Математическое моделирование процесса формирования пленок из раствора полимера

Аль Джода Хайдер Надом Аззиз

Математическое моделирование процесса формирования пленок из раствора полимера тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Аль Джода Хайдер Надом Аззиз АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Барнаул МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Математическое моделирование процесса формирования пленок из раствора полимера»

Автореферат диссертации на тему "Математическое моделирование процесса формирования пленок из раствора полимера"

На правах рукописи

Аль Джода Хайдер Надом Аззиз

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ПЛЕНОК ИЗ РАСТВОРА ПОЛИМЕРА

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г 9 АВГ 2013

Барнаул - 2013

005532280

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова» на кафедре высшей математики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Пышнограй Григорий Владимирович

Официальные оппоненты:

Сафонов Константин Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева», кафедра прикладной математики, заведующий кафедрой

Бубенчиков Алексей Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», кафедра теоретической механики, заведующий кафедрой

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится 20 сентября 2013 г. в ) I часов мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.13, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (корпус № 10 ТГУ).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан « » августа 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, старший научный сотрудник

Христенко Юрий Фёдорович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность рассматриваемой проблемы.

Развитие теоретических основ механики жидкостей относится к середине XVIII в. Тогда были сформулированы фундаментальные законы общей механики и физики и разработан математический аппарат, позволяющий достаточно точно и кратко выражать соответствующие зависимости механики. Отдельный интерес представляют полимерные жидкости, которые играют важную роль в жизни современного человека.

Использование математического моделирования при проектировании и производстве изделий из полимерных материалов дает возможность, относительно быстро и без существенных затрат управлять качеством получаемых изделий и решать целый ряд оптимизационных задач производства. Суть такого моделирования состоит в замене реального объекта исследования на его математическую модель, которая наиболее полно отражает все особенности интересующего технологического процесса. Одним из наиболее распространенных способов переработки полимерных материалов является изготовление полимерной пленки.

В промышленности для получения полимерных пленок преимущественно используется метод экструзии расплава полимера. Данный метод пригоден для формования полимерных материалов, которые при расплавлении не подвергаются термической деструкции. Расплав полимера продавливается через экструдер, после выхода из которого полученная пленка попадает на охлаждающий барабан. В результате такого движения пленки материал охлаждается и изменяется его ширина и толщина. При этом растяжение пленки происходит неравномерно, что приводит к появлению «эффекта шейки». Очевидно, что все описанные процессы с пленкой происходят одновременно. Поэтому, при их математическом моделировании нужно совместное решение системы уравнений, состоящей из уравнений для скорости, напряжений и теплопереноса.

Для полимеров, температура плавления которых превышает температуру их термического разложения, применяется так называемый метод полива раствора полимера. Данный метод состоит из трех основных стадий: приготовления формовочного раствора полимера определенной концентрации, его полива на полированную поверхность (бесконечная лента или барабан), удаление растворителя (испарением или с использованием осадительной ванны). Для ускорения процесса пленкообразования, а также повышения физико-механических характеристик получаемых материалов в процессе формования применяется термическая обработка.

сопровождается фазовыми и релаксационными переходами. При получении пленок расплавным методом затвердевание жидкой пленочной структуры обусловлено процессами теплопереноса, а растворным - массопереноса. Процесс получения пленки из раствора полимера является изначально более сложным, поскольку система является двухкомпонентной. При этом в условиях формования происходит увеличение концентрации полимера, что приводит к резкому повышению вязкости полимерной системы. Таким образом, при разработке математических моделей процессов формования полимерных пленок необходимо учитывать особенности, присущие каждому способу получения.

Для моделирования процесса растворного формования полимерных пленок в данной работе используется модифицированная модель Виноградова-Покровского.

Цели диссертационной работы.

1. Обоснование применимости модифицированной реологической модели Виноградова-Покровского при описании неоднородных течений полимерных сред в случае учета диффузионных механизмов переноса массы.

2. Учет массопереноса в модифицированной модели Виноградова-Покровского и описание процесса растворного формования полимерных пленок на ее основе.

Для достижения поставленных целей потребовалось решить следующие

задачи:

1. Обоснование выбора реологической модели для описания течений растворов линейных полимеров;

2. Обоснование возможности использования одномерного приближения при моделировании процесса формования полимерных пленок в режиме одноосного растяжения;

3. Учет массопереноса в модифицированной модели Виноградова-Покровского.

4. Решение задачи об определении положения свободной кромки полимерной пленки в режиме односного растяжения;

5. Алгоритмическая реализация процесса решения полученных систем дифференциальных уравнений, исследование влияния параметров модели на вид получаемых зависимостей.

6. Подбор параметров реологической модели путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными.

Объектом исследования являются реальные течения полимерных сред в узлах технологического оборудования.

Предметом исследования является математическая модель процесса растворного формования полимерных пленок на основе обобщенной реологической модели Виноградова-Покровского с учетом массопереноса. Область исследования соответствует пунктам паспорта специальности 01.02.05: «п. 1. Реологические законы поведения текучих однородных и многофазных

сред при механических и других воздействиях», «п. 2. Гидравлические модели и приближенные методы расчетов течений в водоемах, технологических устройствах и энергетических установках», «п. 15. Тепломассоперенос в газах и жидкостях». Методы исследования

Реологическая модель, описывающая течение полимерного раствора на выходе из фильеры, была получена в рамках микроструктурного подхода. Для решения и анализа полученной системы дифференциальных уравнений использовались метод конечных элементов и метод конечных разностей. Моделирование процесса формования полимерной пленки осуществлялось в одномерном приближении, при этом кинематика процесса была описана в рамках одноосного растяжения. Научная новизна

1. Показана возможность использования модифицированной реологической модели Виноградова-Покровского для описания течений растворов линейных полимеров с учетом массопереноса в различных режимах деформирования;

2. Система уравнений динамики записана в одномерном приближении, при учете массопереноса, когда продольная скорость, скорость удлинения, концентрация растворителя, ненулевые компоненты тензора напряжений являются функциями только продольной координаты, а реологические параметры модели являются известными функциями концентрации;

3. Получена и решена система обыкновенных дифференциальных уравнений для зависимости ширины и толщины пленки от ее продольной скорости в случае одноосного растяжения;

4. Исследовано влияние ряда параметров модели на вид получаемых зависимостей продольной скорости, температуры, ненулевых компонент тензора напряжений от расстояния до выхода из фильеры;

5. Показана возможность моделирования процесса растворного формования полимерных пленок в одномерном приближении.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Необходимость учета испарения растворителя через поверхность пленки при моделировании процесса ее растворного формования в одномерном приближении.

2. Закономерности влияния безразмерных параметров процесса (число Рейнольдса, диффузионное число Нуссельта, число, Вайсенберга и число Пекле) на характеристики получаемой пленки (толщина, ширина, концентрация);

3. Необходимость учета диффузионных механизмов массопереноса при расчетах течений растворов линейных полимеров в узлах технологического оборудования.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая ценность работы заключается в развитии методологии математического моделирования процессов течений полимерных сред.

Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в возможности использования полученной модели на производстве для оптимизации процессов получения пленки из расплавов.

Также полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе при обучении аспирантов и студентов.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов, содержащихся в диссертации, обеспечивается корректностью постановок задач, использованием апробированных вычислительных методов и обобщенной реологической модели Виноградова-Покровского.

Используемый в диссертации подход построения и обоснования реологических определяющих соотношений базируется на известных представлениях о молекулярной структуре и поведении полимеров. Широко применяются физические модели, которые позволяют учитывать строение макромолекул. Все это позволяет говорить об адекватности полученных соотношений реальным полимерным жидкостям.

Полученные в диссертации результаты, при упрощении, сводятся к уже известным в литературе и качественно совпадают с соответствующими экспериментальными исследованиями полимеров. Это подтверждает достоверность выводов полученных в работе.

Вклад автора в проведенное исследование. В представленных в диссертационной работе результатах автор внес определяющий вклад в постановку задач исследования, разработку математических моделей, алгоритмов и программ, выводов. В постановке отдельных задач и обсуждении результатов активное участие принимали Г.В. Пышнограй, Ю.А. Алтухов, как соавторы научных работ. Фамилии других соавторов, принимавших участие в отдельных направлениях исследований, указаны в списке публикаций по теме диссертации. Все результаты, составляющие научную новизну диссертации и выносимые на защиту, получены автором лично.

Вклад автора. Обсуждение математических постановок решаемых задач, создание программ расчета, получение теоретических результатов и их анализ, а также сравнение теоретических зависимостей с имеющимися в литературе экспериментальными данными.

Апробация основных выводов и предложений. Основные результаты докладывались на региональных, всероссийских и международных конференциях и семинарах: международной научно - практической конференции (Барнаул, 2010), II Международной научно-практической конференции иностранных студентов и аспирантов (Барнаул, 2011), РРБ-27 (Марокко, 2011), международной научно-практической конференции «Современные проблемы и пути их решения в науке транспорте, производстве и образовании» (Одесса, 2011), XX Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ" (Пермь, 2011), III конференции молодых ученых

«Реология и физико - химическая механика гетерофазных систем» (Суздаль, 10-15 мая 2011), 7-й ежегодной европейской реологической конференции АЕЯС 2011 (Суздаль, 10-14 мая 2011), III Международной научно-практическая конференция иностранных студентов и аспирантов (Барнаул, 2012), Международной летней школе по компьютерному моделированию современных материалов,(Москва, МГУ, 2012), V Международной Дистанционная Научная конференция "Тенденции и перспективы развития современного научного знания», Институт Стратегических Исследований (Москва, 2012), Международной научная онлайн конференция "Математическое и компьютерное моделирование в биологии и химии. Перспективы развития», (Казань, 2012), Первой Международной конференции развитию нанотехнологий (Барнаул,2012), Международной школе-семинаре «ЛОМОНОСОВСКИЕ ЧТЕНИЯ НА АЛТАЕ-2012» (Барнаул, 2012, диплом победителя), Всероссийской Школе-Конференции «Химия биологически активных веществ», (Саратов,2012), IV Международной научно-практической конференции иностранных студентов и аспирантов (Барнаул, 2013), Международная научно-техническая конференция "Измерение, контроль, информатизация" (Барнаул, 2013).

Публикации. Основное содержание работы отражено в 20 печатных работах, в том числе в: журналах из списка ВАК - 2, научных журналах - 7, материалах трудов конференций и семинаров -11. Общий объем публикаций -3,78 п.л. (лично автора - 1,53 п.л.).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав и заключения. Работа изложена на 122 страницах машинописного текста, содержит 30 рисунков, 1 таблицу и список литературы, включающий 99 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении приводится обоснование актуальности исследования, сформулированы цель, задачи работы и основные положения, которые выносятся на защиту, показан личный вклад соискателя в приведенные в диссертации результаты. Также обсуждается структурное построение диссертации, которое отражает порядок решения поставленных задач.

Первая глава посвящена описанию некоторых моделей механики сплошных сред. Показано, что механика сплошных сред служит основой для развития различных наук, техники и технологии. На основных законах и моделях механики сплошных сред базируется большинство теорий, стремящихся описать различные эффекты, которые возникают при движении реальных сред: теория упругости, теория вязкоупругости, теория пластичности, газодинамика, гидродинамика, динамика гетерогенных структур и др. Механика сплошных сред - один из важных разделов теоретической физики, в котором рассматриваются математические методы изучения движения деформируемых сред. Суть этих методов состоит в переходе от реальных деформируемых сред к их идеализированному представлению и соответствующему символьному описанию. При этом различают два основных

подхода к изучению движения газообразных, жидких и твердых деформируемых тел: статистический и феноменологический.

Вторая глава посвящена нахождению установившихся напряжений при простом сдвиге и одноосном растяжении. При этом для расчетов используется обобщенная реологическая модель Виноградова-Покровского.

а* ~ ^а» - ПА, +—-аа (1)

1 + (к~Р)1

2 -р

= — а,

.э 'о

где а1к - тензор напряжений; р - гидростатическое давление; г;0 и т0 -начальные значения сдвиговой вязкости и времени релаксации; ул - тензор градиентов скорости; ~ симметричный тензор анизотропии второго ранга; I — первый инвариант тензора анизотропии; ул =^{у,к+уи)- симметризованный

тензор градиентов скорости; к,р - феноменологические параметры модели, учитывающие в уравнениях динамики макромолекулы изменение размеров и формы молекулярного клубка. Величины г?0 и т0 зависят от концентрации полимера в системе, это значит, что при испарении растворителя эти величины меняются, и необходимо эти зависимости установить экспериментально.

Наиболее часто на опыте изучались вискозиметрические течения такие, как простой сдвиг и одноосное растяжение. При простом сдвиге (тензор градиентов скорости содержит только одну ненулевую компоненту реологическое поведение полимерной жидкости определяется следующими

вискозиметрическими функциями: сдвиговым напряжением - ст'2 ; сдвиговой

п ~ ЛГ

вязкостью - , первой разностью нормальных напряжении-^; второй

разностью нормальных напряжений-Л^, которые определяются следующим образом:

ап

п = —; ЛГ, = £ТП - ст22;

(2)

Ы2 =ст22-(т33

и зависят, вообще говоря, от скорости сдвига У11 и времени I.

Если скорость сдвига представить как функцию времени в виде

или^(о=^(-о (3)

где ь единичная функция Хэвисайда, то в первом выражении речь идет об установление сдвиговых напряжений из состояния покоя, а во втором -релаксация напряжений после сдвиговой деформации. Тогда функции (2.2)

обозначают Л*(У>()>(У>*) п7! (У>0 соответственно.

Отметим, что в стационарном случае, который также часто исследуется, значения величин (У>0 определяется как:

71(у) = \тт1+(у,0 ; А^О^ИтЛ^,/)

Иногда возникает необходимость рассматривать не приведенные ранее величины, а их различные комбинации, например

ч. ,-Ъ-к- Ч -4!

Здесь 1' 2 - коэффициенты первой и второй разности нормальных напряжений; Ь - отношение второй разности нормальных напряжений к

первой; К - отношение первой разности нормальных напряжений к квадрату сдвиговых напряжений.

На основании опытных данных по сдвиговому течению линейных

полимеров [56,59-69] можно сделать выводы: сдвиговая вязкость ^ -

убывающая, а сдвиговое напряжение а'2 - возрастающая функции скорости сдвига; коэффициенты первой и второй разности нормальных напряжений

1' 2 - убывающие функции скорости сдвига; отношение второй разности нормальных напряжений к первой - есть малая величина и по зависимости ее от скорости сдвига имеется еще очень мало экспериментальных данных.

В случае одноосного растяжения (только диагональные члены тензора

градиентов скорости ненулевые: = = реологическое поведение

полимерной системы определяется вязкостью при одноосном растяжении -я :

а -о

\ — 11_22

Х V •

Вязкость при растяжении может быть как убывающей, так и возрастающей функцией скорости растяжения. Подробнее о поведении вискозиметрических функций будет сказано далее при сравнении полученных теоретических зависимостей с экспериментальными данными из литературных источников. Выражения для вискозиметрических функций (2.4) также позволяют оценить параметры К и Рна основе опытных данных. Следует отметить, что эти соотношения справедливы лишь при достаточно малых градиентах скорости. Это может привести к большим погрешностям при определении к и р. Поэтому далее рассматривается поведение реологической модели нулевого приближения при произвольных градиентах скорости.

При изучении нелинейных эффектов полимерной жидкости, в случае стационарного сдвигового течения, система уравнений (1) перепишется:

(22 =-3Ртм(а\2+а212) .

(7)

Я12 = у 5 + V 22 ~ 3 012 11+ Д 22) ;

Ти = \1(\+(к-Р)1);1 = аи+а22;з = т0Уп.

где

Результаты расчетов вискозиметрических функций, полученные на основе системы уравнений (7) приведены в диссертации.

В случае стационарного одноосного растяжения система уравнений (1) перепишется

ЗР1^6,21+(1-21^>п=|/„; (8)

где ' = (А 1 + 2Ь22)5;5 = 10Уп;Ьи = Ь->/.

Как уже было сказано, в этом случае поведение полимерной системы определяется стационарной вязкостью при растяжении Я , зависимости которой от безразмерной скорости удлинения 5 при различных значениях параметра (р=к) приведены во второй главе диссертации. При больших скоростях растяжения, Я становится постоянной (А^, ~ 1//?) , что согласуется с расчетами полученными на основе аналогичных моделей (модель Кертисса-Берда).

В третьей главе рассмотрены математические модели процессов формования полимерных пленок на основе расплавной и растворной технологий. При этом отмечено, что на эти процессы должны оказывать влияние самые разнообразные факторы. Среди этих факторов есть сильно влияющие на процесс и факторы, степень влияния которых не очень высока. Для того чтобы контролировать и управлять процессом, мы должны знать сильно влияющие факторы и целенаправленно управлять ими для достижения наилучших результатов. Очень часто бывает, что в результате изменения аппаратурного оформления технологии, химизма процессов, перехода на новое сырье появляются сильно влияющие факторы, ранее не принимаемые во внимание.

В начале третьей главы рассмотрена задача математического моделирования процесса изготовления полимерной пленки из расплава полимера. В этом случае полимерный расплав продавливается через экструдер. После выхода из экструдера, полученная пленка попадает на охлаждающий барабан. В результате такого движения пленки материал охлаждается и изменяется его ширина и толщина. При этом растяжение пленки происходит неравномерно, что приводит к появлению «эффекта шейки». Очевидно, что все описанные процессы с пленкой происходят одновременно. Поэтому, при их математическом моделировании нужно совместное решение системы уравнений, состоящей из уравнений для скорости, напряжений и теплопереноса. В частности, для нахождения установившихся напряжений при растяжении была использована обобщенная реологическая модель

Виноградова-Покровского, в которой параметры - известные функции температуры. В неизотермическом случае принималось во внимание то, что толщина пленки достаточно мала, поэтому, предполагалось, что температура по всей толщине пленки постоянна.

Далее была рассмотрена задача о растяжении пленки после выхода из фильеры с использованием реологическое определяющее соотношение (1).

Тогда в декартовой системе координат система уравнений динамики имеет вид:

дух д\> 5у. —-4-—^ + дх ду

дх

= 0

дх ду

да„ +-— 4 ду дап

дх дг

8V,

дг

д1

дх

да-,, даг

'У ду

дат

'23

дх ду

ду.

дг

да

дуг

„ +Ух-+ У

дI дх

ду,

да

" а,

да},

+ у.

дг

сЧ

дг

(9)

дх ду дг

где ух; Vy, уг- скорости вдоль осей Ох, Оу и Ог , соответственно; р - плотность. В случае учета испарения система (1,9) должна быть дополнена уравнением переноса концентрации:

дс дс%

V,,--(- V, —

у ду 2 дг.

(дс дс

- + --

дх

. дс \

— Л— +

5x1 дх

. ОУ.

+ Цл^

дг\ дг

(10)

где с- концентрация растворителя в системе, X - коэффициент диффузии. Затем система уравнений (1,9,10) записана в одномерном приближении при условии, что кинематика процесса описывается в рамках одноосного растяжения.

Четвертая глава посвящена исследованию процесса растворного формования полимерных пленок.

В начале главы изучены вискозиметрические функции при простом сдвиге для растворов хитозана. Сопоставление расчетных зависимостей стационарной сдвиговой вязкости с экспериментальными данными позволило установить концентрационные зависимости параметров реологической модели.

Рис. 1 Зависимость стационарной сдвиговой вязкости от скорости сдвига при различных значениях параметров анизотропии

Результаты расчетов вискозиметрических функций на основе системы уравнений (6) приведены на рисунках 1-3. На рисунке 1 представлена зависимость стационарной сдвиговой вязкости г/ от безразмерной скорости сдвига .У. Увеличение /3 приводит к уменьшению г\. При больших ^ сдвиговая вязкость выходит на стационарное значение, определяемое остаточной вязкостью т\х. На рисунке 2 представлена зависимость коэффициента первой разности нормальных напряжений от безразмерной скорости сдвига 5. Из рисунка видно, что Т, является убывающей функцией £, что хорошо согласуется с экспериментальными данными. При этом рост р приводит к более сильному отклонению коэффициента первой разности нормальных напряжений от начального значения и значение остаточной вязкости не влияет на представленную зависимость.

Рис. 2 Зависимость коэффициента первой разности нормальных напряжении от скорости сдвига при различных значениях параметров анизотропии

Рис. 3 Зависимость отношения первой разности нормальных напряжений ко второй от скорости сдвига при различных значениях параметров анизотропии

Рис. 4 Зависимость стационарной сдвиговой вязкости растворов хитозана от скорости сдвига при различных значениях концентрации

0.22 0.2 0.1В 0.16 „ 0.14 0.12 0 1 0.08 OOS 0.04

О 100 200 300 400 500 600 700

V12^0

Рис. 5 Зависимость стационарной сдвиговой вязкости растворов хитозана от скорости сдвига ■ при различных значениях концентрации

Параметры ß и к подбирали из условия наилучшей аппроксимации теоретическими кривыми экспериментальных данных и условия

независимости поведения V(vu) от молекулярного веса полимера при больших v12. При этом было получено, что ß = 0,05 и к = 0,06 . Значения других параметров модели приведены в таблице.

с% По

1,5 0,043 0,04 0,00025

2 0,073 0,07 0,0005

3 0,22 0,15 0,0055

4 0,69 0,25 0,011

5 1,55 0,45 0,015

6 3,6 0,7 0,02

Для наглядности построим концентрационные зависимости??,, г0, г;0 на графиках, которые приведенных на рисунках 6-8.

С?

1. О.

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 с%

Рис. 6 Зависимость начальной вязкости от концентрации

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 О

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

с%

Рис. 7 Зависимость остаточной вязкости от концентрации

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 О

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

с%

Рис. 8 Зависимость времени релаксации от концентрации

г|0- ехрептеп! - Ло(со><с/со>4

-Ф- г(1- ехрептеп! П1(с0)(с/с0)22

* х0- ехрептеШ

Т0(с0)(с/О0)2 0

Теперь появляется возможность исследования процесса формирования пленки из раствора полимера. В одномерном приближении эта модель имеет вид:

(¿С с1х

По

Кто

(«п-«22)

¿и сЬс I (Лх

{¡ап ¿и \ + {к-Р){аи+2а22) _2 йи :

1Гетп

3<£х

(П)

с1х йх 22 \Ует() 22 И 22

3 ¿¿с

2 2ЛГ»

ах скг н

Здесь введены в рассмотрение безразмерные критерии: число Рейнольдса -

= диффузионное число Пекле - = диффузионное число

щ(с ) ц

Нуссельта - Ш= — \ число Вайсенберга - \Уе = )и° . Также здесь Я /

используются выражения: 770(с) = (с)4; г;,(с) = о,68(с)2'2; г0(с) = (с)г; где с-отнесенная к с' = 3%безразмерная концентрация; й- безразмерная, отнесенная к I, толщина пленки.

Так как концентрационные зависимости параметров модели носят степенной характер, то в начале была решена задача исследования показателя степени на характер зависимости основных характеристик процесса от расстояния до выхода их фильеры.

Рис. 9 Влияние показателя степени на скорость пленки

Рис. 10 Влияние показателя степенн на концентрацию полимера

Здесь показатель п влияет незначительно. По-видимому, параметрами будут числа Ре и N11, но это требует дополнительных исследований.

Рис. 11. Влияние показателя степени на полуширину пленки

Полученные зависимости подтверждают работоспособность модели (11) и в заключении четвертой главы изучена зависимость параметров процесса получения полимерных пленок от реологических характеристик формовочных растворов. На основе модели (11) можно рассчитать зависимости скорости, температуры и напряжений от расстояния до фильеры. Наибольший практический интерес представляет изучение зависимости полуширины пленки. Рассмотрим влияние параметров Ре, Яе, Ми и \Уе на эти зависимости.

Число Рейнольдса - важный показатель для распознания любого типа потока с выраженным профилем распределения скоростей. Оно определяет относительную значимость эффекта вязкости в сравнении с эффектом инерции.

Если проанализировать влияние числа 11е на концентрацию пленки, то можно заметить что при больших значениях Ие из образца не успевает испариться растворитель до концентрации окружающей среды. С уменьшением числа Яе испарение из образца происходит более интенсивно. При Яе порядка единицы - растворитель из образца испаряется практически полностью, проходя только 30% расстояния между головкой фильеры и барабаном. С уменьшением числа Яе проявляется неравномерность в растяжении, и на графиках можно выделить два участка. На первом участке скорость меняется быстро, когда вязкость невелика. При достижении в образце установившейся концентрации скорость изменяется незначительно. Это и приводит к проявлению шейки. На рисунке 12. изображена зависимость полуширины пленки при различных значениях параметра Яе. Аналогичная картина наблюдается и для растягивающего напряжения - с ростом числа Рейнольдса напряжения уменьшаются.

Число Пекле Ре - один из критериев подобия диффузионных процессов в жидкостях и газах, учитывает влияние физических свойств образца на массоотдачу. Число Пекле - физическая характеристика среды и зависит только от ее термодинамического состояния. Для газов число Пекле с изменением

температуры практически не изменяется. У неметаллических жидкостей число Пекле изменяется с изменением температуры тем значительнее, чем больше вязкость жидкости. Можно ожидать, что в случае увеличения Ре массообмен с окружением уменьшается, влияние выходного участка сказывается меньше, что приводит к меньшему растяжению пленки. При больших значениях числа Ре массобмен с окружением затруднен, и концентрация образца при выходе из экструдера практически не изменяется за время движения пленки от головки экструдера до барабана. Если массопередача не затруднена, то на графике появляется участок с интенсивным испарением. Соответственно на этом участке происходит существенное растяжение образца. На втором участке образец движется как единое целое и растяжения не происходит. При этом расчеты показывают, что изменение числа Ре в диапазоне от 1 до 100 не влияло на исследуемые зависимости.

Еще одним критерием подобия является число Вайсенберга \Уе, характеризующее вязкоупругое течение и равное отношению между временем релаксации и сдвиговой скоростью. Оно указывает на степень анизотропии, порожденной деформацией, и подходит для описания потоков с постоянной историей растяжения. Несмотря на то, что этот параметр в модели присутствует при варьировании, в интервале 0.001 - 0.1 его влияние оказалось незначительным, как видно на рис. 13.

Диффузионное число Нуссельта N11 - один из основных критериев подобия процессов массопереноса, характеризующий соотношение между интенсивностью массообмена за счет испарения и интенсивностью теплообмена за счет диффузии. На рисунке 14. видно, что увеличение числа N11 приводит к более крутому уменьшению полуширины пленки, что объясняется более быстрым испарением растворителя за счет отдачи в окружающую среду. В случае уменьшения параметра N11 наблюдается уменьшение времени испарения пленки. С ростом числа N11 происходит более быстрый выход концентрации на стационарное значение. Это влияет на вязкость образца и в конечном итоге сказывается на скорости движения пленки и ее полуширине.

Ре=1; N11=0.01; \Л/е=0.005

Рис. 12 Влияние числа Ке на полуширину пленки

Рис. 13 Влняние числа \\'е на полуширину пленки

Рис. 14 Влияние числа N11 на концентрацию растворителя в пленке

Таким образом, в четвертой главе построена математическая модель процесса формирования пленки раствора полимера и исследовано влияние параметров модели на зависимости скорости, концентрации, полуширины пленки от реологических характеристик процесса: чисел Яе, \Уе, N11 и Ре.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. Показана возможность использования модифицированной реологической модели Виноградова-Покровского для описания течений растворов линейных полимеров в различных режимах деформирования;

2. Система уравнений динамики двухфазной среды записана в одномерном приближении, при учете массопереноса, когда продольная скорость, скорость удлинения, температура, ненулевые компоненты тензора напряжений являются функциями только продольной координаты, а реологические параметры модели являются известными функциями концентрации;

4. Исследовано влияние параметров модели, таких как: начальная сдвиговая вязкость, начальное время релаксации, коэффициент диффузии, коэффициент массообмена, коэффициенты наведенной анизотропии - на вид получаемых зависимостей продольной скорости, температуры, ненулевых компонент тензора напряжений от расстояния до выхода из фильеры.

Таким образом, использованные в работе подходы являются результативными методами получения и обоснования реологических определяющих соотношений для широкого круга сложных и практически важных задач.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации.

1. Аль Джода Х.Н.А. Постановка мезоскопических граничных условий для скорости проскальзывания на границе/ Аль Джода X. Н. А., Пышнограй Г.В., Макарова М.А., Пышнограй И.Г., Алтухов Ю.А., Головичёва И.Э., Трегубова Ю.Б., Третьяков И.В., Афонин Г.Л.// Ползуновский вестник, № 3/1, 2012, с. 6174

2. Аль Джода Х.Н.А. Математическое моделирование процесса формования пленок из раствора полимера/ Аль Джода Х.Н.А., Пышнограй Г.В., А. Б. Шиповская// Фундаментальные проблемы современного материаловедения №2 ,2012, с. 131-135.

Работы, опубликованные в других научных изданиях:

3. Аль Джода Х.Н.А. Статистическое обоснование реологического определяющего соотношения полимерных сред / Аль Джода Хейдер Надом Аззиз, Г.В Пышнограй // Труды Международной Научно - практической конференции, Барнаул, Изд-во АптГТУ,2010.-54с.

4. Аль Джода Х.Н.А. Динамика полимерного расплава в модели Виноградова-Покровского с учетом теплопереноса Аль Джода Хейдер Надом

Аззиз, Г.В Пышнограй // Материалы по итогам II Международной научно-практической конференции иностранных студентов и аспирантов, Барнаул, Изд-во АлтГТУ,2011.-225с.

5. Аль Джода Х.Н.А. Mesoscopic rheological model for polymeric fluids and some examples of flows /А1 Joda H.N, Afonin Gregory, Tretyakov Ilya, I.G. Pyshnograi// Book of abstracts Annual meeting PPS-27, Marrakech, Moroco, 10-14 May 2011, p. 274.

6. Аль Джода Х.Н.А. Equations of State for Polymeric Fluids And Components of Dynamic Modulus/ Аль Джода Хейдер Надом Аззиз ,G.V.Pyshnograi ,I.G. Pyshnograi// Современные проблемы и путиих решения в науке транспорте, производстве и образовании по Материалам международной научно-практической конференции (Украины,2011)-выпуск 4.Том 8.-Одесса :Черноморье, 2011.-103с.

7. Аль Джода Х.Н.А. The Mesoscopic Constitutive Equations for Polymeric Fluids and Some Examples of Viscometric Flows/ A1 Joda H.N, G.V. Pyshnograi; I.G. Pyshnograi, World Journal of Mechanics, 2012, №2, p. 19-27.

8. Аль Джода Х.Н.А. Реологическое поведение полимерного расплава в модели Виноградова-Покровского с учетом теплопереноса/ Аль Джода Хейдер Надом Аззиз, Афонин Г.Л., Пышнограй И.Г., Третьяков И.В. Тезисы докладов «Неравновесные процессы в сплошных средах».- Пермь,- с. 88

9. Аль Джода Х.Н.А. Математическое моделирование в физикохимии полимеров / Аль Джода Хейдер Надом Аззиз, Г.В Пышнограй // III Международная научно-практическая конференция иностранных студентов и аспирантов, Барнаул, Изд-во АлтГТУ,2012.-217с.

10. Аль Джода Х.Н.А. The Mathematical description of the polymer films forming process out of solution/ A1 Joda H.N, G.V. Pyshnograi// Тезисы международной научной школы «Компьютерное моделирование новых материалов», МГУ, Москва, 2012, с.8.

11. Аль Джода Х.Н.А. Некоторые решения системы уравнений динамики полимерных сред в одномерном приближении (тезисы)/ Аль Джода Хейдер Надом Аззиз, Пышнограй И.Г., Афонин Г.Л., Третьяков И.В., Пышнограй Г.В., Алтухов Ю.А// Материалы III конференции молодых ученых «Реология и физико-химическая механика гетерофазных систем», Суздаль, 10-15 мая 2011, с. 93.

12. Аль Джода Х.Н.А. Constitutive equation for polymeric fluids and someone dimensional cases of flows/ A1 Joda H.N, Afonin G., Pyshnograi I.G, Pyshnograi G., Tretyakov I. Book of abstracts 7th Annual European Rheology Conference, Suzdal, 10-14 May 2011, p. 61.

13. Аль Джода Х.Н.А. Математическое моделирование динамики формовочного раствора полимера в одномерном приближении/ Аль Джода Хейдер Надом Аззиз, Г.В Пышнограй // Международная научная онлайн конференция «Математическое и компьютерное моделирование в биологии и химии. Перспективы развития», Казань,2012, с. 127-135.

14. Аль Джода Х.Н.А. Математическая модель процессов вырезания полимерных пленок / Аль Джода Хейдер Надом Аззиз, Г.В Пышнограй //

Первая Международная конференция развитие нанотехнологий, АГУ, Барнаул, 2012, 74-76.

15. Аль Джода Х.Н.А. Об учете проскальзывания в плоскопараллельном течении полимерной жидкости (статья)/ Аль Джода Хейдер Надом Аззиз, Г.В Пышнограй // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: тезисы докладов международной научной конференции. — Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. — С. 159-160.

16. Аль Джода Х.Н.А. Математическое моделирование процесса растворного формования полимерных пленок в условиях одноосного растяжения / Аль Джода Хейдер Надом Аззиз , Е.С. Титова, Г.В. Пышнограй// научных трудов международной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае-2012», Барнаул: Алт ГПА, 2012 -Ч.2., 325с.

17. Аль Джода Х.Н.А. Экспериментальное теоретическое исследование реологических характеристик растворов хитозана / Аль Джода Хейдер Надом Аззиз, Е.С. Титова, Г.В.Пышнограй, Ю.А.Алтухов, А.Б.Шиповская // Всероссийская школа конференция Химия биологически активных веществ, 2012, СФУ, Саратов, с.304-307.

18. Аль Джода Х.Н.А. Формование пленки из расплава полимера между процессами солидификации испарения растворителя / Аль Джода Хейдер Надом Аззиз, Пышнограй Г.В. // V Международная Дистанционная Научная конференция"тенденции и перспективы развития современного научного знания, Институт Стратегических Исследований, Москва: Изд-во Спецкнига, 2012.-448с.

19. Аль Джода Х.Н.А. Решение задачи о движении полимерии пленки в одномерном приближении методом установления/ Аль Джода Х.Н.А., Пышнограй Г.В.// Материалы по итогам IV Международной научно-практической конференции иностранных студентов и аспирантов, АлтГТУ, Барнаул, 2013.

20. Аль Джода Х.Н.А. Зависимость параметров процесса- получения полимерных пленок от реологических характеристик формовочных растворов / Аль Джода Х.Н.А., Пышнограй Г.В. Титова Е.Н // Международная н учно-техническая конференция "Измерение, контроль, информатизация", АлтГТУ, Барнаул, 2013, с.149-153.

THE SUMMARY Haider Nadhom Azziz A1 Joda

Mathematical Modeling for Forming Films from Polymer Solutions Specialtie: 01.02.05 - Mechanics of liquids, gas and plasma.

The purpose of this work is the justification of the applicability of the modified rheological Vinogradov - Pokrovskii model in the description of heterogeneous flows of polymeric fluids in the case of registration of diffusion mass transfer mechanisms and description of the mortar forming polymer films based on it.

To achieve the goals needed to solve the following problems: rationale for the rheological model for the flows of solutions of linear polymers, background possibility of using a one-dimensional approximation for modeling the process of forming polymer films in the mode of uniaxial tension, Accounting for mass transfer in the modified Vinogradov - Pokrovskii model. The solution of the problem of determining the position of the free edge of the polymer film in the mode of uniaxial tension; algorithmic implementation process solutions obtained systems of differential equations, study the effect of model parameters on the form obtained dependencies. Obtaining of the rheological parameters of the model by comparison with experimental data.

In particular, not depending on the production method in the solid-liquid transition of the film structure is uneven modified geometric dimensions of the sample, which ultimately leads to the appearance effect "neck". The process of obtaining a film of the polymer solution is inherently more complex, as is the two-component system. In the molding conditions of the polymer concentration is increased, which leads to a sharp increase in the viscosity of the polymer system. Thus, when designing mathematical models of forming polymer films should take into account features inherent in each preparation process.

To simulate the process of molding mortar polymer films a modified Vinogradov - Pokrovskii model.

Подписано в печать 13.08.2013. Формат 60x84 1/16. Печать - цифровая. Усл.п.л. 1,39. Тираж 100 экз. Заказ 2013 - 315.

Отпечатано в типографии АлтГТУ, 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46 тел.: (8-3852) 29-09-48

Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД №28-35 от 15.07.97 г.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Аль Джода Хайдер Надом Аззиз, Барнаул

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет имени И.И. Ползунова»

На правах рукописи

Аль Джода Хайдер Надом Аззиз

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ПЛЕНОК ИЗ РАСТВОРА ПОЛИМЕРА

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Г.В. Пышнограй

Барнаул - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.......................................................................................................................4

Глава 1. Законы сохранения в механике сплошных сред........................................15

1.1. Основные понятия механики сплошных сред...................................................15

1.2. Закон сохранения массы.....................................................................................19

1.3. Уравнение неразрывности..................................................................................21

1.4. Закон сохранения импульса...............................................................................23

ч 1.5. Тензор напряжений.............................................................................................25

1.6. Уравнения динамики деформируемых сплошных сред...................................31

1.7. Реологические уравнения состояния.................................................................36

Глава 2. Реологическое уравнение состояния и некоторые случаи его применения .....................................................................................................................................48

-» 2.1. Введение...............................................................................................................48

2.2. Модифицированная реологическая модель Виноградова-Покровского..........49

2.3. Вискозиметрические течения.............................................................................53

Глава 3. Моделирование пленочных технологий в модифицированной модели Виноградова-Покровского.........................................................................................68

3.1. Математическая модель процесса формования полимерной пленки из расплава........................................:..............................................................................68

3.2. Математическая модель процесса формования полимерной пленки из

^ раствора.......................................................................................................................82

Глава 4. Исследование характеристик процесса растворного формирования полимерной пленки в модели Виноградова-Покровского.......................................94

4.1. Вискозиметрические функции при простом сдвиге..........................................94

4.2. Сравнение с экспериментами для растворов хитозана.....................................97

4.3. Математическая модель процесса формирования полимерных пленок из раствора в одномерном приближении.....................................................................103

4.4. Зависимость параметров процесса получения полимерных пленок от реологических характеристик формовочных растворов........................................106

Заключение...............................................................................................................110

ЛИТЕРАТУРА..........................................................................................................111

Введение

Актуальность работы. Жидкость - одно из агрегатных состояний вещества. Основным свойством жидкости, отличающим ее от других агрегатных состояний, является способность неограниченно менять форму под действием касательных механических напряжений, даже сколь угодно малых, практически сохраняя при этом объем.

Наиболее известным примером жидкости является вода. Во все времена жизнедеятельность человека была неразрывно связана с водой. Потребность в изучении воды возникла из практических задач. С древнейших времен люди располагали свои поселения возле рек и морей, которые впоследствии использовали как пути сообщения, возделывали пашни и занимались их орошением. Много столетий назад в Средней Азии и Китае, Египте и Месопотамии, Риме и Греции были созданы различные гидротехнические сооружения для подъема и подачи воды: каналы и плотины, водоотводы и акведуки. Естественно, для создания подобных механизмов и кораблей необходима была некая теоретическая база.

Так наука о физике жидкости зародилась в древние времена в трудах Архимеда. Ее дальнейшее ее развитие происхоло в средние века. В этот период времени механика жидкости разделилась на два различных направления: «математическую механику жидкости» и «техническую механику жидкости». Как отмечают (например, Г. Рауз и С. Инце в своей известной книге «История гидравлики»), математическая механика жидкости имела место еще в трудах Л. Эйлера (в середине XVIII в.). Относительно направления технической механики жидкости можно сказать, что значительное развитие оно получило, благодаря, работам французских ученых-инженеров. В настоящее время направлений исследований физики жидкости насчитывается несколько десятков, и каждое представляет собой интересную область.

Необходимость изучения физики жидкостей, в любые времена, порождалась задачами, которые были востребованы в связи с развитием материальной базы.

Несмотря, на простоту некоторых, изучаемых понятий физики жидкостей, до полного понимания их природы требовались иногда и тысячелетия (например, вопросы о вакууме и уравнения неразрывности движения жидкости).

Начало интенсивного развития теоретических основ технической механики жидкости можно отнести к середине XVIII в., когда в отечественных и зарубежных научных статьях были сформулированы основополагающие законы физики и общей механики и появился математический аппарат, который позволил записать эти законы в строгой математической форме.

Отдельный интерес, с научной и практической точек зрения, представляют полимерные жидкости. Полимеры играют важную роль в жизни современного человека.

Изделия из полимерных материалов уже давно и прочно вошли в нашу жизнь, поэтому вопросы, связанные с их проектированием и производством всегда актуальны (например, как управлять качеством полимерных изделий и решать ряд оптимизационных задач производства). Чтобы получить ответы на эти вопросы используется математическое моделирование. Основой его является математическая . модель, которая должна отражать все особенности интересующего процесса исследования и вместе с этим она должна быть достаточно простой.

Отметим, наиболее популярное полимерное изделие - это полимерная пленка. В промышленности для получения полимерных пленок преимущественно используется метод экструзии расплава полимера. Данный метод пригоден для формования полимерных материалов, которые при расплавлении не подвергаются термической деструкции. Расплав полимера продавливается через экструдер, после выхода из которого полученная пленка попадает на охлаждающий барабан.

В результате всего движения пленки происходит ее охлаждение, изменение ширины и толщины. При этом пленка растягивается неравномерно, что приводит к появлению «эффекта шейки». Все эти процессы происходят одновременно и с точки зрения математического моделирования требуется совместное решение уравнений для скоростей, напряжений и теплопереноса.

Растворная и расплавная технологии получения полимерных пленок имеют как общность основных стадий формования, так и свои особенности. В частности, в не зависимости от способа получения, в процессе перехода жидкая - твердая пленочная структура происходит неравномерное изменение геометрических размеров образца, что и приводит в конечном итоге к появлению «эффекта шейки». В обоих случаях процесс формования сопровождается фазовыми и релаксационными переходами. При получении пленок расплавным методом затвердевание жидкой пленочной структуры обусловлено процессами теплопереноса, а растворным, - массопереноса. Процесс получения пленки из раствора полимера является изначально более сложным, поскольку система является двухкомпонентной. При этом в условиях формования происходит увеличение концентрации полимера, что приводит к резкому повышению вязкости полимерной системы. Таким образом, при разработке математических

моделей процессов формования полимерных пленок необходимо учитывать особенности, присущие каждому способу получения.

Эта модель проверялась на соответствие вискозиметрическим течениям реальных полимерных жидкостей [51, 52] в случаях простого сдвига и одноосного растяжения. В частности показано, что исследуемое реологическое уравнение состояния описывает такие наблюдаемые на практике эффекты, как аномалия вязкости, первая и вторая разности нормальных напряжений, рост вязкости при растяжении и выход ее на стационарное значение. При этом было отмечено хорошее согласие теоретических и экспериментальных зависимостей в широкой области скоростей деформации. Также на основе реологической модели произведен расчет наложения малых осциллирующих колебаний на простое сдвиговое течение в параллельном и ортогональном сдвигу направлениях [53]. При этом были получены зависимости тензора напряжений от градиентов скорости и от времени, что позволило выполнить расчеты составляющих комплексного модуля сдвига, динамической вязкости и угла динамических потерь в зависимости от частоты вынуждающих колебаний, скорости сдвига и числа Деборы (Ое). Сравнение полученных численных зависимостей и опытных данных, описанных в литературе, показало качественное их соответствие [74,75].

Таким образом, предложенная реологическая модель достаточно тщательно изучена при различных режимах течения, а также оказывается пригодна для описания процесса формования полимерных пленок из расплава и раствора.

Цели диссертационной работы.

Для достижения поставленных целей потребовалось решить следующие задачи:

1. Обоснование выбора реологической модели для описания течений растворов линейных полимеров;

3. Учет массопереноса в модифицированной модели Виноградова-Покровского;

4. Решение задачи об определении положения свободной кромки полимерной пленки в режиме одноосного растяжения;

5. Алгоритмическая реализация процесса решения полученных систем дифференциальных уравнений, исследование влияния параметров модели на вид получаемых зависимостей;

6. Подбор параметров реологической модели путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными.

Объектом исследования являются реальные течения полимерных сред в узлах технологического оборудования.

Область исследования соответствует пунктам паспорта специальности 01.02.05: «п. 1. Реологические законы поведения текучих однородных и многофазных сред при механических и других воздействиях», «п. 2. Гидравлические модели и приближенные методы расчетов течений в водоемах, технологических устройствах и энергетических установках», «п. 15. Тепломассоперенос в газах и жидкостях».

Методы исследования.

Научная новизна.

являются функциями только продольной координаты, а реологические параметры модели являются известными функциями концентрации;

Основные положения, выносимые на защиту.

2. Закономерности влияния безразмерных параметров процесса (число Рейнольдса, диффузионное число Нуссельта, число Вайсенберга и число Пекле) на характеристики получаемой пленки (толщина, ширина, концентрация);

Полученные результаты могут использоваться в учебном процессе при организации специальных курсов для аспирантов и студентов.

Полученные в диссертации результаты подтверждаются уже известными результатами в литературе, а при упрощении сводятся к ним и они качественно совпадают с соответствующими экспериментальными исследованиями полимеров. Поэтому, приведенные в данной работе, результаты расчетов и выводы можно считать достоверными.

Вклад автора в проведенное исследование. В представленных в

диссертационной работе результатах автор внес определяющий вклад в

постановку задач исследования, разработку математических моделей, алгоритмов

и программ, выводов. В постановке отдельных задач и обсуждении результатов

активное участие принимали Г.В. Пышнограй, Ю.А. Алтухов, как соавторы

научных работ. Фамилии других соавторов, принимавших участие в отдельных

направлениях исследований, указаны в списке публикаций по теме диссертации. Все результаты, составляющие научную новизну диссертации и выносимые на защиту, получены автором лично.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались на региональных, Всероссийских и

Международных конференциях и семинарах: Международной научно -

практической конференции (Барнаул, 2010), Международной научно-

практической конференции иностранных студентов и аспирантов (Барнаул, 2011),

PPS-27 (Марокко, 2011), Международной научно-практической конференции

«Современные проблемы и пути их решения в науке транспорте, производстве и

образовании» (Одесса, 2011), XX Всероссийская школа-конференция молодых

ученых и студентов «МАТЕМА