Метрическая геометрия нерегулярных пространств Карно - Каратеодори тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Селиванова, Светлана Викторовна АВТОР
кандидат физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ
2011 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.01 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Метрическая геометрия нерегулярных пространств Карно - Каратеодори»
 
Автореферат диссертации на тему "Метрическая геометрия нерегулярных пространств Карно - Каратеодори"

На правах рукописи

СЕЛИВАНОВА Светлана Викторовна

МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

КАРНО - КАРАТЕОДОРИ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2011

1 9 МАЙ 2011

4847365

Работа выполнена в Институте математики им. С. JI. Соболева СО РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Водопьянов Сергей Константинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Берестовский Валерий Николаевич

доктор физико-математических наук, доцент Васильчик Михаил Юлианович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское Отделение Математического Института им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится 9 июня 2011 года в 15 — 00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. JI. Соболева СО РАН (630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коптю-га, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 6 мая 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

А. Е. Гутман

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В данной работе мы исследуем некоторые геометрические, алгебраические и аналитические аспекты теории пространств Карно - Каратеодорн, обобщающих классические субри-мановы пространства и важных для многих приложений, включая теорию оптимального управления, теорию субэллиптических уравнений и др. Приведем мотивацию проводимых исследований и осветим основные этапы развития субримановой геометрии и ее обобщений.

Напомним, что локально произвольное векторное поле на многообразии М может быть представлено в виде дифференциального опера-

тора первого порядка Х^ = действующего на функцию

/ € С°°(М), а гладкость векторного поля Х1 определяется гладкостью его координатных функций а^(х). Коммутатор двух векторных полей определяется по формуле Х0] = XiX3 — XjXi и также является векторным нолем.

Субримановым пространством М называется связное гладкое рима-ново многообразие с заданными на нем горизонтальными С°°-гладк1Ши векторными полями {Х1,... ,Хт}, которые всеми своими коммутаторами вплоть до некоторого конечного порядка М порождают все касательное пространство к М в каждой точке (условие Хёрмандера). Число М называется глубиной субриманова пространства. Горизонтальные векторные поля естественным образом индуцируют фильтрацию касательного расслоения

ЯМ = Я! С Я2 С ... С Нм = ТМ,

элементы которой

обладают свойством [Н\, Я;] = Я1+1.

Точка и £ М называется регулярной, если существует некоторая ее окрестность, в которой размерности всех II^ постоянны, иначе точка называется нерегулярной.

Отметим, что случай нерегулярных точек существенно отличается от случая точек регулярных. Например, на К2 горизонтальные векторные поля ЯМ = нрап!^, хШ)ду} задают структуру субриманова пространства глубины М = 101 (точки, для которых х = 0, нерегулярны), в то время как регулярных субримановых структур на К2 не существует. Поэтому методы работы с нерегулярными субримановыми пространствами основаны на новых, по сравнению с регулярным случаем, идеях.

Субримановы пространства моделируют физические процессы, в которых движение возможно лишь вдоль нескольких выделенных "горизонтальных" направлений (в частности, такие пространства описывают конфигурационное пространство в неголономной механике подобно тому как римановы пространства — в классической, т. е. голономной, механике) и естественным образом возникают во многих приложениях и смежных областях математики (см. [1,3,11,13,16,22,24,27,30,32,34,36,37] и ссылки в этих работах).

В 1967 г. в работе [24] Л. Хёрмандер доказал, что условие о порождении всего касательного пространства коммутаторами горизонтальных векторных полей {Л'о, Х\,..., Хт} является необходимым и достаточным условием гипоэллиптичности дифференциального оператора второго порядка

Р = ^2Х? + Хо+с-1=1

Уравнения Ри = / называются субэллиптическими или вырожденными эллиптическими уравнениями (простейшим примером таких уравнений является уравнение Колмогорова, описывающее процесс диффузии).

В 1971 г. И. Стейн выдвинул программу исследования геометрии векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера, с целью изучения геометрии особенностей ядер фундаментальных решений субэллиптических уравнений.

В 1976 г. Л. Ротшильд и И. Стейн [34] показали, что в окрестности регулярной точки субриманово пространство можно приблизить ниль-потентной стратифицированной группой Ли, а также предложили метод сведения некоторых вопросов для нерегулярных точек к случаю регулярных точек. Этот метод основан на вложении исходного про-

странства в регулярное субриманово пространство большей размерности. Позже были предложены различные его модификации и обобщения [18,20,25,26], идеи некоторых из которых мы используем в настоящей работе.

Дальнейшее изучение теории субэллиптических уравнений привело к необходимости выработки более общих постановок задач, в частности ослабления условия Хёрмандера [18,32] и снижения требований на гладкость порождающих пространство векторных полей [14,29].

Что касается теории оптимального управления: тот факт, что любые две точки многообразия М можно соединить кривой, являющейся решением системы уравнений

x = Y^ai{t)Xi(x) (1)

(т. е. другими словами, управляемость этой системы) эквивалентен базовому факту субримановой геометрии — теореме Рашевского — Чоу [9,17] о том, что любые две точки можно соединить горизонтальной кривой при выполнении условия Хёрмандера. Элементарный вариант этой теоремы (при m = N — 1) был доказан еще в начале XX века Каратеодори в связи с вопросами термодинамики Карно. Следует отметить, что в практически важных задачах ранг системы векторных полей {Х\,..., Хт] редко бывает постоянен в каждой точке, поэтому рассмотрение нерегулярных точек становится принципиальным.

Отметим актуальность рассмотрения более общей постановки задачи [10,19], когда зависимость от управляющего параметра нелинейная:

х = f(x, a), xeRN,aeRm х(0) = х0.

Необходимым условием локальной управляемости этой системы является следующее условие:

span jh(0) : h е Lie j 0), a € NM J J = TXoM.

Естественным образом возникает фильтрация касательного расслоения: обозначим

Тогда Но С Н\ С ... С Нм = ТМ. Эта фильтрация обладает свойством [#г, #,] С Нг+з- Таким образом, и для теории оптимального управления важно рассмотрение пространств, заданных более общей фильтрацией, чем классические субримановы пространства.

Кроме того, и в задачах теории оптимального управления интересен вопрос о снижении гладкости задающих систему векторных полей, см., например, работу [33], в которой рассматривается случай липшицевых векторных полей и глубины М = 2.

Следует также упомянуть о появлении новых моделей в нейробио-логии, описываемых геометрией Карно - Каратеодори, для уточнения которых существенно понизить требования на гладкость векторных полей до минимальных.

Таким образом, бурное развитие субримановой геометрии и ее приложений привело к появлению множества различных определений, задач и подходов. В данной работе мы формулируем обобщающую концепцию пространств Карно - Каратеодори, охватывающую широкий спектр описанных выше подходов и приложений, и исследуем свойства полученного объекта.

Поясним теперь актуальность основных задач, которые решаются в диссертации.

Вернемся к рассмотрению системы (1). Пусть А{Ь,хо) — множество всех точек, достижимых из точки хо за время 0 ^ т ^ В силу условия Хёрмандера множество А(Ь,хо) непусто. Изучение его структуры может быть сложным. С помощью стандартной линеаризации получаем систему, для которой это множество может быть пусто. В качестве аппроксимации, которая сохраняет субриманову структуру, подходит нильпотентная аппроксимация. Различные варианты предлагались в [11,12,20,23,34], их построение тесно связано с выбором удобной для вычислений системы координат.

Я( := йрап{[/1,..., [/¿_1, /¿]] | £ , + ... + ¡л ^ /}.

Проблема выбора аппроксимаций ставится следующим образом: найти аппроксимацию исходных векторных полей векторными полями {X"}, которые образуют нильпотентную алгебру Ли и таковы, что

X, = X" + Щ,

где векторные поля имеют больший порядок малости. Условие нильпотентности сильно упрощает вычисления, поскольку коэффициенты векторных полей становятся полиномиальными. При этом естественно пытаться подобрать поля {X"} так, чтобы все их коммутаторы в точке и совпадали со значениями соответствующих коммутаторов исходных векторных полей {X"). Такой выбор аппроксимаций возможен для свободных векторных полей [34] (при этом точка является регулярной); в общем же случае нильпотентных аппроксимаций с таким свойством может не существовать. Однако, возможен выбор нильпотентных аппроксимаций такой, что Нк(и) = Нк{и), где

Нк(и) = 8рап{[Х£,..., [XV , XV ]](«)}.

В связи с теорией оптимального управления встает вопрос о расхождении интегральных линий векторных полей {А';} и {X"}. Получение оценок расхождения позволяет построение алгоритмов планирования движения для системы (1) [26] и оценивать их сложность.

Тесно связан с построением нильпотентных аппроксимаций вопрос о локальной структуре субримановых пространств.

Хорошо известно, что риманово многообразие с первым порядком точности приближается евклидовым пространством. В 1981 г. М. Громов предложил понятие касательного конуса к метрическому пространству [21], обобщающее понятие касательного пространства к гладкому многообразию (касательный конус к риманову пространству в каждой точке — евклидово пространство). Касательный конус к (X, £) в точке х £ X определяется как предел пунктированных метрических пространств (X, .т, А • (I) при Л —> оо, при этом сходимость вводится с помощью расстояния по Громову — Хаусдорфу между двумя абстрактными метрическими пространствами.

Отмстим, что из теоремы Рашевского - Чоу вытекает существование на субримановом пространстве внутренней метрики Карно - Каратео-дори (Iс, определяемой как точная нижняя грань кривых, соединяющих две данные точки.

В 1985 г. Дж. Митчелл [28], в 1996 М. Громов [22], А. Беллаиш [И], в 2001 г. Ф. Жан [26] доказали существование и исследовали алгебраическую структуру касательного конуса к субримановому пространству: это есть нильпотентная стратифицированная группа Ли в регулярной точке и фактор-пространство такой группы по ее подгруппе изотропии (относительно естественном образом определяемого действия) в нерегулярной точке.

При рассматриваемых нами обобщениях, большинство классических методов изучения локальной и метрической геометрии пространств Кар-но - Каратеодори неприменимы, требуется выработка новых подходов. В частности, теорема Рашевского - Чоу может быть неверна, и внутренней метрики в,с может не существовать. Возможно введение различных квазиметрик [32] (основное отличие квазиметрики от метрики заключается в том, что неравенство треугольника выполнено лишь в обобщенном смысле, т. е. с некоторой константой). По ряду причин, прямолинейное обобщение теории Громова на квазиметрические пространства невозможно. Таким образом, становится актуальным вопрос о введении адекватного определения касательного конуса к квазиметрическому пространству, которое естественным образом обобщало бы определение Громова для метрических пространств, и исследование вопроса о существовании и структуре касательного конусе к квазиметрическому пространству Карно - Каратеодори.

Для случая регулярных пространств Карно - Каратеодори вопросы локальной геометрии при минимальной гладкости векторных полей изучались в [4-7,27]. В 2007-2010 гг. С. К. Водопьянов и М. Б. Кар-манова предложили новый подход, позволяющий доказать, для случая регулярных точек и С1,"-гладких векторных полей (а > 0), аналоги большинства классических теорем субримановой геометрии. В частности, они доказали теоремы о построении нильпотентных аппроксимаций, о расхождении интегральных линий, локальную аппроксимацион-

ную теорему в одной из квазиметрик, введенных в [32].

Вопрос о локальной структуре нерегулярных квазиметрических пространств Карно - Каратсодори исследуется в настоящей работе впервые.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С. К. Водопьянову за постановку задач, плодотворные дискуссии и неоценимую поддержку в работе. Автор также благодарит М. Б. Карманову за консультацию по поводу работы [7].

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1. Сформулировать обобщающую концепцию нерегулярных (квази)метрических пространств Карно - Каратеодори, охватывающую описанный выше широкий спектр приложений и подходов, и исследовать локальную геометрию таких пространств;

2. Построить адекватную метрическую теорию и изучить алгебраическую структуру касательного конуса к пространству Карно — Каратеодори.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ. 1. Исследована локальная геометрия (квази)метрических пространств Карно —Каратеодори класса См+1 (здесь М — глубина пространства) в окрестности нерегулярной точки. Доказаны теорема о расхождении интегральных линий и локальная аппроксимационная теорема.

2. Построена теория сходимости для квазиметрических пространств, обобщающая классическую теорию Громова для метрических пространств.

3. Доказано существование и исследована алгебраическая структура касательного конуса к нерегулярному (квази) метрическому пространству Карно — Каратеодори.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Методика исследования основывается на синтезе и обобщении работ [23,26,27,32,34]. Кроме того, в работе развиты новые методы работы с квазиметрическими пространствами, в частности, квазиметрическими пространствами Карно — Каратеодори.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты работы имеют теоретическое значение. Методы и результаты работы могут быть применены в неголономной теории управления для постро-

ения алгоритмов планирования движения и оценки их сложности, а также в теории субэллиптических уравнений.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на International Congress of Mathematicians (19-27 August 2010, Hyderabad, India); на International conference «New trends in sub-Riemanian geometry» (29 March-2 April 2010, Nice-Sophia Antipolis, Prance); на Международной школе-конференции по геометрическому анализу (2-9 августа 2010, Горно-Алтайск); на Российской конференции «Топоноговские чтения 2010» (С марта 2010, Новосибирск); на International conference «Harmonic analysis, geometric measure theory and quasiconformal mapping» (14-20 June 2009, Belaterra, Spain); на Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (14-20 сентября 2009, Новосибирск); на Международной конференции «Mal'tsev Meeting», посвященной 100-летию со дня рождения А. И. Мальцева (24-28 августа 2009, Новосибирск); на Международной школ е-конференции по геометрическому анализу (17-21 августа 2009, Горноалтайск), на XLVII Международной студенческой конференции (13-17 апреля 2009, Новосибирск); на семинаре «Геометрический анализ» Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН под руководством С. К. Водопьянова; на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им. С. JI. Соболева СО РАН под руководством Ю. Г. Решетняка.

По результатам работы получены стипендия Сибирского математического журнала (2009 г.), стипендия Московского Независимого Университета (2010 г.) и премия «Лучшие аспиранты РАН» (2010 г.).

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в [40]- [53].

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация изложена на 137 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 87 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. В первой главе мы приводим основные понятия, примеры и известные результаты теории пространств Кар-но - Каратеодори и смежных метрических вопросов, необходимые для дальнейшего. А именно, в п. 1.1 мы приводим примеры и некоторые базовые факты "классической" субримановой геометрии. В частности, вводится метрическая структура на субримановом пространстве. П. 1.2 посвящен изложению основ теории Громова сходимости метрических пространств и их обобщений [3]. Кроме того, в этом пункте фомули-

руется теорема о касательном конусе к субриманову пространству с внутренней метрикой Карно — Каратеодори, сухдествующей по теореме Рашевского — Чоу. В п. 1.3 приведены некоторые базовые сведения о квазиметрических пространствах.

Определение. Квазиметрическим пространством (X,dx) называется топологическое пространство X с заданной на нем квазиметрикой dx- Квазиметрикой называется отображение dx '■ X х X —> Е+, обладающее следующими свойствами:

(1) dx(u, v) ^ 0; dx(u,v) = 0 тогда и только тогда, когда и = v;

(2) dx(u,v) ^ cxdx(v,u), где 1 < сх < °о — некоторая константа, общая для всех и, и € X;

(3) dx(u,v) ^ Qx(dx(u,w) + dx{w,v)), где 1 ^ Qx < оо — некоторая константа, общая для всех u,v,w € X (обобщенное неравенство треугольника);

(4) функция dx(u,v) полунепрерывна сверху по первому аргументу.

Если сх = Qx = 1) то (X,dx) — метрическое пространство.

П. 1.4 посвящен обзору основных результатов работ [4,7,27] по локальной геометрии регулярных квазиметричесих пространств Карно — Каратеодори. П. 1.5 — по локальной геометрии многообразий Карно [4,27]. '

Вторая глава посвящена изучению локальной геометрии квазиметрических пространств Карно - Каратеодори в нерегулярной точке.

В п. 2.1 мы формулируем обобщающую концепцию пространств Карно - Каратеодори, которая охватывает

1) "классические" субримановы пространства, заданные набором "горизонтальных" векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрманде-ра (при этом условия на гладкость могут быть минимально возможные, как в [14,29,33]);

2) регулярные пространства Карно - Каратеодори, рассматриваемые в работах [4-7,27);

3) определение работы [18], в котором горизонтальные векторные поля могут иметь различные формальные степени, и более общее определение [32].

Определение. Связное гладкое многообразие М размерности dim М = N назовем пространством. Карно - Каратеодори класса С'р, если суще-

ствует фильтрация касательного расслоения

ЯМ = Я! С #2 С ... С Нм = ГМ и набор векторных полей Х\, ...,Хч 6 Ср(11), V С М, такие, что Нк=5-раа{ХиХ2,...,Хцк}, к = 1,2,...,М, Щ ^ ц

[Я,, н3\ с нг+г

Здесь под коммутатором подразумевается линейная оболочка

коммутаторов векторных полей, порождающих Я, и Я^-; Ик ^ сНтЯ*;, где (ИтЯ*,. — максимальная размерность элемента фильтрации Н^ в окрестности I/ (вообще говоря, размерность может меняться от точки к точке). При этом допускается случай, когда Я5 = ... = Я¿0 = {0} для некоторого 1 ^ ¿о < М.

Минимальное число М элементов фильтрации называется глубиной пространства Карно - Каратеодори.

В настоящей работе мы исследуем пространства Карно - Каратеодори класса См+1 и предполагаем, что каждому векторному полю присвоена степень = 1 < ¿\ < <¿2 ^ • • • ^ <1Ч ^ М. Обозначим через

Х1 = [Х^, [..., ...]

коммутатор порядка к — 1, где I = (гь... — произвольный мульти-индекс. Предположим, что

5рап{Х/(^)}|/) = Ту М

для всех V & и, где \1)ь = с^ + ... + Будем также считать, что Х1 £ См+1(и) для всех мультииндексов I таких, что \1\н ^ М.

Тогда векторные поля задают на II структуру простран-

ства Карно - Каратеодори класса См+1. При этом Я, = 5рап{Х/}|/|,<у.

В п. 2.2 мы приводим примеры пространств Карно - Каратеодори, которые не являются субримановыми пространствами в классическом смысле. В связи с этим следует отметить два важных обстоятельства: 1. В рассматриваемой ситуации может возникать следующий неожиданный эффект: при разных расстановках весов для одних и тех же

векторных полей можно получать различные комбинации соотношения регулярных и нерегулярных точек на пространстве Карно - Каратеодо-ри (в п. 2.2 приведены соответствующие примеры). В связи с этим необходимо модифицировать процедуру выбора базиса, по которому будет строиться система координат (см. различные способы выбора базисов в [11,23,26,32]: "нормальный" базис, "минимальный" базис, "ассоциированный" базис, базис удовлетворюящий условию максимальности объема и т.д.).

2. В рассматриваемых предположениях теорема Рашевского — Чоу, влекущая существование на (У внутренней субримановой метрики, может быть неверна. В связи с этим, для измерения расстояний мы рассматриваем следующую функцию (одну из предложенных в [32] для удобства вычислений) и доказываем, что она является квазиметрикой на I/:

р(у, ъи) = > 0 | существует кривая 7 : [0,1] —► и такая, что

7(0) = и17(1) = «',7(*)= X! ™Л(7(г)),Ы

Отметим, что для случая регулярных пространств Карно - Каратео-дори введенная квазиметрика совпадает с рассматриваемой в [5-7, 27] квазиметрикой (100. П. 2.3 посвящен выбору базиса.

В п. 2.4 с помощью выбранного базиса строится система координат второго рода, в которой производится построение нильпотентных аппроксимаций {Х/}|.г|,,^лг> обобщающее схему, предложенную в [23]. Следует заметить, что, в отличие от случая регулярных пространств Карно - Каратеодори, согласования начальных данных Х](и) = Х^(и) в общем случае может не быть.

Одним из ключевых технических инструментов при изучении локальной геометрии пространств Карно - Каратеодори является изложенная в п. 2.6 конструкция свободных векторных полей, продолжающих данные на регулярное пространство Карно - Каратеодори М = М х Ел'~л' большей размерности N ^ N. Эта конструкция синтезирует и обобщает методы работ [18,26] и позволяет применить результаты работ [4,27] по регулярным пространствам Карно - Каратеодори.

В п. 2.7 изучаются свойства квазиметрик р и ри, где ри строится в п. 2.5 по векторным полям {-AT" }|/|h^Ai так же, как р по исходным векторным полям Наиболее важным для редукции к слу-

чаю регулярных точек является замечание о неубывании квазиметрики

при переходе к многообразию М: если р и ри — квазиметрики на М,

построенные по продолженным полям и соот-

ветственно, то

p{v,w) < p((v,p),(w,q)), pu{v,w) < pu{(v,p),(w,q))

для всех p,q 6 RN~N. Аналог этого свойства был впервые установлен в [34] для классических субримановых пространств с метриками Карно — Каратеодори.

Кроме того, мы доказываем следующие геометрические свойства (т. н. лемма о прокатывании шара, см. аналоги для регулярного случая в [5,27]):

(J BpU(x,OQBpu{v,r + CO,

xeß',u(v,r)

(J Bp{x,Z) + +

xeB»(v,r)

П. 2.9 посвящен доказательству ключевых результатов главы 2: теоремы о расхождении интегральных линий и локальной аппроксимаци-онной теоремы.

Определение. Пусть u,v € С/, г > 0. Расхождением интегральных линий с центром нильпотентизации и по шару радиуса г с центром в точке V назовем величину

R(u,v,r) = max{ sup {pu(y,£)}, sup {p{y,y)}}-

Здесь точки у и у определяются следующим образом. Пусть 7(t) — произвольная кривая такая, что

f7(t)= £ bjXfi 7(t)), < l/UCM

17(0) = v, 7(1) = у,

pu{v,yH max {|b7|1/|i|h}<r. | / U ^ А/

Определим y = exp( ^ bjX\L)(v). Таким образом, точная верхняя \I\h^M

грань в первом выражении берется не только по точкам у € Вр (и,г), но и по соответствующим им наборам Аналогичным образом

интерпретируется второе выражение.

Основными результатами второй главы являются следующие две теоремы.

Теорема (о расхождении интегральных линий). Пусть u,v £ U, p(u,v) = O(s), г = 0(е) и Bp(v,r) U Вр (v,r) С U. Тогда верна следующая оценка на расхождение интегральных линий:

R(u,v,r) = 0(e1+w).

Теорема (локальная аппроксимационная теорема для квазиметрик). Для произвольной точки u £ [/ и точек v, w G U таких, что р(и, v) = 0{е), p(u,w) = О(е), справедлива оценка

\p(v,w)~pu(v,w)\ = 0(£1 + ъ).

В главе 3 разработанные в предыдущей главе методы применяются для исследования частного случая пространств Карно - Каратеодори, когда можно доказать соединимость двух произвольных точек горизонтальной кривой (аналог теорем Рашевского - Чоу).

В п. 3.2 мы доказываем локальную аппроксимационную теорему в метрике Карно - Каратеодори для случая горизонтальных полей класса

удовлетворящих условию Хёрмандера с шагом М, коммутаторы которых также принадлежат классу См+1.

Теорема (локальная аппроксимационная теорема для метрик Карно-Каратеодори). Для произвольной точки и G U и точек и, w G U таких, что dc(u,v) — О(е), dc(u,w) = 0(s), справедлива оценка

\dc(v,w)-d«(v,w)\ = 0(£l+û).

При этом методы доказательства являются новыми по сравнению с методами работы [11] для С°°-гладких полей. В частности, мы не используем специальных "привелигированных" координат и метода типа Ньютона.

П. 3.3 посвящен обобщению теоремы Рашевского — Чоу на случай горизонтальных См- гладких векторных полей, удовлетворяющих условию Хёрмандера с шагом М (при этом дополнительная гладкость коммутаторов высших порядков не предполагается).

Теорема (аналог теорем Рашевского-Чоу). Пусть горизонтальные векторные поля Х\,Х2, • • ■, Хт б См удовлетворяют условию Хёрмандера шага М — 1 на U. Тогда любые две точки v, w £ U можно соединить горизонтальной кривой.

Такое обобщение возможно за счет применения другой техники продолжения до свободных векторных полей [14,25], не требующей построения нильпотентных аппроксимаций, и доказанного в [7,27] аналога теоремы Рашевского — Чоу для регулярных многообразий Кар по класса С1'". Аналогичное утверждение было получено ранее в [14] с применением специального сложного аппарата "почти экспоненциальных отображений".

Глава 4 посвящена построению теории сходимости квазиметрических пространств, обобщающей теорию Громова для метрических пространств, а также доказательству существования и исследованию алгебраической структуры касательного конуса к квазиметрическому пространству Кар но - Каратеодори, в смысле введенной сходимости.

Отметим, что прямолинейное обобщение теории Громова на случай квазиметрических пространств невозможно, поскольку расстояние по Громову - Хаусдорфу между двумя произвольными ограниченными квазиметрическими пространствами равно нулю [5].

В п. 4.1 мы вводим расстояние dqm(X,Y) между двумя квазиметрическими пространствами (X,dx) и (Y,dy) как инфимум чисел р > О, для которых существуют такие (не обязательно непрерывные) отображения / : X -»У и g : У —> X, что

max J dis(/), dis{g), sup dx(x,g{f{x))), sup dY(y, f{g(y))) ^ < p.

I xex yeY )

В этом же пункте доказано обобщенное неравенство треугольника для с/Г1ГП для классов квазиметрнческих пространств, константы из обобщенного неравенства треугольника для которых ограничены в совокупности.

Отметим, что, когда X и У — метрические пространства, введенное расстояние эквивалентно расстоянию Громова - Хаусдорфа дсн■

Далее, в п. 4.2 мы доказываем единственность предела последовательности компактных квазиметрических пространств в смысле сходимости по расстоянию с/что.

В п. 4.3 вводится сходимость для некомпактных пространств:

Определение. Последовательность (Хп,рп) пунктированных квазиметрических пространств сходится к пунктированному квазиметрическому пространству (Х,р), если существует такая числовая последовательность ёп —» 0, что для любого г > О существуют отображения /П)Г : В(р„, г + 5п) X, дп,г ■ В4х (р, г + 25п) -> Хп такие, что

(1) /т»,г(Рп) =Р, 9п,г(р) =Рп;

(2) сИз(/П|Г) < ¿„, с118(дп г) < <5П;

(3) вир ¿хп(х,дп>г(/пЛх))) <5п-

хеВ^п (Рп,г+<5„)

Теорема (корректность определения). Пусть (Х,р), (У,д) — два полных пунктированных квазиметрических пространства, являющихся пределами одной и той же последовательности (Хп,рп) такой, что константы {¿2х„} ограничены в совокупности: |<5х„| ^ С для всех п € N. Если X ограниченно компактно, то пространства (Х,р) и (К,?) изомет-ричны.

Введенное определение позволяет ввести понятие касательного конуса к ограниченно компактному квазиметрическому пространству как предел масштабированных пространств, по аналогии с определением Громова.

Кроме того, в п. 4.5 доказаны эквивалентность, для метрических пространств, вводимых определений определениям [3].

Отметим, что альтернативный подход введения определения сходимости для компактных квазиметрических пространств был предложен А. В. Грешновым в [5].

Основные результаты четвертой главы сформулированы в п. 4.6:

Теорема. Пусть М — пространство Карно — Каратеодори из определения класса См+\ и € и СМ — произвольная точка (возможно, нерегулярная).

Тогда квазиметрическое пространство (и,ри) является локальным касательным конусом в точке и к квазиметрическому пространству (V, р) При этом касательный конус имеет алгебраическую структуру однородного пространства С/Н (здесь С? — нильпотентная градуированная группа Ли).

Теорема. Пусть пространство Карно-Каратеодори М задано горизонтальными векторными полями класса См+1, коммутаторы которых также принадлежат классу См+1.

Тогда метрическое пространство (¡7, с(") является локальным касательным конусом в точке и к метрическому пространству (Ы,йс). При этом касательный конус имеет алгебраическую структуру нильпотент-ной стратифицированной группы.

Теорема. Пусть М — регулярное пространство Карно - Каратеодори, заданное системой векторных полей Х\, Х2, ■ ■ ■ При этом верны следующие предположения на гладкость: либо XI € С1'", где а > О, г = 1,... либо Хг ё С1, г = 1,... и М = 2, где М — глубина пространства Карно — Каратеодори.

Тогда квазиметрическое пространство (11,(Г^) является локальным касательным конусом в точке д к регулярному квазиметрическому пространству (11, с/оо). При этом касательный конус имеет алгебраическую структуру нильпотентной градуированной группы Ли.

Глава 5 посвящена разработке единого синтетического аксиоматического подхода к описанию локальных касательных конусов к (ква-зи)метрическим пространствам Карно — Каратеодори.

В п. 5.1 мы применяем разработанную нами теорию для доказательства существования касательного конуса для более общего класса пространств - абстрактных (квази)метрических пространств с растяжениями [15,42].

В п. 5.2 приведено исследование алгебраической структуры касательного конуса к (квази)метрическому пространству с растяжениями. Мы доказываем, что

1) регулярные пространства Карно - Каратеодори являются приме-

рамп (квази)метрических пространств с растяжениями;

2) локальный касательный конус к квазиметрическому пространству с растяжениями имеет ту же алгебраическую структуру, что и локальный касательный конус к пространству Карно-Каратеодори в регулярной точке (нильпотентная градуированная группа Ли).

Утверждения 1), 2) дают аксиоматический подход к теории локальных касательных конусов регулярных субримановых пространств. При этом доказательство п. 2) интересно само по себе. Основной идеей является применение теоремы Мальцева о локальных и глобальных топологических группах [8], что позволяет избежать трудностей, связанных с изучением локальной версии Пятой проблемы Гильберта [31].

Результаты последней главы получены совместно с С. К. Водопьяновым.

Как отмечено в [41], результаты этой главы позволяют построить теорию дифференцируемости отображений пространств с растяжениями по аналогии с концепцией работ [38,39] для регулярных пространств Карно — Каратеодори.

Список литературы

[1] Аграчев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматгиз. 2004.

[2] Берестовский В. Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. I. Сиб. Мат. Журн. 1989. Т. 30, № 2. С. 14-28.

[3] Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. М.-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований. 2004.

[4] Водопьянов С. К., Карманова М. Б. Локальная аппроксимационная теорема на многообразиях Карно в условиях минимальной гладкости векторных полей // Докл. Акад. Наук. 2009. Т. 427, № 3. С. 305-311.

[5] Грешнов А. В. Локальная аппроксимация равномерно регулярных квазипространств Карно — Каратеодори их касательными конусами // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 68, № 2. С. 290-312.

[6] Грешнов А. В. О применении методов группового анализа дифференциальных уравнений для некоторых систем С1-гладких неком-мутируюшдх векторных полей // Сиб. матем. журн. Т. 50, JV8 1. С. 47-62.

[7] Карманова М. Б. Новый подход к исследованию геометрии пространств Карно-Каратеодори // Докл. Акад. Наук. 2010. Т. 434, № 3. С. 309-314.

[8] Мальцев А. И. О локальных и полных топологических группах // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32, № 9. С. 606-608.

[9] Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне него-лономного пространства допустимой линией // Учен. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. К. Либкнехта. Сер. физ.-мат. 1938. Т. 3, № 2. С. 83-94.

[10] Agrachev A., Marigo A. Nonholonomic construction and rigid dimensions // Electron. Res. AMS. 2003. V. 9. P. 111-120.

[11] Bellaiche A. The tangent space in sub-Rieinannian geometry // Sub-Riemannian geometry. Birkhauser, Basel. 1996. V. 144. P. 1-78.

[12] Bianchini R. M., Stefani G. Graded approximation and controllability along a trajectory // SIAM J. Control Optim. 1990. V. 28. P. 903-924.

[13] Bongfioli A. Lanconelli E. Uguzzoni F. Stratified Lie groups and potential theory for their sub-laplacians. Springer-Verlag, BerlinHeidelberg. 2007.

[14] Bramanti M., Brandolini L., Pedroni M. Basic properties of nonsmooth Hormander vector fields and Poincares inequality. 2009. arXiv:0809.2872.

[15] Buliga M. Dilatation structures I. Fundamentals. J. Gen. Lie Theory Appl. 1 (2) (2007) 65-95.

[16] Capogna L., Danielli D., Pauls S. D. and Tyson J. T. An introduction to the Heisenberg group and the sub-Riemannian isoperimetric problem. Progress in Mathematics. Birkhauser. 2007.

Chow W. L. Uber Systemc von linearen partiellen DifFerentialgleichungen erster Ordung // Math. Ann. 1939. V. 117. P. 98-105.

Christ M., Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Singular Radon transforms: Analysis and geometry // Ann. of Math. 1999. V. 150, N 2. P. 489-577.

Coron J.-M. Stabilization of controllable systems // Sub-Riemannian Geometry, Progress in Math. Birkha"user. 1996. V. 144. P. 365-388.

Goodman R. Lifting vector fields to nilpotent Lie groups // J. Math. Pures et Appl. 1978. V. 57. P. 77-86.

Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1981. V. 53. P. 53-73.

Gromov M. Carno-Caratheodory spaces seen from within // Sub-riemannian Geometry, Progress in Mathematics. Birckhauser. 1996. V. 144. 79-323.

H. Hermes, Nilpotent and high-order approximations of vector field systems // SIAM Review. 1991. V. 33. P. 238-264.

Hormander L. Hypoelliptic second order differential equations. Acta Math. 119 (3-4) (1967) 147-171.

Hormander L., Melin A. Free systems of vector fields // Ark. Mat. 16 (1978), 1, 83-88.

Jean F. Uniform estimation of sub-Riemannian balls // J. of Dynamical and Control Systems. 2001. V. 7, N 4. 473-500.

Karmanova M., Vodopyanov S. Geometry of Carno-Caratheodory spaces, differentiability, coarea and area formulas // Analysis and Mathematical Physics. Trends in Mathematics, Birckhauser. 2009. P. 233-335.

[28] Mitchell J. On Carnot-Caratheodory metrics // J. Differential Geometry, 1985. V. 21. P. 35-45.

[29} Montanari A., Morbidelli D. Balls defined by nonsmooth vector fields and the Poincare' inequality // Annales de l'institut Fourier. 2004. V. 54, N 2, P. 431-452.

[30] R. Montgomery. A Tour of Subriemannian Geometries, their. Geodesies and Applications. Providence, AMS. 2002.

[31] Montgomery D., Zippin L. Topological transformation groups. Interscience, New York. 1955.

[32] Nagel A., Stein E.M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties // Acta Math. 1985. V. 155. P. 103-147.

[33] Rampazzo F., Sussmann H. Commutators of flow maps of nonsmooth vector fields // Journal of Differential Equations 2007. V. 232, P. 134171.

[34] Rotshild L.P., Stein E.M. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups. Acta Math. 1976. V. 137. P. 247-320.

[35] Siebert E. Contractive automorphisms on locally compact groups. Mat. Z. 191 (1986) 73-90.

[36] Stein E. M., Harmonic analysis: real-variables methods, orthogonality, and oscillatory integrals. Princeton, NJ, Princeton University Press. 1993.

[37] Vershik A. M., Gershgovich V. Ya. Nonholonomic Dynamical Systems, geometry of distributions and variational problems // Dynamical Systems VII. Springer Verlag, New York. 1994. P. 1-81.

[38] Vodopyanov S. K. Differentiability of mappings in the geometry of Carnot manifolds // Sib. Math. Zh. 2007. V. 48, N 2. P. 251-271.

[39] Vodopyanov S. K. Geometry of Carnot-Caratheodory spaces and differentiability of mappings. Contemporary Mathematics // 2007. V. 424. P. 247-302.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[40] Селиванова С. В. Касательный конус к регулярному квазиметрическому пространству Карно - Каратеодори // Докл. Акад. Наук, 2009. Т. 425, № 5. С. 595-599.

[41] Водопьянов С. К., Селиванова С. В. Алгебраические свойства касательного конуса к квазиметрическому пространству со структурой растяжений // Докл. Акад. Наук. 2009. Т. 428, № 5. С. 586-590.

[42] Селиванова С. В. Касательный конус к квазиметрическому пространству с растяжениями // Сиб. Мат. Жури. 2010. Т. 51, > 2. С. 388-403

[43] Selivanova S. V., Vodopyanov S. К. Algebraic and analytic properties of quasimetric spaces with dilations // Contemporary Mathematics, 2011, Vol. Complex Analysis and Dynamical Systems IV. P. 273-294.

[44] Селиванова С. В. О локальной геометрии многообразий Карно // Изв. вузов. 2011. № 8. С. 85-88.

[45] Селиванова С. В. Касательный конус к субриманову пространству в нерегулярной точке, в условиях минимальной гладкости векторных полей // Тезисы Лобачевских чтений 2010. Казань. С. 124-128.

[46] Selivanova S. V. On some metrical and algebraic questions for general nonholonomic spaces // Proceedings of the International Congress of Mathematicians 19-27 August 2010. Hyderabad, India. P. 236-237.

[47] Селиванова С. В. К вопросам субримановой геометрии в условиях минимальной гладкости векторных полей // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу 2-9 августа 2010. Горно-Алтайск. С. 63-64.

[48] Selivanova S. V. The tangent cone to a quasimetric space with dilations // Тезисы международной конференции "Современные проблемы анализа и геометрии" 14-20 сентября 2009. Новосибирск. С. 151.

[49] Selivanova S. V., Vodopyanov S. K. Mal'cev's theorem and sub-Riemannian geometry // Тезисы международной конференции "Mal'tsev Meeting посвященной 100-летию со дня рождения А. И. Мальцева, 24-28 августа 2009. Новосибирск. С. 108.

[50] Selivanova S. V. Some metrical aspects of the theory of Carnot-Caratheodory spaces // Proceedings of the IV International conference on Complex analysis and dynamical systems. Bar-Ilan University, Ramat-Gan, Israel, 18-22 May 2009. P. 72-73.

[51] Селиванова С. В. О понятии касательного конуса к квазиметрическому пространству // Материалы XLVII Международной студенческой конференции. Новосибирский Государственный "Университет, 2009. С. 24.

[52] Селиванова С. В. Алгебраические свойства пространств с растяжениями // Материалы XLIX Международной студенческой конференции. Новосибирский Государственный Университет, 2011. С. 87.

[53] Селиванова С. В. Локальная геометри многообразий Карно с С2М-гладкими горизонтальными векторными полями в окрестности нерегулярной точки. // Материалы XLIX Международной студенческой конференции. Новосибирский Государственный Университет. 2011. С. 112.

Селиванова Светлана Викторовна

Метрическая геометрия нерегулярных пространств Карно — Каратеодори

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 3.05.2011. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 80 экз. Заказ № 70.

Отпечатано в ООО «Омега Принт» пр-т Академика Коптюга, 4, 630090 Новосибирск

 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидат физико-математических наук , Селиванова, Светлана Викторовна
 
Введение диссертация по математике, на тему "Метрическая геометрия нерегулярных пространств Карно - Каратеодори"
 
Заключение диссертации по теме "Математический анализ"
 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидат физико-математических наук , Селиванова, Светлана Викторовна, Новосибирск