Максимальные подгруппы в особых группах Шевалле, содержащие максимальный тор тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САЖТ-ПЕТЕРБУРГСКИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи

МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ Б ОСОБЫХ ГРУППАХ ШЕВАЛЛЕ, СОДЕНМИЕ МАКСИМАЛЬНЫЙ ТОР

Специальность oi.oi.oe - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

ДЕНИСОВА. Елена Владимировна

САНКТ - ПЕТЕРБУРГ

1994

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент ВАВИЛОВ H.A.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Московский государственный университет

на заседании совета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургской государственном университете. Адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф,

Санкт-Петербургского университета.

Защита будет проводится по адресу: Санкт-Петербург, наб.р. Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 /помещение ПОШ/.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени А.М.Горького Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан *0(>ш 04 1694 г.

Ученый секретарь специализированного

совета, доцент Р.А.Шмидт

профессор ГОРДЕЕВ Н.Л.,

кандидат физико-математических наук,

Цысовскюс В.И.

Библиотечная площадь., 2, матештико-механический факультет

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Вопросы изучения подгрупп з линейных группах являются одним из классически ■ направлений в теории линейных груш. Этому направлению были посвящены многочисленные исследования начиная с работ Жордана, Дьедоне и Диксона. В последние годы широкое внимание привлекли вопроси расположения промежуточных подгрупп, т.е. подгрупп, содержащих некоторую фиксированную подгруппу. Часто принимают за такую подгруппу грушу диагональных матриц. До второй половины 70-х годов на эту тему мало что бнло известно даже для случая поля. В 1965 году в классической работе Бореля-Титса 123 были изучены связные алгебраические подгруппы в редуктивной группе над алгебраически замкнутым полей. Из этих исследований вытекало описание алгебраических подгрупп в груше 0 = И ( п , К ), содержащих I) = д ( п , К ) - группу диагональных матриц, где (К - алгебраически замкнутое поле. С точки зрения теории алгебраических групп - ото задача описания подгрупп, содержащих максимальный расщспимый тор. Приведенные результаты Бореля - Титса были значительно усилены в работе [1] З.И.Боревмча, где доказывалось, что для произвольного поля, содержащего не менее семи элементов, промежуточные подгруппы являются алгебраическим! и решетка промежуточных подгрупп конечна. Прямым обобщением результата Бореля - Титса является описание подгрупп в группах Юевалле, содержащих расщепи!,шй максимальный тор в работах Н.А.Вавилова [ 5, 6 ). В конечных группах Шеваже всех типов над конечным полем почти исчерпывающее описание подгрупп, содержащих вполне расиепимый максимальный, тор , получено Г.М.Зейтцем ( 16 ¡. Что касается надгруш нерасшепишх торов, то для конечного полянужго упомянуть результат У.Кантора И23, описавшего надгруппн цикла Зингера в полной линейной группе, и Г.М.Зейтца [20 1, перенесшего свои результаты для расщопимого тора на необязательно расщегшмые. Эта проблема исследовалась Г.М.Зейтцем в-целой серии работ с 1979 по 1983 год I 16-20 1. Задача описания промежуточных подгрупп соприкасается с другой ванной задачей теории линейных групп - задачей описания максимальных подгрупп, речь идет об описании максимальных подгрупп, принадлежащих некоторому специальному классу. Изучение максимальных подгруш конечных простых групп является активно'развиЕзючимся направлением . Принципиальные результаты

здзсь получены М.Ашбахвром, Г.М.Зейтцем, М.Либеком и др.[ 8, 13, 14, 20 ]. Описание максимальных подгрупп, содержащих максимальный расщепимый тор, содержится в работе H.A.Вавилова [4 ). В работе Г.М.Зейтца [ 20 ] било получено описание конечных групп типа Ли, содержащих произвольный максимальный тор. Однако замечательные работы Г.М.Зейтца не были доведены до конкретных ответов. Для получения исчерпывающих ответов требуется довольно значительная работа. В настоящей диссертации исследуются вопросы описания максимальных непараболических подгрупп в конечных грушах Шевалле, содержащих произвольный максимальный нерасщапимый тор. Для этого решаются такие важные вопросы как описание Т-корневых подгрупп, описание Г-замкнутых. множеств У-кордавих подгрупп, вычисление их нормализаторов и т.д. Для надгрутт расщегшмых торов сответствушцие результаты были получены в работах М.Голубицкого и Б.Ротшильда,

H.А.Вавилова и А.Л.Харебова t 4, 9, 10, 11 ]. Таким образом, проводимые в диссертации исследования входят в обцоо русло современных исследований по описанию промежуточных максимальных подгрупп в алгебраических линейных группах, что и определяет ее своевременность и актуальность.

ЦБЧЬ РАБОТЫ. Основной целью работы является описание максимальных непараболических подгрупп б особых конечных группах Шевалле , содержащих произвольный нерасщепимый максимальный тор.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе используются общие методы теории алгебраических линейных, групп, а также некоторые специальные метода, связанные с комбинаторными вычислениями в системах корней и группах Вейля.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые научные результаты.

I. Получено описание орбит Т-корневых подгрупп в гругшах Шевалле G , определенных над замыканием конечного поля IF .

2. Получено описание Т-корневых подгрупп в особых конечных группах Шевалле нормального типа.

3. Получено описание чепараболических максимальных подгюупц в особых конечных группах Шевалле, содержащих произвольный иерасщетмый максимальный тор.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. На основании теоретических исследовании составлены таблицы 1 - 6, описывающие ■ Т-кордавые подгруппы в конечных особых группах Шеваллэ и таблицы 7-11, описывающие все максимальные надгруппн максимальных торов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на совместном семинаре лаборатории алгебраических методов Санкт-Петербургского отдаления Математического института ЛН РФ и кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано три работа.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав и 11 таблиц, ев объем составляет 137 страниц машинописного текста. Библиография состоит из 40 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Содержание диссертации распределяется по четырем главам, разбитых на 16 параграфов следующим образом. Первая глава диссертации служит введением в теории алгебраических линейных групп. В ней изложены устоявшиеся известные понятия и определения.

Напоминаются такие известные понятия как понятия аффинной алгебраической группы как множества О ( над полем К ), которое одновременно является группой и айжнннм многообразием над К, так что отображения

ц: 0*0 — 0, 1: С 0 ,

где ц ( г , у ) = ху , 1 ( х ) = х~1 являются морфизмами многообразий.

Пусть С - связ71ая редуктивная группа, В - борелевская подгруппа, т. е. максимальная связная разрешимая подгруппа, Т - максимальный тор, содержащийся в В. Обозначим через иа -минимальную замкнутую подгруппу в и = Жц< В ). ( где Кц -

унипотентный радикал ), нормализуемую тором. Элементы тора Т действуют на этих подгруппах сопряжением, это задает некоторый элемент из Нош( Т , К*. ) = X . Возникающие таким образом элементы называются полохительшии корнями. Множество

полонвтзльных < отрицательных) корней обозачается Ф+ < соответственно Ф~ ). Соответствующая и^ назг заотся корневой подгруппой, отвечающей корню «. Объединение Ф = Ф+ и Ф~ навивается системой корней.

В дайной работе мы имеем дело с нормальными группами Шиваллв, т. е. когда а нэскручеыный эндоморфизм йробеинуса. Это значит, что действие эндоморфизма а на диаграмме Дынюша тривиально.

В § 4 указывается на связь трупп Шевалле с алгебраическими группами. Группа Шевалле может быть реализована как груша неподвижных точек в некоторого эндоморфизма о связной простой алгебраической группы о.

Пусть х - комплексная полупростая алгебра Ли типа Ф, где Ф - приведенная неприводимая система корней. Тогда моашо выбрать базис Шевалле х , « е Ф; ^ , е П, где П -

множество простых корней, который и будет определять построение группы Шевалле. Присоединенную труппу Шевалле легче всего себе представать как подгруппу группы автоморфизмов алгебры Шевалле порожденную некоторыми автоморфизмами специального вида. Поставим в соответствие каждому корню « <= Ф корневые униоттентше элементы ха ( ? ), е к и корневые

подупростыэ элементы ь I с ), с « к*. Основой для всех

вычислений в группах Шевалле являются, так называемые, соотношения Стеинберга. Наиболее важные из них - это аддитивность , мультипликативность ьи и коммутационная формула Шевалле, утверждающая, что

[»(?), х (С ) 1 = о. А н л <Ч' >• Глава 2 посвящена системам корней. В § 5 приводятся некоторые факты из общей теории о системах корней и обсуждается классификация простых алгебраических групп.

Пусть V - п - мерное пространство над полем вещественных чисел к. Под отражением пространства V понимается отражение относительно некоторой гиперплоскости И . Если « * и, ( ж , н > = о , то

( Р. и )

н ( р > = Р - 2-------------« , где р е V

( «. и )

Основная теорома этого параграфа описывает все возможные непустые связные схемы Дынкиня ■.

а .-„ . .. -----

Сп

о

п б.

! ■ _ е 7

Полупростыв линейны© алгебраические группы классического типа - это группы, имеющие системы корней типов А, в, с. о. Явное описание груш этих типов таково :

Ап{ п > . ) : Э!,^ ; ВП( и > 2 > : Эр^^ ;

Сп( п > 3 ) :3р2г1 ; ( п 2 4 ) : 5р1г>2п .

Группы типов е, и, а называются исключительными или особыми.

В § 6 описаны корни систем корнеа классических типов. Для групп Иевалле о = ф , к > < грут Шевалле таю Ф над полем к ) определены трансвекции ( унипотоптные кориевью подгруппы ), группы Вайля и коммутационные формулы Шевалле.

Например, хорошо известно, что корни системы корней типа ап находятся во взаимно однозначном соответствии с парами натуральных чисел

Соответствующая корневая подгруппа группы о есть группа, порожденная всеми трансвекциями видэ « ) = в + « « е п. Тогда коммутационная формула Шевалле имеет виц хорошо известного равенства :

[ « ) , „ ) 1 = с1к< « 0 ) .

Груша Вейля ч - ап > изоморфна симметрической группе 5п.1, которая действует на корнях системы корней дп_1 по формуле п ( 1 , 1 ) = ( я 1 . п 5 I .

Лналогичныз описания приводятся' и для остальных классических грут Шевалле .

В § 7 описаны корни систем корней исключительных типов. В

отличий от классических типов, описание корней, корневых подгрупп ит. д. в этих группах имеет некоторые особенности и является Солве трудоемким. Если в классических группах действие группы Вейля может быть описано в терминах групп перестановок, то для исключительных групп это не так.

Наиболее простое описание имеет система ¡сорной типа б2 , эта система имеет 12 корней : в коротких и б длинных, а н = н( в2' ) есть диздральная группа порядка 12. В описании корней системы типа ?4 мы целиком придерживались описания Бурбаки [ з ]. В описании же систем корней типов а = 8,7,а, мы несколько отовши от описания С з т.к. обьгчная реализация ' этих систем крайне неприспособлена дал проведения сложных вычислений. Описание этих систем мы позаимствовали в работах [ и, 15 ] , это очень удобная реализация - правда не в евклидовом, а в псевдоевклидовом пространстве.

Глава з посвящена описанию т - корневых подгрупп в конечных грушах Шевэдлэ ( конечных группах типа Ли ). В таблицах 1-е диссертации для каждого максимального тора описаны все соответствующие т - корневые подгруппы.

Пусть в - связная простая алгебраическая группа над замыканием конечного поля г , <г - эндоморфизм Фробениуса

группы 5, множество неподвижных точек которого й = является конечной группой. Конечной группой типа М называется любая груша в, такая, что ор (,ча ) < £ в = сд .

Дяя описания надгрупп произвольного максимального тора т Вейте обобщил понятие обычных корневых подгрупп до понятия "т- корневых " подгрупп. Более точно, пусть т - а -инвариантный максимальный тор в 5" и т-тлв. Множество д всех т - инвариантных корневых подгрупп разбивается на орбита относительно действия эндоморфизма а ■■

д = д4 и ... и д .

Положим для 1=1, ... ■■ х^ < д1 >. Тогда т - корневой

подгруппой называется подгруппа вида х1 = ор ( ( х4 )а).

Изучение подгрупп в группе с ведется методом алгебраических групп. Как известно [ 21 ], груша Шевалла з

- э

над коночным полем к может бить единственным образом вложена в некоторую линейную алгебраическую группу а над замыканием к поля к. Далее проводятся исследования в груше сТ методами теории линейных алгебраических груш и результат возвращается в исходную грушу о. Именно с этой целью и были введены т - корневые подгруппы, построенные по т - корневым подгруппам группы о.

В предложении 1 § з изложею структурное описание в инвариантных подгрупп группы содержащих максимальный тор т, а в предложении г описываются подгруппы вида

х = < х1 , х* >."

Этот результат существенным образом использован в описании непараболических максимальных подгрупп групш в. Георема 1 даэт описание т - инвариантных корневых подгрупп в случае, когда эти тру гам разрешимы и утверждает, что в том случае промежуточная разрешимая группа эсть произведение нормализатора тора в этой подгруппа и некоторого множества т -корневых подгрупп.

Для изучения неразрешимых Т - инвариантных подгрупп требуются дополнительные ограничения' : р з , ч > и .

Основные результаты теории Зейтца можно представить в вида следующей теоремы.

ТЕОРЕМА. Пусть х - т - инвариантная корневая подгруппа группы с : т 5 х г в = й ,

х

Тогда 1) < т > = у , хо = < ^ | к > .

2) Хо = Ор'< < Х1 | £ X >а ) .

3) хо - полупрямое произведение о < х ) и т -инвариантной подгруппы, являющейся центральным произведением групп Шевалле на расширенном поло .

4) Если т - максимальный тор в в, т < х, та

X X

< т > = < т1 >, причем можно выбрать гак, что

X = < т, >НХ( т, ) .

5)- Существует единственное а - инвариантное замкнутое множество кориеа э £ Ф такое, что

*„ :»"'(< х~г | г е з >„ ).

Описания подгрупп в коночных группах типа Ли, содержащих

производный максимальный тор, существенным образом опирается на теорию Стеаиберга. Основным технический инструментом этой теории является теорема .Ленга - Стеаиберга, утверждающзя, что отображение в >—. а ) сюръективно на о.

Важность этой теоремы подчеркивается ее следствиями, например, что в связной редуктивноа группе существует о -инвариантная борелевскзя подгруппа или утверящения :

1) кавдая о - инвариантная борелевская подгруппа содержит а - инвариантный максимальный тор.

2) две а - инвариантные борелевские подгруппы в с сопряжены при помощи элемента из ч .

Еще одно приложение теоремы Ленга - Стейнберга показывает, что .¡побыв два максимальных расщепшых тора сопряжены при помощи элемента из й .

а

В параграфе Ш производится классификация максимальных торов в соответствии с разбиением на классы сопряженных элементов. Практическую ценность тая нас имеет в особенности теорема 2, утворвдатоцая, что в интересующем нас случае (т.о. в грушах Шевалле нормального типа ) классы сопряженности максимальных торов находятся во взаимно однозначном соответствии с классами сопряженности в групш Веаля.

Классы сопряженных элементов в группе Вейля описаны в § и как дня классических групп, так и для исключительных. Это описание основано на том, что каждому и е и ( и = и1«2,

= 1 ), ставится в соответствие граф Г по некоторому правилу. В таблицах з - ? 17 1 содержится информация о таких графах Г и классах сопряженных элементов в группе Веаля. Таким образом закончена классификация максимальных торов в группах Шевалле.

В параграфе 12 описаны основные принципы построения орбит т - корневых подгрупп в группе 6". Для описания орбит были приложены значительные усилия ввиду большого объема комбинаторных вычислений в грушах Веаля соответствующих систем корней и их изложение в диссертации целиком, разумеется, не представляется возможный. Однако мы приводил несколько показательных вычисления для группы Шевалле типа Ед.

Единственным возможным изложением описания орбит является случая группы < он описэп в б 16). Для этого случая полностью приводится описание орбит т - корневых

и максимальных подгрупп, содержания максималний тор.

Следующие два параграфа посвящены описанию Т-корневых подгрупп. Любая Т-корневая подгруппа либо унипотентна, либо полупроста. Так ь § 13 производится описание Т-корнеяых подгрупп для полной линейной группы. Напомним, что G = GL( n , F^) является расширенной группой Шевалле типа AJ1_1 . Описание Т-корновых подгрупп в других классических грушах производится аналогичными методами. Полупростыа Г-корневые подгруппы для групп Ыеваллв классических типов: А^ , В-^ , Cj , D^ приводятся в таблице 1.

Отметем только, что полупростив Т-корневые подгруппы й

полней линейной хруше G = GL( ti , (F^ ), относительно

максимального тора Т, соответствующего разбиению п = п, + ... -I 11( ,

п-,/ а,

1В.1ЭЮТ вид SL( , ч ) , dj | nj .

Б § 14 рассматривается Т-корневые подгруппы в исключительных конечных группах Шевалле.

Пусть, как и прежде, К = (Г конечной поле, cliar К * 2 для ф = Bj , Сх , f4, dar К yt 2, 3 для Ф = G?_ .

ТЕОШАА 1. Пусть Ф приведенная неприводимая система корней ранга 1, G = G ( Ф , К ) - группа Шевалле нормального типа над конечным полем К - F , Т = Т( Ф , К ) произволышй максимальный тор в ней. Тогда все голу простые Т-корневые подгруппы в G указаны в таблицах 1 - б.

Ми в качестве примеров приводим вычисления Т-корневых подгрупп для нескольких торов в груше Шевалле типа Eg. Все остальные вычисления аналогичны, но имеют огромный объем.

Глава 4 содержит основной результат диссертации, суммированный в таблицах 7 - 11 и представляющий собой описание всех максимальных надгругш для всех максимальных торов в исключительных грушах с точностью до сопряженности, основной в этой главе является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Пусть Ф - приведенная неприводимая система корней особого типа ранга 1, G = G( Ф , К ) группа Шевалле нормального тина над конечным полем К, таким что char К £ 2,3

| К | ? 13, Т Т( Ф , К ) - произвольный максимальный тор в 0. Toi да вое максимальные стандартные нелараболнческие

подгруппы группы G, содеряащие тор Т, указаны в таблицах 7-11.

В последней параграфе производятся конкретные вычисления максимальных непараболичв ских подгрупп в конечных особых группах Шеваллэ.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Н, А. Вавилову за постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боревич 3. И. Описание подгрупп полной линейной группы,

содержав?« группу диагональных матриц// Бап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР. 1976. Т. 64. С. 12 - 29.

2. Борель А.,ТитсЖ. РедуктиЕнне группы //Математика. Период.

сб. переводов иностр. статей. 1967. Т. 11, : 1. С. ¿3- 111 ; : г. С. 3 - 31.

3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М. Гл. IV-VI. 1972. 331

с. ; ГЛ. VII, VIII. 1978. 342 с.

4. Вавилов H.A. Максимальные подгруппы групп Шевалле,

содержащие максимальный расщепимый тор // Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. Bun. 1. Л., 1986. С. 67 - 75.

5. Вавилов H.A. О подгруппах раещепимнх классических групп//

Тр.Мат. ин-та АН СССР.- 1990.- T.I83.-C.29 - 42.

6. Вавилов H.A. Подгруппы групп Шевалле, содержащие

макзимальний тор // Труды Ленинградского математического общества, т. 1. Л. : Изд - во Ленингр. ун-та. 1У91. С. 64 - 109.

7. КартерР. Классы ссшхвшшх элементов в группе Вейля //

Семинар по алгебраическим грушам. И. 1973. Р. 28В - 306.

8. Aschbaher H. On the maximal subgroups oí the finita

classical groups <7 In v. Math. 1984. Vol. 76,N3. ?. 469 - S14.

9. Golubltsky M. Primitiva actions and maximal subgroups of

Lie groups // J.Dlir.Geom.1972. Vol.7, N 1-2. P.175-191.

10. Golubitsky H. .RotschlldB. Primitive subalgebras oí

exeptlonal Lie algebras // Bull.Amer.Math.Soc. Vol.77, К 6 P.983-986; Pacil Л .MathИ971 .Vol 39, N 2.Ï.371-393.

11. A. L. Harebov, N. A. Vavilov. On the lattice of subgroups of Cheval ley groups contalnlrga split maximal

torus : Warwick Preprint N 14 , 1993.

12. Kantor W. H. Linear groups containing a Singer cycle // J.

Algebra. 1980. Vol. 62, n 1. P. 232 - 234.

13. Llebeclt '¡.IV. On the orders of maximal subgroups of the

finite classical groups // Proc.London Math.Soc.1985.Vol.SO, N 3. P.426-446.

14. Llebeck. M.W., Saxl J.,Selt3 G.K. On the bvergroupa o1

Irreducible subgroups or the Unite classical groups // Proc. London Kath.Soc. 1987. Vol. 55,If 3, P.507-53T.

15. Maiiln Y.I. Cubic ioras : algebra, geometry, arithmetic.-Tiorth Holland : Amsterdam-London.-1974.-292 P.

■16. Selts G. M. Subgroups of Unite groups of lie type // J. Algebra. 1979. Vol. 61, N 1. P. 16 - 2.7.

17. Selts G. M. Properties of the Imov.n simple groups // Proc.

Syavp. Pure Math. 10&3. Vol. 37, V. 231 - 23T.

18. Seltz G. M, The root subgroups of a maximal torus // Proc. ■ Syrap. Pure Hath. 1930. Vol. 37, P. 239 - 241.

19. Seita 0. M. On the subgroup structure of classical groups

// Comraun. Algebra. 1932. Vol. 10, N 8. P. 875 - 885.

20. Seitz G. If. Hoot subgroups for maximal tori In finite groups of Lie type // Paclf. J.'Math. 1983. Vol. 106, H 1. P. 153 - 244.

21. Steinberg R. Endomorphlsms of algebraic groups // Mem'. Amer. Math. Soc. 1968. N 80. 108 p.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Денисова Е.В. Максимальные подгруппы в конечной группе Шевалле пи а Е0, содержащие максимальный тор // Вестник СПОРУ,1994. Деп. В ВИНИТИ 16.02.94, N 392-В94.18 с.

2. Денисова Е.В. Полупростые Т-корнеше подгруппа в конечных особых группах Шеваллэ // Вестник СЛбГУ, 1994. Деп. в ВИНИТИ 16.02.94, N 393-В94.15 с.

3. Денисова Е.В. Максимальные подгруппы в конечных особых группах Шевалле типов С2,Р4,Еб,1у, содержащие максимальный тор /Г Вестник 0П6ГУ/ 1994. Деп. в ВИНИТИ 16'.02.94, N 394-В94,12 с.