Модели взаимодействия полей квантовой электродинамики с сингулярными потенциалами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ
Фиалковский, Игнат Витальевич
АВТОР
|
||||
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.16
КОД ВАК РФ
|
||
|
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОЛЕЙ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ С СИНГУЛЯРНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ
Специальность 01 04 16 Физика атомного ядра и элементарных частиц
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
ФИАЛКОВСКИЙ Игнат Витальевич
На пр.
Санкт-Петербург 2008 г
003171724
Работа выполнена на кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц Физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета
Научный руководитель доктор физико-математических наук,
профессор Юрий Михайлович Письмак
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,
профессор Андрей Анатольевич Гриб
кандидат физико-математических наук, доцент Сергей Эдуардович Деркачев
Ведущая организация Физико-технический институт имени
А Ф Иоффе, Санкт-Петербург
Защита состоится "^9" _2008 г. в Л Ч час 30 мин на
заседании Совета Д 212 232 16 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д 7/9, 302 аудитория циклотронной лаборатории
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Университета.
Автореферат разосланХ^ _ 2008 г
Ученый секретарь диссертационного совета
А К Власников
1 Общая характеристика работы
Актуальность темы В 1948 году Казимиром была предсказана сила притяжения, действующая между двумя идеально проводящими, незаряженными пластинами в вакууме па расстоянии г
720гэ
Данное явление, названное эффектом Казимира, является макроскопическим проявлением квантовой природы вакуума В настоящее время сила Казимира между металлическими (близкими к идеальным) поверхностями измеряется с точностью около 0 5
Причины возникновения силы Казимира между разделенными телами (в том числе для первоначальной конфигурации) с теоретической точки зрения не вызывают разногласий Однако, вычисления эффекта Казимира для отдельных объектов (давление, собственная энергия и т п ) по-прежнему активно дискутируются Кроме того, общее самосогласованное описание систем с резкими материальными границами (двумерными пространственными дефектами) в рамках реалистичных моделей квантовой теории поля (КТП) по-прежнему отсутствует
В то же время, необходимость рассмотрения подобных систем именно в рамках перенормируемых моделей КТП вызвана существующими экспериментальными данными Многочисленными исследованиями однозначно подтверждено, что наблюдаемая сила Казимира взаимодействия объектов с плоскими границами (или в пределе плоских границ) зависит от расстояния г между объектами как 1 /г4 и определяется безразмерными параметрами системы С другой стороны, включение в рассмотрение любых размерных параметров, характеризующих свойства материалы или модели, может дать вклад только в высшие приближения по обратным степеням расстояния 0{ 1/г5), как следует из размерных соображений Таким образом, в главном приближении (те при рассмотрении эффектов на расстояниях много больших по сравнению с масштабом неоднородности материала) с неизбежностью необходимо рассматривать вклад двумерной поверхности, взаимодействие с которой описывается безразмерным параметром
Простейший способ описания в рамках КТП пространственных
дефектов состоит в использовании граничных условий для фиксации значений квантовых полей и/или их" производных на поверхности дефектов Однако, подобный подход может рассматриваться лишь как приближение к описанию реальных взаимодействий, так как в подобных теориях одни и те же условия налагаются на все моды полей В то же время, в реальности моды достаточно высоких частот с материальными границами не взаимодействуют
Наиболее естественное обобщение метода граничных условий состоит в использовании метода внешнего (фонового) поля В этом случае в лагранжиан теории включается взаимодействие квантовых полей модели с классическим (не динамическим) внешним полем с носителем на дефекте Простейшем фоновым полем является сингулярное поле в виде дельта-функции, сосредоточенной на границе Дельта-потенциалы эффективно описывают присутствие в системе тонких пленок, чья толщина много меньше расстояний, на которых производятся измерения Развитие технологии производства тонких пленок и моноатомных слоев (графен, фулерен), требует и совершенствования теоретической базы для исследования их свойств на уровне квантовой теории поля.
В рамках КТП подобное взаимодействие квантовых полей с дефектом должно быть построено исходя из основных принципов — локальность, калибровочная и Лоренц инвариантность, перенормируемость Первое исследование подобного сорта было выполнено в 1981 году Симанчиком для скалярных безмассовых полей С того времени было осуществлено большое число расчетов для моделей с дельта-потенциалами Однако все существующие работы оперируют со скалярными полями, и как правило в пространствах малых размерностей В представляемой диссертации развивается указанный подход к построению моделей в рамках квантовой электродинамики (КЭД) Особый интерес к цилиндрической геометрии, рассматриваемой в представляемой работе, вызван бурным развитием технологий карбонных нано-трубок Возможная роль сил Казимира в динамике и стабильности микро- и нано- электромеханических устройств широко обсуждается
С другой стороны, подавляющее большинство существующих работ по данной тематике основано на использовании вычислительных методов (например метода (-функции или разложения теплового ядра), позволяющих получать конечные ответы исключительно для
однопетлевых эффектов С общетеоретической точки зрения такой подход нельзя признать удовлетворительным. Заполнить этот пробел было одной из целей представляемой работы
Все вышесказанное определяет актуальность настоящей диссертационной работы, посвященной а) построению локальных, калибро-вочно-инвариантных, перенормируемых моделей КЭД с дефектами различной, в том числе цилиндрической, геометрии, и б) построению процедуры перенормировки этих моделей, позволяющей самосогласованным образом вычислять все наблюдаемые, как в однопетлевом, так и высших приближениях
Цель и задачи исследования Цель настоящей работы — построение квантово-полевой модели, описывающей в рамках КЭД системы с пространственными дефектами нетривиальной геометрии, вычисление энергии Казимира и анализ процедуры перенормировок в случае дефекта цилиндрической формы Для достижения этих целей были сформулированы и решены следующие задачи
• построение и исследование модельной задачи, описывающей взаимодействие безмассового скалярного поля в четырехмерном пространстве-времени с дефектами различной геометрии, регуляризация модели по методу Паули-Виларса и вычисление контрчленов,
• изучение эффектов взаимодействия фермионных полей с дефектами простейшей геометрии, вычисление ренормированно-го среднего электромагнитного поля заряженной плоскости, взаимодействующей в рамках КЭД с фермионными полями,
• формулировка модели взаимодействия электромагнитного поля (фотодинамика) с цилиндрическим дефектом, вычисление пропагатора, регуляризация теории и расчет ренормированной энергии Казимира, как функции радиуса цилиндра и константы взаимодействия фотонов с дефектом
Научная новизна полученных результатов В диссертации разработана техника вычисления функционального интеграла для систем, описывающихся функционалом действия с дельта-образным потенциалом, сосредоточенном на поверхности общего вида (в том числе бесконечного кругового цилиндра)
Впервые использована процедура регуляризации Паули-Виларса для вычисления контрчленов и конечной части энергии Казимира в
теории безмассового скалярного поля в четырехмерном пространстве-времени, взаимодействующего с двумя полупрозрачными плоскостями, с полупрозрачным цилиндрическим дефектом
Представлено обобщение пропагатора фермионного поля, взаимодействующего с равномерно заряженной плоскостью, на случай наличия равномерно текущих токов
Впервые вычислены квантовые поправки к классическим электрическому и магнитному полям заряженной плоскости, дающие существенный вклад на малых расстояниях от плоскости
Впервые проведены расчеты энергии Казимира для электромагнитного поля в присутствии полупрозрачной бесконечно тонкой оболочки в виде кругового цилиндра Полученные результаты обобщают известные результаты для идеальнопроводящего цилиндра, и содержат их в качестве предела сильной связи Впервые вычислены поля, порожденные взаимодействием дефекта указанного типа с внешним полем точечного заряда, постоянного тока
Практическая ценность работы Выполненные расчеты позволяют провести новые эксперименты по изучению свойств квантового вакуума Предсказания квантовых поправок к классическим полям, возникающие при взаимодействии фермионного поля с дефектом могут быть использованы при теоретическом и экспериментальном исследованиях таких явлений, как фотоэффект и эмиссия электронов с поверхности материалов.
Сила Казимира, расчитанная для цилиндра в рамках фотодинамики, позволяет провести анализ вопросов стабильности и сил взаимодействия нанотрубок и других нанообъектов
Основные положения, выносимые на защиту. Давление на стенки цилиндрической оболочки, вызванное вакуумными флуктуа-циями безмассового скалярного поля конечно, но не допускает предельного перехода к случаю сильной связи, который эквивалентен граничным условиям Дирихле.
Взаимодействие плоского дефекта с фермионными полями приводит к появлению квантовых поправок к классическому полю равномерно заряженной плоскости с равномерными постоянными токами
Давление на стенки цилиндрической оболочки, вычисленное в рамках фотодинамики конечно В переделе сильной связи воспроизводятся известные результаты для идеально проводящего матери-
ала стенок, при произвольном значении константы связи представленные расчеты обобщают результаты на неидеальные материалы дефекта
При взаимодействии дефекта указанного типа с внешним полем точечного заряда и стационарного тока, помимо полей, характерных для проводников, также появляются аномальные поля, присущие системам из магнитоэлектриков
Апробация работы Материалы диссертационной работы доложены и обсуждены на следующих международных конференциях. "Quantum Fields under influence of External Conditions", (Barcelona, Испания, 2005), 13ая Ломоносовская Конференция (МГУ, Москва, 2007), "Quantum Fields under influence of External Conditions", (Leipzig, Германия, 2007), "Path Integrals New trends and Perspectives" (Dresden, Германия, 2007)
Личный вклад диссертанта На всех этапах выполненного исследования личный вклад автора является основным, в том числе и при написании работ с соавторами В частности, непосредственно автором вычислены давление на стенки цилиндрической оболочки в моделях скалярного и электромагнитного полей, эффекты взаимодействия фермионного поля с дефектом Постановка задач принадлежит научному руководителю Письмаку Ю М
Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, 3-х глав и пяти приложений, содержит 111 страниц, одну иллюстрацию и список литературы из 98 наименований
2 Краткое содержание работы
Во введении представлен обзор работ по теме диссертации. Изложены основные сведения по истории изучения эффекта Казимира, проведен анализ имеющихся результатов. Изложены и обоснованы принципы построения моделей, принятые в данной работе Согласно им, для описания двумерных поверхностей в рамках КТП действие модели строится из двух частей свободное действие соответствующих полей в пустом пространстве, и дополнительное действие дефекта, сосредоточенное на его поверхности Действие дефекта выбирается на основе базовых принципов квантовой теории поля — локальности, лоренц- и калибровочной инвариантности, перенормируемо-
сти. Эти принципы, в частности, запрещают включение в действие констант взаимодействия отрицательной размерности
В первой главе, базируясь на принципах, изложенных во введении, всесторонне рассмотрена модель скалярного вещественного поля, взаимодействующего с дефектом, сосредоточенном на одной плоскости, двух параллельных плоскостях, и бесконечном круговом цилиндре В первом параграфе главы 1 строится действие модели и развивается аппарат функционального интегрирования при наличии дефекта
Действие модели состоит из двух частей и имеет вид
6' = б'о +
где б'о — обычное действие скалярного поля в Евклидовой теории 50 = 1/2 /* с14х1рК(р, К = -д"1 + т2,
а — вклад поверхности дефекта Я, которая задается уравнением Ф(х) = 0, х € 5
= 1/2 [ <14х\у>2(х)6(Ф(х)) = Л/2 [ <1ху2{х)
Знание производящего функционала функций Грина теории £[7]
г[1\ = N J Т)(р ехр + 3<р)
позволяет полностью описать все физические явления в системе В частности, полная энергия системы определяется как Е = — ^ Ьп Z[0], Т — / ¿х® Используя формализм функционального интегрирования, вклад действия дефекта можно представить через интеграл по вспомогательным полям ф, определенным только на поверхности дефекта Показывается, что с точностью до общей нормировки функционала 7* действие дефекта порождает в пределе А —> оо граничные условия Дирихле на поля
Функциональное интегрирование по ер и ф является гауссовым и следовательно может быть явно проведено до конца Тогда 2[3\ выражается через стандартный пропагатор свободного скалярного поля И и интегральный оператор <2, заданный на поверхности дефекта,
последний также определяет нетривиальную зависимость нормиров-* ки производящего функционала от геометрии дефекта
<9(2/1 - Ы = ¿>(У1 - У2) + Л / ¿г1йг2Щг1,у1)0{г! - г2)Щг2 уг)
у, € 5, х,у,г, е К4, у) — оператор проектирования на дефект Показано, что данное выражение не зависит от конкретной геометрии дефекта, и при должном определении у) и Л может быть применено для вычисления энергии Казимира во всех трех случаях дефекта, рассматриваемых для скалярного поля Введение соответствующих Фурье-преобразований по координатам, параллельным дефекту, позволяет получить явные выражения для плотности энергии Казимира — на единицу площади в случае дефекта в виде одной и двух плоскостей, и на единицу длины цилиндра, в случае цилиндрической геометрии дефекта
Во втором параграфе первой главы проводится вычисление собственной энергии Казимира одной плоскости. В рамках существующей экспериментальной техники наблюдение подобной энергии невозможно Однако, данные вычисления необходимы для самосогласованной перенормировки энергии взаимодействия двух плоскостей, а кроме того дают возможность на сравнительно простом примере разработать математические приемы используемые в дальнейшем Для устранения ультрафиолетовых (УФ) расходимостей теории, мы регуляризуем исходное действие теории по методу Паули-Виларса Отметим, что применение указанного метода как в скалярной теории, так и в КЭД, позволяет оконечивать не только выражение для энергии Казимира, но также и устранять все остальные расходимости теории Следуя схеме перенормировок, мы вычисляем конечную часть энергии и контр-члены в виде полинома по регуляризующей массе Для этого используется формула Абеля-Плана Результаты второго параграфа применяются как для вычислений первой главы, так и для расчетов фотонного поля в третьей главе
здесь 5 — полный пропагатор теории
¿ = £>-2 А(Ш)<Э-1(ШЭ), ¿¡ = !5{х,у)
На основе результатов первых двух параграфов, в параграфе 3 вычисляется энергия Казимира для системы двух плоскостей на расстоянии г Их взаимодействие с полем <р описывается действием дефекта вида
Sdef — I d3X (\цр2(х,х3 = 0) + A2<¿>2 (х,Х3 = г)) , £ = (х0, хь ж2) J?R3
В этом случае, регуляризации УФ расходимостей теории дает возможность разбить энергию Казимира £cas на три слагаемых, из которых только одно зависит от расстояния между пластинами и описывает их взаимодействие
«"-у. WH^+A.híí+AJ'*-^5^
Два других слагаемых описывают собственную энергию плоскостей, вычисленную во втором параграфе и не зависят от i Таким образом, они не дают вклада в наблюдаемую на эксперименте силу Казимира F = -d€cas/dr
В пределе сильной связи Ai ~ А2 —» оо, полученная энергия Казимира переходит в хорошо известное выражение для скалярного поля с граничными условиями Дирихле, наложенными на двух плоскостях £2р = YífüH-
В четвертом параграфе первой главы, проводятся вычисления энергии Казимира для поверхности дефекта в виде кругового цилиндра радиуса R, расположенного вдоль оси Ох3. Применение результатов предыдущих расчетов позволяет выписать выражение для энергии Казимира в несколько несложных шагов. Также как и в случае плоской геометрии, в нерегуляризованной теории с цилиндрическим дефектом энергия Казимира УФ расходится Для регуляризации этих расходимостей применяется метод Паули-Вилларса с двумя регуляризующими массами М\д. Регуляризованная энергия имеет вид S = /0°° ]С,Т=-<х 1п(! + АУ„(р.Л/, ,Л/2)), где Yn выражается через модифицированные функции Бесселя /„, Кп. В переделе снятия регуляризации Mi ,2 —> 00 функция Yn переходит в выражение = 2RIn{RE)Kn{RE), Е = у/р2 -f т2, формально получающееся при вычислении энергии в нерегуляризованной теории
Для анализа контр-членов в данном случае помимо общеизвестной формулировки формулы Абеля-Плана, также выводится ее обобщение на функции с неинтегрируемыми особенностями, которое в литературе ранее не приводилось В завершении первой главы диссертации приводятся явные выражения для конечной части и контрчленов в случае цилиндрической поверхности дефекта
Во второй главе диссертации построена модель взаимодействия фермионного поля с двумерным дефектом в виде бесконечной плоскости Показано, что такая система эффективно описывает классическую равномерно заряженную плоскость с однородными постоянными токами в рамках КЭД Построены квантовые поправки к классическому полю подобной плоскости Данная задача не была решена ранее, и является обобщением на двумерные объекты стандартной задачи квантовой электродинамики о построении квантовых поправок к полю точечного задача
В первом параграфе второй главы исходя из принципов изложенных во введении строится взаимодействие фермионного поля электронов с материалом плоскости максимально общего вида Показывается, что КЭД с однородным дефектом, сосредоточенном на бесконечной плоскости хз — 0, и инвариантным относительно отражения координат в рамках нашего подхода описывается следующим дополнительным слагаемым в функционал действия1)
^ А) = ¿(хз) (ф(х)<2ф(х) + РА^х) + Д„(х))
где ф, ф> - спинорные поля Дирака, А - вектор-потенциал ЭМ поля, 1,1'- фиксированные 4-вектора, <3 — линейная комбинация набора 11 гамма-матриц Дирака, сохраняющих пространственную четность Из соображений калибровочной инвариантности вы выбираем 'з = 'з — О С этим ограничением функционал А) пред-
ставляет собой наиболее общую форму действия дефекта, не содержащую параметров отрицательной размерности, и инвариантную по отношению к отражению координат и калибровочным преобразованиям. Таким образом, согласно обычным критериям теории перенор-мирмировок, модель определенная суммой обычного действия КЭД и действия дефекта перенормируема
'Здесь и ниже в формулах подобного типа опускается символ интегрирования по всему пространству
В параграфе 2 второй главы мы рассматриваем модель с дефектом (5 = Л + где q - постоянный вектор, 7 - матрицы Дирака Мы показываем, что свойство перенормируемости теории сохраняется и для I' = О, I = и для устранения расходимостей достаточно перенормировки параметра £
Средняя напряженность электромагнитного поля — (дцАи — д^А^) выражается через формальный (расходящийся) интеграл по конфигурационному пространству как
здесь Jfl(y) = ео^у) — причем Iд - внешний классический
ток, а Зц- ток сгенерированный вакуумными флуктуациями полей Дирака, которые в теории с дефектом дают нетривиальный вклад
Проводя вычисления в главном приближении, мы ограничиваемся рассмотрением свободной теории с дефектом без непосредственного взаимодействия фотонного и фермионного полей Тогда главное приближение тока флуктуаций полей Дирака 3^ выражается через след фермионного пропагатора 6'(х, у) свободной теории с дефектом ;<0) = Тг{8(у у)7м) Используя приемы, разработанные в первой главе нам удается получить явное выражение для производящего функционала функций Грина теории полей Дирака, взаимодействующих с дефектом Полный пропагатор теории 5 имеет вид суммы свободного фермионного пропагатора теории без дефекта и дополнительного "поверхностного1' слагаемого, зависящего от параметров дефекта Л, <7 Мы показываем, что в 3^ дает вклад только поверхностная часть пропагатора
Для вычисления последней вводится преобразование Фурье по координатам {х0 ¿1 х2},те не затрагивающее хз — координату нормальную к поверхности дефекта Для подобных фурье-компонент дефектной поправки к пропагатору нами получено явное выражение через параметр модели т, А и <7 Аналогичная поправка к пропагатору полей Дирака Б для дефекта А = (¡\ = г/2 = сц = О была вычислена ранее, наш результат обобщает полученный ранее и совпадает с ним при указанных значениях параметров
Регуляризуя выражение для средней напряженности поля с помощью УФ обрезания А в импульсном пространстве, мы выделяем
(х - у)4
расходимости, пропорциональные Л и Л2. Перенормировка параметра £ позволяет выделить конечную часть напряженности среднего поля, а анализ ее поведения при различных значениях хз позволяет нам получить следующие результаты. На больших расстояниях от дефекта, хз —» оо, поле, сгенерированное плоскостью, постоянно, что соответствует полю заряженной плоскости в классической ЭД Соответствующая асимптотика может быть выбрана в качестве нормировочного условия, выявляющего взаимосвязь параметров, описывающих плоскость в рамках классической ЭД (плотности заряда и тока) и параметров модели (£, Л, д)
На малых расстояниях среднее поле имеет неклассическое поведение
г ес^>
2т?х1
где с/1(/ — некоторый явно вычисленный постоянный тензор, зависящий от параметров модели, е — заряд электрона Данная асимптотика дает квантовые поправки к полю плоскости в классической ЭД Проведенный анализ асимптотики показывает, что данные поправки проявляются на расстояниях порядка хз ~ 10~1Ост, а на больших расстояниях экспоненциально подавлены множителем е~2'п'Х11
В завершении второй главы проводится детальный анализ различных комбинаций параметров дефекта </, Л и выводятся явные выражения для квантовых поправок к классическим электрическому и магнитному полям заряженной плоскости
В третьей, заключительной, главе диссертации рассмотрено фотонное поле, взаимодействующее с пространственным дефектом в форме бесконечного цилиндра Показано, что исходя из результатов второй главы, для рассмотрения эффектов Казимира на расстояниях порядка 10~9 - Ю-8 см и больше в рамках КЭД возможно ограничиться взаимодействием дефекта только с электромагнитным полем, так как эффекты взаимодействия с фермионными поля экспоненциально подавлены на таких расстояниях Исходя из базовых принципов КТП построено дополнительное действие системы, сосредоточенное на дефекте Методы развитые в первой главе, дополненные специфическим для векторного поля фотонов преобразованием базиса, позволяют получить явное выражение для производящего функционала функций Грина через модифицированный пропагатор фотонного поля и энергию Казимира Показано, что в пределе силь-
ной связи модель эквивалентна наложению проводящих граничных условия на фотонное поле на поверхности цилиндра
Следуя принципам построения действия, изложенным во введении, в первом параграфе третьей главы получен наиболее общий вид взаимодействия ЭМ поля с дефектом, заданным уравнением
здесь е^иро — полностью антисимметричный тензор Леви-Чивита (£0123 = 1)- Такое действие является единственным допустимым для описания взаимодействия дефекта с ЭМ полем, совместимым с базовыми принципами КЭД — локальностью, калибровочной и лоренц инвариантностью, перенормируемостью
Важно отметить, что наличие е-тензора сигнализирует о возможном нарушении Р-четности Причем данное свойство является неизбежным следствием указанных выше базовых принципов теории при попытке описать поверхностные дефекты в рамках КЭД
Данная задача допускает две различных трактовки согласно первой, можно требовать сохранения пространственной четности в системе и считать константу связи а псевдоскаляром, с другой стороны, можно рассматривать системы с нарушенной Р-четностыо. Следует также ответить, что нарушение пространственной четности при формировании сложных возбуждений теории или при образовании макроскопических объектов — весьма распространенное явление в КЭД Достаточно указать существование киральных атомов и молекул, а также магнитоэлектриков Однако и существование материалов с псевдоскалярными характеристиками также обсуждается в экспериментальной литературе
Для проведения расчетов пропагатора и энергии Казимира для дефекта в виде цилиндрической поверхности радиуса В, расположенной вдоль оси х3, мы выбираем Ф(т) = х\ + х\ — В? Предварительно анализируя известные вычисления для случая плоской геометрии, мы сводим к нему рассматриваемый случай цилиндрического дефекта Мы показываем, что выбор координатного базиса, согласованного с цилиндрической геометрией, позволяет явно исключить из действия дефекта зависимость от векторных компонент и производных нормальных к поверхности дефекта В этом случае, действие
Ф(^) = О
дефекта становится эффективно трехмерным и формально совпадает с выражением для случая плоской геометрии Проводя явные вычисления мы показываем, что в полной аналогии со скалярным случаем, энергия Казимира системы выражается через определитель некоторого интегрального оператора. В пределе сильной связи, о —> оо, действие дефекта переходит в функциональную дельта-функцию, выделяющую из области интегрирования те поля, которые удовлетворяют проводящим граничным условиям на поверхности дефекта УФ расходимости теории устраняются регуляризацией исходного действия по методу Паули-Вилларса
Введение Фурье преобразования, не затрагивающего зависимость от полярного радиуса позволяет получить следующее выражение для плотности энергии на единицу длины цилиндра
1 гоо °с
Е = к хЛх Е М^К,'»)
4 ' и 11 = — ос
где функция У„м(х) выражается через модифицированные функции Бесселя 1п(р), Кп(р), взятые с аргументами р = х. \Лс2 + М2, М — параметр регуляризации. В пределе М —* ос энергия Казимира расходится = -х21п{х)Кп{х)Гп(х)К'п{х).
Для выделения расходящихся в пределе снятия регуляризации вкладов мы строим равномерные (Дебаевские) асимптотики функций Бесселя, входящих в регуляризованное выражение плотности энергии Раскладывая затем подинтегральное выражение в асимптотический ряд, мы выделяем потенциально расходящиеся слагаемые Их анализ проводится с помощью обобщений формулы Абеля-Плана, полученных при расчетах для скалярного поля Показано, что расходящаяся часть энергии определяет набор контр членов и также дает конечный вклад
Были получены выражения для контрчленов в виде А = ЛМ3Аз+ А у, где Л^з - некоторые явные функции константы взаимодействия а
Конечная часть энергии имеет вид
1 (а? 1п2тг Гх , Д
К ' 4 +а2 4(п2 +р2)3
Для сокращения расходимостей с помощью мультипликативной перенормировки мы вводим в действие модели классическую энергию
Ес1аз = СГоЯ + Но/Я
где а о и Л о — затравочные поверхностное натяжение и параметр размерности энергии, соответственно Мы переопределяем эти параметры следующим образом сг0 = <т - А/3.4з, Но = Н - МА\ Ренор-мированные значения а и Н должны рассматриваться как заданные параметры для теории, которые из нее определить невозможно Они должны быть определены из соответствующих экспериментов Таким образом в дополнение к стандартным нормировочным условиям КЭД, для полной фиксации произвола нашей модели необходимо три независимых эксперимента для определения значений <т, /г и а
В третьем параграфе третьей главы мы приводим анализ конечной части плотности энергии Казимира как функции константы связи а В пределе сильной связи, а —> оо полученное выражение воспроизводит известные расчеты для энергии ЭМ поля в присутствии идеально проводящего цилиндра Таким образом, данный результат обобщает полученные ранее результаты на неидеальные материалы дефекта График зависимости плотности энергии от параметра а приводится на рисунке 1
В завершении третьей главы мы проводим расчеты для полей, порожденных взаимодействием дефекта с внешним полем точечного заряда и постоянного линейного тока, текущего вдоль оси цилиндра Показывается, что помимо полей, характерных для взаимодействия идеально проводящего цилиндра с точечным зарядом и током, генерируются аномальные поля, которые исчезают в проводящем пределе а —> оо В случае взаимодействия с покоящимся точечным зарядом помимо электрического поля, также возбуждается магнитное поле. Аналогично, в случае взаимодействия с линейным током, помимо характерного магнитного поля, генерируется аномальное электрическое
10
15
20
-0.1
-0.15
Рис. 1: Ега!, как функция а (множитель 1/47гД2 опущен).
Таким образом, в данной модели пространственная четность сохраняется в двух предельных случаях: при тривиальном отсутствии какого-либо взаимодействия с границей а = 0, и в пределе а —> ос, который соответствует идеальнопроводящему случаю. Модель предсказывает, что пространственно четные границы должны иметь универсальную амплитуду силы Казимира. В случае отличия от нуля, она должна совпадать с силой Казимира для идеальных проводников.
Публикации
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
Fialkovsky I.V., Markov V.N., Pis'mak Yu.M., Parity violating cylindrical shell in the framework of QED, J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 075403, arXiv:0710.4049vl [hep-th]
Fialkovsky I.V., Markov V.N., Pis'mak Yu.M., Field Of Homogeneous Plane In Quantum Electrodynamics, Int. J. Mod. Phys. A, 21, (2006), 2601-2616 arXiv:hep-th/0311236
Fialkovsky I.Y., Markov V.N., Pis'mak Yu.M. Renormalizable mean field calculation in QED with fermton background, J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006) 6357-6363
В. H. Марков, Ю. M. Письмак, И. В. Фиалковский, Квантовая электродинамика c. поверхностными лагранжианами, Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2004, вып. 3 (20), стр. 96-101.
Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ Приказ №571/1 от 14 05 03 Подписано в печать 15 05 08 с оригинал-макета заказчика Ф-т 30x42/4, Уел печ л 1 Тираж 100 экз , Заказ №826/с 198504, СПб, Ст Петергоф, ул "Ульяновская, д 3, тел 929-43-00
Введение.
Глава I. Скалярное поле.
1.1 Постановка задачи.
1.2 Случай одной плоскости.
1.3 Случай двух плоскостей.
1.4 Цилиндрическая геометрия.
Глава II. Фермионный дефект.
II. 1 Постановка задачи.
11.2 Вычисление пропагатора.
11.3 Вычисление среднего поля.
11.4 Поля простейших дефектов.
И. 5 Выводы.
Глава III. Цилиндрический дефект в рамках фотодинамики.
III. 1 Постановка задачи.
III.2 Случай плоской геометрии.
II 1.3 Случай плоской геометрии.
II 1.4 Процедура перенормировки.
II 1.5 Выводы.
5 Выводы
В настоящей главе мы построили модель КЭД с электромагнитным полем, взаимодействующим с тонкой цилиндрической оболочкой (двумерной поверхностью). Форма взаимодействия (действие дефекта) — в виде члена Черна-Саймона — однозначно определена из базовых принципов квантовой теории поля: локальности, калибровочной и Лоренц инвариантности, перенормируемости. В частности, включение в действие дефекта любых других слагаемых (с высшими производными и т.п.) неизбежно вносит в теорию константы связи отрицательной размерности. Подобные теории, в свою очередь, содержат бесконечное число примитивно расходящихся диаграмм, и, следовательно, неперенормируемы [68, 69]. Таким образом, действие дефекта Черна-Саймона с одной безразмерной константой связи а является единственным допустимым. Это действие нарушает пространственную четность, и преобразование четности эквивалентно смене знака константы связи а. Мы вычислили явным образом модифицированный фотонный пропагатор теории и энергию Казимира системы. Последняя является четной функцией а, и в пределе а —» сю переходит в энергию Казимира для идеально проводящего дефекта. Нарушение четности проявляется только при взаимодействии системы с внешним источником электромагнитного поля — точечным зарядом, протяженным постоянным током.
Эффективно действие дефекта моделирует взаимодействие ЭМ поля с поверхностным слоем (тонкой пленкой) атомов, которая естественным образом может нарушать пространственную четность. Таким образом это свойство среды транслируется в эффективное описание границы через действие Черна-Саймона. В нашей модели четность сохраняется в двух предельных случаях: при тривиальном отсутствии какого-либо взаимодействия с границей а — 0, и в пределе а —» оо, который соответствует идеально проводящему случаю. Мы предсказываем, что пространственно четные границы должны иметь универсальную амплитуду силы Казимира. В случае отличия от нуля, она должна совпадать с силой Казимира для идеальных проводников. С теоретической точки зрения мы не можем предсказать, существуют ли в природе материалы с конечным и неисчезающим а.
В заключение отметим, что нарушение четности в рассматриваемой модели взаимодействия ЭМ поля с макроскопическим объектом никоим образом не противоречит сохранению четности в электромагнитных взаимодействиях как таковых. В современной физике хорошо известны многочисленные эффекты, в которых симметрии, присущие фундаментальным взаимодействиям, нарушаются на уровне макрообъектов. Механизм нарушения связан эффектом спонтанного нарушения симметрии. Среди них можно выделить два основных класса явлений подобного сорта.
Во-первых, нарушение симметрии может происходить уже при образовании сложных связанных состояний теории. Примером могут служить киральные молекулы, существующие в форме различных энантомеров — зеркальных (стерео-)изомеров. Простейшие моллекулы такого сорта — С-Н-Р-С1-Вг, или алонин С-Н2М-СООН-СН3-#4 [79]. В органической химии это весьма распространенное явление. Более экзотическими объектами являются киральные атомы (134Рг и другие, [80]), имеющие по две модификации — зеркальные отражения друг друга.
Также возможно нарушение базовых симметрий теории в макроскопических состояниях, состоящих из большого числа идентичных частиц. Простейшим примером является магнит, более сложными системами с аналогичным поведением являются магнитоэлектрики - кристаллы Сг20з [81], ВгЕеОъ [82] и многие другие. Для последних характерно появление аномальных электрического и магнитного полей, аналогичных описанным в пункте 4.4. В связи с этим, мы рассматриваем подобные материалы как самые вероятные кандидаты для экспериментального поиска эффектов, описанных в данной работе.
В цели настоящей работы не входило рассмотрение возможных механизмов нарушения четности при формировании резкой границы макроскопического тела. Однако, приведенные примеры ясно показывают, что подобное нарушение в макрообъектах весьма распространено, и детальное исследование этого вопроса может быть темой самостоятельного исследования.
Часть IV