Математическое моделирование возмущенной зоны вблизи плоского электрода в потоке разреженной плазмы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Нгуен Суан Тхау

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗМУЩЕННОЙ ЗОНЫ ВБЛИЗИ ПЛОСКОГО ЭЛЕКТРОДА В ПОТОКЕ РАЗРЕЖЕННОЙ

ПЛАЗМЫ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005540187 г'™Ш

Москва-2013

005540187

Работа выполнена на кафедре «Прикладная физика» Московского авиационного института (национального исследовательского университета).

Научный руководитель: Котельников Михаил Вадимович, доктор

физико-математических наук, доцент, профессор кафедры «Прикладная физика» ФГБОУ ВПО «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)» (МАИ)

Официальные оппоненты: Киреев Владимир Иванович, доктор физико-

математических наук, профессор, профессор кафедры вышей математики Московского государственного горного университета (МГГУ).

Рябый Валентин Анатольевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, начальник лаборатории ВЧ ионных двигателей Московского авиационного института (национального исследовательского

университета) (МАИ)

Ведущая организация: Московский государственный университет

приборостроения и информатики.

Защита состоится «J\ » Q)c/tjbñ$ 2013 года в ,(£> часов на заседании диссертационного совета Д212.125.14 при ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».

Отзыв на автореферат, заверенный печатью организации, просим направлять по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.

Автореферат разослан

« ¿if»

2013г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Г

Гидаспов В. Ю.

Общая характеристика работы Актуальность темы: Орбитальные космические станции, спутники связи и т.д. широко используются в раде стран в научных, коммерческих и ДР. интересах. Взаимодействие космического тела с окружающей ионосферной плазмой, с другими космическими телами является актуальной задачей. Исследуемый в диссертации плоский электрод в потоке разреженной плазмы можно рассматривать как элемент поверхности космического тела, изолированный от остальной его част Плоский электрод может быть расположен перпендикулярно или параллельно потоку разреженной плазмы. Плоский элемент может находиться в плазме возмущенной каким-либо космическим телом, или в невозмущенной ионосферной плазме. В данном случае исследуемый плоский элемент также может быть ориентирован как навстречу потоку, так и вдоль потока разреженной плазмы. Систематических исследований возмущенной зоны вблизи плоского ориентированного электрода в потоке разреженной плазмы на кинетическом уровне до настоящего времени не проводилось. Однако такие исследования важны для анализа процессов переноса вблизи плоского электрода, находящегося в потоке разреженной плазмы.

Ц^тью настоящего исследования является: разработка

математических и численных моделей для расчет возмущенной зоны вблизи

плоских электродов с различной ориентацией относительно потока

разреженной плазмы, создание оптимизированного алгоритма расчета и

проведение вычислительных экспериментов для исследования нелинейных

эффектов, возникающих при обтекании пластины потоком разреженной плазмы.

Основные решаемые задачи:

1) Разработать физико-математические и численные модели для- плоского пристеночного электрода, расположенного перпендикулярно потоку разреженной плазмы;

- плоского пристеночного электрода, расположенного параллельно потоку разреженной плазмы;

- плоского изолированного электрода, ориентированного параллельно или перпендикулярно набегающему потоку разреженной плазмы.

2) Создание оптимизированного алгоритма расчета для перечисленных в п 1 случаев.

3) Проведение обширных вычислительных экспериментов с целью получения функций распределения ионов (ФРИ) и электронов (ФРЭ) в различных точках возмущенной зоны вблизи пластины, а также профилей самосогласованных электрических полей. По полученным ФРИ и ФРЭ

рассчитываются их моменты: поля концентраций заряженных частиц поля

направленных скоростей, распределение плотности элегических токов по пластине.

4) Анализ нелинейных эффектов: концевого и краевого при различных ориентациях поверхности пластины относительно вектора скорости патока Количественное исследование воздействия указанных нелинейных эффектов на структуру возмущенной зоны в зависимости от величины направленной скорости потока плазмы «0, ширины пластины 2г0, её потенциала отношения температур ионов и электронов е.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем-1) Разработаны замкнутые физико-математические модели взаимодействия потока разреженной плазмы с плоской пластиной для:

пластины, расположенной перпендикулярно потоку разреженной

плазмы:

- пластины, расположенной параллельно потоку разреженной плазмы- изолированной пластины, ориентированной параллельно или перпендикулярно набегающему потоку разреженной плазмы

2) Показано, что выбор пластины в форме удлиненного прямоугольника позволяет все перечисленные в п.1 случаи свести к системе уравнений Власова-Пуассона в -мерном фазовом пространстве, но с различными начальными и граничными условиями.

3) Проведенные методические расчеты позволили оптимизировать вычислительный алгоритм и реализовать его на ЭВМ средней мощности

ВпеРвые проведены обширные вычислительные эксперименты в результате которых получены функции распределения ионов и электронов и распределение самосогласованных полей в достаточно широких интервалах изменения характерных параметров задачи:

О < н„ < 7

"О

5<2г0 <5-102 -20 <р0 <10 0.5<£<1 Ф и г Т.

пт»л л* __ г И [ ^ ,

=~м~'г° = ' безразмерные параметры;

р IV! 1е

- масштаб длины,

. _ кТ г ,т у?

ч>~~ ' масштаб потенциала, Мь -Гц - 0 '

и -\2кТ°Т

—1-1 - масштабы скорости

е2п.

В указанных интервалах получены распределения в возмущенной зоне пластины моментов ФРИ и ФРЭ (поля концентраций, скоростей, плотностей токов).

5) Впервые детально исследован концевой эффект, связанный с наличием скорости потока, направленной вдоль пластины. Получены условия, при которых указанным эффектом можно пренебречь при проведении физических экспериментов.

6) Впервые детально исследован краевой эффект, связанный с неоднородностью электрического поля на поверхности пластины. Показано его влияние на ФРИ, ФРЭ и распределение их моментов вблизи поверхности пластины. Указаны области изменения параметров, в которых этим эффектом можно пренебречь.

Практическая ценность работы

- Разработанные оптимизированные алгоритмы расчета нестационарных, многомерных, многопараметрических задач взаимодействия тел плоской геометрии с потоками разреженной плазмы могут быть использованы при расчетах процессов переноса в разнообразных задачах пристеночной плазмы.

- Полученные на кинетическом уровне результаты по расчету возмущенной зоны вблизи пристеночных и выносных плоских электродов необходимы для понимания физических процессов, происходящих вблизи пластины, помещенной в поток разреженной плазмы.

- Данные по структуре возмущенной зоны необходимы при рассмотрении взаимодействия космических тел, двюкущихся в ионосфере Земли.

- Исследованные концевые и краевые эффекты позволяют более детально разобраться в структуре возмущенной зоны вблизи пластины в потоке разреженной плазмы.

Положения, выносимые на защиту

1) Физико-математические и вычислительные модели расчета возмущенной зоны вблизи плоских электродов (пристеночных и выносных) в потоке разреженной плазмы.

2) Результаты вычислительных экспериментов, при которых получены функции распределения ионов и электронов вблизи поверхности плоских пристеночных и выносных ориентированных электродов, распределения моментов этих функций, а также распределения самосогласованных электрических полей.

3) Результаты по вычислению концевых и краевых эффектов и их влияние на структуру возмущённой зоны вблизи пластины в потоке разреженной

плазмы.

Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается использованием классических математических моделей (модель Власова - Пуассона) и апробированных на широком классе задач численных методов.

Выбор шагов расчетной сетки по времени и фазовым переменным обосновывается методическими расчетами. Результаты вычислительных экспериментов сравнивались с результатами других авторов. Сравнение показало хорошее совпадение.

Апробация работы. Основные материалы диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

- IX Международная конференция по «Неравновесным процессам в соплах и струях» (№N12012, г. Алунгга), 2012г.

- ХХХЕХ Международная конференция по физике плазмы и УТС, г. Звенигород, 2012г.

- Всероссийская конференция «Инновации в авиации и космонавтике», г. Москва, МАИ, 2013г.

- XVIII Международная конференция по «Вычислительной механике и современным прикладным программным системам», г.Алушта, 2013г. Результаты диссертационной работы неоднократно обсуждались на кафедре «Прикладная физика» Московского авиационного института (национального исследовательского университета).

Публикации. По результатам научных исследований в рамках диссертационной работы опубликовано 9 работ, в том числе 3 статьи в периодических изданиях, включенных в перечень ВАК; 5 публикаций в тезисах докладов Международных и Всероссийских конференций; получено одно свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы из 49 наименований и Приложения. Работа изложена на 128 страницах, содержит 82 рисунка.

Основное содержание работы Введение содержит обоснование актуальности и практической значимости темы диссертации, обзор и анализ литературы по теме диссертации, описание структуры и содержания работы.

Глава 1 посвящена исследованию возмущенной зоны вблизи плоского электрода, расположенного параллельно потоку разреженной плазмы. Результаты, полученные в данной главе, пригодны также и для других условий, когда пластина в форме удлиненного прямоугольника расположена на большой плоской поверхности, обтекаемой параллельным потоком разреженной низкотемпературной плазмы (рис. 1).

Рис. 1 Плоский электрод на диэлектрической плоскости I — плоский электрод 2 — охранные электроды 3 -диэлектрическая плоскость Удлиненная сторона пластины должна располагаться перпендикулярно вектору скорости потока. Это необходимо для того, чтобы сократить размерность задачи в фазовом пространстве до четырёх (х.^.у^у ).

В разделе 1.1 формулируется физическая модель задачи, отмечены основные физические требования, которые должны учитываться при формулировке математической модели задачи.

Раздел 1.2 посвящен описанию математической модели задачи обтекания плоской пластины потоком разреженной плазмы при условии, что вектор скорости потока параллелен пластине. Исходная система уравнений -система Власова - Пуассона [1,2], которая в нашем случае записывается в виде:

'3v.

dt V.

* dx dfe

' ду m\ x dvx

= 0

dt * дх " dy me

xdvr "dv

= 0

у J

d2a> d2cp e

(1) (2) (3)

В системе (1>КЗ) - функции распределения ионов (ФРИ) и электронов (ФРЭ); П.е, т1е - концентрация, заряд, масса заряженных частиц. Е = Ех1 + Еу], <р - напряженность и потенциал самосогласованного электрического поля; е - заряд электрона, £0 - электрическая постоянная. В качестве начального и граничного условия на внешней границе расчетной области для ФРИ и ФРЭ используется распределение Максвелла:

= „ exp -^[(Uo + v,)2+v>] (4)

J

Для решения уравнения Пуассона ставится условие

<Р = <Рр- const - на поверхности пластины и ?>=0- на всей остальной границе расчетной области. Если получено решение задачи (1Н5), подсчитываются моменты ФРИ и ФРЭ.

(5)

п.

11:1'

К т,,е

г2кТ,

Ч J

+00+00

+« о

<?/,«• J J fi,^yd\sdvy

(6) (7)

гДе Л> - плотность токов ионов и электронов.

Система (1)-^(7) составляет замкнутую математическую модель задачи.

Разделы 1.3 - 1.4 содержат описание численной модели задачи (1) + <7) после приведения её к безразмерному виду с помощью стандартной системы масштабов [1,2] и оптимизации вычислительного алгоритма.

Уравнения Власова для ионов (1) и для электронов (2) решались методом крупных частиц Давыдова [3], или методом характеристик [4]. Эволюция возмущенной зоны начиналась после импульсного изменения потенциала пластины от некоторого начального значения до потенциала <рр.

Использовался метод последовательных итераций по времени, причем на

каждом временном слое подсчитывалось новое значение напряженности электрического поля путем решения уравнения Пуассона (3). Правая часть уравнения (3) определялась по формуле (6) с использованием ФРИ и ФРЭ из предыдущего шага по времени. Решение осуществлялось до момента установления тока, поступающего на пластину из плазмы. Программный блок написан на языке программирования ТМТ Pascal v.3.50 и состоит из двух частей. Первая часть включает саму программу численного моделирования. Вторая часть - это графическая обработка полученных результатов. Она позволяет получить практически любую зависимость в любом виде в рамках введенных исходных данных и средств языка программирования.

Для выбора оптимального вычислительного алгоритма проведена серия методических расчетов. В результате удалось добиться приемлемого времени счета одного варианта на ЭВМ средней мощности.

В разделе 1.5 приведены результаты вычислительных экспериментов. На рис.2а,б приведены функции распределения ионов в нескольких характерных точках вблизи пластины.

Рис. 2а Функции распределения ионов (г0 = 10;<р0= -10;и0= 0;г= 1).

0Д2

Рис. 26 Функции распределения ионов (г0=10,%=-10,м0=5,£ = 1)

На рис.3 дано распределение плотности тока по пластине, а на рис.4 распределение концентраций заряженных частиц. ¡/М1

1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2 О

Рис. 3 Распределения плотности ионного тока вдоль оси X (г0 = 10,% =-Ю,£ = 1). 1-и0=0;2 — и0 =1;3 — и0 =5

М. = еМ.М..

т, )

П \, пе t

1,0

Ионы Электроны

X

Ионы

ЭлектроньД |

Рис. 4 а,6 Распределение концентраций ионов и электронов вдоль осиХ r0=10)i30=-10,£ = l а)и0 = 0; б)и0 = 5 (При tpn =-10,«

На рис.5,6 представлено распределение напряженности и потенциала электрического поля вблизи пластины, а также поле скоростей ионов. (р-const есть граница между двумя цветами.

а) и0 = 0

б) и0=1

Рис.

' 1 1 | I 1 I | | | I , I , ' * 1 ( * ■ ( м I ( м I I I I I | I I м I ) I I I I •.....

| • 1 1 • * I I I I м I 1 I I и I I I ............. •

...... I I I I I I I I I м I I I I I I I I I I и •• • I

КЧПМНИМШШМММШШ"! 1 ' Ч II И III I I I II I I I 1111 I I и I и ЦП II " 'ЧИНИ Ш 11 1111 11111 11 11II ¡11)))')"' 1"»»П1Ш| | | II | | | | I | I I 1)11)) П)И>>"

^нииш

Имини"" Л ШШШ'"

а) и0=0

шиишии

ииишнич —ии\« иншшши

____VI и и и и П м.

в) и0 = 5

Рис. 6а,б,в. Поле скоростей ионов (г0 = 10; <р0 = -10; £= 1) (Направление и величина скорости определяется направлением и величиной

отрезка на рисунке)

в) и0= 5

За,б,в Распределение напряженности и потенциала

В заключении раздела 1.5 дается подробный анализ концевого и краевого эффектов и зависимость этих нелинейных эффектов от параметров задачи.

Глава 2 диссертации посвящена исследованию возмущенной зоны вблизи пластины, расположенной перпендикулярно потоку разреженной плазмы. В этом случае поток падает на пластину нормально (рис. 7).

и0

X '2

Рис. 7. Расположение пластины в потоке плазмы 1- плоский электрод (удлиненный прямоугольника) 2 - диэлектрическая плоскость Структура и последовательность изложения материала главы 2 полностью соответствует главе 1.

В разделах 2.1 - 2.2 рассмотрена физико-математическая модель задачи. Система дифференциальных уравнений в данном случае совпадает с системой (1) - (3). Изменяются лишь начальное и граничное условия для ФРИ и ФРЭ. При нормальном падении разреженной плазмы на пластину условие (4) заменяется на следующее:

3

V

2 кТ

ехр^-

2кТ,

(8)

Таким образом, замкнутая математическая модель задачи при нормальном падении потока на пластину включает уравнения (1) н- (3); (5) ч-

В разделе 2.3 изложены особенности вычислительной модели, программного блока, методические расчеты. В основном, алгоритм расчета возмущенной зоны вблизи пластины в данном случае напоминает алгоритм, изложенный в главе 1.

В разделе 2.4 представлены результаты вычислительных экспериментов с пластиной, расположенной поперек потока разреженной плазмы. На рис. 8 даны ФРИ при значении безразмерной скорости и0= 5. По своей структуре они напоминают ФРИ рис. 26. Однако имеется и различие, т.к. в данном случае отсутствует концевой эффект, а краевой эффект с ростом и0 понижает свое влияние на плотность тока. Это связано с тем, что

составляющая плотности тока, связанная со скоростью, пропорциональна а составляющая, связанная с краевым эффектом, изменяется мало.

Рис. 8. Функции распределения ионов (г0 = 10;%= -Ю;и0 = 5;е= 1)

На рисунках 9-12 приведены поля концентраций (рис. 9а б) поля скоростей ионов (рис. 10а,б), распределение ионного тока вдоль пластины (рис. 11а,б), а также распределение напряженности и потенциала (рис. 12а,б).

Рис. 9 а,б Распределение концентраций П[/х) (г0= 10,р0=-10,£ = 1)

а)ио=" б)и0=5

Рис. 10 а,б Поле скоростей ионов г0 = 10,<р0 = -10, £ = 1

Рис. 11 а,б Распределение плотности ионного тока вдоль оси X (г0 = \0,<р0=-\0,е = \) а) и0 = 0 -б) и0 = 5

1г " "

Р^&ШПтШпЬЖ.Д

о г„

X

а)и0=0

б)а0 = 5

Рис. 12 а, б Распределение напряженности и потенциала электрического поля вблизи пластины (г0 = 10,р0 =-Ю,£ = 1)

В отличие от главы 1, все перечисленные распределения симметричны относительно плоскости (уг), т.к. отсутствует концевой эффект.

Как следует из рис.12, возмущенная зона вблизи пластины уменьшается по размеру с ростом и0 и прижимается к пластине. При относительно больших значениях и0 изменение направленной скорости за счет влияние электрического поля проявляется слабо (рис. 10), а концентрация и плотность тока практически не изменяется по ширине пластины (рис. 9, 11).

В Приложении №2 к диссертации показано, что плотность тока на пластину при нормальном падении потока плазмы определяется формулой:

. 1 + -

2е

<Pt

т,и

(9)

которая при больших скоростях дает

J, = еп„и,„ = const (Ю)

Формула (10) хорошо согласуется с рис. 106, 116.

Индекс «да» относится к размерным значениям и,.,и на внешней границе расчетной области.

В разделе 2.5 сформулированы выводы из главы 2. В Главе 3 рассмотрена задача о пристеночной области вблизи пластины, расположенной в потоке невозмущенной разреженной плазмы. Такую пластину можно рассматривать как независимое тело, находящееся в потоке разреженной плазмы (или как плоскую часть прибора или устройства, находящегося на некотором удалении от поверхности космического тела).

Рассмотрены два варианта такой пластины: пластина ориентирована вдоль потока и навстречу потоку.

В разделе 3.1 рассмотрена физическая и математическая модели задачи. Система дифференциальных уравнений при параллельном обтекании пластины имеет вид (1) - (3) с дополнительными условиями (4) - (7). В случае перпендикулярного обтекания система уравнений имеет вид (1) - (3), (5) - (8). Приведение модели отличаются лишь тем, что исследуемая пластина не располагается на большой диэлектрической плоскости, поэтому не нужно ставить граничные условия на этой плоскости.

В разделе 3.2 рассмотрена численная модель задачи, алгоритм решения системы (1) н- (3) с дополнительными условиями, методические расчеты и вопросы оптимизации программы.

Раздел 3.3 посвящен результатам вычислительных экспериментов при двух ориентациях пластины относительно вектора скорости потока. Ввиду большого объема проведенных исследований в разделе 3.3 приведены только результаты с пластинами размером г0=ЮО. Чтобы не загромождать изложение, результаты других расчетов вынесены в Приложение 3.

Рис. 13а, б Функции распределения ионов Г<> = 60' % = %хр. электрода = -Ю,£ = 1,И„ = 5 а) Пластина расположена параллельно потоку плазмы б) Пластина расположена перпендикулярно потоку плазмы

3 4 5

Рис. 14а,б Поля концентраций заряженных частиц при параллельном обтекании пластины

(гп=60,гп+г

и > О охр. -электрода

а) Поле концентраций ионов б) Поле концентраций электронов

= 100,<й,=й> =-10£ = 1 и =5)

1 "О Г|кр. электрода з' > и0 — * /

„До

0.7

"»'о

0.1--,

-Г„

-л

г0 х

0.8

/ ^

«0=1

1.4

-г„

ип= 1

1.1

и0 =5

5.1-

"Г„

и0=5

Рис. 15а, б Распределение плотности потока ионов вдоль осиХ (га = 60,г0 + /-0!ф.электрода =100,% =<рохр ме1С1рода =-10,£ = 1)

а) Пластина вдоль потока б) Пластина перпендикулярно потоку

В разделе 3.4 изложен анализ концевого и краевого эффектов. В этом разделе обобщим полученные в результате вычислительных экспериментов данные и делаем количественные оценки.

На рис. 16 приведена зависимость

удаленного краев пластины.

их

от и0 для переднего и

15 1.4'

ЛЛ 1 08 0.6 0:4 0.2 а

I / тах

точка 1 (передний край гаасппгы)

точка 5 (валенный крайпластины)

Рис.16 Зависимость влияния совместного концевого и краевого эффектов плотность тока от и0 (га = 100,р0 =-Ю,£ = 1)

на

На рисунке 17 показана зависимость нелинейного участка А в радиусах Дебая от иа на переднем и удаленном крае пластины

передний край

удаленный крал

5 6 'О

Рис.17 Зависимость величины участка, на котором проявляются нелинейные эффекты от параметра иа (>0 =100,% =-10,£ = 1;

На рисунке 18 приведена зависимость, аналогичная рисунку 17, при нормальном падении потока на пластину.

ш

Рис.18 Зависимость величины участка, на котором проявляется краевой эффект от параметра щ (га =100,% =-10,£ = 1) В последнем разделе 3.5 даны выводы из гл.З.

Основные результаты и выводы

I) Разработаны физико-математические и численные модели взаимодействия плоского электрода с потоками разреженной плазмы для следующих условий:

- плоский электрод расположен в лобовой части спутника;

- плоский электрод расположен на боковой части спутника;

- плоский электрод, расположен перпендикулярно и параллельно потоку невозмущенной разреженной плазмы.

2) Созданы оптимизированные вычислительные алгоритмы предназначенные для численного моделирования возмущенной зоны вблизи пластины для трёх случаев, указанных в п.1.

3) По результатам вычислительных экспериментов получены функции распределения ионов и электронов в различных точках возмущенной зоны вблизи пластины, распределение самосогласованных электрических полей а также моментов ФРИ и ФРЭ.

4) Проведено детальное исследование концевого эффекта и даны рекомендации по уменьшению его влияния на возмущенную зону

5) Проведено детальное исследование краевого эффекта и даны рекомендации по уменьшению его влияния на возмущенную зону

6) Предложена идея и даны рекомендации по использованию охранных электродов при проведении физических экспериментов с плоскими электродами в потоках разреженной плазмы.

Цитируемая литература

1. Котельников В.А., Ульданов C.B., Котельников М.В. Процессы переноса в пристеночных слоях плазмы. М.: Наука, 2004,422 с

2. Котельников В. А., Котельников М. В., Гвдаспов В. Ю. Математическое моделирование обтекание тел потоками столкновительной и бесстолкновительной плазмы - М.: Физмалит, серия «Фундаментальная и прикладная физика», 2010г., 266с.

3 Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц // Математическая энциклопедия М.: Сов. Энциклопедия, 1985. т.З, с 125-129.

4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989, 608 с

Список публикаций по теме диссертации

1) Котельников М.В., Нгуен С.Т. Оптимизация программного блока в задачах механики и электродинамики пристеночной плазмы. //Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 50.

2) Котельников М.В., Нтуен С.Т. Методика использования компьютерной

лТ!1ИКИоВ ВЬгаИСШГгельньк экспериментах. //Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 53.

3) Котельников В.А., Котельников М.В., Нгуен Суан Тхау. Математическое моделирование возмущенной зоны вблизи плоского электрода, обтекаемого потоком разреженной плазмы. //Электронный журнал «Труды МАИ» Выпуск № 69.

4) Котельников М.В, Нтуен Суан Тхау. Численное моделирование краевого и концевого эффектов для пластины, обтекаемой разреженной плазмой //Материалы IX международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2012), г. Алушта, 25 - 31 мая 2012 г, с 225-226

5) Котельников М.В, Нтуен Суан Тхау. Морозов A.B. О влиянии краевого и концевого эффектов на структуру возмущенной зоны вблизи пластины обтекаемой разреженной плазмой. //XXXIX Международная' (звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС, 6-10 февраля 2012 г. Сборник тезисов докладов, с. 176

6) Котельников М.В, Нгуен Суан Тхау. Численное моделирование структуры возмущенной зоны вблизи пластины в потоке разреженной плазмы //XXXIX Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС 6 - 10 февраля 2012 г. Сборник тезисов докладов, с. 175

7) Котельников М.В., Нтуен С. Т. Поля концентраций, потенциалов и скоростей заряженных частиц вблизи пластины в потоке разреженной плазмы. //Инновации в авиации и космонавтике 2013, МАИ, 16-18 апреля 2013г. Сборник тезисов докладов, с. 133.

8) Котельников М.В., Нгуен С. Т. Численное моделирование структуры возмущенной зоны вблизи пластины, расположенной поперек потока разреженной плазмы. //ХУШ Международная конференция по вычислительной механике и современными прикладным программным системам, Алушта, 22-31 мая 2013г., с. 592.

9) Котельников М.В., Мальцев-Горский Д.А., Нгуен С.Т.

«Программа расчета обтекания цилиндрического тела, помещенного в поток разреженной плазмы». //Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011617540.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт» (Национальный исследовательский университет)

На правах рукописи УДК 533.9: 51-73

НГУЕН СУАН ТХАУ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗМУЩЕННОЙ ЗОНЫ ВБЛИЗИ ПЛОСКОГО ЭЛЕКТРОДА В ПОТОКЕ РАЗРЕЖЕННОЙ

ПЛАЗМЫ

Специальность: 01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, доцент Котельников М.В.

Москва-2013

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ........................................................................................................2

ВЕДЕНИЕ.................................................................................................................4

ГЛАВА I. ПЛОСКИЙ ЭЛЕКТРОД НА БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ СПУТНИКА.............................................................................................................7

1.1. Физическая модель задачи...........................................................................7

1.2. Математическая модель задачи...................................................................9

1.2.1. Система уравнений.................................................................................9

1.2.2. Начальные и граничные условия........................................................16

1.3. Численная модель задачи...........................................................................17

1.3.1. Метод характеристик решения уравнения Власова..........................18

1.3.2. Метод крупных частиц решения уравнения Власова.......................23

1.3.3. Метод численного решения уравнения Пуассона.............................27

1.3.4. Алгоритм решения системы уравнений Власова - Пуассона..........29

1.4. Методические расчеты и сравнение с результатами других авторов. ..32

1.5. Результаты вычислительных экспериментов [39]...................................34

1.5.1. Функции распределения заряженных частиц....................................34

1.5.2. Распределение плотности тока по пластине и интегральный ток на единицу длины пластины..............................................................................38

1.5.3. Распределение концентраций заряженных частиц и электрических полей вблизи плоского электрода ленточного типа...................................41

1.5.4. Поля скоростей ионов вблизи пластины............................................44

1.5.5. Нелинейные эффекты, возникающие при обтекании пластины параллельным потоком плазмы....................................................................46

1.6. Выводы из главы 1......................................................................................49

ГЛАВА 2. ПЛОСКИЙ ПРИСТЕНОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОД В ЛОБОВОЙ ЧАСТИ СПУТНИКА...........................................................................................................50

2.1. Физическая постановка задачи..................................................................50

2.2. Математическая и численная модели задачи...........................................52

2.3. Алгоритм решения системы Власова - Пуассона. Методические расчеты................................................................................................................53

2.4. Результаты вычислительных экспериментов...........................................55

2.4.1. Функции распределения ионов и электронов....................................55

2.4.2. Распределение концентраций заряженных частиц...........................58

2.4.3. Поля скоростей ионов вблизи пластины............................................61

2.4.4. Распределение плотности тока по пластине......................................63

2.4.5. Распределение самосогласованного электрического поля в

возмущенной зоне пластины.........................................................................65

2.4.6 Краевой эффект......................................................................................67

2.5 Вывод из главы 2..........................................................................................68

ГЛАВА 3. ПЛОСКАЯ ПЛАСТИНА, ВЫНЕСЕННАЯ ЗА ПРЕДЕЛЫ СОБСТВЕННОЙ АТМОСФЕРЫ СПУТНИКА.................................................69

3.1. Физическая и математическая модели задачи.........................................69

3.2. Численная модель задачи. Алгоритм программы. Методические

расчеты................................................................................................................74

3.3. Результаты вычислительных экспериментов...........................................75

3.3.1. Функции распределения заряженных частиц в возмущенной зоне

пластины..........................................................................................................75

3.3.2. Поля концентраций ионов и электронов............................................77

3.3.3. Распределение плотности тока ионов по пластине..........................79

3.4. Концевой и краевой эффекты....................................................................80

3.5. Выводы из главы 3......................................................................................85

ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................................................87

ЛИТЕРАТУРА.......................................................................................................88

ПРИЛОЖЕНИЕ 1: КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗАДАЧИ О ПЛАСТИНЕ К ЗАДАЧЕ ОБ ЭЛЕКТРОДЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ГЕОМЕТРИИ.........................................................................................................93

ПРИЛОЖЕНИЕ 2: ВЫВОД ФОРМУЛЫ (2.9) ДЛЯ ИОННОГО ТОКА НА

ПЛОСКИЙ ЭЛЕКТРОД........................................................................................97

ПРИЛОЖЕНИЕ 3: РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ..............................................................................................99

ВЕДЕНИЕ

Первый искусственный спутник Земли был запущен на орбиту в Советском Союзе 4 октября 1957г. С 1961 начались полеты спутников с человеком на борту. Первым космонавтом Земли был гражданин Советского Союза летчик-космонавт Ю. А. Гагарин. В настоящее время спутники и космические станции широко используются в интересах науки и в коммерческих целях. Исследование взаимодействия спутника с окружающей ионизованной средой проводилось многими авторами. Среди них отметим работы Альперта Я. А., Гуревича А. В., Питаевского Л. П. "Искусственные спутники в разреженной плазме" [1], Котельникова В. А., Гуриной Т. А., Демкова В. П., Попова Г.А. "Математическое моделирование электродинамики летательного аппарата в разреженной плазме" [2], Шувалова В. А. "Структура ближнего следа за сферой в потоке неравновесной разреженной плазме" [3], а также серию работ сотрудников научной школы по механике и электродинамике пристеночной плазмы кафедры "Прикладная Физика" МАИ [4-14]. В работе [1] движение спутника в ионосфере рассматривалось с использованием аналитических методов. Однако, учитывая сложность математических моделей, такие подходы оказались возможным только в предельных и упрощенных случаях. В работах [2-14] наряду с аналитическими подходами широко использовались методы математического моделирования с проведением обширных вычислительных экспериментов. Однако достаточно подробные исследования возмущенной зоны вблизи тел плоской геометрии в потоках разреженной плазме не проводились. Это связано с наличием в этих задачах достаточно сложных нелинейных эффектов, получивших название в литературе, как краевые и концевые. Таких эффектов в случае обтекания тел сферической или цилиндрической геометрии практически не наблюдается, за исключением некоторых частных случаев. Например, если тело цилиндрической геометрии имеет относительно небольшую высоту по сравнению с диаметром и обтекается потоком разреженной плазмы. Такая

задача по сложности близка к задаче обтекания тела плоской геометрии и в перечисленных выше публикациях не исследовалась. Между тем плоская конструкция как элемент поверхности спутника или космической станции, а также как элемент различных приборов и устройств, расположенных на них, встречается часто. Эти участки поверхности при взаимодействии с потоками плазмы приобретают отрицательный электрический заряд, создающий так называемый "плавающий" потенциал. Высотные спутники, например, спутники связи, дополнительно подвергаются воздействию потоков быстрых электронов и ультрафиолетового излучения Солнца. За счет вторичной электронной эмиссии и внешнего фотоэффекта элементы поверхности этих спутников могут приобретать достаточно высокий положительный потенциал. Таким образом, исследование взаимодействия плоского элемента конструкции спутника с окружающей плазмой и анализ структуры возмущенной зоны вблизи этой поверхности является актуальной задачей. Результаты таких исследований должны учитываться при проведении физических экспериментов на спутниках, при изучении "собственной атмосферы" вблизи их поверхности, при прогнозировании продолжительности функционирования спутника, при оценке взаимодействия спутника с другими телами и т.д.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников.

Во введении рассматривается место данной работы среди работ других авторов, ее актуальность и практическая ценность, а также краткое содержание по главам.

Первая глава посвящена исследованию методами математического моделирования структуры возмущенной зоны вблизи плоского элемента конструкции на боковой поверхности спутника. Такой элемент обтекается продольным потоком разреженной плазмы. Рассматривается физическая, математическая и численная модели задачи. Приводятся результаты обширных вычислительных экспериментов.

Во второй главе рассматривается структура возмущенной зоны вблизи плоского элемента, расположенного в лобовой части спутника. Структура второй главы полностью напоминает структуру главы первой. Разница состоит лишь в том, что поток разреженной плазмы направлен по нормали к поверхности плоского элемента.

В третьей главе рассматривается изолированная пластина в потоке разреженной плазмы. Такая пластина может рассматриваться как прибор или устройство, расположенные на спутнике и вынесенные за пределы его возмущенной зоны. Структура третьей главы аналогична структуре первых двух глав.

Возмущенная зона вблизи пластины, расположенной в теневой части спутника, не рассматривалась, поскольку невозможно корректно сформулировать граничные условия на внешней границе возмущенной зоны, т. е., задать функции распределения заряженных частиц на этой границе. Эти функции заведомо не максвелловские [12-14] и нахождение их требует решения задачи обтекания самого спутника [11]. В общем случае такая задача до настоящего времени не решена и может быть темой самостоятельного достаточно сложного исследования. Например, задача обтекания спутника сферической формы имеет пять фазовые переменных и время, в то время как все задачи, поставленные и решенные в диссертации, оказываются четырехмерными в фазовом пространстве и допускают решение на ЭВМ средней мощности.

ГЛАВА I. ПЛОСКИЙ ЭЛЕКТРОД НА БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ СПУТНИКА

1.1. Физическая модель задачи

Плоский электрод, активная поверхность которого параллельна вектору скорости - это небольшая часть боковой поверхности спутника, изолированная от остальной его поверхности (рис. 1.1.а). Температурный режим такого электрода не отличается от температурного режима прилегающей поверхности и, как правило, не нагревается до температур, при которой начинается термоэмиссия с его поверхности. По своей геометрии -рассматриваемый пристеночный электрод может иметь форму диска, квадрата, прямоугольника. Если одна сторона прямоугольника намного большая другой, то его будем называть электродом ленточного типа. Если такой электрод располагается на боковой поверхности спутника и его удлиненная сторона перпендикулярна вектору скорости прилегающей к электроду плазмы, то с вычислительной точки зрения такой электрод описывается четырехмерной моделью в фазовом пространстве. Если в тех же условиях рассматривается электрод в форме диска, то задача расчета пристеночный области в фазовом пространстве имеет большую размерность. Отметим основные физические требования, которые должны учитываться при формулировке математической модели задачи.

1. Активная поверхность электрода должна быть чистой. Никаких окисных пленок или других загрязнений не допускается. Принято говорить, что поверхность электрода идеально каталитичная. Это означает, что электрон, коснувшись поверхности электрода, исчезает, а ион извлекает из поверхности недостающий электрон и отражается от нее в виде нейтрального атома.

2. Температура электрода поддерживается на уровне, при котором термоэмиссия отсутствует. Отсутствуют также и другие виды эмиссии электронов, в частности, фотоэмиссия и вторичная эмиссия.

3. Активная поверхность электрода имеет форму прямоугольника с удлиненной стороной, перпендикулярной вектору скорости потока плазмы. Электрод располагается на боковой стороне спутника.

4. Электрические токи, возникающие при взаимодействии электрода с окружающей плазмой, настолько малы, что создаваемыми ими магнитными полями можно пренебречь. Такие магнитные поля принято называть собственными. Внешние магнитные поля могут присутствовать, что должно учитываться в математической модели задачи.

жчк V V V

Рис. 1.1.а Расположение пластины на спутнике Я - Характерный размер спутника гр - характерный размер пластины

Рис. 1.1.6 Плоский электрод на диэлектрической плоскости 1 — плоский электрод 2 — охранные электроды 3 —диэлектрическая плоскость

В упрощенном виде плоский пристеночный электрод на боковой поверхности спутника приведен на рис. 1.16. Ширина ленты размером 2гр

много меньше её длины. К ленте сверху и снизу могут примыкать дополнительные проводящие электроды, потенциал которых может совпадать с потенциалом ленты, а может отличаться от него. Ширина этих электродов, которые будем называть охранными, также может

варьироваться. Сверху и снизу от охранных электродов располагается плоская диэлектрическая (или металлическая) поверхность. Поскольку характерный размер всех электродов предполагается много меньше радиуса кривизны поверхности спутника, в дальнейшем будем считать, что плоские электроды располагаются на плоской диэлектрической (или металлической) пластине большого размера.

1.2. Математическая модель задачи

1.2.1. Система уравнений

Функции распределения ионов и электронов находятся путем решения кинетического уравнения Больцмана [15]. Поскольку рассматривается разреженная плазма, в которой средний пробег заряженных частиц превышает характерный размер задачи, правая часть уравнения Больцмана полагается равной нулю. Кинетические уравнения с нулевой правой частью в литературе именуются уравнениями Власова. В последнее десятилетие опубликована серия работ Б.В. Алексеева [16-19], в которых получены обобщенные кинетические уравнения. Впервые работы Б.В. Алексеева были доложены в 1987 г. на лекциях по физической кинетике для сотрудников Софийского университета, а в 1988 г. опубликованы в тезисах докладов на седьмом совещании по механике реагирующих сред в городе Красноярске. В работах Б.В. Алексеева отмечается, что классическая кинетическая теория, в основе которой лежит уравнение Больцмана, имеется ряд внутренних противоречий [16-19], например,

- уравнение Больцмана изначально работает на масштабах времени гидродинамическом (гг) и времени между столкновениями (гя), но оно в принципе не применимо на масштабах времени взаимодействия (гв). Поэтому большое число физических явлений, в которых существенно время взаимодействия тв, не может быть исследовано с помощью больцмановской

кинетической теории. Это в первую очередь касается теоретических основ современных нанотехнологий.

- обычно одночастичная функция распределения Больцмана нормируется на число частиц в единице объёма. Если частицы рассматривать как материальные точки, то такая нормировка возможна. Но при вычислении интеграла столкновений с использованием модели твердых сфер необходимо знать сечения столкновений. Это означает, что рассматриваются частицы конечных размеров. Отсюда следует что в любой момент времени всегда найдутся частицы, которые частично попадают в контрольный объём, а частично находятся вне его, что ведет к флуктуациям массы, а следовательно, и других гидродинамических параметров. Возможность таких флуктуации уравнение Больцмана не предусматривает. Отсюда понятны те трудности, которые имели место при построении строгой теории турбулентности на основе классической теории [16-19] и успехи новой теории турбулентности, основанной на обобщенной больцмановской теории [19].

- из кинетического уравнения Больцмана вытекают гидродинамические уравнения неразрывности, движения и энергии. Уравнение энергии при некоторых дополнительных предположениях сводится к уравнению теплопроводности параболического типа, включающему первую производную по координатам. Из его решения вытекает, что импульс температуры, созданной в источнике, может дать скачок температуры в любой достаточно удаленной точке за бесконечно малый интервал времени. Это означает, что происходит бесконечно быстрое распространение теплоты, что бессмысленно с молекулярно-кинетической точки зрения. Для «исправления» этого противоречия в уравнение теплопроводности искусственно ввели вторую производную по времени, сводя тем самым эти уравнение к уравнению гиперболического типа. Решение последнего уравнения привело к конечным скоростям распространения тепловых

возмущений. Такое «исправление» должно быть логическим следствием кинетического уравнения, отличающегося от уравнения Больцмана. Имеются и другие примеры, показывающие, что необходимо создавать новую, более общ