Метод гладких возмущений в задачах теории упругости с односторонними ограничениями для областей с негладкими границами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



С-^ На правах рукописи

Рудой Евгений Михайлович

Метод гладких возмущений в задачах теории упругости с односторонними ограничениями для областей с негладкими границами

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

1 3 ДЕК 2012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 2012

005057032

Рудой Евгений Михайлович

Метод гладких возмущений в задачах теории упругости с односторонними ограничениями для областей с негладкими границами

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Хлудыев Александр Михайлович

Официальные оппоненты:

Аннин Борис Дмитриевич, доктор физико-математических наук, академик РАН, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук, заведующий лабораторией

Кожанов Александр Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, главный научный сотрудник

Слуцкий Андрей Семенович, доктор физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем машиноведения Российской академии наук, ведущий научный сотрудник

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет»

Защита состоится 25 декабря 2012 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2, ауд. 317а главного корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан «15» ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Старовойтов В.Н.

Аннотация. Диссертационная работа посвящена исследованию качественных свойств решений неклассических краевых задач в областях с негладкими границами в приложении к теории упругости, и, в частности, к задачам теории трещин на основе современных методов решения уравнений математической физики, функционального анализа и вариационного исчисления.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Среди широкого спектра проблем механики сплошных сред в настоящее время одним из наиболее активно развивающихся направлений является теория трещин. Моделирование процессов разрушения в виде краевых задач позволяет наиболее точно описать поведение тел с различного рода включениями. Условно можно выделить два подхода к исследованию краевых задач в негладких областях: классический, когда рассматривается линейная математическая модель, в рамках которой на границе, соответствующей трещине, задаются линейные краевые условия, и неклассический, когда на трещине задаются нелинейные граничные условия — условия одностороннего ограничения.

В рамках классического подхода в работах И.И. Аргатова, Р.В. Гольд-штейна, А.Н. Гузя, Р. Дудучавы, В.М. Ентова, В.В. Зозули, В.А. Козлова, В.А. Кондратьева, В.Г. Мазьи, Ю.Г. Матвиенко, А.Б. Мовчана, Е.М. Морозова, Н.Ф. Морозова, С.А. Назарова, В.В. Панасюка, В.З. Партона, В.А. Пламеневского, Ю.Н. Работнова, М.П. Саврука, Л.И. Слепяна, А.С. Слуцкого, Е.И. Шифрина, Г.П. Черепанова, H.D. Bui, M. Costabel, G. Dal Maso, L.B. Freund, G.A. Francfort, P. Grisvard, D. Knees, J.-J. Marigo, A. Mielke, M. Negri, K. Ohtsuka, A.-M. Sandig, J. Sokolowski, J.R. Rice, J.Simon, R. Toader и др. исследовались краевые задачи в негладких областях, в том числе и в областях с трещинами. В сравнении с аналогичными краевыми задачами в гладких областях, решения задач теории трещин представляется в виде суммы регулярной и сингулярной частей. Первая имеет ту же гладкость, что и решение для гладкой области, а вторая - определяет максимальную возможную гладкость во всей области из-за наличия особенностей. Отметим, что в общем случае для задач теории трещин с произвольной геометрией или для нелинейных задач вопрос о представлении решения остается открытым.

Учет нелинейных эффектов взаимодействия между берегами трещины приводит к новым классам математических задач. В частности, хорошо известен тот факт, что при решении задач с линейными краевыми условиями на трещине возможно взаимное проникание ее берегов друг в друга. С математической точки зрения это ничему не противоречит, а с физической — невозможно. Наиболее естественно рассматривать условия типа Синьорини

одностороннего ограничения решения на границе - условие непроникания берегов трещины. Теория трещин с ограничениями получила свое развитее в последние два десятилетия в работах A.M. Хлуднева с соавторами.

Направление исследований:

а) анализ корректности нелинейных краевых задач в областях с негладкими границами; б) анализ чувствительности функционалов энергии в теории упругости к изменению формы области (shape sensitivity analysis); в) оптимизация геометрических параметров областей, содержащих трещины; г) исследование качественных свойств решений нелинейных краевых задач теории упругости, определенных в негладких областях.

Методы исследования, достоверность и обоснованность результатов. В диссертационной работе используются теоретические методы исследований: методы решений уравнений математической физики, функционального анализа, вариационного исчисления и оптимального управления. Достоверность результатов обосновывается строгими математическими доказательствами, сравнением с другими результатами, известными автору в литературе по математическим и прикладным наукам.

Целью диссертационной работы является строгое математическое обоснование и анализ неклассических краевых задач математической физики, моделирующих поведение упругих тел с жесткими включениями и трещинами и учитывающих нелинейные эффекты взаимодействия между берегами трещины и жесткими включениями.

На защиту выносятся:

• Метод анализа чувствительности функционалов энергии к изменению формы негладкой области в линейных и нелинейных краевых задачах теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами;

• Вывод достаточных условий, при которых производная функционала энергии по параметру возмущения области может быть представлена в виде инвариантного интеграла;

• Результаты об исследовании задач оптимального управления формами трещин в упругих телах;

• Результаты о корректности вариационной постановки и асимптотических свойствах нелинейных контактных задач.

Научная новизна. В диссертационной работе изучен новый класс математических моделей, описывающих поведение упругих тел с трещинами

и жесткими включениями и учитывающих нелинейные эффекты на разрезах. На основе современных подходов разработан метод вычисления производных функционалов энергии по форме области для различных моделей упругих тел.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация является опытом успешного систематического применения теории вариационного исчисления, функционального анализа и теории пространств Соболева для анализа чувствительности решений нелинейных краевых задач теории упругости к изменению формы области. Разработан и предложен метод вычисления производных функционалов энергии по параметру, характеризующему изменение формы негладкой области, основанный на вариационных свойствах решений соответствующих краевых задач и позволяющий избежать вычисления материальных производных от решений. Результаты диссертации и разработанные методы полезны специалистам, работающим в области дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, оптимального управления, численного решения задач оптимизации форм. Кроме того, предложенный метод вычисления производных по форме области может быть адаптирован и для других моделей механики сплошных сред, которые допускают вариационную постановку.

Результаты работы могут быть использованы научно-исследовательскими организациями и высшими учебными заведениями (ФГУП Сибирский научно-исследовательский институт авиации, Институт горного дела СО РАН, Новосибирский государственный технический университет, Санкт-Петербургский государственный университет, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Институт вычислительного моделирования СО РАН и др.), научные направления которых связаны с изучением несущей способности материалов и разработкой технологий оптимизации упругих тел.

Разработанные теоретические методы и полученные результаты внедрены в образовательный процесс студентов и аспирантов механико-математического факультета НГУ и ИГиЛ СО РАН и используются в курсах лекций и семинарах.

Апробация работы.

Результаты по теме диссертации получены в ходе выполнения исследовательских проектов: Гранты Президента РФ для поддержки молодых ученых и ведущих научных школ (№№МК-9627.2006.1, МК-4338.2008.1, МК-222.2010.1, рук. Е.М. Рудой; МШ1-7525-2006.1, рук. академик РАН В.Н.Монахов, чл.-корр. РАН П.И.Плотников), Российского фонда фундаментальных исследований (№№00-01-00842, 03-01-00124, 06-01-00209, 10-

01-00054, рук. проф. A.M. Хлуднев); Министерства образования РФ (№8247, рук. С.А. Саженков), Министерства образования РФ и Германской службы академических обменов (№71629, рук. Е.М. Рудой); ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"(ГК М1597, рук. проф. A.M. Хлуднев, ГК №02.740.11.0617, рук. чл.-корр. РАН П.И.Плотников) и др. Автор награжден премией им. И.Н. Векуа для молодых ученых СО РАН в 2011 году за цикл работ «Дифференцирование интегралов энергии по форме области в задачах теории упругости, определенных в негладких областях, с односторонними ограничениями на границе».

Результаты диссертации докладывались на всероссийских и международных научных конференциях, среди которых:

— Международная конференция, посвященная 110-ой годовщине И.Г.Петровского «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, 2011);

— 6th Singular days on asymptotic methods for PDE's (Berlin, Germany, 2010);

— International Conference on Applied Mathematics and Informatics (ICAMI-2010) (San Andres Island, Colombia, 2010);

— Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященная 110-летию академика М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2010);

— Advanced Problems in Mechanics (Актуальные проблемы механики) (Санкт-Петербург, 2008, 2009, 2010, 2012);

— Всероссийская конференция, приуроченная к 90-летию академика Л.В. Овсянникова «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2009);

— Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений» (Новосибирск, 2008);

— Дальневосточная Математическая Школа-Семинар имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2003, 2008);

— Пятая Всероссийская конференция «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2008);

— Workshop on Destruction: Mathematical Modeling of Tbunami Waves and Cracks Propagation (Keio University, Yakohama, Japan, 2007);

— Международная конференция по математическому моделированию (Якутск, 2007, 2011);

— Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск, 2007);

— Фундаментальные и прикладные вопросы механики (Владивосток, 2006).

Результаты работы были представлены на научных семинарах под руководством академика РАН Б.Д.Аннина (ИГиЛ СО РАН); чл.-корр. РАН П.И.Плотникова (ИГиЛ СО РАН); чл.-корр. РАН В.В.Пухначева (ИГиЛ СО РАН); чл.-корр. РАН В.Г.Романова (ИМ СО РАН); д.ф.-м.н. А.М.Хлуднева (ИГиЛ СО РАН); д.ф.-м.н. B.C. Белоносова, д.ф.-м.н. М.В.Фокина (ИМ СО РАН); д.ф.-м.н. Г.В.Демиденко (ИМ СО РАН); д.ф.-м.н. А.М.Блохина (ИМ СО РАН); профессора Ф. Трельча (Институт математики, Технический университет, Берлин, Германия); профессора В.Л. Вендланда (Институт прикладного анализа и численного моделирования, Технический университет, Штутгарт, Германия).

Публикации. Полученные результаты содержатся в 15 статьях, опубликованных в рецензируемых научных журналах [1]-[15], а также в сборниках и трудах конференций. Работа [14] написана совместно с чл.-корр. РАН П.И.Плотниковым, а работа [10] - с проф. A.M.Хлудневым. Вклад авторов в эти работы является равноценным, поэтому результаты целиком вошли в настоящую диссертацию.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 222 наименования работ отечественных и зарубежных авторов. Работа изложена на 292 страницах текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность тематики диссертации, дан обзор литературы по краевых задачам в негладких областях в приложении к задачам теории трещин, контактным задачам и смежным областям. Приведена структура и изложено краткое содержание диссертации.

Первая глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе содержатся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа, уравнений математической физики, теории пространств Соболева, вариационного исчисления. Вводится понятие гладкости области с трещиной, определятся функциональные пространства на границе областей с трещинами.

Второй параграф главы посвящен описанию основных математических моделей теории упругости, рассматриваемых в диссертации. Кроме того, в параграфе формулируются основные постулаты механики деформируемого твердого тела, приводятся обобщенные формулы Грина как для гладких областей, так и для областей с разрезами.

Определим область с разрезом. Пусть fi - открытое множество в R'v, N = 2, 3. Пусть внутри П содержится многообразие 7 размерности Хау-сдорфа N — 1 (кривая - при N — 2 или поверхность - при N = 3). Считаем,

что 7 - не замкнуто. Мы будем отождествлять такое многообразие 7 с разрезом или трещиной. Обозначим через д-у край многообразия 7. Отметим, что в случае N = 2 это есть вершины трещины, а в случае N = 3 — фронт трещины. Будем считать, что 7 = 7\Ô7H7 = 7U З7.

Выберем и зафиксируем направление единичной нормали и = (г/1;..., uN) к 7, которое определит положительный берег 7+ разреза 7 (с внешней нормалью (—f)) и отрицательный берег "Г (с внешней нормалью и). Определим область с трещиной 07 как iî7 = iî \ 7, граница которой diî-y есть <9П U 7~ U 7+ U dj. Очевидно, что граница области с трещиной не является Липшиц-непрерывной.

Предположим, что существует замкнутое расширение S многообразия 7, делящее П на две подобласти Пц, Пг с границами dQi, dfy, такими что 7 С Е. Предполагается, что = S, ЗПг = ЕиГ. Будем говорить, что граница <ЭП7 принадлежит классу См, если ¿Юь002 принадлежат Скд. Заметим, что если граница 6 С0'1, то она удовлетворяет условию конуса.

Обозначим через и = (ui,...,u„) - вектор перемещений, а = {ау} -тензор напряжений, е = {е^} - линейный тензор деформаций,

= + UJ^> i>j = !,■■ ->N-

При формулировке краевых задач теории упругости в работе используется подход Лаграджа, при котором считается, что каждая частица тела находится в естественном состоянии, и задача состоит в отыскании и, a, s как функций координат. Будем считать, что тензор напряжений ст и тензор деформаций е связаны между собой линейным законом Гука (уравнение состояния):

Oij = CijklSkl, i, j = 1) ■ ■ ■

где {cijki} - тензор коэффициентов упругости, удовлетворяющий условию симметричности и положительной определенности,

Cijki = Cjiki = Ckiij, i,j,k,l = l,...,N,

CoÇijÇij > CijklZklZij > Co ^tj&j) V^l^xK": = Co = const > 0.

Другой моделью упругого тела, которую мы будем изучать, является модель пластины Кирхгофа-Лява. Пластиной мы будем называть тело, которое в естественном состоянии занимает объем вида fi х (—h, h), где 2h -толщина пластины, являющаяся малым параметром. В качестве искомых величин выступают горизонтальные перемещения U = (щ,и2) и прогибы w срединной поверхности пластины ft х {0}. При этом перемещения Uz и

прогибы wz произвольной точки пластины зависят от срединных по следующему правилу

wz=w, Uz = U-zVw, ze(-h,h).

Уравнения состояния имеют вид:

Oij(U) = Cijki£ki{U), rriij = dijkiwM, i,j = 1, 2,

где тензоры {cijki} и {djjfci} удовлетворяют условиям симметричности и положительной определенности. Тензор т = {mijki} называется тензором моментов.

В приложениях механики деформируемого твердого тела встречаются такие материалы, которые содержат неоднородности, коэффициенты упругости которых значительно больше коэффициентов упругости матрицы. В этом случае при моделировании поведения таких тел естественно считать, что такие неоднородности не деформируется. С математической точки зрения это означает, что тензор деформаций е(и) равен нулю в некоторой подобласти со исходной области. В этом случае векторное поле и называется инфинитезимальным жестким перемещением. Множество всех инфииите-зимальных жестких перемещений на ы будем обозначать через R(lo) . Ин-финитезимальные жесткие перемещения имеют специальную структуру:

и(х) = Вх + С, же и),

В € RNxN - кососимметрическая матрица, С £ M'v - постоянный вектор. В частности, при N — 3 множество Д(ш) имеет следующую структуру

Щи,) = {р= (pi,р2jРз) I Р(х) = Вх +С, х£ и},

где

/ 0 bi2 ь13 \

В=( -Ь12 0 &23 I , С = (с1, с2, с3); bij, с1 = const, i, j = 1,2,3.

\ — i»13 ~b23 0 / При N = 2 имеем

R{w) = {p= (pi,p2) I P(x) = Вх + C, x € w},

где

B = ( -1 о ) ' 0 = (cl'c2); ö'cl'c2 = consL

Пусть область П7 с К^ - область с трещиной 7 класса С1,1. Пусть V - вектор единичной нормали к 7, т = (—1/2,^1)- Рассмотрим тензоры напряжений а(и) и деформаций е(и), где и, V - векторы перемещений в П7. Разложим векторы {ац(и)п^,..., и V = (иь..., на нормаль-

ную и касательные составляющие на 7:

сг^(и)иу = <71,{и)щ + сгТг(и), i=l,...,N,

Vi = + Утг, 1 = 1,...,И, У„ = УгЩ-

Определим векторное пространство

Я(П7) = {иеЯ1(П7)^| « = 0 на дЩ

с нормой

N N

1М1н(п,) = £1М11а(п,) + Е Мма,)'

г=1

и пространство

ЯЫ^) = {и е Я(П7) | е Ь2(П7), г = 1,...', АГ}

с нормой

N

1М1я„1у(П,) = 1М1я(п,) +

1=1

Рассмотрим в нем множество

Я«н„(П7) = {и 6 ЯсИу(П7) | = 0 на

где Е - некоторое замкнутое (./V — 1)-мерное многообразие, являющееся С1,1-гладким продолжением трещины 7. Справедлива обобщенная формула Грина.

Теорема 1.1 Пусть граница ¿>П7 класса С1,1. Пусть и € ЯШ1/(П7). Существует линейный непрерывный оператор

Я„,„(П7) [Я01(/2(7)*Г+1,

который определяет на трещине 7 единственным образом значения

0П 6 [Я^Ы'Л г = 1,..., ЛГ

и справедлива обобщенная формула Грина

J су (и)еу (и) вх — — J (гijíj (и)Уг вх-

Д/2.7

для произвольной V € Н(Пу); скобки (•,-)оо,1/2,7 обозначают двойственность между /-/¿о2(7) и Я010/2(7)*.

Обратно, существует линейный непрерывный оператор поднятия

[■н1'02тм+1

который для любых заданных А^, А-н € Н^^)*, г = 1,..., ЛГ, определяет функцию и € обладающую свойствами

о„(и) = А„, сг^(и) = Ат*, г = 1,... на 7.

Рассмотрим основные граничные условия, которые мы будем задавать на трещине. Пусть П7 - упругое тело с трещиной 7. Как правило в диссертационной работе рассматриваются краевые задачи, в которых на трещине задаются условия одностороннего ограничения - условие непроникания берегов трещины, которое в теории упругости имеет вид:

[и\и > 0 на 7.

Здесь [и] = и|7+ — и|7- обозначает скачок функции и на 7.

Для модели пластин Кирхгофа-Лява условие непроникания имеет следующий вид:

дт'

[Щи > ¡г

ди

где I/ = (иьИг) - горизонтальные перемещения срединной поверхности пластины; ю - ее вертикальные прогибы; Н - половина толщины пластины.

Основным результатом первой главы является обоснование корректности основных математических моделей упругих тел, содержащих трещины и жесткие включения. Модели представлены в виде вариационных задач -задач минимизации соответствующих функционалов потенциальной энергии на множестве допустимых смещений.

Во второй главе исследуется чувствительность функционалов энергии к изменению формы области для задач ЛГ-мерной (Лг = 2,3) теории упругости, описывающих поведение тел с трещинами с возможным контактом берегов.

Пусть П С МЛ' - ограниченная область с границей дП € С0'1. Пусть строго внутри области П расположен разрез Г0 как (/V — 1)-мерное многообразие в пространстве К^. Пусть 7о обозначает край разреза Г0. Определим область, содержащую разрез, в пространстве как П0 = П\Го с границей д% = Ш и Гц и Г'о и 70. Определим вектор нормали 1/0 = (^оь • • •, Мш) к Го- Пусть задана функция / = (/ь ..., /м) € С1(П). Введем вектор перемещений точек тела (7 = (щ,..., идг).

Рассмотрим краевую задачу в негладкой области, соответствующую равновесию упругого тела с трещиной, на берегах которой выполняется условие непроникания, под действием внешних сил:

-0-у,.,•([/) = /г, i = l,...,N, в По,

11 = 0 на дП,

[Щщ > О, К(С/)] = 0, °и0{и)(\Щщ) = 0 на Г0)

<хтД[/) = 0, г= а„а{17)< 0 на Г+иГ0".

При этом дифференциальные уравнения и краевые условия выполняются в обобщенном смысле.

Задача формулируется в вариационном виде - в виде минимизации функционала энергии

ЩП0\и) = (п5{и)е^и)бх- I №сЬх

По

на множестве допустимых смещений

К0(П0) = {и в Я(Г20) | [и]и0 > 0 п.в. на Г0},

т.е. требуется найти такую функцию [/о 6 Л'о(Яо), что П(П„;£/0) = ^ П(П0;^).

и £К о(По)

В силу коэрцитивности, слабой полунепрерывности снизу и строгой выпуклости функционала П, а так же выпуклости и замкнутости множества задача минимизации имеет единственное решение.

Для малого параметра е € [0,£о) рассмотрим возмущение Фе = (Ф£1 (ж), ..., Фелг(2;)), которое задается функциями í\ £ С1 [0,е0; W2,QO(Mw)) и, кроме того, Фо(ж) = х.

Зафиксируем е > 0 и применим взаимно однозначное координатное преобразование

у = Ф£(х)

для х S П, х € 9ÍÍ и х £ Г0. В результате получим возмущенную область Ф£(П) с границей Фе(Ш) и возмущенный разрез Ф£(Г0). Определим возмущенную область с разрезом как 0.£ — Фг(П)\Гг. В возмущенной области П£ по аналогии с невозмущенной определим функциоыал энергии П(Г2£; U), множество допустимых смещений К£(£1Е) и рассмотрим задачу минимизации: найти такую функцию UE 6 К£(П£), что

П(Oe;£/') = inf П(П£; U),

которая для каждого достаточно малого е > 0 имеет единственное решение.

Для того, чтобы найти производную функционала энергии по форме области необходимо вычислить предел

Ит П(П£; Uе) - П(П0; С/р) £->0 с

Для вычисления этого предела предложен метод, основанный на вариационных свойствах решения задачи минимизации и позволяющий избежать вычисления слабой материальной производной от решения которая, вообще говоря, из-за нелинейности задачи может определяться неоднозначно. Все функции и интегралы, входящие в определение возмущенной задачи, с помощью обратного преобразования координат отображаются на невозмущенную область. Важно отметить, что в то время, как пространство Я(П£) отображается в пространство #(П0) взаимно однозначно при действии обратного отображения, множество допустимых смещений Кс(0.£), вообще говоря, не переходит во множество допустимых смещений J<o(f2o). Такое соответствие, например, имеет место в случае, когда прямолинейная (плоская) трещина переходит в прямолинейную (плоскую) при возмущении области. В общем же случае такого соответствия нет.

Обозначим прообраз множества К£(0.£) в пространстве Я (fio) через

К£(П0) = |¡7 б Я(П0) I [U)uE > 0 п.в. на Г0|.

Здесь v£{x) = ^£(Ф£(ж)) - преобразованный вектор нормали к возмущенной трещине, х е Г0.

Используя предполагаемую гладкость функции возмущения, доказывается следующая лемма.

Лемма 2.1 Пусть 11о € ~~ решение невозмущенной задачи, 11£ €

Ке(&а) - решение возмущенной задачи, отображенное на невозмущенную

область. Тогда существуют два семейства функций <2* и <2^ такие, что

||<ЭЛ|я(По)<с, ¿ = 1,2

равномерно по е, и справедливы следующие включения:

и0 + еС21 е Ке(По), ие - еЯ1 6 К0(П0).

Используя лемму 2.1, доказывается теорема, характеризующая устойчивость решений задач минимизации при возмущении области.

Теорема 2.1 Справедлива оценка

II и£ - иы|я(п„) < сл/г

с константой с, не зависящей от е.

Отметим, что функции <3* строятся таким образом, что справедлива следующая лемма.

Лемма 2.2 Для функций <2* и <2^ верны, следующие сходимости при

е 0:

<?е Яо сильно в Я(П0),

<2^ —> <2о сильно в Н(£1о),

где д0 = (VI,»«о», • • •, У^и0г) е Н(П0), V = (Уь ..., Ум) - скорость преобразования, т.е.

де с=0

Одним из основных результатов диссертации является следующая теорема.

Теорема 2.2 Для каждого возмущения Фе € С^О,^; И^о'Г'О^)) существует первая производная функционала энергии П(Пг; IIе) по параметру

П'(Ф0) =

= / СГу(гУо)е;7 (<Эо) йх - / /<Зо (1х+

возмущения е при е = 0, которая задается формулой

сЯ1(П£; г/£)

П

По По

+ А^иМйх- I<Иу(У/{)итсЬ, По По

г<?е ¿То ~ решение невозмущенной задачи, (¡о = (Ид^оь • • ■ >

Аг(У-, и0,и0) = сНу^-([/о)£у([/о) - 2ац{и0)Ец С/0), ЗУ ГД 1 ( дщ 1 диз.

Далее показывается, что производная функционала энергии представи-ма в виде инвариантного интеграла. Если существует подобласть £> в П такая, что: решение С/о 6 Н2(Б); V = 0 или / = 0 в По \ Г>; справедливо условие

СуТсгОег ^сНУУ^ - + ^+ = О

для всех £ € х г] е К^, то П'(Ф0) = /(У) с инвариантным интегралом общего вида

/(!/) = у ^(Уо)^(У • п)£^{и0) - • Уиог) + йэ

дО

по границе дБ с внутренней нормалью п = (щ,...,тгдг).

Построены инвариантные интегралы в частных случаях возмущения области с трещиной: сдвиг всего разреза для N = 2 и /V = 3; растяжение криволинейной трещины в К2 вдоль заданной кривой. В последнем случае инвариантный интеграл имеет вид

3 = J СГц(иа) (1(Т • п)£^(и0) - П,(У • 0^+

эо

+ J (^-^11(и0)п1и02 + а12(ио)(щиа1 - п2и02)+

вО

022((7О)П2УО1 ¿3

и носит название интеграла Черепанова-Райса. Для криволинейных трещин с условием непроникания такой интеграл получен впервые.

Для двухмерной теории упругости получена производная функционала энергии по длине криволинейной трещины с условиями одностороннего ограничения ее берегов. Пусть кривая Е на плоскости (жъЯг) задается функцией ф 6 Я3(-/0,М такой, что

£ = {х2 = Ф(хг), -10 < хг < Ь}, 10, к > 0.

Пусть трещина Г;, лежащая внутри области П, описывается частью кривой Е:

= {х2=ф(х1), 0 <хх< I}, 0 <1<1г,

где I - параметр, определяющий длину проекции Г; на ось Х\. Тогда возмущение

2/1

= + ев{х1,х2), 2/2 = х2 + ф{хх +£0(х1,х2))-'ф{х1),

задает квазистатический рост трещины Г; вдоль кривой Е. Здесь в - произвольная гладкая финитная в П функция, которая равна единице в некоторой окрестности вершины трещины. Формула для производной функционала энергии по длине трещины имеет следующий вид

п'(5) = п'(0

П'(/) = ^гз(и0)ец(и0) <1х-

чМ02 +1'

где в - длина трещины Г1, 39

По

По По

+ JОц{и0)Еч(С}0)<1х- ! /Оо дх,

По По

(Г;0 = (0, 0-ф"иО1), т - единичный касательный вектор к трещине Г;.

Также для трехмерного тела с трещиной, на берегах которой заданы условия непроникания, установлена дифференцируемость функционала энергии по параметру, характеризующему квазистатический рост трещины вдоль заданной поверхности. Пусть сир С К2 - односвязная плоская область в пространстве К3, ограниченная контуром 7о- Будем считать, что точка

(0,0,0) лежит строго внутри области Шо, и область и>0 описывается в полярных координатах (г, ф), определенных в К2, следующим образом:

ы0 = и 7о •

Будем считать, что трещина Го, лежащая строго внутри области П, является частью поверхности Е и задается следующим образом:

Г0 = {ж 6 К3 | х3 = -ф(х1,х2), (хь х2) € (¿о}.

Определим следующее возмущение области, соответствующее квазистатическому росту трещины вдоль поверхности Е:

У1 =х\ +5к{ф(х1,х2))са&ф{х1,хг)т]{х),

У2 =хх + 5Цф(х!,х2)) зтф(х1,х2)г](х),

УЗ =Х3 + Ф(У1,У2) -ф{х 1,Х2),

где 77 - финитная в О. функция, равная единице в некоторой окрестности фронта трещины; И - функция, задающая возмущение фронта трещины. Справедлива следующая теорема:

Теорема 2.3 Производная функционала энергии П(Пд; V5) по параметру 5 при ¿ = 0 существует и задается формулой

где 9к = хкг]/у/х\+х1, к = 1,2, в2 = в1ф:1+в2ф,2, <2о =

о;0 = {г < Я{ф), ф е [0,27т], Д(0) = Л(2тг), Я > 0}.

В этом случае

7о = {г = Л(0), ф е [0,2тг], Д(0) = Д(2тг), Д > 0},

Д1(П и5)

¿5

Исследованы задачи оптимального управления формой трещины и ее фронтом в трехмерной теории упругости! При этом функционалом качества выступает производная функционала энергии по параметру возмущения области, соответствующему квазистатическому росту трещины. Доказаны теоремы существования решений задач минимизации соответствующих функционалов на некотором множестве допустимых функций. С точки зрения критерия Гриффитса ищутся наиболее опасные формы разрезов в упругих телах.

Исследована двумерная вариационная модель упругого тела с отслоившемся тонким участком границы и находящегося в равновесии под действием внешних сил (Р,д), действующих как на упругое тело, так и на отслоившийся участок. При этом на таком участке задаются условия одностороннего ограничения. Задача равновесия формулируется в виде задачи минимизации функционала энергии системы

ЩО, ад) J айРцсЬц - J FC7c¿r - J дШхх

П а П а

на множестве допустимых смещений

К0 = {и,ш)еН£о{0)хН$(а)\ии>й п.в. на а}.

Здесь О - область, занимаемая упругим телом, а - отслоившейся участок границы (балка), ¡7 - перемещения точек тела, ад - прогибы балки.

Показано, что слабое решение (¡7, ад) удовлетворяет следующим дифференциальным уравнениям и краевым условиям:

= & в » = 1.2,

(ода,п),п - д < 0 на а,

аТг{и) = 0, г = 1,2, а„(и) < 0 на а,

<7„(гУ) = (аги.п),и - д, (7„(и){ии - ад) = 0 на а,

и = 0 на Гд,

■и) = гид = 0 при XI = 0 и х\ = I.

Определены функциональные пространства, в смысле которых выполнены дифференциальные уравнения и краевые условия.

Исследованы асимптотические свойства решения при варьировании длины балки и ее жесткостных характеристик. В частности, показано, что при стремлении жесткости балки к бесконечности последовательность решений стремится к функции, являющейся решением классической задачи

Синьорины об одностороннем контакте упругого тела с жестким гладким штампом.

Основными результатами второй главы являются анализ чувствительности форм нелинейных трещин с условием одностороннего ограничения для N-мерных (./V = 2,3) задач теории упругости; изучение модели упругого тела с отслоившимся участком границы; исследование задач оптимального управления формой.

В третьей главе рассматриваются эллиптические краевые задачи четвертого порядка, описывающие поведение упругих пластин. Отличительной особенностью общих зависимостей, относящихся к пластинам, является сведение уравнений трехмерной теории упругости к уравнениям для двух измерений. Модель пластины основана на гипотезе Кирхгофа-Лява, которая состоит в том, что любое нормальное к срединной поверхности волокно до деформации остается нормальным к срединной поверхности и после деформации. Дополнительное допущение состоит в том, что нормальными напряжениями в направлении нормали к срединной поверхности можно пренебречь по сравнению с основными напряжениями (нормальными и касательными напряжения в срединной поверхности).

Пусть дана область П С К2 с гладкой границей. Пусть кривая Г0 лежит строго внутри П._Пусть / 6 С1 (О) — заданный вектор внешних сил. В области ¡Г20 = П \ Г0 рассмотрим смешанную нелинейную краевую задачу

^¿¿С^о) =/>, г = 1,2 п.в. в По, Д2ги0 = /3, п.в. в П0,

[И>0 >

дги

дщ

п.в. на Го,

0Ч,(№о) < 0, а^(РУо) =0, г = 1,2, п.в. на Г0, дмо'

*(го0) = 0, т(и!0)

ди

+ Ш0]и = 0 п.в. на Г0,

[ст^(И^о)] = о, [т(го0)]=0, |тп(ги0)| <-ст^Жо) п.в. на Г0,

дю0

мог = и>02 = гоо =

дп

■■ 0 п.в. на дП.

Здесь IV - вектор перемещений, и) - прогибы срединной поверхности пластины; оТ\{\У0), <7т2(1У0), 1(ги0) и т(и!0) задаются следующими формулами:

СГ-гг(Т^о) = О-у(ТУо)^ - ¿=1,2,

Q d^iv

t(Wo) = -^Awo+(l

m(wo) = kAwо + (1 - fc) ,

где r = (—z/2,— единичный касательный вектор к Го; п — единичный вектор внешней нормали к П; i/Q - единичный вектор нормали к Г0.

Основным результатом главы является вывод формулы для производной функционала энергии по форме области. Для того, чтобы найти такую производную, вводится взаимно однозначное возмущение у = Ф£(ж) области По, зависящее от малого параметра е > 0. При этом поле кинематических скоростей V = принадлежит пространству Wf0'c°°(K2). Для каждого

£ > 0 определяется функционал потенциальной энергии

П(П£;х) - \ j ^(W)^j(W) dy + \J b(w,w) dy - J fx dy,

и множество допустимых смещений пластины

Г ди> 1 1

к-в(Ле) = |х е я(Пе) | [w)S > [¿rj п-в-ыа •

Здесь П£ = ФДП0) - возмущенная область с трещиной Г£ = Фе(Г0), vs -единичная нормаль к Г£,

Я(П£) = я1'0^) X Я1-0^) X Я2-°(П£),

- Нг'°Ш = {ие Hl(Qc) | и = 0 п.в. на Öfi},

( dw 1

Я2.°(П£)= lweH2(Q£) I w=-^=0 п.в. на9П|,

b(u, v) = U ли,11 + U,22422 + fcw,11^,22 + ^,22«,11 + 2(1 - 12",12-

Для вычисления производной функционала энергии по параметру е все функции и интегралы, входящие П(Пе;х), отображаются на невозмущенную область П0- ПРИ этом образом множества допустимых смещений возмущенной задачи Ке(й£) в пространстве Я(П0) является множество

К€(По) = {х € Я(П0) I [WlR- >| [(Vto)*-®«^] | п.в. на Г0},

где ve{х) = ¡/£(Фе(х)), х е Г0. Заметим, что Яофо) Ф Ке(^о). Это связано, во-первых, с тем, что в общем случае не совпадает с вектором единичной нормали и0 к невозмущенной трещине Г0. Такого совпадения нет даже для прямолинейных трещин. Во-вторых, условие непроникание содержит

оператор градиента, который не инвариантен относительной произвольного преобразования координат.

Решающую роль при выводе формулы для производной функционала энергии играет следующая лемма.

Лемма 3.1 Пусть \а £ Л"о(По) — решение невозмущенной задачи, Хе 6 -Ке(По) — решение возмущенной задачи, отображенное на область По- Тогда можно построить два семейства функций и А2 такие, что справедливы следующие включения:

ратор поднятия с нелипшицевой границы дС1о = сЮ и Г^ и в область Пц. Функции А* и А2 строятся таким образом, что существует вектор-функция Ао = (, гйо) € П(По) такая, что

При этом на разрезе Го вектор-функция Ао удовлетворяет следующим условиям:

Лемма 3.1 позволяет исследовать чувствительность функционала энергии к изменению формы области. Справедлива следующая

Теорема 3.1 Для любого возмущения Фе 6 С1[0,ео; ^2,00(К'У)) существует первая производная функционала энергии П(Г2£;хЕ) по параметру возмущения е при е = 0, которая задается формулой

А£-> Ао сильно в 11(0,о), г = 1,2.

п.в. на Г^,

г- 1 1/0 п.в. на Г0 .

- [И^]—^о)оо,1/2,г0-

I

- о), [(Уадо)4] + ^о)оол/2,г0

■цдУ

дх

где

А\(У\Ш0, ]У0) = о)еу(И^о) - 2агз{\Уа)Ег] ( —; ТУ0

дУ

А2{У\'Шо,11)О) = Ь(ю0,ги0)<ИчУ - 2

/ 02гис

V дх2

ДГ^ОО

дж2

а(У) =

У1>и \ ' 2УМ 2 У2д 0 \

^,12 ^2,12 3 Ухл ^1,1 + У2,2 ^2,1

^1,22 ю ьо 1° 2^,2 2^2,2 /

/ 1 0

к - 0 2(1 - к) 0

V к 0 1 )

а/дя = (д/дхид/дхг), д2/дх2 = {д2/дх2,д2/дх1дх2,д2/дх22).

Рассмотрена задача о равновесии пластины, срединная поверхность которой занимает область П0 с трещиной Г0. На берегах трещины задаются линейные краевые условия. Пластина находится в равновесии под действием внешней силы /. Ищется только функция прогибов т0 срединной поверхности пластины, которая является решением следующей краевой задачи:

А2ио = / п.в. в По,

«о

ди0 дп

= 0 п.в. па 9П,

т(ио) = 0, г(и0) = 0 на Г^. Пусть кинематическое поле скоростей V принадлежит пространству

1ос (П). Рассматривается возмущение области, соответствующее полю

■2,оо /

ш,

скоростей V. Выводится формула для производной функционала энергии пластины по параметру возмущения области.

Далее на основе формулы для производной функционала энергии строятся инвариантные интегралы. Если существует подобласть О в П0 такая, что решение щ 6 Я4(И); V = 0 или / = 0; справедливы тождества

- Кф(У) - = 0,

CKa(V)C = 0 п.в. в n0\D Щ, С) 6 К3 х К2,

то производная функционала энергии представляется в виде инвариантного интеграла по границе 3D.

Приведены примеры инвариантных интегралов для частных случаев: возмущение всего разреза и возмущение одной из вершин трещины в направлении касательного вектора.

Четвертая глава посвящена исследованию задач теории упругости для различных моделей упругих тел с трещинами и жесткими включениями.

Исследована модель упругой пластины По, содержащей трещину 70 и жесткое включение ол С математической точки зрения под жестким включением подразумевается такая часть области, в которой заранее задана структура решения. В данной задаче это означает, что сужения допустимых функций на область w, среди которых ищется минимум интеграла энергии, являются непрерывными аффинными функциями. Краевая задача имеет следующий вид:

Д2Ио = / п-в- в

ди° П ДА

«о = -r— = 0 п.в. на ail, Зп

и0(х) = а° + OqX! + а%х2 п.в. в w, аг0 — const, ¿ = 0,1,2 [«о] = 0, =0 п.в. в дш\%,

т(и0) = 0, t(u0) = 0 на 7^,

- J Ци0)1+ ! т(и0)^ = J/Ых

Через Ь(ш) обозначено пространство жестких перемещений на ш, т.е. Цш) = {I | 1(х 1,х2) = а0 + а1 XI + а?х2,

а*еМ, ¿ = 0,1,2, {хих2)€ш}.

С помощью линейного возмущения сдвига

У1 = Х1+5в(хг,х2), у2-х2,

получена формула для производной интеграла энергии по длине трещины. Показано, что такая производная представима в виде криволинейного интеграла вдоль незамкнутой кривой, концы которой лежат на границе области, занимаемой жестким включением. При этом значение криволинейного интеграла не зависит от выбора пути интегрирования.

Исследована ЛГ-мерная ^ = 2,3) задача теории упругости для тела, содержащего жесткое включение ыо и трещину 70:

= и в г = 1,2,

•"01 = «02 = 0 на сЮ,

С/0 = Ро в

ат(Цо) = 0, <г„(0о) = 0 на 7д —{а{Уо)ро, р)х/2,дш0 = I **Р ¿х, Ур € Л(шо).

Шо

Предполагается, что на части границы соединения включения и упругой матрицы имеется трещина 70, а на остальной части границы - полное сцепление. Поверхность трещины свободна от напряжений. Здесь через ш0 обозначена область, соответствующая жесткому включению, Д(о>0) ~ пространство жестких перемещений,

Д(Ыо) = {р= (рьрг) | р(х) = Вх + С, Х=(Хх,Х2) €Ч)},

где В — произвольная постоянная кососимметрическая матрица, С — произвольный постоянный вектор. Получена производная функционала энергии по форме области. Рассмотрены частные случаи возмущений области, соответствующие квазистатическому росту трещины по границе жесткого включения.

Для двухмерной модели упругого тела с жестким включением и трещиной построены 3- и М-инвариантные интегралы. Показано существование инвариантных интегралов по незамкнутым кривым, вершины которых лежат на границе жесткого включения:

^ = У ((р ■ п)Ш(и0) - и(и0)(р ■ Vu0i) + Ь0Ц1(и0)р2 - *г(^о)Р1))

в

Мш = У ((^ • п)У/{иа) - и(и0){х ■ + Ь0(Ь(и0)х2 - ¿г^о)^)) г

где \У(и0) = 1 / 2оц (и а (С/о) - плотность упругой энергии, р = (рьр2) -произвольный постоянный вектор, ¿(С/о) = (¿1(^0),¿2(^0)) - вектор поверхностных усилий, и(11о) = <гу(иь)тъ-. & = 1,2.

Кроме того, для прямолинейных трещин установлена связь между и Мш инвариантными интегралами

М" = I ■

где I - длина прямолинейной трещины.

Последний параграф четвертой главы посвящен исследованию диффе-ренцируемости функционалов энергии по форме области в двумерной теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами, берега которых могут контактировать, то есть задаются условия непроникания - условия одностороннего ограничения; иа геометрию трещины не накладывается никаких ограничений, за исключением ее гладкости. Дифференциальная постановка задачи имеет следующий вид:

~аиЛий) = и в П\ш0, (г = 1,2)

«01 = «02 = 0 п.в. на <ЭП, Щ = Вох + Со п.в. в ш0, [и&о > 0 п.в. на 7о, <7т(и0) = 0, <тио(и0) < 0 на 70, % (ио) [^оН - 0 на 7о, -(сг{и0)и0,р) 1/2г8ыо = J йх Ур е Я(ш0).

ио

Как и ранее, для того, чтобы вычислить производную функционала энергии по форме области, вводится достаточно гладкое преобразование координат - возмущение области, зависящее от малого параметра е > 0 с полем кинематических скоростей V € И-^'^Е2).

Основная трудность при выводе формулы для производной функционала энергии по форме области состоит в том, что преобразование координат не задает взаимно однозначного соответствия между множествами допустимых смещений невозмущенной и возмущенной задач. Это связано с тем, что в случае криволинейной трещины вектор нормали к невозмущенному разрезу отображается в вектор, не совпадающей с вектором нормали к возмущенному разрезу. Кроме того, структура множества жестких перемещений не сохраняется при нелинейном возмущении области. Справедлива следующая лемма.

Лемма 4.1. Пусть Щ е /^о(П0) - решение невозмущенной задачи, 11г € - решение возмущенной задачи, отображенное на невозмущенную область. Тогда для любого достаточно малого £ > О существуют функции ТУ2, Т¥о; Ро, <Зо такие, что

и0 + еИ/1 6 о), ис - еУ/1 е КоШ-

Кроме того, при е —>■ О

\¥1 -г \У0 сильно в Я(П0) (г = 1,2),

где \¥0 = Р0 + Яо, <Зо = ОВ0У, а след функции Р0 на 7о равен Щ; в - произвольная финитная в П функция, равная единице в и>0.

Основываясь на вариационных свойствах решения задач равновесия и используя Лемму 4.1 вычисляется производная функционала энергии по форме области

П'(По;£/Ь) = 5 i а^и^и^дх-]дхуфи)^-

- [г*ВоУ1Ь - (<т(иа)щ,В0У)1/2,дио -

у . \ ' 00,1/2,70

ио

Отметим, что формула для производной функционала энергии для тела с жестким включением не может быть получена предельным переходом в аналогичной формуле для тела с упругим включением при стремлении жесткости включения к бесконечности.

Данный результат так же является одним из центральных результатов настоящей диссертации.

Основные научные результаты диссертации:

• Разработан метод исследования асимптотики функционалов энергии в задачах теории упругости с жесткими включениями и нелинейными трещинами, на которых задаются условия одностороннего ограничения. С помощью метода получены формулы для производных функционалов энергии по форме области для:

- ЛГ-мерной модели упругого тела (ЛГ = 2,3);

- модели пластины Кирхгофа-Лява с вертикальной трещиной, на берегах которых задано точное условие непроникания;

- моделей упругих тел с жесткими включениями и трещинами, на которых задаются как условия одностороннего ограничения, так и линейные краевые условия.

• Рассмотрены частные случаи, соответствующие квазистатическому росту трещины вдоль заданного многообразия и имеющие важное

прикладное значение в механике разрушения. В этом случае производная функционала энергии определяет формулу Гриффитса в механике разрушения. Кроме того, показано, что полученные формулы обобщают известные.

Для ЛГ-мерной задачи теории упругости для тела с трещиной при условии непроиикаиия ее берегов выведены достаточные условия, при которых производная функционала энергии по параметру возмущения области может быть представлена в виде инвариантного интеграла. Рассмотрены различные частные виды возмущений области, имеющие прикладное значение в механике разрушения и задачах идентификации трещин в упругих телах. В частности, построен инвариантный интеграл Черепанова-Райса для криволинейных трещин с условием непроникания.

Для двухмерной линейной модели упругого тела с жестким включением и трещиной выведены достаточные условия, при которых производная функционала энергии по параметру возмущения области может быть представлена в виде инвариантного интеграла. Построены 3- и М-инвариантные интегралы. Показано, что существуют инвариантные интегралы по незамкнутым кривым, вершины которых лежат на границе жесткого включения. В частности, получен интеграл типа Черепанова-Райса для прямолинейных трещин, лежащих на границе жесткого включения.

Исследованы задачи оптимального управления формой трещин в трехмерных упругих телах. Целевым функционалом выступает производная потенциальной энергии тела по параметру возмущения области,, соответствующего квазистатическому росту трещины вдоль некоторой поверхности. Доказаны теоремы существования решений задач управления формой трещины и ее фронтом.

Изучена нелинейная модель упругого тела с отслоившимся тонким упругим участком границы. При этом на множестве, соответствующему отслоившемуся участку, задаются условия типа Синьорини -условия одностороннего ограничения. Исследованы асимптотические свойства решения при варьировании параметров задачи. Показано, что при стремлении параметра, характеризующего жесткость отслоившегося участка границы, к бесконечности, предельная функция является решением классической задачи Синьорини о контакте упругого тела с жестким штампом.

Проведено исследование линейной модели пластины, имеющей вертикальную трещину и жесткое включение. Получена формула для про-

изводной функционал энергии по длине прямолинейной трещины и показано, что такая производная представима в виде инвариантного интеграла по незамкнутым кривым, концы которых лежат на границе жесткого включения.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рудой Е. М. Устойчивость решения задачи равновесия пологой оболочки, содержащей трещину, при возмущении границы // Сиб. журнал ин-дустр. мат. 2001. Т. 4. N 1. С. 171-176.

2. Рудой Е. М. Формула Гриффитса для пластины с трещиной // Сиб. журн. индустр. математики. 2002. Т. 5. N 3. С. 155-161.

3. Рудой Е. М. Инвариантные интегралы для задачи равновесия пластины с трещиной // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 2. С. 466-477.

4. Рудой Е. М. Дифференцирование функционалов энергии в двумерной теории упругости для тел, содержащих криволинейные трещины // Прикл. механика и техн. физика. 2004. Т. 45, № 6. С. 83-94.

5. Рудой Е.М. Дифференцирование функционалов энергии в трехмерной теории упругости для тел, содержащих поверхностные трещины // Сиб. журнал индустр. математики. 2005. Т. 8. N 1. С. 106-116.

6. Рудой Е.М. Выбор оптимальной формы поверхностных трещин в трехмерных телах // Вестник НГУ. Серия "Математика, механика, информатика". 2006. Т. 6. Вып. 2. С. 76-87.

7. Рудой Е.М. Дифференцирование функционалов энергии в задаче о криволинейной трещине с возможным контактом берегов // Механика твердого тела. 2007. N 6. С. 113-127.

8. Рудой Е. М. Дифференцирование функционалов энергии в задаче о криволинейной трещине в пластине с возможным контактом берегов // Прикл. механика и техн. физика. 2008. Т. 49. №5. С. 153-168.

9. Рудой Е.М. Асимптотика функционала энергии для смешанной краевой задачи четвертого порядка в области с разрезом // Сиб. мат. журнал. 2009. N 2. Т. 50. С. 430-445.

10. Рудой Е.М., Хлуднев A.M. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием // Сиб. журнал индустр. математики. 2009. Т. 12. N 2. С. 120-130.

11. Рудой Е.М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова-Райса для пластины с жестким включением и трещиной //' Вестник НГУ. Серия "Математика, механика, информатика". 2010. Т. 10. Вып. 2. С. 98-117.

12. Рудой Е.М. Асимптотика функционала энергии для трехмерного тела с жестким включением и трещиной // Прикл. механика и техн. физика. 2011. Т. 52. N 2. С. 114-127.

13. Рудой Е.М. Асимптотика функционала энергии для упругого тела с трещиной и жестким включением. Плоская задача // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 6. С. 1038-1048.

14. Плотников П.И., Рудой Е.М. Анализ чувствительности интегралов энергии к изменению формы области для тел с жесткими включениями и трещинами // Доклады Академии наук. 2011. Т. 440. N 5. С. 589-592.

15. Рудой Е.М. Инвариантные интегралы в плоской задаче теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами // Сиб. журнал ин-дустр. математики. 2012. Т. 15. N 1. С. 99-109.

Метод гладких возмущений в задачах теории упругости с односторонними ограничениями для областей с негладкими

границами

автореферат

Рудой Евгений Михайлович

Подписано в печать «10».09.2012 г. Формат бумаги 60x84 Тираж 100 экз.

Заказ №113 Объем 2 п.л. Бесплатно

Ротапринт ИГиЛ СО РАН 630090 Новосибирск, просп.акад. Лаврентьева 15

Введение

1 Обозначения и предварительные сведения

1.1 Функциональные пространства.

1.2 Область с трещиной.

1.3 Неравенства Корна.

1.4 Минимизация выпуклых функционалов.

1.5 Математические модели упругих тел с трещинами и жесткими включениями.

1.5.1 Уравнения состояния в теории упругости.

1.5.2 Инфинитезимальные жесткие перемещения.

1.5.3 Обобщенные формулы Грина.

1.5.4 О краевых условиях в задачах теории упругости

1.5.5 Задача равновесия упругого тела с трещиной с условием непроникания ее берегов.

1.5.6 Задача равновесия упругого тела с жестким включением и трещиной, лежащей на границе раздела

1.5.7 Задача равновесия пластины Кирхгофа-Лява с вертикальной трещиной при условии непроникания ее берегов.

2 Задачи теории упругости с односторонними ограничениями на границе

2.1 Задача о криволинейной трещине в двумерном теле

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Вспомогательные утверждения и формулы.

2.1.3 Сходимость решений.

2.1.4 Вывод формулы для производной функционала энергии по длине трещины.

2.1.5 Анализ полученной формулы.

2.2 Квазистатический рост поверхностной трещины в трехмерных телах.

2.2.1 Задача равновесия.

2.2.2 Преобразование координат и производных

2.2.3 Сходимость решений.

2.2.4 Формула для производной функционала энергии по параметру возмущения трещины.

2.3 Анализ чувствительности формы трещины с условием непроникания

2.3.1 Невозмущенная задачи

2.3.2 Возмущенная задача.

2.3.3 Асимптотические представления операторов возмущенной задачи.

2.3.4 Сходимость решений семейства возмущенных задач к решению невозмущенной задачи.

2.3.5 Производная функционала энергии по форме области

2.3.6 Анализ формулы для производной функционала энергии

2.3.7 Инвариантные интегралы.

2.4 Выбор оптимальных форм поверхностных трещин в трехмерных упругих телах.

2.4.1 Формулировка задачи равновесия

2.4.2 Выбор оптимальной формы трещины.

2.4.3 Задача оптимального управления фронтом трещины

2.5 Задача об одностороннем контакте пластины с тонким упругим препятствием

2.5.1 Постановка задачи.

2.5.2 Дифференцируемость функционала энергии по длине отслоившегося участка.

2.5.3 Предельный переход при а —> оо.

3 Краевые задачи для уравнений четвертого порядка, описывающих поведение упругих пластин

3.1 Асимптотика функционала энергии для смешанной краевой задачи четвертого порядка в области с разрезом

3.1.1 Формулировка возмущенной и невозмущенной задач

3.1.2 Вспомогательные утверждения и формулы.

3.1.3 Производная функционала энергии

3.2 Инвариантные интегралы для задачи равновесия пластины с трещиной.

3.2.1 Задача равновесия.

3.2.2 Возмущение области

3.2.3 Вспомогательные утверждения и формулы.

3.2.4 Формула для производной функционала энергии

3.2.5 Общий вид инвариантного интеграла.

3.2.6 Возмущение всего разреза.

3.2.7 Возмущение вершины разреза

4 Задачи теории упругости для моделей упругих тел с жесткими включениями и трещинами

4.1 Формула Гриффитса и интеграл Черепанова-Райса для пластины с жестким включением и трещиной.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Формула Гриффитса.

4.1.3 Представление производной функционала энергии в виде инвариантного интеграла.

4.2 Дифференцирование функционалов энергии для моделей упругих тел с трещинами и жесткими включениями. Двухмерный случай.

4.2.1 Формулировка проблемы

4.2.2 Вспомогательные утверждения.

4.2.3 Производная функционала энергии

4.2.4 Квазистатический рост трещин.

4.2.5 Инвариантные интегралы в плоской задаче теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами

4.2.6 Возмущение жесткого включения

4.2.7 Возмущение границы жесткого включения.

4.2.8 Связь между и интегралами.

4.3 Дифференцирование функционалов энергии в трехмерной теории упругости для тел с жесткими включениями

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Вспомогательные результаты.

4.3.3 Производная функционала энергии

4.3.4 Квазистатический рост поверхностной трещины

4.4 Производная по форме области функционала энергии в теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами с условием непроникания.

4.4.1 Возмущенная и невозмущенная задачи равновесия

4.4.2 Асимптотические формулы.

4.4.3 Вспомогательные утверждения.

4.4.4 Вычисление производной интеграла энергии

Теория упругости играет важную роль с точки зрения приложений. Актуальность рассматриваемых задач в рамках теории упругости обусловлена их многочисленными приложениями в технике и технологиях (горное дело, инженерный дизайн, оценка прочности материалов и пр.). Среди широкого спектра проблем механики сплошных сред в настоящее время одним из наиболее активно развивающихся направлений является механика разрушения. Основной круг проблем механики разрушения связан с изучением несущей способности материалов с уже существующими различного рода включениями такими, как трещины, разрезы, жесткие включения. Классическая теория трещин имеет уже почти вековую историю. К одной из фундаментальных работ можно отнести статью Гриффитса [162], в которой он заложил основы теории хрупкого разрушения упругих тел. Основы классической теории трещин можно найти в работах [4, 14, 17, 24, 25, 39, 49, 54, 71, 93, 95, 98, 120, 137, 142, 155] и ДР

Механика разрушения тесно связано с краевыми задачами. Моделирование процессов в виде краевых задач позволяет наиболее точно описать поведение тел при разрушении, сформулировать критерии прочности. В классическом подходе к решению краевых задач с включениями рассматривается линейная математическая модель, в рамках которой на границе, соответствующей трещине, задаются линейные краевые условия, как правило, однородные условия Неймана.

Так как задача теории трещин рассматривается в негладкой области, это приводит к тому, что решения обладают сингулярными особенностями в окрестности угловых точек границы. Работы [34, 45, 46, 48, 53, 62, 63, 144, 163, 204] содержат исследование асимптотики решений краевых задач в негладких областях, в том числе и в областях с разрезами. Еще один подход к исследованию задач теории трещин основан на использовании псевдодифференциальных и интегральных операторов [141, 148, 201].

В сравнении с аналогичными краевыми задачами в гладких областях, решения задач теории трещин представляется в виде суммы регулярной и сингулярной частей. Первая имеет ту же гладкость, что и решение для гладкой области, а вторая - определяет максимальную возможную гладкость во всей области из-за наличия особенностей. Отметим, что в общем случае для задач теории трещин с произвольной геометрией или для нелинейных задач вопрос о представлении решения остается открытым.

Моделирование, основанное на физических опытах, приводит к новым классам математических задач. В частности, хорошо известен тот факт, что при решении задач с линейными краевыми условиями на трещине возможно взаимное проникание ее берегов друг в друга. С математической точки зрения это ничему не противоречит, а с физической - невозможно. Наиболее естественно рассматривать условия типа Синьорини одностороннего ограничения решения на границе - условие непроникания берегов трещины [116, 174, 180]. Это приводит к тому, что краевая задача становится нелинейной. Поэтому решение таких задач требует новых подходов. В последнее время в механике сплошных сред развитие получили вариационные методы [13, 21, 36, 69, 105, 183, 194]. При этом возможно распространить классические вариационные методы [5, 28, 124] на исследование задач теории трещин. В этом случае нет необходимости представлять решение в виде суммы сингулярной и регулярной частей. Кроме того, обобщенная формулировка позволяет с единой позиции исследовать как линейные задачи, так и нелинейные. Подход основан на вариационных принципах механики сплошных сред. В настоящее время с помощью данного подхода исследован широкий класс задач теории трещин с возможным контактом берегов [37, 108, 109, 110, 111, 134, 171]: доказаны теоремы существования, проведен анализ качественных свойств решений, исследованы оптимизационные задачи, предложены метод гладких областей, метод фиктивных областей, исследованы свойства регулярности решений для различных моделей теории упругости, включая сложные модели такие, как пластины и оболочки Кирхгофа-Лява и Тимошенко.

Работы [1,12, 29, 169, 193, 198, 222] содержат численные решения контактных задач, в том числе и задач теории трещин. Работы [195, 202] посвящены исследованию динамических контактных задач. Отметим также работы [20, 151, 187] по исследованию контактных задач, учитывающие эффект сцепления контактирующих поверхностей, трения и пр.; в [65, 66, 99, 113, 177] исследовались контактные задачи для тел разных размерностей.

Недавно проф. A.M. Хлуднев инициировал изучение краевых задач для моделей упругих тел, содержащих жесткие включения - объемные и тонкие [114, 115]. Если рассматривать объемное жесткое включение, то таким включением естественно считать ту часть тела, деформации которой равны нулю. С математической точки зрения это означает, что решение имеет заданную структуру в некоторой подобласти исходной области, в которой решается краевая задача. Если же рассматривать тонкие жесткие включения, то есть такие включение, размерность которых на единицу меньше размерности задачи (кривая - в двухмерном случае, поверхность - в трехмерном), то тонким жестким включением считается некоторое многообразие в исходной области, для которого след решения на этом многообразие имеет заданную структуру. Для обоих классов задач доказаны теоремы существования, выведены полные системы краевых условий, доказана эквивалентность дифференциальной и вариационной задач, исследованы некоторые задачи оптимального управления [114, 178, 179, 77, 117]. Отметим также следующие работы, в которых исследовались задачи теории упругости для тел с жесткими включениями для некоторых частных случаев: в [219] решалась задача о круговом жестком включении, на границе которого располагается трещина; в [200] исследовалось влияние жесткого включения на распространение трещины в бесконечном теле; в [55] рассматривался случай соединенных полупространств с круглой плоской трещиной в плоскости соединения; в [152, 212, 220, 205, 56] исследовалось взаимодействие жестких включений между собой, а также с расположенными вблизи них трещинами; в [2] построена асимптотическая модель деформирования упругого пространства с тонким жестким стержнем.

Основной целью исследований в механике разрушения материалов является исследование прочности тел. Моделирование процесса разрушения существенно зависит от выбора гипотезы разрушения. К ним можно отнести основополагающую теорию Гриффитса по механике хрупкого разрушения [162], силовой критерий Ирвина [172], концепцию не зависящего от контура интегрирования интеграла (J-интеграл Черепанова-Райса) [119, 210], критерий критического раскрытия трещины [40, 70] (см. также работу [208], в которой проведен сравнительный анализ распространенных критериев разрушения).

Как правило, формулировка того или иного критерия базируется на знании асимптотики решения вблизи вершин или фронта трещин. Как уже отмечалось выше, она хорошо известна для однородных тел в случаях, когда область - двухмерна, трещина - прямолинейна, краевые условия на трещине линейны [58, 61, 164]. В общем же случае, когда тело является неоднородным, а краевые условия нелинейными, существование такого разложения не доказано. Отметим, что для некоторых частных случаев имеются результаты по исследованию асимптотики: в

6, 142, 158, 201] исследовалось поведение решения для малоискривлен-ных трещин; в работах [150, 173] изучалась асимптотика решения задач теории упругости с односторонними ограничениями; в [32, 181] исследовалась асимптотика для уравнения Пуассона, определенного в области с разрезом, на котором заданы условия одностороннего ограничения, а в [196] показано, что решение уравнения Пуассона в области с криволинейным разрезом гладкости С1'1 имеет такой же вид в окрестности вершины трещины, что и для прямолинейных трещин. Поэтому для задач со сложной геометрией или нелинейными краевыми условиями предпочтительней использовать альтернативный энергетический подход, основанный на критерии Гриффитса, который выражается в терминах коэффициентов высвобождения энергии или независящих от пути интегрирования поверхностных интегралов. Следуя гипотезе Гриффитса, поведение трещины целиком определяется производной функционала энергии по параметру возмущения трещины [162, 165]. Это, в свою очередь, позволяет применять вариационные методы для исследования прочности тел с жесткими включениями и трещинами. Отметим здесь работы [125, 143, 153, 154], в которых, основываясь на критерии Гриффитса, изучались модели квазистатического роста трещин в виде минимизации функционалов полной энергии в классах функций ограниченной вариации [127, 128].

А.М.Хлудневым и Я. Соколовски [184] был предложен метод отыскания производных функционалов энергии, который основан на вариационных свойства решения и позволил избежать исследования асимптотики решения вблизи трещин. Используя предложенный метод, были вычислены производные функционалов энергии по параметру, характеризующему изменение формы области, для различных моделей теории упругости для однородных и неоднородных тел с трещинами, и было показано, что такие производные представимы в виде инвариантных интегралов — интегралов, значение которых не зависит от многообразия, по которому происходит интегрирование (см. [78, 79, 80, 97, 185, 182, 184, 191, 81]). При этом, как правило, предполагалось, что трещины являются прямолинейными, либо накладывались дополнительные ограничения на возмущение области.

В дальнейшем метод получил свое развитие, в результате которого удалось исследовать асимптотику функционалов энергии для широкого класса моделей теории упругости и снять ограничение на вид возмущения и геометрию областей, а также применить его к задачам с жесткими включениями [82, 83, 88, 89]. Здесь же отметим, что исследования асимптотики решений и других вариаций геометрических и механических параметров при изменении формы области для краевых задач эллиптического типа с линейными краевыми условиями проводились во многих работах (см., например, [3, 45, 53, 60, 58, 64, 131, 129, 156, 157, 197]).

Предложенный метод оказался тесно связан с понятием производной по форме области, которая широко используется в теории оптимизации форм [136, 160, 166, 183, 215, 216, 139, 213, 147]. Например, для того, чтобы вычислить производную функционала энергии по длине трещины, вводится малый параметр е и строится такое преобразование координат, при котором исходная область с трещиной длиной I отображается область с трещиной длиной I + е. Фактически это означает, что ■ исследуется чувствительность интеграла энергии к изменению формы области. Поэтому естественно рассматривать общее возмущение области, что и приводит к понятию производной по форме области. Анализ зависимости решений краевых задач теории упругости от области (shape sensitivity analysis) играет важную роль в задачах оптимизации форм упругих тел и используется для численного решения оптимизационных задач методом Ньютона [167, 216]. Используя метод гладких возмущений, были получены общие формулы для производных функционалов энергии по форме области для различных моделей упругих тел с трещинами и жесткими включениями, в том числе и с условиями непроникания [192, 85, 86, 87, 90, 91]. Результаты о дифференцируемости по форме области различных функционалов, включая функционалы энергии, для упругих тел с линейными краевыми условиями можно найти в [126, 132, 133, 139, 209, 213, 218].

Приведем краткий обзор содержания диссертации.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Главы разбиты на параграфы, параграфы — на разделы. Нумерация формул и утверждений (а также определений, замечаний и т. п.) сквозная по всему тексту и тройная: вида п.т.к, где п - номер главы, т - номер параграфа, а к - номер формулы (утверждения, и пр.) в пункте. При этом определения, теоремы, леммы, следствия и замечания нумеруются независимо друг от друга.

В настоящей диссертации рассматриваются краевые задачи теории упругости, определенные в негладких областях - в областях, имеющих разрезы. Такие разрезы моделируют трещины в упругих телах. Считается, что трещина имеет два берега. Поэтому краевые условия задаются и на внешней границе области, и на внутренней (на обоих берегах трещины). Так же в работе рассматриваются модели тел с жесткими включениями. Это означает, что в некоторой подобласти исходной области задается структура решения.

Как правило в диссертации мы будем рассматривать краевые условия с односторонним ограничением на разрезе, но для ряда задач, моделирующих поведение тел с жесткими включениями и трещинами, мы будем рассматривать так же и линейные граничные условия.

Все исследуемые в диссертации задачи формулируются в вариационном виде, и решение ищется в классах соболевских пространств. Для этого определяются функционалы энергии и соответствующие решаемым задачам множества допустимых функций, на которых затем минимизируются функционала энергии.

В главе 1 содержатся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа, уравнений математической физики, теории пространств Соболева, вариационного исчисления. Вводится понятие гладкости области с трещиной, определятся функциональные пространства на границе областей с трещинами. Большинство определений и утверждений являются хорошо известными фактами и приводятся для удобства, как правило, без доказательств со ссылками на источники, где они могут быть найдены.

1. Аннин Б.Д., Садовский В.М. О численной реализации вариационного неравенства в задачах динамики уиругопластических тел // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1996. Т. 36. N 9. С. 159-177.

2. Аргатов И. И. Растяжение упругого пространства с жестким стержнем // Прикл. математика и теор. физика. 2008. N 1. С. 120-127.

3. Аргатов И.И., Назаров С.А. Высвобождение энергии при изломе трещины в плоском анизотропном теле // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 3. С. 502-514.

4. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: Издательство "Самарский университет", 2001. - 562 с.

5. Байоки ККапело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей. М.: Наука, 1988. 448 с.

6. Баничук Н.В. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. №-2. С. 130137.

7. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: Наука, 1980. — 256 с.

8. Бережницкий JI. Т., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наук, думка, 1983. — 288 с.

9. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М: Мир, 1967. 296 с.

10. Ватулъян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 224с.

11. Волъмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

12. Втору шин Е.В. Численное исследование модельной задачи деформирования упругопластического тела с трещиной при условии возможного контакта берегов // Сиб. журн. вычисл. математики. 2006. Т. 9. Вып. 4. С. 301-310.

13. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986. — 270 с.

14. Голъдштейн Р.В., Житников Ю.В. Равновесие полостей и трещин-разрезов с областями налегания и раскрытия в упругой среде // ПММ. 1986. Т. 50. Вып. 5. С. 826-834.

15. Голъдштейн Р.В., Осипенко U.M. Балочное приближение в задачах отслоения тонких покрытий // Изв. РАН. МТТ. 2003. №5. С. 154-163.

16. Голъдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Отслоение покрытий под действием термоупругих напряжений (балочное приближение) // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2007. №4. С. 66-83.

17. Голъдштейн Р.В., Салганик Р.Л. Плоская задача о криволинейных трещинах в упругом теле // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. №3. С. 6982.

18. Голъдштейн Р.В., Салганик Р.Л. Хрупкое разрушение тел с произвольными трещинами // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С. 156-171

19. Голъдштейн Р.В., Спектор A.A. Вариационные оценки решений некоторых смешанных пространственных задач теории упругости с неизвестной границей // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. №2. С. 8294.

20. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи трибологии. М.: Машиностроение, 1988. — 253 с.

21. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 383 с.

22. Ентов В.М., Салганик Р.Л. О балочном приближении в теории трещин // Изв. АН СССР. Механика. 1965. №5. С. 95-102.

23. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. — 366 с.

24. Неклассические проблемы механики разрушения: В 4 т. / Под общ. ред. Гузя А.Н.; АН УССР. Ин-т механики. Киев: Наук, думка, 1990. - Т. 1. Разрушение вязкоупругих тел с трещинами / Каминский A.A. — 321с.

25. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. — 312 с.

26. Кантарович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. СПб.: Невский диалект; БХВ-Петербург, 2004. — 816 с.

27. Капцов A.B., Шифрин Е.И. Идентификация плоской трещины в упругом теле с помощью инвариантных интегралов // Изв. РАН. МТТ. 2008. N 3. С. 145-163.

28. Киндерлерер Д., Стампаккъя Г. Введение в вариационные неравенства и их приложение. М: Мир, 1983. — 256 с.

29. Ковтуненко В. А. Итерационный метод решения вариационных неравенств в контактной упругопластической задаче с использованием метода штрафа// Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1993. Т. 33. N 9. С. 1409-1415.

30. Ковтуненко В.А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 1. С. 109-123.

31. Ковтуненко В.А. Вариационные методы в теории трещин с ограничениями. Дис. . . док. физ.-мат. наук. — Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 2007. 372 с.

32. Козлов В.А., Хлуднев A.M. Асимптотика решения уравнения Пуассона вблизи вершины трещины с нелинейными краевыми условиями на берегах // ДАН. 2006. Т. 411. N 5. С. 583-586.

33. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Функциональный анализ. М.:Наука, 1981. 544 с.

34. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Московск. матем. общества. 1967. Т. 16. С. 209-292.

35. Кошелев А.И. Априорные оценки в Lp и обобщенные решения эллиптических уравнений и систем // Успехи мат. наук. 1958. Т. 13. Вып. 4. С. 29-88.

36. Кравчук A.C. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ, 1997. 340 с.

37. Лазарев Н.П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журнал индустр. математики. 2011. Т. 14. N 4. С. 32-43.

38. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория упругости: Учеб. пособие. М.: Наука, 1987. — 248 с.

39. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 408 с.

40. Леонов М.Я. Элементы теории хрупкого разрушения // Журн. прикл. меаники и техн. физики. 1961. N 3. С. 85-92.

41. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. — 372 с.

42. Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987. — 368 с.

43. Лойгеринг Г., Хлуднев A.M. О равновесии упругих тел, содержащих жесткие включения // ДАН. 2010. Т. 430. N 1. С. 1-4.

44. Мазья В.Г. Пространства СЛ. Соболева. Л.: Изд-во Ленингр. унта, 1985.- 415 с.

45. Мазья В. Г., Назаров С. А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях вблизи угловых и конических точек // Тр. Моск. мат. о-ва. 1987. Т. 50. С. 79-129.

46. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский В.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1981. — 206 с.

47. Мазья В.Г., Поборчий C.B. Теоремы вложения и продолжения для функций в нелипшецевых областях. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. 400 с.

48. Мазья В.Г., Слуцкий A.C., Фомин B.JI. Об асимптотике функции напряжений вблизи вершины трещины в задаче кручения при установившейся ползучести // Изв. РАН. МТТ. 1986. N 4. С. 170-176.

49. Матвиенко Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 328 с.

50. Михайлов A.M. Динамические задачи теории трещин в балочном приближении // Прикл. математика и теор. физика. 1966. N 5. С. 167-172.

51. Михайлов A.M. Обобщение балочного подхода к задачам теории трещин // Прикл. математика и теор. физика. 1969. N 3. С. 171— 174.

52. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. — 392 с.

53. Мовчан А.Б., Назаров С.А., Полякова O.P. Приращение коэффициентов интенсивности напряжений при удлинении криволинейной трещины // Механика твердого тела. 1992. N 1. С. 84-93.

54. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука. 1984. 256 с.

55. Моссаковский В.И., Рыбка М. Т. Обобщение критерия Гриффитса-Снеддона на случай неоднородного тела // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 6. С. 1061-1069.

56. Мочалов Е.В., Сильвестров В.В. Задача взаимодействия тонких жестких остроконечных включений, расположенных между разными упругими материалами // 2011. Известия РАН. МТТ. N 5. С. 99-117.

57. Назаров С.А. Задача Синьорини с трением для тонких упругих тел // Труды Моск. мат. о-ва. 1993. Т. 56. С. 262-302.

58. Назаров С.А. Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы // Прикл. математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 489-502.

59. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Том 1. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга (ИДМИ), 2002. — 408 с.

60. Назаров С.А. Коэффициенты интенсивности напряжений и условия девиации трещины в хрупком анизотропном теле // Прикл. механика и тех. физика. 2005. Т. 46. N 3. С. 98-107.

61. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука, 1991. — 336 с.

62. Назаров С. А., Полякова О. Р. Весовые функции и инвариантные интегралы высших порядков // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. N 1. С. 104-119.

63. Назаров С.А., Слуцкий A.C. Об одном свойстве решений нелинейных уравнений рав- новесия вблизи особенности // Изв. вузов. Ма-тем. 1982. N 9. С. 36-39.

64. Назаров С.А., Шпековиус-Нойгербауер М. Применение энергетического критерия разрушения для определения формы слабоис-кривленной трещины // Прикл. механика и тех. физика. 2006. Т. 47. N 5. С. 119-130.

65. Неустроева H.B. Односторонний контакт упругих пластин с жестким включением // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9. Вып. 4. С. 51-64.

66. Неустроева Н.В. Жесткое включение в контактной задаче для упругих пластин // Сиб. журнал индустр. мат. 2009. Т. 12. N 4. С. 92-105.

67. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. — 872 с.

68. Олейник O.A., Иосифьян Г.А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. — 311с.

69. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. М.: Мир, 1989. — 494 с.

70. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1968. — 246 с.

71. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1974. — 416 с.

72. Партон В.З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости: Учебное пособие. М.: Наука, 1981. — 688 с.

73. Парцевский В.В. Расслоение в полимерных композитах. Обзор // Известия РАН. МТТ. 2003. №5. С. 62-94.

74. Плотников П.И., Рудой Е.М. Анализ чувствительности интегралов энергии к изменению формы области для тел с жесткими включениями и трещинами // Доклады Академии наук. 2011. Т. 440. N 5. С. 589-592.

75. Пугачев B.C. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с.

76. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1988. — 712 с.

77. Ротанова Т. А. Задача об одностороннем контакте двух пластин, одна из которых содержит жесткое включение // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика информатика. 2011. Т. 11. Вып. 1. С. 87-98.

78. Рудой Е. М. Асимптотика интеграла энергии при возмущении границы // Динамика сплошных сред / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 2000. Вып. 116. С. 97-103.

79. Рудой Е. М. Устойчивость решения задачи равновесия пологой оболочки, содержащей трещину, при возмущении границы // Сиб. журнал индустр. мат. 2001. Т. 4. N 1. С. 171-176.

80. Рудой Е. М. Формула Гриффитса для пластины с трещиной // Сиб. журн. индустр. математики. 2002. Т. 5. N 3. С. 155-161.

81. Рудой Е. М. Инвариантные интегралы для задачи равновесия пластины с трещиной // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, N 2. С. 466-477.

82. Рудой Е. М. Дифференцирование функционалов энергии в двумерной теории упругости для тел, содержащих криволинейные трещины // Прикл. математика и теор. физика. 2004. Т. 45, N 6. С. 83-94.

83. Рудой Е.М. Дифференцирование функционалов энергии в трехмерной теории упругости для тел, содержащих поверхностные трещины // Сиб. журнал индустр. математики. 2005. Т. 8. N 1. С. 106-116.

84. Рудой Е.М. Выбор оптимальной формы поверхностных трещин в трехмерных телах // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6. Вып. 2. С. 76-87.

85. Рудой Е.М. Дифференцирование функционалов энергии в задаче о криволинейной трещине с возможным контактом берегов // Изв. РАН. МТТ. 2007. N 6. С. 113-127.

86. Рудой Е. М. Дифференцирование функционалов энергии в задаче о криволинейной трещине в пластине с возможным контактом берегов // Прикл. математика и теор. физика. 2008. Т. 49. №5. С. 153-168.

87. Рудой Е.М. Асимптотика функционала энергии для смешанной краевой задачи четвертого порядка в области с разрезом // Сиб. мат. журнал. 2009. N 2. Т. 50. С. 430-445.

88. Рудой Е.М., Хлуднев A.M. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием // Сиб. журнал индустр. математики. 2009. Т. 12. N 2. С. 120-130.

89. Рудой Е.М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова-Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10. Вып. 2. С. 98-117.

90. Рудой Е.М. Асимптотика функционала энергии для трехмерного тела с жестким включением и трещиной // Прикл. математика и теор. физика. 2011. N 2. Т. 52. С. 114-127.

91. Рудой Е.М. Асимптотика функционала энергии для упругого тела с трещиной и жестким включением. Плоская задача // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 6. С. 1038-1048.

92. Рудой Е.М. Инвариантные интегралы в плоской задаче теории упругости для тел с жесткими включениями и трещинами // Сиб. журнал индустр. математики. 2012. Т. 15. N 1. С. 99-109.

93. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1981. — 324 с.

94. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. — 244 с.

95. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981. — 296 с.

96. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: Физматгиз, 1961. — 219 с.

97. Соколовский Я., Хлуднев А. М. О дифференцировании функционалов энергии в теории трещин с возможным контактом берегов // Докл. РАН. 2000. Т. 374, N 6. С. 776-779.

98. Степанова Л.В. Математические методы механики разрушения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 336с.

99. Стекина Т.А. Вариационная задача об одностороннем контакте упругой пластины с балкой // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2009. Т. 9. Вып. 1. С. 45-56.

100. Съярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992. — 472 с.

101. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.- 408 с.

102. Ткачева Л.А. Нестационарная задача о распространении трещины в балочном приближении // Прикл. математика и теор. физика. 2008. Т. 49. N 5. С. 177-189.

103. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, — 760 с

104. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 592 с.

105. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Наука, 1974. 160 с.

106. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. 1966. Т. 1. — 607 с.

107. Хаслингер Я., Нейтаанмяки П. Конечно-элементная аппроксимация для оптимального проектирования форм: теория и приложения. М.: Мир, 1992. 368 с.

108. Хлуднев A.M. Об экстремальных формах разрезов в пластине // Изв. РАН. МТТ. 1992. N 1. С. 170-176.

109. Хлуднев A.M. Задача равновесия термоупругой пластины, содержащей трещину // Сиб. матем. журнал. 1996.Т. 37. N 2. С. 452-463.

110. Хлуднев A.M. Метод гладких областей в задаче о равновесии пластины с трещиной // Сиб. матем. ж. 2002. N 6. С. 1388-1400.

111. Хлуднев A.M. Теория трещин с возможным контактом берегов // Успехи механики. 2005. Т. 3. Вып. 4. С. 41-82.

112. Хлуднев A.M. Инвариантные интегралы в задаче о трещине на границе раздела двух сред // Прикл. математика и теор. физика. 2005. Т. 46. N 5. С. 123-137.

113. Хлуднев A.M. Об одностороннем контакте двух пластин, расположенных под углом друг к другу // Прикл. математика и теор. физика. 2008. Т. 49. N 4. С. 42-58.

114. Хлуднев A.M. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине. — Новосибирск, 2009. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики; №1-09).

115. Хлуднев A.M. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. N 5. С. 98-110.

116. Хлуднев A.M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. 252 с.

117. Хлуднев A.M. Об изгибе упругой пластины с отслоившимся тонким жестким включением // Сиб. ж. индустр. матем. 2011. Т.14. N 1. С. 114-126.

118. Циглер Ф. Механика твердых тел и жидкостей. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 886 с.

119. Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде // Прикл. математика и механика. 1967. Т. 31. N 3. С. 476-488.

120. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

121. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. Новосибирск: Тамара Рожковская, 2003. — 576 с.

122. Эванс Л.К., Гариепи Р.Ф. Теория меры и тонкие свойства функций. Новосибирск: Научная книга, 2002. — 216 с.

123. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1072 с.

124. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.

125. Acanfora F., Ponsiglione М. Quasi static growth of brittle cracks in a linearly elastic flexural plate // Annali di Matematica. 2006. V. 185. N2. P. 293-317.

126. Allaire G., Jouve F., Toader A.-M. Structural optimization using sensitivity analysis and a level-set method // Journal of Computational Physics. 2004. V. 194. P. 363-393.

127. Ambrosio L. A compactness theorem for a new class of functions of bounded variations // Boll. Un. Mat. Ital. 1989. V. 3-B. P. 857-881.

128. Ambrosio L., Fusco N., Pallara D. Functions of bounded variations and Free Discontinuity Problems. Clarendon Press, Oxford, 2000. — 434 p.

129. Amestoy M., Leblond J.B. Crack paths in plane situations II. Detailed form of the expansion of the stress intensity factors // Intern. J. Solids and Structures. 1992. V. 29. N4. P. 465-501.

130. Andrieux S., Ben Abda A., Bui Y. Reciprocity principle and crack identification // Inverse Problems. 1999. V. 15. P. 59-69.

131. Bochniak M., Sandig A.-M. Sensitivity analysis of stress intensity factors in 2D coupled elastic structures // Asymptotic Analysis. 2001. V. 25. P. 299-328.

132. Bonnet M. Stability of crack fronts under Griffith criterion: a computational approach using integral equations and domain derivatives of potential energy // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1998. V. 173. P. 337-364.

133. Bonnet M., Burczynski T., Nowakowski M. Sensitivity analysis for shape perturbation of cavity or internal crack using BIE and adjoint variable approach // Intern. J. Solids and Structures. 2002. V. 39. P. 2365-2385.

134. Brokate M., Khludnev A.M. On crack propagation shapes in elastic bodies // Z. angev. Math. Phys. 2004. V. 55. N 2. P. 318-329.

135. Browder F. E. On the regularity properties of solutions of elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1956. V. 9. №3. P. 351-361.

136. Bucur D., Buttazzo G. Variational methods in shape optimization problems. Boston, Basel, Berlin: Birkhauser, 2005. — 217 p.

137. Bui H.D. Fracture Mechanics. Inverse Problems and Solutions. Dordrecht: Springer, 2006. — 375 p.

138. Chang J.H., Chien A.J. Evaluation of M-integral for anisotropic elastic media with multiple defects // Intern. J. of Fracture. 2002. V. 114. P. 267-289.

139. Chen G, Rahman S., Park Y.H. Shape sensitivity and reliability analysis of linear-elastic cracked structure // Intern. J. Fructure. 2001. V. 112. P. 223-246.

140. Chen Y.-H., Lu T.J. Recent developments and applications of invariant integrals // Appl.Mech. Rev. 2003. V. 56. N 5. P. 515-551.

141. Costabel M., Dauge M., Duduchava R. Asymptotic without logarithmic terms for crack problems // Comm. PDE. 2003. V. 28. N 5-6. P. 869-926.

142. Cotterell B., Rice J.R. Slightly curved or kinked cracks // Intern. J. Fract. 1980. V. 16. No. 2. P. 155-169.

143. Dal Maso G., Francfort G.A., Toader R. Quasistatic Crack Growth in Nonlinear Elasticity // Arch. Rational Mech. Anal. 2005. V. 176. N 2. P. 165-225.

144. Dauge M. Elliptic Boundary Value Problems on Corner Domains: Smoothness and Asymptotics of Solutions. Berlin and etc., SpringerVerlag, 1988. 261 p.

145. Delfour M.C., Zolesio J.-P. Shapes and geometries: analysis, differential calculus and optimization. SIAM, Philadelphia, 2001. — 461 p.

146. Demyanov V.F.,Stavroulakis G.E., Polyakova L.N., Panagiotopoulos P.D. Quasidifferentiability and nonsmooth modelling in mechanics, engineering and economics. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publisher, 1996. - 362 p.

147. Dems K., Mroz Z. Shape sensitivity in mixed Dirichlet-Neumann boundary value problems and associated class of path-independent integrals // Eur. J. Mech. A/Solids. 1995. V. 14. P. 169-203.

148. Duduchava R., Sandig A.M., Wendland W.L. Interface cracks in anisotropic materials // Math. Mech. Appl. Sci. 1999. V. 22. P. 14131446.

149. Dyskin A. V., Germanovich L.N., Ustinov K.B. Asymptotic analysis of crack interaction with free boundary // Intern. J. Solids and Structure. 2000. V. 37. №6. P. 857-886.

150. Eck C., Nazarov S.A., Wendland W.L. Asymptotic analysis for mixed boundary-value contact problem // Arch. Rational Mech. Anal. 2001. V. 156. P. 275-316.

151. Eck C., Jarusek J. Existence result for the semicoersitive static contact problem with Coulomb friction // Nonlinear Analysis. 2000. V. 42. P. 961-976.

152. Erdogan F., Gupta G.D., Ratwani M. Interaction between a circular inclusion and an arbitrarily oriented crack // ASME Journal of Applied Mechanics. 1974. V.41. P. 1007-1013.

153. Francfort G.A., Larsen C.J. Existence and convergence for quasi-static evolution in brittle fracture // Comm. Pure Appl. Math. 2003. V. 56. P. 1465-1500.

154. Francfort G.A., Marigo J.-J. Revisiting brittle fractures as an energy minimization problem //J. Mech. Phys. Solids. 1998. V. 46. P. 13191342.

155. Freund L.B. Dynamic fracture mechanics. New York: Cambridge University Press, 1990. — 578p.

156. Friedman A., Hu B., Velazquez J.J.L. Asimptotics for the biharmonic equation near the tip of a crack // Indiana Univ. Math. J. 1998. V. 47. P. 1327-1395.

157. Friedman A., Hu B., Velazquez J. The evolution of stress intensity factors and the propagation of cracks in elastic media // Arch. Rational Mech. Anal. 2000. V. 152. P. 103-139.

158. Gao H., Chiu C.-H. Slightly curved or kinked cracks in anisotropic elastic solids // Intern. J. Solids and Structures. 1992. V. 29. No. 8. P. 947-972.

159. Gagliardo E. Proprieta di alcune classi di funzioni in piu variabili // Ricerche Mat. 1958. V. 7. P. 102-137.

160. Garreau S., Guillaume P., Masmoudi M. The topological asymptotic for PDE system: the elasticity case // SIAM J. Control Optim. 2001. V. 39. N6. P. 1756-1778.

161. Goldstein R., Shifrin E., Shushpannikov P. Application of invariant integrals to the problems of defect identification // Int. J. Fract. 2007. V. 147. P. 45-54.

162. Griffith A. The phenomena of rupture and flow in solids // Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A. 1921. V. 221. P. 163-198.

163. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. Boston-LondonMelbourne: Pitman, 1985. — 410 p.

164. Grisvard P. Singularities in boundary value problems. Paris: Masson -Berlin: Springer-Verlag, 1992. — 205 p.

165. Gurtin M.E. On the energy release rate in quasi-static elastic crack propagation // J. Elasticity. 1979. V. 9. N. 2. P. 187-195.

166. Haslinger J., Makinen R.A.E. Introduction to shape optimization. Theory, optimization, and computation. SIAM, Philadelphia, 2003. — 289 p.

167. Haug E.J., Choi K.K., Komkov V. Design sensitivity analysis of structural systems. Orlando: Academic Press Inc., 1986 — 381 p.

168. Herrmann A.G., Herrmann G. On energy release rates for a plane crack // ASME J. Appl. Mech. 1981. V. 48. P. 525-528.

169. Hintermiiller M., Kovtunenko V.A., Kunisch K. Constrained optimization for interface cracks in composite materials subject to nonpenetration conditions //J. Eng. Math. 2007. V. 59. P. 301-321.

170. Hoemberg D., Khludnev A.M. On safe crack shapes in elastic bodies 11 Eur. J. Mech. A/Solids. 2002. V. 21. P. 991-998.

171. Hoffmann K.-H., Khludnev A.M. Fictitious domain method for the Signorini problem in a linear elasticity // Adv. Math. Sci. Appl. 2004. V. 14. N 2. P. 465-481.

172. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate //J. Appl. Mech. 1957. V. 24. N 3. P. 361-364.

173. Itou H., Kovtunenko V.A., Tani A. The interface crack with Coulomb friction between two bounded dissimilar elastic media // Appl. Math. 2011. V. 56. N 1. P. 69-97.

174. Khludnev A.M. Existence of extreme unilateral cracks in a plane // Control Cybernet. 1994. V. 23. P. 453-460.

175. Khludnev A. M. Optimal control of crack growth in elastic body with inclusions // European Journal of Mechanics A/Solids. 2010. V. 29. N 3. P. 392-399.

176. Khludnev A., Leontiev A., Herskovits J. Nonsmooth domain optimization for elliptic equations with unilateral conditions // J. Math. Pures Appl. 2003. V. 83. P. 197-212.

177. Khludnev A.M., Leugering G. Unilateral contact problems for two perpendicular elastic structure //J. Analysis and its Applications. 2008. V. 27. N 2. P. 157-177.

178. Khludnev A.M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2010. V. 33. N 16. P. 1955-1967.

179. Khludnev A.M., Leugering G. Optimal control of cracks in elastic bodies with thin rigid inclusion // ZAMM. 2011. V. 91. N 2. P. 125137.

180. Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of cracks in solids. Southampton, Boston: WIT-Press, 2000. 386 p.

181. Khludnev A.M., Kozlov V.A. Asymptotics of solutions near crack tips for Poisson equation with inequlity type boundary conditions // ZAMP. 2008. V. 59. N 2. P. 264-280.

182. Khludnev A.M., Ohtsuka K., Sokolowski J. On derivative of energy functional for elastic bodies with cracks and unilateral conditions // Quart. Appl. Math. 2002. V. 60. P. 99-109.

183. Khludnev A.M, Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Birkhauser, Basel. 1997. — 366 p.

184. Khludnev A.M., Sokolowski J. The Griffith formula and the Rice-Cherepanov integral for crack problems with unilateral conditions in nonsmooth domains // Europ. J. Appl. Math. 1999. V. 10, N4. R 379394.

185. Knees D. Griffith-formula and J-integral for a crack in a power-law hardening material // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2006. V. 16. N 11. R 1723-1749.

186. Knowles J.K., Sternberg E. On a class of conservation laws in linearized and finite elastoplastic // Arch. Ration. Mech. and Analysis. 1972. V. 44. No3. P. 187-211.

187. Kovtunenko V.A. Crack in a solid under Coulomb friction law // Appl. Math. 2000. V. 45. N 4. P. 265-290.

188. Kovtunenko V.A. Sensitivity of crack in 2D-Lame problem via material derivatives // Z. Angew. Math. Phys. 2001. V. 52. N 6. P. 1071-1087.

189. Kovtunenko V.A. Sensitivity of interfacial cracks to non-linear crack front perturbations // Z. Angew. Math. Mech. 2002. V. 82. P. 387398.

190. Kovtunenko V.A. Shape sensitivity of a plane crack front // Math. Methods Appl. Sci. 2003. V. 26. P. 359-374.

191. Kovtunenko V.A. Shape sensitivity of curvilinear cracks on interface to non-linear perturbations // Z. angew. Math. Phys. 2003. V. 54. P. 410-423.

192. Kovtunenko V.A. Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration // IMA J. Appl. Math. 2006. N 71. P. 635-657.

193. Kovtunenko V. A., Kunisch K. Problem of crack perturbation based on level sets and velocities // Z. Angew. Math. Mech. 2007. V. 87. N 11 12. P. 809-830.

194. Kravchuk A.S., Neittaanmaki P.J. Variational and Quasi-Variational Inequalities in Mechanics. Springer, 2007. — 329 p.

195. Kuttler K., Shillor M. Dunamic contact with Signorini's condition and slip rate dependent friction // Electronic J. of differential equations. 2004. V. 2004. N 83. P. 1-21.

196. Lazzaroni G., Toader R. Energy release rate and stress intensity factor in antiplane elasticity // Technical Report, SISSA, 2009.

197. Leblond J.B. Crack paths in three-dimensional elastic solids. I: two-term expansion of the stress intensity factors application to cracks path stability in hydraulic fracturing // Intern. J. Solids and Structures. 1999. V. 36. N1. P. 79-103.

198. Leguillon D. Asymptotic and numerical analysis of a crack branching in non-isotropic materials // Eur. J. Mech. A/Solids. 1993. V. 12. No. 1. P. 33-51.

199. Leguillon D., Sanchez Palrncia E. Computation of singular solutions in elliptic problems and elasticity. Paris: Masson, 1987. — 200 p.

200. Maiti M. On the extension of a crack due to rigid inclusions // International Journal of Fracture. 1979. V. 15. P. 389-393.

201. Martin P.A. Perturbed cracks in two-dimensions: An integral-equation approach // Intern. J. Fract. 2000. V. 104. No. 4. P. 317-327.

202. Mauro de Lima Santos, Junior F. A boundary condition with memory for Kirchhoff plates equations // Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 148. P. 475-496.

203. Maz'ya V.G., Poborchi S.V. Differentiable functions on bad domains. World Scientific Pub Co Inc, 1997. 495 p.

204. Maz'ya V., Slutskii A.S. Asymptotic solution to the Dirichlet problem for a two-dimensional Riccatti's type equation near a corner point // Asymptotic Analysis. 2004. V. 39. N 2. P. 169-185.

205. Nisitani E., Chen D.H., Saimoto A. Interaction between an elliptic inclusion and a crack // Proceedings of the International Conference on Computer-Aided Assessment and Control, Computational Mechanics Inc, MA, USA. 1996.V.4. P. 325-332.

206. Nazarov S.A., Sokolowski J. Asymptotic analysis of shape functionals // J. Math. Pures Appl. 2003. V.82. №2. P. 125-196.

207. Ohtsuka K. Mathematics of brittle fracture // Theoretical Studies on Fracture Mechanics in Japan / Japan. Hiroshima. Hiroshima-Denki Institute of Technology. 1997. P. 99-172.

208. Ohtsuka K. Comparison of criteria on the direction of crack extension 11 J. Comp. Appl. Math. 2002. V. 149. P. 335-339.

209. Pironneau O. Optimal shape design for elliptic systems. New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: Springer-Verlag, 1984. — 168 p.

210. Rice J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and crack //J. Appl. Mech. 1968. V. 35. N 4. P. 379-386.

211. Schechter M. General boundary value problems for elliptic partial differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1959. V. 12. №3. P. 457-486.

212. Sendeckyj G. P. Interaction of cracks with rigid inclusions in longitudinal shear deformation // International Journal of Fracture Mechanics. 1974. V.101. P. 45-52.

213. Simon J. Differentiation with respect to the domain in boundary value problems // Numer. Funct. Anal. Optimiz. 1980. V. 2. P. 649-687.

214. Simon J. Second variations for domain optimization problems // Int. Ser. Numer. Math. V. 91. P. 361-378. Basel: Birkhauser-Verlag, 1989.

215. Sokolowski J., Zochowski A. On the topological derivative in shape optimization // SIAM J. Control Optim. 1999. V.37. N4. P. 12511272.

216. Sokolowski J., Zolesio J.P. Introduction to shape optimization. Shape sensitivity analysis. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1992. — 254p.

217. Suo X.Z., Valeta M.P. Second variation of energy and an associated line independent integral in fracture mechanics, II, Numerical validations // Eur.J. Mech. A/Solids. 1998. V. 17. N 4. P. 541-565.

218. Taroco E. Shape sensitivity analysis in linear elastic fracture mechanics // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2000. V. 188. P. 697-712.

219. Toya M. A crack along the interface of a rigid circular inclusion embedded in an elastic solid // Intern. J. Fract. 1973. V. 9. N 4. P. 463470.

220. Xiao Z.M., Chen B.J. Stress intensity factor for a Griffith crack interacting with a coated inclusion // International Journal of Fracture. 2001. V. 108. P. 193-205.

221. Williams J. G. On the calculation of the energy release rates for cracked laminates // Intern. J. Fract. 1998. V. 36. №2. P. 101-119.

222. Zozulya V. V., Menshykov O. V. Use of the constrained optimization algorithms in some problems of fracture mechanics // Optimization and Engineering. 2003. V. 4. 13