Многошаговые методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГб од

7 ПЮН |Эр<?сСИИСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЦЕНТР

На правах рукописи

ИБРАГИМОВ ВАГИФ РЗА оглы

УДК 519. 62Й

МНОГОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01. 07 — Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

19 9 3

Работа выполнена в Бакинском государственном университете.

Официальные оппоненты: .

— доктор физико:матёматических наук, профессор

В. В. Шайдуров;

— доктор физико-математических наук, профессор

С. С. Артемьев;

— доктор физико-математических наук, профессор

К. Г. Валеев.

Ведущая организация: Математический институт Академии

Наук Беларуси;

Защита состоится « »...... 1993 года в . . .

час. на заседании специализированного совета Д 002.10.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Вычислительном: центре' Сибирского . отделения Российской АН по адресу: 630090,-Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читательном зале отделения ГПНТБ СОРАН (пр. Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан « »...... 1993 года.

Ученый секретарь* -специализированного совета,-; О

доктор физ.-мат. наук Ю. И. КУЗНЕЦОВ

- 3 -

Актуальность темы диссертации. Как известно, многие вопросы естествознания приводят к начальной 'задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, которые можно представить в виде:

±=}(1,Х) (I)

или же в виде:

(2,

Найти явные решения задачи (Г) или (2), выраженные через хорошо изученные ©гнкциа, удается не зсегда. Поэтов для решения задачи (1) тли (2) используются приближенные методы. Среди этих методов в последнее время бурно развиваются численные методы, начинавшиеся с работы Даламбора и Эйлера, которые связаны с использованием 2ЦЕМ. Одним из часто применяемых численных методов является так называемый ¡^ -патовый метод, язлявдийся одним из представителе!!' многошаговых методов. Обычный Ц -шаговый метод имеет следупцпй вид:

(** '»м-)' (5>

где Н>0 некоторый параметр, а Ц- , ^ (с~0, К.) неко-

торые действительные числа, прячем сСи • Если нам известны значения решения задачи (I) в первых К -»точках V, , (/~0)то используя формулы (3) мохяо вычислить приближенные значения решения задачи (I) в точках '¿^ •

Исследованию формулы (3), как численного решения задачи • (I), пссвЕцекн шогочлеленнна работы как советских, так и за-рубе:кннх авторов. Здесь мэ.тло указать, напр., работы: Тихонова А.Е.. Горбунова з их учеников, Бахвалсва Н.С., Ракгиско-

_ 4 -

го ¡0.3., Шура-Бура M,?., Бадеева Й.Г., Рябенького B.C., Оп-лишова А.©., Годунове. С.К., Дальквисга Г., Гх:ра К., йтэт-те-ра X., Еа-тчера U.C., Ле.чберта Р.1К. s др.

ОдНЯМ ИЗ BSSHHX ГЗОПрОСОВ ПРИ ВССЛОДОВС2И1: формулы (3), является определение порядка точности yci-ойчавых г.-.етодоз, полученных из (3). Этот вопрос репен в работе Бахзгдога Н.С. г. Дальхвиста Г. в виде связи мегяду порядком к степенью устойчивых методов, определявших по формуле (3) прл V- Я-1 и . Из отн;:. работ, легко определить, что порядок точности устойчивых методов, подученных из (3) ограничен. Поэтому ддя увеличения порядка точности устойчивых методов, определяемых по формуле (3) при y-s.j£ использованы разное схешн. Марчуксм Г.И. и Шайгурозым Е.З. кредяокена и исследована глобальная экстраполяция Ричардсона. Раклтским Б.В., Салхховкд К.Г. я др. предложено использовать долусуклу пряближ-энных значение ресери:: задачи (I) вычисленных' по двум разным методам. Некоторые авторы с отой целью предложили использовать методы, которые в частности содер.т&тся в следутаей обобщенной цадр.-гуле.

Обре'лкоза: К

,U)~ Ji

t-U.x = L. (4)

¿-s f\~i j=i i-0 ¿1 •

Ери из формулы (4) следует формула (3), если по-

лолаM JC. . Формула (4) прк Z-S. исследована «котла r.BTopf-vn.. ÎJosho ответить, раооти Дальквиста Г., Иркиг Кобза, Хутья А.Л., спрайта У.Х. и др. Но при 2. > £ судестзует очень мало работ, пссвяиокккх исследование rfopwysa (4). Отмэтим, что формулы (4) можно при;..знпть как к числонкогчу решокпв за-

- 5 -

дачи (I), так и к численному решению.задачи (2).

Чтобы формулу (4) применить к численному решению задач, полученных из (2), желательно ее написать в виде:

p-^-tii EfJ>xu'J . (»

n*t ^ j. h+.

Следует отметить, что формула (5) при £>1 не может быть устойчивой. Поэтому при 1€ >1 используется понятие ^-устойчивости. Формула (5) при' Z-L исследована Дальквг.с-том Г. и Хутья A.A. млад.

Легко понять,.что для обобщения всех возможных случаев формулы (4) и (5) tiomo записать в следующем виде:

Eoi.x . - £l ■ (в,

¿г0 <j ¿-0Ли n+t 5

где 5. iJ- i. 2 ) получают значения О (нуль) или! (один).

При исследовании численного решения задачи (I) одним из важных 'вопросов является построение ß ;и устойчивых методов,- которые,применяются к численному резе:-гию жестhex с-исхем. Для построения ß и L -устойчивых методов с вн~" сокоа степенью можно' использовать некоторое варианты метода прогноза-коррекции, гибридные методы, а также £ -шаговые метода с переменными коэффициентами. Ук&зепннй вопрос с помощью одношаговнх методоз решен в работах Лебэдзза В.PL, $е~ дорзнко Р.П;, Бобкоза В.В., Новикова Е.А.. Артельева С.С.,-Деклдова Г.В., Хутья A.A. и др. Указанный вопрос с поэдъв

£ -шаговых методов исследован з работах Дальквиста Г., Брунэра X., Лемберта P.S., Гара К. и др. ■

Из в;пдз сказанного следует, что в теории часлекнаг ые--тодрз р-ЗЕОния задачи (I) пли (2) актуальным вопросом яехзз-

- 6 -

ой исследование максимальных значений степеней для устойчивых и ¿Г —устойчивых методов, а также устойчивых в -устойчивых методов о забеганием вперед, почтенных аз соотношений (С),

Основная цель диссертации заключается б определении некоторых способов для увеличения порядка точности устойчивых 'и £ -устойчивых методов, а также увеличения порядка точно ■».■;! £ и ¿? -устойчивых методов. А также в определении максимального значения степени для устойчивых и -устойчивых . -шаговых методов Обреикова, кмевдих разные формулы в ах.применения к численному решению задачи (2).

Об"ектами исследования выбрано нахоадение связи порядком к степенью для .устойчивых, -устойчивых ¡с -шаговых методов Обрашкова, а также устойчивых и £ «устойчивых формул о забеганием вперед, полученных из соотношений (5) и (6) и построение с помощью этих методов / и ¿1 -устойчивых методов,

На7чпая новизна. 1-, Показано насколько увеличивается точность £ -шагового метода, при однократном использовании локальной и глобальной экстраполяции Ричардсона.

2. С целью построения устойчивых методов о высокой точностью, исследована формула с забеганием вперед. Найдено максимальное значение степени для устойчивых £ -шаговых методов с забеганием вперед,.

3, Доказано, что с помощью устойчивых -шаговых методов с забеганием вперед, могло построить и Ь -устойчивые методы, имеющие' более высокую точность, чем известные.

4. Определены•максимальные значения степэяей для £ -устойчивых К. -шаговых методов Обрэшкова с забеганием вперед,

С помощью выделения линейного члена правой часта дифференциального уравнения, построены и Ь -устояли-вые методы. Достроены специальные методы для численного решения дифференциальных уравнений высших порядков,

6, Показана эффективность методов, специально приспособленных для решения дифференциальных уравнений высших порядков.

7, Полностью изучена связь мезду порядком и степенью для устойчивых и <£ -устойчивых X -саговых методов 05-рзшкоза, а такке дая устойчивых £ -шаговых методов Обреш • кова с забеганием вперед.

6= Полностью изучено нахождение максимального значения степени для устойчивых и ¿Ц -устойчивых У, -шпатовых ?■;:>-тодов, использующих вычисления решения исходной задачи до четвертого порядка,

Теоретическая и практическая ценность, Дри однократном применении локальной и глобальной экстраполяции Ричардсона к приближенным значениям решения задачи (I), вычисленных с.помощью %, -шагового метода с максимальной степень» ?лсяко увеличить точность ее неменее, чем ка I (единицу)., Такое хэ свойство сохраняется и для формул с забеганием вперед.

Существование устойчивых формул с забеганием вазрад, имеющих более высокие степени, чем иктерполяпаонпкз ц. -»шаговые методы типа (3),

Определение максимального значения для степеней устой-

чивого и ¿f -устойчивого К -шагового метода Обрешкова.

Существование устойчивых и £ -устойчивых методов с забеганием вперед, имеющих более высокие степени, чаи устойчивые и £ -устойчивые интерполяционные К -патовые методы Обрешкова.

Результаты диссертации могут быть полезными при составлении программ и чтении лекций'по спецкурсу "Вычислительная математика". Некоторые из них могут быть полезными при изучении общего, курса по "методы вычислений". Эти результаты полезны при разработке алгоритмов к численному решению задачи Кояи дня обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведенные в диссертации конкретные формулы'могут быть использованы при численном решении задачи Коти для ОДУ.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работа докладывались на научных семинарах члчн-корр.Российской Ali Бахвалова H.G. (г. Mo сиза), член-корр.Российской АН Колпткина H.H. (г.Москва),-член-ко'рр. АН Азерб.-Рес.Мамэдсва Я.Д. (г.Баку), профессора Айрашна З.Н. (г.Минск), профессо-г ра Валеэвз К.Г. (г,Киев), академика ¿АН-Сендот.а Б. (т.Сар-Л, НРБ), профессоров ¿утья A.A., Хакала (г.Братислава, ЧССР), профессора Марека (г.Прага, ЧССР) на ¡аездуь&родошх конференциях.в г.Русе (НРБ, в 1981, I9S9 год,ах), в г.София (НРБ, 1938 г.) ив г.Будапеште (КНР, IS87 г.), на всесоюзной конференции в г. Красноярске (I9S8 г.), на республиканских конференциях в г.Минске (1975 г.), в г.Ашхабаде (1978 г.), в С.Баку (1975 р.).

Публккачяя.. Основное содержание диссертации излата-

- э -

лось в 22 научных статьях, овуйлшсозапшх в центральных и республиканских изданиях.

Об"ем диссертанта Содержание диссертации изложено ка 243 страницах машинописного текста. Она содержит 34 таблицы. Список цитируемой литературы (19 стр.-) вкличаэт 184 работа советских и зарубежных авторов.

Структура диссертанта. Дассертацпят состсзт" из введения, трех глаз, прилоавЕзЗ а списка литература. Необходимый краткий обзор ло лсследуЕЛ'.г ? вопросам приведен з начале каздо2 главы.

' ' СОДЗЕЖШ'Д^ССЕРТЩШ .'

Во кведекип обоспоззна актуальность -те^-дпссертахпн. : сДормулзровапы петь работн, ецу^а.1 зсзкзаа, практическая : значгыосзь. Приведена краткая гняотгпд.<г отдельных глаз диссертации, а. такса сзязь' иесяедусетх гсшрссзз с -азлвстнЕма '

- • ' »

работка разных авторов. • • ■ « ' . . •

Перзэя глага дпесаргашш сосвя^еда лряапеквю локальной и глобальной акс^рапавэдда Ричардсона к тггэрполяшгонкыгг фоп-' ¿гулам и формулам с зайеганаеа Ел-зрйд з-ясдользованве линейной кокбанацпа прлбли^зппкх.значений рзшспгл задачи (I) ,вы-.часлонша по разная гетодеы.-

Здесь 'такзе исследовано.какезшзльпое значение степенй«-для устойчивой формулы, полученной па (3) ^'-5^7177- • НеР32Я глава состоит из четырех параграфов, В первом параграфе рассмотрен вопрос о применения локальной экстраполяции Ричардсона к ц -загогак методам (3) лрз У=К •

- 10 -

Как известно, при однократной использовании экстраполяции Ричардсона, точность вычисленных приблпкенных значений решений задачи (I) по экстраполяции Ричардсона увеличивает. ся хотя бы на единицу. Приведены, конкретные призеры из работ Марчука Г.И., Шайдурова В.В. и др.,"когда однократное использование экстраполяции Ричардсона дает возможность увеличить точность приближенных значений решения задачи (I), вычисленных по экстраполяции Ричардсона на 2 и более. При это™ возникает такой естественный вопрос о том, что насколько мокко увеличить точность приближенных значений решения задачи (I) при однократном использовании экстраполяции Ричардсона и как изменится сам метод, к которому применяется, скстраполяиия Ричардсона, если в дальнейших вычислениях использовать приближенные значения решения задачи (I) вычисленные с помощью экстраполяции Ричардсона. Для выяснения'указанных вопросов в пэрзол1 параграфа рассмотрена локальная экстраполяция Ричардсона. С помощью локальной экстраполяции Ричардбока дока-, зано, что если использовать/более точные значения, вычисленные по экстраполяции Ричардсона, в посладуших вычислениях, то сам метод не изменяется, ко изменится функция к которой применяется ¡С -иаговый метод. Таким образом получаем, что увеличение точности приближенных значений решения задачи (Г), вычисленных по выше указанной схеме,связанное с увеличением значения степени дая устойчивого К -шагового метода, не противоречит известному результату Дальквиста ..

Здзсь, используя асимптотическое разделение погрешности разностного метода, полученного Тихоновым А.Н. и Горбуновым А.Д.

и специальное представление локальной ошибки К -шагового метода, определены точные грани увеличения значений степени для устойчивого Ц -шагового метода, которые ма?ло записать в виде: р+% . Здесь Р - степень устойчивого

К -патового метода, а $ - величина на которую увеличивается точность щжбликенннх значений решения задачи (I), вычисленных по экстраполяции Ричардсона. Отсюда видно, что если метод имеет максимальную степень, то после применения экстраполяции Ричардсона точность метода монет увеличиваться только на I (единицу)- '

Известно,' что'для-увеличения значения степени устойчиво!: формулы ко.7.но использовать гибридные' методы или ~е сле-дую'лий К -шаговый метод:

г/

=/? г. (U +[у- т у q (?)

.1-0 n-iri £=0Ч-'пн ¿-О } <3n+i '

где • 1

- Как било доказано, что экстраполяция Ричардсона является одним из способов увеличения точности метода. Поэтому в первом параграфе найдена связь между методами (7), гибридным и Ii. -шаговым методамДк которым применена.зкетралелч-

ция Ричардсона. Здесь такге имеется сравнение локальной экс»

трансляции-Ричардеона с глобальной.

Второй параграф посвящен применение экстраполяции Ричардсона к формула-.: с забеганием вперед.'

Отметим, что формула с забеганием вперед известны дое-

но. Достаточно цапо:"-Ш'ГЬ о том, что такие гоормулы

всткача-

- 12 -

втся в работе Лашгаса п С&езаова. Еззасткыи цредстазателем формул такого класса: является кетод Коуалзг. Но ата форь^улы • по сравнению с ц -саговые катодам, подученннз аз соотношений (3) при у a j¿ Есагедовазк кзло. Такое ■обстоятельство связано с тем, что степени всех жзезсееш: устойчивых формул с забеганием вперед подчинялись загону ЛЬльквгстг, г.э.

+ Z и практическая реализация saiax шорда более трудна, чем реализация интерполяционных формул. Последнее связано с тем, что в этих формулах для вычисления rasco-* го значения <Х n+ii используется еве а знаяезня.

И = «явдупашс точках (ее. формулы (3) при сL-0 fi^oQ^H-f^J,к.). Получении неудобства при использовании формул с забеганием вперед моеео реангъ с помощью метода прогноза-коррекции. V

Бели сравнить известные результаты относятся к формуле (3) при У= Ц , то легко обнаружить, что устойчивая формула со степенью р непременно должна <5нть

формулой с забеганием вперед.. И было доказано судествоганле устойчивга формул с зэбегачпем вперед, со степенью • Р-/1+2 дня ¡ч ^ 3 в классе формул, опреде.ллемих по соотношения (3) при c¿ ~ Q-)c¿,, fO - Тем самым показано преимущество фор-

Jí- IS"¿

мул с забеганием вперед, которое является основой для исследования формул с забеганием вперед и применение экстраполяции Ричардсона в таким формулам.

Здесь, сэачзла рассматривается применение глобальной экстрзаолэда Ейчардссна. ¡fes в первом параграфе, такке здесь определено кэЕсаиаляькое зютшве величин, к г которые уэеличасшаетсл. точность п?®бю«апншс значеш^Л раияпи задачи CI) вкчгсвзЕНЕХ во глобальной или локально;', э'-.стгапиляцки

- 13 ~

Ричардсона, примененные и форпгулам с забеганием вперед. Отметим , что применение экс трал охщнп Ричардсона к формулам с забеганием вперед имеет свои особенности. Одна из них заюгоча-ется в форме представления локальной ошибки метода с забегани-с-м вперед для увеличения точности метода более, чем на I.

По аналогии первого параграфа, здесь описывается схема для использования более точных значений репения задачи (I), вычисленных по экстраполяции Ричардсона, в поеледугщпх вычислениях.

Третий параграф) посвящен использованию линейной комбинации приближенных значений решения задачи'(I), вычисленных по . разным' 1С -шаговым методам, Емегадиэ одинаковуэ степень п назван линейной. комбинацией И -шаговых методов. Допустим,

нам задачи два устойчивых .. Ц -саговых'метода, имеющих ода-

<

наковые степени. Тогда,.-'используя линейную комбинации значе-

1

ний,' вычисленных по этим- методам, ыезао найтп-новые значения, которые белее точны, чем исходные. Такой подход использован Ракятсзшм Ю.В., ¿'алиховкм Н.П., в случаях, когда локальные: ошибка почти совпадают по абсолютной величине и имеют проти-вополсяные знака. Для увеличения точности приближенного значения, мохяо такяо использовать линейную комбинации значений, вычисленных с помощью более двух устойчивых методов с одинаковой степенью. При вычислении приближенных значений решения , задачи '(I) о высокой точностью, используя линейную комбинацию значений, зачисленных по двум ели более устойчива: метода.; возникав? такой естестаашшй вопрос: на сколько- точны вн-•слсленные- такглл ейразо;; значекгл по сравнен?.» с вкчясленнкгя по предлсЕешягд методам, Чтобы ответить ка отот и другие вой-

- 14 -

росы, здесь исследованы линейные комбинации -шаговых методов. При этом возникает логичный вопрос об использовании вычисленных по линейной комбинации значений в последующих вычислениях, т.к. они являются более точными. В результате такого использования получаем новый метод, который является линейной комбинацией исходных методов. Естественно, этот метод является линейным £ -шаговым методом с постоянными коэффициентами, т.к. таковыми являлись исходные методы. Но известно, что если линейный -шаговый метод с постоянными коэффициентами устойчив, то + , поэтому в

указанном-случае надо быть-осторожным, т.к. полученный в результате метод может оказаться не устойчивым.

Отметим, что исследование .приведенных выше вопросов тесно связано со специальной формой представления локально! ошибка К. -шагового метода, с помощью которого моано ответить на вопрос о том, что насколько' увеличивается точность полученного метода по выше описанной схеме.

Четвертый параграф'перв.ой. главы посвящен построению ус-: . тойчивсй формулы со степенью Р- И^ПН 1 , где >

оС.-о и= ¿-1**1

<7

Как было отмечено выше, если формула (3) устойчива и имизт степень Р , то + 2 при У* й- и Р

(Ы-£ ^о) При К2 3 • Чтобы построить устойчивый метод со степенью Р Ж+Л , дэляно иметь место 1

Нетрудно определить, что максимальное значение степени устойчивой формулы с забеган>.ем вперед зависит от значений ,'Л , т.е. при увеличении . т для устойчивых К -шаговая методов с постоянный! коэ#ищюптаык, увеличивается сте-

ляется неограниченны:!:, т.к. должно иметь место црп

Я и по четных иди нечетных одновременно к и . в про-

тпзном случае.

Следует отметить, что при увеличении т , затрудняется использование формулы с забеганием вперед. С этой целью, как было отмечено, ?,го.тНо использовать метод прогноза-коррекции. Методы прогноза-коррекции напоминают блочные методы. Известно, что при использовании этих методов увеличивается точность, что имеет место в при использовании метода прогноза-коррекции. Метод прогноза-коррекции не только дает возможность использования формулы с забеганием вперед, но имеет и некоторые преимущества, Для определения указанных преимуществ во второй главе исследовано одно обощекие одношаговых и многошаговых методов, и з первом'параграфе рассмотрено обобщение метода прогноза-коррекции. ;

Как известно одним из основных недостатков одношаговых методов является многократное обращенпе к вычислению функции

,СС) на назздом саге. В то яе время одним из основных не-

достатков Я -шаговых методов является то, что при увеличении степени Ц -шагсзгго метода сутглется их область устойчивости. Поэтому были попытки построить такие метода, которые бы освободились от указанных недостатков, в результате, чего появились гибридные методы. Отметим, что умекыгая точность метода, монно расширить его область устойчивости. Естественно, при этом возникает вопрос о тем, мохно ли расширить область устойчивости, не укенызая максимального значения точности метода. Зтот вопрос для £ -шаговых методов ■

решек в двух фордах: с помощью гибридных методов и метода прогноза-коррекции. Здесь, соединяя эти направления, построен многошаговый метод, который и назван обобщенны:.! методом . прогноза-коррекции.: Кроме того .определена точность и доказана сходимость построенного метода,-а такке показано, кар: можно расширить область устойчивости Ц -шагового метода с цо~ мощью метода прогноза-коррекции. Показано, что можно построг-ить устойчивый гибридный метод, который имеет степень Р?ЛК . Следовательно, модно построить устойчивый.метод с высокой степенью на стыка одыошаговых'и многошаговых методов.

Как-известно, среда задач, встречающихся в практике, немаюе масто занимают жесткие системы'.- А для решения таких систем'наиболее приемлемыми неэффективными считаются J? и ¡_ -устойчивые метода.

Как было отмечено Абрашшшм и др. ,'.пря- решении ¡многих прикладных задач одним из основных вопросов заключается в построении дискретного моделя так, чтобы она в определенном . смысле была эквивалентной непрерывной модели. Такие исследования Дальквистом и др. проводились на^шнейной модели ив. результате появились ß и I -устойчивости метода,

Дальквистом доказано, что если К -шаговый метрд с постоянными коэффициентами ß -устойчив, то р< $ , где р -степень ¿1 -аагозого метода. Чтобы построить J -устойчивые методы со степенью Р >1 • , предлагались разные схемы. Байковым и др. предлагались нелинейные и монотонные методы.■ Демидовым Г.В.Артемнгшд С.С., Hobiikoekai Е.А., Хутья A.A. и др. предлагаюсь использовать методы типа Разенброка и типа

- 17 -.

Рунге-Кутта. Лебедеве« З.й. и др. предлагалась явные и неявные методы с переменным шагом, обладающим свойствами J) и ¡_, -устойчивых методов. Некоторые авторы с цатыо построения ß -устойчивых ¡¿. -саговых методов со степенью ;предлагали зспользозать в £ -шаговом методе производные функ--f(l,X) • формулы типа (7). Кобла И. и др. изучили и другие формы устойчивости ¡i -шагового метода с постоянными коэффициентами, использующие вторую производную решения задачи (I). Отметим, что формулы, приведенные в работах Еобза И., Зкрайта Ю.Х. и др. и имеющие максимальные степени, подтверждают некоторые результаты из главы 3.

Зо втором параграфе построены fj и -устойчивые методы со степенью \l-f-rri-ti . ..используя формулы с забеганием вперед. Показано, что с помощью гибридных методов можно достроить J} и Ь устойчивые -метода с высокой точностью. Кроме того, на конкретном, примере показало, что методы, имеющие'невысокую степень, при применении к частной задаче могут обладать свойствами метода с высокой степенью.

Одним из способов построения ß ■ п L -устойчивых методов является использование И. -шаговых методов с переменными коэффициентами.

Ерунером X. Предложена была схема, с помсиью которой :.:о:кно освсо'одиться от так называемого "паразитического" корня, в результате чего появились К -патовые методы с переменными коэффициента".':?. и Ерунером X,, и Лэкбертсм P.E., било доказано,.что с немощью 34 -шагового метода с парем&нккни коэфЗиг-ент&'ж мс;?но построить ß -устойч?.зке методы. Эк; направления развивались п в работах других авторов.

~ 18 . -

Хутья A.A. и др. с целью построения одношагового метода с переменными коэффициентам использовал!? выделение линейного члена правой части дифференциального уравнения высших порядков, которое в общем виде с помощью гналитяческих методов исследовано Мамедовьп: Я.Д.. Хутья A.A. .используя выделение линейного члена функции гХ) > по:сазал, что с помощью у!сазанного способа мошю построить ß -устойчивые методы. Иногда Екделенпе линейного члена функции j(i^X) называют выделением главного члена в функции jxt}Z)

В связи с этим, в третьем параграфе рассмотрено построение J! и [j -устойчивые iL -шаговые методы с переменными коэффициентами. Построены классы как явных, так и неявных таких методов. Определена точность построенных ß и L - -устойчивых ¡с -шаговых методов, приведены конкретные методы с определенной точностью.

Четвертый параграф посвящен численному решению следующей задачи Коши:

Задача (2) получается из (8) при (j- i, 2-i )

Известно, что с помощью замены переменных задачу (8) можно свести к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений пэрвого порядка. Таким образом, вопрос о численном решении задачи (8) можно было считать решенным. Однако, специальные методы, приспособленные для решения задачи (8), часто бывают более эффективными.

Здесь для численного решения задачи (8) предлагается мэтод, который построен с помощью выделения-линейной части в

функции 13) . Этот метод сущес-

твенно отличается от ¡1 -шаговых методов тем, что решение, найденное этим методом, хорошо согласуется с решен:'.ем задачи (8). Ь связи с этим построены явные и неявные методы. Показано, что неявные методы имеют белее высокую точность, чем явные.

Отметил, что при выделении линейной части функции

) мсяно выделить такие члены, которые даят возможность ¿увеличения точности метода. Однако, для увеличения точности метода при численном решении задачи (8) молжо использовать и гибридные методы. Здесь, в предложенных численных методах используются высшие производные решения задачи (8), что, вообще говоря, естественно. Но эти методы модно построить так, чтобы в некоторой схеме не участвовали определенные члены с определенными производными решения задачи (3). С этой целью для численного решения задачи (8) предлагается метод в следующем виде: <2 К

$

i)

¿:0 ¿ ГН-L y=jH У ¿-0*L n-r¿y ГО с

Количество разностных схем в системе (S) зависит от значений . Если s¿=í i¿=í, 1-í) , то это количество равно £ , а если S^ - О дая фиксированного ¿'р [L¿ й 2-1) , то количество схем в системе (2) равно

Ч-í .

S третьей главе исследованы формулы (4)-(о) как деленный метод для решения задачи (8). При этом учитываются методы полученные из системы методов (9).

- 20 -

В первом параграфе исследовала формула (6), при п

I . Этот случай при ¡¿¿г Ц,- исследован многими авторами. Мокко отметить работы Далъкзиста Г., Кобза К., Су-лицкого В.Ы. и др. Имеются конкретные 'методы с определенный! точностями обладающие разными свойствами устойчивости. Однако, исследование формулы (5) в случае 2-Я и без условия = Дает новые возможность, которле представляют не только теоретический, но к практический интерес. Здесь такке рассмотрена явность схем, ъ зависимости от применения к задачам (I) ели (2) при 2-Л . Рассмотрен случай

■о _

-О (I * О, ¡¿£ ) , который обобщает известный метод 'Штер-мзра, а такке формулы с забеганием впередг т.е. случай к - ¿ при ¡¿¿. ГПаХ (¡¿I, /¿ху . В этом случае най- .

дено максимальное значение для степени устойчивой формулы с забеганием вперед из которого видно, что как в случае 2=1 , так д в случае степень таких формул больше, чем сте-

пень устойчивой интерполяционной формулы.

Бели сравнивать максимальные значения для устойчивой формулы полученные из (6) яра 2=1 , ¡¿¿-¡-^ в ,

»<5^= - ¿- . то легко обнаружить, чго результаты полученные при 2-Л. не являются механическим обобщением случая 2= 1 , т.е. результаты полученные прд '¿.-Х . в частности, не содержать в себе результаты полученные при 2 . Поэтому во втором параграфе исследована формула (6) щш 2-3 как для устойчивых так и для (€+1) -устойчивых ( ¿- ¿,£ } методов. А такие в указанном случаз исследозану ■устойчивые я -устойчивые (¿=1,£) Фотгулы с забе-

ганпач вперед.

„ - 21

Формула (6) при 2=3 в общеа зг.де но исследована, однако существуй? отдельные формулы, которые получаются из нее, -как частные случаи.

Здесь найдены естественные условия налагаекнз ка коэффициенты формулы (6) ери 2=5 й максимальные значения степени дай устойчивой формулы яра И ¿Я (&£ > 3 частности доказано, что если формула (5) имеет степень Р , ус-тойчива-.Ц^*? и- то

Существуют устойчивые формулы со степенью прз ; ¡¿¿гЦ-Я/П я К3- , а также

яря И = . ЗеяучаяхГ) М> Х^Л»*^

¿¡-¿- ; з) >&"^ ^ = = £</'+1 ;

4) , у'л- А^' ' + * не существу-

ет устойчизне йорглуги со степенью-. Р> ¡¿¿-г^гМ^+Я , а в остальная случаях на существуют устойчивые формулы со степень« р > . Е«и рассмотрим случай ~ ^ - Кг ~

п. сразтал залученные результаты с результата"® Хальквиста для формула (3) при У—Я , то легко оонарунить,

что з-та результаты согласуются в том смысла, что в обеих слу-"гаях максимальная степень для устойчивой интерполяционной Формулы зависит от четности £ . Как и в других случаях, здесь таюкв доказано, что формула (6) при О )

не монет быть устойчивой. Поэтому найдены максимальные значения для £ - устойчивых формул» Исследовано максимальное значение степеней для 2. -устойчивых методов. Естественно рассмотрен случай V^/пал(Ц;>¡¿^ ^) , т.е. формулы с за-

бегакием вперед. В этом случае найдены максимальные значения степеней для устойчивых и (¿т I) -устойчивых (€-¿,51} Формул с забеганием вперед.

В этом параграфе, сравнивая полученные результаты, показано, что степень устойчивого метода, полученного из (6), принимает свое максимальное значение при г Ц,, - г- /¿,. ~ ¡^ для интерполяционных методов и при /^гК^а—а ^ дгл методов с забеганием вперед. Поэтому в дальнейпем гзлсгсенял рассмотрены случаи & - ¡¿¿- ■"< = ¡¿^= е 1~1=

Презде, чем определить максимальное значение степени метода, полученного из (6), при разных сгргниченЕКХ на коэффициенты о1. ¿С - О, , надо исследовать сходимость мгтоиа (6) пра и-1^-1) Е при ^ 0 * ' Поэтому з третьем параграфе исследована сходидоск. метода (6). Определена точность построенного метода. В случае Е: -г <5¿Г т? О требуется £2£ти связь иезцу порядкам' н степенями -14 -саговн:: .методов, используемых в системе (9), что тгкне было сделано в третьем параграфе.

Отметим, что теорема о сходимости метода (9) не совладает с теоремой о сходимости метода, построенного в четвертом параграфе второй главы. Отсюда следует, что гтк методы имеют разные свойства.

• Если задачу (2) с помоцьз замены переменны?: привести к задаче Колш для системы уравнений первого порядка и дая ее решения использовать обычный !<. -саговый метод, то на каждом шаге функция вселяется один раз е точность метода равняется Р , где Рь •

- 23 -

.'?.э для численного решения задачи (2) использовать метод (9), то точность метода равняется Р~ 2-Х > где péif^/gJtS • Но з этом случае количество вычислений функции зависит от подбора схем, участвующих в системе (9). Эти схемы могло подобрать так, чтобы функция яа кгддогл

izare вычислялась один раз, не теряя точность, лг-гада (9).

Из результатов третьего параграфа легко понять, что для определения точности метода (9), надо исследовать формулы (6), при различных ограничениях на коэффициенты. Именно, в . зависимости от этих ограничений, свойства методов, определяемых соотношением (6), могут сильно отличаться друг от друга.

Поэтому формула (5) в четвертом параграфе исследована как при У-Ц~ i, 1) , так и при -¿¿ ~ "' ~ К? для

__<7

b-~í (j= i, 2)р ¿-1 ■ ® этом случае метод (6) совпадает d '

с ¡i. -шаговым методом Сбрешкова (4'}, если предположить,

что И 5 тА* С Я;) . Работ, посвященных исследовании í¿ -iá/S2 о

шагового метода Сбрешкова, сравнительно мало. Поэтому сначала определяется естественные условия для сходимости метода

(6). Как известно, К. -¡патовый метод Сбрешкова мокно при> *

¡лепить к численному решении задачи Коши для дифференциального уравнения любого порядка, что учтено при определении естественных услозкй сходимости Я ■ -шагового метода Сбрешкова. Как и з предыдущих случаях, здесь сперва определено максимальное значение степени ц -шагового метода Сбрешкова.без учета устойчивости метода. Затем-определено максимальное зна-чешге для устойчивых зкетраполдционнш: а интерполяционных методов, определяемых по соотношению (4). 3 частности доказано, что если-формула (4) misar степень -рд д устой-*-

тага, то

[£(£-tJ)4 1 при Л-Jim и ¿zgi-J р £ J d - 2

t Z(li+£) при li-£rY\-t или .

Для любого ¡¿. , существуют устойчивые методы со степенью при !.t=£in , к р~ при

Sttft -I • 2=Jy - ^сбк построить устойчивые метода, имеющие более высоssie степени, чем устойчивые пктерпоизгзюнные методы, рассмотрены формулы с забеганием вперед.

Если сравнить все результаты, касазациесясвязи--кзгду порядком я степени? для устойчивой Ентераоляциояной формулы, то легко обнаружить, что степень устойчивого интерполяционного глетода получает свое максимальное значение при четном /£' к нечетном , где Ii- является порядков ii -шагового

метода, а £ - Грядкой дифференциального уравнения.

Подобное сравнение uxsmo цраделать п для устойчивого метода с забеганием вперед. При зге.-.; получи«, что степень-' устойчивого метода с забеганием вперед пришлет ceos иаксс-малькое значение для начетных iL , т.е. при •' Если же £ "Четное, то степень метода не всегда достдгае^ своего максимального значения. • - .

Здесь такке доказано, что если формула (5) устойчива.-, • имеет степень Р при ) а

для любого \L ' существует -устойчивые методы со степенью pz O iL • Этот результат хорошо согласуется с известшки.

Kai: было отмечено вышз, некоторые - иб параметров ¡ммогут получить нулевой значение. Естественно, в этом случае нэла^ёльяо бхемы в система (9) подбирать тш:, чтобы членк/ соответствуй^ нулёвкм значениям, в другдх схемах

не участвовали. Такие методы назывались Ц. -шаговыми методе."®! со специальной структурой и их исследованию посвящен пятый параграф. Исследование таких методов затрудняется тем, что в зависимости о? значений (<]-1, 2-1) метод мотет быть устойчивым (при ¿2 О ' ) или € -устойчивым (при -, -О ). Как известно пути исследования таких методов вообще говоря, различны.

5 связи с вышеизложенным в пято?л параграфе определено максимальное значение степени дия устойчивых и -устойчивых М. -шаговых методов, а также показано, при каких значениях параметра & степени устойчивых и -устойчивых методов принимают максимальные значения.

Для подтверждения сказанного, рассмотрим следующую теорему.

ТЕОРЕМА. Пусть формула (6) имеет-степень ,

т. - = £ . Тогда существуют

-устойчивые а. -шаговые' методы со степенью Р~С + при . А в остальных случаям: сущест-

вуат -устойчивые методы со степенью

В пятом параграфе такао исследованы устойчивые и -устойчивые методы с забеганием вперед. Найдены максимальные значения степеней для этих методов. Кроме того, найдены слу-ча!'1, з которых степени для устойчивых и ^-устойчивых мэто-дсз достигают своих максимальных значений.

Одна из теорем стнссягшхся к .методам с забегание-;.? вперед мозет быть сформуажровгна в следующем эидз:

'ГЕСРЕ;.'1А. Пусть формула (6) имеет степень Р, с/..^ <1 и - г, У . Тогда, если йссмтла (6)

- 26 -2

-устойчива, то р <(Ш)П ¿'- -¡-¿t-m - t , Существует ¿f-уотокчиБые методы со степенью 6• f-c-<i-rn-9 цтщ

2~ ä при ¿sä., Zf-i

как о случае ¡L~£C^3rfl , так и в случае ЦяМ^

l i {. к в остальных случаях существуют «f --устойчивые методы со степень© ¿1 д. ,

.8 приложения рассмотрено ресегае нескольких задач с ло-.%оп,д:о 26 методов, полученных в диссертации ü 5 известных методов, результаты расчетов размещены в 34—х таблицах,

основный вывода

1, Изучены локальные а глобальные экстраполяция Ричардсона, использование линейных комбинаций приближенЕШ значений решения задачи (I), зычисяонныо по разным методам, А такас найден ответ на. вопрос о том, что при вычислении_приближенных значений с использованием локальной или глобальной эксг'ра-аодяции Ричардсона или so линейную комбинацию ярдблЕгсекяых значений, вычисленных по разным методам, на сколько увеличивается точность ее.,

2, Изучены формулы с забеганием вперед, доказаны их преимущества и недостатки, Определены максимальные значения степеней для устойчивых и г? "устойчивых методов с забеганием вперед. Доказано, что с помощью методов нрогноза«ксрре:щии, испсшьзунцих формулы с забеганием вперед, или о помощью гибридных методов мокко построить /I к L -устойчивые методы с высокой степень»,

3, Доказало преимущество методов, построенные на основе выделения линейного члена правой часта дифференциального урав-кепая.. ü пемощъв углзашюго способа построены Л а Ь -ус-

тойчивые методы я сгецчадьнке методы для решения дифференте-адънкх уравнений высших порядков,

4, Показана эффективность методов, специально пркслосоо-ленпых для решения дифференциальных уравнений инсших норяд-ков. Полностью изучена связь между порядком Р и етопенья И. для устойчивых и ¿Г -устойчивых методов ОЗреткова. Кроме того, полностью изучены максимальные значения степени для устойчивого а £ -устойчивого методов, определяемых формулой (б) при 2. йЗ «

Таким образом получаем, что диссертация, посвященная определению максимального значения устойчивых и ^ -устойтл-вых Ц. -шаговых методов Обрешкова и их применений к численному решению задачи (I) и (8) является, законченны*,! исследованием.

Основное содеряание диссертации опубликовано в следующих работах:.

.1« Ибрагимов В.Р. Об одном численном методе для решения дифференциальных уравнений высших порядков. //Ученые записки Лзгосуняверситета, сер.фаз.-мат.наук, 1969, Ж, с.74~77о

2. Ибрагимов Б,Р. Применения одного численного метода к решению дафферанциальных убавлений высших порядков.//ЩШ Азерб. ССР, 1971, с.9-12.

3. Ибрагимов В.Р, Связь ме.жу порядком и степенью устойчивой разиостпой формулы, //Уч.зап.Лзгосуккверситета, сер.фвз.-мат.наук, 1976, А;3, с. 40-49,

4. Ибрагимов В.Р. Об одном численном методе для решения дифференциальных уравнении высшего поредка.//Республиканский симпозиум-по доу^ереюиэлышм уравнениям: Тез.докл., Доха-

- 28 ^ Сад, 1978, c.103-107. 5. Ибрагимов Б.Р. Об одном методе численного решения задачи Копта для обыкновенных дифференциальных уравнений.//'Математическое обеспечение АСУ. Баку, 1931, с.127-138. с. Ибрагимов В.Р. Один нелинейна*! метод численного решения задачи Коти для обыкновенных дифференциальных уравнений. //¡¡дффереЕциальные уравнения к применения: Труды докл. Второй мездународ. конф. 29 июня - 4 июля IS87 г., Руссе, Болгария, f^cce, IS82, с.310-319.

7. Ибрагимов В.Р. Об одном представлении локальной ошибки

^ -шагового метода.//Приближенные методы анализа. Баку, 1982, с.47-65.

8. Ибрагимов В.Р. Об одном способе построения ,4 -устойчивой, формулы с ек*„окой степенью. //Проблемы оптимизации и АСУ. Баку, 1983, с.86-97.

9. Ибрагимов В.Р. Об одном способе построения L и / -устойчивых методов.//Йрибликешшо'метода решения дифференциальных и -интегральных уравнений, Баку, 1983, с.55-62.

Ю.Ибрагимов В.Р. Сходимость метода дрогяоза-корр8КЦии.//Го-дишнпк на висшите учебни заведения. Прилежна математика. София, НРБ, 1954, М, с.187-197.

11.Ибрагимов В.Р. Связь между порядком и степенью устойчивой разностной формулы с забегавшем вперед, //приближенные методы операторных уравнений. Баку, 1984, с.55-63.

12,Кбрагимов В.Р. Об одном применении г -модуля./Лрибли-. генные метода решения операторных .уравнений, Баку, 1985,

с .-64-75. '