Математические модели построения налоговых шкал тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

г

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ИТТТХАНОВА Марина Владимировна МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОСТРОЕНИЯ НАЛОГОВЫХ ШКАЛ

по специальности 01.01.09 — математическая кибернетика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор С.В.Чистяков

Санкт-Петербург —1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИКО-ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ШКАЛЫ СРЕДНИХ СТАВОК НАЛОГА 12

§1.1. Класс допустимых налоговых шкал 12

§ 1.2. Функция распределения доходов и задача об определении суммы налога 17

§ 1.3. Теоретико-игровая модель выбора шкалы средних ставок налога 21

§ 1.4. Вспомогательная задача оптимального управления: условие допустимости 31

§1.5. Решение вспомогательной задачи оптимального управления 36

§ 1.6. Исследование теоретико-игровой модели 42

ГЛАВА 2. ОПТИМИЗАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ПОСТРОЕНИЯ ШКАЛЫ МАРГИНАЛЬНЫХ СТАВОК НАЛОГА ПО НАЙДЕННОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ШКАЛЕ 47

§ 2.1. Теорема о наилучшем приближении 47

§ 2.2. Основные ограничения на выбор шкалы маргинальных ставок налога 52

§ 2.3. Восстановление таблицы налогов по оптимальной модельной шкале 60

§ 2.4. Генератор оптимальных налоговых шкал 65

ГЛАВА 3. МОДИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ ВЫБОРА ШКАЛ ДЛЯ РЕГРЕССИВНЫХ И ДРУГИХ ВИДОВ НАЛОГОВ 72

§ 3.1. Шкала ставок регрессивного подоходного налога 72

§ 3.2. Прогрессивная шкала налога на прибыль, исчисляемого в зависимости от рентабельности 84

§ 3.3. Регрессивная шкала налога на прибыль, исчисляемого в зависимости от рентабельности 91

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 97

ЛИТЕРАТУРА 99

ПРИЛОЖЕНИЕ

105

ВВЕДЕНИЕ

Использование математических моделей и методов для изучения проблем налогообложения имеет вековую историю, восходящую к работам Эджворта, Саджвика, Хоттелинга. Хотя первые исследования по теории оптимального налогообложения появились в конце прошлого века, первую аналитическую формулировку и решение задачи оптимального налогообложения предложил Ф. Рамсей в 1927 году [65]. Эта работа и работы его последователей, А. Пигу [64], Р. Липсея и К. Ланкастера [60] послужили толчком к появлению в 70-е годы работ А. Лернера [59], А. Диксита [50], П. Даймонда и Дж. Миррлиза [49] и созданию так называемой теории оптимального налогообложения. Именно Джеймс Миррлиз считается основоположником современной теории оптимального налогообложения. В своей статье [61} он обобщил и расширил формулировку Ф. Рамсея и предложил математическую модель, которая стала основой дальнейших исследований в этой области.

Вопрос об оптимизации подоходного налога занимает особое место в теории налогообложения, т.к. именно подоходный налог составляет основу налоговой системы большинства стран Европы и США. Так, федеральное правительство Соединенных Штатов получает половину своих поступлений из этого источника [35], в Израиле на долю подоходного налога также приходится 50% [38], в ФРГ (1993 г.) — 39 % [10], в России в 1987 году поступления от подоходного налога составляли всего лишь 8,2 % [11].

В формулировке модели Миррлиза для подоходного налога целью правительства является максимизация некоторой меры социального благосостояния, которая является функцией уровня благосостояния каждого хозяйства. Задача правительства — выбрать налоговую шкалу (налоговые обязательства для каждого уровня дохода) так, чтобы собрать некоторое заданное количество общих поступлений.

Модель Миррлиза для оптимального подоходного налогообложения имеет следующий вид [62]:

Ж (?(•), ><-))->тах (1)

при ограничениях У/г е [0,+оо) (2)

+00 / +00 ^

о 4 0.

/+со N V О

(3)

(4)

где к — характеризующий индивидуумов непрерывный параметр, плотность распределения которого есть функция /(к),

<•) - функция налоговых обязательств (ф) — величина налоговых обязательств в денежном выражении при доходе г ),

Я') '— функция предложения труда (у{к) — объем труда в часах за год, предлагаемый потребителем к), м! — почасовая ставка заработной платы,

— функция общественного благосостояния, определяемая формулой

+00 о

и(х,у, к) — функция полезности потребителя к (х — его потребление в денежном выражении и х-м)у- фцу)). Множество Ш)) определяется, как

у^ЫХ

при этом

Необычность поставленной задачи состоит в том, что индивидуумы изменяют свое поведение в зависимости от налоговой системы, с которой они сталкиваются, в частности, они выбирают сколько предлагать труда или сколько лет потратить на образование (например, [69]).

В этой модели присутствуют три критических элемента: функция общественного благосостояния, распределение способностей и функция поведенческой реакции.

Функция общественного благосостояния заключает в себе общественную оценку результата равенства и справедливости, причем экономисты обычно используют две особые функции общественного благосостояния [1]. Первая из них — утилитаристская — полагает общественное благосостояние равным сумме полезностей всех индивидуумов, вторая — ролсианская функция общественного благосостояния — определяется полезностью наименее обеспеченного индивидуума.

Распределение способностей определяет распределение благосостояния при отсутствии системы налогообложения. Считая, что изначально распределение способностей является неравным, правительство может использовать налоговую систему для перераспределения имеющихся ресурсов от более способных к менее способным.

Функция поведенческой реакции предоставляет информацию о затратах перераспределяющей налоговой системы. Чем сильнее ответная реакция предложения труда на высокие налоговые ставки, тем больше затраты на доллар собранных поступлений.

Миррлиз первый исследовал наиболее общий вопрос: что характеризует оптимальную систему подоходного налога как некоторое множество предположений о функции общественного благосостояния, распределении способностей и функции поведенческой реакции? Он делает вывод, что только очень слабые условия характеризуют оптимальную налоговую структуру в общем случае:

маргинальная налоговая шкала для любого уровня дохода лежит между нулем и 100 процентами и что в большинстве интересных случаев некоторая часть населения предпочтет вообще не работать. Написанная вскоре после Миррлиза статья Е. Садка [66] предлагает наиболее поразительные и спорные общие результаты, которые затем логично объясняют Н. Стерн [72] и Дж. Сид [68]: маргинальная налоговая ставка в наивысшей точке шкалы дохода должна быть равна нулю.

Ясно, что эти требования представляют недостаточно конкретное руководство в построении налоговой шкалы. Понимая это, Миррлиз и его последователи в качестве подхода предлагают сделать особые предположения о функции общественного благосостояния, распределении способностей и функции поведенческой реакции, а также в некоторых случаях ограничить класс систем подоходного налога (обычно до линейных или пропорциональных шкал) и тогда численно рассчитать параметры оптимальных систем подоходного налога.

Сам Миррлиз постулировал простую утилитаристскую функцию общественного благосостояния, логнормальную функцию распределения способностей и равные функции полезности индивидуумов типа функции Кобба-Дугласа для товаров и свободного времени. При этих предположениях он вычислил, что оптимальная налоговая структура близка к линейной, т.е. характеризуется постоянной маргинальной налоговой ставкой. Более того, она характеризуется достаточно низкими маргинальными налоговыми ставками, обычно между двадцатью и тридцатью процентами. Заметим, что хотя маргинальная налоговая ставка примерно постоянна, средняя ставка налога (налоговое обязательство поделенное на доход) возрастает вместе с доходом.

Последующие работы исследовали чувствительность оптимальной налоговой системы к параметрам этой модели. Э. Аткинсон (1973) изучил эффект увеличения эгалитаризма в функции общественного благосостояния [47]. Ник Стерн из Лондонской экономической школы рассчитал оптимальную линейную налоговую ставку [72]. Согласно своей модели, он нашел, что при утилитарист-

ской функции благосостояния оптимальная линейная налоговая ставка — 19%, а при ролсианской функции благосостояния, когда беспокоятся только о беднейшем индивидууме, — 80%.

В дальнейшем исследования в области оптимального подоходного налогообложения шли по пути введения некоторых изменений в теоретическую структуру модели Миррлиза. Одним из естественных дополнений является введение неопределенности в эту модель [48, 71]. Другое важное дополнение — это введение эндогенных относительных ставок заработной платы, что исследовали М. Фельдстайн [52], Ф. Аллен [46], Дж. Стиглиц [73]. Важным направлением теории оптимального налогообложения является попытка ответить на вопрос, как принятие долгосрочной перспективы изменит результаты, полученные ранее, т.е. исходная задача рассматривается в долгосрочной перспективе.

Из основных положений теории оптимального налогообложения, касающихся подоходного налога и кратко описанных здесь, к сожалению, можно сделать лишь очень ограниченные выводы [70]. Главная, на наш взгляд, проблема, состоящая в определении величины ставок налога и диапазонов их действия, остается открытой в силу невозможности достоверного математического описания основных элементов модели, таких как, например, функция полезности или распределение возможностей. Только для простейших типов налоговых шкал, таких как линейные или пропорциональные шкалы, проводились численные расчеты. В то же время на практике обычно используются более сложные прогрессивные налоговые шкалы.

В России в современных условиях, когда вопрос о реформировании системы налогообложения стоит особенно остро, стали появляться теоретические работы о выборе оптимальной шкалы подоходного налога. Авторы многочисленных работ, посвященных отечественной налоговой системе, как правило, критикуют действующие нормативные акты и говорят о необходимости ее реформирования. Однако большинство этих работ либо следует уже ставшей классической теории Дж. Миррлиза, а значит, результаты этих работ имеют ка-

чественный, а не количественный характер, либо в рамках логики этой теории предлагают свои, подчас искусственные, критерии оптимизации. Например, в работе [12] предлагается в качестве критерия оптимизации использовать некоторую меру достатка населения, а кроме того, не учитывается тот факт, что функция распределения дохода, вообще говоря, зависит от налоговой шкалы. В работе [10] расчет оптимальной ставки налога строится на сомнительном предположении, что ежегодный прирост доходов предпринимателя постоянен.

В диссертационной работе предлагается новый подход к построению маргинальной налоговой шкалы, т.е. вычислению маргинальных ставок налога и диапазонов их действия.

Цель работы состоит в построении и исследовании математических моделей, позволяющих выбирать налоговые шкалы.

Первая из них представляет собой теоретико-игровую модель выбора идеальной шкалы средних ставок налога, которая является модификацией и развитием известной вариационной модели выбора налоговых шкал С. В. Чистякова и Р. О. Смирнова [32, 33, 34]. По сравнению с упомянутой вариационной моделью предлагаемая в диссертации теоретико-игровая модель более адекватно отражает сущность экономической задачи выбора налоговой шкалы, а кроме того, в рамках этой модели преодолено избыточное предположение о дифференцируемое™ функции распределения доходов, которая является одним из основных элементов обеих моделей.

В предложенных теоретико-игровых моделях первый игрок ("сборщик налогов") выбирает налоговую шкалу с целью максимизации поступлений в бюджет, а второй игрок ("агрегированный налогоплательщик") выбирает функцию распределения доходов и максимизирует свою функцию полезности. При этом рассматриваются несколько возможных способов определения этой функции. Поскольку конечной целью работы является разработка методов построения налоговых шкал, то решение соответствующих игр ищется только за первого игрока. Примечательным обстоятельством является то, что любая из рассматри-

ваемых моделей позволяет определить одну и ту же оптимальную налоговую шкалу.

Для прогрессивного подоходного налога оптимальная модельная шкала средних ставок налога строится в первой главе.

Поскольку не всякая модельная шкала средних ставок налога имеет табличное представление, то возникает задача о восстановлении таблицы налога по оптимальной модельной шкале средних ставок налога. Естественным методом восстановления таблицы налогов (т.е. маргинальных ставок налога) является решение задачи о наилучшем приближении оптимальной модельной шкалы средних ставок налога функциями, допускающими необходимое табличное представление (эти функции относятся к классу кусочно-дробно-линейных). Соответствующая задача о наилучшем приближении для прогрессивного подоходного налога описывается и исследуется во второй главе.

В третьей главе строятся модели выбора некоторых специальных налоговых шкал, в том числе модели выбора регрессивной шкалы подоходного налога, а также прогрессивной и регрессивной шкалы налога на прибыль, исчисляемые в зависимости от рентабельности.

На основе предложенной системы моделей разработана компьютерная программа расчета ставок налога по относительно небольшому числу экзогенно заданных параметров, таких как минимальная и максимальная ставки налога, минимальная и максимальная эластичность и другие.

Научная новизна. Предложен подход к построению шкалы ставок налога на основе системы, состоящей из двух математических моделей. Первая из них представляет собой теоретико-игровую модель построения идеальной шкалы средних ставок налога, а вторая — оптимизационную модель построения шкалы маргинальных ставок налога по найденной идеальной шкале. Данный подход исследуется впервые. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность полученных результатов состоит разработке научно-обоснованных методов выбора ставок налога и диапазонов их действия. Работа является законченным исследованием, на основе которого разработаны алгоритм и компьютерная программа для поддержки принятия решения по выбору или корректировке налоговых ставок.

Апробация работы. Результаты исследований, представленных в работе, докладывались на международной конференции «Game Theory and Economics» (Санкт-Петербург, 1996), на Международном научном конгрессе «Народы содружества независимых государств накануне третьего тысячелетия» (Санкт-Петербург, 1996), на XXV научной конференции факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 1999), на городском семинаре по теории игр под руководством проф. JI.A. Петросяна (Санкт-Петербург), на семинаре в отделе математического моделирования конфликтных ситуаций ВЦ РАН под руководством проф. А.Ф. Кононенко (Москва, 1999), а также на семинарах кафедры математической статистики, теории надежности и массового обслуживания факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Диссертация выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и проводилась по проекту № 98-01-01056.

Публикации. Результаты диссертации нашли отражение в работах [15, 16, 17, 18, 44, 56, 57], приводимых в списке использованной литературы в конце диссертационной работы.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы, а также приложения.

Параграфы каждой из глав имеют свою нумерацию, при этом первая цифра означает номер главы, а вторая номер параграфа. Нумерация утверждений и формул состоит из трех чисел, первые две из которых совпадают с соответствующими номерами главы и параграфа.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИКО-ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ШКАЛЫ СРЕДНИХ СТАВОК НАЛОГА

§ 1.1. Класс допустимых налоговых шкал

Как известно, налоговая шкала представляет собой таблицу, в которой для заданного числа п — числа диапазонов объекта налогообложения (т. е. дохода,

прибыли и т. п.) — указаны границы этих диапазонов (я,, i = 0,..., п -1), а также так называемые маргинальные ставки налогов = 0,1,...,п), т. е. всего 2п+1 числовых параметров (см. таб. 1). Кроме того, в таблицу для удобства расчетов часто помещается некоторая дополнительная информация о правилах вычисления налогов в денежном выражении N(x).

На практике используются два типа шкал. В шкалах первого типа (см., например, [14]) по ставке rjn облагается лишь та часть дохода, которая превышает an_x, а в шкалах второго типа (см. [75, 20]) считается, что по ставке % облагается весь доход х, если он больше чем an_x. Здесь и далее рассматриваются шкалы второго