Математическая и физическая структура поликристаллических упругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. АНИЗОТРОПИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ МИКРОНЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ

1.1. Историческая справка

1.2. Современное описание упругих свойств

1.3. Упругие характеристики поликристаллов

1.4. Методы описания текстуры

1.5. Задачи диссертационного исследования, вытекающие из 37 сделанного обзора

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЕЙ КЕЛЬВИНА-РЫХЛЕВСКОГО И СОБСТВЕННЫХ УПРУГИХ СОСТОЯНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

2.1. Объемно-изотропные упругие тела

2.2. Собственные состояния и собственные значения оператора упругости для трансверсально-изотропных материалов, обладающих объемной изотропией

2.3. Собственные состояния и собственные значения оператора упругости для тетрагональных материалов

2.4. Собственные состояния и собственные значения оператора упругости для ортотропных объемно-изотропных материалов

Основные результаты главы

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ ЗНАЧЕНИЙ МОДУЛЕЙ КЕЛЬВИНА-РЫХЛЕВСКОГО И ИХ ВАРИАЦИОННЫХ ГРАНИЦ

3.1. Вариационные границы для эффективных значений истинных модулей жесткости микронеоднородных сред

3.2. Вариационные границы для эффективных модулей жесткости однофазных текстурированных поликристаллов

3.3. Эффективные модули упругости для трансверсально-изотропных поликристаллов с кубической симметрией решетки

3.4. Эффективные модули упругости для тетрагональных поликристаллов с кубической симметрией решетки

3.5. Эффективные модули упругости для ортотропных поликристаллов с кубической симметрией решетки

Основные результаты главы

4. ОБЛАСТЬ СОВМЕСТНОГО ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДЕФОРМАЦИОННОЙ АНИЗОТРОПИИ

4.1. Постановка вариационной задачи построения области совместного изменения параметров деформационной анизотропии

4.2. Применение инвариантного описания упругих свойств к построению области совместного изменения параметров деформационной анизотропии

4.3. Построение области совместного изменения параметров деформационной анизотропии в рамках модельных текстур

4.4. Описание области совместного изменения параметров деформационной анизотропии

4.5. Численный пример 111 Основные результаты главы

Проблема прогнозирования и регулирования анизотропии физико-механических свойств металлических материалов тесно связана с задачей определения эффективных характеристик поликристаллов, к которым относятся все металлы и сплавы. Как показали многочисленные исследования, существуют закономерные связи между эффективными характеристиками и структурными факторами.

Установлению зависимостей, в том числе и аналитических, между упругими константами структурных элементов и поликристаллического образца в целом, методом усреднения упругих свойств уделялось значительное внимание на протяжении последнего столетия.

В предположении, что ориентация зерен в поликристалле равновероятна, задача об определении эффективных упругих свойств была решена сначала Фойгтом [1] путем усреднения матрицы упругих модулей кристалла, а затем Ройсом [2] из усреднения матрицы коэффициентов податливости. Более детальное рассмотрение, выполнение Хиллом Р. [3,4], показало, что эти усреднения соответствуют предположениям об однородности деформаций в поликристалле в первом случае и однородности напряжений во втором, а получаемые значения объемного модуля и модуля сдвига поликристалла дают верхнюю и нижнюю границы для его эффективных свойств. Им же было предложено определить эффективные упругие характеристики как среднеарифметические значений, получаемых в приближениях Фойгта и Ройса. Для квазиизотропного поликристалла получаемый интервал возможных значений эффективных свойств может быть достаточно широким в случае большой анизотропии упругих свойств поликристалла. Дальнейшее исследование проходило по пути отыскания эффективных упругих характеристик квазиизотропных поликристаллов в рамках тех или иных упрощающих гипотез и попыток найти для них более узкий интервал возможных значений. Эта задача решалась методом самосогосования Хершем A.M. [5] и Кренером Е. [6], а также Фокиным А.Г. и Шермергором Т.Д. [7] сначала в рамках сингулярного приближения, а затем обобщенного сингулярного приближения.

Достаточно простой метод определения эффективных упругих свойств поликристаллов, основанный на усреднении матриц модулей упругости на базе их высших инвариантов, был использован К. С. Александровым (1965) [8] и Г. И. Пересадой [9]. На примере анизотропных свойств второго ранга Александровым К.С. и Айзенбергом JI.A. [10] была отмечена связь этого способа усреднения с усреднением логарифмов собственных значений соответствующих матриц. Это обстоятельство имело в дальнейшем определяющее значение для развития теории.

Значительно более сложной, чем вычисление упругих свойств квазиизотропных поликристаллов, является задача их вычисления, когда имеется преимущественная ориентация зерен в пространстве - текстура, в силу чего поликристалл начинает вести себя как анизотропное тело. Развитие методов вычисления упругих характеристик текстурированных поликристаллов происходило по мере совершенствования экспериментальных методов исследования текстуры и ее количественного описания. Виглиным А.С. [11] предложен метод количественного описания текстуры при помощи функции распределения ориентаций, которая характеризует распределение случайных углов Эйлера, задающих положение отдельных кристаллов в лабораторных осях. Бунге [12] и Роэ [13] независимо друг от друга предложили метод расчета трехмерных функций распределения зерен по ориентациям из двумерных экспериментально получаемых функций распределения, которые формально могут быть получены интегрированием трехмерной функции.

Современные методы количественного текстурного анализа для расчета эффективных упругих свойств поликристаллов в приближениях

Фойгта, Ройса и Хилла применялись различными авторами. Попытка обобщения метода расчета эффективных упругих характеристик Александрова-Пересады на текстурированных материалы была предпринята Моравиком [14] и Матхизом [15,16]. Моравик предложил алгоритм решения, основанный на свойствах логарифмической тензорной функции, и реализовал его только для квазиизотропного материала. Матхиз дал численную реализацию этого алгоритма на примере некоторых текстурированных поликристаллов, не допускающую, однако, аналитической формы записи окончательного решения.

В рамках диссертационной работы с привлечением нетрадиционного способа описания упругих свойств, предложенного Рыхлевским, ставится задача обобщения метода Александрова-Пересады и получения эффективных упругих характеристик текстурированных поликристаллов в аналитической форме.

Работа выполнялась на кафедре теоретической механики Уральского государственного технического университета, в рамках исследований по теме «Научные основы расчетов на прочность с учетом свойств, структуры материалов и различного характера внешних воздействий».

Проведен обзор существующих методов описания анизотропии упругих свойств в их историческом развитии. Как наиболее перспективное для глубокого анализа механических, в частности упругих, свойств микронеоднородных материалов выделено сочетание инвариантного описания со структурным подходом.Получены соотношения, связывающие традиционные упругие константы (компоненты тензора упругости четвертого ранга) с инвариантными (модули Кельвина-Рыхлевского, дистрибуторы жесткости) для кубических, трансверсально-изотропных, тетрагональных, ортотропных объемно-изотропных однородных сред. Для ка^кдого случая приведено представление обобщенного закона Гука в виде шести скалярных уравнений в рамках предлагаемого описания упругих свойств.Установлено, что истинные модули упругости микронеоднородных анизотропных сред, находятся в пределах границ Фойгта - Ройса (истинных модулей, вычисленных в предположении об однородности полей напряжений и деформаций соответственно). Получены выражения вариационных границ Фойгта - Ройса однофазных поликристаллических материалов в виде средних величин монокристальных модулей. При этом геометрические факторы распределения зерен в поликристалле в виде усредненных комбинаций направляющих косинусов определяют весовые коэффициенты в выражениях для вариационных границ.Определены эффективные значения модулей Кельвина-Рыхлевского и их вариационные границы для трансверсально-изотропных, тетрагональных и ортотропных поликристаллических материалов с кубической симметрией решетки.Осуществлена постановка вариационной задачи построения области совместного изменения параметров деформационной анизотропии.Перемещение в рамках области позволяет получить полную информацию о возможной анизотропии механических свойств при разных значени5гх параметров деформационной анизотропии в одном и том же материале.Область совместного изменения параметров деформационной анизотропии для ортотропных поликристаллов с кубической симметрией решетки построена с использованием иивариантного описания упругих свойств с учетом внутренних ограничений, а также в рамках представлений о модельных текстурах.Проведено качественное описание построенной области. Выделены особые плоскости, прямые и точки, соответствующие различным типам внешней симметрии. Описание области проиллюстрировано анизотропией модуля Юнга для меди и хрома в плоскости макроскопической симметрии.Введены в рассмотрение общие характеристики анизотропии.Показано влияние текстуры на эти характеристики.

1. Voight W. Lehrbuch der Kristallphusik, - Berlin: Teubner, 1928. - 9625.

2. Reuss A. Berechnund der Fliebgrenze von Misch-kristallen flit Gmnd der Plastizitatsbedingung fur Einkristalle // Z.angew.Math.und Mech., 1929. -Bd.9.-h.l.s.49-54.

3. Hill R. The elastic behaviour of a crystalline aggregate // Proc- 1952. A65. - №389.-p.349-356.

5. Hershey A.V. The elasticity of an isotropic aggregate anisotropic cubic crystals // J.Appl.Mech., 1954, V.21,236-242.

6. Kroner E. Berechnung der elastischen Konstanten Vielknstalls aus der Konstanten des Einkristalls // Z.Phys., 1958.V.151, №4. S.504-518.

7. Ф01СИН А.Г., Шермергор Т.Д. Упругие модули текстурованных материалов. - МТТ, 1967, №1, с. 129-134.

8. Александров К.С. Средние значения тензорных величин. // ДАН СССР, 1965,т.164,№4,с.800-804.

9. Bunge H.J. Mathematische Metoden der Texturanalyse. Akademic-Verlag. Berlin, 1969. 330 c.

10. Roe R.J. Description of crystallite orientation in polycrystalline materials. III. General solution to pole figure inversion // J.Appl.Phys., 1965, V.36,2024-2031.

11. Morawiec A. Calculation of polycrystal elastic constants // J.Appl.Cryst., 1995. V.28. P.254-266.

12. Matthies S., Humbert M. On the principle of a geometric mean of even-rank tensors for textiu-ed polycrystals // J. Appl. Cryst., 1995, 28, pp.254-266.

13. Matthies S., Humbert M. The Realization of the Concept of a Geometric Mean for Calculating Physical Constants of Polycrystalline materials // Phys.stat.sol.(b), 1993. V.177. P.K47-K50.

14. ЛЯВ A. Математическая теория упругости. - М.-Л.:ОНТИ НКТИ СССР, 1935.-676 с.

15. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. - М.: Гостехиздат, 1947.

16. Снеддон И.Н. и Берри Д.С. Классическая теория упругости. - М.: Физматгиз, 1961.

17. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: На>т<а, 1970.

18. Hail Дж. Физические св011ства кристаллов. - М.: Мир, 1967. - 385 с.

19. Лехницки11 Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977. -416 с.

20. Рабинович А.Л. Об упругих постоянных и прочности авиационных материалов. - Тр.ЦАГИ, №582, 1946,1-56.

21. НОВОЖИЛОВ В.В. Теория упругости. - Л.: СудпромГИЗ, 1958. - 372 с.

22. Рыхлевский Я. О законе Гука // ПММ,1984. Т.48, вып.З.С.420-435.

23. Thomson W. Elements of а Mathematical Theory of Elasticity // Phil. Trans., 1.ondon, 1856. P.481-498.

24. M.Mehrabadi, C.Cowin. Eigentensors of linear anisotropic elastic materials // р.Л Mech.appl.Math., vol.43,Pt.l, 1990. P.15-41.

25. Остросаблин Н.И. О классификации анизотропных материалов // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1985. Вып.71. С 82-96.

26. Остросаблин Н.И. О наитеснейших границах констант упругости и приведении удельной энергии деформации к каноническому виду // Изв.АН СССР.МТТ.1989.№2. 90-94.

27. Ryclilewski J. On evaluation of anisotropy of properties described by symmetric second-order tensors / Czechoslowak Journal of Physics, v. B34, 1984, 499-506.

28. Rychlewski J. Zur Abschatzung der Anisotropic / ZAMM, 65(1985), 6, 256- 258.

29. Theocaris P.S. Socolis D.P., Elastic eigenstates for an orthotropic medium // Докл.Бълг.АН. - 2000. - 53, №3. - C.45-50.

30. Рыхлевский Я. О единственности структурной формулы упругого тела // Теор. и прил. мех.,1984, 15, №3, 39-44.

31. Rychlewski J. Anisotropy and proper states of materials // ШТАМ Symp. Anisotropy,Inliomogen and Nonlinear Solid.Mech.: Proc. lUTAM-ISIMM Symp.,Nottingham,30 Aug. - 3 Sept., 1994 - Dordrecht, 1995. - C.19-24.

32. Blinowski A., Ostrowska-Masiejewska J., Rychlewski J. Twodimensional Hooke's tensors-isotropic decomposition, effective symmetry criteria/ZArch.Mech. - 1996. - 48,№2 - C.325-345.

33. Blinowski A., Ostrowska-Masiejewska J. On the elastic orthotropy // Arch.Mech. - 1996. - 48,№l _ C.129-141.

34. Rychlewski J. Unconventional approach to linear elasticity // Arch.Mech. - 1995.-47,№2-C.149-171.

35. Blinowski A., Rychlewski J. Pure shears in the mechanics of materials // Math.and Mech. Solids. - 1998. - 3,№4 - C.471-503.

36. Lii Jia, Papadopoulos Panayiotis Representations of Kronecker powers of orthogonal tensors with applications to material symmetry // hit.J.Solids and Struct. - 1998. - 35,№30. - C.3935-3944.

37. Cowin S.C. Properties of the anisotropic elasticity tensor // Quart, J.Mech.and Appl.Math. - 1989, - 42,№2.- C.249-266.

38. Hackl K. On the representation of anisotropic elastic materials by symmetric irreducible tensors // Contin. Mech.and Thermodyn. - 1999, -11,№6. - C.353-369.

39. Кузьменко A.С. Некоторые особенности математического аппарата традиционной механики деформируемого твердого тела. М.: Изд-во МГТУ. 1998. 48 с.

40. Адамеску Р.А., Гельд П.В., Митюшов Е.А. Анизотропия физических свойств металлов. - М.Металлургия, 1985. - 136 с.

41. Вассерман Г., Гревен И. Текстуры металлических материалов. - М.: Металлургия, 1969. - 654 с.

42. Кудрявцев И.П. Текстуры в металлах и сплавах. - М.: Металлургия, 1965. -292 с.

43. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. - Л.: Машиностроение, 1980. - 254 с.

44. Фридман Я.Б., Микляев П.Г. О расчете упругих и прочностных характеристик анизотропных металлов. - ДАН СССР, 1966, т.167, №1, с.80-83. ЗЗ.Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. - М.: Наука, 1977. - 399 с.

45. Талашкевич И.П. Упругие постоянные аксиальных текстур металлов.- Известия АН СССР. Сер.физ.1979, т.43, №7, с.1377-1379.

46. Талашкевич И.П., Дергач В.В. Упругие постоянные аксиальных текстур металлов. - Известия вузов, Известия вузов. Физика, 1979, №7, с.117-119.

47. Александров К.С, Талашкевич И.П. Упругие константы аксиальных текстур в приближении Фойгта-Ройсса-Хилла. - Ж.прикл.механики и технической физики, 1968, №2, с.48-53.

48. Вайнштейн А.А., Гальперина Б.А. Вычисление модулей упругости и коэффициентов линейного расширения аксиальных текстур с ГПУ решеткой // ФММ.-1982.- т.53.- №1.- с. 194-196.

49. Вайнштейн А.А., Гальперина В.А., Стргокак В.А., Кузнецов Л.М., Степанов СИ. Определение постоянных упругости монокристаллов через технические постоянные поликристаллов. ФММ, 1983, т.53,№1, с.193-196.

50. Гельд П.В., Адамеску Р.А., Митюшов Е.А., Юшков В.И. Инварианты анизотропии упругих свойств поликристаллических материалов кубической сингонии с аксиальной текстурой. - ДАН СССР, 1984, т.274, №3, с.583-586.

51. Иваний Н.В., Иваний B.C., Писличенко О.А., Свириденко Н.В. Количественное описание текстуры листовых гексагональных металлов по неполным прямым полюсным фигурам. - Заводская лаборатория, 1981,№7,с.27-32.

52. Адамеску Р.А., Митюшов Е.А., Реймер Н.Д. Упругие свойства титанового сплава ОТЧ-1. В сб.: Физические свойства металлов и сплавов. Свердловск: УПИ, 1983, с.66-68.

53. Адамеску Р.А., Волков Д., Гельд П.В., Митюшов Е.А. Расчет анизотропии упругих свойств металлов и сплавов с гексагональной структурой. - ФММ, 1977, т.44, с.1118-1120.

54. Брюханов А.А., Захарченко И.Г., Тарасов А.Ф., Кшнякин B.C. Анизотропия упругих свойств и текстурное упрочнение листов сплава ВТ20. - ФММ,1982, Т.54, с.415-418.

55. Захарченко И.Г., Иваний B.C., Иваний Н.В,, Кшнякин B.C. Упругие свойства текстурованных листов двзосфазных сплавов титана. - ФММ, 1984,т.57,с.818-821.

56. Иваний B.C., Иваний Н.В., Кшнякин B.C. Модульный метод определения типа текстуры прокатки листов гексагональных металлов и сплавов. - Заводская лаборатория, 1982, №7, с.28-32.

57. Адамеску Р.А., Андреева Л.П., Гельд П.В., Митюшов Е.А., Реймер Н.Д, Анизотропия упругих свойств в а-сплавах на основе титана. - Проблемы прочности, 1982, №9, с. 105-108.

58. Брюханов А.А., Совкова Т.С, Текстура и анизотропия модуля Юнга листов сплава Ti-Al-V при прямой и поперечной прокатке. - Известия вузов. Цветная металлургия, 1981, №4, с.94-98.

59. Барышников В.Г., Шермергор Т.Д. Анизотропия упругих модулей листовой трансформаторной стали. - Физ. и хим. Обработка материалов, 1970,№2,с.109-113.

60. Брюханов А.А., Усов В.В. Влияние поперечной прокатки на текстуру и анизотропию упругих свойств листов меди. - Известия вузов. Цветная металлургия, 1980, №4, с.82-87.

61. Брюханов А.А., Усов В.В., Нечипоренко Н.Г. Влияние вида прокатки на анизотропшо упругих свойств и текстуру листовой меди. - Известия вузов. Цветная металлургия, 1980, JNfel, с.90-94.

62. Брюханов А.А., Войтенко А.Ф., Усов В.В,, Черный А.А. Анизотропия упругих и прочностных свойств холоднокатанных листов меди. -Пробл.прочности, 1979, №8, с. 103-105.

63. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов. - Киев: Наукова думка, 1982, 285 с.

64. Корнеев В.И., Кузьменко Ю.В., Шермергор Т.Д. О расчете эффективных упругих характеристик неоднородных, макроскопически анизотропных материалов // Изв.АН СССР. - 1984. -№3. -с.63-67.

65. Адамеску Р.А., Митюшов Е.А., Реймер Н.Д. Учет меясчастичного взаимодействия при расчете упругих свойств металлических материалов. - Известия вузов. Физика, 1982, №3, с.61-65.

66. Кпеег G. Uber die Berechnimg der Elastizitatsmoden vielkristalliner Aggregate mit Textur, Phys. Stat Sol.1965, 3, №9,.825.

67. Ломакина Г.В. Дисперсия упругих свойств в квазиоднородных материалах и параметры квазиоднородности. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н., МГУ, Москва, 1998.

68. ВОЛКОВ Д., Клинских Н.А. О распределении постоянных упругости в квазиизотропных поликристаллах // ДАН АН СССР, 1962, т. 146, №3. 565-568.

69. Гнесин Б.А., Яшников В.П. О воспроизводимости функции распределения ориентации, восстановленной по различным наборам полюсных фигур. // Заводская лаборатория, 1984, №9, с.37-40.

70. Днепренко В.Н., Лариков Л.Н., Ширица А.И. Упругие свойства текстурированных металлов с гексагональной решеткой // Пробл.прочности - 1988. -№2. -с.61-65.

71. Адамеску Р.А., Мипошов Е.А. Методы исследования анизотропии физико-механических характеристик поликристаллов. // Заводская лаборатория ,1989 , №3. 29-38.

72. Бородкина М.М., Спектор Э.Н. Рентгенографический анализ текстуры металлов и сплавов. - М.: Металлургия, 1981. - 271 с.

73. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М,: На>тса, 1973.

74. Mityiishov Е.А., Berestova S.A., Odintsova N.Yu. Effective elastic properties of textured cubic crystals // Textures and Microstructures, 2002. V.35, №2.

75. Одинцова Н.Ю. Математическая и физическая структура упругих поликристаллов // Труды XXII Конференции молодых ученых. М.: Мехмат ф-т МГУ, 2000. 217- 221.

76. Митюшов Е.А., Одинцова Н.Ю. Упругие постоянные текстурированных металлов с ОЦК и ГЦК-решеткой // Современные проблемы механики и прикладной математики. Воронеж, 2000. 314-318.

77. Митюшов Е.А., Одинцова Н.Ю., Берестова А. Инвариантное описание упругих свойств текстурированных пол1Пфисталличес1сих материалов// VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001. 98.

78. Одинцова Н.Ю. Упругие свойства текстурированных поликристаллов с кубической симметрией стр>тсгуры // Вестник УГТУ-УПИ, №3(11), Екатеринбург,2000. 100.

79. Митюшов Е.А., Одинцова Н.Ю. Об описании упругих свойств текстурированных металлов с кубической симметрией структуры // Тезисы докладов. Всероссийский научный семинар «Механика микронеоднородных материалов и разрушение». Пермь,2000. 46.

80. Митюшов Е.А., Одинцова Н.Ю., Берестова А. О проблеме усреднения свойств текстурированных поликристаллов // «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках». Тезисы докладов. -Воронеж, ВГУ, 2000. 154.

81. Митюшов Е.А., Одинцова Н.Ю., Берестова А. Вариационные границы и эффективные значения упругих характеристик текстзфированных объемно-изотропных сред // Тезисы докладов. Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, 1999. 237.

82. Одинцова Н.Ю. Вариационные границы для эффективных модулей упругости текстурированных поликристаллов // Научные труды II отчетной конференции молодых ученых ГОУ УГТУ-УПИ. Сборник тезисов. Екатеринбург, 2002. 51.

83. Берестова А., Митюшов Е.А. Об одном точном решении // Прикладная математика и механика. - 1999. - 63, в.1. - 524-527.

84. Одинцова Н.Ю. Параметры деформационной анизотропии металлов и сплавов с кубической симметрией решетки // Труды XXIII Конференции молодых ученых. М.: Мех-мат ф-т МГУ, 2001. 267 - 270.

85. Берестова А. Упругость и пластичность микронеоднородных сред с однородным модулем всестороннего сжатия. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н., УГТУ, Екатеринбург, 1998.

86. Митюшов Е.А. Текстура и анизотропия физико-механических свойств гетерогенных материалов. Диссертация на соискание ученой степени д.ф.-м.н., УГТУ-УПИ, Екатеринбург, 1994.

87. Митюшова Л.Л. Упругая и пластическая анизотропия текстурированных поликристаллов кубической сингонии. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н., УПИ им. СМ. Кирова, Свердловск, 1983.

88. Митюшова Л.Л., Митюшов Е.А., Адамеску Р.А. и др. Ориетационные факторы анизотропии упругих свойств металлов с кубической решеткой // ФММ, 1985, 60, В.5. 993-995.

89. Адамеску Р.А., Брынских A.M., Митюшов Е.А. и др. Анизотропия коэффициента Пуассона в текстурированных поликристаллах с кубической решеткой // Изв. вузов. Физика. 1987, 30, №3. 109-111.