и образуют синглетные связи,

+ - + + + + + + + - v + + + + + + + - + + + + + +

"A"'"

™ - □ □

Рис. 10: Чаще всего рассматриваемые состояния для 2D модели Гейзспберга. Вверху слева - квазиклассическое пеелевскос шахматное состояние, вверху справа - квазиклассическое страйн-состояпис, жирная стрелка указывает не переход между ними. Внизу слева columnar VBC, внизу справа - plaquette VBC.

которые ii ciîoio очередь образуют периодическую картину. Простейшие VBC состояния - columnar и plaquette изображены па Рис.10.

Мы рассматриваем другой класс возможных состояний - синглетные состояния, отличные от квазиклассических, не нарушающих пи Т\, ни SU(2)-cHMMerpnio. Простейшие состояния такого типа возможно построить в рамках уже упомянутого подхода сииглстпых связей для ближайших соседей (nearest neighbour valence bond). Волновая функция такого состояния складывается из суммы членов, представленных на Рис.Па. Каждый член задается беспорядочно расположенными синглетпыми связями, но общее спин-жидкостное состояние является периодическим.

Обобщая подход сииглстпых связей для ближайших соседей можно рассмотреть подход сииглстпых связей для сииглстпых нар па узлах, между которыми расстояния являются произвольными (arbitrary range valence bonds) (Рис.lib). На Рис.lib спин-спиновые корреляционные функции (S* на бесконечности в некоторых случаях вообще могут быть отличными от пуля. Это позволяет рассматривать переход из спин-жидкостного сипглетиого состояния без дальнего порядка в синглетпос состояние с дальним порядком.

Сферически-симметричное етрайп состояние (ССТ-Страйн) отличается от изображенной на Рис.10 квазикласи ческой картины в том смысле, что оно является когерентной суперпозицией горизонтальных (как на Рис.10) и

+ - + -

- + - +

+ - + -

- + - +

+ - + -

- + - +

(a) (b)

Рис. 11: а) Сиииовая жидкость сипглстных связей ближайших соседей (nearest neighbour valence bond), b) Спиновая жидкость сипглстных связей произвольной длины (arbitrary range valence bond). Стрелка, соединяющая узлы г и j, отвечает сипглетной связи

(i/V5)(| Tilj) - 1

вертикальных страйи состояний. Для этого состояния = X = (0; 7г),

(7г;0) в (18) и дальний порядок иммет следующий вид:

Stripe.

<Ж)|гНоо = \-[(-1Г + (-1)""] (21)

ССТ-Страйп состояния реализуются для больших значений р. Эффективная намагниченность mslrli'R = \Jс^1тч"' возрастает от пуля при p*s ~ 0.5 [25] до максимального значений при р = 1.

Бссконденсатпое решение с Cqrc1 = c^trq"' = 0 отвечает состоянию спиновой жидкости. В таком случае щели спектра спиновых возбуждений в симметричных точках зоны Бриллюэпа открыты, и их значение зависит от параметра фрустрации р. Корреляционная длина определяется через наименьшее значение щели и так же зависи от фрустрации. В этом смысле это решение является спиновой жидкостью с произвольным связями (Рис.lib). Самосогласованное спин-жидкостное решение реализуется в области средней фрустрации р ~ 0.3 [25, 22, 23|.

На Рис.12 представленна энергия для всех типов самосогласованных решений во всем диапазоне по параметру фрустрации р для различных значений величины затухания 7. Как видно, при малых 7 (7 < 0.3) картина качественно пе меняется: для различных значений 7 реализуются только три типа решений.

р

Рис. 12: Энергия всех рассмотренных типов самосогласованных решений для 0 < р < 1 и различных значений затухания 7. Сплошные линии в левой части ССТ-неелевское решение, сплошные линии справа ССТ-страйн решение, точки в центре спип-жидкостное решение, а сплошные линии над последними при р ~ 0.3 соответствуют Дву упорядоченном у состоянию. Разметка оси ординат отвечает кривым с 7 = 0.001, остальные графики последовательно сдвинуты вниз на О.27.

С ростом затухания 7 точки перехода р*м (Несль<—»Спиновая жидкость) и р*3 (Спиновая жидкость«—»Страйп) сдвигаются друг к другу. Область фрустраций для решения спиновой жидкости уменьшается слева с ростом 7, то есть величина р*и растет. Настоящие результаты демонстрируют, что то же верно и для правой части спин-жидкостной области, отвечающей переходам спиновая жидкость«-»страйп.

Но при 7 > 0.3 для промежуточной области фрустраций р и 0.3 появляется новое самосогласованое решение с двумя сосуществующими типами дальнего порядка. Для значений затухания 0.3 < 7 < 0.6 это решение является мстастабильпым во всей области существования и отделено по энергии от остальных решений.

При 7 ^ 0.6 рассматриваемое двукопдепсатное решение энергетически вырождено со спин-жидкостным решением при р < 0.3 со страйн решением "Ри Р ^ 0.3, 15 промежуточном интервале по фрустрации решение остается мстастабильпым.

Для обнаружения решений, которые могут быть энергетически связанными с двукоиденсатным решением, по-видимому, необходимо рассматривать геликоидальное решение с qy = (<7,7г), (тг,г/). Его прототипом

ш(д)/и

Рис. 13: Спектр спиновых возбуждений для состояния с двумя взаимопроникающими дальними порядками. Параметры фрустрации и затухания р = 0,285 и 7 = 0.65. Спектр является бесщелевым в точках X и р.

в полуклассическом рассмотрении является геликоидальное состояние, возникающее в ,1\ — ./г — ,/я модели Гейзенберга |20, 27|. Изучение подобных решений является нашей дальнейшей задачей.

В Заключении перечислены

Основные положения, выносимые на защиту

1. Впервые в широком диапазоне по температуре и фрустрации изучено влияние затухания спиновых флуктуаций на динамическую спиновую восприимчивость двумерного фрустрировапного (допированного) Б = | антиферромагнетика. Развитый, с учетом затухания, сферически-симметричный самосогласованный подход для модели Гейзенберга позволил выйти за рамки обычно используемых приближений.

2. Установлено, что известный экспериментально-феноменологический скейлинговый закон восприимчивости купратов

Х2 £>(^,Т)

0) ПТ>

(22)

определяется линейной температурной зависимостью затухания. В области

малых фрустраций аналитически получено, что закон выполняется при линейной температурной зависимости затухания и спиновой щели.

3. Для двухплоскостпых (иттриевых) купратов теория позволяет описать результаты нейтронных экспериментов для акустической Хас{<1 >w) и оптической X<>pt{q,u) ветвей восприимчивости в широком интервале по допированию. Рассмотрена проблема восстановления значений обменных констант, страйп сценарий формирования пика в области 40 мэВ у (/-проинтегрированной восприимчивости Х2о(ш)' сильная перенормировка спектра спиновых возбуждений (обусловленная конечным затуханием).

4. Показано, что уже простейший полуфепомепологический учет затухания является принципиальным и заметно изменяет ереднеполевые результаты, в частности, приводит к существенному сдвигу точки потери дальнего шахматного порядка в область больших фрустраций. Восстановленная, на базе доступных численных данных, величина затухания оказывается значительной (7 ~ 0.2-1-0.5,/) во всей области существования шахматного дальнего порядка.

5. Найдено нетривиальное состояние с двумя взаимопроникающими типами дальнего порядка около точки квантового фазового перехода jftpl и 0.28. В области затухания 0.3 < 7 < 0.6 двукопдеиеатпос решение метостабильпо и отделено по энергии с другими решениями. В области 7 > 0.6 в точке квантового фазового перехода двукопдспсатиое решение вырождено по энергии с шахматной и спип-жидкостиой фазами.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Статьи

1. Mikheenkov A.V., Barabanov A.F., Kozlov N.A. Self-consistent spin susceptibility in 2D frustrated antiferroiriagnet // Phys.Lett A. - 2006. - V.354. -pp.320-324.

2. Козлов H.A., Барабанов А.Ф. К теории спиновой восприимчивости иттриевых купратов в рамках двухнлоскоетной модели фруетруироваппого антиферромагнетика // Письма в ЖЭТФ - 2007. - Т.85. - В.11. - с.673-678.

3. Mikhecnkov A.V., Kozlov N.A., Barabanov A.F. On the damping in the two-dimensional frustrated Heisenberg model // Physics Letters A. - 2009. - V.373. -p.693.

4. Mikhecnkov A.V., Kozlov N.A., Barabanov A.F. Unconventional state with two coexisting long-range orders for frustrated Heisenberg model at quantum

phase transition // статья припята и печать и Pliys.Lett.A (2010), Ag5479 accepted; arXiv:0912.4008vl |cond-mat.str-el| 20 Dec 2009.

Тезисы конференций и публикации в сборниках

1. Козлов H.A., Михеенков A.B. Роль затухания в спиновой динамике двухмерного фрустриронанного антиферромагнетика // В сб.: Труды 48-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Часть VIII. - 2005. - Москва-Долгопрудный, МФТИ. - с.215.

2. Mikheenkov A.V., Barabanov A.F., Kozlov N.A. Scaling in spin subsystem of IITSC // ИФВД, Ежегодник. - 2005. - т.12 c.67.

3. Козлов H.A. К теории магнитной системы в высокотемпературных сверхпроводниках с учетом квазитрехмерпости // В сб.: Труды 49-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных паук", Часть VIII. - 200G. - Москва-Долгопрудный, МФТИ. - с.19.

4. Барабанов А.Ф., Михеенков A.B., Козлов H.A. Роль затухания в спиновой восприимчивости двумерного допировапного антиферромагнетика // В сб.: Труды 50-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Часть VIII. - 2007. - Москва-Долгопрудный, МФТИ. - с.135.

5. Козлов H.A. О влиянии затухания в двумерной фруетрироваппой модели Гейзенберга //В сб.: Труды 51-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных паук", Часть VIII. - 2008. - Москва-Долгопрудный, МФТИ. - с.114.

0. Михеенков A.B., Козлов H.A., Барабанов А.Ф., Шварцберг A.B. Оценка затухания в 2D фрустрировппой модели Гейзенберга // ИФВД, Ежегодник. -2008. - т. 15. - с.132.

7. Козлов H.A., Михеенков A.B. К вопросу о состоянии с двумя сосуществующими дальними порядками вблизи точки квантового фазового перехода // В сб.: Труды 52-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных паук", Часть VIII. - 2009. -Москва-Долгопрудный, МФТИ. - с.83.

Литература

Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands // Proc. Roy. Soe. A. - 19G3. - V.27G. - pp.238-257.

Hubbard J. Electron Correlations in Narrow Energy Bands. III. An Improved Solution // Proc. Roy. Soc. A. - 19G4. - V.281. - pp.401-419.

Chao K.A. Spalek J., Olcs A.M. Kinetic exchange interaction in a narrow S-band // J. Pliys. - 1977. - V.C10. - pp.271-27G.

Harris A.B. Lange R.V. Single Particle Excitations in Narrow Energy Bands // Phys. Rev. - 19G7. - V.157. - pp.279-314.

Brinkman W.F. Rice T.M. Single-Particle Excitations in Magnetic Insulators // Phys. Rev. - 1970. - V.B2. - p.1324.

Еремин M.B. Андреев А.И., Ерёмин И.М. К теории неуиругого рассеяния нейтронов в сверхпроводнике Pr0.88LaCc0.12Cu()4-x // Письма в ЖЭТФ.

- 2007. - T.8G. - C.38G.

Inui М. Doniach S. and Gabay М. Doping dependence of antiferromagnet-ic correlations in high-temperature superconductors // Phys. Rev. - 1988. -V.B38. - PP.GG31-GG35.

Armet J.F. Martin R. M., McMahan A. K. et. al. Electronic Hamiltonian and antiferromagnetic interactions in La2Cu04 // Phys. Rev. - 1989. - V.B40. -PP.2G20-2G23.

Lieb E. Mattis D.C. Ordering Energy Levels of Interacting Spin Systems // J. Math. Phys. - 1962. - V.3. - pp.749-751.

Auerbach A. Interacting Electrons And Quantum Magnetism / A. Auerbach

- New York: Springer - Verlag, LLC, 1994.

[11] Mcrinm N.D. and Wagner H. Absence of Ferromagnetism or Antilerromag-netism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models // Phys. Rev. Lett. - I960. - V.17. - pp.ll33-113G.

|12j Manousakis E. The spin-1/2 Heisenberg antiferromagnet 011 a square lattice and its application to the cuprous oxides // Rev. Mod. Phys. - 1991. - V.63. - pp. 1-62.

[13] Lee P.A. Nagaosa N. and Wen X.-G. Doping a Mott insulator: Physics of high-temperature superconductivity // Rev. Mod. Phys. - 200G. - V.78. - pp.17-85.

[14] Sachdev S. Quantum Phase Transitions / S. Sachdev - London: Cambridge Univ. Press, 1999.

[15] Sachdev S. Quantum magnetism and criticality // Nature Physics. - 2008. -V.4. - pp.173-212.

[1G| Fulde P., Thalrneier P. and Zwicknagl G. Strongly Correlated Electrons // Solid State Physics, Advances in Research and Applications. - 200G. - V.GO. -p.l. - cond-mat/06071G5 vl.

117] Bourges P. The Gap Symmetry and Fluctuations in High Temperature Superconductors ed. by J. Bok, G. Deutscher, D. Pavuna, and S. A. Wolf / P. Bourges - New York: Plenum, 1998. - p.349.

[18] Hayden S.M., Aeppli G., Perring T.G. et. al. High-frequency spin waves in YBa2Cu30G.15 // Phys. Rev. - 199G. V.B54. - pp.RG905-RG908.

[19] Fong H.F., Bourges P., Sidis Y. et. al. Spin susceptibility in underdoped YBa2Cu306.x // Phys. Rev. B. - 2000. - V.G1. - p.14773.

[20| Барабанов А.Ф., Березовский B.M. Фазовые переходы второго рода в сферически симметричной теории 2D гейзенберговского фрустрировапиого аитиферромагиетика // ЖЭТФ. - 1994. - В. 10G. C.115G. |,1ЕТР - 1994. - V.79. p.G27].

|21| Barabanov А.F., Berezovsky V.M. On the Theory of the Two-Dimensional Heisenberg Antiferromagnet with Frustration 011 a Square Lattie //J. Phys. Soc Jpn. - 1994. - V.G3. - p.3974.

[22J Mikheycnkov A.V., Kozlov N.A., Barabanov A.F. On the damping in the two-dimensional frustrated Heisenberg model // Phys. Lett. A. - 2009. - V.373. -p.693.

[23] Schmalfuss D., Darradi R., Richter J. et. al. Quantum J1-J2 antiferroiriag-not on the stacked square lattice: Influence of the interlayer coupling oil the ground-state magnetic ordering // Phys. Rev. Lett. - 2006. - V.97. - p.157201.

[24] Shimahara H., Takada S. Green's Function Theory of the Two-DimcnsionalHeisenberg Model Spin Wave in Short Range Order //J. Phys. Soc. Jpn. - 1991. - V.60. - p.2394.

[25] Barabanov A.P., Maksimov L.A., Mikheenkov A.V. Spin Polaron in the Cuprate Superconductor: Interpretation of the ARPES Results Spectroscopy of Hi(jh-Tc Superconductors. A theoretical View, ed. N.M. Plakida / A.F. Barabanov, L.A. Maksimov, A.V. Mikheenkov: Taylor&Francis, 2003. - p.l.

[26] Mambrini M. et. al. Plaquette valence-bond crystal in the frustrated Heisenberg quantum antiferromagnet on the square lattice / Phys. Rev. - 2006. -V.B74. - p.144422.

[27] Morco A. et. al. Incommensurate correlations in the t-J and frustrated spin-1/2 Heisenberg models // Phys. Rev. B. - 1990. V.42. - p.6283.

Подписано в печать 12.01.2010 г. Печать лазерная цифровая Тираж 100 экз.

Типография Aegis-Print 115230, Москва, Варшавское шоссе, д. 42 Тел.: 543-50-32 www.autoref.ae-print.ru

1 Введение

2 Глава 1. Обзор эксперимента и некоторых теорий

3 Глава 2. Спиновая восприимчивость одноплоскостных купратов

3.1 Введение.

3.2 Модель и метод.

3.3 Результаты и обсуждения.

4 Глава 3. Восприимчивость двуплоскостных купратов

4.1 Введение.

4.2 Модель и метод.

4.3 Результаты и обсуждения.

5 Глава 4. Влияние затухания в 2Т) фрустрированной модели Гейзенберга

6 Глава 5. Состояние с двумя типами дальнего порядка

6.1 Введение.

6.2 Модель

6.3 Результаты и выводы

Актуальность работы

Решающим структурным элементом ВТСП купратов является плоскость СиОъ (с большой величиной обмена 3 ~ 100 -т- 150 мэВ). Нейтронные эксперименты это подтверждают: например, спиновые свойства наиболее хорошо изученных Ьа,2-Х{3г, Ва)хСиО^ и УВаоСщО^+х подобны, за исключением различий, вызванных наличием двух близко лежащих Си02 плоскостей в УВа,2СщОе+х.

Интенсивный и уже многолетний теоретический анализ свойств плоскости СиС>2 пока не привел к однозначному и общепризнанному пониманию проблемы. Для такого анализа привлекается несколько различных моделей.

Перечислим важнейшие из них. Это во-первых исходная, предложенная сразу после открытия ВТСП, трехзонная модель Хаббарда, которая детально описывает все существенные взаимодействия медь-кислородной плоскости (мы не будем приводить громоздкий гамильтониан модели).

Нередко для упрощения рассматривают однозонпый варинат модели Хаббарда, то есть стандартную классическую модель Хаббарда [1, 2] с гамильтонианом

Ннчъъагй = I + Ь+Ъ^ + а+а^^ (1) у> г здесь а^и bf рождают на узле г электрон со спином вверх и вниз, t и

II - перескоковый интеграл и внутриузельное кулоновское отталкивание, < г/у > обозначает пары узлов. Ситуация в купратах отвечает пределу сильной корреляции ^ -С С/.

Широко используется также производная от модели Хаббрда £ — 3 модель I (а'1а- + Щ) + 3 ]Г в* в,- (2) гз> <гз>

Первая сумма в í — 7 гамильтониане описывает движение скоррелированных электронов (прыжок возможен только на свободный узел), вторая - обменное взаимодействие электронных спинов (3 ~ ¿2/и). Вопросу о корректности перехода от (1) к (2) и возможности отбросить при этом трехузельные члены посвящена обширная литература, не будем на нем останавливаться, стандартные преобразовнания выполнены в [3, 4, 5, 6].

Некоторые авторы считают, что вся основная физика медь-кислородной плоскости может быть описана в рамках в — <1 модели (она же § — / модель, регулярная модель Кондо, спин-фермионная модель), описывающей взаимодействие спинов локализованных и зонных электронов (Э^ и в, соответственно) здесь = af,cl = обменный член записан в гейзенберговском виде для наглядности (в корректной формулировке спины зонных электронов должны быть выражены через ферми-операторы с помощью преобразования Абрикосова [7]).

Все эти модели довольно сложны, и все они содержат как свободные носителя, так и взаимодействие свободных носителей с магнитным фоном (в одно- и трехзонной модели Хаббарда выраженное неявно).

Простейшая модель без свободных носителей, то есть описывающая только спиновую подсистему - изотропная двумерная фрустрированная модель Гейзенберга на квадратной решетке:

Гамильтонинан 4 описывает локализованные на квадратной решетке Б = 1/2 спины, 3\ - атиферромагнитная обменная константа для первых ближайших соседей, - для вторых ближайших соседей, g и (1 - вектора первых и вторых ближайших соседей.

Исследованию некоторых свойств именно этой модели посвящена данная работа.

Везде далее употребляется стандартная переменная р ("параметр фрустрации") р = ^/(Л + </2), «Л = (1 — 32 = все энергетические величины измеряются в единицах 3 и считается 7 = 1.

Решающее предположение при использовании данной модели для описания свойств слабодопированной Си02 плоскости состоит в соответствии между допированием в моделях со свободными носителями и фрустрацией в чисто спиновой модели, которое впервые предложено в [8]. Это предположение физически естественно: движущаяся дырка разрушает магнитный порядок, в чисто спиновой модели то же происходит с ростом р. Кроме того, оно основано на сходном характере изменения спиновых корреляторов в

3) и> зависимости от допирования х и фрустрации р. Строгих утверждений относительно соответствия х <—> р не существует. Однако оказывается, что чисто спиновая фрустрированная модель позволяет воспроизвести основные свойства спиновой подсистемы купратов в диапазоне допирования от нулевого до оптимального.

Отметим, что фрустрация всегда присутствует в спиновой подсистеме допированной плоскости СиОДаже в диэлектрическом пределе отношение обмена на вторых соседях к обмену на первых оценивается примерно в «/2М « 0.1 [9].

Итак, фрустрированная 2Б модель Гейзенберга непосредственно связана с экспериментом, с другой стороны эта модель представляет существенный общетеоретический интерес. Она занимает важнейшее место в общей задаче об осномном сотояпии и спектре возбуждений антиферромагнетика (АФМ). В соответствии с теоремой Маршалла основное состояние антиферромагнетика есть синглет [10]. Считается, однако, что в трехмерном случае двухподрететочпое описание вполне адекватно [11].

Точное решение одномерной модели, в абсолютном соответствии с теоремой Маршалла, показывает, что основное состояние - синглет и подрешетки отсутствуют.

Двумерный случай занимает промежуточное положение. Точное решение здесь отсутствует, есть лишь теорема Мермина-Вагнера [12], которая запрещает дальний порядок при р = 0 и отличной от нуля температуре. Естественно предположить, что дальнего порядка нет и при р > 0. Т > 0 (строгое доказательство отсутствует).

При нулевой же температуре ситуация следующая. Альтернативные вычисления различными методами 113] показывают, что при р = 0,Т = 0 дальний порядок существует. Однако, общепризнано, что с ростом фрустрации в области та 0.5 (р та 0.3) дальний порядок исчезает с образованием спиновой жидкости.

Этот переход шахматное упорядочение«->спиновая жидкость является одним из самых ярких и широко обсуждаемых примеров квантового фазового перехода [14, 15, 16, 17], представляющего фундаментальный теоретический интерес.

Таким образом, исследуемая в настоящей работе модель, актуальна как с экспериментальной (свойства спиновой подсистемы ВТСГТ), так и с теоретической (проблема основного состояния антиферромагнетика и квантовый фазовый переход) точек зрения.

Цель и научная новизна данной работы

Развитие сферически-симметричного самосогласованного подхода для 2D фрустрировапной модели Гейзенберга с учетом затухания спиновых возбуждений, выход за рамки обычно используемых приближений (например, приближение линейных спиновых волн).

Изучение влияния затухания спиновых флуктуаций на динамическую спиновую восприимчивость двумерного фрустрированного (допированного) 5 = | антиферромагнетика в широком диапазоне по температуре и фрустрации. Описание свойств спиновой подсистемы допированпых высокотемпературных сверхпроводников, интерпретация нейтронных экспериментов в купратах. Отметим, что вплоть до настоящего времени не существует регулярного рассмотрения затухания в зависимости от температуры и фрустрации.

Исследование в рамках развитого подхода различий между одно- и двухплоскостными купратами.

Исследование фрустрированной спиновой системы при больших затуханиях спиновых возбуждений вблизи точки квантового фазового перехода. Изучение возможных состояний системы в данной области.

Основные результаты, выносимые на защиту

Впервые изучено влияние температурно-зависящего затухания спиновых возбуждений двумерного аптиферромагнетика (20 АФМ) в широком диапазоне по температуре и фрустрации. Это позволило объяснить экспериментально наблюдаемую скейлипговую зависимость динамической магнитной восприимчивости 2Б АФМ в широком диапазоне по допированию в сверхпроводящих купратах.

Учет затухания спиновых возбуждений впервые позволил воспроизвести особенности спиновой восприимчивости двухплоскостпых купратов относительно случая одноплоскостных купратов.

Вблизи точки квантового фазового перехода для 2D АФМ изучены особенности трансформации из состояния с дальним порядком в состояние спиновой жидкости. При Т=0 построена фазовая диаграмма по параметрам фрустрация-затухание (в доступной для сравнения области результаты согласуются с численным моделированием).

Впервые в области точки квантового фазового перехода обнаружено и исследовано нетривиальное состояние с двумя сосуществующими типами дальнего порядка (дальний порядок неелевского типа и дальний порядок квантовой страйп фазы). Работа содержит существенный методический вклад в развитие сферически-симметричного самосогласованного подхода для спиновых низкоразмерных систем.

Апробация работы

Отражена в опубликованных статьях, конференциях и семинарах, приведенных в конце Введения.

Структура и содержание по главам

В Главе 1 содержится обзор экспериментальных данных по ВТСП купратам и некоторых теорий для их описания.

В Главе 2 выводится выражение для магнитной восприимчивости в модели одной плоскости с учетом затухания спиновых волн. Обсуждается экспериментально наблюдаемый скейлинг, и роль затухания в его формировании.

В Главе 3 описан вывод выражений для акустической и оптической магнитных восприимчивостей в модели двух взаимодействующих СиОч плоскостей. Обсуждаются экспериментальные результаты для YВo^Cu^Oq hx.

В Главе 4 изучается вопрос влияния затухания в 2D фрустрированной модели Гейзенберга.

В Главе 5 было получено состояние с двумя типами дальнего порядка вблизи точки квантового фазового перехода.

В Заключении сформулированы основные выводы.

Для удобства анализа и дискуссии каждая глава содержит введение, относящееся к обсуждаемому вопросу.

Работа выполнена в Учреждение Российской академии наук Институте физики высоких давлений им. Л.Ф. Верещагина РАН

Личное участие автора в проведении исследований состоит как в постановке задач и развитии методических подходов, так и в определении стратегии самосогласования при разработке и реализации компьютерных программ.

Основные результаты, легшие в основу диссертации опубликованы в работах:

1. Mikheenkov A.V., Barabanov A.F., Kozlov N.A. Self-consistent spin susceptibility in 2D frustrated antiferromagnet // Phys.Lett A. - 2006. - V.354. -pp.320-324.

2. Козлов H.A., Барабанов А.Ф. К теории спиновой восприимчивости иттриевых купратов в рамках двухплоскостной модели фруструированного антиферромагнетика // Письма в ЖЭТФ - 2007. - Т.85. - В.11. - с.673-678.

3. Mikheenkov A.V., Kozlov N.A., Barabanov A.F. On the damping in the two-dimensional frustrated Heisenberg model // Physics Letters A. - 2009. - V.373. -p.693.

4. Mikheenkov A.V., Kozlov N.A., Barabanov A.F. Unconventional state with two coexisting long-range orders for frustrated Heisenberg model at quantum phase transition // Phys.Lett A. - 2010. - V.374. - pp.1274-1277.

5. Козлов H.A., Михеенков A.B. Роль затухания в спиновой динамике двухмерного фрустрированного антиферромагнетика // В сб.: Труды 48-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Часть VIII. - 2005. - Москва-Долгопрудный, МФТИ. - с.215.

6. Mikheenkov A.V., Barabanov A.F., Kozlov N.A. Scaling in spin subsystem of HTSC // ИФВД, Ежегодник. - 2005. - т. 12 c.67.

7. Козлов H.A. К теории магнитной системы в высокотемпературных сверхпроводниках с учетом квазитрехмерности // В сб.: Труды 49-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Часть VIII. - 2006. - Москва-Долгопрудный, МФТИ. - с.19.

8. Барабанов А.Ф., Михеенков A.B., Козлов H.A. Роль затухания в спиновой восприимчивости двумерного допированного антиферромагнетика //В сб.: Труды 50-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Часть VIII. - 2007. - Москва-Долгопрудный, МФТИ. - с.135.

9. Козлов H.A. О влиянии затухания в двумерной фрустрированной модели Гейзенберга // В сб.: Труды 51-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Часть VIII. - 2008. - Москва-Долгопрудный, МФТИ. - с.114.

10. Михеенков A.B., Козлов H.A., Барабанов А.Ф., Шварцберг A.B. Оценка затухания в 2D фрустрировнной модели Гейзенберга // ИФВД, Ежегодник. - 2008. - т.15. - с.132.

11. Козлов H.A., Михеенков A.B. К вопросу о состоянии с двумя сосуществующими дальними порядками вблизи точки квантового фазового перехода // В сб.: Труды 52-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Часть VIII. - 2009. -Москва-Долгопрудный, МФТИ. - с.83. и представлялись на следующих конференциях и семинарах:

1. Козлов H.A., Михеенков A.B., Роль затухания в спиновой динамике двухмерного фрустрировапного аитиферролшгнетика, XLVIII научная конференция МФТИ Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук Москва, ноябрь 2005г.

2. Козлов H.A., Барабанов А.Ф., Влияние квазитрехмерпости на спиновую подсистему в итриевых купрат,ах, IX Международная Конференция молодых ученых Проблемы физики твердого тела и высоких давлений, Сочи, сентябрь 22-30, 2006г.

3. Козлов H.A., К теории магнитной системы в высокотемпературных сверхпроводниках с учетом квазитрехмерности, XLIX научная конференция МФТИ Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук Москва, ноябрь 2006г.

4. Козлов H.A., Барабанов А.Ф., Спиновая, восприимчивость гттриевых купратов в рам,ках двухплоскостной модели фрустрировапного аптиферромагпетика (постер), // Конференция Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления ИФВД, июнь 2007г.

5. Козлов H.A., Барабанов А.Ф., Роль затухания в спиновой восприимчивости двумерного допированпого аптиферромагпетика, 50-я юбилейная научная конференция МФТИ Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук Москва, ноябрь 2007г.

6. Барабанов А.Ф., Михеенков A.B., Козлов H.A., О роли затухания, в двумерной модели Гейзепберга (постер) // Конференция Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления ИФВД, июнь 2008г.

7. Козлов H.A., Роль затухания в двумерной фруструированной .модели Гейзепберга, X Международная Конференция молодых ученых "Проблемы физики твердого тела и высоких давлений", Сочи, сентябрь, 2008г.

8. Козлов H.A., О влиянии затухания в двумерной фрустрированной модели Гейзепберга, 51-я научная конференция МФТИ Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук Москва, ноябрь 2008г.

9. Михеенков A.B., Барабанов А.Ф., Козлов H.A. Метастабильнос состояние с двумя сосуществующими дальними порядкам,и вблизи квантового фазового перехода // VII Конференция Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления ИФВД, июнь 2009г.

10. Козлов H.A., Михеенков A.B., К вопросу о состоянии с двумя сосуществующими дальними порядками вблизи точки квантового фазового перехода, 52-я научная конференция МФТИ Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук Москва, ноябрь 2009г.

7 Заключение (выводы)

1. Впервые в широком диапазоне по температуре и фрустрации изучено влияние затухания спиновых флуктуаций на динамическую спиновую восприимчивость двумерного фрустрированного (допировапного) Б = ^ антиферромагнетика. Развитый, с учетом затухания, сферически-симметричный самосогласованный подход для модели Гейзенберга позволил выйти за рамки, обычно используемых приближений (например, приближение линейных спиновых волн). Это позволило, с одной стороны, корректно трактовать последние результаты нейтронных экспериментов в купратах. С другой стороны, подход позволил исследовать фрустрированную спиновую систему вблизи точки квантового фазового перехода, который представляет фундаментальный теоретический интерес.

2. Установлено, что известный экспериментально-феноменологический скейлинговый закон восприимчивости купратов

74) определяется линейной температурной зависимость затухания. В области малых фрустраций аналитически получено, что закон выполняется при линейной температурной зависимости затухания и спиновой щели.

3. Для двухплоскостных (иттриевых) купратов теория позволяет описать результаты нейтронных экспериментов для акустической Хас(я,<^) и оптической Хорь{ч^) ветвей восприимчивости в широком интервале по допированию. Рассмотрена проблема восстановления значений обменных констант, страйп сценарий формирования пика в области 40 мэВ у д-проинтегрированной восприимчивости Х'ю(и;)> сильная перенормировка спектра спиновых возбуждений (обусловленная конечным затуханием) и отличия подхода от метода линейных спиновых волн. Показано, что объяснение экспериментальной ситуации возможно без предположения об уменьшении 3\ на 60% (к последнему предположению приводит подход Ь8\У).

4. Показано, что уже простейший полуфеноменологический учет затухания в рамках самосогласованного сферически симметричного подхода для фрустрированной двумерной модели Гейзенберга является принципиальным и заметно изменяет средпеполевые результаты, в частности, приводит к существенному сдвигу точки потери дальнего порядка в область больших фрустраций. Восстановленная, на базе доступных численных данных, величина затухания оказывается значительной (7 ~ 0.2 -т- 0.57) во всей области существования шахматного дальнего порядка.

5. Найдено нетривиальное состояние с двумя взаимопроникающими типами дальнего порядка около точки квантового фазового перехода рЯРТ и 0.28. В области затухания 0.3 < 7 < 0.6 двуконденсатное решение метастабильно и отделено по энергии с другими решениями. (См. Рис.33, кривые для 7 = 0.35 и 7 = 0.45). В области 7 > 0.6 в точке квантового фазового перехода двуконденсатное решение вырождено по энергии с шахматной и спин-жидкостной фазами.

В заключение я считаю своим приятным долгом выразить глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору А.Ф. Барабанову и соруководителю д.ф.-м.н. A.B. Михеенкову за руководство работой и конструктивное обсуждение полученных результатов. Я так же хочу поблагодарить сотрудников теоретического отдела ИФВД за поддержку и созданный благоприятный климат при выполнении настоящей работы.

1. Hubbard ,Т. Electron correlations in narrow energy bands // Proc. Roy. Soc. A. 1963. - V.276. - pp.238-257.

2. Hubbard J. Electron Correlations in Narrow Energy Bands. III. An Improved Solution // Proc. Roy. Soc. A. 1964. - V.281. - pp.401-419.

3. Chao K.A. Spalek J., Oles A.M. Kinetic exchange interaction in a narrow S-band // J. Phys. 1977. - V.C10. - pp.271-276.

4. Harris A.B. Lange R.V. Single Particle Excitations in Narrow Energy Bands // Phys. Rev. 1967. - V.157. - pp.279-314.

5. Brinkman W.F. Rice T.M. Single-Particle Excitations in Magnetic Insulators // Phys. Rev. 1970. - V.B2. - p.1324.

6. Еремин M.B. Андреев А.И., Ерцмин И.М. К теории неупругого рассеяния нейтронов в сверхпроводнике Pr0.88LaCe0.12Cu04-x // Письма в ЖЭТФ.- 2007. Т.86. - С.386.

7. A. A. Abrikosov, Physics 2, 21 (1965).1.ui М. Doniach S. and Gabay M. Doping dependence of antiferromagnet-ic correlations in high-temperature superconductors // Phys. Rev. 1988. -V.B38. - pp.6631-6635.

8. Auerbach A. Interacting Electrons And Quantum Magnetism / A. Auerbach- New York: Springer Verlag, LLC, 1994.

9. Lee P.A. Nagaosa N. and Wen X.-G. Doping a Mott insulator: Physics of high-temperature superconductivity // Rev. Mod. Phys. 2006. - V.78. - pp.17-85.15l Sachdev S. Quantum Phase Transitions / S. Sachdev London: Cambridge Univ. Press, 1999.

10. Sachdev S. Quantum magnetism and criticality // Nature Physics. 2008. -V.4. - pp.173-212.

11. Mason T. E. in Handbook on the Physics and Chemistry of Rare Earths: High-Temperature Superconductors II, ed. by J. K. A. Gschneidner, L. Eyring, and M. B. Maple // Elsevier, Amsterdam. - 2001. - V.31. - pp.281-314.

12. Tranquada J. M. in Handbook on High-Temperature Superconductivity. Theory and Experiment, ed. by J. R. Schrieffer // Springer, Berlin/ 2007. cond-mat/0512115.

13. Hayden S. M., Aeppli G., Mook H.A. et. al. Comparison of the High-Frequency Magnetic Fluctuations in Insulating and Superconducting La2-xSrxCu04 // Phys. Rev. Lett. 1996. - V.76. - pp. 1344-1347.

14. Hayden S.M., Aeppli G., Perring T.G. et. al. High-frequency spin waves in YBa2Cu306.15 // Phys. Rev. 1996. V.B54. - pp.R6905-R6908.

15. Keimer B., Birgeneau R.J., Cassanho A. et. al. Scaling Behavior of the Generalized Susceptibility in La2-xSrxCu04+y // Phys. Rev. Lett. 1991. - V.67.- pp.1930-1933.

16. Keimer B., Belk N., Birgeneau R.J., et. al. Magnetic excitations in pure, lightly doped, and weakly metallic La2Cu04 // Phys. Rev. 1994. - V.B46. -pp.14034-14053.

17. Kakurai K., Shamoto S., Kiyokura T. et. al., Neutron-scattering study of magnetic fluctuations in Zn-substituted YBa2Cu306.6 // Phys. Rev. 1993.- V.B48. pp.3485-3490.

18. Hiraka H., Endoh Y., Fujita M. et. al, Spin Fluctuations in the Underdoped High-Tc Cuprate Lal.93Sr0.07Cu04 // J. Phys. Soc. Jpn. 2001. - V.70. -pp.853-858.

19. Stock C., Buyers W.J.L., Liang R. et. al. Dynamic stripes and resonance in the superconducting and normal phases of YBa2Cu306.5 ortho-II superconductor // Phys. Rev. B. 2004. - V.69. - pp.014502-014523.

20. Coldea R., Hayden S.M., Aeppli G. et. al. Spin Waves and Electronic Interactions in La2Cu04 // Phys. Rev. Lett. 2001. - V.86. - pp.5377-5380.

21. Fong H.F., Bourges P., Sidis Y. et. al. Spin susceptibility in underdoped YBa2Cu306.x // Phys. Rev. B. 2000. - V.61. - p.14773.

22. Christensen N. B., McMorrow D. F., R0nnow H. M. et. al. Dispersive Excitations in the High-Temperature Superconductor La2-xSrxCu04 // Phys. Rev. Lett. 2004. - V.93. - pp.147002-147005.

23. Tranquada J. M., Woo H., Perring T. G. et. al. Quantum magnetic excitations from stripes in copper oxide superconductors // Nature. 2004. - V.429. -pp.534-538.

24. Stock C., Buyers W. J. L., Cowley R. A. et. al. From incommensurate to dispersive spin-fluctuations: The high-energy inelastic spectrum in superconducting YBa2Cu306.5 // Phys. Rev. 2005. - V.B71. - pp.024522-024539.

25. Hayden S. M., Mook H.A., Dai P. et. al. The structure of the high-energy spin excitations in a high-transition-temperature superconductor // Nature. -2004. V.429. - pp.531-534.

26. Sachdev S., in Quantum magnetism, Lecture Notes in Physics // Springer, Berlin. 2004, cond-mat/040104.

27. Vojta M., Vojta T., and Kaul R.K. Spin Excitations in Fluctuating Stripe Phases of Doped Cuprate Superconductors // Phys. Rev. Lett.- 2006. V.97. - pp.097001-097001.

28. VojtaM., Ulbricht T. Magnetic Excitations in a Bond-Centered Stripe Phase: Spin Waves Far from the Semiclassical Limit // Phys. Rev. Lett. 2004. -V.93. - pp.127002-127005.

29. P. Prelovsek, I. Sega, and J. Bonca Scaling of the Magnetic Response in Doped Antiferromagnets // Phys. Rev. Lett. 2004. - V.92. - pp.027002-027005;

30. Sherman A. Incommensurate magnetic response in cuprate perovskites // Phys. Lett. 2005. - V.A337. - pp.435-440.

31. Sherman A., Schreiber M. Rotationally invariant approximation for the two-dimensional t-J model // Phys. Rev. 2002. - V.B65. - pp.134520-134527.

32. Sherman A., Schreiber M. Resonance peak in underdoped cuprates // Phys. Rev. 2003. - V.B68.- pp.094519-094526.

33. Sherman A., Schreiber M. Two-dimensional t-J model at moderate doping // Eur. Phys. J. 2003. - V.B32. - pp.203-214.

34. Mori H., Prog. Transport, Collective Motion, and Brownian Motion // Theor. Phys. 1965. - V.33. - pp.423-455.

35. Mori H. A Continued-Fraction Representation of the Time-Correlation Functions // Prog. Theor. Phys. 1965. - V.34. - pp.399-416.

36. Igarashi J. 1/S expansion for thermodynamic quantities in a two-dimensional Heisenberg antiferromagnet at zero temperature // Phys. Rev. 1992. - V.B46.- pp.10763-10771.

37. Igarashi J. 1/S expansion for dynamical structure factors in a two-dimensional Heisenberg antiferromagnet at zero temperature // J.Phys.Cond.Matt. 1992.- V.4. pp.10265-10276.

38. Singh R.R.P. Thermodynamic parameters of the T=0, spin-1/2 square-lattice Heisenberg antiferromagnet // Phys. Rev. 1989. - V.B39. - pp.9760-9763.

39. Shimahara H., Takada S. Green's Function Theory of the Two-DimensionalHeisenberg ModellJSpin Wave in Short Range Order //J. Phys. Soc. Jpn. 1991. - V.60. - p.2394.

40. Барабанов А.Ф., Березовский B.M. Фазовые переходы второго рода в сферически симметричной теории 2D гейзенберговского фрустрированного антиферромагнетика // ЖЭТФ. 1994. - В. 106. с.1156. |JETP - 1994. - V.79. р.627].

41. Barabanov A.F., Berezovsky V.M. On the Theory of the Two-Dimensional Heisenberg Antiferromagnet with Frustration on a Square Lattic // J. Phys. Soc Jpn. 1994. - V.63. - p.3974.

42. Barabanov A.F., Maksimov L.A., Mikheenkov A.V. Spin Polaron in the Cuprate Superconductor: Interpretation of the ARPES Results, in: Spectroscopy of High-Tc Superconductors. A theoretical View, ed. N.M. Plakida (Taylor&Francis, 2003), p.l

43. Barabanov A.F., Maksimov L.A. Damping of magnons in a two-dimensional S = 1/2 Heisenberg antiferromagnet // Phys. Lett. 1995. - V.A207. - pp.390396.

44. Церковников Ю.А. О расцеплении цепочек уравнений для двухвремепных функций Грина // ТМФ. 1971. - V.7. - рр.250-261.

45. Plakida N.N. Dyson equation for Heisenberg ferromagnet // Phys. Lett. -1973. V.A43. - pp.481-482.

46. Stojkovic B.P. and Pines D. Theory of the longitudinal and Hall conductivities of the cuprate superconductors // Phys.Rev. B. 1997. - V.55. - pp.8576-8595.

47. Hlubina R., Rice Resistivity T.M. as a function of temperature for models with hot spots on the Fermi surface // Phys. Rev. B. 1995. - V.51. - pp.9253-9260.

48. Sadovskii M.V. and Strigina N.A. Optical Conductivity in a Two Dimensional Model of the Pseudogap State // JETP. - 2002. - V.95. - pp.526-554.

49. Brugmans M.J.P. and Vos W.L. Competition between vitrification and crystallization of methanol at high pressure //J. Phys. Chem. 1995. - V.103. -pp.2661-2669.

50. Tyc S. and Halperin B.I. Damping of spin waves in a two-dimensional Heisenberg antiferromagnet at low temperatures // Phys. Rev. B. 1990. - V.42. -pp.2096-2115.

51. Millis A. J., Monien H., Pines D. Phenomenological model of nuclear relaxation in the normal state of YBa2Cu307 // Phys. Rev. 1990. - VB42. - pp.167-178.

52. Chubukov A.V., Pines D., Schmalian J. The Physics of Superconductors, ed. by K.H. Bennemann and J.B. Ketterson // Springer, Berlin. 2003. - V.l. -p.495, cond-mat/0201140.

53. Abanov Ar., Chubukov A. A Relation between the Resonance Neutron Peak and ARPES Data in Cuprates // Phys. Rev. Lett. 1999. - V.83. - pp. 16521655.

54. Barabanov A.F., Maksimov L.A., Mikheenkov A.V. Spin Polaron in the Cuprate Superconductor: Interpretation of the ARPES Results Spectroscopy of High-Tс Superconductors. A theoretical View, ed. N.M. Plakida // Tay-lor&Francis. 2003. - p.l.

55. Barabanov A.F., Mikheenkov A.V., Belemuk A.M. Renormalized spin susceptibility in layered frustrated antiferromagnet related to cuprates // Phys. Lett. A. 2007. - V.365. - pp.469-472. 96

56. Eschrig M. The effect of collective spin-1 excitations on electronic spectra in high-T c superconductors // Advances in Physics. 2006. - V.55. - pp.47-183.

57. Kondo J. and Yamaji K. Green's-Function Formalism of the One-Dimensional Heisenberg Spin System // Prog. Theor. Phys. 1972. - V.47. - pp.807-819.

58. Schmalfuss D., Darradi R., Richter J. et. al. Quantum J1-J2 antiferroma.g-net on the stacked square lattice: Influence of the interlayer coupling on the ground-state magnetic ordering // Phys. Rev. Lett. 2006. - V.97. - p.157201.

59. Siurakshina L., Ihle D., and Hayn R. Magnetic order and finite-temperature properties of the two-dimensional frustrated Heisenberg model // Phys. Rev.-2001. V.B64. - pp. 104406-104410.

60. O. P. Sushkov, J. Oitmaa, and Zheng Weihong Quantum phase transitions in the two-dimensional J1-J2 model // Phys. Rev. 2001. - V.B63. - pp.104420.

61. Sirker J., Weihong Zheng, Sushkov O. P. et al. J1-J2 model: First-order phase transition versus deconfinement of spinons // Phys. Rev. 2006. - V.B73. -pp. 184420-184426.

62. Misguich G. and Lhuillier C. Two-dimensional quantum antiferromagnets, in Frustrated spin systems, edited by H.T. Diep // World Scientific, Singapore. 2005. - pp.229-306.

63. Bose I. in Field Theories in Condensed Matter Physics, edited by S. Rao // Hindustan, New Delhi. 2000. - pp.359-408.

64. Anderson P.W. The Resonating Valence Bond State in La2Cu04 and Superconductivity // Science. 1987. - V.235. - pp.1196-1198.

65. Kumar R. and Kumar B. Fourfold degenerate columnar-dimer ground state in square lattice antiferromagnets // Phys. Rev. B. 2008. - V.77. -pp.144413.

66. Lieb E.H., Schultz T.D., and Mattis D.C. Two Soluble Models of an Antifer-romagnetic Chain // Ann. Phys. (N.Y.). 1961. - V.16. - pp.407-466.

67. Affleck I.A. and Lieb E.H. A Proof of Part of Haldane's Conjecture on Spin Chains // Lett. Math. Phys. 1968. - V.12. - pp.57-69.

68. F.D.M. Haldane Nonlinear Field Theory of Large-Spin Heisenberg Antifer-romagnets: Semiclassically Quantized Solitons of the One-Dimensional Easy-Axis Ne'el State // Phys. Rev. Lett. 1983. - V.50. - pp.1153-1156.

69. Hastings M.B. Lieb-Schultz-Mattis in higher dimensions// Phys. Rev. B. -2004. V.69. - pp.104431.

70. Read N. and Sachdev S. Some features of the phase diagram of SU(N) an-tiferromagnets on a square lattice // Nuclear Physics B. 1989. - V.316. -pp.609-640.

71. Read N. and Sachdev S. Valence-bond and spin-Peierls ground states of low-dimensional quantum antiferromagnets // Phys. Rev. Lett. 1989. - V.62. -pp.1694-1697.

72. Read N. and Sachdev S. Spin-Peierls, valence-bond solid, and Ne'el ground states of low-dimensional quantum antiferromagnets // Phys. Rev. B. 1990. - V.42. - pp.4568-4589.

73. Nogueira F. Deconfined quantum criticality driven by Dirac fermions in SU(2) antiferromagnets // Phys. Rev. B. 2008. V.77. - pp.195101.

74. Ying Jiang and Guo-Hong Yang Haldane's instanton in 2D Heisenberg model revisited: Along the avenue of topology // Phys. Lett. A. 2009. - V.373. -pp.4194-4196.

75. Mikheyenkov A.V., Kozlov N.A., Barabanov A.F. On the damping in the two-dimensional frustrated Heisenberg model // Phys. Lett. A. 2009. - V.373. -p.693.

76. Sherman A., Schreiber M. Resonance peak in underdoped cuprates // Phys. Rev. B. 2003. - V.68. - pp.094519-094526.

77. Mambrini M. et. al. Plaquette valence-bond crystal in the frustrated Heisenberg quantum antiferromagnet on the square lattice // Phys. Rev. 2006. -V.B74. - p.144422.

78. Moreo A. et. al. Incommensurate correlations in the t-J and frustrated spin-1/2 Heisenberg models // Phys. Rev. B. 1990. - V.42. - p.6283.