Метод управляемых моделей в задаче реконструкции структуры динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Кузьмина Нина Александровна

МЕТОД УПРАВЛЯЕМЫХ МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧЕ РЕКОНСТРУКЦИИ СТРУКТУРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4849145

3 ИЮН 2011

Екатеринбург - 2011

4849145

¡ Работа выполнена на кафедре математики Нижнетагильского технологического инстшуга (филиал) «Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Максимов Вячеслав Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Сесекин Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, с.н.с. Успенский Александр Николаевич

Ведущая организация: Факультет вычислительной математики и

кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 22 июня 2011 г. в 13-00 на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться ' в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан «17» мая 2011 г.

Подписано в печать 13:05.2011. Формат 60*90 1/16. Бумага офсетная. Гарнтура «Тайме». Рюография Усл. печ. л. 1,13. Уч.-изд л. 1,26. Тираж 100 экз. Заказ №1744

Редакционно-издательский отдел Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» Нижнетагильский технологический институт (филиал) 622031, г. Нижний Тагил, ул. Красногвардейская, 59

Отпечатано в РИО НТИ (ф) УрФУ

Ученый секретарь

диссертационного совета, 7 0

доктор физ.-мат. наук, , Н.Ю. Лукоянов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена приложениям одного из основополагающих методов теории гарантированного управления - метода управляемых' моделей - к задачам восстановления структуры динамических систем, описываемых уравнениями с последействием. В созданной Н.Н. Красовским и его последователями теории гарантированного управления указанный метод играет исключительно важную роль. Метод управляемых с помощью экстремального сдвига моделей, представляющий собой принцип мгновенного управления с учетом обратной связи, лежит в основе позиционных решений антагонистических дифференциальных игр, определяет структуру оптимальных гарантирующих законов управления, составляет базу регуляризованной процедуры управления с поводырем. Идея экстремального сдвига оказалась эффективной и при решении задач, находящихся за пределами теории управления. В числе таких задач - задачи устойчивого обращения управляемых систем, в первую очередь - динамического обращения. Теорйя динамического обращения концентрируется вокруг метода оперативного восстановления ненаблюдаемых входов, в основе которого лежит экстремальный сдвиг, соединенный с техникой регуляризации.

Задачи реконструкции структуры изучаемых объектов по доступной информации возникают во многих теоретических и прикладных исследованиях. Такие задачи относятся к классу обратных задач динамики управляемых систем и состоят в определении структуры, найр^мер, неизвестного входа, Системы, по результатам измерений ее выхода.' При этом само уравнение, задающее динамику системы, может быть как известным, так и подлежащим определению. Таким уравнением можепбыть обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, функционально-дифференциальное уравнение и т.д. Входом служат величины, однозначно определяющие движение системы, ими могут быть управление (как функция времени), подаваемое на систему, начальное состояние и т.д. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, например, сигнал о текущей траектории системы.

Если доступная информация о выходных данных неточна, то обратные задачи динамики переходят в класс некорректных, и построение их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих алгоритмов. Существенный вклад в развитие теории некорректных задач внесли А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, А.Б. Куржанский, М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, Ф.Л. Черноусько, В.В. Васин, В.И. Агошков, Ф.П. Васильев, В.Я. Арсенин и др.

Алгоритмы регуляризации, изложенные в работах указанных выше авторов, обрабатывают всю историю изменения входа, т.е. . имеют

апостериорный характер. Вопрос о построении позиционных (вольтерровых, динамических) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем был поставлен в работе А.В Кряжимского и Ю.С. Осипова1. Там же приведен метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в «реальном времени» состояния аффинной по управлению системы. В исследованиях2,3 развита общая теория динамического обращения для обыкновенных дифференциальных уравнений. В основе описанных в указанных исследованиях алгоритмов лежит сочетание некоторых принципов теории позиционного управления с моделью и методов теории некорректных задач4'5; Процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, «отслеживает» неизвестный вход. С расчетом на возможность практической реализации алгоритм реконструкции строится в даассе конечно-шаговых алгоритмов, т.е. учитывает поступающую .информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Данный подход успешно применялся к решению динамических обратных задач для различных классов систем .В.И.Максимовым, А.И. Коротким, В.Л. Розенбергом, И.А. Цепелевым, М.С. Близоруковой и другими авторами.

Первая глава диссертации продолжает исследования указанных выше авторов. В ней исследуются задачи динамического восстановления входных воздействий и неизмеряемых координат фазового вектора для некоторых классов динамических систем, осложненных эффектом последействия. При этом рассматриваются нелинейные по фазовым переменным системы.

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи восстановления структуры линейных систем с запаздыванием. В отличие от главы 1, для решения этих задач применяются итерационные алгоритмы, обрабатывающие всю историю входа. Эти алгоритмы основаны на конструкциях работы6, получивших развитие в

1 Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 29-41.

2 Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Gordon and Breach. London. 1995.

3 Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Некоторые алгоритмы динамического восстановления входов // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2011. Т.17, № 1.С. 129-161.

4 Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

5 Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1978.

6 Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. К регуляризации выпуклой экстремальной задачи с неточно заданными ограничениями. Приложение к задачи оптимального управления с

исследованиях7'8,9. При создании представленных в главе 2 алгоритмов, как и в первой главе, также используются вспомогательные управляемые модели, описываемые уравнениями без запаздывания, фазовые пространства которых, однако, бесконечномерны. Законы управления этими системами также основаны на подходящих модификациях метода экстремального сдвига. Следует отметить, что в контексте задач обращения динамических систем, представленные в главе 2 итерационные алгоритмы осуществляют последовательный направленный пересчет управлений (являющихся функциями времени) как элементов функционального пространства. Родственность итерационных и динамических методов во многом обусловлена тем фактом, что итерационный метод, формируя каждое новое приближение на базе информации о текущем приближении, на деле реализует принцип обратной связи для вспомогательной системы, в которой номер итерационного шага играет роль момента времени, а текущее приближение - роль текущего фазового состояния.

Цель работы. Построение и обоснование сходимости новых регуляризирующих алгоритмов для решения задач реконструкции структурных характеристик динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Разработка и апробация устойчивых к информационным помехам и погрешностям вычислений итерационных алгоритмов решения указанных задач.

Методы исследования. В основе методов исследования лежит известный в теории позиционного управления принцип вспомогательных, управляемых с помощью законов обратной связи, моделей. В работе систематически используются элементы теории дифференциальных уравнений, математической теории управления, функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты работы дополняют теорию обратных задач динамики управляемых систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Разработанные в диссертации динамические, а также итерационные алгоритмы реконструкции структурных характеристик управляемых систем ориентированы на компьютерную реализаций"' И предназначены для работы в условиях неполной и меняющейся информации. Они устойчивы к информационным помехам и погрешностям вычислений.

фазовыми ограничениями // Сб. науч. тр. «Некоторые методы позиционного и программного управления». Свердловск. 1987. С; 34-54.

7 Ermoliev Yu. М., Kryazhimskii А. V., Ruszczynski A. Constraint aggregation principle in convex optimization // Mathematical Programming. 1997. Series B, 76. P. 353-372.

8 Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Экстремальные задачи с отдельными графиками // Кибернетика и систем, анализ. 2002. № 2. С. 32-55.

9 Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1997. Т. 37. №3. С. 119-125.

Научная новизна. Основные результаты диссертации.

1. Для управляемой системы, описываемой нелинейным векторным дифференциальным уравнением с последействием, указан динамический алгоритм восстановления входного воздействия, основанный на методе Экстремального сдвига, локально регуляризованного с помощью сглаживающего функционала. Установлены оценки сверху скорости сходимости алгоритма.

2. Решена задача динамического восстановления пары "управление-траектория" (при измерении части координат фазового вектора) для нелинейной системы, описываемой уравнением с последействием, в случае отсутствия ограничений на управление.

1 3. Построено семейство итерационных алгоритмов восстановления структуры линейной системы с запаздыванием по результатам неточных йЗмерений всех фазовых координат. Алгоритмы основаны на методе вспомогательных позиционно-управляемых моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в гильбертовом пространстве.

4. Сконструировано семейство итерационных алгоритмов , восстановления структуры линейной стационарной системы с запаздыванием, а также ненаблюдаемых координат фазовой траектории по результатам неточных измерений другой части фазовых координат.

Результаты диссертационной работы являются новыми.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка1 Литературы. В каждой главе система нумерации утверждений и формул содержит два индекса, первый из них — номер параграфа, второй — номер объекта. Общий объем работы составляет 115 страниц машинописного текста.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались и докладывались на 'Всероссийской научной конференции "Математика., , Механика. Информатика" (Челябинск, 2006 г.), на 39-й Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2008 г.), на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи " (Самара, 2010 г.), на международной конференции "Functional Differential Equations and' Applications" в г.Ариэль (Израиль, 2010 г.), на семинарах в Нижнетагильском технологическом институте (2006-2011 г.), Уральском государственном техническом университете УГТУ-УПИ (2008, 2009 г.), Институте математики и механики УрО РАН (2007-2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в десяти работах, приведенных в конце автореферата, две из которых - в изданиях, включенных в перечень ВАК. В работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, В.И. Максимову принадлежат постановки задач и общее руководство исследованием по теме диссертации, а диссертанту -непосредственное доказательство основных теоретических результатов и

проведение вычислительных экспериментов. В статьях [8, 10] М.С. Близоруковой принадлежит выбор метода исследования.

Содержание работы

В диссертации рассматриваются задачи восстановления (реконструкции) структуры систем, описываемых уравнениями с запаздыванием.

Во введении описываются цели и задачи работы, ее актуальность, а также кратко излагаются основные результаты работы. ,

Глава 1 посвящена исследованию задачи динамической реконструкции входных воздействий (управлений), а также "части" фазовых координат нелинейных систем с запаздыванием.

В первом параграфе дается строгая постановка указанной задачи, суть которой состоит в следующем. Имеется динамическая система, функционирующая на конечном промежутке времени Т = Система

описывается нелинейным уравнением с запаздыванием

*(/) = /(/,х,(4),и(0), /67-. (1)

Здесь хей", иеЛ1, дг,(5) = дг(г+ «), ¿е[-г,0], г = сопз1>0 -запаздывание. Ее траектория х(1) = л(1;Г0,.х0(з),и(-)) е Ям, /е Г, зависит от начального состояния дг,(5) = л0(^), 5е[-г,0], и изменяющегося во времени

неизвестного входного воздействия и(-) е Ь2(Т;Я'). На промежутке Т взято равномерное разбиение Д = {г,с шагом 3, г,,, =г, +5, г0 = /0, тт = 3. В моменты г, замеряется выход системы

у(0 = Сх(1) ей"1

(С - и, х Л'-мерная матрица). Именно, замеряются либо все координаты х, т.е. я, = /V, С = 1 (единичная матрица размерности N х N), либо «часть» координат х = {у,г}, т.е. координаты уе Я"', пх <И. В последнем случае матрица С

„ (I о^ ';"

имеет блочную структуру С = I I, где I - единичная матрица размерности

л, х и,. Выход замеряется с ошибкой. Результаты неточных измерений -векторы е Я" - удовлетворяют неравенствам

\^-х(г,)1<к, /е[0:/и-1] (2)

- при измерении всех координат, или е Я"' и удовлетворяют неравенствам

¿И, /е[0:/и — I]

I 1п,

(3)

- при измерении части координат. Здесь Л е(ОД) - величина информационной погрешности. Требуется построить алгоритм, позволяющий синхронно с развитием процесса по результатам неточных измерений вычислить неизвестный вход м(-), а также фазовую траекторию системы *(•). В том случае, когда С = /, т.е. измеряются все координаты, сформулированная выше задача трансформируется в задачу построения алгоритма приближенного вычисления только управления «(•).

Для решения задачи в главе 1 применяется развитый в работах1,2 метод, который базируется на одном из известных принципов позиционного управления - принципе управляемых с помощью экстремального сдвига моделей4,5. В первом параграфе этот метод формулируется в форме, которая используется в последующих параграфах главы. Прежде всего, выбирается динамическая система М (называемая моделью), движение которой и'А(г) = {и>?*(/)}, /еГ, является решением подходящим образом выбранного дифференциального уравнения вида

(4)

с некоторым начальным состоянием \уА (г0 + 5) = м^С?), 5 е[-г,0]. Здесь £*(/) = £<*> /е[г,,г/+1), пара {йгЛ(/),«А(/)} является управлением в модели, символ = = означает решение

системы (4). Размерность фазового вектора модели >/(/) априори не ограничивается и в каждом конкретном случае своя.

После того, как модель определена (то есть задано уравнение (4)), алгоритм решения задачи реконструкции отождествляется с законом формирования управлений в модели по принципу обратной связи. При этом процедуре управления моделью предшествует выбор ее начального состояния »'¡¡(х). Законы формирования управлений {3^(0,"*(•)} в модели, называемые, по терминологии, принятой в теории позиционного управления4'5, стратегиями, отождествляются с парами 5Л =(ДЛ,£УЛ), где Дл - разбиение отрезка Т на полуинтервалы [гЛ„г,м+1):

ДА={г-АД"о> 5 = <?(й), гА_0=/0, тИпн=Э, (5)

ин - функция, ставящая в соответствие каждому набору = »е[0:/и-1] (г, =гА, еЛл, т = т„), вектор

(6)

Управления йА(-) и !/''(•) определяются по правилу

(7)

Работа алгоритма Ок, отождествляемого с тройкой (ДА,Л/,С/А), при фиксированном Л осуществляется по следующей схеме. До начального момента времени /0 выбираются и фиксируются разбиение Д = ДА = {гА>1}™о (см. (5)) отрезка Г, а также вспомогательная система - модель М (см. (4)). Работа алгоритма разбивается на т-1, т = тк, однотипных шагов. Очередной, /-й шаг выполняется на промежутке времени [т^тм), />0. В течение этого шага осуществляются следующие операции. В момент времени г, замеряется (с ошибкой) выход дг(г,) (или _у(г;)), т.е. вычисляется вектор со свойством (3), ((4)). После этого по правилу (6), (7) определяется управление в модели (4). Затем осуществляется корректировка памяти - формирование отрезка траектории модели = 'е[г,,г,и). Вся процедура

заканчивается в момент времени 5.

Выходом алгоритма Ок является тройка: и'Л(/), /е7", - фазовая траектория модели (4), а также пара управлений {г*Л(/),иЛ(/)}, /еГ, определяемая по правилу (6), (7).

Определение. Семейство алгоритмов £>А = (Да,А/,£/а) называется регуляризирующим, если семейство выходов {м'А(-),й'л (•),«*(•)} этого: алгоритмов обладает следующими свойствами

В случае, когда измеряются все фазовые координаты системы, достаточно только сходимости (8). Символ «,(•) в (8) означает произвольный элемент множества £/(/(•)) всех входных воздействий из пространства

тЧ)->*(•) в при Л->+0.

(8) (9)

Ь2(У;/?'), порождающих выход >'(•) (у = х, если измеряются все координаты). В случае, когда множество и(у(-)) одноэлементно, м.(-) совпадает с реальным входным воздействием и(-).

Во втором параграфе рассматривается сформулированная выше задача в случае, когда система (1) описывается нелинейным дифференциальным уравнением с запаздыванием вида

*(/)=/(*(/),*(/-г))+ Вы(/), /бГ,

где дг,о(«) = х0(5), ^е[-г,0], В - N х/ -мерная матрица,/ - -мерная

матричная функция, удовлетворяющая условию Липшица по совокупности переменных, функция дг0(5), 5 £ [-г,0], непрерывна. В моменты времени г,е Т измеряются все координаты фазового вектора х( г;), т.е. С = /. Результаты измерений - - удовлетворяют соотношениям (2). Задача состоит в

построении регуляризирующего семейства алгоритмов Д, т.е. необходимо сконструировать семейство алгоритмов приближенного восстановления входа, а именно вычисления некоторой пары управлений {й'"(-),и''(•)} такой, что «*(•) приближает и(-).

фиксируем семейство разбиений ДА = {гл,}"о (5) отрезка Т с шагом 6(К) и функцию

а{К): (0,1) = {л е Я: г > 0}.

Пусть <У(й) = г/Ал, где еМ е(0,1), причем Ал-»-нх> при й-»+0. Здесь и ниже символ N означает множество натуральных чисел. Функции ¿(И) и а(И) выберем таким образом, чтобы были выполнены следующие условия £(/»)-» 0, а(И) -» 0, (Л + д1/2 (Л)) / а(А) 0,

(Ю)

/»/<5(А)<1 при А->+0.

В качестве модели (4) возьмем систему, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением

= + ге[г„г,+1),1б[0:и|-1], (11)

г;=гА(-, т = тИ, с начальным условием ^Л(/0) = #о и ДВУМЯ управлениями

ин,е Л7 и ин еЛЛ . Заметим, что модель является линейной, в отличие от реальной системы (1). Управление в модели (11) зададим по формулам (7), в которых положим

и* - w*(r,)), гГ? = - wV,)) . (12)

а

Здесь с = const > 0, а = a(h), штрих означает транспонирование.

Теорема 1. Пусть выполнено условие (10). Тогда семейство алгоритмов Dh =(Ah,M,Uh) вида (5), (II), (6), (7), (12) является регуляризирующим (имеет место сходимость (8)).

При этом в (8) «.(•) = и,(-;х(-)) - единственный элемент множества U(*(■))

минимальной L2(T;R')-hoрмы, U(x(-)) - множество управлений u(-)eL2(T;R'), совместимых с выходом .*(•), т.е.

U(x(-)) = {u(-)eL2{T-,R'): x{t) = x(r,t0,x0(s),u(-)) при пл. teT).

В описанном выше случае, в модели (4) составляющая wi(-) отсутствует (Fx = 0), а функция F2 имеет вид

F2(l, g(s), w!' (s), И" (/),«"(/)) = + Bu\t) + il\t)

прип.в./е[г;,г,+1),/e[0:in-l].

В заключительной части параграфа устанавливаются оценки скорости сходимости семейства алгоритмов. Пусть размерность фазового вектора системы равна размерности входного воздействия, т.е. / = N и матрица В является единичной матрицей. Тогда имеет место следующая лемма.

Лемма 1. Пусть функция «,(•) = «.(•;*( •)) является функцией ограниченной вариации. Тогда справедлива следующая оценка скорости сходимости алгоритма:

9 2

|г/(г)-и.(г)| dx<d0(h + а + S)V2 + dx(h + 5)сс'1.

<о

Здесь d0 и d, - некоторые положительные константы, которые могут быть выписаны явно.

В третьем параграфе рассматривается динамическая система, описываемая парой векторных дифференциальных уравнений с запаздыванием

КО = <Px(t,y(t\y(t ~ г),*(/),*(/ -%)) + (p2{t,y{t),y{t ~ г),z(0,z(f -z)MO, (13)

z(t) = щ {t,y(t\y{t - г),*(/),*(/ - х)) + V20,y(t),y(t - r),z(/),z(/ - X))u(t), (14)

teT = [t0,&], yUo+s) = yo(s), se[-r,0], z(/q +s) = zo(s),

где т> 0, Х>® — запаздывания, у = у(/) е /<■"', 2 = е К"1, п{+ п2= N, х(1) = {>(/), г(/)} — фазовый вектор системы, зависящий от входного воздействия и = и(1) е /?', векторные функции (рх (■), (//, (•) отображают

декартово произведение Т х Л2"1 х Л2"2 соответственно в Л"1 и Л"2, матричные функции р (■), (■) — в пространства и, х/ - и п2 х/-мерных матриц. Функции

^Л'^Г^г Удовлетворяют условию Липшица по совокупности аргументов. Для определенности считаем /е(0,г]. Предполагаем также, что начальное состояние системы известно, т.е. известны непрерывно-дифференцируемые функции ^б[-г,0] и г0(.ч), .5 е [~%,0], запаздывания т н %

«соизмеримы» в следующем смысле: существуют натуральные числа от, и л, такие, что

от,

г = — Х-«1

В дискретные достаточно частые моменты времени г( еТ, /е[0:от-1], от > 0, г0 = /0, тм = г, + 5, тт = 3, измеряется часть текущего фазового вектора {^(г(),г(г,)}, а именно координата у(т,). При этом результаты измерения е Я"1 неточны, т.е. выполнены неравенства (3). Необходимо построить семейство алгоритмов, которые по текущей информации в «реальном времени» восстанавливают неизмеряемую компоненту г(-) фазового вектора и управление м(-), действующие на систему (13), (14).

Условие 1. Размерность управления и не превосходит размерности координаты у (I < щ) и при всех I е Т, у1,у2еЯ"\ 2{,г2 е Я"1, матрица ^(/,_у 1,^2,^1,-2) имеет ранг, равный I.

Пусть фиксирована функция э: (0,1) -» П со свойствами:

5(й)->4оо при А-» +0, , УАб(0,1).

от,

Возьмем семейство разбиений (5) отрезка Т с шагом ¿>(/г) = . При

и, 5(Л)

таком выборе £(й) имеем: ¿(А) = -^-5(А)еП , г = .■¡(И)8(И), ^ = к(И)8(И).

т1

Выберем функцию а(И): (0,1) -> и разбиения Дл (5) таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

<5(й)->0, «(//)->0, ^-0, при й->0, (15)

где Л>0и£/>0 - некоторые постоянные. В качестве модели возьмем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

=.«"(О+Ло

прип.в./б[г(,г(+1) и всех/е[0,...,/пЛ-1] с начальными условиями «^ ('о)15 и>£(/0) = .у(/0), и'!Ч'о) = г('о)- Здесь

= 2(/-/0) при /е[/0-лг,/0]; у^(/) = 1^(0 = >'(/-/о) при 'е[/0-г,/0]. Управления в модели (16) зададим по формулам (7), в которых считаем

(17)

и* -к^)), (18)

а

V,—-(<?*-(г,)), С = СОП51>0. (19)

а

Теорема 2. Пусть выполнены условия (15). Тогда семейство алгоритмов вида £>л =(Дл,М,£/а) (5), (16), (6), (17)-(19) является регуляризирующим. При этом

«*(•)-►«(•) в ,„*(.) _>г(.) вС(Т;ЯприИ->+0. .............

, Приведем оценку скорости сходимости описанного выше семейства алгоритмов.

Лемма 2. Пусть размерность входа м(-) совпадает с размерностью координаты >•(•) (т.е. пх=1). Пусть выполнены соотношения (15) и

неравенство ** > d, (d* = const <d). Пусть также «(•) является функцией 5{h)

с ограниченной вариацией. Тогда я

j]a*(/) - и(/)|; dt < d2 (hy* +dy'+ay'+(h + d)/a).

'о

В последнем, четвертом, параграфе первой главы приводятся результаты вычислительного эксперимента. Описанный во втором параграфе алгоритм иллюстрируется на модельном примере.

Во второй главе диссертационной работы исследуется задача восстановления структуры линейных систем с запаздыванием.

В первом параграфе главы 2 приводится алгоритм восстановления структуры линейной нестационарной системы, которая описывается векторным уравнением с запаздыванием вида

Ms) = ZAJ(s)x(s-yJX seT = [О, SI

м

x(v) = x0(v), v е [-г,0].

Здесь х е R4 - фазовый вектор системы, 0 = v, < v2 <... < v„ = г, vy, j e [1: n], -постоянные запаздывания, Aj(s), j e [1:«] - qx g-мерные матрицы. Начальное состояние системы jt0(v), ve[-r,0], - дифференцируемая функция такая, что i0 (v) е (-t,0;R4). Предполагается, что структура системы (матрицы Л} (t)) неизвестна. Известно лишь, что эти матрицы принадлежат фиксированным выпуклым, ограниченным и замкнутым множествам Fj.

Суть задачи состоит в построении алгоритма восстановления (реконструкции) неизвестных матриц Aj (t) по измерению (с ошибкой) фазовой траектории системы. Вся имеющаяся априори информация о системе -множества FJ; /е[1:л], начальное состояние т0(з) и запаздывания Vj,

/ер: и].

Входными данными алгоритма являются результаты измерения (с ошибкой) в достаточно частые моменты времени rt е Т, тм = г, + у, г0 = 0, у = const>0, фазового состояния системы x(s), 0<s<3. Этими результатами являются векторы е R4, удовлетворяющие неравенствам

Введем семейство линейных непрерывных операторов зависящих от функций хг(-) е С(Г;Д'?), и действующих из пространства К"4 в пространство Ь2(Т;ЯЧ). Именно, положим для любого и,бй"'!

(5(дгг(-)))(5)м = - т))и прип.в. э е.Т,

где 2(х(з),х(э - г)) =

щ1

х'(з) 0 ... О х'(1-У2) ••• 0 ••• •■• 0

О .*'(■*) ... О 0 ... О ... О ... О

О О ... х'(з) О Л. .х'(1-у2) :.. О ...

штрих означает транспонирование. Зададим взаимно однозначное отображение

" 2

<2:Ь2(Т-,\\Кмч)^>^{Т^К"4 ), которое каждому набору матриц

У=1

= /,2(Г;П«Г). где = ставит в

м

соответствие вектор-столбец иР(л) = £) = (¿»[¡'С?) ..........

^(^.••.^"'(^■ ..^'И,.-,^^).....в^СО/е/^/Г'). Здесь символ Я™

означает пространство матриц размерности ^ х дг с евклидовой нормой.

Пусть |

г,.VI!!

и,=\ие : ¿0) = ^(ХгО))^^) при пл. = 12(Т\И"я1),

где семейство линейных непрерывных операторов 5. (хт (■)): ¿г (Г; Л"' ) —> 12(Г;Л"), задается соотношением

Л(*г(-)Х«М-) = (/5(дгг(-)ХУМ«)^) прип.в. л-е7' („е £2(Г;Г<!)),

о

¿>(я) = х(у)-х0(я) прип.в. ■уе7\ В силу выпуклости, офаниченности и замкнутости множества С/, в

пространстве U, множество U* = argm¡n{¡]¡/¡(/ :ueU¡} одноэлементно:

и* = W-

Введем динамическую управляемую систему

¿(0 = tX0, *(0) = 0

на «искусственном» промежутке времени = [0,+оо). Состояние системы z(t), t e R+, и управление u(i) являются элементами гильбертова пространства U.

Для каждого 8> О, определим <5-траекторию zs(-), порожденную законом обратной связи U(í, z): U = х U QF,

zs{ 0) = 0, zs(t) = zs(tj)+uf(t-tj), /е[/,,/„,), t]=jS, új-eV(trzs(tj)).

Пусть закон формирования управления U(/,z) имеет следующий вид где

. .^) = ^прип.в.5е[г„г<+1), г е [0: /я -1],

£А(*) = *о(*» прип.в.*е[г„г/+1), /s[-(l + r ):-1], r, = —, rm = ^

т i?

= прип.в. je[r„rf+1), /е[0:от-1],

символом [а] обозначена целая часть числа а, а символом - скалярное произведение в пространстве U.

Возьмем последовательности положительных чисел {ат\, {hm } и {6,„} со свойствами:

а„О, А -» О, ¿_-»Q, L=mSm->+co,

т ' т ~ т • т т '

(20)

'm^m/a^-tO ПрИ Ш -> +СО.

Теорема 3. При выполнении условия (20) имеет место сходимость

Q'% '(О". = =

1

при о.

Во втором параграфе главы 2 рассматривается задача реконструкции структуры линейной стационарной системы, описываемой векторным уравнением вида

m-tAjxis-v^+tBjyis-Vj), seT = [0,9], (21)

М 7=1

п п

y(s) = £ 4,+Jx(s -Vj) + £B„tJy(s - Vs) с начальным условием

Цель параграфа состоит в построении алгоритма восстановления неизвестных матриц Ак, £е[1:2и], и части фазовой траектории системы (функции j(s), seT), по измерению (с ошибкой) другой части фазовой траектории, а именно x(s), seT. Заметим, что один и тот же «выход», т.е. траектория x(s), seT, может порождаться неединственным набором матриц Ак, ке\\-.2п\, и функций ^(i), seT. Учитывая этот факт, естественно восстанавливать, что мы и делаем во втором параграфе,, вообще говоря, не «истинные» матрицы Ак и неизвестную часть траектории y(s), ,.seT, t а некоторые другие (порождающее тот же "выход") матрицы А,к е Fk, к е [1: 2л], и функцию j»*(s), seT. Входными данными алгоритма являются результаты измерения (с ошибкой), в достаточно частые моменты времени г, еГ, г,+1 = г( + у, г0 = 0, у = const > 0, части фазовой траектории системы (21), а именно координат x(s), s е Т.

В последнем, третьем, параграфе главы приводятся результаты вычислительного эксперимента. Описанный в первом параграфе главы алгоритм иллюстрируется на модельном примере.

ПУБЛИКАЦИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК

1. В.И. Максимов, H.A. Федина. Метод управляемых моделей в задаче реконструкции нелинейной системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения, 2007, т. 43, № 1, с. 36-40.

2. H.A. Кузьмина, В.И. Максимов. О реконструкции управлений при изменении части координат нелинейной динамической системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения, 2010, т. 46, № 8, с. 1177-1190.

Другие публикации

3. В.И. Максимов, H.A. Федина. Задачи динамического обращения в системах с последействием // Известия Института математики и информатики. Ижевск, 2006, вып. 3 (37), с. 93-94.

4. Федина Н., Максимов В. О моделировании управлений в системах с последействием // Тез. докл. Всерос. науч. конф. «Математика, механика, информатика». Челябинск, 2006, с. 139.

5. H.A. Федина. Об одном алгоритме восстановления входов в системе с запаздыванием // Тр. 39-й Всерос. молодежной конф. «Проблемы теоретической и прикладной математики». 2008, с. 255-259.

6. В.И. Максимов, H.A. Федина. О. восстановлении матриц линейной системы с несколькими запаздываниями. // Сб. науч. тр. «Математическое моделирование и информационные технологии». Екатеринбург: Изд-во Урал, гос. экон. ун-та, 2008. С. 75-81.

7. H.A. Федина. К проблеме динамического восстановления входов в системе с запаздыванием // Тез. Всерос. конф. «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 г., с. 230.

8. Blizorukova М., FedinaN., Maksimov V. On reconstruction of structure of a linear system with time delay // Opuscula Mathematica, 2006, vol. 2, no. 2, pp: 57-67.

9. H.A. Кузьмина. Об одной задаче реконструкции для системы с запаздыванием // Тр. Седьмой Всерос. науч. конф. с международным участием, Самара, 3-6 июня 2010, Часть 2, с. 153-156.

10. M.S. Blizorukova, N.A. Kuzmina, V.l. Maksimov. On reconstruction of unknown coordinates and matrices of a linear delay system // Functional Differential Equations, 2011, Vol. 18, no. 1-2, pp. 73-88.

Введение.

ГЛАВА 1. ДИНАМИЧЕСКАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ ВХОДНЫХ

ВОЗДЕЙСТВИЙ И НЕИЗМЕРЯЕМЫХ КООРДИНАТ ФАЗОВОГО

СОСТОЯНИЯ.

§1.1. Метод управляемых моделей в задаче реконструкции неизвестных характеристик нелинейных систем с запаздыванием.

§ 1.2. Реконструкция входа при измерении всех координат.

§ 1.3. Реконструкция входов и части фазовых координат при измерении другой части координат.

§ 1.4. Результаты вычислительного эксперимента.

ГЛАВА 2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С

ЗАПАЗДЫВАНИЕМ.

§2.1. Восстановление структуры линейной нестационарной системы.

§ 2.2. Восстановление структуры и части фазовых координат линейной стационарной системы.

§ 2.3. Результаты вычислительного эксперимента.

Актуальность темы. Диссертация посвящена приложениям одного из основополагающих методов теории гарантированного управления — метода управляемых моделей — к задачам восстановления структуры динамических систем, описываемых уравнениями с последействием. В созданной H.H. Красовским и его последователями теории гарантированного управления указанный метод играет исключительно важную роль. Метод управляемых с помощью экстремального сдвига моделей, представляющий собой принцип мгновенного управления с учетом обратной связи, лежит в основе позиционных решений антагонистических дифференциальных игр, определяет структуру оптимальных гарантирующих законов управления, составляет базу регуляризованной процедуры управления с поводырем. Идея экстремального сдвига оказалась эффективной и при решении задач, находящихся за пределами теории управления. В числе таких задач — задачи устойчивого обращения управляемых систем, в первую очередь - динамического обращения. Теория динамического обращения концентрируется вокруг метода оперативного восстановления ненаблюдаемых входов, в основе которого лежит экстремальный сдвиг, соединенный с техникой регуляризации.

Задачи реконструкции структуры изучаемых объектов по доступной информации возникают во многих теоретических и прикладных исследованиях. Такие задачи относятся к классу обратных задач динамики управляемых систем и состоят в определении структуры, например, неизвестного входа системы, по результатам измерений ее выхода. При этом само уравнение, задающее динамику системы, может быть как известным, так и подлежащим определению. Таким уравнением может быть обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, функционально-дифференциальное уравнение и т.д. Входом служат величины, однозначно определяющие движение системы, ими могут быть управление (как функция времени), подаваемое на систему, начальное состояние и т.д.

Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, например, сигнал о текущей траектории системы.

Если доступная информация о выходных данных неточна, то обратные задачи динамики переходят в класс некорректных, и построение их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих алгоритмов. Существенный вклад в развитие теории некорректных задач внесли А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, А.Б. Куржанский, М.М. Лаврентьев, В .Г. Романов, Ф.Л. Черноусько, В.В. Васин, В.И. Агошков, Ф.П. Васильев, В.Я. Арсенин и др.

Алгоритмы регуляризации в указанных работах обрабатывают всю историю изменения входа, т.е. имеют апостериорный характер. Вопрос о построении позиционных (вольтерровых, динамических) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем был поставлен в работе A.B. Кряжимского и Ю.С. Осипова [27]. Там же приведен метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в «реальном времени» состояния аффинной по управлению системы. В исследовании [73] развита общая теория динамического обращения для обыкновенных дифференциальных уравнений. В основе описанных в указанных исследованиях алгоритмов лежит сочетание некоторых принципов теории позиционного управления [19—21] с моделью и методов теории некорректных задач [15, 33, 56, 57]. Процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, «отслеживает» неизвестный вход. С расчетом на возможность практической реализации алгоритм реконструкции строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, т.е. учитывает поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Данный подход успешно применялся к решению динамических обратных задач для различных классов систем В.И. Максимовым,

А.И. Коротким, В.Л. Розенбергом, И.А. Цепелевым, М.С. Близоруковой и другими авторами.

Первая глава диссертации продолжает исследования указанных выше авторов. В ней исследуются задачи динамического восстановления входных воздействий и неизмеряемых координат фазового вектора для некоторых классов динамических систем, осложненных эффектом последействия. При этом рассматриваются нелинейные по фазовым переменным системы.

Во второй главе диссертации рассматриваются задачи восстановления структуры линейных систем с запаздыванием. В отличие от главы 1, для решения этих задач применяются итерационные алгоритмы, обрабатывающие всю историю входа. Эти алгоритмы основаны на конструкциях работы [30], получивших развитие в исследованиях [68,24,25]. При создании представленных в главе 2 алгоритмов, как и в первой главе, также используются вспомогательные управляемые модели, описываемые уравнениями без запаздывания, фазовые пространства которых, однако, бесконечномерны. Законы управления этими системами также основаны на подходящих модификациях метода экстремального сдвига. Следует отметить, что в контексте задач обращения динамических систем представленные в главе 2 итерационные алгоритмы осуществляют последовательный направленный пересчет управлений (являющихся функциями времени) как элементов функционального пространства. Родственность итерационных и динамических методов во многом обусловлена тем фактом, что итерационный метод, формируя каждое новое приближение на базе информации о текущем приближении, на деле реализует принцип обратной связи для вспомогательной системы, в которой номер итерационного шага играет роль момента времени, а текущее приближение — роль текущего фазового состояния.

Цель работы. Построение и обоснование сходимости новых регуляризирующих алгоритмов для решения задач реконструкции структурных характеристик динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Разработка и апробация устойчивых к информационным помехам и погрешностям вычислений итерационных алгоритмов решения указанных задач.

Методы исследования. В основе методов исследования лежит известный в теории позиционного управления принцип вспомогательных, управляемых с помощью законов обратной связи, моделей. В работе систематически используются элементы теории дифференциальных уравнений, математической теории управления, функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты работы дополняют теорию обратных задач динамики управляемых систем, описываемых дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Разработанные в диссертации динамические, а также итерационные алгоритмы реконструкции структурных характеристик управляемых систем ориентированы на компьютерную реализацию и предназначены для работы в условиях неполной и меняющейся информации. Они устойчивы к информационным помехам и погрешностям вычислений.

Научная новизна. Основные результаты диссертации.

1. Для управляемой системы, описываемой нелинейным векторным дифференциальным уравнением с последействием, указан динамический алгоритм восстановления входного воздействия, основанный на методе экстремального сдвига, локально регуляризованного с помощью сглаживающего функционала. Установлены оценки сверху скорости сходимости алгоритма.

2. Решена задача динамического восстановления пары "управление-траектория" (при измерении части координат фазового вектора) для нелинейной системы, описываемой уравнением с последействием, в случае отсутствия ограничений на управление.

3. Построено семейство итерационных алгоритмов восстановления структуры линейной системы с запаздыванием по результатам неточных 6 измерений всех фазовых координат. Алгоритмы основаны на методе вспомогательных позиционно-управляемых моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в гильбертовом пространстве.

4. Сконструировано семейство итерационных алгоритмов восстановления структуры линейной нестационарной системы с запаздыванием, а также ненаблюдаемых координат фазовой траектории по результатам неточных измерений другой части фазовых координат.

Результаты диссертационной работы являются новыми.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. В каждой главе система нумерации утверждений и формул содержит два индекса, первый из них — номер параграфа, второй — номер объекта. Общий объем работы составляет 115 страниц машинописного текста.

1. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

2. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач. Новосибирск: Наука, 1978.

3. Арсенин В. Я., Гончарский A.B. Некорректно поставленные задачи и обратные задачи математической физики // Вестн. МГУ. Сер. Вычисл. математика и кибернетика. 1981. № 3. С. 13-17.

4. Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998, №2, с. 56-61.

5. Барбашин Е.А. Введение в иеорию устойчивости. М.Наука, 1967.

6. Бухгейм А. JI. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

7. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М: Наука, 1981.

8. Васильева Е.В. Максимов В.И. О динамической реконструкции управлений в дифференциальном уравнении с памятью. // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. N. 6. С. 813-821.

9. Васин В. В., Агеев А. JT. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

10. Вдовин A.IO. Оценки погрешности в задаче динамического восстановления управления. В кн.: Задачи позиционного моделирования. Свердловск. 1986. С.3-11.

11. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

13. Гусев М. И., Куржанский А. Б. Обратные задачи динамики управляемыхсистем. В кн.: Механика и научно-техн. прогресс. Т. 1. Общ. и прикл. механика. М.: Наука, 1987. С. 187-195.

14. Жевнин A.A., Колесников К. С., Криценко А. П., Толокнов В. И. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1985. №4. С. 29-35.

15. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

16. Кадиев А. М. Об обратной задаче динамического восстановления в системе с запаздыванием // Проблемы динамического управления: Сборник научных трудов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007, вып. 2, с. 100-105.

17. Короткий А. И. Восстановление управлений и параметров динамических систем при неполной информации // Изв. высш. учеб. заведений. 1998. № 11 (438). С. 109-120.

18. Короткий А. И. Динамическое восстановление управлений в условиях неопределенности // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 1. С. 21-24.

19. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

20. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

21. Красовский H.H., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

22. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.

23. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47. № 6. С. 815-825.

24. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Журнал выч. мат. и мат. физики. 1997. Т. 37. № 3. С. 119-125.

25. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Экстремальные задачи с отделимыми графиками // Кибернетика и систем, анализ. 2002. No. 2. С. 32-55.

26. Кряжимский A.B., Пащенко C.B. К решению линейной задачи быстродействия со смешанными ограничениями // ВИНИТИ. Итоги иауки и техники. Сер. Соврем, математика и ее прил. 2002. Т. 90. С. 232-260.

27. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. №2. С. 29-41.

28. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Обратные задачи динамики и управляемые модели // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука. 1987. Т. 1. С. 196-211.

29. Кряжимский A.B., Осипов Ю.С. Об устойчивом позиционном восстановлении управления по измерениям части координат. // Сб. науч. тр. Свердловск: УрО АН СССР, 1989. С. 33-47.

30. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

31. Куржанский А. Б., Сивергина И. Ф. Метод динамического программирования в обратных задачах оценивания для распределенных систем//ДАН. 1998. Т. 1.№2. С. 31-36.

32. Лаврентьев M. М. О некоторых некорректных задачах математическойфизики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

33. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, СО, 1980.

34. Максимов В. И. Метод функций Ляпунова в задачах реконструкции входов систем с последействием // Современная математика и ее приложения. Т. 26 (2005). С. 78-95.

35. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН. 2000.

36. Максимов В. И. Реконструкция входных воздействий при измерении части координат // В кн. «Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения». М.: ВИНИТИ, 2002. С. 137-171.

37. Максимов В.И., Пандолфи Л. О реконструкции неограниченных управлений в нелинейных динамических системах. // Прикладная математика и механика. 2001. Т.65. N 3. С.35-42.

38. Марчук Г. И., Агошков В. И., Шутяев В. П., Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М: Наука, 1993.

39. Марчук Г. И. Методы вычисл. математики. Новосибирск: Наука, 1973.

40. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990.

41. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

42. Никольский М. С. Об идеально наблюдаемых системах // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 7. № 4. С. 631-638.

43. Овсеевич А. И., Трущенков В. Л., Черноусько Ф. Л. Управления непрерывного гарантированного оценивания состояния динамических систем // Изв. АН СССР. Тех. кибернетика, 1984, №4.

44. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. Изд-во МГУ, 1999.

45. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод позиционной регуляризации в задаче о построении движения // Аннот. докл. 5-го Всесоюзн. съезда по теоретич. и прикл. механике. Алма-Ата: Наука Каз.ССР. 1981. С. 214.

46. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269. № 3. С. 552-556.

47. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. Метод функций Ляпунова в задаче моделирования движения // Устойчивость движения. Новосибирск, 1989. С. 53-56.

48. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Задачи динамической регуляризации для систем с распределенными параметрами. Препринт Института математики и механики УрО АН СССР. 1991. 104 С.

49. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Обратные задачи динамики для парабо лических систем // Дифференц. уравн. 2000. Т. 36. № 5. С. 579-597.

50. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала // Мат. заметки. 1974. С. 755-765.

51. Прилепко А. И., Соловьев В. В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента при младшей производной в параболическом уравнении // Дифференц. уравн. 1987. Т. 23. № 1. С. 136-143.

52. Ровенская Е.А. К решению задачи об оптимальном параметре совместности для одного класса уравнений в банаховом пространстве // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. т. 44. № 12. С. 2150-2166.

53. Розенберг В. Л. Задача динамического восстановления функции источника в параболическом уравнении // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург. 1995. Т. 3. С. 183-202.

54. Розенберг В. Л. Об одном алгоритме решения обратной задачи с112неполной информацией // Задачи моделирования и оптимизации. Свердловск: УрО АН СССР, 1991.

55. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

56. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

57. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1978.

58. Черноусько Ф. J1. Гарантированные оценки неопределенных величин при помощи эллипсоидов // ДАН СССР. 1980. Т. 252. № 1. с. 198-207.

59. Черноусько Ф. J1. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

60. Banks Н. Т., Wade J. G. Weak Tau approximations for distributed parameter systems in inverse problems // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1991. Vol. 12. No.l&2. P. 1-31

61. Brockett R. W., Mesarovich M. P. The reproducivility of multivariable control systems // J. Math. Anal, and Appl. 1965. Vol. 11. No. 1-3. P. 548-563.

62. Ermoliev Yu. M., Kryazhimskii A. V., Ruszczynski A. Constraint aggregation principle in convex optimization // Mathematical Programming. 1997. Series B, 76. P. 353-372.

63. Isakov V. Inverse source problems. Providence, R.I.: AMS, 1990.

64. Kadiyev A. M. and Maksimov V. I. Dynamical Discrepancy Method in an Input Reconstruction Problem for a Delay System // Functional Differential Equations. Vol. 14, 2007. No. 3-4. PP. 1-19.

65. Kappel F., Maksimov V. I. Robust dynamic input reconstruction for delay systems// Int. J. Appl. Math, and Сотр. Sci., 2000. Vol. 10. No. 2. P. 283-307.

66. Kryazhimskii A. V. Convex optimization via feedbacks // SIAM J. Control Optimization, 1999. Vol. 37. P. 278-302.

67. Kryazhimsky A.V. Optimization problems with convex epigraphs. Application to optimal control. // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2001. Vol. 11. No. 4. pp. 101-129.

68. Kryazhimskii A. V., Maksimov V. I., Osipov Yu. S. Reconstruction of boundary-sources through sensor observations. IIASA Working Paper. Laxenburg. Austria. WP-96-97. 1996.

69. Osipov Yu. S. Control problems under insufficient information // Proceeding of 13th IFIP Conference "System modelling and Optimization", Tokyo, Japan, 1987. Springer, 1988.

70. Osipov Yu. S. On reconstruction of a parameter of dynamical system // Proceeding of the International Symposium on Functional Differential Equations, Kyoto, Japan, 30 August—2 September 1990. P. 309-317.

71. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A. V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Gordon and Breach. London. 1995.

72. Sain M. K., Massey J. L. Invertibility of linear time-invariant dynamical systems//IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. AC-14. P. 141-149.

73. Silverman L. M. Inversion of multivariable linear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1969. Vol. AC-14. P. 270-276.

74. В.И. Максимов, H.A. Федина. Метод управляемых моделей в задаче реконструкции нелинейной системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения, 2007, т. 43, № 1, с. 36-40.

75. Н. А. Кузьмина, В. И. Максимов. О реконструкции управлений при изменении части координат нелинейной динамической системы с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения, 2010, т. 46, № 8, с.1141177-1190.

76. В.И. Максимов, Н.А. Федина. Задачи динамического обращения в системах с последействием// Известия института математики и информатики. Ижевск, 2006, вып. 3 (37), с. 93-94.

77. Федина Н., Максимов В. О моделировании управлений в системах с последействием // Тезисы докладов Всероссийской научной конференции «Математика, механика, информатика». Челябинск, 2006, с. 139.

78. Н.А. Федина. Об одном алгоритме восстановления входов в системе с запаздыванием Н Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики». 2008, с. 255-259.

79. В.И.Максимов, Н.А. Федина. О восстановлении матриц линейной системы с несколькими запаздываниями. // Сб. науч. тр. «Математическое моделирование и информационные технологии». Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2008. С. 75-81.

80. Н.А. Федина. К проблеме динамического восстановления входов в системе с запаздыванием. Тез. Всерос. конф. «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 г., с. 230.

81. Blizorukova М., Fedina N., Maksimov V. On reconstruction of structure of a linear system with time delay // Opuscula Mathematica, 2006, vol. 2, no. 2, pp. 57-67.

82. H. А. Кузьмина. Об одной задаче реконструкции для системы с запаздыванием. Труды Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием, Самара, 3-6 июня 2010, Часть 2, с. 153—156.

83. М. S. Blizorukova, N. A. Kuzmina, V. I. Maksimov. On reconstruction of unknown coordinates and matrices of a linear delay system // Functional Differential Equations, 2011, Vol. 18, no. 1-2, pp. 73-88.