Математическая модель больших упругопластических деформаций и закономерности формирования полей остаточных напряжений в окрестностях неоднородностей материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ковтанюк Лариса Валентиновна

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БОЛЬШИХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТЯХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ МАТЕРИАЛОВ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Владивосток — 2006

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Астафьев Владимир Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор Сумин Александр Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор Хромов Александр Игоревич

Ведущая организация: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева

СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится «22» ноября 2006 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета ДМ 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан «18» октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

О.В. Дудко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертационной работы. Современная технологическая практика сталкивается с необходимостью учета упругих свойств материалов в расчетах режимов их интенсивного формоизменения при обработке металлов давлением. Это связано, во-первых, с недопустимым изменением геометрии изготавливаемых изделий в процессах их разгрузки, а во-вторых, с недопустимым уровнем остаточных напряжений в готовых изделиях. Существующие технологические приемы исключения столь нежелательных последствий процессов изготовления в настоящее время носят исключительно эмпирический характер (отпуск, отжиг и др.). Расчетные же трудности здесь очевидны: во-первых, оговоренные явления определяются упругими свойствами материалов и, следовательно, нет возможности воспользоваться хорошо разработанным аппаратом жесткогшастического анализа; во-вторых, хотя бы необратимые деформации в таких процессах нельзя считать малыми. Поэтому математическое моделирование процессов изготовления с последующей разгрузкой можно провести только в рамках модели больших упругопластических деформаций. Заметим, что до настоящего времени общепризнанной и всесторонне непротиворечивой математической моделью больших упругопластических деформаций фундаментальная механика не располагает. Следовательно, создание теории больших упругопластических деформаций с учетом теплофизических и реологических эффектов оказывается одной из основных фундаментальных проблем современной механики. Предпринятую попытку разрешить эту проблему и на такой основе изучить закономерности формирования полей остаточных напряжений в окрестностях микронеоднородностей следует признать актуальной задачей.

Таким образом, целью работы является: создание математической модели больших упругопластических деформаций, учитывающей тепловые и реологические эффекты, и изучение на такой основе закономерностей формирования полей остаточных напряжений в окрестностях микронеоднородностей интенсивно продеформированных материалов в процессах их обработки давлением. К основным научным результатам выполненной диссертационной работы относятся:

— формулирование уравнений изменения (переноса) для обратимых и необратимых деформаций в качестве определений последних и задающих разделение полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие;

- получение на такой основе замкнутой системы дифференциальных уравнений, составляющих математическую модель больших упругопластических

деформаций;

- обобщения математической модели на случай учета тепловых и реологических эффектов, как на стадии пластического течения, так и на стадии, ему предшествующей;

- полное замкнутое исследование особенностей динамики одиночных сферических и цилиндрических дефектов сплошности и итогового формирования полей остаточных напряжений в их окрестностях;

- обнаружение эффекта возникновения повторного пластического течения в окрестности дефекта сплошности в процессах разгрузки, а также эффекта приспособляемости деформируемой идеальной упругопластической среды к эксплуатационным нагрузкам по типу «нагрузка - разгрузка»;

- исследование закономерностей формирования полей остаточных напряжений в окрестностях жестких и более прочных микровключений;

- указание возможности установления упругопластического процесса деформирования по измеренным уровням итоговых остаточных напряжений в отдельных точках готового изделия;

- исследование закономерностей формирования полей остаточных напряжений в элементах биметаллической цилиндрической конструкции, когда процесс пластического течения определяется различием в свойствах теплового расширения и возникновении из-за этого внутренних гидростатических усилий, приводящих к деформированию и пластическому течению;

- полученные точные решения краевых задач теории о продавливании пробки из упруговязкопластического материала сквозь жесткие цилиндрические матрицы.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

- впервые, следуя формализму неравновесной термодинамики, экспериментально не измеряемые обратимая и необратимая составляющие полных деформаций определяются посредством задания для них дифференциальных уравнений изменения (переноса), что предопределило новые построения всей математической модели, включая ее неизотермический и не идеально пластический варианты;

- в рамках новой разрабатываемой теории больших упругопластических деформаций впервые проведены постановки и получены решения краевых задач теории о пластическом течении материала в окрестностях одиночных дефектов сплошности (микротрещин и микропор) при всестороннем сжатии с последующей разгрузкой, что предопределило возможности обнаружения эффектов возникновения повторного пластического течения при общей раз-

грузке и приспособляемости идеальной упругопластической среды к эксплуатационным нагрузкам по типу «нагрузка - разгрузка» и позволило указать уровень и характер распределения остаточных напряжений;

- с целью изучения влияния реологических свойств материалов впервые поставлена и решена краевая задача о деформировании вязкоупругопластиче-ской среды с одиночным дефектом сплошности, что позволило указать реологические механизмы, ответственные за «залечивание» микродефектов (упрочнение) или за их развитие (усталостная прочность); предложен метод приближенного численного исследования задачи, сводящийся к замене системы уравнений в частных производных к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений;

- впервые указана возможность установления параметров упругопластическо-го деформирования (нагружающего давления, размеров пластических областей и др.) по измеренным остаточным напряжениям в отдельных точках готового изделия;

- впервые изучен процесс пластического течения в окрестностях жесткого или более прочного включения в упругопластический материал;

- с целью моделирования процессов в контейнере В.И. Горелова, предназначенном для упрочнения материалов, впервые изучено упругопластическое деформирование биметаллической трубы в условиях медленного нагревания конструкции;

- впервые получены точные решения о прямолинейном движении упруговяз-копластической среды сквозь цилиндрическую матрицу и о продавливании упруговязкопластической пробки конечных размеров, заполняющей часть пространства между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями; указаны закономерности движений упругих ядер и развития зон вяз-копластического течения в зависимости от изменяющегося во времени перепада давления.

Достоверность результатов диссертационной работы предопределяется последовательным использованием формализма неравновесной термодинамики и методов механики сплошных сред, сравнением результатов со следствиями классических теорий типа Прандтля — Рейса и с аналогичными задачами жест-копластического анализа.

Практическая значимость результатов работы связана с тем, что развиваемая теория больших упругопластических деформаций предоставляет расчетную возможность для оценки упругого последействия при общей разгрузке изделий после их изготовления в технологиях штамповки, прокатки, волочения и др. Расчеты уровней и характера распределения остаточных напряжений, выпол-

ненные в рамках разработанной математической модели больших упругопла-стических деформаций по предложенной методике, позволят в каждом конкретном случае оптимизировать режимы технологических приемов (отпуск, отжиг и др.) снятия остаточных напряжений. Полученные точные решения краевых задач теории могут выступать в качестве необходимых критериев тестирования программ численных расчетов упруговязкопластического деформирования.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены на следующих научных конференциях:

- международная конференция "Mathematical modeling and cryptography", Владивосток, 1995;

- Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Зо-лотова, Владивосток, 1997 - 2000,2002 - 2006;

- региональная научно-техническая конференция «Молодежь и научно-технический прогресс», Владивосток, 2004;

- международная конференция «Fifth International Young Scholars' Forum of the Asia - Pacific Region Countries», Владивосток, 2003;

- научно-техническая конференция «Вологдинские чтения», ДВГТУ, Владивосток, 1994,1997;

- VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001;

- международная школа-семинар "Современные проблемы механики и прикладной математики", Воронеж, 2003 — 2005;

- XIV зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 2005;

- IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006.

Материалы диссертации докладывались на семинарах лаборатории механики деформируемого твердого тела ИАПУ ДВО РАН и кафедры математического моделирования и информатики ДВГТУ (руководитель - A.A. Буренин). Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы (207 наименований). Общий объем работы - 277 страниц, в том числе 99 рисунков, включенных в текст.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 42 печатные работы, в том числе 18 статей в журналах и сборниках.

Личный вклад автора. Предложение о дифференциальных определениях для обратимой и необратимой составляющих деформаций появилось в результате совместных обсуждений автора с Г.И. Быковцевым, A.A. Бурениным и A.B. Шишковым, а окончательные формулировки и итоговые соотношения модели

были получены автором. Неоценимый вклад в настоящую работу внес мой учитель A.A. Буренин; он участвовал в постановках задач и обсуждении результатов расчетов [6, 7, 9, 10, 12,16, 17, 19 - 22]. Расчеты в задаче о вязкоупругопла-стическом деформировании были проведены Е.В. Мурашкиным под руководством автора; в численных расчетах краевых задач второй и третьей глав диссертационной работы принимала участие М.В. Полоник, за что автор выражает им искреннюю благодарность.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении на основе проведенного обзора литературных источников формулируется цель исследования, обосновывается актуальность выбранной темы и приводится краткий обзор задач, рассмотренных в работе. Отмечается вклад в развитие теории больших упругопластических деформаций таких ученых, как Аннин Б.Д., Астапов В.Ф., Быковцев Г.И., Кондауров В.Н., Коробейников С.Н., Кукуджанов В.Н., Левитас В.И., Lee E.H., Маркин A.A., Мясников В.П., Новокшанов P.C., Новиков Н.В., Nemat-Nasser S., Няшин Ю.Н., Пальмов В.А., Победря Б.Е., Поздеев A.A., Prager W., Ревуженко А.Ф., Роговой A.A., Седов Л.И., Спорыхин А.Н., Толоконников Л.А., Трусов П.В., Чернышев А.Д., Шитиков A.B., Шевченко Ю.Н.

Первая глава диссертационной работы посвящена построению модели уп-ругопластической среды, допускающей большие деформации, как необратимые, так и обратимые, и обобщениям модели на случай учета температурных и реологических эффектов. Теория пластического течения требует разделения деформаций на обратимую и необратимую составляющие. Последние в опытах неизмеримы, поэтому основанием для такого разделения является некоторая гипотеза, лежащая в основе конструируемой исследователем модели. В § 1.1 и § 1.2 рассмотрены возможные подходы и предпосылки для таких подходов при разделении полных деформаций на обратимую и необратимую составляющие и построена кинематика деформирования, положенная в основу предлагаемой математической модели.

Из принимаемых для метрического тензора g¡j и тензора дисторсии a¡ j представлений

Sij = ak,iak,j = ißik-e&XSb -2PbXSj -esJ),

ai.J = Yik(Skj ~ ekj)> a¡J = ^T

при условии симметрии тензоров ву и Ру получены дифференциальные уравнения изменения данных тензоров:

с!е ■■ \

= £у+-(-Ьу~Ьл +Ь1кек] + -Уиек] -е^Д

(2)

Л у- ™ ч 2

= г у = ыу+Гу(еу,£у),

1, ч ¿х, а д д

М/;ъ = —(V, I. -V/. ,), V; =--=--НУ;-.

Л 2\,,к к,хЬ , Л> Л &

Согласно (1) и (2) движение деформируемой среды в прямоугольной декартовой системе координат задано в пространственных переменных Эйлера Ху, ^, Х3 зависимостями а,- = где - начальные координаты точки

движущейся среды, /(у - компоненты произвольного симметричного тензора, Ру = - нелинейная часть тензора вращения Гу (ее полный вид приведен в работе), определяющая отличие от тензора жесткого вращения \\>у.

Если ¡у = 0, то уравнения изменения компонент тензоров Су и Ру принимают форму

1

-77 = +~(Г1кек] -е1кгк]-ук4ек] ~е,кУк у),

Фу _

- ЪкРк/ + Рлг]к-

Согласно второму уравнению (3) в процессах, когда (у = 0, изменение компонент тензора ру связано только с жестким вращением тела (системы координат). Если бы Гу = М>у,то при жестком движении компоненты тензора Ру не зависели бы от пространственных переменных х{. В случае Гу Ф \\>у (при учете нелинейных слагаемых в Гу) тензор ру также остается неизменным, но

при этом вращение системы координат для разных точек тела происходит по-разному (зависит от уровня обратимых деформаций и скоростей их изменения).

Считается, что при = 0 происходят процессы разгрузки среды или деформирования в упругой области, а дифференциальные уравнения (3) в этом случае рассматриваем в качестве определения тензоров обратимых ву и необратимых

Ру деформаций для процессов деформирования, в которых не происходит накопления необратимых деформаций. В работе также показано, что определения (3) позволяют вычислить бу и Ру независимо от пути разгрузки в пространстве напряжений по их значениям в момент начала такого процесса.

В случае активного нагружения, когда происходит процесс накопления необратимых деформаций, в отличие от полностью кинематически определенного процесса разгрузки, дифференциальные зависимости (2) (определения тензоров ву и Ру) включают пока неопределенный источник необратимых деформаций

ч-

Таким образом, в данной работе основанием для разделения тензора полных деформаций Альманси на обратимую и необратимую составляющие выбрано условие о неизменности тензора пластических деформаций в процессе разгрузки. Согласно (1) получаем разбиение тензора полных деформаций Альманси с!у на упругую ву и пластическую Ру составляющие в виде

В § 1.3 и § 1.4 на основе законов термодинамики получены зависимости напряжений от кинематических параметров в областях разгрузки и обратимого деформирования и в областях пластического течения. В качестве функции состояния выбиралась свободная энергия ЦТ = у/(еу,ру,Т~), где Т— абсолютная температура. Принятие положения об идеальном характере пластического течения позволило определить механический смысл тензора ^ и установить однозначную связь между тензором ру и тензором скоростей пластических деформаций Су . Наиболее простыми данные соотношения получаются в случае,

если принять гипотезу о независимости свободной энергии от пластических деформаций. В этом случае имеем: в области разгрузки:

¿у =еи+Ру

1

Ге1кек] ~е1кРк] - Рисек] + ЪкРктетг

(4)

в области пластического течения:

РТЛ +1],] = ~=£>- (б)

В соотношениях (5), (6) <т,у - компоненты тензора напряжений Эйлера — Коши, р - плотность среды, ^ - массовая плотность распределения энтропии, qj — компоненты вектора теплового потока. Первое из соотношений (5) является аналогом формулы Мурнагана, известной в нелинейной теории упругости, второе - уравнением баланса энтропии. В силу необратимости процесса пластического течения в правой части такого уравнения, записанного для процессов необратимого деформирования (6), стоит источник энтропии И. В теории идеальной пластичности производство энтропии называют диссипативной

функцией и определяют зависимостью И = ■ В этом случае Ьу = Гу + Еу = Гу + (5¡к — е1к и согласно выражениям (2) и (6) имеем

~ЕН ++ + Г"Ау + = + Ь"Р*] = ^' (7)

Соотношением (7) вводится определение объективной производной по времени, связывающей необратимые деформации со скоростями их изменения. Левая часть данного соотношения напоминает оператор ковариантной производной по времени в смысле Коттера — Ривлина с тензором Ьу вместо у. Таким образом, определение тензора скоростей необратимых деформаций является прямым следствием законов термодинамики, и не возникает проблема «выбора» объективной производной, как в большинстве существующих теорий.

Для замыкания системы определяющих соотношений в области пластического течения, как обычно в теории идеальной пластичности, постулируется существование функции нагружения /"(сг(у,р^,,Т) = к; вводятся кинетические уравнения для параметров истории XI! принимаются условия принципа максимума Мизеса и выписываются соотношения ассоциированного закона пластического течения. Следовательно, так же как и в классических теориях, проблема сводится к определению по данным экспериментов функций /{ау,Ру,%1,Т) = к и термоупругого потенциала IV = р0у/(еу,Т), смысл которого принимает свободная энергия у/ при условии ее независимости от необратимых деформаций.

В £ 1.5 проведена конкретизация определяющих законов в случае

Т = const. В таком случае в области обратимого деформирования W = W(dy ), а закон связи напряжений с деформациями (первая формула (5)) принимает форму

^пъГ^*'™^- (8)

Ро vaik

Считая среду изотропной, функцию W выбираем в виде ее разложения в ряд Тейлора относительно свободного состояния

W(A) = - Af + //Л2 +/AjA2 +иЛ3 +...,

Л =

J при p.. sO, (9)

m 1 г ij

I при р.. & О,

т у

А = (1и> ¿г = ¿з = Л = Чк

72 = -е1кеье51 + 1/ 4е15е5кек,ег„

Ь = е1кек]ел-?>/2еке*кеьеч ^¡5е5кек1е(пеп1 -ИЪе^е^е^е^.

В соотношениях (9) Я, Ц, I, Ш, П — упругие постоянные среды (первые два - параметры Ламе). Используя зависимости (5) (первая формула), (8) и (9), получены законы связи напряжений с деформациями в областях обратимого деформирования и в областях разгрузки или пластического течения. Выбор инвариантов тензора обратимых деформаций /2, /3 в виде (9) обеспечивает предельный переход от зависимостей для компонент напряжений в областях разгрузки (пластического течения) к зависимостям для тех же компонент в упругой области при стремлении необратимых деформаций к нулю.

Для несжимаемой среды формула Мурнагана (5) переписывается в виде

дШ

= ~Р5ц + (4/ -2с1к]) при ру=0, (10)

асЧк

дИ7 ( \

\5к}-4}) ПРИ Рц* 0- (П)

В(10)и(11) р и р^ — неизвестные функции (добавочные гидростатические давления). Разложение функции Ж в ряд Тейлора имеет вид

И7 = (а-+ аЛ2 + -кАхЗг -£А] +... (12)

В зависимости (12) [Л - модуль сдвига, а,Ъ,К,£ - упругие модули среды.

Для случаев антиплоского движения среды вместо (12) используется потенциал

Ш = -2цАх - цАг+ЬЛ\+(Ь- ц)АхА2-£А?х+... (13) В £ 1.6 построенная теория обобщается на случай, когда деформирование происходит в неизотермических условиях. Принимая для метрического тензора g¡t и тензора дисторсии представления

8и = О5/* ~Щк~2Рь-т,,), ац = У&-тк1)

и используя условия симметрии тензоров ту и Ру, вполне аналогично соотношениям § 1.1, получены зависимости (2), (3) и (4), в которых тензор ву следует заменить тензором ту. В случае, когда произвольный симметричный тензор г 0, уравнение изменения тензора Ру принимает форму второго соотношения (3), то есть тензор Ру в данном случае остается неизменным. Как и ранее, считаем, что в это время происходит разгрузка среды, и тензор Ру называем тензором необратимых (пластических) деформаций. Тогда тензор ГПу естественно определить в качестве тензора обратимых деформаций. Тепловое расширение считаем обратимым, то есть

ту=еу+а(Т-Т0)Зу,

где а - коэффициент линейного расширения, Тй - температура тела в свободном состоянии. При получении определяющих законов параметрами состояния в этом случае следует считать абсолютную температуру Т, компоненты обратимых ту и необратимых Ру деформаций. Таким образом, справедливыми оказываются соотношения § 1.3 и § 1.4, если в них тензор ву заменить тензором ту. В соотношения (9), (12), (13) для упругого потенциала И^(Л,Т) следует добавить температурные слагаемые. Например,

IV = (а - /¿)Л, + аА2 + ЬА] - /сАхА2 - £Л31 + УвАх +

+ у1в2-к1Ахв2-кгА\в-кгАге-у2вг, в = {Т-Т0)Т^\

при присутствии в среде внутренней геометрической связи, запрещающей изменение ее объема за счет механического воздействия, У,УХ,К\,К2,К¡,У2 — термоупругие постоянные среды. Используя указанные зависимости, получены определяющие законы связи напряжений с деформациями и уравнения тепло-

проводности для областей обратимого деформирования, разгрузки и пластического течения.

В § 1.7 указана возможность учета в рамках построенной модели вязких свойств материалов, как на стадии обратимого деформирования, так и на стадиях пластического течения и разгрузки. На стадии пластического течения вязкость учитывается введением соответствующих слагаемых в выражения для пластического потенциала (функции нагружения). В расчетах в качестве условия пластичности выбрано кусочно-линейное условие пластичности Треска в форме

maxjcr,- - <jj | = 2к + 2rj\sg |, (14)

где J] — коэффициент вязкости, О",- — компоненты главных напряжений, sk —

компоненты главных скоростей пластических деформаций.

Для того чтобы учесть вязкость на стадии деформирования, когда пластические свойства еще не проявляются, в простейшем случае для несжимаемой среды принимается соотношение

Dt„

1 * л * D

в котором Ту = а у -~сгккду, ди = dy --аккЬу, — - оператор произ-

Dry dry водной Яумана | = —— wikTkJ + TikWkJ

\

, , ¿¡2 ~ постоянные мате-

риала. Для областей с накопленными необратимыми деформациями зависимости (15) переписываются в форме

Тд+41 ^Г = Щ + . (16)

1 1 1 * 1 *

Ч = еи ~ 3 У +^кекз5и-

Зависимости (15) являются предельными для соотношений (16) при стремлении необратимых деформаций к нулю.

Во второй главе рассмотрена задача о поведении границы микротрещины в условиях эксплуатационных нагрузок по типу «нагрузка — разгрузка». Поскольку воздействие создается на поверхности, значительно по сравнению с размерами микротрещины удаленной от нее, то по всей длине микротрещины, исключая малые окрестности ее концов, деформирование считаем одномерным.

Границу дефекта сплошности в таком случае полагаем круговой цилиндрической поверхностью первоначального радиуса r0, а процесс деформирования связываем с краевыми условиями

О"гг|г=Л«)=-/'(0. CTrr|r=i(/) = (17>

Здесь R(t) » Г0 - радиус цилиндрической поверхности, на которой задается внешнее давление pit), s(t) - текущий радиус границы дефекта, <Jrr — компонента тензора напряжений в цилиндрической системе координат r,6,Z. Принимая условие несжимаемости среды, ее кинематику определяем с точностью до неизвестной функции (pit)

u = r-jr2+ç(t), <p(t) = ]$-R2(t) = rZ-s2(t), (18) где и = иг— единственная отличная от нуля компонента вектора перемещений.

Задача упругого равновесия в качестве начального условия для последующего процесса пластического течения рассмотрена в § 2.1. Из условия выхода напряженного состояния на границе дефекта на поверхность нагружения (условие пластичности Треска)

агг-ав0=2к (19)

определяются необходимый уровень нагружающего давления р = р0 и соответствующий ему размер дефекта Г = Sq. При этом в условиях данного пре-

2 2 2 2 дельного равновесия <p(t) = Ç>Q = Rq — R = Fq — Sq = const.

Последующий процесс пластического течения изучен в § 2.2. Он протекает при t > 0 и связан с возрастанием нагружающего давления. Компоненты напряжения находятся интегрированием уравнения движения в двух областях: s(t)<r<m(t), где осуществляется пластическое течение и m(t) < Г < Rit), где деформирование обратимо. Граница пластической области m(t) остается неизвестной задачи. Она, как и функция (pit), определяется из условия равенства компонент напряжений на упругопластической границе. При этом для (pit) следует обыкновенное дифференциальное уравнение. Распределение компонент напряжений (здесь и далее <УГГ —> <7^ IЦ — сплошная, aQQ —> аод / ¡Л — штриховая линия) в зависимости от радиуса г —> Г / Rq в некоторый момент нагружения t = приведено на рис. 1.

Определение деформаций в теле является самостоятельной проблемой, которая решается в §2.3. По найденной функции (pit) однозначно определяются

только полные деформации. В области m(t) <r< R(t) пластические деформации отсутствуют.

о

-0.01 -0.02 -0.03

°i('i) 02 04 т(1у) 06 0 8

Рис. 1.

Если обозначить через rt0 начальную (Лагранжеву) координату точки с текущей (Эйлеровой) координатой Г, а через rt координату этой же точки в момент начала пластического течения в ее окрестности, то возможно записать

ГЮ +гЛ r = ^yt+rt-yu (2°)

у, = До2 - R? = r02 - sf = r2-r2, где У( м У[ — значения функции (pit) в текущий и конечный момент нагруже-ния. Упругие деформации в каждой точке изменяются до тех пор, пока ее не достигнет упругопластическая граница Г = rt и, учитывая идеальный характер пластического течения, далее в процессе нагружения не изменяются и вычисляются зависимостями

err = 1 — л/ дГ1, е00 = 1 — ~Jx, х = 1 + (p(t)m~2(t) = const. По вычисленным таким способом упругим и полным деформациям пластические найдутся из соотношения (4).

В § 2.4 и § 2.5 рассмотрены задачи о разгрузке среды, когда нагружающее

давление уменьшается со временем от достигнутого уровня р — Р\ до нуля. В

♦ ♦

§ 2.4 рассмотрен случай, когда рх < рх, а в § 2.5 - когда рх> рх. Наличие

*

критического значения Р\ связано с различием в постановочной части задач.

Если > pj, то в процессе разгрузки возникает пластическое течение в окрестности дефекта в результате теперь уже растягивающих внутренних усилий. Иначе, напряженное состояние в окрестности дефекта выходит на противоположную (19) грань призмы Треска (<Trr —CJqq = —2к). Таким образом, если в § 2.4 уравнение движения интегрируется в двух областях s(t) <r<¡ m(t) и m{f) <Г< R(t) с последующим сравнением компонент напряжений на границе г = m(t), то при pi>pi в трех областях: < г < q(t), q(t) <r< m(t), m(t) < r < R(t), где q(t) - граница области пластического течения при разгрузке, которая далее называется областью повторного пластического течения. Распределения компонент остаточных напряжений приведены * *

на рис. 2 и 3 при Р\ < Р\ и р1 > р1 соответственно. Остаточные напряжения на рис. 3 соответствуют моменту нагружения, приведенному на рис. 1.

0.006 [—П----

0.004-------

0.002 — ^----:--

----

-0.002 LU_____ Г

О SM 0.2 0.4 0.6 0.8 /J1

Рис. 2.

/ f » » 1 \ \

i i / ' v ^ i

V N

---

о s g 0.2 0.4 m о.б 0.8 R i

Рис. 3.

Задача о динамике дефекта с заданным уровнем и распределением остаточных напряжений и деформаций при повторном нагружении рассмотрена в §2.6. В качестве задаваемого распределения напряжений и деформаций выбирается решение § 2.5 (рис. 3). Этапы решения такой задачи те же, что и ранее, когда среда полагалась недеформированной, учитывается лишь присутствие накопленных необратимых и обратимых деформаций и остаточных напряжений. Если, начиная с некоторого значения нагружающего давления, при котором осуществляется новое упругое равновесие, продолжать его увеличивать со временем, то от границы дефекта развивается новая область пластического течения. Однако, при достижении нагружающим давлением значения р = Р\ распределение напряжений в теле оказывается точно равным распределению, приведенному на рис. 1. То же относится к деформациям и размеру дефекта. Очевидно, что разгрузка из данного состояния приводит к распределению остаточных напряжений, представленных на рис. 3 (или на рис. 2 при рх < рх). Не изменяется и размер дефекта. Такой эффект назван эффектом приспособляемости идеального упругопластического материала к эксплуатационным нагрузкам по типу «нагрузка - разгрузка». Для того чтобы увеличить уровень необратимых деформаций или, что то же, уменьшить радиус дефекта сплошности, следует увеличить внешнее давление по сравнению с первоначально достигнутым значением рх.

В третьей главе основные качественные результаты второй главы повторены для случая сферического дефекта сплошности (микропора). Отличие заключается в использовании условия пластичности Мизеса, которое в случае сферической симметрии имеет ту же форму, что и условие (19). Это обстоятельство продиктовано принятым условием несжимаемости среды (подробнее данный факт объясняется в § 5.5). Показано присутствие эффектов возникновения повторного пластического течения при общей разгрузке и приспособляемости идеальной упругопластической среды к циклическим эксплуатационным нагрузкам по типу «нагрузка - разгрузка».

В четвертой главе с целью выявления механизма, ответственного за «залечивание» дефектов, решена задача о поведении границы микротрещины при учете вязких свойств среды на стадии деформирования, предваряющей пластическое течение, или на стадии разгрузки. Модельные соотношения такой среды (вязкоупругопластическая среда) приведены в § 1.7. Постановочные аспекты задачи и кинематика среды (18) остаются такими же, как во второй главе. Решение задачи о поведении границы дефекта сводится к определению функции <р{!) последовательным решением задач вязкоупругого деформирования среды

до достижения функцией /?(/) порогового значения = р({0) (£ 4.1), о пластическом течении в окрестности дефекта при увеличении внешнего давления

4.2) и о разгрузке среды 4.3). Рассматривается более общий случай, когда нагружающее давление р^ достаточно велико, чтобы при разгрузке возникло повторное пластическое течение. Характер же численных расчетов оказывается принципиально отличным от расчетов, проведенных во второй и третьей главах. Связано это с тем, что определяющие соотношения в области обратимого деформирования (15) и в области с накопленными необратимыми деформациями (16) представляют собой системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно компонент девиатора тензора напряжений тгг (г,(), г00(г,1) и функции $>(/). Для преобразования данных систем уравнений вводятся новые переменные

при Ру в 0, (21)

п=\тйг п=\п\г у

Тгг=%.Щ, при ру Ф 0. (22)

п=оп\г п=ои!г

В рядах (21), (22) Ьп (£), 2П "И^,^) - неизвестные функции. Вве-

дение новых переменных в виде (21), (22) связано с тем, что величину

(1 + 9Г-2)" в правых частях зависимостей (15) и (16) можно рассматривать в качестве суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

л=0

Подстановка новых переменных (21), (22) в определяющие законы (15), (16) и равенство коэффициентов при одинаковых степенях Г приводят к бесконечным рекуррентным системам обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций времени ап((), Ьп(/), £„(?), Ч'п(/) и (р(?).

При решении задачи вязкоупругого деформирования дифференциальное уравнение, следующее из уравнения движения среды, дополняется системой для коэффициентов Я„(0> Решение данной системы было получено

численно. Расчеты показали, что, несмотря на малость размера дефекта, ряды (21), (22) сходятся достаточно быстро. В численных расчетах, здесь и далее, достаточно брать шесть слагаемых. Решение данной задачи завершается при выполнении условия пластичности Треска на границе дефекта г = при дос-

тижении давлением значения р0 = pit о) ■ Такое значение S0 находится из ус-

00 а -Ъ

ловия Треска, записанного в новых переменных в форме £ ~—= .

п=\ n\SQ

При пластическом течении материала в окрестности дефекта компоненты напряжений находятся интегрированием уравнения движения отдельно в области вязкоупругого деформирования m{t) < Г < R(t) и в области пластического течения s(t) <r< m(t). Из условий равенства компонент напряжений на упругопластической границе Г = ni(t) следуют два дифференциальных уравнения, которые необходимо дополнить системой для коэффициентов £t„it), bn(t). Найденные численным решением полученной системы значения функций <2„(0> Kit), (pit) и mit) позволяют построить поля напряжений и деформаций в любой момент времени. Отметим, что компоненты вязкоупругих деформаций в области пластического течения в отличие от случая идеальной пластичности не являются постоянными. Они определяются решением уравнения, следующего из зависимостей (16), и имеют вид

е„=\-4с, еев = \-4с~*, c = /1+a//i2+1, h = -— +—4".

M Иг1

По известным полным и вязкоупругим деформациям определяются пластические.

Момент времени t = t\, когда р — Р\, является моментом окончания процесса нагрузки и начала разгрузки. Считаем, что повторное пластическое течение начинается в момент времени / = ПРИ Rfa) = и = s2- Компоненты напряжений в рассматриваемом интервале времени определяются интегрированием уравнений движения с использованием переменных (21) и (22) соответственно в вязкоупругой области ш(/) < г < Rit) и в области с накопленными необратимыми деформациями sit) < г < mit). При вычислении компонент упругих деформаций, необходимых для получения системы уравнений для коэффициентов zn (/), wn it), следует учитывать, что хотя пластическая область в рассматриваемом интервале времени не развивается, накопленные пластические деформации требуют перерасчета вследствие изменения пространственных координат точек.

Системы уравнений для коэффициентов anit), bnit), znit), w„it) замыкаются дифференциальным уравнением, полученным из равенства компоненты

напряжений <Jrr при Г = m(t). Полученная система уравнений решается до момента времени t = t2> когда с границы дефекта г = s2 начнет распространяться область повторного пластического течения. Условие ее возникновения

— w

(условие Треска) в используемых обозначениях имеет вид ——г-5- = —2к.

п=0 n\S2

При последующем необратимом деформировании уравнение движения необходимо проинтегрировать в развивающейся области повторного пластического течения s(t) < г < (7(0 > в области q(f) < г < m(t) с не изменяющимися, но требующими перерасчета пластическими деформациями, и в области обратимого деформирования m{t) < Г < R(t). Дифференциальные уравнения, полученные из условий равенства компонент напряжений на границах Г = m(t) и Г = q(t), дополняются системами уравнений для коэффициентов an(t), bn(t),zn(t),wn(t).

0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0

-0.005 г

0 0.2 0.4 0.6 0.8 I

Рис. 4.

Решение данной задачи было получено численно. Остановимся на некоторых следствиях проведенных вычислений. Значительных отличий, количественных и качественных, при нагрузке для случая идеальной упругопластической среды (глава 2) и при учете вязкости на стадии обратимого деформирования не наблюдается, несмотря на то, что характер численных расчетов, проведенных в данной главе, принципиально отличен от способа вычислений, проведенных во второй главе. Отличия в уровне и распределении остаточных напряжений ил-

люстрирует рис. 4, где сплошная линия соответствует случаю идеальной упру-гопластической среды, штриховая — вязкоупругопластической. На рис. 5 показаны закономерности изменения безразмерного радиуса 5(г) —» s(t)/ Rq дефекта в зависимости от безразмерного времени г. Моменту окончания процесса разгрузки (<Jrr(R) = 0) соответствует т = 10. Отметим, что размер дефекта в конечный момент разгрузки при одинаковых параметрах начала процесса

разгрузки меньше почти в два раза для рассмотренного случая. В пятой главе рассмотрены задачи о формировании полей остаточных напряжений у неоднородностей, отличных от дефектов сплошности. В данных задачах деформации в материале можно считать малыми, поэтому используются классические зависимости Прандтля - Рейса. Однако, учет сжимаемости материала, когда неоднородность в нем, например, является жестким включением, приводит к необходимости вычисления перемещений в областях с накопленными необратимыми деформациями. Данная проблема разрешается приемом, предложенным Д.Д. Ивлевым. Поясним это обстоятельство на примере задачи о деформировании толстостенной трубы давлением, приложенным к ее внешней поверхности. Такая одномерная задача с цилиндрической симметрией решена в §5.1. Пренебрегая силами инерции, интегрированием уравнения равновесия в области пластического течения находятся напряжения СГГГ и CTqq , а затем, следуя закону

Гука, обратимые деформации еегг и . Тогда из ассоциированного закона

d с Of г пластического течения efj = q-, при задании поверхности нагружения J

даи

в форме условия Треска (19), можно получить

Qti и

= -¿00 = €> егг= ~еоо< -г- + - = е% + еде. (23)

or г

Последняя из зависимостей (23) и является дифференциальным уравнением для определения перемещения в пластической области.

В § 5.2 рассмотрены задачи о формировании полей остаточных напряжений в окрестностях одиночных сферических включений в случае, когда включение абсолютно жесткое, и в случае, когда оно остается упругим во всем процессе

деформирования. Отметим, что уравнение для определения перемещения в области с накопленными необратимыми деформациями для рассматриваемого в § 5.2 случая сферической симметрии получено из ассоциированного закона пластического течения и условия пластичности Мизеса.

В £ 5.3 решена задача о пластическом течении, формирующем остаточные напряжения при тепловом воздействии на материал, находящийся в стесненных условиях. Считаем, что цилиндрическая полость радиуса г0 окружена стальной оболочкой ( < г < ), а вне оболочки материал эквивалентен алюминию (/*! < г < Данная постановка задачи моделирует условия, в которых находится материал, помещаемый в контейнер В.И. Горелова для его упрочнения. Пренебрегаем нестационарностью поля распределения температур, то есть считаем процесс нагревания достаточно медленным, таким, что за счет теплопроводности температура успевает выравниваться. Неоднородность теплофизиче-ских свойств материалов приводит к появлению температурных напряжений, которые вызывают в итоге необратимое деформирование. Напряжения определяются законом Дюгамеля — Неймана, граничные условия имеют вид

"|г=Л0 = 0' °"гг|г=г0 =

Задача решается в квазистатической постановке. Напряжения и перемещения находятся интегрированием уравнения равновесия, неизвестные постоянные интегрирования и положение границ развивающихся пластических областей определяются из условий равенства компонент напряжений и перемещений на границах пластических областей и соответствующих краевых условий.

Пластическая область первоначально появляется на поверхности г = г|, затем на поверхности г = г0. При увеличивающейся температуре пластические области ограничены поверхностями г0 < г < г3 и /} < г < г2. В обеих областях выполнено условие Треска (19), в котором к — значение пределов текучести материалов, зависящее от температуры. Состояние, при котором с ростом температуры увеличиваются области пластического течения, справедливо до определенной температуры Тп, когда на границе г — Г\ наряду с условием пластичности (19) выполнится условие сггг — (Тг2 = 2к. То есть напряженное состояние на границе г = удовлетворяет ребру призмы Треска СГдд — <Т22, <7ГГ = 2к + <Т0д. Следовательно, при температуре Тк > Тп имеем состояние полной пластичности (гипотеза Хаара - Кармана) в области 7\ < Г < г4 <г2. Тк - конечная температура нагревания. При охлаждении необратимые дефор-

мации не изменяются, и их наличие приводит к появлению остаточных напряжений не только в областях, где было пластическое течение, но и в областях, где происходило только обратимое деформирование. Распределение компонент напряжений в процессе нагревания и остаточных напряжений приводится в работе.

В § 5.4 рассмотрена задача о возможности определения параметров упруго-пластического деформирования по итоговому распределению остаточных напряжений. На примере краевой задачи о деформировании толстостенной трубы внутреннего радиуса г0, внешнего радиуса Rq внешним давлением p(t) показано, что в случаях, когда предел текучести в процессе нагружения не изменялся или если деформирование происходило в неизотермических условиях, но процессом теплопроводности, как более быстрым по сравнению с процессом деформирования, можно пренебречь, основные параметры упругопластическо-го процесса (усилие сдавливания, достигнутые уровни деформаций, как необратимых, так и обратимых, перемещения, напряжения, границы пластических областей) могут быть определены по измеренным значениям остаточных напряжений в четырех точках. В качестве двух таких точек естественно выбирать граничные точки г = г0 и г = Rq .

Если процессы теплопроводности и деформирования происходили в сравнимые времена, то есть процессом теплопроводности пренебречь невозможно, то параметры упругопластического процесса определяются лишь при задании аналитических зависимостей для остаточных напряжений в области с накопленными необратимыми деформациями. Такие аналитические зависимости можно получить аппроксимацией измеренных значений в ряде выбранных точек. В этом случае достаточно еще одной точки в упругой области (можно граничной) для определения всех нужных параметров.

Показано, что наличие повторного пластического течения при разгрузке не вносит дополнительных сложностей в определение данных параметров. Достаточно лишь указать еще одно опытное значение в области повторного пластического течения или упругой области в случае учета теплопередачи.

В § 5.5 показано, что в рассмотренных цилиндрически и сферически симметричных задачах глав 2-5, для того чтобы рассматриваемый материал удовлетворял условию пластической несжимаемости, в случае цилиндрической симметрии необходимо использовать условие пластичности Треска (19), в случае сферической симметрии — условие пластичности Мизеса. Это относится как к случаю малых деформаций, так и к модели больших деформаций, построенной в первой главе. Более того, несжимаемый материал, свойства которого опи-

сываются модельными соотношениями первой главы, в случаях сферической и цилиндрической симметрии оказывается пластически несжимаемым. Следовательно, предполагая среду несжимаемой, для модели больших деформаций в случае цилиндрической симметрии нельзя использовать условие Мизеса, в случае сферической симметрии - условие Треска.

В шестой главе получены аналитические решения задач о продавливании несжимаемого упругопластического материала сквозь жесткие цилиндрические матрицы в двух случаях: когда материал заполняет всю цилиндрическую полость матрицы {§ 6.1) или слой между двумя жесткими цилиндрическими поверхностями {§ 6.2). Учет упругих свойств материалов приводит к значительным трудностям по сравнению с известными решениями о вязкопластическом течении вследствие того, что приходится искать решение задачи в перемещениях, а не в скоростях, как в случае вязкопластической среды.

Решения задач получены в рамках модели больших упругогшастических деформаций, построенной в первой главе, упругий потенциал задан зависимостью (13), а в качестве пластического потенциала используется кусочно-линейное условие Треска (14).

Предполагаем (§ 6.1), что упруговязкопластический материал заполняет круглую пробку высоты / в цилиндрической трубе радиуса R с жесткими стенками. Решение задачи о продавливании пробки по данной трубе в цилиндрической системе координат г, В, z ищется в классе функций и =uz{r,t), V = vz{r,t), р = p{r,Z,t). На жесткой границе трубы выполняются условия прилипания

u(R,t) = v(R,t) = 0.

Явление продавливания связано с граничными условиями

CT22(z = u(r,t)) = -p{t), a^iz = / + м(г,0) = 0 и осуществляется за счет вязкопластического течения, которое начинается в окрестности жесткой стенки г = R с выходом напряженного состояния на по-г верхность нагружения и

°-8продолжается при разви-

вающейся области вязко-пластического течения г, (У) <> г < R. Поверхность г = 7"i(i) отделяет °-60 г, I 2 з 4 5Г область течения от упруго-

Рис б- го ядра г <гх (/). Решение

проведено в рамках квазистатического приближения. На рис. 6 показано развитие зоны вязкопластического течения Aj —>/j(/)//co временем; при этом до момента времени / = (z"i = at\) давление увеличивалось: p[t) = р0(l + ct/) (Of = const, давление />о соответствует началу течения), а начиная с момента

времени t = /j оставалось постоянным. Зависимости перемещений и —> и / / от радиуса г г/1 приведены на рис. 7 в момент начала пластического течения (сплошная линия) и в момент времени t\ (штриховая линия).

В § 6.2 решена аналогичная задача в случае, когда материал образует пробку между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями, внутренней 7*0 и внешней R. Изменение давления на граничных поверхностях пробки задано в виде

Ся(1,и(г,(О,0) = -р({\ CTzz{rt,l + u{r.(0,t)) = О, где г, (V) - переменная координата максимального перемещения граничных точек пробки (м'('»(0)= О)- Условия прилипания выполнены на обеих жестких стенках:

u{R,t) = u(r0,t) = v {R,t) = v(r0,0 = 0.

В данном случае области вязкопластического течения у жестких границ матрицы появляются не одновременно. Впервые условие пластичности выполняется в окрестности внутренней жесткой стенки г = г0 и только после некоторого развития данной области вязкопластического течения течение начинается в окрестности внешней цилиндрической поверхности г = R0 и упругое ядро начинает свое продвижение. Уравнение равновесия (квазистатическое приближение) интегрируется в трех областях: в областях вязкопластического течения r0 < г < /¡(f) и r2(t)<r < R ив области упругого ядра (t) < г < r2{t). На упругопластических границах Г = t\ (/) и К = /*2(/) выполняются условия равенства компонент напряжений, перемещения и его производных. Эти условия позволяют определить постоянные интегрирования и найти неизвестные функции Г = t\(t) и Г = г2(/). Постановка задачи включала этапы возрастания продавливающего усилия, промежуток времени, когда оно оставалось лостоян-

ным и разгрузку материала при медленном снятии давления. Рассчитано итоговое распределение остаточных напряжений.

Развитие зон вязкопластического течения гх —> гх/1 и г2 —> Г2 / / со временем показано на рис. 8. Момент времени / = соответствует началу течения у поверхности Г = К, / = _ моменту времени, когда нагружающее давление становится постоянным.

и

V

Зависимости перемещения И—»и// и скорости V —> УТ] / 1/Л от радиуса Г —>■ Г// в момент времени / = приведены на рис, 9 и 10 соответственно, в моменты времени ^ = /2 (сплошные кривые) и /3 > /2 (штриховые кривые) на рис. 11 и 12.

0.2 / \ / \ 0.4 0.6 / ч 0.8

Рис. 11.

0.001

0.0005 О

0 2 ^г) г|(гз) °'4

°> г2(г,)

Рис. 12.

В заключении приводятся основные результаты диссертации, состоящие в следующем:

1. Построена математическая модель больших упругопластических деформаций, основанная на дифференциальных определениях для тензоров обратимых (упругих) и необратимых (пластических) деформаций. Показано, что отличительной особенностью построенной модели является независимость напряженно-деформированных состояний в процессах разгрузки от характера данного процесса. Деформации, а, следовательно, и напряжения определяются только параметрами, соответствующими началу процесса разгрузки.

Установлена однозначная связь введенного тензора необратимых деформаций с тензором скоростей пластических деформаций, полученная из законов

термодинамики. Данная связь может трактоваться как некоторая объективная производная от тензора пластических деформаций по времени. Получен простейший вариант теории, включая случай несжимаемого деформирования, основанный на гипотезе о независимости свободной энергии от необратимых деформаций.

Построенные модельные соотношения обобщены на случай, когда деформирование происходит в неизотермических условиях. Рассмотрены случаи как для сжимаемой, так и для несжимаемой среды. Получены определяющие законы связи напряжений с обратимыми деформациями и температурой и уравнения теплопроводности для областей обратимого деформирования, разгрузки и пластического течения.

Указана возможность учета в рамках построенной модели вязких свойств материалов как на стадии обратимого деформирования, так и на стадиях пластического течения и разгрузки.

2. В рамках построенной модели решены задачи о поведении границ дефектов сплошности (микротрещин и микропор) при эксплуатационных нагрузках по типу «нагрузка - разгрузка». В том числе:

получены решения задач об упругом равновесии, о пластическом течении в окрестности дефектов сплошности, о разгрузке среды с накопленными конечными упругими и пластическими деформациями и о повторном нагруже-нии упругопластической среды с дефектом сплошности; обнаружено явление повторного пластического течения при продолжающейся общей разгрузке среды, возникающее вследствие значительного уровня накопленных необратимых деформаций;

обнаружен эффект приспособляемости идеальной упругопластической среды к циклическим нагружениям по типу «нагрузка - разгрузка».

3. Решена задача о формировании поля остаточных напряжений у одиночной микротрещины в вязкоупругопластической среде. Проведено сравнение со случаем идеальной упругопластической среды.

4. Решены задачи о формировании полей остаточных напряжений у неодно-родностей, отличных от дефектов сплошности: около цилиндрической полости, около одиночных сферических включений в случаях, когда включение абсолютно жесткое, и когда оно остается упругим во всем процессе деформирования. Исследовано влияние повторного пластического течения на характер и уровень остаточных напряжений.

5. Решена задача о пластическом течении, формирующем остаточные напряжения при тепловом воздействии на материал, находящийся в стесненных условиях (биметаллическая труба, помещенная в контейнер В.И. Горелова

для упрочнения).

6. На примере упругопластического деформирования толстостенной трубы внешним давлением показана возможность указать характеристики упруго-пластического процесса нагрузки и разгрузки по известному (экспериментально измеренному) итоговому распределению остаточных напряжений в готовом изделии.

7. С целью математического моделирования технологического способа обработки материалов и изготовления профилей, называемого волочением, поставлены и решены аналитически краевые задачи квазистатического деформирования о продавливании упруговязкопластического материала сквозь жесткие цилиндрические матрицы под действием изменяющегося во времени перепада давления в случаях, когда материал заполняет всю цилиндрическую полость матрицы, или слой между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями. Материал полагался несжимаемым, решение проведено в рамках построенной модели больших упруговязкопла-стических деформаций. Получены законы движения границ упругого ядра и областей вязкопластического течения. Рассмотрено вязкопластическое течение среды при постоянном перепаде давления и задачи разгрузки.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В. Об одном варианте модели несжимаемого упругопластического тела, допускающего большие деформации // Проблемы естествознания и производства (сб. тр. ДВГТУ, Вып. 115, сер.5.), Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1995. С. 5 - 9.

2. Буренин A.A., Быковцев Г.И., Ковтанюк Л.В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях // ДАН. Т. 347, №2. 1996. С. 199-201.

3. Гончарова М.В., Ковтанюк Л.В. О пластическом течении в окрестности сферического концентратора напряжений при учете конечных деформаций // Проблемы естествознания и производства (сб. тр. ДВГТУ. Вып. 117, сер.5.). Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1996. С. 32-38.

4. Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. О критерии возникновения пластического течения около сферической каверны // Проблемы естествознания и производства (сб. тр. ДВГТУ. Вып. 119, сер,5.). Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1997. С. 19-23.

5. Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Задача Ламе о равновесии толстостенной трубы, изготовленной из несжимаемого упругопластического материала //

Проблемы механики сплошных сред и элементов конструкций: Сб. научн. тр. к 60-летию Г.И. Быковцева. Владивосток: Дальнаука. 1998. С. 94— 113.

6. Буренин A.A., Гончарова М.В., Ковтанюк JI.B. О пластическом течении материала около сферического концентратора напряжений при конечных обратимых и необратимых деформациях // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1999. № 4. С. 150 - 156.

7. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Возможность повторного пластического течения при общей разгрузке упругопластической среды // ДАН. 2000. Т. 375, № 6. С. 767 - 769.

8. Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Одномерное нестационарное пластическое течение в окрестности одиночного дефекта сплошности при повторяющихся нагружениях по типу «нагрузка - разгрузка» // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН. 2001. С. 336.

9. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В. Остаточные напряжения у цилиндрической полости в идеальной упругопластической среде // Проблемы механики неупругих деформаций. Сборник статей, посвященный 70-летию Д.Д. Ивле-ва. Москва: Физматлит. 2001. С. 74 — 94.

10. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Конечные деформации и остаточные напряжения у одиночной полости в упругопластической среде // Сборник научных статей. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 2001. С. 19 - 34.

11. Ковтанюк Л.В., Пикуль М.В. Особенности формирования поля остаточных напряжений в биметаллических толстостенных трубах при квазистационарном нагреве и последующем остывании // Сб. трудов международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж: ВГУ. 2003. С. 133 - 145.

12. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Формирование одномерного поля остаточных напряжений в окрестности цилиндрического дефекта сплошности упругопластической среды // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 2. С. 316-325.

13. Ковтанюк Л.В. Об определении основных параметров одномерного упру-гопластического процесса деформирования по опытным данным об итоговых остаточных напряжениях // Сборник трудов международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж: ВГУ. 2004. Ч. 1,т. 2. С. 286-288.

14. Ковтанюк Л.В. Моделирование больших упругопластических деформаций в неизотермическом случае // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: Дальнаука. 2004. Т.5, №1. С. 107 - 117.

15. Ковтанюк Л.В. О продавливании упруговязкопластического материала че-

рез жесткую круговую цилиндрическую матрицу // ДАН. 2005. Т. 400, № 6. С. 764-767.

16. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В. Точное решение краевой задачи теории больших упругопластических деформаций о продавливании несжимаемого материала сквозь жесткую цилиндрическую матрицу // Тезисы докладов XIV зимней школы по механике сплошных сред. 2005. Пермь. Екатеринбург: УрО РАН. 2005. С. 47.

17. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В. Антиплоское квазистатическое движение упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями // Сборник трудов международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж: ВГУ. 2005. Ч. 1. С. 72 - 74.

18. Ковтанюк Л.В. О конечном продвижении упруговязкопластической пробки по цилиндрической трубе // Вестник Чувашского гос. университета им. И.Я. Яковлева. Сборник, посвященный юбилею Ивлева Д.Д. 2006. № 1. С. 68-75.

19. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В., Мурашкин Е.В. Об остаточных напряжениях в окрестности цилиндрического дефекта сплошности вязкоупругопласти-ческого материала // Прикл. механика и техн. физика. 2006. Т. 47. № 2. С. 110-119.

20. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В., Мазелис А.Л. Продавливание упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70, вып. З.С. 481 -489.

21. Буренин A.A., Ковтанюк Л.В. К возможности установления упругопласти-ческого процесса по итоговому разгрузочному состоянию // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2006. № 3. С. 130 - 134.

22. Ковтанюк Л.В., Шитиков A.B. О теории больших упругопластических деформаций материалов при учете температурных и реологических эффектов // Вестник ДВО РАН. 2006. № 4. С. 87-93.

КОВТАНЮК Лариса Валентиновна

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БОЛЬШИХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТЯХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ МАТЕРИАЛОВ

Автореферат

Подписано к печати 16.10.2006 г. Усл. п. л. 1.6 Уч.-изд. л. 1.3 Формат 60x84/16._Тираж 130. Заказ 62.

Издано ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, Радио, 5. Отпечатано участком оперативной печати ИАПУ ДВО РАН. Владивосток, Радио, 5.

Введение.

Глава 1. Математическая модель больших упругопластических деформаций.

1.1. Кинематика больших упругопластических деформаций.

1.2. Разделение полных деформаций на обратимые и необратимые.

1.3. Определяющие законы для областей разгрузки и обратимого деформирования.

1.4. Определяющие законы в случае пластического течения.

1.5. Конкретизация определяющих законов.

1.6. Моделирование больших упругопластических деформаций в неизотермическом случае.

1.7. О модельном учете вязкости.

Глава 2. Формирование поля остаточных напряжений у цилиндрического дефекта сплошности упругопластической среды.

2.1. Начальное упругое равновесие.

2.2. Развивающееся пластическое течение.

2.3. Равновесие при накопленных необратимых деформациях.

2.4. Разгрузка среды. Остаточные деформации и напряжения.

2.5. Повторное пластическое течение при разгрузке.

2.6. Повторное нагружение. Эффект приспособляемости среды к циклическим нагружениям.

Глава 3. Динамика сферического дефекта сплошности в процессах нагрузки - разгрузки.

3.1. Начальное упругое равновесие.

3.2. Пластическое течение.

3.3. Вычисление деформаций при нагрузке.

3.4. Разгрузка при отсутствии повторного пластического течения.

3.5. Повторное пластическое течение при разгрузке.

3.6. Повторное нагружение.

Глава 4. Остаточные напряжения в окрестности дефекта сплошности вязкоупругопластического материала.

4.1. Постановка задачи. Начальные условия пластического течения.

4.2. Пластическое течение.

4.3. Разгрузочное состояние.

Глава 5. Остаточные напряжения у неоднородностей, отличных от дефектов сплошности.

5.1. Остаточные напряжения у цилиндрической полости в идеальной упругопл астической среде.

5.2. Формирование полей остаточных напряжений у одиночных сферических включений в идеальной упругопластической среде.

5.3. Возникновение остаточных напряжений за счет температурных эффектов.

5.4. Возможность определения параметров упругопластического деформирования по итоговому распределению остаточных напряжений.

5.5. Пластическая несжимаемость и выбор пластического потенциала в случаях цилиндрической и сферической симметрии.

Глава 6. Прямолинейные движения упруговязкопластической среды.

6.1. Конечное продвижение упруговязкопластической пробки по цилиндрической трубе.

6.2. Продавливание упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями.

Современная технологическая практика сталкивается с необходимостью учета упругих свойств материалов в расчетах режимов их интенсивного формоизменения при обработке металлов давлением. Ведь именно свойство упругости и связанные с ним обратимые деформации необходимы для целей расчетного прогнозирования итоговой геометрии тел после деформации и итогового распределения в них остаточных напряжений. Поля остаточных напряжений формируются у любых неоднородностей материалов, так как последние выступают в роли концентраторов напряжений. Размеры неоднородностей могут оказаться сравнимыми с перемещениями частиц материала в их окрестностях. Это обстоятельство исключает возможность использования при математическом моделировании подобных процессов интенсивного деформирования классических моделей типа Прандтля - Рейса, так как они основываются на гипотезе малости деформаций. В окрестности микронеод-нородностей (дефекты сплошности в форме микротрещин и микропор, инородные микровключения, выраженные дефекты структуры и др.) они всегда большие. Заметим, что до настоящего времени общепризнанной и всесторонне непротиворечивой математической моделью больших упругопласти-ческих деформаций фундаментальная механика не располагает. Следовательно, создание теории больших упругопластических деформаций с учетом теплофизических и реологических эффектов оказывается одной из основных фундаментальных проблем современной механики. Указанные обстоятельства позволяют сформулировать цель настоящего исследования: разработать математическую модель больших упругопластических деформаций, учитывающую тепловые и реологические эффекты, и изучить на такой основе закономерностей формирования полей остаточных напряжений в окрестностях микронеоднородностей интенсивно продеформированных материалов в процессах обработки их давлением.

Накопление необратимых деформаций в твердых телах связано с двумя взаимозависимыми необратимыми термодинамическими процессами, происходящими при их деформировании. Первый из них определяется зависимостью функции диссипации энергии от скорости протекания процесса и связывается с проявлением вязких свойств материалов [6, 54, 121]. Следствием этого оказываются явления ползучести и релаксации напряжений. Основу второго существенно необратимого процесса предопределяют внутренние структурные изменения в материалах, которые и вызывают рост необратимых деформаций. Такое свойство деформирующихся материалов называют пластичностью [28, 48, 49, 52, 53,128, 135]. На особенностях математического моделирования последнего явления остановимся несколько подробнее, поскольку именно оно является предметом настоящего исследования.

В моделировании процессов интенсивного накопления необратимых деформаций, связанных с проявлением пластических свойств материалов, можно выделить два подхода. Первый из них называют деформационной теорией пластичности или теорией упругопластических процессов, второй -теорией пластического течения.

Основополагающие постулаты и гипотезы теории упругопластических процессов были сформулированы А.А. Ильюшиным [50 - 53], среди которых следует выделить постулат изотропии А.А. Ильюшина и гипотезу локальной определенности B.C. Ленского [91, 92]. Данная теория положительно зарекомендовала себя в применении ко многим прикладным расчетным проблемам, поэтому, несмотря на непрекращающуюся критику, имеет достаточно много сторонников и последователей. Хотя иногда данный подход называют теорией малых упругопластических деформаций, имеются попытки обобщения его на случай конечных деформаций [12, 33, 112, 113, 130,132, 200, 201]. Особо следует отметить монографию А.А. Поздеева, П.В. Трусова и Ю.И. Няшина [114], которая является итогом объемного цикла исследований, посвященных теории больших необратимых деформаций при малых обратимых. В своей теоретической части данная монография обобщает теорию уп-ругопластических процессов А.А. Ильюшина на случай, когда пластические деформации нельзя считать малыми. В рамках такого подхода дается постановка краевых задач термоупругопластичности, а также методы их решения, представлены результаты решения ряда технологических задач. В основу расчетной методики положен метод Галеркина и соответствующие разрешающие конечноэлементные соотношения.

Различным подходам в построении теории пластического течения материалов посвящена обширная литература. Сошлемся здесь лишь на известные монографии [40, 48, 49, 57, 59, 98, 99, 110, 120, 128, 131, 133, 135, 136, 140, 141] и некоторые оригинальные публикации [7, 8, 9, 14, 29, 46, 55, 58], решающие проблемные вопросы теории.

Обобщение классических подходов теории идеальной упругопластич-ности (тело Прандтля - Рейса) с целью учесть конечные деформации наталкивается на две принципиальные трудности. Первая из них заключается в самом определении обратимых (упругих) и необратимых (пластических) деформаций. Построение математической теории течения упругопластических материалов требует разделения деформаций на обратимую (упругую) и необратимую (пластическую) составляющие. Но если полные деформации можно опытно измерить, то их составляющие экспериментально не измеримы. Что же в таком случае следует назвать обратимыми деформациями, а что необратимыми? Ответ на этот основополагающий вопрос при построении модели с необходимостью оказывается связанным с произволом исследователя, конструирующего математическую модель. Общепризнанный подход здесь принципиально невозможен и поэтому гипотетический выбор критерия разделения деформаций на составляющие порождает существующее многообразие в моделях упругопластических деформаций. Каждый из многочисленных авторов [80, 97, 111, 131, 153, 183, 187, 262, 263, 176, 186, 189], предлагая собственный способ определения обратимых и необратимых деформаций, критикует предшественников, но при этом часто дает не меньше поводов для критики предлагаемого. Вторая, опять же по существу, кинематическая проблема в построении модели больших упругопластических деформаций связана с определением тензора скоростей изменения необратимых деформаций. Данный тензор входит в определяющие соотношения математической модели; с его помощью формулируется ассоциированный закон пластического течения. Алгебраически разделяя посредством выбранного критерия деформации на обратимую и необратимую составляющие, на таком пути с необходимостью сталкиваемся с задачей выбора объективной производной для определения скоростей пластических деформаций.

В работе Л.И. Седова [127], являющейся первой, посвященной кинематике конечных упругопластических деформаций, предложено, как и в классической теории, представление тензора полных деформаций в виде суммы тензоров упругих и пластических деформаций. Вектор перемещений при этом полагался также аддитивно разложимым на упругую и пластическую составляющие. На математическую некорректность такого подхода было указано сразу же после выхода книги из печати.

Большое влияние на развитие теории оказало предложение Ли [176] представить градиент полной деформации в виде произведения дг0 dp дг0

Здесь r0, г - радиус-векторы начального и текущего положений точки деформируемой среды, р - радиус-вектор этой же точки в состоянии разгрузки. Таким образом, постулируется существование такого состояния, называемого состоянием разгрузки, которое однозначно связано с начальным или текущим состоянием среды и не зависит от процесса разгрузки. Сложность при таком подходе заключается как в самом определении состояния разгрузки интенсивно и неоднородно продеформированного тела, так и в том, что разгрузочное состояние может быть не единственным, а зависеть от характера такого процесса, что подтверждается многочисленными опытами. У Ли такое состояние определяется с точностью до жесткого вращения, однако [83], при таком повороте могут нарушаться и принцип материальной индифферентности и принцип термодинамической допустимости. В частности, попытку Ли перенести этот прием на случай малой упругой анизотропии [178] следует в этом смысле признать неудачной.

Развитие идеи Ли содержится в работах Кондаурова В.И. и Кукуджа-нова В.Н. [80] и Кондаурова В.И. [72]. В рамках построенной на такой основе модели конечных упругопластических деформаций изучались закономерности распространения волн напряжений [74, 79] и предлагались способы расчетов в нестационарных задачах необратимого деформирования твердых тел [73, 80]. Заслугой авторов данных статей является не только исправление неточностей в подходе Ли, но, что особенно существенно, конкретизация модельных зависимостей с целью расчетов конкретных краевых задач.

Подход, предложенный Ли, использовался в большинстве последующих работ [38, 90, 122, 158, 161, 173, 177, 180, 184, 195, 196, 205]. Таким способом предпринимались попытки распространить кинематику Ли на анизотропные упругопластические материалы, учитывающие кристаллическую внутреннюю структуру их строения [158, 173, 180]. Заметим еще раз, что [83] перенос представления Ли для обратимых и необратимых деформаций на анизотропные среды является некорректным. Таким образом, данная ошибка Ли присуща и перечисленным работам последователей.

В работе Клифтона [156] полные деформации разделяются на упругие и пластические на основе разложения, отличающегося от представления Ли порядком сомножителей, то есть принимается, что дг ~ ~ <?г0

Такое разделение опять же основано на гипотезе соответствия каждому актуальному деформированному состоянию единственного разгрузочного состояния. При этом промежуточные состояния в процессах разгрузки определяются не только этими двумя состояниями, что само по себе вносит неудобства, но и характером процесса разгрузки. Более того, как было показано в работе [189], в подходе Клифтона не удается образовать тензор необратимых деформаций таким, чтобы он не менялся в процессах разгрузки.

На подобное же обстоятельство, присущее кинематике Ли, обратили ранее внимание Грин и Нахди [163]. Однако, попытку исправления, предпринятую ими, также следует признать неудачной, поскольку в модели, ими построенной, теперь уже закон связи напряжений с обратимыми деформациями существенно зависит от пластических деформаций. Это не позволяет использовать соотношения модели для практических нужд, так как конкретизировать такой закон с помощью экспериментов не представляется возможным. Еще раз сошлемся на работу [189], где также, как ранее Л.И. Седовым, предложено разделить вектор перемещений на упругую и пластическую составляющие. Данное разделение оказалось не лучшим, поскольку введенные тензоры деформаций получились не инвариантными при жестких вращениях. В ней также было показано, что кинематика Грина и Нахди [163] опирается на тензоры деформаций, не выражающиеся однозначно через метрический тензор, что делает такую теорию сомнительной.

В работах [137, 181] получены обобщения кинематики Ли на термоуп-ругопластические среды. В [193] на такие среды обобщается кинематика Грина и Нахди. Очевидно, что имеющиеся в таких подходах недостатки не могут быть устранены добавлением еще и температурных градиентов деформаций [137,181] и температурных деформаций [193].

Результаты исследований Киевской школы механиков [84 - 87, 102, 105] суммированы в монографии В.И. Левитаса [83]. Построенная В.И. Ле-витасом кинематика конечных упругопластических деформаций свободна от многих неточностей предшественников, но основополагающей гипотезой ее построения, по существу, остается положение Ли о существовании разгрузочного состояния. Поэтому необходимыми оказались дополнительные ограничения, освобождающие теорию от зависимости обратимых деформаций от необратимых в процессах разгрузки. На сегодняшний день [179] это, пожалуй, наиболее продвинутая теория, сведенная до приложений [104, 106] с численными расчетами конкретных краевых задач [89, 103]. При этом следует подчеркнуть, что развивается не только теория течения, но и также как и Пермской школой [114] теория упругопластических процессов А.А. Ильюшина [83].

Второй называемой проблемой теории конечных упругопластических деформаций оказывается определение тензора скоростей пластических деформаций. Очевидно, что в классических теориях пластичности, когда деформации считаются малыми (тело Прандтля - Рейса), такой проблемы не существует. Обычный прием, используемый для связи тензоров пластических деформаций и скоростей пластических деформаций, связан с тем, что в качестве последнего принимается некоторая известная объективная производная по времени (Яумана, Олдройда, Коттера-Ривлина, Трусделла и др.) от тензора необратимых деформаций. Выбор такой производной неоднозначен и диктуется, по существу, вкусом автора создаваемой теории. В. Прагер считает, что для теории пластичности наиболее предпочтительной является производная Яумана [115 - 117]. В ряде работ предпочтение отдается производной Коттера - Ривлина, поскольку такое дифференцирование связывает тензор конечных деформаций Альманси с Эйлеровым тензором скоростей деформаций. В [4] для этой цели предлагается использовать другие кинематические конвективные производные, но они определяются неоднозначно. Р. Хилл считал [166, 167], что данный выбор может быть произвольным. В более поздних работах [144, 157, 158, 160] предлагается осуществлять выбор на основе экспериментальных данных. Однако при таком подходе нет уверенности, что «наилучшая» производная была рассмотрена и что выбранная в результате производная не приведет к противоречию с экспериментом для других видов деформации.

В монографии В.И. Левитаса [83] и в последующей его публикации [179] данной проблеме уделено значительное место. Один из параграфов [83] так и называется: «Постановка и решение задачи выбора объективной производной». Заметим, что наряду с «решением задачи» оставлено и слово «выбор». Действительно, постулированное, также как и у Ли, наличие разгрузочного состояния, которое позволяет разделить деформации на обратимые и необратимые с необходимостью приводит к данной проблеме, к проблеме «выбора». Поскольку для формулирования теории пластичности определение тензора скоростей необратимых деформаций необходимо, без такого «выбора» данного тензора не обойтись. Но если только строить кинематику, следуя гипотезе существования единственного соответствующего данному текущему состоянию разгрузочного состояния, то проблема «выбора» объективной производной с необходимостью возникает. С целью отказаться от данной неоднозначности выбора В.И. Левитасом введена в рассмотрение новая объективная производная, названная R - производной. С помощью данной производной решена задача об обобщении определяющих соотношений в случае деформирования без конечных поворотов, на общий случай. Поэтому предложение В.И. Левитаса заключается в построении теории с исключенными вращениями при деформировании с последующим их строгим обобщением. Таким образом, проблема неоднозначного выбора переносится из общетеоретических проблем в задачу конкретизации модели на уровне простых нагружений. Известно, что такие задачи являются неполными, таким способом можно лишь «спрятать» проблему, а не разрешить. Впрочем, это признается в итоге и В.И. Левитасом.

В работе А.Д Чернышова [138] для построения модели конечных упругопластических деформаций предлагается использовать законы термодинамики. При этом в основу модельных соотношений опять же положено предложение Ли об алгебраическом разделении деформаций на обратимую и необратимую составляющие на основе гипотезы о существовании единственного разгрузочного состояния. Впервые автор задается вопросом: «Что же такое разгрузочное состояние»? В качестве последнего предлагается для каждой частицы тела считать предельным состоянием ее состояние при неограниченном измельчении разгруженного тела. Механический смысл данного определения совершенно прозрачен, но как такое состояние рассчитать? Неясным в предложенных построениях остается введение тензора скоростей пластических деформаций, то есть с необходимостью возникает та же проблема «выбора» объективной производной.

В работах А.А. Рогового с учениками [78, 107, 124] в качестве разгрузочного состояния принимается то же состояние, что и в [138]. Отмечается, что так же как и в разложении Ли [176] и многочисленных его последователей [189, 72, 83] данное состояние не является единственным и подчеркивается необоснованность принимаемого условия зануления неупругих конечных поворотов. С целью уточнения кинематики больших упругопластических деформаций предлагается рассматривать процесс накопления деформаций в качестве последовательного наложения малых упругопластических деформаций на конечные. Таким способом все сложности, связанные с разделением деформаций на обратимые и необратимые переносятся на уровень приращения деформаций, где пластическими (необратимыми) объявляются деформации до некоторой промежуточной, полученной при не изменяющихся напряжениях, конфигурации, а упругими - от промежуточной до текущей конфигурации. При наложении считается, что обратимые и необратимые деформации в своей сумме дают полные, так как обе составляющие можно считать малыми. Вводя промежуточную конфигурацию, тем самым принимается гипотеза о не влиянии в малом упругих деформаций на процесс приобретения необратимых. Заметим, что в общем случае это противоречит опытным фактам. И все же перенос, по существу, предложения Ли на уровень малых приращений, является, по нашему мнению, прогрессивным моментом, вполне согласующимся с нашими подходами об определении обратимой и необратимой составляющих деформаций дифференциальными уравнениями изменения соответствующих тензоров (уравнениями переноса).

Основы теории, изначальные предположения которой отличны от гипотезы разгрузочного состояния Е. Ли, были предложены Г.И. Быковцевым,

A.В. Шитиковым, В.П. Мясниковым и А.А. Бурениным. В работе Г.И. Бы-ковцева и А.В. Шитикова [32] было предложено определять обратимые и необратимые деформации дифференциальными зависимостями. В процессах разгрузки в построенной таким способом модели выделяется лишь то состояние, начиная с которого данные процессы осуществляются. Таким способом удалось добиться, чтобы любое состояние в процессах разгрузки не зависело от характера самого процесса, а определялось только параметрами его начала. В настоящей работе используется данная идея с конкретизацией определяющих соотношений. Отметим статью А.В. Шитикова [144], где этот же подход развивается с использованием термодинамики и на основе сформулированного вариационного принципа.

На основе положений неравновесной термодинамики, а процесс пластического деформирования является существенно неравновесным, в работе

B.П. Мясникова [101] предложены определяющие соотношения класса деформируемых материалов, допускающих необратимые деформации. Понятия тензоров обратимых (упругих) и необратимых (пластических) деформаций вводятся также дифференциальными зависимостями посредством построенных соответствующим образом уравнений их изменения (переноса). Тензор полных деформаций принимается в виде суммы данных тензоров, характеризующих внутреннюю структуру среды и являющихся основными наряду с энтропией внутренними термодинамическими параметрами. Таким образом, еще раз подчеркнуто, что способ разбиения деформаций на обратимую и необратимую части не принципиален для построения модели, дальнейшая конкретизация связана только с удобствами математического описания. В данной работе отличие упругих деформаций от пластических связано только с тем, в каком из уравнений переноса и каким способом поставлен источник данного внутреннего термодинамического параметра. Для понимания механического и термодинамического смысла вводимых гипотез при построении теории конечных упругопластических деформаций работа В.П. Мясникова [101] незаменима. В ней предельно просто и ясно указаны свойства материалов, закладываемые в модель, и в каком качестве они предстают при использовании формализма феноменологической термодинамики необратимых процессов. Также как и в [32], не возникает проблема выбора объективной производной, ее вид обязан следовать из использованного термодинамического формализма. Это тем более важно, так как до сих пор публикуются статьи дискуссионного содержания об аддитивном и мультипликативном разделении полных деформаций на обратимые и необратимые [147, 149, 151] и о выборе объективных производных [151, 195, 207].

Различные аспекты кинематики больших обратимых и необратимых деформаций и способы математического моделирования упругопластических процессов деформирования рассмотрены в работах [91, 109, 123, 150, 159, 168, 185, 194]. Вариационные подходы к построению теории использовались в [75, 144, 159]. Имеются попытки поставить и решить краевые задачи теории. Так в [195] рассматривалась задача о чистом сдвиге, в [207] разработаны подходы к решению задач трехосного нагружения и кручения, в [171] поставлена модельная задача для несжимаемого материала. В [174] приведены аналитические решения двух статических задач об изотропной полой толстостенной сфере при действии внешнего и внутреннего давления. Даже в этих простейших модельных задачах приходится прибегать к численным расчетам. Среди численных методов наиболее популярным остается метод конечных элементов [83, 114, 160, 164], таким способом решены некоторые технологические задачи теории упругопластических процессов А.А.

Ильюшина [114], когда обратимые деформации считаются малыми, а также проведены расчеты [83, 152] конечных упругопластических деформаций согласно теории течения при высоких давлениях.

Первая глава данной диссертационной работы посвящена разработке основных модельных соотношений теории. В основу принятых построений положен подход Г.И. Быковцева и А.В. Шитикова [32] о дифференциальных определениях для тензоров упругих (обратимых) и пластических (необратимых) деформаций. Предложена простейшая модель упругопластической среды, основанная на таком подходе, при этом основной упрощающей гипотезой при построении простейшего варианта теории является предположении о независимости свободной энергии от необратимых деформаций. Требование о равенстве нулю скорости пластической деформации в процессе разгрузки приводит к однозначной связи тензора пластических деформаций с тензором скоростей пластических деформаций, которая может трактоваться как объективная производная от тензора пластических деформаций по времени. Полученные модельные соотношения обобщены на случаи учета тепловых и реологических свойств материалов.

Во второй главе, в рамках полученных модельных соотношений, рассмотрена задача о поведении границы микротрещины при эксплуатационных нагрузках по типу «нагрузка - разгрузка». Решены задачи об упругом равновесии упругопластического материала с таким дефектом сплошности, о пластическом течении материала в окрестности микродефекта при увеличивающемся давлении на внешней цилиндрической поверхности, о разгрузке и о повторном нагружении материала.

В третьей главе указанные задачи рассмотрены для случая, когда дефект сплошности представляет собой микропору.

В четвертой главе решена динамическая задача о поведении границы микротрещины в вязкоупругопластическом материале при нагружении материала гидростатическим давлением и о последующей разгрузке. Проведено сравнение полученных результатов со случаем идеальной пластичности.

В пятой главе закономерности формирования полей остаточных напряжений рассмотрены для неоднородностей, отличных от дефектов сплошности: цилиндрическая полость в толстостенной трубе; одиночные сферические включения, жесткие и более прочные в сравнении с основным материалом; полая биметаллическая труба при тепловом воздействии на нее. Решена задача об определении основных параметров упругопластического процесса деформирования по известным (измеренным) значениям остаточных напряжений в точках готового изделия.

В шестой главе получены аналитические решения задач о продавлива-нии пробки из несжимаемого упруговязкопластического материала через жесткие цилиндрические матрицы при изменяющемся во времени перепаде давления на граничных поверхностях пробки.

Заключение

Настоящей диссертационной работой развивается теория больших упругопластических деформаций, состоящая из математической модели больших деформаций, как необратимых, так и обратимых и решения в рамках данной модели ряда краевых задач теории. Выбраны такие постановки задач, где использование теории больших деформаций принципиально. Для интерпретации некоторых технологий изготовления (волочения) и упрочнения заготовок проведено обобщение теории на случай учета реологических и тепловых эффектов. Сформулируем кратко основные результаты работы.

В первой главе диссертационной работы

- построена модель больших упругопластических деформаций, использующая дифференциальные определения тензоров упругих и пластических деформаций, формулированием для них уравнений переноса;

- показано, что в рамках предложенной модели тензоры упругих и пластических деформаций не зависят от пути нагружения и разгрузки, а полностью определяются своими значениями в момент начала процесса разгрузки;

- из законов термодинамики найдена однозначная связь между введенными тензорами упругих деформаций и тензором напряжений Эйлера -Коши, как в областях упругого деформирования, так и в областях пластического течения или разгрузки. Напряжения, таким образом, также не зависят от характера процесса разгрузки;

- в рамках теории идеальной пластичности, используя гипотезу о независимости свободной энергии от уровня накопленных необратимых деформаций, построена простейшая модель упругопластического тела при конечных деформациях;

- получена однозначная связь тензора пластических деформаций с тензором скоростей пластических деформаций, т. е. некоторое определение объективной производной от тензора пластических деформаций по времени; показано, что в рамках простейшей модели, использующей гипотезу о независимости свободной энергии от пластических деформаций, данная объективная производная может быть записана в обозримой форме;

- построенные модельные соотношения обобщены на случай, когда деформирование происходит в неизотермических условиях. Рассмотрены случаи как для сжимаемой, так и для несжимаемой среды. Получены определяющие законы связи напряжений с обратимыми деформациями и температурой и уравнения теплопроводности для областей обратимого деформирования, разгрузки и пластического течения; указана возможность учета в рамках построенной модели вязких свойств материалов, как на стадии обратимого деформирования, так и на стадиях пластического течения и разгрузки.

Во второй главе

- на основе построенных модельных соотношений проведено полное замкнутое исследование формирования поля остаточных напряжений у цилиндрического дефекта сплошности (микротрещина) при эксплуатационных нагрузках по типу «нагрузка-разгрузка»;

- получены решения задач об упругом равновесии, о пластическом течении в окрестности дефекта сплошности, о разгрузке среды с накопленными конечными упругими и пластическими деформациями и о повторном на-гружении упругопластической среды с цилиндрическим дефектом сплошности;

- обнаружено явление повторного пластического течения при продолжающейся общей разгрузке среды, возникающее вследствие значительного уровня накопленных необратимых деформаций;

- обнаружен эффект приспособляемости идеальной упругопластической среды к циклическим нагружениям по типу «нагрузка - разгрузка»;

- указаны уровень и характер распределения остаточных напряжений и законы движения границ развивающихся пластических областей и внутренней и внешней граничных поверхностей.

В третьей главе

- решения задач об упругом равновесии, о пластическом течении в окрестности дефекта сплошности, о разгрузке среды с накопленными конечными упругими и пластическими деформациями и о повторном нагружении упругопластической среды получены для случая, когда дефект сплошности является микропорой;

- выявлены условия возникновение повторного пластического течения при продолжающейся общей разгрузке и наличие эффекта приспособляемости идеальной упругопластической среды к эксплуатационным нагрузкам по типу «нагрузка-разгрузка».

В четвертой главе

- с целью изучения влияния реологических свойств материалов поставлена и решена краевая задача о деформировании вязкоупругопластической среды с одиночным дефектом сплошности;

- предложен метод приближенного численного исследования задачи, сводящийся к замене системы уравнений в частных производных к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений;

- проведено сравнение полученных результатов со случаем идеальной пластичности, что позволило указать реологические механизмы, ответственные за «залечивание» микродефектов (упрочнение) или за их развитие (снижение усталостной прочности).

В пятой главе

- решены задачи о формировании полей остаточных напряжений у неод-нородностей, отличных от дефектов сплошности: около цилиндрической полости, около одиночных сферических включений в случаях, когда включение абсолютно жесткое, и когда оно остается упругим во всем процессе деформирования. Исследовано влияние повторного пластического течения на характер и уровень остаточных напряжений;

- с целью моделирования процессов в контейнере В.И. Горелова, предназначенном для упрочнения материалов, впервые изучено упругопласти-ческое деформирование биметаллической трубы в условиях медленного нагревания конструкции;

- впервые указана возможность установления параметров неизотермического упругопластического деформирования (нагружающего давления, размеров пластических областей и др.) по измеренным остаточным напряжениям в отдельных точках готового изделия.

В шестой главе

- с целью математического моделирования технологического способа обработки материалов и изготовления профилей, называемого волочением, в рамках построенной модели больших упруговязкопластических деформаций получено точное решение краевой задачи о продавливании материала по жесткой цилиндрической матрице с помощью изменяющегося во времени перепада давления; указаны законы продвижения упругого ядра, границы развивающейся области течения и распределения скоростей, перемещений и напряжений в области течения и в упругом ядре; получено решение краевой задачи теории о продавливании упруговязко-пластической пробки, находящейся в зазоре между двумя жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями; изучено начало и развитие течения, течение при постоянном перепаде давления и разгрузка с вычислением распределения остаточных напряжений.

1. Аннин Б.Д., Коробейников С.Н. Допустимые формы упругих законов деформирования в определяющих соотношениях упругопластичности // Сиб. журн. индустр. матем. 1998. Т 1, № 1. С. 21 34.

2. Аннин. Б.Д., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск: Наука. 1983.240 с.

3. Астапов В.Ф. Математическое моделирование экспериментов по конечному деформированию // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 8-й Научной межвузовской конференции. Самара: Изд-во СамГТУ. 1998. С. 3-4.

4. Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир. 1978. 309 с.

5. Бахшиян Ф.А. Вращение жесткого цилиндра в вязко-пластичной среде // Прикл. механика и математика. 1948. Т. 12, вып. 6. С. 650 661.

6. Белоносов С.М. Анализ начально-краевых задач теории линейной вяз-коупругости // В сб. Прикл. задачи механики деформируемых сред. Владивосток. 1991. С. 21-39.

7. Бердичевский В.Л., Седов Л.И. Динамическая теория непрерывно распределенных дислокаций. Связь с теорией пластичности // Прикл. математика и механика. 1967. Т. 31, № 6. С. 98 100.

8. Бережной И.А., Ивлев Д.Д. Об интегральных неравенствах теории упругопластического тела // Прикл. математика и механика. 1980. Т. 44, вып. З.С. 540-549.

9. Бережной И.А., Ивлев Д.Д. Об определяющих неравенствах в теории пластичности // Докл. АН СССР. 1976. Т. 227, № 4. С. 824 826.

10. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. М.: Мир. 1972. 183 с.

11. Бондарь В.Д. Осредненные повороты при конечной плоской деформации // Прикл. мех. и техн. физ. 2000. Т. 41, № 3. С. 187 196.

12. Бровко Г.Л. Об использовании различных мер напряжений, деформаций и скоростей их изменения в технологических задачах пластичности //

13. Всесоюз. симпоз. "Вопросы теории пластичности в современной технологии".: тез. докл.-М.: Изд-во МГУ. 1985. С. 17 18.

14. Буренин А.А., Быковцев Г.И., Ковтанюк Л.В. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1996.Т. 347, № 2. С. 199-201.

15. Буренин А.А., Быковцев Г.И., Рычков В.А. Поверхности разрывов скоростей в динамике необратимо сжимаемых сред // В сб. Проблемы механики сплошной среды. К 60-летию академика В.П. Мясникова. Владивосток. 1996. С. 116 127.

16. Буренин А.А., Гончарова М.В., Ковтанюк Л.В. О пластическом течении материала около сферического концентратора напряжений при конечных обратимых и необратимых деформациях // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1999. № 4. С. 150 156.

17. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Остаточные напряжения у цилиндрической полости в идеальной упругопластической среде // Проблемы механики неупругих деформаций. Сборник статей, посвященный 70-летию Д.Д. Ивлева. Москва: Физматлит. 2001. С. 74 94.

18. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Об одном варианте несжимаемого упру-гопластического тела, допускающего большие деформации // Проблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1995. С. 5 -9.

19. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. О простейшей модели упругопластической среды при конечных деформациях // Сб. тез. докл. XXXIV юбилейной научн.-техн. конференции ДВГТУ. Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1994. С. 121-122.

20. Буренин А.А., Ковтанюк J1.B. К возможности установления упругопла-стического процесса по итоговому разгрузочному состоянию // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2006. № 3. С. 130 134.

21. Буренин А.А., Ковтанюк J1.B., Мазелис A.J1. Продавливание упруговяз-копластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями // Прикл. математика и механика. 2006. Т. 70, Вып. 3. С. 481 -489.

22. Буренин А.А., Ковтанюк J1.B., Мурашкин Е.В. Об остаточных напряжениях в окрестности цилиндрического дефекта сплошности вязкоупруго-пластического материала // Прикл. механика и техн. физика. 2006. Т. 47, №2. С. 110-119.

23. Буренин А.А., Гончарова М.В., Ковтанюк J1.B. О пластическом течении материала около сферического концентратора напряжений при конечных обратимых и необратимых деформациях // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1999. № 4. С. 150 156.

24. Буренин А.А., Ковтанюк J1.B., Полоник М.В. Возможность повторного пластического течения при общей разгрузке упругопластической среды // ДАН. 2000. Т. 375, № 6. С. 767 769.

25. Буренин А.А., Ковтанюк J1.B., Полоник М.В. Конечные деформации и остаточные напряжения у одиночной полости в упругопластической среде // Сборник научных статей. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН 2001. С. 19-34.

26. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Формирование одномерного поля остаточных напряжений в окрестности цилиндрического дефекта сплошности упругопластической среды // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 2. С. 316 325.

27. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Даль-наука. 1998. 528 с.

28. Быковцев Г.И., Лаврова Т.Б. Свойства сингулярных поверхностей на-гружения в пространстве деформаций // В кн. Прикл. задачи механики деформируемых сред. Владивосток, ДВО АН СССР. 1991. С. 3 20.

29. Быковцев Г.И., Семыкина Т.Д. О вязкопластическом течении круглых пластин и оболочек вращения // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. № 4. С. 68 76.

30. Быковцев Г.И., Чернышов А.Д. О вязкопластическом течении в некруговых цилиндрах при наличии перепада давления // ПМТФ. 1964. № 4. С. 94-96.

31. Быковцев Г.И., Шитиков А.В. Конечные деформации упругопластических сред // Докл. АН СССР. 1990. Т. 311, № 1. С. 59 62.

32. Васин Р.А., Моссаковский П.А. Теория упругопластических процессов при конечных деформациях: обобщение постулата изотропии // Совр. пробл. мех.: Тез. докл. Юбил. науч. конф., посвящ. 40-летию Ин-та мех. МГУ. 1999. С. 219-220.

33. Галин JI.A. Упруго-пластические задачи. М.: Наука. 1984. 232 с.

34. Годунов С.К. Элементы механики сплошных сред. М.: Наука. 1978. 304 с.

35. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука. 1969. 336 с.

36. Горелов В.И. Исследование влияний высоких давлений на механические характеристики алюминиевых сплавов // Прикл. механика и техн. физика. 1984. №5. С. 157- 158.

37. Горовой В.А., Асатурян А.Ш. Теория пластичности пористых сред с конечными деформациями // Докл. АН УССР. Сер. А. 1981. № 5. С.39 42.

38. Ерхов М.И. Пластическое состояние оболочек, пластин и стержней из идеально пластического материала // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. № 6.

39. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.: Наука. 1978. 352 с.

40. Жуков A.M. Некоторые особенности поведения металлов при упруго-пластическом деформировании // Вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН СССР. 1961. С. 30 57.

41. Знаменский В.А., Ивлев Д.Д. Об уравнениях вязкопластического тела при кусочно-линейных потенциалах // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 6. С. 114-118.

42. Ивлев Д.Д. К определению перемещений в задаче JI.A. Галина // Прикл. математика и механика. 1957. Т. XXIII, вып. 5.

43. Ивлев Д.Д. К теории предельного равновесия оболочек вращения при кусочно-линейных условиях пластичности // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1962. № 6.

44. Ивлев Д.Д. Об определении перемещений в задаче JI.A. Галина // Прикл. математика и механика. 1957. Т. XXI, вып. 5.

45. Ивлев Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности // В сб. Проблемы механики сплошной среды. К 60-летию академика В.П. Мясникова. Владивосток. 1996. С. 112-115.

46. Ивлев Д.Д. Об определении перемещений в упругопластических задачах теории идеальной пластичности // В кн. Успехи механики деформируемых сред (к 100-летию со дня рождения академика Б.Г. Галеркина). Москва. 1975. С. 236-240.

47. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука. 1966. 232 с.

48. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М.: Наука. 1971.232 с.

49. Ильюшин А.А. Об основах общей математической теории пластичности // Вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН УССР. 1961. С. 3 29.

50. Ильюшин А.А. О постулате пластичности // Прикл. математика и механика. 1961. Т. 25, вып. 3. С. 503 507.

51. Ильюшин А.А. Пластичность. М.; JL: ГИТТЛ. 1948. 376 с.

52. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР. 1963. 272 с.

53. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовяз-коупругости. М.: Наука. 1970. 280 с.

54. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. мат. журн. 1954. Т. 6, вып. 3. С. 314 324.

55. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука. 1969.420 с.

56. Клюшников В.Д. Возможности макроопыта и форма определяющих соотношений // Докл. АН СССР. 1982. Т. 262, № 3. С. 578 580.

57. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ. 1979. 208 с.

58. Клюшников В.Д. Новые представления в пластичности и деформационная теория // Прикл. математика и механика. 1959. Т. 23, № 4. С. 722 -731.

59. Клюшников В.Д. О допустимых формах соотношений пластичности // Докл. АН СССР. 1980. Т. 225, № 1. С. 57-59.

60. Ковтанюк Л.В. О "залечивании" цилиндрического концентратора напряжений // Сб. тез. докл. XXXVII научн.-техн. конференции ДВГТУ. Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1997. С. 21 23.

61. Ковтанюк Л.В. Моделирование больших упругопластических деформаций в неизотермическом случае // Дальневосточный математический журнал. Владивосток: Дальнаука. 2004. Т.5, №1. С. 107 117.

62. Ковтанюк Л.В. О продавливании упруговязкопластического материала через жесткую круговую цилиндрическую матрицу // ДАН. 2005. т. 400, № 6. С. 764-767.

63. Ковтанюк Л.В. О конечном продвижении упруговязкопластической пробки по цилиндрической трубе // Вестник Чувашского гос. Университета им. И.Я. Яковлева. Сборник, посвященный юбилею Ивлева Д.Д. 2006. № 1.С. 68-75.

64. Ковтанюк J1.B., Полоник М.В. Задача Ламе о равновесии толстостенной трубы, изготовленной из несжимаемого упругопластического материала // В сб. Проблемы механики сплошной среды. Владивосток. 1998. С. 94 -113.

65. Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. О критерии возникновения пластического течения около сферической каверны // Проблемы естествознания и производства (сб. тр. ДВГТУ. Вып. 119, сер.5.). Владивосток: Изд-во ДВГТУ. 1997. С. 19-23.

66. Ковтанюк Л.В., Шитиков А.В. О теории больших упругопластических деформаций материалов при учете температурных и реологических эффектов // Вестник ДВО РАН. 2006. № 4. С. 87-93.

67. Кондауров В.И. Об уравнения упруговязкопластической среды с конечными деформациями // Журн. прикл. механики и технической физики. 1982. №4. С. 133-139.

68. Кондауров В.И. Численный метод решения многомерных задач динамики неупругих тел с конечными деформациями: Автореф. дис.канд. физ.-мат. наук. М. 1974. 13 с.

69. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Распространение волн напряжений и некоторые дополнительные неравенства теории упруговязкопластических сред с конечными деформациями // Изв. АН СССР. Сер. Механика твердого тела. 1985. № 1.С. 128- 133.

70. Коробейников С.Н. Модификация вариационного принципа Нила в теории конечных упруго-пластических деформаций // Динамика сплошной среды: Сб. Науч. Тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск. 1975. Вып. 22. С. 206-215.

71. Коробейнков С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2000. 262 с.

72. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М: Мир. 1974. 338 с.

73. Кузнецова В.Г., Роговой А.А. Эффект учета слабой сжимаемости материала в упругих задачах с конечными деформациями // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1999. № 4. С. 64 77.

74. Кукуджанов В.Н. Неустановившиеся задачи динамики упругопластических сред: Автореф. дис.д-ра физ.-мат. наук. М. 1981. 35 с.

75. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела // Проблемы динамики упруго-пластических сред. М.: Мир. 1975. С. 38 84.

76. Куликов B.C., Мардимасова Т.Н. Моделирование процессов образования остаточных напряжений при сложном нагружении и упругопластической разгрузке // Вестник УГАТУ. 2002. Т. 3, № 2. С. 99 109.

77. Левин В.А., Зингерман К.М. О построении эффективных определяющих соотношений для пористых упругих материалов при конечных деформациях и их наложении // Докл. РАН. 2002. Т. 382, № 4. С. 482 487.

78. Левитас В.И. Большие упруго пластические деформации материалов при высоком давлении. Киев.: Наукова думка. 1987. 232 с.

79. Левитас В.И. К теории больших упругопластических деформаций // Докл. АН УССР. Сер. А.-1983. № 11. С. 48 53.

80. Левитас В.И. О методе построения теории пластичности // Проблемы прочности. 1980. № 4. С. 85 90.

81. Левитас В.И. Определяющие уравнения в скоростях для изотропных и анизотропных упругопластических материалов при конечных деформациях // Докл. Ан УССР. Сер. А. 1986. № 6. С. 35 38.

82. Левитас В.И. Теория больших упругопластических деформаций при высоком давлении // Проблемы прочности. 1986. № 8. С. 6 94.

83. Левитас В.И., Идесман А.В., Шестаков С.И. Алгоритм решения контактных термоупругопластических задач // Вопросы прочности и пластичности металлов. Минск: Наука и техника. 1983. С. 16.

84. Левитас В.И., Шестаков С.И., Душинская Г.В. Исследование несущей способности элементов аппарата высокого давления цилиндрического типа // Физика и техника высоких давлений. 1984. № 15. С. 43 46.

85. Леманн Т. О теории неизотермических упругопластических и упруго-вязкопластических деформаций // Проблемы теории пластичности. М.: Мир. 1976. С. 69-90.

86. Ленский B.C. Гипотеза локальной определенности в теории пластичности // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Сер. Механика и машиностроение. 1962. №5. С. 154-158.

87. Ленский B.C. Современные вопросы и задачи пластичности в теоретическом и прикладном аспектах // Упругость и неупругость. 1978. вып. 5. С. 65-96.

88. Лурье А.И. Дифференцирование по тензорному аргументу // В сб. Вопросы математической физики. Л.: Наука. 1976. С. 48 57.

89. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука. 1980. 512 с.

90. Маркин А.А. Термомеханика процессов конечного деформирования // 8 Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Пермь: Изд-во Ин-та мех. сплош. сред УрО РАН. 2001. С. 418-419.

91. Маркин А.А., Оленич С.И. О связи между процессом внешнего нагру-жения и его образами в пространстве Ильюшина при конечных деформациях // Проблемы прочности. 1999. № 2. С. 85 93.

92. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели необратимого конечного деформирования анизотропных тел // Проблемы прочности. 2002. №6. С. 5-13.

93. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений жестко-вязкопластических сред. М.: Изд-во МГУ. 1971. 163 с.

94. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука. 1981.208 с.

95. Мясников В.П. Некоторые точные решения для прямолинейных движений вязкопластической среды // ПМТФ. 1961. № 2. С. 79 86.

96. Мясников В.П. Уравнения движения упругопластических материалов при больших деформациях // Вестн. ДВО РАН. 1996. № 4. С. 8 13.

97. Новиков Н.В., Левитас В.И. Моделирование термопластического течения материалов в аппаратах высокого давления // Вестн. АН УССР. 1985. №8. С. 7-17.

98. Новиков Н.В., Левитас В.И., Лещук А.А. Численное моделирование зон стабильности материалов в рабочем объеме АВД // Сверхтвердые материалы. 1984. №4. С. 3-8.

99. Новиков Н.В., Левитас В.И., Полотняк С.Б., Золотарев Р.А. Напряженно-деформированное состояние элементов АВД с алмазными наковальнями // Влияние высоких давлений на структуру и свойства сверхтвердых материалов. Киев: ИСМ АН УССР. 1985. С. 65 70.

100. Новиков Н.В., Левитас В.И., Розенберг О.А. Об экспериментальном подтверждении усиленного постулата идеальной пластичности при квазимонотонном нагружении // Докл. АН УССР. Сер. А. 1985. № 8. С. 31 -34.

101. Новиков Н.В., Левитас В.И., Шестаков С.И. Исследование напряженного состояния силовых элементов аппаратов высокого давления // Проблемы прочности. 1984. № 11. С. 43 48.

102. Новокшанов Р.С., Роговой А.А. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. № 4. С. 77 95.

103. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязко-пластических сред. М: Изд-во Московского университета. 1970. 415 с.

104. Остапенко В.А. Варианты теории больших деформаций // Придншр. наук. вюн. 1996. №4. С. 21.

105. Пальмов В.А. Колебания упругопластических тел. М.: Наука. 1976. 328 с.

106. Пальмов В.А., Штайн Е. Разложение конечной упругопластической деформации на упругую и пластическую составляющие // Мат. Модели-ров. систем и процессов. 2001. № 9. С. 109 126.

107. Победря Б.Е. Понятие простого процесса при конечных деформациях //

108. Прочность и пластичность. М.: Наука. 1971. С. 129 135.

109. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложения // М.: Наука. 1982. 112 с.

110. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука. 1986. 232 с.

111. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр. лит. 1963.312 с.

112. Прагер В. Конечные пластические деформации // Реология/ под ред. Эй-риха. М. Изд-во иностр. лит. 1962. С. 86 126.

113. Прагер В. Элементарный анализ скорости изменения напряжений // Механика, сб. перев. иностр. статей. 1960. № 3. С. 69 74.

114. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Изд-во иностр. лит. 398 с.

115. Пэжина П. Основные вопросы вязко-пластичности. М.: Мир. 1968. 176 с.

116. Пэжина П., Савчук А. Проблемы термопластичности // Проблемы теории пластичности и ползучести. М.: Мир. 1979. С. 94 202.

117. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1979. 744 с.

118. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука. 1966. 752 с.

119. Работягов Д.Д. Механика материалов при больших деформациях. Кишинев: Штиинца. 1975. 168 с.

120. Роговой А.А. Определяющие соотношения для конечных упруго-неупругих деформаций // Прикл. мех. и техн. физ. 2005. Т. 46, № 5. С. 138- 149.

121. Сафрончик А.И. Неустановившееся течение вязко-пластичного материала в круглой трубе // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24, вып. 1.

122. Сафрончик А.И. Вращение цилиндра с переменной скоростью в вязко-пластичной среде // Прикл. матем. и механика. 1959. Т. 23, вып. 6. С. 998 -1014.

123. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз. 1962. 284 с.

124. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш. шк. 1969. 608 с.

125. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: высш. шк. 1979.318 с.

126. Толоконников О.Л., Маркин А.А., Астапов В.Ф. Свойства материалов при конечном пластическом деформировании // Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии: тез. докл. Киев. 1984. 4.2. С. 57 58.

127. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. 308 с.

128. Трусов П.В. О построении образа процесса нагружения и методе корректирующего анализа при исследовании больших пластических деформаций // Пермь. 1984. 23 с. Деп.в ВИНИТИ, № 5939.-84 Деп.

129. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Изд-во иностр. лит. 1962. 432 с.

130. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах // Теория пластичности. М.: Изд-во иностр. лит. 1948. С. 41-56.

131. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Мир. 1956. 407 с.

132. Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механики сплошной среды. М.: Мир. 1966. 135 с.

133. Чернышов А.Д. Модель термопластического тела при конечных деформациях // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1980. № 1. С. 110 — 115.

134. Чернышов А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2000.№ i.e. 120-128.

135. Шевченко Ю.Н. Об определяющих уравнениях теории пластического течения при неизотермических процессах нагружения // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1978. Вып. 18. С. 17 23.

136. Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях. Киев: Наук. Думка. 1970. 288 с.

137. Шевченко Ю.Н., Терехов Р.Г. Физические уравнения термовязко-пластичности. Киев: Наук, думка. 1982. 240 с.

138. Шевченко Ю.Н., Тормахов Н.Н. Постулат изотропии для конечных деформаций // Прикл. мех. (Киев). 1999. Т. 35, № 1. С. 14 27.

139. Шестериков С.А. К построению теории идеально пластического тела // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24, вып. 3. С. 412-415.

140. Шитиков А.В. О вариационном принципе построения уравнений упру-гопластичности при конечных деформациях // Прикл. математика и механика. 1995. Т. 59, № 1.С. 158-161.

141. Эглит М.Э. О тензорных характеристиках конечных деформаций // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, вып. 5. С. 947 950.

142. Alturi N. On constitutive relations at the finite strain: hypoelasticity and elas-toplasticity with isotropic or kinematic hardening // Comput. Mech. and Eng. 1984. 43, №2. P. 137-171.

143. Bazant Zdenek P. Finite strain generalisation of smallstrain constitutive relations for any finite strain tensor and additive volumetric-deviatoric split // Int. J. Solids and Struct. 33,20 22. P. 2959 - 2968.

144. Bergander H. Finite plastic constitutive laws for finite deformations // Acta mech. 1995.109, № 1 -4. P. 79-99.

145. Bertram A. Intrinsische Beachreibung finiter plastischer Deformationen // Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1994. № 33. C.2.

146. Bertram A., Kraska M. Beschreibung finiter plastuscher Deformationen von Einkristallen mittels materieller Isomorphismen // Z. angew. Math, und Mech. 1995. 75, Suppl. № 1. C. 179-180.

147. Bertram A., Kraska M // Description of the finite plastic deformations in single crystals by material isomorphism // IUTAM Symp. Anisotropy.1.homogen. and Non-linear. Solid Mech.: 1995. C. 77 90.

148. Bingham E.C. Fluidity and plasticity Mc. N.Y.: Crow-Hill. 1922. № 4. P. 215 -218.

149. Bruhns O.T. Grosse plastische Formanderungen // Mitt. Inst. Mech. / Ruhr-Univ. Bochum. 1991. № 78. С. 1 149.

150. Bruhns Otto.T. A consistent description of finite elastoplastisity // 20th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Chicago. 2000. P. 31.

151. Burenin A.A., Kovtanyuk L.V. To the Construction of the Elastic-Plastic Medium Model under Finite deformations // Mathematical Modelling and Cryptography. Pacific international conference. Vladivostok. 1995. P. 25.

152. Clifton R.J. On the equivalence of Fp ■ Fe and Fe • FP II Trans. ASME.: J. Appl. Mech. 1972.39. P. 287 289.

153. Dafalias Y.F. Corotational rates for kinematic hardening at large plastic deformations //Trans. ASME.: J. Appl. Mech. 1983. 50, № 3. P. 561 -565.

154. Dafalias Y.F. The plastic spin concept and a simple illustration of its role in finite plastic transformations // Mech. Mater. 1984. 3, № 3. P. 223 233.

155. Eve R.A., Reddy B.D. The variational formulation and solution of problems of finite-strain elastoplasticity based on the use of a dissipation function // Int. J. Numer. Mech. Eng. 1994.37, № 10. P. 1673 1695.

156. Fressengeas C., Molinary A. Models d ecrouissage: cinematique en grande deformation // C.r. Acad. sci. Paris. Ser. 11. 1983. 287. P. 39 96.

157. Freund L.B. Constitutive equations for elastic-plastic materials at finite strain // Int. J. Solids and Struct. 1970. 6, № 8. P. 1193 1209.

158. Green A.E., Naghdi P.M. A general theory at an elastic-plastic continuum // Arch. Ration Mech. and Anal. 1965.18, № 4. P. 251 281.

159. Green A.E., Naghdi P.M. Some remarks on elastic-plastic deformation at finite strain // Int. J. Eng. Sci. 1971. 9, № 12. P. 1219-1229.

160. Guo Z., Watanabe O. Effects of hypoelastic model and plastic hardening jn numerical simulation. (Shear deformation of 2-dimensional plane block) //

161. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1993. 59, № 562. P. 1458 1466.

162. Hackenberg H. Large deformation finite element analysis with inelastic constitutive models including damage // P. Comput. Mech. 1995.16, № 5. P. 315 -327.

163. Hill R. On constitutive inequalities for simple materials // J. Mech. and Phys. Solids. 1968.16, № 4. p. 229 242.

164. Hill R. Some basic principles in the mechanics of solids without a natural time // J. Mech. and Phys. Solids. 1959. № 3. P. 75 93.

165. Hu Ping, Lian Jianshe, Li Junxing. Quasi-flow theory of elastic-plastic finite deformation // Acta mech. sin. 1994. 26, № 3. P. 275 283.

166. Hu P., Lian J., Liu Y.Q., Li Y.X. A quasi-flow corner theory of elastic-plastic finite deformation // Int. J. Solids and Struct. 1998. 35, № 15. P. 1827 1845.

167. Ibrahimbegovic A., Chorfi Lotfi. Covariant principal axis formulation of associated coupled thermoplastisity at finite strains its numerical implementation // Int. J. Solids and Struct. 2002. 39, № 2. P. 499 528.

168. Ibrahimbegovic A., Gharzeddine F. Covariant theory of finite deformation plasticity in principal axes // 19th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Kyoto, Aug. 25-31,1996: Abstr.-Kyoto, 1996. P. 76.

169. Kratochvil J. Finite-strain theory of inelastic behaviour of crystalline solids // Foundations of plasticity // Ed. A. Sawczuk.-Leiden: Noordhoff, 1973. P. 401 -415.

170. Kumar Das Tapan, Sengupta P.R. Problem of expansion of a spherical cavity at the centre of a non-homogeneous sphere of ductile metal under the action of international and external pressures // Proc. Indian Nat. Sci. acad. A. 1991. 57, №4. P. 497-516.

171. Le K.C., Stumpf H. Finite elastoplasticity with microstructure // Mitt. Inst. Mech. Ruhr-Univ., Bochum. 1994. № 92. P. 1 77.

172. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strains // Trans ASME: J. Appl. Mech. 1969. 36, № l.P. 1-6.

173. Lee E.H., Mallett R.L. Stress analysis for anisotropic hardening in finite deformation plasticity // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1983. 50, № 3. P. 554 -560.

174. Lee E.H., McMeeking R.M. Concerning elastic and plastic components of deformation // Int. J. Solids and Struct. 1980.16, № 8. P. 715 721.

175. Levitas V.I. On the theory of large elastoplastic deformations // Mitt. Inst. Mech. Ruhr.-Univ., Bochum, 1994. № 93. P. 34-37.

176. Loret B. On the effects of plastic rotation in the finite deformation of anisotropic elastoplastic materials // Mech. Mater. 1983. № 2. P. 278 304.

177. Lu S.C.H., Pister K.S. Decomposition of deformation and representation of the free energy function for isotropic thermoelastic solids // Int. J. Solids and Struct. 1975.11, № 7 8. P. 927 - 934.

178. Lubarda V.A. Elastoplastic constitutive analysis with the yield surface in strain space // J. Mech. and Phys. Solids. 1994. 42, № 6. P. 931 952.

179. Lubarda V.A., Benson D.J. On the partitioning of the rate of deformation gradient in phenomenological plasticity // Int. J. Solids and struct. 2001. 38, №38-39. P. 6805-6814.

180. Lubarda V.A., Lee E.H. A correct definition elastic and plastic deformation and its computational significance // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1981. 48, № 1. P. 35-40.

181. Lubarda V.A., Shin C.F. Plastic spin and related issues in phenomenological plasticity // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1994. 61, № 3. P. 524 529.

182. Mandel J. Equations constitutives et directeurs dans les milieux plastiques et viscoplastiques // Int. J. Solids and struct. 1973. 9, № 6. P. 725 740.

183. Miehe Christian. A constitutive frame of elastoplastisity at large strains based on the notion of a plastic metric // Int. J. Solids and struct. 1998. 35, № 30. P. 3859-3897.

184. Naghdi P.M. Recent development in finite deformation plasticity // Plasticity Today: Modeling, Methods and Applications: London. 1985. P. 75 83.

185. Nemat-Nasser S. Decomposition of strain measures and their rates in finite deformation elastoplasticity // Int. J. Solids and struct. 1979. 15, № 2. P. 155 -166.

186. Nemat-Nasser S. Micromechanicaly Based Finite Plasticity // Plasticity Today: Modeling, Methods and Applications: London. 1985. P. 85 95.

187. Nemat-Nasser S. On finite deformation elasto-plasticity // Int. J. Solids and struct. 1982.18, № 10. P. 857 872.

188. Nicholson David W. Finite strain thermoplastisity theory with kinematic hardening // 4th Int. Conf. Constitut. Laws Eng. Mater., Troy, N. Y. 1999. P. 176-179.

189. Paglietti A. Universal deformations of thermoelastic-plastic materials // Arch, mech. stosow. 1975. 27, № 5/6. P. 773 789.

190. Rubin M. An alternative formulation of constitutive equations for an elasti-cally isotropic elastic-plastic material // 18th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Haifa, Aug. 22-28, 1992. Haifa, 1992. P.125.

191. Schieck В., Stumpf H. The appropriate corotational rate, exact formula for plastic spin and constitutive model for finite elastoplasticity // Int. J. Solids and struct. 1995. 32, № 24. P. 3643 3667.

192. Show M.C. Strain hardening of large plastic strain // Numer. Mech. Form. Processes. Swansea. 1982. P. 471 -479.

193. Sidoroff F. Incremental constitutive equation for large strain elasto-plasticity //Int. J. Eng. Sci. 1982. 20,№ 1. P. 19-26.

194. Sidoroff F. The geometrical concept of intermediate configuration and elastic-plastic finite strain // Arch. Mech. Stosow. 1973. 25, № 2. P. 299 308.

195. Sidoroff F., Dogui A. Some issues about anisotropic elastic-plastic models at finite strain // Int. J. Solids and Struct. 2001. 38, № 52 P. 9569 9578.

196. Song Fan, Sun Yi, Wang Duo // A geometrical model for finite elastic-plastic deformation // Lixue xuebao=Acta mech. sin. 1999. 31, № 2. P. 208 212.

197. Trusov P., Nyashin Y. On the constitutive Ilushin s theory relations for the case of large deformations. Pt.I. // J. Theor. and Appl. Mech. 1992. 23, № 3. P. 65-74.

198. Trusov P., Nyashin Y. On the constitutive Ilushin's theoiy relations II // J. Theor. and Appl. Mech. 1992. 23, № 4. P. 63 86.

199. Unterschiedliche Zugange zur finiten Plastizitat (Различные подходы к конечной пластичности) // Mitt. Inst. Mech. Ruhr-Univ., Bochum. 1998. № 114. P. 7-10.

200. Valanis K.C. A theory of viscoplasticity without a yield surface // Arch. Mech. Stosow. 1971. 23, № 4. p. 517 551.

201. Viem N.H. Constitutive equations for finite deformations of elestic-plastic metallic solids with included anisotropy // Arch. Mech. 1992. 44, № 5 6. P. 585-594.

202. Watanabe O. Plastic spin and rotational hardening of yeld surface in constitutive equation for large plastic strain // Trans. Jan. Soc. Mech. Eng. A. 1993. 59, №568. P. 2984-2992.

203. Xia Z., Ellyin F. A finite elastoplastic constitutive formulation with new co-rotational stress-rate and strain-hardening rule // Trans. ASME: J. Appl. Mech. 1995. 62, № 3. P. 733 739.