Многообразия ассоциативных алгебр с условиями конечности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КЗ -од---

На правах рукописи

2 н НОЯ д997

Кублановский Станислав Ицхокович

МНОГООБРАЗИЯ АССОЦИАТИВНЫХ

АЛГЕБР С УСЛОВИЯМИ КОНЕЧНОСТИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997 год

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел СПбГУ.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор фйз.-мат. наук, профессор Бокуть Леонид Аркадьевич доктор физ.-мат. наук, профессор Кемер Александр Робертович доктор фйз.-мат. наук, профессор Михалев Александр Васильевич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: ПОМИ РАН

Защита состоится " Ю " Ш^К1997 года в /3, Ой час. на заседании диссертационного совета Д 063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени Доктора наук в СПбГУ. Адрес: 198904, Санкт-Петербург. Петергоф, Библиотечная пл., 2, мат.-мех.

Защита состоится! по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. Фонтанки, 27 (ПОМИ), зад 311.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной Библиотеке им. Горького по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " 1! " 1997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.57.29,

доцент Ананьевский С.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение алгебраических систем с теми или иными условиями конечности является определяющим направлением алгебраических исследований. В многочисленных работах по этой тематике выделились следующие условия конечности, которые теперь считаются классическими.

I. Конечность базиса.

Говорят, что алгебра удовлетворяет теореме о конечности базиса (т.н. Теореме Гильберта о базисе), если каждый ее идеал является конечно порожденным (как идеал). Это равносильно условию обрыва в алгебре возрастающих цепей идеалов (т.н. слабая нете-ровость алгебры). Аналогично определяется левая (правая) нете-ровость. Под нетеровостью понимается двусторонняя нетеровость алгебры. Свое название это свойство получило от знаменитой теоремы Гильберта о базисе. В 1890 Д.Гильберт [17] доказал, что в кольце многочленов от конечного числа переменных над полем или над кольцом целых чисел любой идеал порождается конечным числом элементов (имеет конечный базис). Затем этот результат был распространен на конечно порожденные (к.п.) алгебры над нете-ровыми кольцами и нашел широкое применение в коммутативной алгебре.

II. Финитная аппроксимируемость.

Говорят, что алгебра М над кольцом Л является конечной, если она является конечно порожденным (к.п.) модулем над Л. Говорят, что алгебра А - финитно аппроксимируема (ф.а.) если для любого элемента а £ А и а ф О существует конечная алгебра М и гомоморфизм <р : А -¥ М такой, что уз(а) ф 0. В 1958 А.И.Мальцев [18] доказал, что конечно порожденная коммутативная алгебра над полем финитно аппроксимируема и вывел отсюда разрешимость ряда алгоритмических проблем. Эта работа А.И.Мальцева оказала существенное влияние на ход всех дальнейших алгебраических исследований в этой области.

III. Представимость (эндоморфизмами).

Говорят, что алгебра А представима, если она вложима в алгебру эндоморфизмов к.п. модуля над коммутативной алгеброй. Частным случаем этого понятия является представимость матрицами (над коммутативной алгеброй или над полем). Абстрактная

теория алгебр содержит большое количество проблем, решение которых в общем виде отсутствует до настоящего времени или отрицательно. Однако, эти проблемы получают положительное решение, если предположить, что алгебры, о которых идет речь в этих проблемах, представимы. Наиболее известный пример такого рода представляет проблема А.Г.Куроша о локальной конечности алгебраических алгебр. Основополагающие результаты по нахождению условий матричной представимости алгебр и выявление ряда важных свойств таких алгебр были получены А.И.Мальцевым в 1943 [19]. Алгебры представимые (эндоморфизмами) - это в точности алгебры, которые можно вложить в алгебры, являющиеся конечно порожденным модулем над коммутативным кольцом. В общем виде проблему описания таких алгебр поставил Ш. Амицур [24].

IV. Свойство Хопфа.

Говорят, что алгебра А - хопфова, если она не изоморфна никакому своему собственному фактору, т.е. А ^ А/1 (если I ф 0). В 1932г. Хопф поставил вопрос о том, может ли конечно порожденная группа быть изоморфна своей истинной фактор-группе. Утвердительный ответ на это дал Б.Нейман [21] в 1950. В работах 40-50 г. А.И.Мальцев изучает проблему Хопфа для групп и ассоциативных алгебр. В работе [19] устанавливается хопфовость представимых алгебр с конечным числом образующих. В 1950 он доказывает [20], что в относительно свободных хопфовых алгебрах конечного ранга п каждая система из п образующих является свободной.

V. Свойство Хигмана.

Говорят, что многообразие алгебр является хигмановым, если каждая рекурсивно определенная алгебра (т.е. конечно порожденная с рекурсивно перечисленным множеством определяющих соотношений) вложима в конечно определенную алгебру. Многообразие алгебр называется наследственно хигмановым, если оно само и любое его подмногообразие является хигмановым. Свое название рассматриваемое условие конечности получило благодаря хорошо известной теореме Г.Хигмана (1961) о том, что любая рекурсивно определенная группа вкладывается в конечно определенную, т.е. в современной терминологии, что многообразие групп является хигмановым. В.Я.Беляев (1978) показал, соответственно, что многообразие ассоциативных колец является хигмановым. Вопрос о критерии хиг-мановости многообразий алгебр был в общем виде отмечен в обзоре

Л.А. Бокутя [22]).

Постановка задачи.

Говорят, что в многообразии алгебр локально выполняется некоторое условие, если оно выполняется для каждой к.п. алгебры из этого многообразия. Классические результаты Гильберта и А.И.Мальцева показывают, что многообразия коммутативных алгебр над полем локально удовлетворяют свойствам I - V. Т.е. тождество коммутативности [х, у] = 0 обеспечивает локальную выполнимость свойств I - V. Возникает вопрос: для каждого из свойств / - V описать тождественные соотношения (или системы тождественных соотношений), гарантирующие локальную выполнимость соответствующих условий конечности. Фактически, речь идет о возможности обощения и переноса классических результатов с коммутативного случая на случай Р/-алгебр. В такой постановке эти проблемы поднимались в ряде работ (см.[22],[23],[24]). В 1966 В.Н.Латышев

[25] описал локально нетеровые (слева) многообразия алгебр над полем характеристики 0. В 1969 И.В.Львов [10] доказал, что многообразие алгебр над полем характеристики 0 будет локально слабо нетеровым (л.с.н.) тогда и только тогда, когда в нем выполняется тождество вида:

хупг — (1)

«,<л

где щ и V, некоторые слова.

В 1976 И.В.Львов [10] анонсировал аналогичное описание для алгебр над нетеровым кольцом Джекобсона и установил, что л.с.н. многообразия являются л.ф.а. И.В.Львов нигде до сих пор не опубликовал доказательства этого результата. В 1976 Ю.Н.Мальцев

[26] доказал, что многообразие алгебр над полем характеристики О будет л.с.н. тогда и только тогда, когда оно не содержит многообразие заданного тождеством хуг1 = хгу1. В 1943 А.И.Мальцев [19] доказал, что каждая к.п. коммутативная алгебра над полем представима матрицами над расширением исходного поля. В 1957 И.Капланский высказал гипотезу, что каждая к.п. Р/-алгебра представима матрицами. Однако вскоре был найден опровергающий пример к этой гипотезе. С этого момента стала актуальной задача описания условий представимости 7*/-алгебр в терминах тождеств. Одним из первых обощений результата А.И.Мальцева был результат, установленный Дж. Левиным в 1974 [27]. Из результа-

тов его работы следует, что каждая к.п. алгебра (над полем), удовлетворяющая тождеству [ж, t/] ■ [z,t] = 0, представима матрицами над полем. Следующий результат в этом направлении был получен В.Г.Марковым в 1976. Он установил локальную представимость многообразия алгебр над бесконечным полем, удовлетворяющих тождеству Энгеля:

[х,у,у,-~у] = о

В 1977 А.З.Ананьин [5] доказал, что для того, чтобы многообразие алгебр над бесконечным полем было локально представимо н.и.д., чтобы в этом многообразии выполнялось тождество вида:

[xi,x2...xn]yi,y2...yn[zi,...zn] = О

В этой же работе доказана эквивалентность локальных свойств I - III. Ананьин существенно использовал бесконечность исходного поля. Это дает возможность в алгебре расширить поле скаляров до алгебраического замыкания. При этом сохраняется выполнимость в алгебре всех исходных тождеств. Оказывается, что для алгебр над бесконечным полем можно ограничиться лишь однородными тождествами.

При переходе от бесконечного поля к произвольному коммутативному кольцу коэффициентов (например, к кольцу многочленов) ситуация принципиально изменяется. Алгебры уже нельзя рассматривать как векторные пространства. Отсутствие базиса и однородности тождеств не позволяет применять ранее разработанные методы. Многие классические алгебраические задачи при переходе от поля коэффициентов даже к кольцу многочленов становятся принципиально сложными проблемами (см. например, проблему Ж.-П.Серра [14]). Причем, сложность этих задач зависит часто от числа рассматриваемых переменных. Вот почему задача описания многообразий, в которых локально выполняются классические условия конечности, до сих пор оставалась нерешенной. Цель работы - исчерпывающее описание многообразий алгебр, в которых локально выполняются классические условия конечности, в том числе теоремы Д.Гильберта и А.И.Мальцева. Общая методика выполнения работы. Используются структурные методы, опирающиеся на классические результаты

Д.Гильберта и А.И.Мальцева. Используются также теоретико-кольцевые методы, разработанные А.И.Ширшовым, Н.Джекобсоном и И.Капланским для колец и алгебр с тождественными соотношениями. Существенно используются методы коммутативной алгебры, в частности теория разложений простых идеалов (теория Круля-Шмидта). Решение поставленной задачи потребовало принципиально нового подхода к характеристике тождеств. Разработанная в работе теория инвариантов (так называемая нормальная характеристика) используется для распознавания локальных свойств многообразий алгебр. Это распознование потребовало специфической техники, связанной с аппроксимационными методами, индукцией по спектру кольца и теорией симметрических многочленов (формулы Ньютона).

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В ней получили завершение исследования, посвященные описанию многообразий алгебр, в которых выполняются классические условия конечности. В работе удалось решить поставленные задачи в максимальной общности. Именно доказана эквивалентность классических условий конечности для многообразий алгебр над произвольным нетеровым кольцом Джекобсона. Устано-вленно, что указанные свойства эквивалентны только в том случае, если кольцо скаляров является нетеровым кольцом Джекобсона. Описаны все тождественные соотношения, обеспечивающие локальную выполнимость классических условий конечности. Вводится понятие нормальной характеристики тождеств и систем тождеств. Оказалось, что это понятие является универсальным и эффективно вычислияемым инвариантом многообразий. В работе показано, что многие условия конечности (в частности теоремы Д.Гильберта и А.И.Мальцева) выполняются в многообразиях алгебр тогда и только тогда, когда нормальная характеристика этих многообразий равна 1. Поэтому представляется оправданным называть указанные многообразия "Многообразия Гильберта-Мальцева" и рассматривать их как естественное обобщение коммутативности. В качестве приложения в настоящей работе получено решение ряда известных задач, в частности, получено положительное решение проблемы Эн-геля для ассоциативных колец. Это является аналогом известного результата Е.Зельманова о локальной нильпотентности энгелевых колец Ли. Полученные результаты могут служить фундаментом для

дальнейших исследований в области теории представлений алгебр с тождественными соотношениями и некоммутативной алгебраической геометрии.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на XVII и XVIII Всесоюзных алгебраических конференциях в Минске (1983) и Кишиневе (1985), на международной конференции посвященной памяти Д.К.Фаддеева в Санкт-Петербурге (1997), на семинаре "Алгебра и Логика" в Новосибирском государственном университете, на семинаре лаборатории алгебраических методов ПОМИ им. В.А. Стеклова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1],[2], [3],[4].

Объем и структура работы. Работа состоит из введения и двух глав, каждая из которых разделена на два параграфа. Работа занимает 82 страницы машинописного текста, список литературы сро-держит 37 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Основная теорема.

Коммутативное кольцо с единицей А называется кольцом Дже-кобсона, если каждый простой идеал этого кольца является пересечением некоторого семейства максимальных идеалов. Любое поле, конечно порожденное коммутативное кольцо, кольцо многочленов над кольцом Джекобсона являются также кольцом Джекобсона. Известно, что класс колец Джекобсона замкнут относительно гомоморфных образов. Пусть / некоторый полином от некоммутирую-щих переменных над кольцом А. Два одночлена будем считать подобными, если один из другого можно получить перестановкой внутренних переменных (т.е. не затрагивая крайние слева или справа переменные). Путем приведения подобных членов из данного многочлена / может быть получен многочлен вида:

7

>6/

где - семейство попарно неподобных "в указанном смысле

одночленов, А* £ А. Идеал в кольце Л, порожденный семейством (Аг))б/ назовем нормальной характеристикой многочлена / и

обозначим через (/(/). Если этот идеал совпадает со всем кольцом Л, то скажем, что нормальная характеристика многочлена / равна 1. Нормальной характеристикой многообразия V алгебр над кольцом Л, заданного совокупностью тождеств [/,• = 0 | г £ /], назовем сумму нормальных характеристик многочленов (/¿),е/ и обозначим ее через и(У). Т.о.

Нетрудно показать, что нормальная характеристика многообразия определяется этим многообразием однозначно, т.к. не зависит от выбора базиса тождеств. Отметим, что, если Л - кольцо главных идеалов, то вычисление нормальной характеристики тождества или совокупности тождеств сводится к нахождению наибольшего общего делителя семейства элементов кольца. Аналогично можно определить левую (правую) нормальную характеристику тождеств и многообразий. Для этого достаточно рассмотреть преобразование слов, не затрагивающих первую (последнюю) букву. Через £(V) и г(У) обозначим, соответственно, левую и правую нормальную характеристику многообразия алгебр V. Пусть Р - простой идеал кольца Л, X - некоторое конечное множество (переменных), тг - фиксированное натуральное число. Пусть Лп — А/Рп, А„[Х] - кольцо многочленов над Л„ с коммутирующими переменными из X. Ясно, что кольцо Л„[Х] можно естественным образом рассматривать как алгебру над Л. Нетрудно видеть, что идеал РАп[Х] является простым идеалом алгебры Л„[Х]. Через Ф„(А,Р,Х) обозначим локализацию кольца Л„[Х] по простому идеалу РАп [X] (см.[30]). Это кольцо назовем кольцом примарных дробей (степени п) кольца Л по простому идеалу Р. Из определений вытекает, что кольцо примарных дробей является локальным, причем оно содержит единственный простой идеал Р = РФп(Л, Р, X), который является максимальным в этом кольце, причем Р = 0. Отметим одно замечательное свойство колец примарных дробей, делающее их очень близкими к полям. Нетрудно показать, что имеет место следующее утверждение: каждый конечно порожденный модуль над кольцом примарных дробей имеет конечную длину. Говорят, что модуль имеет конечную длину, если он обладает конечным композиционным рядом подмодулей (см.[14]). Пусть Ф - про-

извольная коммутативная алгебра над Л. Д,1%,..., 1п - некоторое семейство идеалов Ф. Положим Фи = {х € С /»}. Отметим

Ф^Ф^к С Ф{к: т.е.(Фу) - сеть идеалов. Данной сети идеалов соответствует подалгебра матриц МП(Ф), состоящая из матриц вида ||х,_,•)(: 6 Ф{]. Эту алгебру обозначим |]Ф«^||- Пусть образ идеала Фу при каноническом гоморфизме Ф —> Ф//,. На множестве матриц ||Фу|| канонически определяется структура Л-алгебры так, что алгебра ||Фг;Ц является фактором алгебры ||Ф>_,||. Полученную алгебру обозначим через Мп(Ф, Д, /2,..., /„) и назовем алгеброй фактор-матриц над Ф с системой идеалов 1\,12, ■■■ ,1п- Отметим, что алгебра фактор-матриц над Ф изоморфна алгебре эндоморфизмов с-циклического модуля (см.[14], с.147) над Ф и обратно: алгебра эндоморфизмов любого сг-циклического модуля над Ф изоморфна алгебре фактор-матриц для походящей системы идеалов. Если Л является кольцом главных идеалов, то кольцо примарных дробей является цепным кольцом (т.е. его идеалы образуют цепь

по включению), причем каждый идеал кольца примарных дробей _^

имеет вид Р (к = 0,1,...п). Хорошо известно [14], что каждый к.п. модуль над цепным кольцом раскладывается в конечную прямую сумму циклических модулей, т.е. является с-циклическим. Из выше сказанного можно сделать вывод, что алгебра эндоморфизмов к.п. модуля над кольцом примарных дробей Ф в этом случае допускает представление в виде алгебры фактор-матриц Мт(Ф, Д, /2, ...1т) для подходящей системы идеалов 1\, ...1т кольца Ф.

Основной результат настоящей работы составляет следующая теорема.

Теорема.

(I). Следующие условия для многообразия ассоциативных алгебр V над нетеровым коммутативным кольцом Джекобсона А эквивалентны.

1. V - локально финитно аппроксимируемо.

2. V - каждая конечно порожденная алгебра из V является конечно определенной (что эквивалентно локальной слабой нетеровости многообразия, т.е. условию обрыва возрастающих цепей идеалов).

3. V - локально представимо.

4. V - локально хопфово.

5. V - наследственно хигманово.

6. В многообразии V выполняется тождество вида (1).

7. Нормальная характеристика многообразия V равна 1.

8. Каждая к.п. алгебра из V вкладывается в конечную прямую сумму конечных алгебр над кольцами примарных дробей (для подходящей системы простых идеалов).

9. Каждая к.п. алгебра из V вкладывается в некоторую конечную алгебру над некоторым коммутативным расширением исходного кольца.

10. Каждая конечно порожденная алгебра из V представима эндоморфизмами конечно порожденного модуля над кольцом многочленов над А от конечного числа переменных.

(II). Если для любого многообразия алгебр над коммутативным

кольцом А (с единицей) свойства (1)--(10) эквивалентны, то

А - является нетеровым кольцом Джекобсона.

Замечания.

1. Если Л - кольцо главных идеалов, то свойства (1) — (10) эквивалентны свойству

11. Каждая к.п. алгебра из V представима фактор матрицами над конечной прямой суммой колец примарных дробей.

Это дает "почти" матричное представление над коммутативным кольцом. Как показывает пример Бергмана (см.[28]), это свойство не эквивалентно свойству точной представимости матрицами над коммутативным кольцом.

2. Если Л - поле, то свойства (1) — (10) эквивалентны свойству:

12. Каждая к.п. алгебра из V представима матрицами над полем.

3. Если Л конструктивное кольцо, то благодаря свойству (7) мы получаем эффективный алгоритм, распознающий по любому конечному базису тождеств многообразия, удовлетворяет ли оно эквивалентным свойствам (1) — (Ю).

4. Из определений вытекает, что в многообразии нормальной характеристики 1 выполняется тождество, нормальная характеристика которого равна 1. Т.о. приведенная теорема показывает, что тождества с нормальной характеристикой равной единице, являются именно тем обобщением коммутативности, для которого остаются справедливыми классические теоремы Гильберта и А.И.Мальцева.

Приложения.

Здесь мы сформулируем некоторые следствия основной теоремы, обобщающих ряд известных результатов.

С1. Пусть А - нетерово кольцо Джекобсона. Пусть А - к.п. алгебра над Л - удовлетворяющая тождеству Энгеля:

Тогда А - лиево нильпотентиа, т.е. удовлетворяет тождеству:

Замечание. Проблема Энгеля предоставляет собой проблему Бернсайдовского типа.Впервые она была рассмотрена для групп и алгебр Ли. Работы Б.И.Плоткина 50-60 г. и А.И.Кострикина [3233] оказали существенное влияние на ход дальнейших исследований в этой области. Для групп эта проблема в общем случае остается открытой. Положительное решение этой проблемы для колец Ли было найдено в известной работе Е.И.Зельманова [29]. Глобальный случай для произвольных ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 был установлен А.Р.Кемером [34]. Следует отметить, что для конечно порожденных алгебр над полем ненулевой характеристики положительное решение проблемы Энгеля следует из Теоремы А.И.Ширшова о высоте [15]. Работа А.Р.Кемера [35] показывает, что тождество Энгеля играет особую роль в теории конечно порожденных ассоциативных .Р/-алгебр.

С2. Пусть А - алгебра над нетеровым кольцом Джекобсона, коммутант которой не содержит ненулевых ннль-элементов. Если А удовлетворяет тождеству нормальной характеристики 1, то А - коммутативная алгебра.

\х,у,у, ...у] - О

(1)

[...[11, Х2], ...£„] = 0

(2)

Замечание. В частности, любое тело, в котором выполняется тождество нормальной характеристики равной 1, является полем. Утверждение остается в силе при более общих предположениях на тождество. Достаточно потребовать, чтобы тождество было слабо нематричным (см. Замечание к Предложению С).

СЗ. Пусть А - нетерово кольцо Джекобсона. Для того, чтобы многообразие А - алгебр V было нетерово слева (справа) необходимо и достаточно, чтобы левая (правая) нормальная характеристика многообразия V была равна 1.

С4. Пусть А - нетерово кольцо Джекобсона. Для того, чтобы в многообразии Л-алгебр V каждая конечно порожденная алгебра была конечно определенной (в абсолютном смысле) необходимо и достаточно, чтобы1{У) + г(У) = Л, т.е. сумма левой и правой нормальной характеристики совпадала со всем кольцом операторов А.

Замечание. В частности, если Л - поле, то в многообразии Л-алгебр V каждая конечно порожденная алгебра будет конечно определенной (в абсолютном смысле) тогда и только тогда, когда левая или правая нормальные его характеристики равны 1. Тоже утверждение остается в силе, если Л - цепное кольцо. Утверждение СА отвечает на вопросы К. Прочези [36] и Дж. Левина [27].

С5. Пусть V - многообразие ассоциативных колец, заданное конечным набором тождеств Ф = {/, = 0 | г = 1,..., тп}.

1. Если нормальная характеристика многообразия V равна 1, то в V разрешима универсальная теория.

2. Существует алгоритм, определяющий для любого многочлена / с нормальной характеристикой равной 1, является ли тождество / = О следствием из Ф.

Замечание.

1. Проблема распознования или, как ее еще называют следования, тождеств является хорошо известной алгоритмической проблемой для алгебраических систем. В.Л. Мурский (1968) и Ю.Г.

Клеман (1982) показали, соответственно, что проблема следования тождеств для полугрупп и групп неразрешима. Для ассоциативных колец в общем виде эта проблема А.И. Мальцева (1966) открыта до сих пор. В настоящем следствии утверждается, что для тождества с нормальной характеристикой равной 1 эта проблема разрешима.

2. Утверждения Следствия СБ остаются в силе для алгебр над счетным кольцом, в котором алгоритмически разрешима проблема принадлежности единицы к конечно порожденному идеалу. К таким кольцам относятся, например, конечные поля, конечно порожденные коммутативные кольца с единицей, кольца многочленов над полем и т.п.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

[1] Кублановский С.И. О многообразиях ассоциативных алгебр с условиями конечности, Тезисы 17 Всесоюзной алгебраической конференции, 118-119, Минск, 1983.

[2] Кублановский С.И. Локально-финитно-аппроксимируемые и локально представимые многообразия ассоциативных колец и алгебр, Л., 1982, 78с. - ВИНИТИ, N61, 43-82.

[3] Кублановский С.И. О многообразиях ассоциативных алгебр с условиями конечности, Тезисы 18 Всесоюзной алгебраической конференции, Кишинев, 1985.

[4] Кублановский С.И. О многообразиях ассоциативных алгебр с условиями конечности. "Алгебраи анализ", 1997, т.9, N4, с.119-174.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА.

[5] Ананьин А.З. Локально финитно аппроксимируемые и локально представимые многообразия алгебр. - Алгебра и логика, 16(1977), N1.

[6] Бурбаки Н. Алгебра. - М.:"Наука", 1966.

[7] Джекобсон Н. Строение колец. - М.: Иностр. лит-ра, 1961.

[8] Higman G. Subgroups of finitely presented groups. Proc. Roy. Soc., A, 1961, v.262, N1311, p. 455-475.

[9] Львов И.В. Условия максимальности в алгебрах с тождественными соотношениями. - Алгебра и Логика, 8(1969), N4.

[10] Львов И.В. Локально слабо нетеровы многообразия алгебр над нетеровыми кольцами. - В сб.: III Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр, модулей. Тарту, Изд-во ТГУ, 1976.

[11] Ленг С. Алгебра. - М.:"Мир", 1968.

[12] Мальцев А.И. Избранные труды, т.1. - М.:"Наука", 1976.

[13] Херстейн И. Некоммутативные кольца. - М.:"Мир", 1972.

[14] Фейс К. Алгебра. Кольца, модули и категории. - М.:"Мир", 1979.

[15] Ширшов А.И. О кольцах с тождественными соотношениями. - Матем. сб., 43(1957), N2.

[16] Regev A. Existence of polynomial identities in А® В, Bulletin of American Mathematical Society, v.77, N6, November 1971.

[17] Hilbert D. Math.Ann., 1890, vol.36, s.473.

[18] Мальцев А.И. О гомоморфизмах на конечные группы. Учен.зап. Ивановского пед. института, 1958, т.18, с.49-60.

[19] Мальцев А.И. О представлениях бесконечных алгебр. Ма-тем.сб., 1943, т.13 (55).

[20] Мальцев А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями. Матем.сб., 26(1950), N1, 19-33.

[21] Neumann В.Н. A two generator group isomorphic to a proper factor group. J.Mondon. Math. Soc. 25(1950), 247-248 (38).

[22] Бокуть Л. А. Алгоритмические проблемы и теоремы вложения: некоторые открытые вопросы для колец, групп и полугрупп ИЗВ. ВУЗОВ Матем., 1982, N11, с.3-11.

[23] O.G.Khrlampovich, M.V.Sapir. Algoritmithm ic problems tti van-eties, Inter I. Algebra Comput., 5(4,5)(1995), 379-602.

[24] Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей. Новосибирск, 1982.

[25] Латышев В.Н. Обобщение теоремы Гильберта о конечности базисов. Сиб. мат. журн., 1966, т.7, N6, с.1422-1424.

[26] Мальцев Ю.Н. О многообразиях ассоциативных алгебр. Алгебра и Логика, 15(5)(1976), 579-584.

[27] Levin J. A matrix representations for associative algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 1974, vol.188, iss.2, p.293-317.

[28] Bergman G.M. Same examples m PI-ring theory, Israel J. Math., 18(3)(1974), 257-277. MR 50# 9956.

[29] Зельманов Е.И. Решение ограниченной проблемы Бернсайда для групп четной экпоненты. Изв. Акад. Наук СССР., Сер. Мат., 54(1)(1990), 42-59.

[30] Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, М:"Мир", 1972.

[31] Ван дер Варден Б .Л. Алгебра, М:"Наука", 1976.

[32] Кострикин А.И. Проблема Бернсайда, Акад. Наук СССР., Сер. Мат., 23(1959), 3-34.

[33] Kostrikin A.I. Sandwiches in Lie algebras, Mat. sb., 110(1979), 312, MR 24# A1947.

[34] Кемер A.P. О нематричных многообразиях. "Алгебра и Логика", 1980, т.19, NZ, с.283-285.

[35] Кешег A.R. The standard identity in characteristic p. A con jecture ofl.B. Volichenko, Israel J. Math., 1993, v.81.

[36] Procezi C. Rings with polynomial identity, Marcel Dekker, New-York, 1973. MR 51 # 3214.