Моделирование гравитационной конвекции в дисперсных системах

Невский, Юрий Александрович

Моделирование гравитационной конвекции в дисперсных системах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Невский, Юрий Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Моделирование гравитационной конвекции в дисперсных системах»

Автореферат диссертации на тему "Моделирование гравитационной конвекции в дисперсных системах"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им, М.В. Ломоносова

На правах рукописи

0И4682406

НЕВСКИЙ Юрий Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ В ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМАХ

Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О МАГ1 °3'0

Москва - 2010

004602406

Работа выполнена на кафедре аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета и в лаборатории механики многофазных сред Института механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

А.Н. Осипцов

Официальные оппоненты: член корреспондент РАН

доктор физико-математических наук О.Э. Мельник

кандидат физико-математических наук М.К. Ермаков

Ведущая организация: Институт механики УНЦ РАН (г. Уфа)

Защита состоится 28 мая 2010 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д.501.001.89 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан "2.2" апреля 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.501.001.89, доктор физико-математических наук

А.Н. Осипцов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Процессы гравитационной конвекции в дисперсных системах широко распространены в природе и технике. Примерами могут служить двухфазная конвекция в вулканических очагах магмы, течения двухфазных рабочих сред в химико-технологических аппаратах (флотация, барботаж и пр.), осаждение примесей при промышленной очистке воды, движение проппанта в трещинах гидроразрыва, разделение компонент биологических жидкостей в медицинских приложениях и многие другие. В лабораторной практике широко используется метод фракционирования гранулированных материалов, основанный на гравитационной седиментации частиц. Список приложений, использующих процесс гравитационной конвекции двухфазных сред, может быть продолжен за счет рассмотрения во многом аналогичных процессов, происходящих в разнообразных инерционных сепараторах, где роль силы тяжести играет центробежная сила.

В связи с развитием компьютерных технологий и численных методов в последние годы наметился значительный интерес к количественному описанию гравитационной конвекции суспензий и объяснению ряда неожиданных эффектов, выявленных экспериментально, но не допускающих интерпретации на основе простых гидравлических или аналитических моделей. Один из таких эффектов - увеличение эффективной скорости гравитационного осаждения дисперсной примеси в закрытых сосудах при отклонении стенок сосуда от направления силы тяжести. Этот эффект был обнаружен еще в начале XX века известным английским ученым-медиком Артуром Бойкот-том (А.Е. Boycott) при оседании эритроцитов крови и с тех пор в литературе носит название эффекта Бойкотта. Как правило, ускорение процесса осаждения примеси связывают с возникновением крупномасштабных вихревых течений в процессе гравитационного осаждения суспензии. Развитие вихревых зон часто сопровождается появлением мезомасштабных явлений, в частности, образованием расслоений дисперсной фазы, ориентированных перпендикулярно силе тяжести. Причины развития вихревых зон и образования расслоений в поле концентрации дисперсной фазы, а также влияние этих факторов на эффективную скорость осаждения примеси в замкнутых объемах остаются во многом не исследованными.

Современный подход к описанию движения дисперсных систем основан на использовании приближения взаимопроникающих и взаимодействующих континуумов, где каждый континуум относится к определенной фазе вещества. В литературе существует совсем немного работ, в которых для исследования гравитационной конвекции дисперсных систем применяются обоснованные континуальные модели. Отсутствует общепринятый набор безразмерных параметров подобия для задач двухфазной конвекции.

При описании конвективных течений многофазных сред существуют про-

блемы, связанные с замыканием континуальных моделей и обоснованием корректности используемых соотношений. Для суспензий характерно небольшое различие плотностей материалов фаз, что приводит к необходимости оценки роли нестационарных процессов на масштабе обтекания отдельных частиц, а следовательно, и вклада нестационарных составляющих силы межфазного взаимодействия (сил Архимеда, присоединенных масс, Бассэ-Буссинеска).

При континуальном описании суспензии учет конечности объемной доли включений, имеющих плотность, отличную от плотности несущей фазы, делает среду эффективно "сжимаемой" даже в случае несжимаемых несущей фазы и вещества частиц. Это свойство обусловлено изменением массы единицы объема среды за счет относительного перемещения фаз. Следует отметить, что этот факт игнорируется практически во всех опубликованных к настоящему времени теоретических исследованиях гравитационной конвекции суспензии.

Для проведения численного моделирования гравитационной конвекции в рамках двухконтинуальных моделей требуется разработка специальных численных алгоритмов, учитывающих как сжимаемость континуума, описывающего несущую фазу, так и возможность появления сильных разрывов в поле концентрации дисперсной фазы.

Перечисленные выше проблемы послужили мотивацией для проведения исследований, изложенных в настоящей диссертационной работе.

Цели работы:

• Построение общей двухконтинуальной гидродинамической модели гравитационной конвекции суспензий с малой, но конечной объемной концентрацией дисперсной фазы; определение параметров подобия, управляющих процессом конвекции, и масштабных факторов.

• Исследование роли нестационарных составляющих силы межфазного взаимодействия (в том числе наследственной силы Бассэ) в задачах гравитационного оседания частиц. Определение условий возможности пренебрежения (необходимости учета) этими силами.

• Построение предельных (асимптотических по значениям безразмерных параметров) моделей гравитационной конвекции суспензии, соответствующих типичным реальным ситуациям.

• Разработка численных алгоритмов и проведение параметрических численных расчетов гравитационной конвекции суспензии в замкнутых двумерных объемах. Исследование возникновения вихревых течений, а также эффектов ускоренного осаждения частиц в сосуде с наклонными стенками (эффект Бойкотта) и горизонталь?юго расслоения дис-

перепой примеси. Сопоставление результатов, полученных на основе моделей с конечной и пренебрежимо малой объемной концентрацией частиц.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты, выносимые на защиту:

• Построена общая двухконтинуальная гидродинамическая модель гравитационной конвекции суспензии с конечной объемной долей дисперсной фазы. Определены параметры подобия, управляющие конвекцией, и найдены масштабные факторы. Построены упрощенные модели, соответствующие характерным предельным значениям определяющих параметров и представляющие интерес для практических приложений.

• В рамках обоснования корректности модели на ряде модельных задач проведено исследование влияния нестационарных и "наследственных" сил в межфазном взаимодействии на движение одиночных тяжелых (легких) сферических частиц в нестационарном потоке. Развиты алгоритмы вычисления наследственной силы Бассэ. Определен диапазон параметров, в котором описание оседающей (всплывающей) примеси в суспензии невозможно без учета нестационарных и "наследственных" сил.

• Для предельной модели стационарной гравитационной конвекции, вызванной оседанием малоинерционных частиц в эффективно невязкой жидкости, найдены условия существования первого интеграла уравнений баланса импульса. Приведены примеры аналитических решений, построенных с использованием указанного первого интеграла.

• В рамках модели сильновязкой жидкости с малоинерционными частицами проведено численное исследование ряда задач гравитационной конвекции в замкнутых двумерных сосудах. Исследованы условия развития вихревых структур и неустойчивостей на границе "суспензия-чистая жидкость". Численно воспроизведены экспериментально полученные эффекты ускорения осаждения и горизонтального расслоения дисперсной примеси в сосуде с наклонными стенками. Проведено сравнение численных расчетов для случаев учета и пренебрежения объемной долей дисперсной фазы.

подтверждается сравнением результатов с известными численными и аналитическими решениями, а также качественным соответствием полученных результатов некоторым известным экспериментальным данным.

Научная значимость работы состоит в исследовании роли нестационарных и наследственных сил при описании межфазного взаимодействия в задачах гравитационного оседания частиц в нестационарном потоке, а также в разработке математических моделей и численных алгоритмов, позволяющих корректно описывать эффекты развития вихревых структур, расслоения дисперсной фазы и эффект Бойкотта в задачах гравитационной конвекции суспензий.

Практическая значимость работы заключается в создании математических моделей и комплекса компьютерных программ, позволяющих моделировать процесс гравитационной конвекции суспензии с целью управления эффективной скоростью разделения фаз, а также в выработке ряда качественных рекомендаций по организации процесса осаждения дисперсной фазы.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались на 14 международных и российских научных конференциях: Конференции-конкурсе молодых ученых НИИ механики МГУ (2004, 2006-2009); Конференции "Ломоносовские чтения" (2005, 2008, 2009, 2010); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н. Новгород, 2006); XV школе-семинаре "Современные проблемы гидроаэродинамики" (Сочи, 2007); Всероссийской конференции "Механика и химическая физика сплошных сред" (Бирск, 2007); Всероссийской конференции "Современные проблемы механики сплошной среды", посвященной 100-летию акад. Л.И. Седова (Москва, 2007); XV Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию акад. В.А. Садовничего (Москва, 2009); Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях: физика геосфер" (Москва, 2009), XVI Международной конференции "Вычислительная механика и современные вычислительные программные системы" (Алушта, 2009).

Результаты работы обсуждались на трех специализированных научных семинарах: семинаре кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 20032008), семинаре по механике многофазных сред под рук. д.ф.-м.н. А.Н. Осип-цова (НИИ механики МГУ, Москва, 2003-2009), семинаре под рук. акад. А.Г. Куликовского, проф. A.A. Бармина, проф. В.П. Карликова (2010 г.).

Публикации по теме диссертации. Основные результаты работы изложены в 16 научных публикациях. Статьи [10] и [И] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК на момент публикации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четы-

рех глав, заключения и списка литературы. В работе содержится 21 рисунок, 2 таблицы и 121 библиографическая ссылка. Общий объем диссертации составляет 118 страниц.

Глава 1 посвящена обзору исследований гравитационного оседания дисперсных частиц в вязкой жидкости, оседания суспензий в замкнутых объемах и проблеме замыкания континуальных уравнений дисперсных сред, возникающей при построении моделей гравитационной конвекции суспензий с конечной объемной долей примеси.

В разделе 1.1 описаны подходы к учету зависимости скорости оседания примеси от локальной объемной концентрации частиц, основанные на введении поправочной функции к стоксовской скорости осаждения одиночной частицы. Обсуждаются особенности влияния взаимного расположения частиц на вводимые поправочные функции. Цитируются известные обзоры G. Batchelor, R. Davis к A. Acrivos, М. Ungarish и другие работы. Приведены результаты ряда экспериментальных работ и наиболее часто используемые в литературе выражения для "стесненной" скорости оседания частиц. Отмечается, что в инженерной практике наиболее часто используется степенная поправочная функция в стоксовской скорости оседания одиночной частицы с различными показателями степени п: /(с) = (1 — с)", где с -локальная объемная концентрация частиц.

В разделе 1.2 дан обзор основных публикаций, посвященных экспериментальному исследованию и моделированию гравитационной конвекции дисперсных систем в замкнутых объемах. Особое внимание уделяется работам, в которых исследуется эффект ускоренного оседания дисперсной фазы в сосудах с наклонными стенками (эффект Бойкотта). Отмечаются ключевые моменты развития теоретических моделей, начиная с "теории кинематических волн" Кинча (G. Kynch), геометрической теории ПНК (авторы - Ponder Е., Nakamura Н., Kuroda К.) и заканчивая двухконтинуальными подходами, сформулированными в работах школы А. Акривоса. Отмечается вклад в исследование различных задач двухфазной конвекции таких авторов, как В. Fitch, К. Davis, R. Davis, К. Kinosita, W.D. Hill, U. Shaflinger, A. Acrivos, E. Herzbolzheimer, S.J. McCaffery, L. Elliott, D.B. Ingham, F. Blan-chette, Г.М. Махвиладзе, В.П. Мясников, В.Jl. Зеленко, Д.В. Любимов и др. На основе обзора литературы сделан вывод, что проблеме построения строгих двухконтинуальных моделей для гравитационного осаждения суспензий в замкнутых объемах уделялось недостаточное внимание. Отсутствуют общепринятые параметры подобия для задач конвекции дисперсных систем. Остается открытым вопрос о роли нестоксовских компонент в межфазпом взаимодействии (сил Архимеда, присоединенных масс, Бассэ-Буссинеска), требует специального анализа вопрос о корректном уче-

те "сжимаемости" континуума, описывающего суспензию. Наконец, требуется модель для количественного описания эффекта Бойкотта и анализ причин возникновения вихревых зон и мезомасштабных структур в оседающей суспензии.

Глава 2 посвящена формулировке основных уравнений гравитационной конвекции двухфазных смесей типа "жидкость-твердые частицы" в рамках двухконтинуалыгого подхода и особенностям замыкания полученных уравнений. Рассмотрены как строго обоснованные методы замыкания уравнений двухфазной конвекции, применимые для случая малой объемной доли примеси, так и полуэмпирические соотношения, используемые, в основном, при учете конечной объемной доли дисперсной фазы.

В разделе 2.1 из общей интегральной модели описания движения многофазных систем выводятся дифференциальные уравнения двухконтину-альной модели для разреженных дисперсных смесей, состоящих из твердых частиц и жидкости. Используются предположения о ньютоновской реологии жидкости и малости хаотической составляющей скорости дисперсных включений, что позволяет пренебречь тензором напряжений в среде частиц.

Для определения межфазной силы используются выражения, справедливые для одиночной частицы при малых значениях числа Рейнольдса обтекания частицы Res = 2<r|v — vs|р/цо- Здесь локальные скорости несущей фазы и примеси обозначаются как v и vs, р - плотность несущей фазы, ¡щ - вязкость несущей фазы, а а - радиус частиц.

Раздел 2.2 посвящен, в основном, описанию взаимодействия между несущей фазой и сферическими частицами с учетом нестоксовских составляющих межфазной силы (сил Архимеда, присоединенных масс и Бассэ-Буссинеска). В этом случае межфазная сила имеет вид (М. Махеу & J. Riley (1983)):

. . 2 , / dv d$vs\ 4 , (dv Л f. = 6^(v - v.) + p[jt - —J + -,o>p - gj +

sa 2 /- f ds{v-vs) dr

v^y dT ^ (1)

Здесь первое слагаемое - сила Стокса fgt, второе - сила присоединенных масс fm, третье - сила Архимеда fA, четвертое - сила Бассе-Буссинеска fe, g - ускорение силы тяжести.

Анализ вклада перечисленных выше сил на масштабе длины скоростной релаксации уединенной частицы позволяет заключить, что при сравнимых плотностях фаз априорное пренебрежение остальными силами по сравнению с силой Стокса некорректно. Длина скоростной релаксации определя-

ется соотношением / = mU/Qirafi, где т - масса частицы, U - ее характерная скорость, а масштаб времени определяется как 1/U.

В конце раздела приводятся имеющиеся в литературе выражения для поправок к межфазной силе на "стесненность" обтекания частиц при их регулярном и хаотическом расположении в пространстве.

Раздел 2.3 посвящен построению двухконтинуальной модели гравитационной конвекции суспензии с учетом конечности объема, занятого дисперсной фазой. Считается, что собственные напряжения в среде частиц отсутствуют, суспензия в целом - сжимаемая (за счет возможности перс-распределения примеси) ньютоновская жидкость с переменной вязкостью, зависящей от локальной объемной доли частиц, и ее тензор напряжений имеет вид:

РГ] = -p5ij + 2,i(c)eij - \n{c)8l3div{v)

Здесь - символы Кроиекера, е'7 - компоненты тензора скоростей деформации, р - гидродинамическое давление. Зависимость вязкости от локальной концентрации при малых объемных концентрациях частиц можно вычислять по формуле Эйнштейна:

р{с) = ц0 + ^cj , цо = iz{0)

Для вычисления зависимости вязкости суспензии от объемной доли при больших значениях объемной концентрации примеси можно использовать выражение, предложенное в работе A.L. Graham (1981).

При формулировке окончательной формы уравнений суспензии оказывается удобным вместо уравнения импульса для несущей фазы использовать эквивалентное уравнение импульса для среды в целом. Это уравнение получается суммированием уравнений импульса для несущей и дисперсной фаз, что позволяет исключить силу межфазного взаимодействия. Удобно также вместо уравнения неразрывности для несущей фазы записать эквивалентное уравнение неразрывности для среднеобъемной скорости суспензии в целом, поскольку такая скорость бездивергентна. Заметим, что дивергенция среднемассовой скорости суспензии не равна нулю, и поэтому среда "сжимаема". В результате, уравнения дисперсной смеси с конечным объемным содержанием частиц в иоле силы тяжести можно записать в виде:

дс

div[(l — c)v + cvs] = 0, — + div{cvs)= 0 (2)

р<1 - с)~ + Psc^ = VjP' + [р(1 - с) + psc]g

dsvs _ ,

m—— = fs + mg

Здесь плотности вещества фаз р и ря считаются постоянными.

Конечность объема частиц приводит к необходимости учета стесненности обтекания частиц при формулировке выражений для межфазного обмена импульсом. Поправка к силе Стокса <рх (с) зависит от геометрии близко расположенных частиц. Аналогичные поправки (^2-4 (с) должны быть учтены и в выражениях для сил присоединенным масс, Архимеда и Бассэ-Буссинеска в выражении для К сожалению, в литературе практически отсутствуют данные о конкретном виде таких поправочных функций для нестационарных составляющих межфазной силы.

Сформулированная модель учитывает двухскоростные эффекты, "сжимаемость" смеси за счет перераспределения объема дисперсной фазы и нестационарность сил в межфазном обмене импульсом.

Естественная попытка упростить представленную модель двухфазной конвекции связана с выяснением реальной необходимости учета нестационарных и наследственных сил в межфазном взаимодействии.

В связи с этим в главе 3 рассмотрен ряд одномерных модельных задач о движении одиночных частиц под действием силы тяжести в стационарных и нестационарных гидродинамических полях. Развиты методы численного решения интегродифференциального уравнения движения частицы с учетом силы Бассэ. Исследовано влияние силы Бассэ на длину скоростной релаксации частиц в задачах оседания (всплытия) частиц. На основании параметрических численных расчетов определены диапазоны отношения плотностей фаз, в которых можно не учитывать нестационарные и наследственные силы в межфазном взаимодействии.

В разделе 3.1 рассматривается задача о влиянии сил гравитации, Архимеда, присоединенных масс и Бассе-Буссинеска на характер движения уединенной частицы на длине ее скоростной релаксации при стоксовском законе сопротивления и характерной скорости, равной стоксовской скорости осаждения. Считается, что на частицу действуют все силы, определенные в (1). Оценка вклада различных сил в расчетах осуществляется с помощью условных коэффициентов ах_4, которые равны нулю, если сила "выключена" или единице, если она "включена". В безразмерном виде система уравнений движения частицы выглядит следующим образом:

<к„ ¿у$ 77(201 + а2) ¿V

Ж = = 2 + а2, (3)

+лУ^аз/о и+ Здесь j - единичный вектор, направленный против силы тяжести, т] — р/р8 и А = 2/(2 + ащ). Система (3) содержит единственный определяющий параметр - Г).

Для численного решения уравнений (3) предложен как метод прямого численного интегрирования инегродифференциалыюго уравнения, так и метод сведения этого уравнения к системе чисто дифференциальных уравнений более высокого порядка, основанный на идеях работы Е. Michaclides (1992). Указанная замена оказывается эквивалентной лишь в диапазоне отношения плотностей фаз rj < 4/7. На основании параметрических расчетов в диссертации продемонстрирована достоверность результатов, полученных обоими методами.

Раздел 3.2 посвящен описанию результатов, полученных для случаев покоящейся, монотонно ускоряющейся, монотонно замедляющейся и осцил-лиругощей несущей фазы. Методика определения вклада исследуемых сил следующая: перед силой, вклад которой исследуется, коэффициент а, принимает нулевое значение. Скорости v.,mi(i) и v.,(t) соответствуют системе (3) при а, = 0 и а,- = 1. В качестве параметра, показывающего вклад исследуемой силы, используется величина Я,- = max« Jv^(t) — vsmi(t)| для тяжелых частиц (rj < 1) и Ri = тах(|уД() — vimi(i)\/т] для легких частиц (г/ > 1). Основные качественные результаты расчетов: для тяжелых частиц, движущихся в нестационарном поле скорости в отсутствие массовой силы, влиянием нестационарных и наследственных сил (присоединенных масс и Бассе-Буссинеска) можно пренебрегать; учет силы Бассе-Буссинеска при оседании частицы под действием массовой силы, даже в покоящейся жидкости, приводит к увеличению времени скоростной релаксации более чем на порядок. Для частиц, оседающих под действием силы тяжести в осциллирующем с частотой wi потоке несущей фазы (v(t) = cos(cJit)), полученые зависимости величин R2, R3 и Д23 от отношения плотностей фаз г] для частот u>i = 0.1,1,10 представлены на Рис. 1. Получено, что при описании движения тяжелых частиц силой присоединенных масс практически всегда можно пренебрегать (в пределах точности ~ 5%), в то время как для легких частиц учет силы присоединенных масс необходим при любых условиях. В диапазоне отношений плотностей фаз ц б [0.005; 0-92] вклад силы Бассе-Буссинеска превышает 5% .

Глава 4 посвящена исследованию задач гравитационной конвекции суспензии в замкнутых двумерных областях и выяснению параметров подобия, управляющих конвекцией. Рассмотрены важные частные случаи конвекции в сосудах, линейный размер которых много больше длины скоростной релаксации фаз. Отдельно исследован случай стационарной конвекции малоконцентрированной суспензии при больших числах Рейнольдса.

В разделе 4.1 общие уравнения гравитационной конвекции суспензии (2) записываются в безразмерном виде. В качестве масштабов при обез-размеривании приняты стоксовская скорость оседания частицы в плотной среде U = mg\i — r]\/бтгет/щ и вертикальный линейный размер рассматрива-

(сплошная линия), ьц = 0.1 (щтрихованая линия) и = 10 (штрих-пунктир). Кривые 1, 4, 7 показывают влияние силы Бассэ (Яз), 2, 5, 8 - суммарное влияние нестационарных и наследственных сил (йгз), а 3, б, 9 - влияние силы присоединенных масс (Я2).

емого замкнутого объема. Масштаб времени 21, как правило, принимался равным отношению Ь/и. Случай равноплотной смеси или отсутствия силы гравитации становится вырожденным II = 0, но в этом случае отсутствует причина движения и конвекция не возникает.

Полная система уравнений гравитационной конвекции суспензий в безразмерном виде зависит от четырех параметров: параметра инерционности частиц /? = ЬЦ (где I - длина скоростной релаксации частицы при стоксов-ском законе сопротивления), отношения плотностей фаз г) = р/р8, числа Рейнольдса конвекции Ле= рС/Х/^о и числа Струхаля БЬ= £/[/!}, обычно равного единице. В начальные условия входит характерная объемная доля частиц в начальный момент времени СоВ конце раздела приведены таблицы характерных значений размерных и безразмерных параметров, встречающихся в приложениях, из которых следует, что параметр инерционности частиц (3 практически всегда удовлетворяет неравенству Р 1, а числа Рейнольдса могут быть как малыми, так и большими.

В разделе 4.2 рассматриваются наиболее характерные для реальных ситуаций предельные случаи построенной общей модели. Их особенность заключается в том, что параметр ¡3 1, что соответствует размерам сосуда, много большим длины релаксации скоростей фаз. Это позволяет существенно упростить общую модель, а из межфазных сил оставить только силы Стокса и Архимеда.

Первая предельная постановка соответствует характерному асимптотическому пределу:

Р -> оо, т]/Р ->■ О, со/З/т] оо, Ие -)■ О, со/ЗЛе/т] = А ~ 0(1), БЬ = 1

Здесь со - характерное начальное значение объемной доли частиц, А - аналог числа Грасгофа (коэффициент перед силой плавучести в рассматриваемой модели). В данном пределе уравнения конвекции упрощаются и принимают вид:

- = О, ^ + ¿¿у(су5) =0, V, = V - /(сМ

= ^ 12 ~ 8§п(1 ~ '/М (-) Р1 =

I } 1 ^ '

(4)

дпг _

дх^ дхг) 3 4

Здесь Sgn обозначает знак выражения в скобках, </>о - поправка к вязкости на конечность объема частиц. В расчетах выражение для "стесненной" скорости осаждения принималось в виде /(с) = (1 — с/с,,,)'3'1, где стп - концентрация плотной упаковки частиц.

В случае малых объемных концентраций дисперсной фазы, в результате предельного перехода с —>■ 0 можно получить модель гравитационной конвекции для сильноразреженных суспензий.

В этом пределе удобно ввести безразмерную числовую концентрацию частиц п3 = п*]п*о и относительную массовую концентрацию дисперсной фазы а = тп*0//7, п*0 - характерное значение размерной числовой концентрации частиц в начальный момент времени. Массовая концентрация частиц и характерная объемная доля в начальный момент времени связаны очевидным соотношением о: = сд/г/, где со - объемная доля частиц, соответствующая начальной концентрации п*0. В рассматриваемом пределе несущая фаза становится несжимаемой, вязкость среды постоянна, а в выражении для скорости оседания частиц исчезают поправки на стесненность обтекания. Уравнения конвекции разреженной суспензии принимают вид:

сЦуу = 0, = О

аг

V?! = У2у - 1 - г/)Ап^ у8 = V - j (5)

В данном приближении поле скоростей среды частиц бездивергентно, и концентрация дисперсной фазы остается постоянной вдоль фиксированной траектории частицы.

Следует отметить, что если отношение плотностей фаз конечно, то массовая доля частиц а является величиной того же порядка, что и объемная доля со- Когда со —>■ 0, массовая концентрация частиц может оставаться конечной если 77 —» 0, то есть, например, в случае твердых частиц в газе. В случае суспензий при со —»• 0 массовая концентрация тоже идет к нулю, но обратное влияние частиц на несущую фазу может быть существенным, поскольку слагаемое, определяющее величину влияния примеси на движение суспензии, имеет порядок параметра А, который содержит произведение со на большой параметр и величина которого может быть весьма немалой.

Важно, что в данном предельном случае остается единственный параметр подобия А = С{)ВКе/г) = A.bcf\(L/<j)2, который содержит только геометрические характеристики смеси (отношение линейных размеров и объемную концентрацию частиц). В данном случае для моделирования натурных экспериментов в лабораторных условиях достаточно лишь уменьшить размер частиц пропорционально размеру установки при соблюдении равенства объемной концентрации дисперсной фазы.

Второй интересный предельный случай соответствует следующим асимптотическим соотношениям между параметрами:

¡3 -> оо, т)/(3 0, Sgn(l - v)col3/v = В~ O(l), Re » 1, Sh = 1

В этом пределе объемная доля частиц также стремится к нулю. Уравнения конвекции в данном случае принимают вид:

d3ns „ dv _ „ . .„.

' ' vs = v-j, ^ = p-Bnj (б)

Раздел 4.3 посвящен аналитическому исследованию предельного случая (6) при стационарной гравитационной конвекции суспензий. Заметим, что случай стационарной конвекции может реализоваться лишь в областях с непрерывным подводом и отводом примеси на границах области.

Если бы источниковый член Bn.,j был потенциальным, то влияние частиц сказывалось бы лишь на распределении давления. Это может реализоваться лишь в специальном случае, когда производная концентрации частиц по продольной координате равна нулю. В этом случае имеет место интеграл Бернулли.

Более интересна возможность существования другого первого интеграла, который имеет место вдоль линий тока дисперсной фазы. С использованием тождества nj = V(j/ • ns) — у ■ Vns при условиях dv2a/dy = 0 (а) или rot(dvs/dy) — 0 (б) уравнение баланса импульса в (6) можно проинтегрировать вдоль траектории частиц и получить соотношения:

+ Н + р+ Вущ(ф3) = const{i>s)

Здесь Н = 0 в случае (а) и Н : VЯ = (дУц/ду) в случае (б).

Данным интегралам могут удовлетворять различные вихревые течения с однородным и неоднородным распределением концентрации частиц. В разделе приведены два частных примера точных решений уравнений конвекции (6), построенных с использованием найденных интегралов.

Рис. 2. Оседание кругового облака частиц. Слева изображена начальная концентрация примеси, справа - концентрация примеси в момент времени ( = 0.314 при А = 600.

Рис. 3. Оседание квадратного облака частиц. Слева изображена начальная концентрация примеси, справа - концентрация примеси в момент времени { = 0.314 при А = 600.

Раздел 4.4 посвящен численному исследованию гравитационной конвекции суспензии в двумерных замкнутых объемах в случае, описываемом системой (5). На границах области задаются условия прилипания для несущей фазы. Вводятся переменные (функция тока, вихрь). Полученная система состоит из одного гиперболического уравнения для концентрации частиц и двух эллиптических уравнений для функции тока и завихрен-

ности. Завихренность может рождаться либо на границе объема, либо в областях с неоднородной по горизонтали концентрацией частиц.

Для численного расчета уравнений переноса частиц использовались схемы "с ограничением потока" (R. Fazio, A. Jannelli (2009)), а для расчета эллиптических уравнений для функции тока и завихренности на каждом шаге по реальному времени - методы установления по фиктивному времени.

Проводились параметрические расчеты конвекции в квадратных вертикальных и наклонных областях для различных начальных распределений концентрации частиц с целью исследования механизмов развития вихревых зон и эффекта Бойкотта. Были рассмотрены задачи оседания конечных объемов суспензии (прямоугольных и круговых), оседание узкой полоски частиц, а также даны примеры расчета формы осадка. Примеры расчетов приведены на рис. 2-3.

Рис. 4. Фотографии эксперимента из работы (ЕИапсЬеие 2003) и численный расчет, сверху светлым отображена суспензия, темным - чистая жидкость, снизу - наоборот, темным -частицы. Вверху: слева направо - состояние после 3-х и 10 минут с начала эксперимента. Внизу: слева - состояние после 40 минут с начала эксперимента, справа - численный расчет поля концентрации при А = 600 в момент времени Ь = 0.17.

На основании расчетов установлено, что в сосудах с наклонными стенками возникает интенсивная вихревая зона в области, где частицы движутся от наклонной стенки. Если считать "верхними" стенками сосуда те его границы, на которые невозможно выпадение осадка, то в наклонных прямо-

угольных сосудах "верхних" стенок не одна, как в вертикальном сосуде, а две. Как бы в процессе гравитационной конвекции не перераспределялась примесь, до тех пор пока горизонтальный уровень верхней границы среды частиц будет выше нижней точки хотя бы одной из "верхних" стенок сосуда, будет существовать и вихревая структура, ускоряющая осаждение частиц. Существование такой структуры обусловлено наличием слоя чистой жидкости вблизи "верхней" наклонной стенки сосуда, а значит и наличием продольного градиента концентрации примеси, который приводит к генерации вихря. В этом и заключается суть механизма, влекущего к уменьшению времени осаждения суспензии в наклонном сосуде - эффекту Бойкотта.

Кривая 1 - для части над перегородкой, кривая 2 - под перегородкой, справа - поле концентрации примеси при А = 600 в момент времени I = 0.32. Внизу: слева - изображены изолинии модуля скорости несущей фазы, справа - изолинии вихревого поля при I = 0.32.

В рамках исследования эффекта Бойкотта проводился также расчет гравитационной конвекции суспензии в прямоугольном сосуде с непроницаемой диагональной перегородкой в условиях, приближенно соответствующих экспериментам работы Р. В1апсЬейе (2003) (см. Рис. 4). Эксперименты проводились в вертикальном узком прямоугольном сосуде размером

0.25 х 0.4 X 0.05 м с непроницаемой диагональной перегородкой, перегородка устанавливалась после заполнения сосуда однородной суспензией с частицами радиусом ~ 16 • 10~6 м и плотностью 4200 кг/м3. Плотность несущей фазы составляла 1100 кг/м3, а вязкость варьировалась в пределах /х = 15 ■ 10""3 - 21 • 10~3 кг/(м-с). Объемная доля примеси составляла всего 3 • 10~3, поэтому влияние осадка на конвекцию было несущественно.

За счет трения на передней и задней стенках сосуда течение в эксперименте не является двумерным, однако осредненную по толщине зазора картину конвекции, по-видимому, можно качественно описать используемой в расчетах двумерной моделью.

Рис. 6. Графики времени, необходимого для достижения массой взвешенных частиц 5-30 % от начальной массы в зависимости от угла наклона сосуда в при А = 600 (слева и справа) и при А = 6000 (в центре). Кривая 1 соответствует М(Ь)/М(0) = 0.3, М($/М(0) = 0.25 - кривая 2, М(г)/М(0) = 0.2 - 3, М(!)/М(0) = 0.15 - 4, МЩ/М(0) = 0.1 - 5, М{1)!М{0) = 0.05 - 6.

Слева и в центре отображена зависимость для расчетов с однородным начальным распределением примеси, заполняющей сосуд на 90%, справа - начальная форма облака частиц - круг, концентрация в котором убывает от центра к периферии.

Результаты расчетов свидетельствуют о качественном совпадении с экспериментом таких макропараметров, как отношение высот верхних границ областей с частицами в верхней и в нижней части сосуда и изменение массы взвешенных частиц М(£)/М(0) = /г пв(х, у, Ь)йхё,у/ /Е п8(х, у, 0)<1хс1у (проявление эффекта Бойкотта). Можно говорить также о качественном описании эффекта горизонтального расслоения дисперсной примеси и возникновения мезомасштабных пальцеобразных структур за счет влияния циркуляционных зон на боковой границе суспензии (см. Рис. 5). Из полученных данных следует, что в отдельных циркуляционных зонах происходило увеличение скорости осаждения примеси более чем в два раза уже при небольших значениях аналога числа Грасгофа.

Для случая конвекции в наклонном квадратном сосуде проводились рас-

четы с целью определения оптимального угла, при котором эффект Бой-котта наиболее ярко выражен. Исследовалось, как зависит от угла отклонения сосуда время, необходимое для уменьшения величины М(Ь)/М(0) до 5-30 % при различных начальных распределениях концентрации примеси. В случае однородного начального распределения концентрации примеси в прямоугольной области эффект сокращения времени оседания частиц в наклонном сосуде проявляется наиболее сильно. Величина этого эффекта существенно зависит от аналога числа Грасгофа (см. Рис. 6).

■ х ■■ - - - х

Рис. 7. Эволюция поля однородной полоски частиц при А = 600 (сверху) и А = 6000 (снизу). Сверху последовательно изображена концентрация примеси в моменты времени 4 = 0.3, и 4 = 0.6, снизу - в моменты времени £ = 0.12 и I = 0.18.

При увеличении параметра А усиливается проявление неустойчивости нижней границы оседающей суспензии (неустойчивости типа Рэлея-Тейлора). Если при малых А горизонтальная полоска примеси, расположенная в верхней части сосуда, доходит до дна сосуда без деформаций, то при А = 600 в процессе гравитационной конвекции полоска выгибается вниз, образуя симметричную дугу, а при А = 6000 дуг уже две (см. Рис. 7). При дальнейшем увеличении аналога числа Грасгофа происходит увеличение интенсивности

вихревого течения, сформированного осаждением частиц.

: * ° - - х - 1 х

Рис. 8. Эволюция поля концентрации примеси при А — 600 и сд = 0.05. Слева изображена концентрация частиц в момент времени Ь = 0, в центре - концентрация в момент времени £ = 0.6, справа - в момент времени £ = 1.25.

Раздел 4.5 посвящен анализу эффектов, связанных с учетом конечной объемной доли дисперсной фазы в задачах гравитационной конвекции суспензий в замкнутых двумерных областях. В рамках модели (4) проводятся параметрические численные расчеты некоторых задач, рассмотренных в предыдущем разделе.

При учете конечной объемной доли частиц возникают новые механизмы, обусловленные расширением модели. Наиболее существенным является возможность изменения концентрации примеси вдоль траектории частицы. Дивергенция поля скорости теперь не равна нулю, а значит возможно как накопление частиц, так и их разрежение. При этом, при возрастании концентрации примеси (накоплении частиц) возрастает вязкость суспензии и уменьшается скорость вертикального проскальзывания частиц Таким образом, локальные зоны повышенной концентрации частиц являются условными аттракторами - частицам, попавшим в зону повышенной концентрации, сложно ее покинуть. Это обстоятельство приводит к появлению нового механизма возникновения горизонтальных расслоений в примеси, обусловленного изменением концентрации частиц вдоль лагранжевых траекторий (см. рис. 8).

Несколько отличается и диапазон углов наклона сосуда, при котором проявляется эффект Бойкотта. В отличие от разреженных суспензий, при слишком больших углах наклона сосуда рост неоднородностей в концентрации приводит не к уменьшению, а к увеличению времени оседания. "Оптимальные" углы наклона, при которых осаждение происходит наиболее эффективно, смещаются до 7, 5° —37.5° (см. Рис. 9) по сравнению с 30° —42.5° для разреженных суспензий.

Рис. 9. Слева изображено поле концентрации примеси при А = 6000 и со = 0.05 в момент времени Ь = 0.93. Справа приведены графики зависимости времени, необходимого для достижения массой взвешенных частиц 10-30% от угла наклона сосуда 0. Кривая 1 соответствует М(Ь)/М(0) = 0.3, М(1)/М(0) = 0.25 - кривая 2, М^)/М(0) = 0.2 - кривая 3, М(<)/М(0) = 0.15 - кривая 4, М(г)/М(0) = 0.1 - кривая 5.

В Заключении к диссертации подведены итоги работы и сформулированы основные результаты и выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Построена общая двухконтинуальная гидродинамическая модель гравитационной конвекции дисперсной смеси, учитывающая нестационарные и наследственные силы при описании межфазного обмена импульсом, конечность объема, занимаемого дисперсной фазой, и "сжимаемость" суспензии за счет перераспределения примеси. Определен полный набор параметров подобия, управляющих процессом конвекции.

сил пренебрежение нестационарными и наследственными силами в межфазном взаимодействии является обоснованным для частиц, превосходящих по плотности несущую фазу. При наличии массовых сил, даже в случае покоящейся несущей фазы, учет силы Бассэ увеличивает на порядок время скоростной релаксации и выхода на стационарный режим оседания. В общем случае определен диапазон отношения плотностей фаз, в котором на длинах скоростной релаксации вклад силы Бассэ является существенным.

Для построенной общей двухконтинуальной модели гравитационной конвекции дисперсных систем рассмотрен ряд асимптотических (по значениям безразмерных параметров) случаев, соответствующих типичным реальным ситуациям, в которых описание конвекции существенно упрощается.

В случае стационарной гравитационной конвекции суспензии с малоинерционными частицами в эффективно невязкой суспензии получены критерии существования первого интеграла уравнений баланса импульса. Показано, что найденный интеграл не аналогичен интегралу Бернулли, он может выполняться во всей области течения для неоднородной концентрации частиц и вихревых полей скорости обеих фаз. Приведены примеры точных решений, удовлетворяющих данному интегралу.

Проведены параметрические численные расчеты медленной гравитационной конвекции суспензии в больших (по сравнению с длиной скоростной релаксации фаз) замкнутых двумерных областях. Исследовано возникновение крупномасштабных вихревых течений, а также эффектов горизонтального расслоения дисперсной примеси и ускоренного осаждения частиц в сосуде с наклонными стенками (эффект Бойкотта). Получено качественное соответствие между результатами расчета и известными экспериментальными данными. Эффект Бойкотта сильно зависит от величины аналога числа Грасгофа (коэффициента плавучести) и возрастает с увеличением этого параметра. Показано, что эффект горизонтального расслоения дисперсной примеси в процессе гравитационной конвекции в наклонном сосуде вызван образованием вихревых структур на боковой границе области, занятой дисперсной фазой. Проведено численное моделирование процесса потери устойчивости и формирования "пальцев" на нижней границе оседающего конечного объема частиц.

На основании численных расчетов показано, что для заметного ускорения процесса осаждения дисперсной фазы в сосудах с вертикальными стенками необходимо создавать неоднородную в горизонтальном направлении концентрацию засыпки дисперсной фазы либо оставлять конечные зазоры между областью дисперсной фазы и боковыми стенками сосуда.

Исследована конфигурация осадка дисперсной примеси на нижней стенке сосуда. Показано, что поток массы дисперсной фазы вблизи границы объема слабо зависит от координаты вдоль границы и от угла наклона со-

суда.

Проведено сравнение процессов гравитационной конвекции в суспензии с пренебрежимо малой и конечной объемной долей примеси. Показано, что учет объема частиц может приводить к новым эффектам, связанным с изменением концентрации дисперсной фазы вдоль лагранжевой траектории частиц и зависимостью вязкости и скорости проскальзывания от локальной концентрации дисперсной фазы. Помимо расслоения дисперсной фазы, возникающего за счет приграничных вихревых структур, существует механизм расслоения, обусловленный формированием локальных неодно-родностей концентрации примеси. Зависимость скорости проскальзывания фаз от локальной концентрации частиц приводит к изменению оптимальных для скорейшего осаждения примеси углов наклона сосуда. При нулевой объемной доле примеси оптимальные углы наклона квадратного двумерного сосуда варьируются в диапазоне 7г/6 -f 7г/4, а при конечной объемной доле - в диапазоне 7г/24 -г 57г/24.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Невский Ю.А., Центрифугирование частиц во вращающемся сферическом объеме вязкой самогравитирующей жидкости // Сб. докл. конф.-конкурса молодых ученых, 12-14 октября, Институт механики, МГУ. 2004. С. 174-180.

2. Невский Ю.А., Осипцов А.Н., Инерционное разделение фаз во вращающемся объеме самогравитирующей среды // Сб. тез. конф. "Ломоносовские чтения", 18-25 апреля, МГУ, Москва. 2005. С. 156

3. Невский Ю.А. О роли нестационарных и наследственных сил в задачах гравитационного оседания и флотации суспензий // Сб. докл. конф.-конкурса молодых ученых, 12-14 октября, Институт механики, МГУ 2006. С. 193-201.

4. Невский Ю.А. О формировании плотностных неоднородностей дисперсной фазы во вращающихся объемах вязкой жидкости // Тез. IX Всеросс. съезда по теор. прикл. мех., Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г. С. 187.

5. Невский Ю.А. Гравитационная конвекция суспензий и аэрозолей в наклонном сосуде // Труды Института механики УНЦ РАН, Изд-во "Ги-лем", Уфа. 2007. No. 5. С. 282-288.

6. Невский Ю.А. Моделирование гравитационной конвекции суспензий // Тез. докл. XV школы-семинара "Современные проблемы аэрогидродинамики", 5-15 сентября, Буревестник МГУ, Сочи. 2007. С. 82.

7. Невский Ю.А. Гравитационная конвекция суспензий в замкнутом наклонном сосуде// Сб. докл. конф.-конк. молодых ученых, 12-14 октября, Институт механики МГУ. 2007. С. 204-208.

8. Невский Ю.А. Моделирование гравитационной конвекции суспензий в замкнутом двумерном сосуде// Тез. докл. Всероссийской конференции "Современные проблемы механики сплошной среды", Москва, МИАН, 12-14 ноября 2007. С. 130-132.

9. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. Моделирование осаждения суспензии в наклонном резервуаре// Сб. тез. конф. "Ломоносовские чтения", 18-25 апреля, МГУ, Москва. 2008. С. 136-137.

10. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. О роли нестационарных и наследственных сил в задачах гравитационной конвекции суспензий // Вести. Моск. ун-та, Сер. 1, Мат., Мех. 2008. N 4 С. 37-40.

11. Невский Ю.А., Осипцов А.Н., Моделирование гравитационной конвекции суспензий // Письма в ЖТФ. Т. 35. Вып. 7. 2009. С. 98-106.

12. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. Гравитационная конвекция суспензий с умеренной объемной долей включений // Сб. тез. конф. "Ломоносовские чтения", 18-25 апреля 2009, МГУ, Москва. 2009. С. 123-123.

13. Невский Ю.А., Модели самосогласующейся гравитационной миграции частиц в ньютоновских средах // Сб. докл. междун. конф. "Современные проблемы математики, механики и их приложений", Москва. 2009. С. 290-291.

14. Невский Ю.А. Гравитационная конвекция суспензий с малоинерционными частицами // Сб. докл. XVI междун. конф. ВМСПСС, Алушта 2009. С. 549-552.

15. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. Моделирование гравитационной конвекции суспензий в случае малоинерционных частиц//Сб. инновац. проектов мех-мат. ф-та и Инст. механики МГУ, Москва. 2009. С. 55-57.

16. Nevskii Yu. A., Osiptsov A.N. Modeling of Gravitational Convection in Suspension with Low-Inertia particles // Abstr. Intern. Conf. "Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres", Moscow 2009. V. 1. P. 172175.

Подписано в печать 20.04.10 Формат 60x88 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 941 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д. 1 Главное здание МГУ, к. А-102

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Невский, Юрий Александрович

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Скорость оседания частиц в неограниченной суспензии

1.2 Обзор исследований гравитационного оседания суспензий в замкнутых объемах

2 Основные уравнения и особенности замыкания двухконти-нуальных моделей дисперсных смесей

2.1 Интегральная и дифференциальная формы законов сохранения для сред типа вязкая жидкость-частицы.

2.2 Описание межфазного взаимодействия.

2.3 Учет конечности объема дисперсной фазы в двухконтинуальной модели.

3 Исследование роли нестационарных и наследственных сил в задачах гравитационного оседания частиц

3.1 Постановка задачи и методы вычисления силы Бассэ-Бусси-неска.

3.2 Результаты исследования роли нестационарных и наследственных сил в задачах оседания частиц

4 Моделирование гравитационной конвекции суспензии в замкнутых двумерных объемах. Количественное описание эффекта Бойкотта.

4.1 Общая модель и параметры подобия.

4.2 Важные предельные случаи модели гравитационной конвекции суспензий.

4.3 Стационарная конвекция малоконцентрированной эффективно невязкой суспензии. Первые интегралы уравнений импульса и примеры точных решений.

4.4 Гравитационная конвекция малоконцентрированной суспензии в больших объемах при малых числах Рейнольдса.

4.5 'Гравитационная конвекция суспензии с конечной объемной долей примеси в больших объемах при малых числах Рейнольдса

Введение диссертация по механике, на тему "Моделирование гравитационной конвекции в дисперсных системах"

Процессы гравитационной конвекции в дисперсных системах широко распространены в природе и технике. Примерами могут служить разделение фаз в недрах планет на стадии их формирования, двухфазная конвекция в вулканических очагах магмы, течения двухфазных рабочих сред в химико-технологических аппаратах (флотация, барботаж и пр.), осаждение примесей при промышленной очистке воды, разделение компонент биологических жидкостей в медицинских приложениях и многие другие. В лабораторной практике широко используется метод фракционирования гранулированных материалов, основанный на гравитационной седиментации частиц [41].

Особый интерес представляет возможность управления процессом гравитационного разделения фаз и выделения осадка в случаях, когда не применимы другие способы сепарации. При добыче полезных ископаемых управление процессом гравитационной конвекции может улучшить ряд технологических решений, таких, например, как повышение проницаемости нефтяных пластов при закачивании суспензии проппанта в трещины гидроразрыва [88] или увеличение золотодобычи при использовании драг с оборотным водоснабжением. Управление процессом очистки сточных вод и ускорение этапа предварительной очистки важны для повышения эффективности очистных сооружений. Далеко не полный список приложений, использующих процесс гравитационной конвекции двухфазных сред, может быть продолжен за счет рассмотрения во многом аналогичных процессов, происходящих в разнообразных инерционных сепараторах, где роль силы тяжести играет центробежная сила [115].

В связи с развитием компьютерных технологий и численных методов в последние годы наметился значительный интерес к количественному описанию гравитационной конвекции суспензий и объяснению ряда неожиданных эффектов, выявленных экспериментально, но не допускающих интерпретации на основе простых гидравлических или аналитических моделей. Один из таких эффектов - увеличение эффективной скорости гравитационного осаждения дисперсной примеси в закрытых сосудах при отклонении стенок сосуда от направления силы тяжести. Этот эффект был обнаружен еще в начале XX века известным английским ученым-медиком Артуром Бойкоттом (А.Е. Boycott) при оседании эритроцитов крови [53] и с тех пор в литературе носит название эффекта Бойкотта. Как правило, ускорение процесса осаждения примеси связывают с возникновением крупномасштабных вихревых течений в процессе гравитационного осаждения суспензии. Развитие вихревых зон часто сопровождается появлением ряда мезомас-штабных явлений, в частности, образованием расслоений дисперсной фазы, ориентированных перпендикулярно силе тяжести. Причины развития вихревых зон и образования расслоений в поле концентрации дисперсной фазы, а также влияние этих факторов на эффективную скорость осаждения примеси в замкнутых объемах остаются во многом не исследованными.

Создание теоретических основ для описания данных эффектов и их численное моделирование - важный шаг в планировании и постановке экспериментов и интерпретации экспериментальных данных.

Современный подход к описанию движения дисперсных систем основан на использовании приближения взаимопроникающих и взаимодействующих континуумов, где каждый континуум относится к определенной фазе вещества [32], [27], [63], [71], [85]. Построение замкнутых двухконтинуаль-ных моделей возможно лишь при наложении ряда ограничений на структуру среды, ее фазовый состав, форму включений, диапазон скоростей рассматриваемых течений и т.д. В литературе существует совсем немного работ, в которых для исследования гравитационной конвекции дисперсных систем применяются обоснованные континуальные модели.

Для разработки адекватной модели гравитационной конвекции дисперсных сред необходима оценка важности целого ряда разнообразных факторов. При гравитационной конвекции движение смеси вызывается осаждением дисперсной фазы под действием заданной внешней силы, обусловленной разностью плотностей вещества дисперсной и несущей фаз. Сам же процесс осаждения примеси зависит от структуры развивающегося течения несущей фазы. Отсюда, в общем случае, следует необходимость учитывать как самосогласованность процесса, так и его нестационарность. Важность учета нестационарности гравитационной конвекции зависит от выбора временного и пространственного масштабов конкретного исследуемого процесса. Квазистационарный режим конвекции может иметь место, например, в сепараторах непрерывного действия (при постоянном подводе и отводе дисперсного материала), а также в локальных вихревых зонах внутри большого объема, занятого осаждающейся суспензией.

Для газовзвесей плотности вещества фаз отличаются на три порядка, и поэтому в межфазном взаимодействии существенны только силы сопротивления частиц, соответствующие квазистационарным условиям обтекания частиц. В то же время, для суспензий характерно небольшое различие плотностей материалов фаз, что приводит к необходимости оценки роли нестационарных процессов на масштабе обтекания отдельных частиц, а следовательно, и вклада нестационарных составляющих силы межфазного взаимодействия (сил Архимеда, присоединенных масс, Бассэ-Буссинеска). Следует отметить, что практически во всех исследованиях гравитационной конвекции дисперсных систем, опубликованных к настоящему времени, в межфазном взаимодействии без достаточного обоснования учитывается лишь сила Стокса (с поправками на конечность объемной доли частиц).

В процессе гравитационной конвекции суспензии объемная концентрация дисперсной фазы может изменяться в широких пределах. Поэтому, в общем случае, необходимы построение и анализ замкнутой модели дисперсной смеси с конечным объемным содержанием включений, что на сегодняшний момент является очень трудной задачей. При континуальном описании суспензии учет конечности объемной доли включений, имеющих плотность, отличную от плотности несущей фазы, делает среду эффективно сжимаемой даже в случае несжимаемых несущей фазы и вещества частиц. Это свойство обусловлено изменением массы единицы объема среды за счет относительного перемещения фаз.

Следует отметить, что этот факт игнорируется практически во всех опубликованных к настоящему времени теоретических исследованиях гравитационной конвекции суспензии, где дисперсная смесь обычно считается несжимаемой ньютоновской жидкостью. При учете конечности объемной доли дисперсной фазы в математическом описании становится существенной зависимость вязкости и скорости оседания от концентрации примеси, что приводит к появлению новых качественных эффектов. В частности, возникает тенденция к накоплению частиц в зонах локальных максимумов концентрации, что вызывает более активное нарастание неодпородностей концентрации примеси.

Для проведения численного моделирования гравитационной конвекции в рамках двухконтинуальных моделей требуется разработка специальных / численных алгоритмов, учитывающих сжимаемость континуума, описывающего несущую фазу, а также возможность появления сильных разрывов в поле концентрации дисперсной фазы.

Конкретными целями работы являются:

Для ряда часто встречающихся на практике режимов конвекции допустимы существенные упрощения.

Один из важных предельных режимов - гравитационная конвекция дисперсных систем с малоинерционными частицами, имеющими малую объемную концентрацию и оседающими в эффективно невязкой жидкости (вязкость учитывается лишь при обтекании частиц). Пренебрежение вязкими членами относительно конвективных членов (увеличение числа Рейнольд-са) в уравнениях движения смеси чаще всего вызвано увеличением масштабов задачи. Это характерно, например, для описания гравитационной конвекции в отстойниках технологической воды. В локальных областях таких течений, например, в окрестности локальных вихревых структур, течение может считаться квазистационарным.

Другой важный предельный случай - гравитационная конвекция, вызванная оседанием малоинерционных частиц в сильновязкой жидкости.

Высокая вязкость среды означает малость чисел Рейнольдса и позволяет пренебрегать конвективными членами в уравнениях несущей фазы. Кроме того, оценки, как правило, позволяют не учитывать и нестационарные составляющие в силе межфазного взаимодействия. Данные типы гравитационной конвекции характерны, например, для гравитационного разделения компонент биологических жидкостей [62].

На основе проведенных исследований в работе получены следующие новые результаты, выносимые на защиту:

Достоверность результатов диссертации обусловлена использованием современных математических моделей движения дисперсных сред. В численных алгоритмах применялись методы, хорошо апробированные при решении аналогичных задач математической физики. Точность расчетов подтверждается сравнением результатов с известными численными и аналитическими решениями, а также качественным соответствием полученных результатов некоторым известным экспериментальным данным.

Научная значимость работы состоит в исследовании роли нестационарных-и наследственных сил при описании межфазного взаимодействия в задачах гравитационного оседания частиц в нестационарном потоке, а также в разработке математических моделей и численных алгоритмов, позволяющих корректно описывать эффекты развития вихревых структур, расслоения дисперсной фазы и эффект Бойкотта в задачах гравитационной конвекции суспензий.

Результаты, полученные в диссертации докладывались на 14 международных и российских научных конференциях: Конференции-конкурсе молодых ученых НИИ механики МГУ (2004, 2006-2008); Конференции "Ломоносовские чтения" (2005, 2008, 2009); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н. Новгород, 2006); XV школе-семинаре "Современные проблемы гидроаэродинамики" (Сочи, 2007); Всероссийской конференции "Механика и химическая физика сплошных сред" (Бирск, 2007); Всероссийской конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Москва, 2007), посвященной 100-летию акад. Л.И. Седова; XV Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию акад. В.А. Садовничего (Москва, 2009); Международной конференция "Потоки и структуры в жидкостях: физика геосфер" (Москва, 2009), XVI Международной конференции "Вычислительная механика и современные вычислительные программные системы" (Алушта, 2009).

Результаты работы обсуждались на трех специализированных научных семинарах: семинаре кафедры аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 20032008), семинаре по механике многофазных сред под руководством д.ф.м.н. А.Н. Осипцова (НИИ механики МГУ, Москва, 2003-2009), семинаре под руководством акад. А.Г. Куликовского, проф. А.А. Бармина, проф. В.П. Кар-ликова (2010).

Основные результаты работы изложены в 16 научных публикациях [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 93]. Статьи [21],[22] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК на момент публикации.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

3.2 Результаты исследования роли нестационарных и наследственных сил в задачах оседания частиц

Дисперсная примесь в движущейся несущей фазе при отсутствии массовых сил. Исследовалось одномерное движение уединенной сферической частицы в монотонно замедляющемся (v(t) = 1—2£3/^аа.), монотонно ускоряющемся (v(t) — — 1 + и осциллирующем {у = cos(t)) потоке вязкой жидкости. Массовыми силами пренебрегалось (а4 = 0), а решение полной системы уравнений (3.2.1) при а\-3 = 1 сравнивалось с решением системы (3.2.2) при отсутствии массовых сил и с решением системы (3.2.1) при а\-2 =1, аз = 0, что соответствует пренебрежению предысторией движения частицы (силой Бассе-Буссинеска) при учете остальных составляющих силы межфазного взаимодействия.

При рассмотрении случая осциллирующей скорости несущей фазы, для отношений плотностей г] = 0.25 и г) = 0.55 решения, полученные интегрированием системы дифференциальных уравнений (3.1.3) и методом прямого интегрирования интегродифференциальной системы уравнений, предложенным в предыдущем параграфе, совпадают с графической точностью. Сравнение решений системы (3.2.1), полученных при учете всех составляющих силы (ai-з = 1), с решением системы при ai2 = 1, аз = 0 показывает лишь незначительные различия - всего около 5% (см. Рис. 3.1). Увеличение отношения плотностей rj с 0.25 до 0.55 не приводит к увеличению различия между решением для ai3 — 1 и ai2 = 1, аз = 0. При дальнейшем увеличении параметра rj = 0.75 значение скорости твердой фазы практически совпадает со скоростью несущей фазы в обоих (аз = 0 и 03 = 1) случаях (см. Рис 3.4).

Для исследования влияния предыстории движения уединенной частицы на ее скорость в случае отсутствия массовых сил и монотонного характера скорости несущей фазы, безразмерная скорость жидкости задавалась следующими соотношениями: v(t) — 1 — - в случае убывания и v(t) = —1 + 213/tzmax в случае возрастания. Здесь tmax - время рассматриваемого движения частицы. Таким образом, скорость несущей фазы изменяется в диапазоне от -1 до 1. Для отношения плотностей г] = 0.55 скорости пробной частицы при аз = 1, аз = 0 различаются незначительно, а решение системы (3.2.2) совпадает с решением (3.2.1) при аз = 1 с графической точностью (см. Рис. 3.2). При дальнейшем увеличении отношения плотностей вещества фаз, 77 = 0.75, значения скоростей твердой фазы в случаях учета и пренебрежения силой Бассе-Буссинеска в межфазной силе практически совпадает, а рассогласование между фазами становится еще меньше (см. Рис. 3.4).

Движение твердых частиц в покоящейся жидкой несущей фазе в поле силы тяжести. Исследование времени скоростной релаксации. Для исследования влияния силы Бассе-Буссинеска на скорость осаждения частиц производилось сравнение решений систем уравнений, не учитывающих предысторию движения ((3.2.1) с аз = 0 и 01,2,4 = 1), уравнений, полученных методом Михаелидеса [91] (система (3.2.2)), и интегродифферен-циальной системы уравнений ((3.2.1) с ai4 = 1). Для удобства описания исследования процесс осаждения можно условно разделить на две стадии: во время первой стадии происходит выход процесса осаждения без учета предыстории движения на стационарный режим. Для скорости, посчитанной без учета силы Бассе-Буссинеска, вторая стадия является стационар-' ной.

Решения уравнений (3.2.1) при ai4 = 1 и уравнений (3.2.2) сравнивались при следующих значениях отношения плотностей фаз: г) = 0.001, 0.25, 0.4, 0.55. Помимо сравнения произведен расчет для г] = 0.75,0.9. Массовая сила после обезразмеривания равна единице.

Для 77 = 0.001 скорости осаждения совпадают с графической точностью. При увеличении отношения плотностей фаз, учет силы Бассе-Буссинеска существенно (в 20-50 раз для рассмотренных параметров отношения плотностей) увеличивает время выхода процесса осаждения на стационарный режим. Во время первой стадии, скорости осаждения, посчитанные для случая учитывающего предысторию движения, увеличиваются не так быстро, как в случае, когда сила Бассе-Буссинеска не учитывается. После окончания первой стадии абсолютная величина скорости замедляет свой рост и достаточно медленно стремится к скорости стационарного осаждения. Скорость осаждения, найденная по методу [90] (система (3.2.2)), совпадает со скоростью осаждения, полученной при численном решении интегродиффе-ренциальных уравнений (см. Рис. 3.3), что позволяет использовать метод, предложенный в [90] для всех параметров 7} < 4/7.

При увеличении параметра т\ качественного изменения поведения скорости релаксации частиц в случае учета силы Бассе-Буссинеска не происходит. Максимальное различие в скоростях, полученных при решении системы без учета предыстории движения частицы (аз = 0) и с ее учетом (аз = 1), составляет ~ 20% (см. Рис. 3.3 и 3.4).

Дисперсная примесь в осциллирующей несущей фазе в поле силы тяжести. Нестационарность силы межфазного взаимодействия в предыдущих двух пунктах исследования влияния предыстории на скорость движения уединенной сферы вызвана факторами различной природы (изменением скорости несущей фазы и влиянием внешних сил). Полученные результаты сильно различаются в количественном отношении. Столь большое различие в результатах вызывает естественный вопрос, будет ли усиливаться влияние нестационарных и наследственных сил при движении уединенной сферы в условиях, когда оба фактора, вызывающих скоростную релаксацию, активны.

Чтобы на него ответить, рассматривается задача о движении уединенной сферической частицы в осциллирующем поле скорости несущей фазы v = cos(.u)\t) под действием силы гравитации. Структура исследования влияния нестационарных и наследственных сил аналогична описанной выше: решение системы (3.2.1) при ai4 = 1 сравнивалось с решением той же системы при <21,2,4 = 1,аз = 0 (силой Бассе-Буссинеска пренебрегается), при ^1,3,4 = 1,02 = 0 (силой присоединенных масс пренебрегается) и с решением, полученным для 01,4 = 1,02,3 =: 0 (пренебрегается обеими силами).

В качестве отслеживаемого параметра был выбран максимум модуля разности скорости, полученной при решении системы (3.2.1) с 0,2,3 = и скоростями, полученными при 03 = 0, 02 = 0 и 02 = 0 и аз = 0 на всем временном промежутке движения уединенной частицы. Модуль разности скоростей нормировался на максимальную скорость потока несущей фазы при 0 < г] < 1 и на параметр 77 при 77 > 1. Такой выбор нормировочного параметра в случае легких частиц (77 > 1) обусловлен порядком максимальной скорости движения частицы, получающейся при решении одной из рассматриваемых систем. В системах, учитывающих силу присоединенных масс, характерная скорость не превышает удвоенной стоксовой скорости. В то время как в системе уравнений, не учитывающей силу присоединенных масс, даже в покоящейся жидкости после выхода на стационарный режим безразмерная скорость движения примеси будет иметь порядок отношения плотностей 77.

Сравнение решения "полной" системы уравнений с решениями систем уравнений без учета силы Бассе-Буссинеска и силы присоединенных масс (см. Рис 3.5 и Рис 3.6, кривые 2, 5, 8); без учета наследственной силы Бассе-Буссинеска (см. Рис 3.5 и Рис. 3.6, кривые 1, 4, 7); без учета силы присоединенных масс (см. Рис 3.5 и Рис. 3.6, кривые 3, 6, 9) проводилось для разных частот осцилляции скорости жидкости ш\.

На основании параметрических численных исследований был установлен диапазон параметров rj,D 1, в котором влияние нестационарных и наследственных сил несущественно (Рис. 3.5). Если отношение плотностей фаз близко к нулю или единице, влиянием как наследственных, так и нестационарных сил можно пренебречь.

Из расчетов для тяжелых частиц следует, что при уменьшении u>i влияние наследственных сил уменьшается. С ростом частоты влияние силы Бассе возрастает до некоторого момента, после чего остается примерно постоянным, при этом (в рассмотренном диапазоне сох < 10) относительное влияние силы присоединенных масс значительно возрастает.

Аналогичные расчеты выполнены и для легких (всплывающих) частиц. Качественный характер зависимости решений от u>i остается прежним. При значениях отношения плотностей фаз, близких к единице или бесконечности, влиянием наследственных сил можно пренебречь (Рис. 3.6). Влиянием нестационарных сил можно пренебрегать только в случае ту « 1.

Следует отметить, что вклад наследственных сил быстро увеличивается с ростом отношения плотностей фаз от нуля. Например, для и>i = 1, вклад силы Бассе составляет ^ 5% при rj — 0.005. При rj = 0.24 вклад силы Бассе максимален 43%), затем он уменьшается и при rj = 0.92 становится меньше 5%. При дальнейшем увеличении rj вклад силы Бассе проходит через ноль (при г) = 1), затем снова возрастает и проходит через максимум при rj = 4.4.

Таким образом, при описании обмена импульсом между фазами в задачах, учитывающих массовые силы, в широком диапазоне значений отношения плотностей вещества фаз пренебрегать нестационарными и наследственными силами нельзя.

Оценка точности результатов. Для проверки точности численных расчетов интегродифференциальной системы уравнений (3.1.2) ее решение сравнивалось с решением системы уравнений (3.1.3). Сравнение производилось для случаев монотонно убывающей, возрастающей и осциллирующей скоростей несущей фазы при а<± — 0. Также сравнивались скорости падения частиц в покоящейся среде, v = 0, под действием силы тяжести. Сравнение без учета массовых сил производилось для двух значений отношения плотностей: г\ = 0.25 и г\ = 0.55, что соответствует области применимости системы (3.1.3): 0 < 77 < 4/7.

Для случаев малых значений 77, когда силой Бассе-Буссинеска можно заведомо пренебречь (аз = 0), для системы уравнений (3.1.2) с ai,2,4 = 1 было найдено аналитическое решение, позволяющее найти явную зависимость скорости от времени: vs — v = Ce~xt + cicos(uit) + C2 sin (ujit) + 77 — 1

V- 1)M2 (1 - 77bA2 Cl" A2 + a;2 ' C2~ A2 +

Здесь константа С = vs(0) — v(0) + 1 — 77 — c\ определяется из начальных условий.

Для проверки численного метода и оценки точности результатов было -проведено сравнение аналитического и численного решений для случаев малых значений 77 и получено их совпадение. Для 77 = 0(1) произведено сравнение численного решения, полученного из решения системы (3.1.3), с решением интегродифференциальной системы уравнений. Получено совпадение результатов в трех значащих цифрах после запятой (см. Рис. 3.7).

Рис. 3.1. Сравнение скоростей движения пробной частицы, рассчитанных с учетом и без учета силы Бассе-Буссинеска. Слева: г/ = 0.25, справа: г/ = 0.55. Скорость несущей фазы v = cos(t) - кривая 1. Кривая 2 обозначает скорость частицы без учета силы Бассе-Буссинеска. Кривые 3 и 4 - скорости, посчитанные с использованием и без использования замены интегродифференциального уравнения дифференциальным.

Рис. 3.2. Сравнение скоростей движения пробной частицы, рассчитанных с учетом и без учета силы Бассе-Буссинеска при г/ = 0.55. Скорости несущей фазы v = — 1 + (2t3/t^nax) и vi = 1 — (2t^/t^ax) " обозначены цифрой 1 с соответствующими индексами. Кривая 2 обозначает скорость частицы без учета силы Бассе-Буссинеска. Кривые 3 и 4 - скорости, посчитанные с использованием и без использования замены интегродифференциального уравнения дифференциальным.

Рис. 3.3. Сравнение скоростей движения пробной частицы, рассчитанных с учетом и без учета силы Бассе-Буссинеска. Слева: г\ = 0.001, 0.25, справа: г/ = 0.4, 0.55. Кривая 2 обозначает скорость частицы без учета силы Бассе-Буссинеска. Кривые 3 и 4 - скорости, посчитанные с использованием и без использования замены и нтегрод ифференцнального уравнения дифференциальным.

-006

-о

О IS

125 25 37 5 t t

Рис. 3.4. Сравнение скоростей движения пробной частицы, рассчитанных с учетом силы Бассе-Буссинеска (пунктир с точкой)и без ее учета (сплошная линия). Слева: изображено три графика скорости частицы от времени при Т] = 0.75 в случаях, когда скорость несущей фазы V = 1 — (2t3/t^MLE),— 1 + (2t3/t£MW!),C£w{i) (соответственно, кривые 1, 2, 3). Справа: показана зависимость скорости осаждения частицы от времени при 7? — 0.75, 0.9.

Л - 0 75

Рис. 3.5. Характеристика влияния нестационарных и (или) наследственных сил в зависимости от отношения плотностей фаз т\ при ш\ = 1 (сплошная линия), u>i =0.1 (штрихованая линия) и wi = 10 (штрих-пунктир). Кривые 1, 4, 7 показывают влияние силы Бассе-Буссинеска, 2, 5, 8 - суммарное влияние нестационарных и наследственных сил, а 3, 6,

9 - влияние силы присоединенных масс.

1 .5 го

0.5

8 У —------- 2

1 / f V ■ .-------

J s' I у . \ i - " [г ^ 5 — — —

Г/ I/' ^«J 4 . 1

160

200

Г/ 120

Рис. 3.6. Характеристика влияния нестационарных и (или) наследственных сил в зависимости от отношения плотностей фаз ту при ш\ = 1 (сплошная линия), =0.1 (штрихованая линия) и wi = 10 (штрих-пунктир). Кривые 1, 4, 7 показывают влияние силы s Бассе-Буссинеска, 2, 5, 8 - суммарное влияние нестационарных и наследственных сил, а 3, 6,

9 - влияние силы присоединенных масс. интегродифференциального уравнения и с помощью замены интегродифференциального уравнения дифференциальным, при u>i = 1 и т/ = 0.425 (кривая 1) и т) = 0.225 (кривая 2).

Глава 4

Моделирование гравитационной конвекции суспензии в замкнутых двумерных объемах. Количественное описание эффекта Бойкотта.

Глава посвящена численному и аналитическому исследованию задач гравитационной конвекции суспензии в замкнутых объемах и выяснению параметров подобия, управляющих конвекцией. Рассмотрены важные частные случаи конвекции в сосудах, линейный размер которых много больше длины скоростной релаксации фаз. Отдельно исследован случай стационарной конвекции малоконцентрированной суспензии при больших числах Рейнольдса, найдены условия существования первого интеграла уравнений импульса несущей фазы и даны примеры его использования для построения аналитических решений.

Для нестационарной конвекции при малых числах Рейнольдса численно моделируются эффекты увеличения эффективной скорости оседания примеси в сосудах с наклонными стенками (эффект Бойкотта) и расслоения концентрации дисперсной фазы в процессе осаждения, выясняются причины возникновения крупномасштабных вихревых структур. Находятся "оптимальные" углы наклона сосуда, определяется форма осадка, появляющегося в результате осаждения. Анализируются эффекты учета конечности объемной доли дисперсной фазы на процесс гравитационной конвекции.

Результаты главы опубликованы в работах [16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 93].

4.1 Общая модель и параметры подобия

Рассматривается замкнутый объем, заполненный вязкой несжимаемой жидкостью, содержащей недеформируемые сферические частицы одинакового радиуса. Под действием силы гравитации дисперсная фаза приходит в движение, которое, в свою очередь, приводит в движение несущую фазу, -начинается гравитационная конвекция. В качестве основы математического описания гравитационной конвекции суспензии используем полную модель (2.3.3), сформулированную в разделе 2.3 и учитывающую конечность объема частиц и нестационарные силы в межфазном обмене импульсом. Выясним общий набор параметров подобия, управляющих гравитационной конвекцией суспензий.

В качестве характерных масштабов при обезразмериваиии используем скорость стационарного оседания (всплытия) одиночной частицы в вязкой среде U = тд\1—т]\/б7Гсг/1о (здесь т - масса частицы, а - ее радиус, д - ускорение свободного падения, г] = р/ps - отношение плотностей вещества фаз, Hq - вязкость несущей фазы) и вертикальный линейный размер сосуда L. Масштаб времени Tt может быть различным, он определяется промежутком времени, на котором исследуется процесс конвекции. В большинстве случаев в численных расчетах этот масштаб будет принят равным отношению вертикального размера сосуда L к скорости U.

Масштаб перепада давления также может быть различным, в общем случае он выбирается из условия сохранения члена с градиентом давления в уравнении баланса импульса для смеси. Важными параметрами является характерная длина скоростной релаксации фаз I = mU(67ra(io)~1, объемная концентрация плотной упаковки частиц Cm, а для случаев пренебрежения объемной долей частиц - характерная начальная числовая концентрация частиц n4Q.

Легко заметить, что при выбранном масштабе скорости случай равно-плотпой смеси или отсутствия силы гравитации становится вырожденным U = 0, по в этом случае отсутствует причина движения и конвекция не возникает.

В безразмерном виде, при произвольном масштабе времени, общие уравнения гравитационной конвекции дисперсной смеси (2.3.3) в декартовых координатах принимают вид: дс div((l — c)v + cvs) = 0, Sh— + div(cvs) = О (4.1.1)

J ь .dv cdvs — 1 9 / N ,

1 -1c) It+ Ц-& = + Hi X X> ^o(c)Tyki~

I J

3c A dsvs p . :L —Is

1 — 77 77 dt 1 — 7f

Tij dvj диД 2^ dxj dxi) 3 lJ

U = M(o)(v - vs) + ^(c) (f - <£) + W3(0) (| + + t

X0Mc) j li^o-4(c) = 1 0 dv dv . 4 = Sh + (v.V)v dvs Q,dvs .

Ь L(6napo)2 p /9 <nP pUL L p = T = -тт;—S 4 = —, X = \ 5 Re =-, Sh =

I m2g\l — 77I' ' Ps' A V 27Г po ' UTt

Здесь j - единичный базисный вектор оси OF, направленный против силы гравитации, Ц- - обозначение для базисных векторов kx = i, ку = j, kz = к. Функции (£>о-4) как и в разделе 2.3 обозначают поправки на конечность объемной доли частиц к вязкости среды и составляющим межфазной силы, (fo-4 1 при с —у 0. Здесь, как это часто делается в задачах конвекции, вместо давления введена разность полного и гидростатического давлений, т.е. буквой р обозначена величина (р* — pgy*)/pU2. Такая замена позволяет избавиться от константы в правой части уравнения импульса смеси.

Отсутствие числа Фруда Fr в системе уравнений (4.1.1) объясняется выбором масштаба скорости U, который приводит к тождеству 1/Fr2 = gL.U-2 = 0-\l-ri\-1 .

Построенная модель содержит четыре независимых параметра: параметр инерционности частиц (3, отношение плотностей фаз г/, число Рейнольдса Re и число Струхаля Sh.

Постановка задачи должна также зависеть от других геометрических параметров области конвекции и от начального распределения объемной концентрации частиц c(t = 0, х, у).

При попытках лабораторного моделирования натурных процессов гравитационной конвекции суспензий в лабораторных установках необходимо соблюдать подобие указанных выше параметров, что позволяет определить масштабные факторы (т.е. коэффициенты пропорционального уменьшения размера частиц, времени наблюдения и вязкости жидкости) при уменьшении линейного размера установки от натурного до лабораторного.

В качестве граничных условий для несущей фазы задаются условия прилипания на границе объема: v|n = 0. Граничных условий для поля скорости частиц и их концентрации не требуется. В большинстве расчетов частицы, достигающие стенки, считаются исчезнувшими из потока, что может соответствовать случаю формирования слоя осадка, толщина которого несущественна, или непрерывному удалению осаждающихся частиц из объема. Пример динамики слоя осадка будет рассмотрен ниже в разделе 4.4.

Для типичных условий, реализующихся в приложениях, объемная концентрация частиц достаточно мала, числа Рейнольдса конвекции могут варьироваться в широких пределах, а размер сосуда намного превосходит длину скоростной релаксации фаз. В таблицах ниже приведены примеры возможных значений параметров, реализующихся в различных приложениях.

Заключение

Построена общая двухконтннуальная гидродинамическая модель гравитационной конвекции дисперсной смеси, учитывающая нестационарные и наследственные силы при описании межфазного обмена импульсом, конечность объема, занимаемого дисперсной фазой, и "сжимаемость" суспензии за счет перераспределения примеси. Определен полный набор параметров подобия, управляющих процессом конвекции.

В рамках обоснования корректности модели для ряда одномерных задач проведено исследование влияния нестационарных и "наследственных" сил в межфазном взаимодействии на движение одиночных тяжелых (легких) сферических частиц в заданном нестационарном потоке. Рассмотрены различные механизмы возникновения релаксационных процессов между скоростями фаз (наличие внешней массовой силы, нестационарность поля скорости несущей фазы, совокупность обоих факторов). Развиты алгоритмы вычисления наследственной силы Бассэ, основанные как на прямом численном решении интегродифференциального уравнения движения частицы, так и на замене этого уравнения системой дифференциальных уравнений более высокого порядка. Определен диапазон параметров, в котором описание оседающей (всплывающей) примеси в суспензии невозможно без учета нестационарных и "наследственных" сил. Показано, что при отсутствии внешних массовых сил пренебрежение нестационарными и наследственными силами в межфазном взаимодействии является обоснованным для частиц, превосходящих по плотности несущую фазу. При наличии массовых сил, даже в случае покоящейся несущей фазы, учет силы Бассэ увеличивает на порядок время скоростной релаксации и выхода на стационарный режим оседания. В общем случае определен диапазон отношения плотностей фаз, в котором на длинах скоростной релаксации вклад силы Бассэ является существенным.

Проведены параметрические численные расчеты медленной гравитационной конвекции суспензии в больших (по сравнению с длиной скоростной релаксации фаз) замкнутых двумерных областях. Исследовано возникновение крупномасштабных вихревых течений, а также эффектов горизонтального расслоения дисперсной примеси и ускоренного осаждения частиц в сосуде с наклонными стенками (эффект Бойкотта). Показано, что в результате воздействия вихрей на примесь скорость частиц в циркуляционных зонах может увеличиваться в несколько раз. Получено качественное соответствие между результатами расчета и известными экспериментальными данными. Эффект Бойкотта сильно зависит от величины аналога числа Грасгофа (коэффициента плавучести) и возрастает с увеличением этого параметра. Показано, что эффект горизонтального расслоения дисперсной примеси в процессе гравитационной конвекции в наклонном сосуде вызван образованием вихревых структур на боковой границе области, занятой дисперсной фазой. Проведено численное моделирование процесса потери устойчивости и формирования "пальцев" на нижней границе оседающего конечного объема частиц.

На основании численных расчетов показано, что для заметного ускорения процесса осаждения дисперсной фазы в сосудах с вертикальными стенками необходимо создавать неоднородную в горизонтальном направлении концентрацию засыпки дисперсной фазы либо оставлять' конечные зазоры между областью дисперсной фазы и боковыми стенками сосуда.

Исследована конфигурация осадка дисперсной примеси на нижней стенке сосуда. Получено, что поток массы дисперсной фазы вблизи границы объема слабо зависит от координаты вдоль границы и от угла наклона сосуда.

Проведено сравнение процессов гравитационной конвекции в суспензии с пренебрежимо малой и конечной объемной долей примеси. Показано, что учет объема частиц может приводить к новым эффектам, связанным с изменением концентрации дисперсной фазы вдоль лагранжевой траектории частиц и зависимостью вязкости и скорости проскальзывания от локальной концентрации дисперсной фазы. Помимо расслоения дисперсной фазы, возникающего за счет приграничных вихревых структур, существует механизм расслоения, обусловленный формированием локальных неоднородно-стей концентрации примеси. Зависимость скорости проскальзывания фаз от локальной концентрации частиц приводит к изменению оптимальных для скорейшего осаждения примеси углов наклона сосуда. При нулевой объемной доле примеси оптимальные углы наклона квадратного двумерного сосуда варьируются в диапазоне 7г/6 -f- 7г/4, а при конечной объемной доле - в диапазоне 7г/24 -г- 57г/24.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Невский, Юрий Александрович, Москва

1. Бахвалов Н.С., Численные методы. Т.1 - Изд. 2. М.: Наука, 1975. 632 с.

2. Водопьянов И.С., Петров А.Г., Шундерюк М.М. О нестационарном осаждении сферической твердой частицы в вязкой жидкости // Изв. РАН, МЖГ. 2010. N 2.

3. Воеводин А.Ф., Протопопова Т.В. Метод расчета вязких течений в замкнутых областях // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001, Т.4, el(7) С. 29-37.

4. Волощук В.М. Введение в гидродинамику грубодисперсных аэрозолей. JL: Гидрометеоиздат, 1971. 208 с.

5. Долгунин В.Н., Иванов О.О., Уколов А.А. Кинетика сегрегации частиц различной шероховатости и упругости при быстром гравитационном течении зернистой среды // ТОХТ, 2009. Т. 43. N 2. С. 199-207

6. Зеленко В.Л., Мясников В.П. Теория циркуляционных движений в пузырьковом слое // Изв. АН СССР, МЖГ. 1985. N 5. С. 108-115.

7. Зеленко B.JL, Мясников В.П. Стационарные течения в пузырьковой колонне с вертикальными перегородками // Изв. РАН, МЖГ. 1992. N 3. С. 59-68.

8. Корнев А.А., Чижонков Е.В., Упражнения по численным методам. Часть 1. Изд. МГУ, Москва, 2003. 176 с.

9. Корнев А.А., Чижонков Е.В., Упражнения по численным методам. Часть 2. Изд. МГУ, Москва, 2003. 199 с.

10. Махвиладзе Г.М., Мелихов О.И. Движение облака частиц под действием силы тяжести и его осаждение на плоскую горизонтальную поверхность // Изв. АН СССР, МЖГ. 1982 N 6. С. 64-73.

11. Махвиладзе Г.М., Мелихов О.И., Соболева Е.Б. Естественная конвекция в запыленном газе // Изв. РАН, МЖГ. 1994. N 2. С. 46-52.

12. Невский Ю.А., Центрифугирование частиц во вращающемся сферическом объеме вязкой самогравитирующей жидкости// Сб. докл. конф.-конкурса молодых ученых, 12-14 октября, Институт механики, МГУ. 2004. С. 174-180.

13. Невский Ю.А., Осипцов А.Н., Инерционное разделение фаз во вращающемся объеме самогравитирующей среды// Сб. тез. конф. "Ломоносовские чтения", 18-25 апреля, МГУ, Москва. 2005. С.156

14. Невский Ю.А. О роли нестационарных и наследственных сил в задачах гравитационного оседания и флотации суспензий// Сб. докл. конф.-копкурса молодых ученых, 12-14 октября, Институт механики, МГУ. 2006. С. 193-201.

15. Невский Ю.А. О формировании плотностных иеоднородностей дисперсной фазы во вращающихся объемах вязкой жидкости// Тез. IX Всеросс. съезда по теор. прикл. мех., Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г. С. 187.

16. Невский Ю.А. Гравитационная конвекция суспензий и аэрозолей в наклонном сосуде// Труды института Механики УНЦ РАН, Изд-во "Гилем", Уфа. 2007. No. 5. С. 282-288.

17. Невский Ю.А. Моделирование гравитационной конвекции суспензий// Тез. докл. XV школы-семинара "Современные проблемы аэрогидродинамики", 5-15 сентября, Буревестник МГУ, Сочи. 2007. С. 82.

18. Невский Ю.А. Гравитационная конвекция суспензий в замкнутом наклонном сосуде// Сб. докл. конф.-копк. молодых ученых, 12-14 октября, Институт механики МГУ. 2007. С. 204-208.

19. Невский Ю.А. Моделирование гравитационной конвекции суспензий в замкнутом двумерном сосуде// Тез. докл. Всероссийской конференции "Современные проблемы механики сплошной среды", Москва, МИАН, 12-14 ноября 2007. С. 130-132.

20. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. Моделирование осаждения суспензии в наклонном резервуаре// Сб. тез. конф. "Ломоносовские чтения", 18-25 апреля, МГУ, Москва. 2008. С. 136-137.

21. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. О роли нестационарных и наследсвен-ных сил в задачах гравитационной конвекции суспензий // Вести. Моск. ун-та, Сер. 1, Мат., Мех. 2008. N 4 С. 37-40

22. Невский Ю.А., Осипцов А.Н., Моделирование гравитационной конвекции суспензий // Письма в ЖТФ. Т. 35. Вып. 7. 2009. С. 98-106.

23. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. Гравитационная конвекция суспензий с умеренной объемной долей включений// Сб. тез. конф. "Ломоносовские чтения", 18-25 апреля 2009, МГУ, Москва. 2009. С. 123-123.

24. Невский Ю.А., Модели самосогласующейся гравитационной миграции частиц в ньютоновских средах// Сб. докл. междун. конф. "Современные проблемы математики, механики и их приложений", Москва. 2009. С. 290-291.

25. Невский Ю.А. Гравитационная конвекция суспензий с малоинерционными частицами// Сб. докл. XVI междун. конф. ВМСПСС, Алушта 2009. С. 549-552.

26. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. Моделирование гравитационной конвекции суспензий в случае малоинерционных частиц//Сб. инновац. проектов мех-мат. ф-та и Инст. механики МГУ, Москва. 2009. С. 5557.

27. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

28. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Т. 1. М.: Наука, 1987. 464 с.

29. Осипцов А.Н. К учету конечности объема и гидродинамического взаимодействия частиц в газовзвесях // Доклады АН СССР. 1984. Т. 275. N 5. С. 1073-1076.

30. Осипцов А.Н. Развитие лагранжева подхода для моделирования течений дисперсных сред. В сб.: Проблемы современной механики. К 85-летию со дня рождения академика Г.Г. Черного. М.: Изд. МГУ, 2008. С. 390-407.

31. Протодьяконов И.О., Люблинская И.Е., Рыжков А.Е. Гидродинамика и массообмен в дисперсных системах жидкость твердое тело. Л.:Химия, 1987. 336 с.

32. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // Прикл. математика и механика. 1956. Т. 20. Вып. 2. С. 184-195.

33. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 616 с.

34. Сапожников С. Ю. Повышение эффективности флокуляции взвешенных глинистых частиц, накапливаемых в технологической воде при оборотном водоснабжении драг, автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук, 2006, Чита, 22 с.

35. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1,2. М.: Наука, 1973. 584 с.

36. Стернин Л.Е., Маслов Б.Н., Шрайбер А.А., Подвысоцкий A.M. Двухфазные моно- и полидиспесные течения газа с частицами. М: Машиностроение, 1980. 173 с.

37. К. Хуанг. Статистическая механика. М.: Мир, 1966. 520 с.

38. Черный Г.Г. Плоские установившиеся автомодельные вихревые течения идеальной жидкости (кеплеровы движения) // ДАН, Механика, 1997. Т. 352. N 3. С. 335-338.

39. Acrivos A., Herbolzheimer Е. Enhanced sedimentation in settling tanks with inclined walls //J. Fluid Mech. 1979. V. 92. P. 435-457.

40. Adams E.W., Rodi W. Modelling flow and mixing in sedimentation tanks// J. Hydraulic Engng. 1990. V. 116. P. 895-913.

41. Allen T. Particle size measurement. London: Chapman and Hall, 1990.

42. Asmolov E.S. Evolution of fluctuations in a suspension sedimenting in a container bounded by horizontal walls // Phys. Fluids. 2004. V.16. N 8. P. 3086-3093.

43. Auzerais F. M., Jackson R., Russel W. B. The resolution of shocks and the effects of compressible sediments in transient settling //J. Fluid Mech. 1988. V. 195. P. 437-462.

44. Auzerais F. M., Jackson R., Russel W. В., Murphy W. F. The transient settling of stable and flocculated dispersions //J. Fluid Mech. 1990. V. 221. P. 613-639.

45. Basset А.В., On the motion of a sphere in a viscous liquid // Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A. 1888. V. 179 P. 43-63.

46. Barnea A., Mizrahi J. A generalized approach to the fluid dynamics in settling tanks with inclined walls. // J. Fluid Mech. 1977. V. 92. P. 435457.

47. Batchelor G. K. Sedimentation in a dilute dispersion of spheres // J. Fluid Mech. 1972. V. 52 P. 245-268.

48. Batchelor G. K. Sedimentation in a dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 1. General theory. // J. Fluid Mech. 1982. V. 119. P. 379-408.

49. Blanchette F., Peacock Т., Bush J.W.M. The Boycott effect in magma chambers// Geophys. Res. Letters. 2004, V. 31. P. L05611-L05624.

50. Blanchette F.A. Sedimentation in a Stratified Ambient. Massachusetts Inst, of Technology, 2003. Ph.D. Diss. 156 p.

51. Belmonte A., Jacobson J., Jayaraman A. Monotone solutions of a nonautonomous differential equation for a sedimenting sphere// Electr. J. Diff. Equat. 2001. N62. P. 1-17.

52. Boussinesq J., Applications l'etudes des potentiels //Blandchard, Paris 1885.

53. Boycott A. E. Sedimentation of blood corpuscles // Nature. 1920. V. 104 P. 532.

54. Brady J.F., Phillips R.J., Lester J.C., Bossis G. Dynamic simulation of hydrodinamically interacting suspensions // J. Fluid Mech. 1988. V. 195. P. 257-280.

55. Brinkman H.C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles // Appl. Sci. Res. Sect. A. 1947. V. 1. N 1. P. 27-34.

56. Bruneau D., Feuillebois F., Anthore R., Hinch E.J. Three-dimensional intrinsic convection in dilute and dense dispersions of settling spheres // Phys. Fluids. 1998. V. 10. N. 55. P. 869549-869554.

57. Buscall R., Goodwin J. W., Ottewill R. H., Tadros, T. F. The settling of particles through Newtonian and non-Newtonian media //J. Colloid Interface Sci. 1982, V. 85 P. 78-86.

58. Cerisier P., Porteriea В., Kaiss A., Cordonnier J. Transport and sedimentation of solid particles in Benard hexagonal cells // Eur. Phys. J. 2005. E 18. P.85-93.

59. Corrsin S., Lumlley J.L. On the equation of motion of a particle in a turbulent fluid // Appl. Sci. Res. 1957. Sect. A. 6 P. 114-116.

60. Davis R. H., Acrivos A. Sedimentation of noncolloidal particles at low Reynolds numbers // Ann. Rev. Fluid Mech. 1985. V. 17. P. 91-118.

61. Davis K.E., Russel W.B. An asymptotic description of transient settling and ultrafiltration of colloidal dispersions // Phys. Fluids A. 1989. V. 1. P. 82-100.

62. Dobashi Т., Idonuma A., Toyama Y., Sakanishi A. Effect of concentration on enhanced sedimentation rate of erythrocytes in an inclined vessel // Biorheology. 1994. V. 31. P. 383-393.

63. Drew D.A. Mathematical modeling of two-phase flow // Ann. rev. fluid, mech. 1983. V. 15. P. 261-291.

64. Druzhinin O.A., Ostrovsky L.A. The influence of Basset force on particle dynamics in two-dimensional flows // Physica D. 1994. V. 76. P. 34-43.

65. Einstein A. Eine neue Bestimmung der Molekuldimensionen // Ann. Phys. 1906. V. 19. P. 289-306.

66. Fazio R., Jannelli A., Second order positive schemes by means of flux limiters for the advection equation // IAENG Inter. J. Appl. Math. 2009., V.39., P. 25-35.

67. Feng J., Joseph D. The unsteady motion of solid bodies in creeping flows // J. Fluid Mech. 1995. V. 303, P. 83-102.

68. Fitch B. Kynch theory and compression zones // AICHE Journal. 1983. V. 29. P. 940-947.

69. Garside J., Al-Dibouni M. R. Velocity-voidage relationship for fluidization and sedimintation in solid-liquid systems. // Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev. 1977. V. 16. P. 206-214.

70. Geigenmuller U., Mazur P. Sedimentation of homogeneous suspension in finite vessels // J. Stat. Phys. 1988. V. 53. P. 137-173.

71. Gidaspow D. Multiphase flow and fluidization. San Diego: Acad. Press, 1994.

72. Graham W., Lama R. Sedimentation in inclined vessels // Can. J. Chem. Engng. 1963. V. 41. P. 31-32.

73. Graham A. L. On the viscosity of suspensions of solid spheres // Applied Scientific Research. 1981. V. 37. P. 275-286.

74. Happel J., Brenner H. Low Reynolds Number Hydrodynamics. Prentice-Hall, 1965. 553 p.

75. Herbolzheimer E., Stability of the flow during sedimentation in inclined channels // Phys. Fluids. 1983. V. 26. P. 2043-2054.

76. Stiles P.J., Kagan M. Convective sedimentation of colloidal particles in a bowl// J. Colloid Interphase Sci. 1999. V. 216. N1. P. 193-195.

77. Hill W.D., Rothfus R.R., Li Кип. Boundary-enhanced sedimentation due to settling convection//Int. J. Multiphase Flow. 1977. V. 3. N. 6. P. 561583.

78. Hinch E.J. An averaged-equation approach to particle interactions in fluid suspension //J. Fluid Mech. 1977. V. 83. Pt. 4. P. 695-720.

79. Kim S. Sedimentation of two arbitrarily oriented spheroids in a viscous fluid // Intl J. Multiphase Flow. V. 11. P. 699-712.

80. Kinosita K. Sedimentation in tilted vessels //J. Colloid Interphase Sci. 1949. V. 4. P.524-536.

81. Koyaguchi Т., Hallworth M.A., Huppert H.E., Sparks R.S.J. Sedimentation of particles from a convecting fluid// Nature. 1990. V.343. P. 447-450.

82. Kynch G. J. A theory of sedimentation // Trans. Faraday Soc. 1952. V. 48. P. 166-176.

83. Lyubimov D.V., Bratsun D.A., Lyubimova T.A., Roux B. Influence of gravitational precipitation of solid particles on thermal buoyancy convection// Adv. Space Res. 1998. V. 22. N8. P. 1267-1270.

84. Maimoni A. Lamella settlers: Material balances and clarification rates // Environmental Progress. 2008. V. 7. N 2. P. 93-98.

85. Marble F.E. Dynamics of dusty gases // Annu. Rev. Fluid Mech. 1970. V. 2. P. 397-446.

86. S.Marsili-Libelli, Dynamic modeling of sedimental in the activated sludge process // Cwil. Eng. Syst. 1993. V. 10. P. 207-224.

87. Maxey M.R., Riley J.J. Equation of motion of a small rigid sphere in a nonuniform flow // Phys. of Fluids. 1983. V. 26, P. 883-891.

88. McCaffery S.J., Elliott L., Ingham D.B. Enhanced sedimentation in inclined fracture channels // Topics in engineering. 1998. V. 32, 291 p.

89. Metzger В., Guazzelli E., Butle J. E. Large-Scale Streamers in the Sedimentation of a Dilute Fiber Suspension // Phys. Rev. Letters. 2005. PRL 95, P. 164506 1-4.

90. Michaelides E.E. A novel way of computing the basset term in unsteady multiphase flow computations // Phys Fluids. A 4. P. 1925-1928.

91. Michaelides E.E. Hydrodynamic force and heat/mass transfer from particles, bubbles, and drops the freeman scholar lecture //J. Fluids Engineering. 2003. V. 125. P. 209-238.

92. Nakamura H., Kuroda K. La cause de l'acceleration de la vitesse de sedimentation des suspensions dans les recipients inclines // Keijo J. Med. 1937. V. 8. P. 256-296.

93. Nevskii Yu. A., Osiptsov A.N. Modeling of Gravitational Convection in Suspension with Low-Inertia particles// Abstr. Intern. Conf. "Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres", Moscow 2009. V. 1. P. 172175.

94. Nguyen N.-Q., Ladd A. J. C. Sedimentation of hard-sphere suspensions at low Reynolds number //J. Fluid Mech. 2005. V. 525. P. 73-104.

95. Nigam M.S. Numerical simulation of buoyant mixture flows // Int. J. of Multiphase Flow. 2003. V. 29. P. 983-1015.

96. Ockendon J.R., Ewans G.A. The drag on a sphere in low Reynolds number flow//J. Aerosol Sci. 1972. V.3. 377-386.

97. Oliver D. R., Jenson V. G. The inclined settling of dispersed suspensions of spherical particles in square-section tubes // Can. J. Chem. Engng. 1964. V. 42. P. 191-195.

98. Oseen C.W., Uber den goltigkeitsbereich der stokesschen widerstandsformel // Ark. Mat., Astron Phys. 1913. P. 9-19.

99. Osiptsov A.N. Lagrangian modeling of dust admixture in gas flows // Astrophysics and Space Science. 2000. V. 274. P. 377-386.

100. Ponder E. On sedimentation and rouleaux formation // Q. J. Exp. Physiol. 1925. V. 15. P. 235-252.

101. Proudman L., Pearson J.R.A. Expansions at small Reynolds numbers for the flow past a sphere and circular cylinder // J. Fluid Mech. 1957. V. 2. P. 237-262.

102. Richardson J. F., Zaki W. N. Sedimentation and fluidization: Part I. // Trans. Inst. Chem. Eng. 1954. V. 32. P. 35-53.

103. Rubinov S.J., Keller J.B. Transverse force on a spinning sphere moving in a viscous fluid // J. Fluid. Mech. 1961. V. 11. P. 447-458.

104. Saffman P.G. The lift on a small sphere in a slow shear flow // J. Fluid Mech. 1965. V. 22. P. 385-400. Corrigendum: J. Fluid Mech. 1968. V. 31, P. 624.

105. Saffman P.G. On the settling speeds of free and fixed suspensions// Stud. Appl. Math. 1973. V. 52. P. 115-127.

106. Schaflinger U., Acrivos A., Zhang K. Viscous resuspension of a sediment within a laminar and stratified flow //Int. J. Multiphase flow. 1990. V. 16. P. 567-578.

107. Schaflinger U., Kiippl W.A., Filipczak G.O. Sedimentation in cylindrical centrifuges with compartments // Ingenieur-Arehiv. 1986. V. 56. P. 321331.

108. Sha Z.S. et al. CFD simulation of solid suspension in a stirred tank// J. Chem. Engng. Japan. 2001. V.34. N5. P. 621-626.

109. Saintillan D., Shaqfen E.S.G., Darve E. The growth of concentration fluctuations in dilute dispersions of orient able and deformable particles under sedimentation // J. Fluid Mech. 2006. V. 553. P. 347-388.

110. Sobral Y.D., Oliveira T.F., Cunha F.R. On the unsteady forces during the motion of a sedimenting particles // Powder Technology. 2007. V. 178 P. 129-141.

111. Tam C.K.W. The drag on a cloud of spherical particles in low Reynolds number flow// J. Fluid Mech. 1969. V. 38. P. 537-546.

112. Tchen C.M. Mean values and correlation problems connected with the motion of a small particals suspended in a turbulent fluid // Doctoral dissertation. The Netherlands. Technical University of Delft. 1949.

113. Thomas D. G., Transport characteristics of suspension: VIII. A note on the viscosity of Newtonian suspensions of uniform spherical particles // J. Colloid Sci. 1965, V. 20, P.267-277.

114. Ungarish M., Hydrodynamics of Suspensions: Fundamentals of Centrifugal and Gravity Separation. Berlin: Springer, 1993. 317 p.

115. Unwin A. T. Literature review on particle settling in Newtonian and non- Newtonian fluids // SCR Scientific Report 029/FLM/C 1992, Schlumberger Cambridge Research Ltd., Cambridge.

116. Villat H., Lecons sur les Fluides Viscueux. Paris: Gauthier-Villars, 1943. 540 p.

117. Vohra D. К., Ghosh В. Studies of sedimentation in inclined tubes // Indian Chem. Engr. 1971. V. 13. P. 32-40.

118. Wallner J., Schaflinger W. U. Viscous resuspension of a sediment caused by oscillating stratified flows // Acta Mechanica. 1998. V. 127. P. 147-153.

119. Wen C.-S. Batchelor G. K. Sedimentation in a dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 2. Numerical results. // J. Fluid Mech. 1982. V. 124. P. 495-528.

120. Zahavi E., Rubin E., Settling of solid suspensions under and between inclined surfaces // Ind. Eng. Chem. Process Design Develop. 1975. V. 14. P. 34-41.