Многомерное численное моделирование процессов при высоких плотностях энергии с учетом упруго-пластического деформирования и разрушения модифицированным методом индивидуальных частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛЛ

Матвеичев Алексей Валерьевич

МНОГОМЕРНОЕ ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВЫСОКИХ ПЛОТНОСТЯХ ЭНЕРГИИ С УЧЕТОМ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ

01.04.17 — химическая физика, в том числе физика горения и взрыва

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка — 2005

Работа выполнена в Институте проблем химической физики РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Ломоносов И.В.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Холпанов Л.П.

доктор физико-математических наук, Иванов М.Ф.

Ведущая организация: Институт математического моделирования

РАН

082.01 при Институте проблем химической физики РАН по адресу: 142432, г. Черноголовка, Московская область, пр. Академика H.H. Семенова, д. 1, Институт проблем химической физики РАН, корпус 1/2, актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПХФ РАН. Автореферат разослан " * " Ho&bfi i? 2005.

Учёный секретарь Диссертационного совета

2005 ■ iO ч. СО

мин. на заседа-

кандидат физико-математических наук

Юданов A.A.

© Матиичм A.B., 2005

© Ииститут проблем юшичееиоЯ фишки РАН, 2005

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. К числу актуальных задач, возникающих при проведении научных исследований и опытно-конструкторских разработок в области физики высоких плотностей энергии следует отнести высокоскоростное соударение тел с преградами, воздействие на конденсированное вещество мощных потоков лазерного и рентгеновского излучения, заряженных и нейтральных частиц, проблемы динамики ударных и детонационных волн и тд В таких задачах поле течения характеризуется большими градиентами давления, плотности, температуры и в веществе реализуется широкий спектр высокоэнергетических состояний от твердого тела до плотной горячей жидкости, плотной плазмы, испаренного вещества и малоплотных квазигазовых состояний. Математическое моделирование является важным этапом планирования экспериментов, обработки и анализа получаемых результатов Большинство существующих кодов, применяемых в данных исследованиях, используют гидродинамическое приближение и не описывают процессы, в которых эффекты упруго-пластического деформирования и разрушения вносят существенный вклад. Поэтому для корректного описания процессов, протекающих в этих задачах, необходим учет реологических свойств веществ, что и определяет актуальность данной работы.

Целью работы является исследование процесса ударного взаимодействия деформируемых твердых тел в широком диапазоне скоростей при помощи разработанного алгоритма конечноразмерных частиц в ячейке, учитывающим реалистичные термодинамические и реологические модели вещества.

Научная новизна На основе метода индивидуальных частиц разработан трехмерный алгоритм решения задач динамики твердого деформируемого изотропного тела для режима параллельных вычислений. Проведен анализ экспериментов по плавлению материала в волне разгрузки, распространению дивергентной волны в веществе, а также изучено влияние реологических моделей на результаты математического моделирования процесса высокоскоростного пробивания

Практическая ценность Разработанные в работе алгоритмы, методы и программные коды являются современным и эффективным инструментом

для исследования практически яяжцыу чадрц фимш»

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.Пет< •Э *во„

тремальных состоя-

ний вещества Практическая ценность работы определяется использованием полученных результатов при проведении фундаментальных исследований в области высоких плотностей энергии и для решения прикладных задач в ИПХФ РАН, ИТЭС ОИВТ РАН и Институте тяжелых ионов (GSI, Германия)

Апробация работы Результаты исследований докладывались и обсуждались на IV Школе-семинаре «Физика взрыва и применение взрыва в физическом эксперименте» (Новосибирск, 2003), Международной конференции «Уравнения состояния вещества» (Приэльбрусье, 2004), XIII Симпозиуме по горению и взрыву (Черноголовка, 2005), Международной конференции «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество» (Приэльбрусье, 2005), Международном семинаре «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2005), Научно-координационном совещании-симпозиуме «Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах» (Новый Афон, 2004), Международной конференции «Shock Compression of Condensed Matter» (Балтимор, 2005), Международной конференции «The Hypervelocity Impact Symposium» (Lake Tahoe, 2005), а также на научных семинарах ИПХФ РАН, ИММ РАН и ИТЭС ОИВТ РАН.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения с основными результатами и списка литературы Объем диссертации составляет 118 страниц, в том числе 35 рисунков, 2 таблицы и библиография из 137 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту и описана структура диссертации.

Первая глава содержит обзор современных численных методов решения многомерных задач динамики твердого деформируемого изотропного тела, применимых для моделирования процессов при высоких плотностях

энергии Проводится обзор численных алгоритмов, моделей термодинамических, упруго-пластических и откольных свойст вещества, а также методик параллельного программирования.

Вторая гпава содержит подробное описание модифицированного метода индивидуальных частиц для расчета задач физики экстремальных состояний в трехмерной постановке.

Следуя традиционной схеме метода частиц в ячейке, интегрирование системы уравнений газовой динамики производится в два этапа. На первом этапе предполагается отсутствие конвективных потоков через границы эйлеровых ячеек, и уравнения законов сохранения импульса и энергии в декартовой системе координат имеют вид:

дг /

где Р =

дрй V Р,

Охх ~ Р °х\! Охг

(Тух ауу~Р (Туг

<тгх агу Огг-Р

Р) />, и, е тензор напряжений,

давление, девиаторная часть тензора напряжений, плотность, вектор скорости, внутренняя энергия в данной точке пространства соответственно, £ — время.

Уравнение неразрывности на эйлеровом этапе выполняется автоматически, поскольку среда неподвижна. Для конечно-разностного представления уравнений отнесем термодинамические параметры(плотность, давление, внутренняя энергия) к центрам ячеек, а кинематические параметры (компоненты вектора скорости) — к узлам сетки. Тогда конечно-разностные аппроксимации уравнений законов сохранения импульса для х-компоненты скорости и (для у иг компонент аппроксимации получаются аналогично) и энергии выглядят следующим образом (для простоты аппроксимации приводятся в гидродинамическом приближении)'

»+1 _

= А уАг

Д* 4Мук'

+ (р+<71);;-и-(р+<? т-ъ-и+

е,"*1 ~ еФ ___, «Н _ ,

Д* 4+ )к 0 + и1+1з+1к ~ иц+1к +

+ и"+1]к+1 - + Щ+и+1к+1 - Щ^+\к+1)(р -I- я^АуАг +

. , п+1 п+1 , п+1 »1+4 ,

+ К>+1* - %к + «4+15+1* - + + г>£н*+1 - "5+1 + «!+и+1*+1 - ","+¿+1 )(Р + +

, п+1 п+1 п+1 п+1

+ - «>«,* + Ю.-+У4+1 - +

+ - + «¿Й+и+х - +

где Д£, Дх, Ду, Д,г — шаги интегрирования по времени и пространству, и,ь,и> — компоненты вектора скорости, р — давление, д", дг — компоненты искусственной вязкости, т1]к — масса в ячейке, Мф — средняя массй в узле цк, е — удельная внутренняя энергия. Верхние индексы относятся к Временным переменным, нижние соответствуют узлам расчетной сетки, а дробные индексы означают средние значения на п и п + 1 временных шагах. Искусственная вязкость определяется как

Зц* = ■ р?к ■ спЦк[и?+ьк - и^к -I- - иЧ]+1к +

+ и"+1]к+1 ~ иф+1 + иГ+У+1*+1 — и0'+и-+1]>

где параметр к определяет сглаживание фронта ударной волны. Величина к обращается в ноль при удовлетворении следующего условия

N+1;* ~~ и"]к + ui+lj+lk ~ и?]+1к +

+ и?+ик+1 - иф+1 + и7+и+1к+1 - К}+1к+\\ > о.

к — скорость звука в ячейке

Расчет конвективного переноса через границы эйлеровой сетки производится на лагранжевом этапе Данный этап имеет следующие особенности-непрерывная среда моделируется при помощи ансамбля конечно-размерных частиц в форме прямоугольных параллелепипедов; масса, импульс и внутренняя энергия каждой частицы равномерно распределена по всему ее объему; все частицы двигаются без вращения относительно сетки; положения частиц полностью определяются положением центра масс и линейными размерами; масса частицы остается постоянной при движении.

После эйлерова шага возникает новое промежуточное распределение скоростей и внутренней энергии. Упаковка, т.е. перенос характеристик среды с эйлеровой сетки на систему частиц, производится на предварительном этапе лагранжева шага. Параметры течения в частице равны параметрам в ячейке, если ячейка содержит частицы одного материала В случае, когда ячейка содержит частицы разных материалов, внутренняя энергия частиц, а также их «новая» плотность определяются из условия равенства давления и температуры внутри ячейки, как это делается для элементарной ячейки гетерогенного материала [1]. Далее рассчитывается новое положение частиц, которое они заняли в результате перемещения: хд/"1 = х^ + ttjvAi, Улг+1 = Vn + vN&t, Zjv+1 = zjy + WfiAt. Зная окончательное положение всех частиц, производится распаковка частиц — все основные характеристики среды переносятся с лагранжевой системы частиц на эйлерову сетку ячеек В целях сохранения однородной упорядоченной структуры частиц — лагранжевой сетки с узлами в центрах частиц - применяется процедура дробления частиц эйлеровой сеткой с последующим объединением частиц одного и того же материала внутри одной ячейки Применение этих процедур предотвращает образование пустых ячеек в областях сильного разрежения/расширения и в достаточной мере позволяет сгладить нефизичные осцилляции связанные с дискретным представлением потоков массы. Кроме того, поскольку число расчетных частиц в каждый момент времени становится пропорциональным количеству занятых ячеек сетки, а не максимальному размеру области за все время счета, как это было в более ранних реализациях метода частиц, удается существенно снизить высокие требования к объему оперативной памяти при реализации алгоритма.

На основе описанного алгоритма разработан трехмерный газодинамический код. Для параллельной реализации метода принята SPMD-модель («Single Process - Multiple Data» — один поток команд управления и множество потоков данных) параллельного программирования с использованием крупноблочной декомпозиции данных. Коммуникационные обмены построены на базе интерфейса передачи сообщений MPI "(«Message Passing Interface»).

Свойства среды описываются соотношениями, замыкающими систему законов сохранения уравнениями состояния (УРС), законами эволюции де-виаторной части тензора напряжений и меры разрушения вещества

В работе использовалось два вида уравнения состояния калорическое УРС [2] заданное в аналитической форме Ми-Грюнайзена, не учитывающее фазовые переходы, и многофазное широкодиапазонное УРС [3] с учетом фазовых границ.

Для описания упруго-пластических свойств материала используется уравнение пластического течения в виде

где 5,] — символ Кронекера, е,} — компоненты тензора сдвига, АУ = е,„ С7 — модуль сдвига.

Условие текучести применено в форме Мизеса:

* = £ £ 4 -<4+<4+<4 + 2«+<4+оЪ) = \У02 ««17-1 «

где Уо — предел текучести материала.

В численном алгоритме применяется процедура нормировки Уилкинса

3 < з^о

' > Ро

Откольные эффекты описываются моделью разрушения [5] Пористость материала вычисляется на каждом временном шаге по формуле

он =

уп+1 Р

\

+ (!-/?)—(—ГЧ

ТОр Ор

где Отах — максимальное растягивающее напряжение действовавшее на данную частицу; а — текущее напряжение действующее на частицу; а, 0, т, <тр — коэффициенты модели. При достижении пористости критического значения считается, что в частице образовалась трещина, и пористость в ней подбирается из условия равенства нулю давления

В третьей главе приводится серия расчетов, целью которых являлась качественная и количественная проверка физической корректности разработанного алгоритма. Также в главе приводятся результаты профилирования параллельного режима расчета.

Рис. 1. Векторы массовой скорости в ударнике и пластине при косом соударении. Левый рису-

I нок — результаты моделирования с учетом упруго-пластического деформирования, правый - в

гидродинамическом приближении.

I

Стандартной задачей, служащей для проверки качества расчетного алгоритма, является задача о распаде произвольного разрыва в идеальном газе. Если из разработанного алгоритма исключить расчет девиаторной части тензора напряжений, решаемая система уравнений сведется к системе уравнений нестационарной газовой динамики. Проведенные вычисления показали, что разработанный алгоритм обладает точностью, типичной для частичных численных методов. Характерная область размытия ударной волны составиет 4-6 ячеек, полная энергия сохраняется с точностью до 0.001 %.

Для качественной оценки правильности расчета сопротивления материала на сдвиг проведено моделирование процессов удара с рикошетом и вращения кубического объекта с угловой скоростью 0.3 рад/мкс. В первом случае при моделировании соударения ударника в виде стержня со скругленным наконечником с массивным образцом на скорости 1050 м/с под углом 30° с учетом упруго-пластического деформирования должен наблюдаться рикошет ударника, в то время как без учета сопротивления на сдвиг ударник будет менять форму и углубляться в образец. Во втором случае за счет центробежных сил, возникающих в объекте при вращении, при моделировании в гидродинамическом приближении объект будет менять форму и со временем превратится в диск. Напротив, при учете упруго-пластических эффектов форма будет сохраняться Результаты численного моделирования этих двух задач, см рисунки 1 и 2, соответствуют приведенным качественны** рассуждениям.

Рис. 2. Форма кубического объекта при быстром вращении на момент времени 39 мкс. Левый рисунок — результаты моделирования с учетом упруго-пластического деформирования, правый - а гидродинамическом приближении.

Для количественной оценки корректности учета упруго-пластических и откольных свойств вещества были проведены два расчета. В первом случае результаты расчета сравнивались с экспериментальными данными, во втором — с теоретическими оценками.

Данные по измерению профилей скорости свободной поверхности в экспериментах по соударению пластин [4] традиционно используются для определения коэффициентов реологических моделей [5]. Проведенные численные эксперименты показали хорошее согласие по времени выхода ударной волны на поверхность образца, амплитуде упругого предвестника и величине откольной прочности материала, что говорит о правильном расчете девиа-торной части тензора напряжений и кинетики разрушения. С использованием данной методики были подобраны коэффициенты реологических моделей для ряда практически важных материалов.

Количественный двумерный тест основывается на том факте, что при распространении возмущений в упругой среде фронты волн возмущения движутся с различными скоростями. Постановка задачи приводится на рисунке За. Две пластины из алюминия соударяются под углом ¡3 = 5° со скоростью Ш — 900 м/с. При этом в характерной точке контакта С, которая движется со скоростью Wc, с материал начинают распространяться возмущения со скоростями а и се. Итоговые фронты волн являются суперпозицией данных возмущений. Векторное поле скоростей приведено на рисунке 36.

» I I I ■ ^ . . I < I ■ I I I 1 I—1 .. I . . . >

* t * 8 »

a

б

Рис. 3. (а) Постановка задачи распространения упругих волн в веществе, (6) распределение векторов массовой скорости при косом упругом соударении пластин.

Величина угла а между фронтом продольной волны и поверхностью неподвижной пластины, полученная в расчете (27°), совпадает с аналитическим решением.

Результаты профилирования времени выполнения трехмерной реализации метода в параллельном режиме на кластере из 15 рабочих станций P-IV 3.2 GHz приведены на рисунке 4. Расчет производился по следующей схеме (решается задача соударения двух пластин из различных материалов): на каждый расчетный узел приходится трехмерная подобласть размером 150x150x150 трехмерных ячеек с полным заполнением частицами; таким образом при увеличении числа используемых процессоров производится пропорциональное увеличение расчетной области Для каждой конфигурации производилось измерение процессорного времени, затраченного на выполнение определенного числа шагов интегрирования по времени Увеличение времени выполнения программы в параллельном режиме связано, в первую очередь, с временными накладными расходами на межпроцессорные коммуникации Из рисунка 4 видно, что при увеличении числа используемых процессоров время увеличивается незначительно Систематического увеличения времени затраченного на выполенине процедур MPI с ростом числа процёссоров не наблюдается.

Приведенные результаты позволяют прогнозировать эффективное использование программы и на большем числе процессоров

■1

Б5512

а,

Э 4 в В 7 В • 10 11 12 13 14 13 Количество процессоров

Рис. 4. Профилирование времени выполнения программы в параллельном режиме. Показана зависимость времени выполнения расчета от числа используемых процессоров; отдельно показана доля времени затраченная на расчет(1) и на коммуникации(2).

Четвертая глава посвящена результатам моделирования физических задач с учетом эффектов упруго-пластического деформирования и разрушения.

Плавление цинка в волне разгрузки

Определение фазовых границ плавления материала является важной задачей физики высоких плотностей энергии. Положение области плавления металлов при высоких давлениях определяется в прямых измерениях традиционными методами статического эксперимента до 100 кбар [б], в подогреваемых лазерным излучением алмазных наковальнях до 1 Мбар [7] и в динамических экспериментах по измерениям скорости звука в ударно-сжатом веществе методом догоняющей разгрузки [8] Косвенная информация об области плавления может быть получена на основании анализа ударных адиабат кристаллического, пористого и жидкого металла, а также особенностей расширения ударно-сжатого вещества.

Для анализа экспериментальных данных по измерению скорости контактной поверхности цинкового образца с оконным материалом было про-

200 400 «00 800 1000 1200 1400 Я, НС

2000 1800 1200 800 400 О О

а б

Рис. 5. Экспериментальные (сплошная линия) и расчетные (пунктирная линия) профили скорости контактной поверхности.

ведено моделирование ударного сжатия цинка в одномерном приближении. Рассматривалась задача удара алюминиевой пластины по цинку со скоростями 4.35, 4.57 и 5.35 км/с на сетках с разрешением 1000 ячеек на миллиметр. Термодинамические свойства алюминиевого ударника и оптического окна из УР описывались калорическим УРС. Описание термодинамических свойств цинковых образцов проводилось с помощью многофазного широкодиапазонного УРС.

Результаты моделирования первых двух экспериментов приведены на рисунках 5а,б совместно с результатами экспериментов. Стрелками обозначены перегибы на профиле, которые соответствуют изменению свойств образца Как и следовало ожидать, в третьем эксперименте профиль скорости свободной поверхности не имеет особенностей. В первом эксперименте на профиле имеются два перегиба, во втором перегиб менее очевиден, по сравнению с первым, в месте обозначенном стрелкой меняется общий наклон кривой.

Согласно многофазному УРС в первом эксперименте плавление цинка начнется при давлении 32 ГПа. Анализ распределения давления вдоль экспериментальной сборки на разные моменты времени показывает, что первый перегиб на профиле скорости свободной поверхности соответствует предска-

занному началу плавления при давлении 32 ГПа, второй перегиб - выходу на контактную поверхность волны разрежения, отраженной от тыльной поверхности образца. Во втором эксперименте давление начала перехода в двухфазную область равно 57 ГПа Однако, давление в волне разрежения, отраженной от оптического окна, составляет 45 ГПа, поэтому начало перехода не может быть разрешено при использовании оптического окна из LiF. Перегиб на профиле скорости контактной поверхности соответствует выходу на контактную поверхность волны разрежения отраженной от тыльной поверхности образца. В третьем эксперименте профиль скорости контактной поверхности не имеет особенностей, поскольку образец расплавился в ударной волне.

Таким образом была показана возможность определения положения области плавления вещества при высоких давлениях по профилю скорости исследуемое вещество — оптическое окно.

Распространение дивергентной волны в веществе

Для исследования прочностных свойств материала при высоких скоростях деформирования широко используются эксперименты с плоскими ударниками В таких экспериментах реализуется одноосное сжатие, однако в реальных задачах удара и пробивания реализуются более сложные режимы нагружения По этой причине необходимо разрабатывать соответствующие экспериментальные методики, одндй из которых является нагружение с помощью сферического ударника.

Для анализа результатов подобных экспериментов необходимо иметь упрощенную модель для оценки напряженных состояний внутри образца Основными целями данного моделирования ставились' проверка применимости упрощенной псевдоакустической модели для оценки напряженных состояний на оси образца, оценка влияния наличия неупругой прослойки в образце на структуру фронтов упругих волн, оценка дивергентное™ потока за фронтом сдвиговой волны

Моделирование проводилось в двумерной осесимметричной постановке на сетке с разрешением 50 ячеек на миллиметр. Сферический медный ударник соударялся с образцом из стекла со скоростью 550 м/с Свойства материала ударника моделировались при помощи калорического уравнения

состояния с учетом как упругого, так и пластического поведения; свойства образца - аналогично, но без учета пластического течения материала.

Используя соотношения, полученные в [9], и учитывая соотношения Ренкина-Гюгонио, можно вывести приближенный закон изменения напряжений на оси образца - ¿оу/йЛ = —ог/г Проведенное моделирование показало, что изменение напряжение вдоль оси подчиняется приведенному закону, таким образом применение псевдоакустического приближения для оценки напряженных состояний на оси образца корректно.

Для анализа дивергентности потока за фронтом сдвиговой волны на заданный момент времени рассматривались профили отношения поперечной к продольной компонент вектора скорости вдоль прямой параллельной оси образца. Профили рассматривались с шагом 2.5 мм, начиная с расстояния 2.5 мм от оси. Анализ профилей показал, что течение не расходится на относительно небольших расстояниях от оси — в областях стационарного течения.

При распространении дивергентной волны в веществе зарождение волны разрушения обычно происходит на неровностях присутствующих на поверхности образца. При анализе профиля скорости контактной поверхности из-за сравнимости скоростей распространения сдвиговой волны возмущения и волны разрушения выход на поверхность сдвиговой волны создает определенные трудности для оценки времени выхода волны разрушения на поверхность. Для устранения нежелательной сдвиговой волны, а также для увеличения очагов зарождения разрушения были проведены эксперименты с использованием составного образца, поверхность контакта частей которого шлифовалась. Целью моделирования было выявить наличие или отсутствие сдвиговой волны во второй части образца. Проведенные расчеты показали образование двухволновой структуры фронтов во второй части образца, что говорит о том, что использование составного образца не позволяет избавиться от нежелательной сдвиговой волны за счет использования щели. Влияние моделей упруго-пластического деформирования и разрушения на результаты моделирования высокоскоростного пробивания

Эксперименты по высокоскоростному пробиванию являются стандартной процедурой оценки эффективности новых систем защиты орбитальных

аппаратов от космического мусора. При характерных скоростях взаимодействия тел, для которых выполняется соотношение Мо > 0.75, согласно эмпирическим оценкам возможно использование гидродинамической концепции высокоскоростного взаимодействия тел [10]. Данное приближение позволяет оценить распределение вещества в облаке осколков, однако дает завышенные значения размера кратера, образуемого при пробивании.

Для проверки влияния учета реологических моделей вещества на результаты моделирования высокоскоростного удара были проведены расчеты соударения цинковой преграды с ударниками различной формы. С экспериментальными данными [11] сравнивались геометрические размеры образующихся облаков осколков, а для случая ударника в форме стержня было проведено сравнение размера образующегося при пробивании отверстия.

Моделирование проводилось для пластины толщиной 0.986 мм и ударников в форме диска и стержня. Скорость удара стержня равнялась 4.97 км/с, диска — 3.53 км/с. Согласно многофазному УРС [3], в первом случае цинк полностью плавится в ударной волне и незначительно испаряется в изэнтропе разгрузки, в то время как во втором случае ударно-сжатый металл остается в твердом состоянии и частично плавится в изэнтропе разгрузки.

Трехмерное численное моделирование данных постановок было проведено с использованием многофазного УРС в гидродинамическом приближении и с учетом моделей упруго-пластического поведения и разрушения материала в параллельном режиме на сетках 600x200x200 ячеек

На рисунках б показано трехмерное распределение плотности на моменты времени 5 и 8 мкс с начала расчета для ударника в форме стержня Рисунки 7а,б и 8а,б иллюстрируют сравнение экспериментальной и восстановленной расчетной рентгенограмм плотности для ударника в виде стержня и диска Анализ рисунков показывает хорошее согласие расчетной и экспериментальной формы облака осколков

Проведенное исследование временнбй эволюции диаметра пробиваемого отверстия показывает необходимость учета реологических моделей при численном моделировании процесса высокоскоростного удара С использованием гидродинамического приближения размер отверстия непрерывно растет, в то время как при моделировании с учетом упруго-пластических и

а б

Рис б. Распределение фаз при высокоскоростном пробивании цинковой пластины цинковым стержнем на моменты времени .8 мкс для ударника в форме (а) стержня и (б) диска.

Рис. 7. Пробивание цинковой пластины цинковым стержнем: экспериментальная (а) и расчетная (6) рентгенограмма облака осколков на момент времени 10.5 /¿с

а б

Рис 8. Пробивание цинковой пластины цинковым диском: экспериментальная (а) и расчетная (б) рентгенограмма облака осколков на момент времени 10.5 fie

откольных свойств материала данная величина через характерное время порядка 25 мкс стабилизируется На момент времени 10.5 мкс зарегистриро-"ванное в эксперименте значение диаметра отверстия составляет 10 мм, а расчетные величины — 12'мм и 9.8 мм в гидродинамическом приближении и с учетом реологических свойств, соответственно.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработан численный алгоритм первого порядка точности по времени и пространству для моделирования процессов при высоких плотностях энергии с учетом реальных термодинамических и реологических свойств вещества, реализованный в виде программного комплекса, предназначенного для использования на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью

2. Проведена всесторонняя проверка разработанного алгоритма посредством сравнения результатов численного моделирования с экспериментальными данными и аналитическими решениями. Качественная оценка проведена для задач удара с рикошетом и вращения трехмерного объекта Выполнено количественное сравнение с результатами экспериментов по одноосному сжатию образцов из различных материалов и с теоретическими решениями угла расщепления упругих волн, распространяющихся в веществе. По результатам тестирования показана как качественная, так и количественная корректность описания эволюции тензора напряжений и меры разрушения материала во времени

3 При помощи методов численного моделирования проведено исследование процесса плавления цинка в волне разгрузки Сравнение экспериментальных и расчетных профилей скорости контактной поверхности позволило объяснить особенности, возникающие в эксперименте, а также показало корректность применения широкодиапазонного табличного уравнения состояния для оценки фазовых границ вещества

4 Проведен качественный анализ распространения дивергентной волны в абсолютно упругом веществе Показана корректность применения псевдоакустического приближения для оценки напряженных состояний на оси образца Исследовано влияние неупругой прослойки в составном образце на развитие двухволновой структуры фронтов во второй части образца. Показано отсутствие расходимости течения за фронтом сдвиговой волны. •

5. Выполнено трехмерное моделирование процесса высокоскоростного пробивавния для различных геометрий ударника в гидродинамическом и упруго-пластическом приближении. Показан эффект стабилизации диаметра пробиваемого отверстия при моделировании с учетом реологических свойств вещества.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1. Ким В.В., Кулиш М.И., Ломоносов И.В., Матвеичев A.B., Минцев В.Б., Николаев Д.Н.,'Острик A.B., Шилкин Н С , Шутов A.B., Фортов В.Е., Адонин А , Варенцов Д , Ни П.А , Тахир Н.А , Удреа LU., Хоффман Д X X , Численное моделирование воздействия пучка тяжелых ионов на тонкую свинцовую фольгу в трехмерной постановке. // в сб. «Физика экстремальных состояний вещества-2004». Ред. Фортов В.Е., Ефремов В П. и др., Черноголовка, 2004, стр. 151.

2. Ким В.В., Андержанов К.И., Берзигияров П.К., Григорьев Д А., Жарков А П., Ломоносов И.В., Матвеичев A.B., Острик A.B., Султанов В.Г., Шутов A.B., Численное моделирование высокоэнергетических импульсных процессов на многопроцессорных ЭВМ // Тезисы докладов XIII Симпозиума по горению и взрыву, Черноголовка, 2005, стр. 185.

3. Матвеичев A.B., Андержанов К.И., Берзигияров П.К., Григорьев Д.А., Жарков А.П., Ким В В., Ломоносов И.В., Острик A.B., Султанов В.Г., Шутов A.B., Модели упруго-пластического поведения и разрушения материалов для массивного параллельного моделирования процессов при высоких плотностях энергии // Тезисы докладов XIII Симпозиума по горению и взрыву, Черноголовка, 2005, стр. 177.

4 Григорьев Д А , Ким В В., Ломоносов И.В., Матвеичев А В., Численное моде-лирование воздействия пучка тяжелых ионов на мишени с учетом упругопластических эффектов // в сб «Физика экстремальных состояний вещества-2005». Ред. Фортов В Е , Ефремов В П. и др , Черноголовка,. 2005, стр. 57-58.

5. Ким В.В , Ломоносов И В , Матвеичев А В , Острик А В , Численное моделирование процессов высокоскоростного удара, препринт ИПХФ РАН, Черноголовка, 2005.

6. V. Kim, I. Lomonosov, A. Matveichev, A. Ostrik, 3D computer modeling of high-velocity impact phenomena, Bulletin of The American Physical Society, vol. 50, N. 5, 2005, p. 43.

7. I V. Lomonosov, V.E. Fortov, V.V. Kim, A.V. Matveichev, A.V. Ostrik, Influence of Equation of State on Results of Hypervelocity Impact Modeling, Bulletin of The American Physical Society, vol. 50, N. 5, 2005, p. 125.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Острик, А. Термомеханическое действие рентгеновского излучения на многослойные гетерогенные преграды в воздухе / А Острик — Москва: НТЦ сИнформтехника», 2003 - С. 160.

[2] Bushman, A. Wide-range equation-of-state models for matter / A. Bushman, V. Fortov, I. Lomonosov // High Pressure Equations of State. Theory and Applications / Ed. by S. Eliezer, R. Ricci— Amsterdam: North Holland, 1991.- Pp. 249-262.

[3] Теплофизика и динамика интенсивных импульсных воздействий / А Бушман, Г. Канель, А Ни, В. Фортов — Черноголовка, 1988

[4] Канель, Г. Экспериментальные профили ударных волн / Г Канель, С Разоренов, А. Уткин — Москва, 1996

[5] Ударно-волновые явления в конденсированных средах / Г. Канель, С Разоренов, А Уткин, В. Фортов. — ' Москва: Янус-К, 1996

[6] Тонкое, Е. Фазовые диаграммы элементов при высоком давлении / Е Тонкое — Москва- Наука, 1979.

[7] Melting, thermal expansion, and phase transitions of iron at high pressures / R. Boehler, N. von Bargen, A. Chopelas // J. Geophys. Res. — 1990. — Vol. 95 — Pp. 21731-21736.

[8] Зельдович, Я. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений / Я Зельдович, Ю. Райзер.— Москва: Наука, 1966.

[9] Fowles, R. Conservation relations for spherical and cylindrical stress waves / R. Fowles // J. Appl. Phys - 1970 — Vol. 41- Pp. 2740-2741.

[10] Лаврентьев, M. Кумулятивный снаряд и принципы его работы / М. Лаврентьев // УМН — 1957 - Т. 12, № 4(76).- С. 41-52.

[11] Mullin, S. Computational simulations of experimental impact data obtained at 7 to 11 km/s with aluminum and zinc / S. Mullin, L. Chhabildas, A Piekutowski // High-Pressure Science and Technology-1993 / Ed by S. Schmidt, J. Shaner, G Samara, M. Ross. - New York: AIP Press, 1994 -Pp. 1817-1820.

Матвеичев Алексей Валерьевич МНОГОМЕРНОЕ ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПРИ ВЫСОКИХ ПЛОТНОСТЯХ ЭНЕРГИИ С УЧЕТОМ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ

Автореферат

Подписано в печать 14.11.2005 г Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная Гарнитура "Ариал". Уел печ. л. 1,5 Тир. 100. Зак. 233 Изд. лицензия N 03894 от 30 января 2001 г 142432, г, Черноголовка, Московская область, пр-т Академика Н Н Семёнова, 5 Отпечатано в типографии ИПХФ РАН.

S 2 2

РНБ Русский фонд

2006-4 26996

Введение

1 Методы решения многомерных задач нестационарной ди намики твердого деформируемого изотропного тела

1.1 Численные методы.

1.1.1 Лагранжевы методы.

1.1.2 Лагранжевы методы с перестройкой сетки

1.1.3 Бессеточные методы.

1.1.4 Методы, использующие идеологию частиц

1.1.5 Алгоритмы отслеживания контактных и свободных границ тел на эйлеровой сетке.

1.1.6 Алгоритм адаптивного изменения сетки.

1.2 Модели свойств вещества.

1.2.1 Уравнения состояния вещества.

1.2.2 Модели упруго-пластического деформирования

1.2.3 Модели разрушения.

1.3 Параллельные вычисления на многопроцессорных ЭВМ с распределенной памятью

1.3.1 Многопроцессорные ЭВМ и параллельные вычисления

2 Метод конечно-размерных частиц в ячейке для решения задач нестационарной динамики твердого деформируемого изотропного тела с большими деформациями

2.1 Общая схема процедуры расчета.

2.2 Предварительный этап.

2.3 Основной этап

2.4 Дробление и объединение частиц.

2.5 Алгоритм определения ориентации контактных и свободных границ тел.

2.6 Граничные условия.

2.6.1 Граничные условия на границах эйлеровой сетки

2.6.2 Граничные условия на внутренних поверхностях раз

01 дела.

2.7 Интегрирование по времени.

2.8 Параллелизм расчетного алгоритма.

3 Решение модельных задач

3.1 Распад произвольного разрыва в газе.

3.2 Описание динамических экспериментов.

3.3 Упругий режим соударения металлических пластин.

3.4 Удар с рикошетом.

3.5 Вращение металлического куба. щ, 3.6 Профилирование параллельного режима расчета.

4 Моделирование высокоскоростного удара •

4.1 Плавление цинка в волне разгрузки.

4.2 Дивергентная волна в стекле.

4.3 Пробивание пластины стержнем и диском: влияние учета реологических моделей

Настоящая диссертация посвящается крупномасштабному численному моделированию процессов при высоких плотностях энергии с учетом реологических моделей вещества на современных высокопроизводительных параллельных ЭВМ.

Актуальность. К числу актуальных задач, возникающих при проведении научных исследований и опытно-конструкторских разработок в области физики высоких плотностей энергии следует отнести высокоскоростное соударение тел с преградами, воздействие на конденсированное вещество мощных потоков лазерного и рентгеновского излучения, заряженных и нейтральных частиц, проблемы динамики ударных и детонационных волн и т.д. В таких задачах поле течения характеризуется большими градиентами давления, плотности, температуры и в веществе реализуется широкий спектр высокоэнергетических состояний от твердого тела до плотной горячей жидкости, плотной плазмы, испаренного вещества и малоплотных квазигазовых состояний. Математическое моделирование является важным этапом планирования экспериментов, обработки и анализа получаемых результатов. Большинство существующих кодов, применяемых в данных исследованиях, используют гидродинамическое приближение и пе описывают процессы, в которых эффекты упруго-пластического деформирования и разрушения вносят существенный вклад. Поэтому для корректного описания процессов, протекающих в этих задачах, необходим учет реологических свойств веществ, что и определяет актуальность данной работы.

Целью работы является исследование процесса ударного взаимодействия деформируемых твердых тел в широком диапазоне скоростей при помощи разработанного алгоритма конечноразмерных частиц в ячейке, учитывающим реалистичные термодинамические и реологические модели вещества.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения с основными результатами работы.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

Разработан численный алгоритм первого порядка точности по времени и пространству для моделирования процессов при высоких плотностях энергии с учетом реальных термодинамических и реологических свойств вещества, реализованный в виде программного комплекса, предназначенного для использования на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью.

Проведена всесторонняя проверка разработанного алгоритма посредством сравнения результатов численного моделирования с экспериментальными данными и аналитическими решениями. Качественная оценка проведена для задач удара с рикошетом и вращения трехмерного объекта. Выполнено количественное сравнение с результатами экспериментов по одноосному сжатию образцов из различных материалов и с теоретическими решениями угла расщепления упругих волн, распространяющихся в веществе. По результатам тестирования показана как качественная, так и количественная корректность описания эволюции тензора напряжений и меры разрушения материала во времени.

При помощи методов численного моделирования проведено исследование процесса плавления цинка в волне разгрузки. Сравнение экспериментальных и расчетных профилей скорости контактной поверхности позволило объяснить особенности, возникающие в эксперименте, а также показало корректность применения широкодиапазонного табличного уравнения состояния для оценки фазовых границ вещества.

4) Проведен качественный анализ распространения дивергентной волны в абсолютно упругом веществе. Показана корректность применения псевдоакустического приближения для оценки напряженных состояний на оси образца. Исследовано влияние неупругой прослойки в составном образце на развитие двухволновой структуры фронтов во второй части образца. Показано отсутствие расходимости течения за фронтом сдвиговой волны.

5) Выполнено трехмерное моделирование процесса высокоскоростного пробивавния для различных геометрий ударника в гидродинамическом и упруго-пластическом приближении. Показан эффект стабилизации диаметра пробиваемого отверстия при моделировании с учетом реологических свойств вещества.

1. Численное моделирование воздействия пучка тяжелых ионов на тонкую свинцовую фольгу в трехмерной постановке / А. Матвеичев, В. Ким, М. Кулиш и др. // Физика экстремальных состояний вещества. 2004.

2. Численное моделирование и сравнение с экспериментом воздействия пучка тяжелых ионов на тонкую свинцовую фольгу / А. Матвеичев,

3. A. Шутов, Д. Григорьев и др. // Проблемы физики ультракоротких процессов в силыюнеравновесных средах. — 2004.

4. Компьютерное моделирование энерговклада пучка тяжелых ионов в тонков свинцовой фольге в трехмерной постановке / А. Матвеичев,

5. B. Ким, Д. Григорье и др. // Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах. — 2004.

6. Трехмерное численное моделирование воздействия на вещество интенсивных пучков тяжелых ионов / А. Матвеичев, В. Ким, И. Ломоносов и др. // Супервычисления и математическое моделирование. — 2004.

7. Численное моделирование высокоэнергетических импульсных процессов на многопроцессорных ЭВМ / А. Матвеичев, В. Ким, К. Андер-жанов и др. // XIII Симпозиум по горению и взрыву (тезисы докладов).- 2005.

8. И. Численное моделирование высокоскоростного пробивания ударниками несферической формы / А. Матвеичев, К. Андержанов, П. Бер-зигияров и др. // Тезисы XX международной конференции «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество». — 2005.

9. Численное моделирование воздействия пучка тяжелых ионов на мишени с учетом упругопластических эффектов / А. Матвеичев, Д. Григорьев, В. Ким, И. Ломоносов // Физика экстремальных состояний вещества. — 2005.

10. Численное моделирование процессов высокоскоростного удара / А. Матвеичев, В. Ким, И. Ломоносов, А. Острик. — Черноголовка, 2005.

11. Numerical modeling of hypervelocity impacts / A. Matveichev, I. Lomonosov, V. Kim, A. Ostrik // The Hypervelocity Impact Symposium.- 2005.

12. Самарский, А. Уравнения математической физики / А. Самарский, А. Тихонов. — Москва: Издательство МГУ, 1999.р*

13. Ландау, Л. Гидродинамика / JI. Ландау, Е. Лифшиц. — Москва: Наука, 1988.

14. Самарский, А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А. Самарский, Ю. Попов. — Москва: Наука, 1980.

15. Самарский, А. Численные методы математической физики / А. Самарский, А. Гулин. — Москва: Научный мир, 2004.

16. Wilkins, М. Computer simulation of dynamic phenomena / M. Wilkins. — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1999.

17. Гулидов, А. Численное моделирование отскока осесимметричных стержней от твердой преграды / А. Гулидов, В. Фомин // ПМТФ. — 1980.-Т. 3.

18. Johnson, G. High velocity impact calculations in three dimensions / G. Johnson // Appl. Mech.- 1977.- Vol. 44, no. 1.- Pp. 95-100.

19. Горельский, В. Исследование влияния дискретизации при расчете методом конечных элементов трехмерных задач высокоскоростного удара / В. Горельский, С. Зелепугин, А. Смолин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. - Т. 6. - С. 742-750.

20. Уилкинс, M. Расчет упруго-пластических течений / М. Уилкинс // Вычислительные методы в гидродинамике. — Москва: Мир, 1967.

21. Winslow, A. Numerical solution of the quasilinear poisson equation in a non-uniform triangle mesh / A. Winslow // J. Comput. Phys.— 1966.— Vol. 1, no. 2.

22. Годунов, С. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток / С. Годунов, Г. Прокопов // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ. 1967. - Т. 7, № 5. - С. 1031-1059.

23. Яненко, Н. О применении метода расщепления для численных расчетов движений теплопроводного газа в криволинейных координатах / Н. Яненко, В. Фролов, В. Неуважаев // Известия СО АН СССР,— 1967. — Т. 8, № 2. — С. 74-82.

24. Яненко, Н. Уравнение движения теплопроводного газа в смешанных эйлеро-лагранжевых координатах / Н. Яненко, В. Фролов, В. Неуважаев // Численные методы механики сплошных сред. — 1972. — Т. 3, № 1.-С. 90-96.

25. Годунов, С. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах / С. Годунов, Г. Прокопов // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физ. 1972. - Т. 12, № 2. - С. 429-440.

26. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С. Годунов, А. Забродин, М. Иванов и др.; Под ред. С. Годунов. — Москва: Наука, 1976.

27. Яненко, Н. О вариационном методе построения сеток / Н. Яненко, Н. Данаев, В. Лисейкин // Численные методы механики сплошных сред. 1977. - Т. 8, № 4. - С. 157-163.

28. Лисейкин, В. О выборе оптимальных разностных сеток / В. Лисейкин, Н. Яненко // Численные методы механики сплошных сред. — 1977. — Т. 8, № 7. С. 100-104.

29. Шутов, А. Численное моделирование газодинамических процессов при высоких плотностях энергии методом Годунова на подвижных адаптивных сетках. — 2003. — Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук.

30. Godunov's scheme оп moving grids for high velocity impact simulation / O. Vorobiev, I. Lomov, A. Shutov et al. // Int. Journ. of Imp. Engng.— 1995. Vol. 17. - Pp. 892-902.

31. Numerical simulation of nonstationary fronts and interfaces by the go-dunov method in moving grids / V. Fortov, B. Goel, C. Munz et al. // Nuclear Science and Engng. — 1996. Vol. 123. - Pp. 169-189.

32. First proton-beeam driven rayleigh-taylor experiiments on kalif / K. Baumung, H. Marten, A. Shutov, J. Singer // Nucl. Instr. Meth. Phys. Res. — 1998. Vol. A415. - Pp. 720-725.

33. Shock compression of condensed matter using intense beams of energetic heavy ions / N. Tahir, D. Hoffmann, A. Kozyreva et al. // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 61, no. 2. - Pp. 1975-1980.

34. Возможные наблюдательные эффекты в эксперименте deep impact / Б. Клумов, В. Ким, И. Ломоносов и др. // Успехи Физических Наук. — 2005. Т. 175, № 7. - С. 767-777.

35. Об одном алгоритме построения ячеек Дирихле / А. Соловьев, Е. Соловьева, В. Тишкин, др. — Москва, 1985.

36. Метод ячеек Дирихле для решения газодинамических уравнений в циллиндрических координатах / А. Соловьев, Е. Соловьева, В. Тишкин, др. — Москва, 1986.

37. Подливаев, И. Методика «Медуза» расчета двумерных газодинамических задач / И. Подливаев // Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. — Москва: Наука, 1974.-С. 254-274.

38. Lucy, L. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis / L. Lucy 11 Astron. J. 1977. - Vol. 82. - P. 1013.

39. Nayroles, B. Generalizing the finite element method: diffuse approximation and diffuse elements / B. Nayroles, G. Touzot, V. P. // Comput. Mech. 1992. - Vol. 10. - Pp. 307-318.

40. Monaghan, J. Why particle methods work / J. Monaghan // SIAM J. Sci. Stat Comput. 1982. - Vol. 3, no. 4. - P. 422.

41. Monaghan, J. An introduction to sph / J. Monaghan // Comput. Phys. Comm. 1988. - Vol. 48. - Pp. 89-96.

42. Swegle, J. Smoothed particle hydrodynamics stability analysis / J. Swegle, D. Hicks, S. Attaway // J. Comput. Phys. 1995. - Vol. 116. - Pp. 123134.

43. Dyka, C. Addressing tension instability in sph methods: Tech. Rep. NRL/MR/6384 / C. Dyka: NRL, 1994.

44. Johnson, G. Normalized smoothing functions for sph impact computations / G. Johnson, S. Beissel // Int. J. Numer. Methods Engrg. — 1996.

45. Harlow, F. The particle-in-cell computing method for fluid dynamics / F. Harlow // Fundamental Methods in Hydrodynamics / Ed. by B. Alder, S. Fernbach, M. Rotenberg. — New York: Academic Press, 1964.— Pp. 319-343.

46. Анучина, H. О методах расчета течений сжимаемой жидкости с большими деформациями / Н. Анучина // Численные методы механики сплошной среды. 1970. - Т. 1, № 4. - С. 3-84.

47. Яненко, Н. Численное моделирование задач высокоскоростного взаимодействия тел / Н. Яненко, В. Фомин // Нелинейные волны деформации. Т. 2. - Таллин: 1977. - С. 179-182.

48. Белоцерковский, О. Нестационарный метод «крупных частиц» для газодинамических расчетов / О. Белоцерковский, Ю. Давыдов // Ж. Вычисл. Матем. и Магпем. Физ.— 1971. — Т. 11, № 1.

49. Агурейкин, В. Метод индивидуальных частиц для расчета течений многокомпонентных сред с большими деформациями / В. Агурейкин, Б. Крюков // Численные методы механики сплошной среды. — 1986.-Т. 17, № 1.-С. 17-31.

50. Теплофизические и газодинамические проблемы противометеоритной защиты космического аппарата «БЕГА» / В. Агурейкин, С. Аниси-мов, А. Бушман и др. // Теплофизика высоких температур. — 1984. — Т. 22, № 5. С. 964-983.

51. Кумулятивные явления при импульсном воздействии на коническии мишени / А. Бушман, И. Красюк, Б. Крюков и др. // Письма в ЖТФ. 1988. - Т. 14, № 19. - С. 1765-1769.

52. Численное моделирование нерегулярного отражения ударных волн в коненсироваппых средах / А. Бушман, А. Жарков, Б. Крюков и др. — Москва, 1989.

53. Ким, В. Численное Моделирование Газодинамических Процессов При Высоких Плотностях Энергии Модифицированным Методом Индивидуальных Частиц. — 2005. — Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук.

54. The MAC method: Tech. Rep. LA-3425 / J. Welch, F. Harlow, J. Shanon, B. Daly: Los Alamos Scientific Laboratory, 1965.4f

55. Николе, Б. Дальнейшее развитие метода маркеров в ячейке для течений несжимаемой жидкости / Б. Николе // Численные методы в механике жидкостей / Под ред. О. Белоцерковский. — Москва: Мир, 1973. С. 165-173.

56. Калмыков, С. Метод потоков и корректирующих маркеров (ПИКМ-метод) для численного моделирования соударения твердых тел / С. Калмыков, В. Кукуджанов. — Москва, 1993.

57. Фомин, В. Высокоскоростное взамодействие тел / В. Фомин, А. Гу-лидов, С. Г.А. — Новосибирск: Издательство СО РАН, 1999.— С. 600.

58. Давыдов, Ю. Развитие трехмерных возмущений при релей-тейлоровской неустойчивости / Ю. Давыдов, М. Пантелеев // ПМТФ. 1981. - № 1. - С. 117-122.

59. Белоцерковский, О. Метод крупных частиц в газовой динамике / О. Белоцерковский, Ю. Давыдов. — Москва: Наука, 1982.

60. Hirt, С. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries / C. Hirt, B. Nichols // J. Comput. Phys.- 1981.- Vol. 39.-Pp. 201-225.

61. Brackbill, J. FLIP: A low dissipation, particle-in-cell method for fluid flow / J. Brackbill, D. Kothe, H. Ruppel // Computer Physics Communication. 1988. - Vol. 48. - Pp. 25-38.

62. Thompson, E. Use of pseudo-concentrations to follow creeping viscous flows during transient analysis / E. Thompson // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1986. - Vol. 6. - Pp. 749-761.

63. Sussman, M. A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow / M. Sussman, P. Semereka, S. Osher // J. Сотр. Phys. 1994. - Vol. 114. - P. 146.

64. Sussman, M. An adaptive level set approach for incopressible two-phase flows / M. Sussman, P. Semereka, S. Osher //J. Comp. Phys. — 1999. — Vol. 148.-P. 81.

65. Sethian, J. Level Set Methods. Evolving Interfaces in Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Material Science / J. Sethian. — Cambridge University Press, 1996.

66. Osher, S. Level set methods: An overview and some recent results / S. Osher, R. Fedkiw // J. Сотр. Phys. 2001. - Vol. 169.- Pp. 463-502.

67. Бураго, H. Обзор контактных алгоритмов / H. Бураго, В. Кукуджа-нов. 2002.

68. Berger, М. Adaptive mesh refinement for hyperbolic particle differencial equations / M. Berger, J. Öliger //J. Comput. Phys. — 1984. — Vol. 53. — Pp. 484-512.

69. В erg er, M. Local adaptive mesh refinement for shock hydrodynamics / M. Berger, P. Colella // J. Comput. Phys. 1989,- Vol. 82.- Pp. 6484.

70. A three-dimensional adaptive mesh refinement for hyperbolic conservation laws / J. Bell, M. Berger, J. Saltzman, M. Welcome // SIAM Journal on Scientific Computing. 1994. -Vol. 15.- Pp. 127-138.

71. Crutchfield, W. Load balancing irregular algorithms: Tech. Rep. UCRL-JC-107679 / W. Crutchfield: Lawrence Livermore National Laboratory, 1991.

72. Crutchfield, W. Object-oriented implementation of adaptive mesh refinement algorithms / W. Crutchfield, M. Welcome // Scientific Programming.- 1993.- Vol. 2, no. 4.- Pp. 145-156.

73. Colella, P. Chombo software package for amr applications.— также доступно в Интернет: http://seesar.lbl.gov/anag/chombo/index. html.

74. LeVeque, R. Conservation law package.— доступно в Internet: http: //www.amath.Washington.edu/~claw/.

75. The Gerris Flow Solver. — также доступно в Интернет: http://gfs. sourceforge.net.

76. Теплофнзические и газодинамические проблемы противометеоритной защиты космического аппарата «Вега» / В. Агурейкин, С. Анисимов, А. Бушман, Г. Канель // ТВ Т. 1984. - Т. 22, № 5. - С. 964-983.

77. Young, D. A soft-sphere model for liquid metals: Tech. Rep. UCRL-52352 / D. Young. — Livermore: Lawrence Livermore Laboratory, 1977.

78. Ломоносов, И. Фазовые Диаграммы И Термодинамические Свойства Металлов При Высоких Давлениях И Температурах / И. Ломоносов. — 1999. — Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

79. Коваленко, Г. Табличное уравнение состояния воды и снега / Г. Коваленко, А. Сапожников // ВАНТ, сер. Методики и программы численного решения задач математической физи-ки. — 1979. — Vol. 3, по. 4(6).-Pp. 40-46.

80. Фортов, В. Уравнения состояния конденсированных сред / В. Фортов // ПМТФ. по. 6. - Pp. 156-166.

81. Сен-Венан. Об установлении уравнений внутренних движений, воз-пикающих в твердых пластических телах за пределами упругости / Сен-Венан // Теория пластичности. — Москва: Иностранная литература, 1948.

82. Сен-Венан. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах, и граничные условия для этих тел / Сен-Венан // Теория пластичности. — Москва: Иностранная литература, 1948.

83. Леей, М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости / М. Леви // Теория пластичности. — Москва: Иностранная литература, 1948.

84. Леей, М. Об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных, относящихся к внутренним движениям в твердых пластических телах / М. Леви // Теория пластичности.— Москва: Иностранная литература, 1948.

85. Гепки, Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах / Г. Генки // Теория пластичности. — Москва: Иностранная литература, 1948.

86. Гепки, Г. К теории пластических деформаций и вызываемых ими в материале остаточных напряжений / Г. Генки // Теория пластичности. — Москва: Иностранная литература, 1948.

87. Праидтлъ, Л. О твердости пластических материалов и сопротивлении резанию / JI. Прандтль // Теория пластичности. — Москва: Иностранная литература, 1948.

88. Мизес, Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии / Р. Мизес // Теория пластичности. — Москва: Иностранная литература, 1948.

89. Baushinger, I. Uber die vernderung der elastizitatsgrenze und des elas-tizitats moduls verschiedener metall / I. Baushinger // Civilingeneur. — 1881. -Pp. 289-348.

90. Bejda, J. Propagation of two-dimensional stress waves in an elas-tic/viscoplastic material / J. Bejda // Appl. Mech. Proc. of The Twelfth Int. Congress of Appl. Mech. — Stanford Univsity, 1968.

91. Bilinear theory in plasticity and an application to two-dimensional wave propagation / H. Aggrawal, A. Soldate, J. Hook, J. Miklovitz //J. Appl. Mech.- 1964.

92. Новацкий, В. Волновые задачи теории пластичности / В. Новацкий. — Москва: Мир, 1978.

93. Masing, G. Zur heyn'schen theorie der Verfestigung def metalle durch verborgen elastisch Spannungen / G. Masing // Wissenschaftliche Vero-fentlichungen aus dem Siemens-Konzern. — III Band, Erstes Heft, 1923.

94. Masing, G. / G. Masing // Wissenschaftliche Verofentlichungen aus dem Siemens-Konzern. 1924. - Vol. 3. - P. 74.

95. Bodner, S. / S. Bodner, Y. Bartom // Journal of Applied Mechanics.— 1975. Vol. 42. - Pp. 385-389.

96. Zerelli, F. / F. Zerelli, R. Armstrong // J. Appl. Phys.- 1987. — Vol. 61.-Pp. 1816-1825.

97. Johnson, G. Constitutive models and data of metals subjected to large strains, high strain rates, and high temperatures / G. Johnson, W. Cook // Seventh Internations Symposium on Balistics. — Netherlands: The Hague, 1983.

98. Taylor, P. Cth reference manual: The steinberg-guinan-lund viscoplastic model: Tech. Rep. SAND92-0716 / P. Taylor: Sandia National Laboratories, 1992.

99. Thomas, J. Influence of plasticity models upon the outcome of simulated hypervelocity impacts / J. Thomas // High-Pressure Science and

100. Technology-1993 / Ed. by S. Schmidt, J. Shaner, G. Samara, M. Ross. — New York: AIP Press, 1994.- Pp. 1817-1820.

101. Журков, С. / С. Журков // Вестник АН СССР.- 1968.- № 3.-С. 46.

102. Регель, В. Кинетическая природа прочности твердых тел / В. Регель, А. Слуцкер, Э. Томашевский. — Москва: Наука, 1974.

103. ВагЪее, Т. / Т. Barbee, J. Seaman, R. Crewdson // Materials. — 1972. — Vol. 7, no. 3. P. 393.

104. Johnson, J. Dynamic fracture and spallation in ductile solids / J. Johnson // J. Appl. Phys.- 1981.- Vol. 52, no. 4.- P. 2812.

105. Ударно-волновые явления в конденсированных средах / Г. Канель, С. Разоренов, А. Уткин, В. Фортов. — Москва: Янус-К, 1996.

106. Meuer, Н. The mannheim supercomputer statistics 1986-1992 / H. Meuer // TOP 500 report 1993.- University of Mannheim, 1994.— Pp. 1-15.

107. Meuer, H. Top500. — доступно в Internet: http://www.top500.org.

108. Берзигияров, П. Теория проблемно-ориентированных типовых алгоритмических структур с массивным параллелизмом. — 2001.— Диссертация на соискание степени доктора физико-математических наук.

109. High Performance FORTRAN Forum. — Официальная страница в Internet: http ://dacnet.rice.edu/Depts/CRPC/HPFF/.

110. Parallel Virtual Machine. — Официальная страница в Internet: http: //www.csm.ornl.gov/pvm/.

111. Bulk Synchronous Parallel Model. — Официальная страница сообщества BSP в Internet: http://www.bsp-worldwide.org/.

112. MPI: The Complete Reference / M. Snir, S. Otto, S. Lederman et al.— Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1998.— доступно в Internet:http : //www. netlib. org/utk/papers/mpi-book/mpi-book. html.

113. Message Passing Interface Forum. — Официальная страница в Internet: http ://www.mpi-forum.org.

114. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. — Москва: Мир, 1980.

115. Султанов, В. Трехмерное численное моделирование высокоэнергетических импульсных процессов.— 2001.— Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук.

116. MPICH A Portable Implementation of MPI. — Официальная страница в Internet: http://www-unix.mcs.anl.gov/mpi/mpich.

117. Канель, Г. Экспериментальные профили ударных волн / Г. Канель, С. Разоренов, А. Уткин. — Москва, 1996.

118. Топкое, Е. Фазовые диаграммы элементов при высоком давлении / Е. Тонков. — Москва: Наука, 1979.

119. Динамическая сжимаемость и уравнение состояния железа при высоких давлениях / JI. Альтшулер, К. Крупников, Б. Леденев и др. // ЖЭТФ. 1958. - Т. 34. - С. 874-885.

120. Зельдович, Я. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений / Я. Зельдович, Ю. Райзер. — Москва: Наука, 1966.

121. Grady, D. Shock wave compression of brittle solids / D. Grady // Mechanics of Materials. 1998. - Vol. 29. - Pp. 181-203.

122. Kanel, G. Compressive fracture of brittle solids under shock-wave loading / G. Kanel, S. Bless // Ceramic Armor Materials by Design / Ed. by J. McCauley, A. Crowson, W. Gooch et al. — Vol. 134 of Ceramics Transaction. 2002. - Pp. 197-216.

123. A study of the failure wave phenomenon in brittle materials / G. Kanel, A. Bogach, S. Razorenov et al. // Shock Compression of Condensed Matter 2003 / Ed. by M. e. a. Furnish. - AIP CP, 2004. - Pp. 739-742.

124. Grady, D. Experimental analysis of spherical wave propagation / D. Grady // J. Geophys. Res. 1973. - Vol. 78, no. 8. - Pp. 1299-1307.

125. Fowles, R. Conservation relations for spherical and cylindrical stress waves / R. Fowles // J. Appl. Phys.- 1970.- Vol. 41.- Pp. 2740-2741.

126. Лаврентьев, M. Кумулятивный снаряд и принципы его работы / М. Лаврентьев // УМН. 1957. - Т. 12, № 4(76). - С. 41-52.

127. Теплофизика и динамика интенсивных импульсных воздействий / А. Бушман, Г. Капель, А. Ни, В. Фортов. — Черноголовка, 1988.