Максимальные подалгебры р-алгебр Ли картановского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.2

ГЛАВА I. ОСНОШЫЕПОНЯТИЯ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.II

§ 0. Основные обозначения и соглашения.II

§ I. Градуированные и фильтрованные алгебры Ли.12

§2. Алгебра разделенных степеней. Ограниченные алгебры

Ли картановского типа.14

§ 3. Автоморфизмы алгебр Ли картановского типа.20

ГЛАВА 2. МАКСИМАЛЬНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ПОДАЛГЕБРЫ В ПРОСТЫХ

-АЛГЕБРАХ Ж КАРТАНОВСКОГО ТИПА.25

§ I. Максимальные однородные подалгебры с условием к).25

§ 2. Максимальные подалгебры с условием я я).28

§ 3. Максимальные подалгебры с условием к к к).44

§ 4. Примеры максимальных -подалгебр.67

ГЛАВА 3. АЛГЕБРЫ Ж КОНТАКТНОГО ТИПА.69

§ I. Алгебра LCl.i") .70

§ 2. Алгебры L(^VU) .87

Одним из основных результатов настоящей диссертации является построение новой серии простых конечномерных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики р = 5 • Эта конструкция возникла отчасти под влиянием планомерного изучения максимальных подалгебр в алгебрах Ли картановского типа*

Теория конечномерных модулярных простых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем в настоящее время переживает период интенсивного развития. Основной нерешённой проблемой в этой теории, несомненно, является классификация простых модулярных алгебр Ли.

Теория простых алгебр Ли над полем комплексных чисел почти полностью была завершена к началу XX столетия с связи с изучением непрерывных групп преобразований. Эти алгебры и их естественные аналоги над произвольным полем называются алгебрами Ли классического типа.

Построенный Виттом первый пример модулярной неклассической простой алгебры Ли относится к 30-м годам. Дальнейшее развитие теории алгебр Ли шло, в основном, по следующим направлениям{аксиоматическое строение классических модулярных алгебр Ли; отыскание новых примеров неклассических простых модулярных алгебр Ли; изучение неприводимых представлений модулярных алгебр Ли.

Ввиду совершенства классификации классических алгебр над полем комплексных чисел аксиоматическая теория модулярных классических алгебр ( с постулированием основных свойств картановских разложений ) сравнительно за короткий срок была завершена Миллсом I и Г.Селигманом.

Ситуация в теории модулярных неклассических алгебр Ли в начале 60-х годов оставалась весьма сложной. А.Албертом, Н.Джекобс он ом, Г.Цассенхаузом, М.Франк, Р.Ри, Р.Блоком и другими были построены многочисленные серии простых неклассических модулярных алгебр Ли ( см. [l] ). Однако существующие примеры не давали основания для разумного подхода в классификационной задаче. По* ложение коренным образом изменилось с появлением работы А.И.Ко-стрикина и Й.Р.Шафаревича [2 J , в которой по аналогии с так называемыми бесконечными алгебрами Картана, играющими важную роль в геометрии, определялись четыре бесконечные серии простых |р-алгебр Ли картановского типа Wh. , s И/ » ГЫ» i> п * в которые укладывались все известные неклассические р -алгебры Ли при характеристике (3 > ^ .В последующей работе [з], расширяя свою конструкцию^.Й.Кострикин и Й.Р.шафаревич построили серии простых алгебр Ли, не являющихся |Э -алгебрами. Кроме инвариантного описания конечномерных простых алгебр Ли картановского типа, при некоторых дополнительных ограничениях было получено также отождествление с ними абстрактных градуированных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем |t характеристики [) > S

Результаты, идеи, а также отдельные высказывания работы Ы в последующе годы стали богатым источником для исследователей модулярных алгебр Ли. Метод фильтраций и метод картановских продолжений из работы [2] заложили основу обширной классификационной программы, постепенная реализация которой продолжается по настоящее время.

Суть программы состоит в следующем. Для модулярной простой алгебры Ли dC подбирается максимальная подалгебра jC0 минимальной коразмерности и по ней строится неуплотняемая фильтрация [4] :

X = х.я => ■ ■ ■ =>2-1 => А=> ••• э 0■

Градуированная алгебра называется ассоциированной градуированной алгеброй. На этом этапе возникают две взаимно связанные части классификационного подхода,

I) Классификация fy -градуированных алгебр Ли, ассоциированных с простыми фильтрованными алгебрами.

II) Восста новление фильтрованных алгебр Ли по ассоциированным градуированным алгебрам (теория фильтрованных деформаций).

В работе [3] приведена полная классификация 'l -градуированных алгебр Ли с условием dlml\ при характеристике р >7.

В работах [б] , [б] приведена классификация ^-градуированных транзитивных неприводимых алгебр Ли с компонентой L о » являгацейся прямой суммой классических простых алгебр Ли, М.И.Кузнецовым [7] изучены i-градуированные неприводимые алгебры Ли с нуль-компонен-той;являпцейся суммой коммутирующих идеалов. А.И.Кострикин [в] описал полностью \ -градуированные транзитивные неприводимые алгебры с нулевой компонентой, изоморфной алгебре Витта Wi . Я.С.Крылкком

9] изучены 1 -градуированные неприводимые транзитивные алгебры с некоторими дополнительными ограничениями на и с компонентой L0 = ЗД ® » где Л^ -алгебра Ли картановского типа, а -произвольная алгебра Ли.

В связи со второй частью классификационной задачи А.С.Джума-дильдаевым

10] , [II] были изучены деформации алгебр Ли кар -тановского типа, позволящие установить глубокие внутренние связи между отдельными картановскими сериями.

Предложенная А.И.Кострикиным и И.Р.Шафаревичем конструкция картановских алгебр Ли была также развита в других работах (см.

12 J , [13] ).

Многочисленные работы посвящены структурным свойствам самих алгебр Ли картановского типа. В частности , А.С. Тюриным [l4] и С.,П.Деыушкиным [15] , [1б] изучались подалгебры Картана в простых каратновских алгебрах, а Я.С.Крылюком [17] , А.А.Преметом [1в] неприводимые представления алгебр Ли картановского типа. Обширные исследования в том же направлении ведутся казанскими математиками Ю.Б.Ермолаевым, О.Г.Зльстингом и Н.А.Корешковым (см. [19] и [зо] ).

Все полученные до сих пор результаты подтверждают гипотезу А.И.Кострикина и И.Р.Шафаревича

Гипотеза К.-Ш. Любая конечномерная простая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики f> *> 5 изоморфна либо алгебре Ли классического типа, либо некоторой деформации одной из градуированных алгебр Ли картановского типа.

В полном соответсвии с этой гипотезой находятся новые результаты Р.Блока - Р.Уилсона (см, [2l] , [22] ), согласно которым произвольная простая f> -алгебра Ли при > 7 с тороидальной подалгеброй Картана изоморфна либо одной из алгебр классического типа, либо алгебре 4J\ь •

Существенной частью структурной теории любой алгебраической системы является изучение всех её максимальных подсистем.

Проблема описания всех максимальных подалгебр конечномерной простой модулярной алгебры Ли представляет значительный интерес с разных точек зрения. Однако даже в классическом случае комплексных простых алгебр Ли эта задача была решена лишь спустя пятьдесят лет после основополагающих классификационных результатов Киллинга-Картана.

В модулярном случае, где классификация пока отсутствует,проблема неизмеримо усложняется в применении к уже известным типам алгебр. Между тем знание максимальных подалгебр в них может дать новую существенную информацию о структуре, а так же о деформациях этих алгебр,

В данной работе описываются максимальные однородные (относительно стандартной градуировки) подалгебры в простых р -алгебрах Ли картановского типа. Отметим, что описание максимальных подалгебр, без каких-либо ограничений, представляется пока исключительно сложной задачей.

Остановимся теперь более подробно на содержании диссертации. Глава I содержит основные определения и вспомагательные результаты. Вводятся алгебры разделённых степеней, -алгебры Ли картановского типа и группы автоморфизмов этих алгебр. Формулируются некоторые результаты, относящиеся к описанию орбит действия группы однородных автоморфизмов алгебр Ли картановского типа на множенстве векторных подпространств компоненты L-i стандартной градуировке.

В главе 2 для простой f) -алгебры L С L= Sh, l"L, КиЛ картановского типа со стандартной градуировкой

L = Ц + L4+ Ц+ Ll +•>• + Ц , описываются все максимальные подалгебры М с условием однородности:

М-^МАЦ).

Задача описания максимальных однородных подалгебр разбиваются на три части: х) Максиамльные подалгебры в L > содержащие L., + L ; х *) Максимальные подалгебры с компонентой ф L.j ; к к s) Максимальные подалгебры в L » содержащие Lx » но не со~ держащие .

Ввиду максимальности подалгебры L. с L

Wo L i любая максимальная однородная подалгебра И с L попадает в один из вышеуказанных классов.

В теореме 2.1 перечислены все максимальные однородные подалгебры с условием х). В частности, получается, что любая такая подалгебра либо является простой классической алгеброй, либо мало отличается от простой картановской р -алгебры.

Описанию максимальных подалгебр с условием х х) посвящен § 2.2 . Для каждого подпространства V с I—\ ( V 1—4 ) определяется градуированная подалгебра

JUV) =»t®.£JMV) , где JMV)-tV,V] , Л-ЛУ) = V , а для i » 0 ,

Доказано (теорема 2.2) , что для пространства

V с L подалгебра JIUV) всегда является максимальной подалгеброй в L и подалгебрами же V) , осчерпываюся (при Sh,, Ни, > все максимальные однородные подалгебры в L с условием х х). В случае L 5=5 К и.+ 4 дополнительно вводятся подалгебры jit (Ц , V ) , отвечающие любому подпространству V с |^ с условием [ V,V] Ю). Именно,

JIUU.V) = ®2it£a.„v), где ЛЦ(Ц,У) «Ц , l.,(U,V)=V , ll(UV) =

-fxeLiI [JHj(L.2,V), x] a il^jlU.V).]—V2j,t>0.

Согласно теореме 2.2, подалгебрами

JIUV) . HL„V) исчерпываются все максимальные однородные подалгебры в Ки+4 » удовлетворяющие условию к к). В этом параграфе указаны представители всех классов сопряжённости максимальных подалгебр и приведены размерности максимальных подалгебр.

В третьем параграфе главы 2 описываются максимальные подалгебры с условием х х х). Для каждой подалгебры 0 L 0 определяется градуированная подалгебра в L вида жим = .Ф.да-ьМ > где JML-.,, А0) = Ц , i <0 , Жоа-,,А0)= а для i > 0 ,

JUL, ,V> s JHhIU,,^ > .

Очевидно, что любая максимальная однородная подалгебра в L с условием х х х) имеет вид JUlCL.^ К0) , причём, в соответствии с предложением 2.9, подалгебра обязательноь должна быть максимальной в L0 . Далее, вводятся понятия ^-подалгебры и £ -подалгебры. На первом этапе полностью описываются максимальные & -подалгебры (см. теоремы 2.3 , 2.4 , 2.5 , 2.6). Для каждой серии найдены числа классов сопряжённых максимальных R. подалгебр, а также размерности этих подалгебр. Следует отметить, что для приводимой максимальной подалгебры I\q ^ L. 0 , подалгебра ЛЦЦ, А0) максимальна в L всегда при L —Wn,, Ьц, Ht, а при L — К w + Л Т0ГДа и только тогда, когда существует инвариантное относительно i\0 подпространство V ^ \^ , такое, что L V, V ] = (0) •

Для максимальных лЭ -подалгебр д.а-ьМ. , ввиду отсутствия полного описания максимальных подалгебр в модулярных классических алгебрах Ли, нам не удалось получить описание в том явном виде, который был придан максимальным R. -подалгебрам. Тем не менее в предложениях 2.12, 2.13, 2.14 сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия, выполнение которых гарантирует максимальность J!i(L-^Ao) в L • В заключительном параграфе главы 2 рассматриваются содержательные примеры максимальных £ - подалгебр в картановских J) -алгебрах Ли,

Еще в работе Ы А.И.Кострикиным было замечено существование вложения алгебры Витта w, в простую классическую алгебру С Р-1 над алгебраически замкнутым полем характеристики Ь > 3 .

Оказалось (см. что образ 1 V "W максимален в

Мы проверяем, что в И P^J алгебра Jll(L.{ ? f является максимальной 3 -подалгеброй. Аналогичная конструкция для L= V\ реализуется в единственно возможном случае (при И= Z , р = 5 ), который подробно рассматривается в третьей главе. В работах Я.С.Крылкка Ы при описании аналогов контактной алгебры и М.И.Кузнецова [2б] были получены результаты, мотивирующие описание 2 -градуированных неприводимых транзитивных алгебр Ли с условием о) cU,La , L0 * Vi/< ®ft над алгебраически замкнутым полем характеристики \> = 5 . Ограничение (Э =■ S обусловлено тем фактом, что при > <5* неприводимых простых градуированных алгебр Ли с условием 0) не существуют ( см. предложение II работы [2б] ).

Следует отметить,что в гипотезе К.- Ш. ограничение 2,3 существенно, поскольку при = 2 и 3 существуют простые алгебры Ли, не имеюцие аналогов при f) > 3 •

В первом параграфе главы 3 строится простая 125-мерная f) -алгебра Ли т, о над алгебраически замкнутым полем fe характеристики |) = 5 , удовлетворяющая условию 0) и реализуемая в виде максимальной к) -подалгебры контактной р -алгебре К 3 .

Доказано, что LU, \ ) не является К,- Ш.-алгеброй, т.е. ограничение > £ в гипотезе К,- Ш. существенно. Далее, во второй параграфе, обобщая конструкцию алгебры L ( 4 , j) , мы строим дщупараметричеекуго серию L(M>,)ft) ( W/ , ИЬ -целые положительные числа) простых алгебр Ли контактного типа, которыми исчерпываются все неприводимые транзитивные простые градуированные алгебры Ли с условием 0).

Нумерация лемм, формул, теорем и предложений в каждом главе начинается заново. Ссылка dl. £ означает, что ct -номер главы, а

J6 -номер леммы* предложения, теоремы или параграфа в этой главе. Если лемма, предложение, теорема или параграф находится в данной главе, то oL опускается.

Результаты диссертации полностью опубликованы в работах

N - [si] .

Автор выражает глубокую благодарность чл-корр, АН СССР, профессору А,И.Кострикину, под руководством которого выполнена настоящая работа.

1. Seligman G.B. Modular Lie algebras. - Erg. Math., 40 , Springer, 1967.

2. Кострикин А.И., Шафаревич И.P. Псевдогруппы Картана и |р -алгебры Ли. Докл. АН СССР, 1966, 168, № 4, 740-742.

3. Кострикин А.И., Шафаревич И.Р. Градуированные алгебры Ли конечной характеристики. - Изв. АН СССР, Сер. матем., 1969, 33, №2, 251-322.

4. Кострикин А,И. Модулярные вариации по тему Картана, в кн. Международный конгресс математиков в Ницце, 1970. Доклады Советских математиков. М., 1972, III-II7.

5. Кац В.Г. О классификации простых алгебр Ли над полем с ненулевой характеристики. Изв. АН СССР, Сер. матем., 1970, 34,Р 2, 385-408.

6. Gregory Т.В. A characterisation of the contact Lie algebras. Pr. Amer. Math. Soc., 1981, 82, 505-511.

7. Кузнецов М.И. Градуированные алгебры Ли с нулевой компонентой, равной сумме комму тиру гацих идеалов. Матем. Сборник, 1981, 116(158), Р 4(12), 568-574.

8. Кострикин А.И. Неприводимые градуированные алгебры Ли с компонентой L0 Wi . - Матем. записки, Уральский гос. ун-т им. А.М.Горького, 1970, 7(3), 92-103.

9. Крылюк Я.С. Модули над алгебрами Ли, допускающие первое кар-тановское продолжение. Успехи матем. наук, 1979, 34, Н? 3, 203-204.

10. Джумадильдаев А.С. Деформации общей алгебры Ли картановского типа. Докл. АН СССР, 1980,251, W б, 1289-1292.

11. Джумадильдаев А.С. Относительные когомологии и деформации алгебр Ли картановского типа. Докл. АН СССР, 1981, 257,W 5, I044-1048.

12. Кац В.Г. Описание фильтрованных алгебр Ли, с которыми ассоциированы градуированные алгебры Ли картановского типа .- Изв. АН СССР, Сер. матем., 1974, 38, W 4, 800-834.

13. Wilson R.L. A structural characterization of the Simple Lie algebras of generalized Cartan type over fields of prime characteristic.- Journal of Algebra, 1976, 40, 418-465.

14. Тюрин С.А. О подалгебрах Картана абщей алгебры Ли картановского типа. Матем. Сборник, 1981, 116(158), W 4(12), 547-557.

15. Демушкин С.П. Подалгебры Картана простых р -алгебр Ли Wyt, Sh, . Сиб. матем. ж., 1970, XI, № 2, 310-325.

16. Демушкин С.П. Подалгебры Картана простых неклассическихр -алгебр Ли. Изв. АН СССР, Сер. матем., 1972, 36, № 5, 915-933.

17. Крылюк Я.С. О неприводимых модулях алгебр Ли картановского типа в конечной характеристике, ч. I, II. М. 1978. Деп. в ВИНИТИ W 3863-78, № 3864-78.

18. Премет А.А. Неприводимые ограниченные представления гамиль-тоновой и контактной р -алгебр Ли. Препринт Ин-та математики АН БССР, № 14(171), Минск 1983.

19. Ермолаев Ю.Б. К вопросу о картановских продолжениях. Изв. ВУЗ-ов, Математика, 1981, № II, 30-40.

20. Эльстинг О.Г. Об одном классе простых градуированных р -алгебр Ли. ХУП Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы докладов, часть I. Минск, 1983, 228.

21. Block R.E., Wilson R.L. The simple Lie p-algebras of rank two. Ann. of Math., 1982, 115, N1, 93-168.

22. Wilson R.L. Classification of the restricted simple Lie algebras with toral Cartan subalgebras.- Journal of Algebra 1983, 83, Ш2 , 531-540.

23. Кострикин А.И. Некоторые аспекты теории алгебр Ли.- Избранные вопросы алгебры и логики, сб. посвященный памяти А.И.Мальцева, Новосибирск, 1973

24. Тен. O.K. О максимальных подалгебрах классических модулярных алгебр Ли. ХУП Всесоюзная алгебраическая конференция, Тезисы докладов, часть I, Минск, 1983, 183.

25. Крылюк Я.С. Инвариантные билинейные формы на представлениях алгебр Ли и аналоги контактной алгебры. М. 1978. Деп. в ВИНИТИ № 3865-78.

26. Кузнецов М.И. Алгебры Ли с подалгеброй коразмерности р . Изв. АН СССР, Сер.матем., 1976, 40, № 6, 1224-1247.

27. Меликян Г.М. Об одной простой алгебре Ли.- ХУ Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы докладов, Новосибирск1979,

28. Меликян Г.М. О простых алгебрах Ли характеристики 5 . Успехи матем. наук, 1980, 35, Р I, 132-133.

29. Меликян Г.М. Простые неприводимые 2-градуированные алгебры Ли с компонентой . 1У Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей, Тезисы сообщений, Кишинев,1980, 74-75.

30. Меликян Г.М. Простые неприводимые 2-градуированные алгебры Ли с компонентой L0 ^ Wt ® k . М. 1982, Деп. в ВИНИТИР 1688-82.

31. Меликян Г.М. Максимальные однородные подалгебры в простыхр -алгебрах Ли картановского типа,- М. 1984, Деп. в ВИНИТИ р 3653 84 .

32. Джекобсон Н. Алгебры Ли. " Мир " М. 1964.

33. Рудаков А.Н. Группы автоморфизмов бесконечномерных простых алгебр Ли. Изв. АН СССР, Сер. матем. 1969, 33, Р4, 748-764.

34. Wilson R.L. Automorphisms of graded Lie algebras of Cartan type. Comm.Algebra, 1975, 3, N7, 591-613.

35. Kaplansky I. Some simple Lie algebras of characteristic 2. " Lect. Hotes Math." 1982, 933, 127-129.

36. Кострикин А.И. Параметрическое семейство простых алгебр Ли.-Изв. АН СССР, Сер.матем., 1970, 34, 744-756.

37. Кац В.Г. Глобальные псевдогруппы Картана и простые алгебры Ли.Успехи матем. наук, 1971, 26, №3(159), 199-200.

38. Chang H.J. liber Wittshe Lie-Ringe. Abh.Math.Sem. Hamb.Univ., 14, 1941, 151-184.