Моделирование возбуждения волн нижнегибридного частотного диапазона в неоднородной магнитоактивной плазме с помощью волноводных антенн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

8 ДПР ^

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. А.Ф.ИОФФЕ

на правах рукописи

ИРЗАК Михаил Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ ВОЛН НИЖНЕГИБРИДНОГО ЧАСТОТНОГО ДИАПАЗОНА Б НЕОДНОРОДНОЙ МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ С ПОМОЩЬЮ ВОЛНОВОДНЫХ АНТЕНН

(специальность 01.04.08. —физика и химия плазмы)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических'наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в Санкт-Петербургском физико-техническом институте им. А.Ф.Иоффе Российской Академии наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Е.З.Гусаков. •

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Л.Д.Цендин, доктор физико-математических наук профессор К.Н.Степанов.

Ведущая организация — Институт общей ¡физики РАН, Москва.

Защита диссертации состоится 1998 г. -

в " /У " часов на заседании специализированного ученого совета № Д 003.23.01 Физико-технического института им. А.Ф.Иоффе РАН по адресу: 194021, Санкт-Петербург, Политехническая ул., д. 26. '..

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФТИ им.А.Ф.Иоффе РАН. Автореферат разослан ". /г- вг - 1998 г.

Ученый секретарь

специализированного ученого совета кандидат физико-математических наук

Орбелп А.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Перспективы создания термоядерного токамака-реактора тесно связаны с разработкой дополнительных методов нагрева плазмы и увлечения тока. Одним из наиболее развитых среди них является метод, основанный на взаимодействии с плазмой высокочастотных (БЧ) электромагнитных волн в иижнегебридном (промежуточном) диапазоне чагтот. Для ввода ВЧ энерыи в плазму в этом частотном диапазона традиционно используются антенны, предсталлякмцие собой наборы сфазнрованных волноводных излучателей (т.н. "гриллы"), возбуждающие в плазме в тороидальном направлении т.й. "медленную" волну.,

Расчет характеристик таких антенн, обеспечивающий возможность оптимизации их характеристик (эффективности связи с плазмой, формы излучаемых спектров волк и т.д.) чрезвычайно важен как при проектировании антенны, так и при интерпретации экспериментальных данньк.

Существующие до сих пор и широко используемые расчетные модели [1,2] основываются на упрощенной модели плоской, одномерно-неоднородной платом, внутри которой отсутствуют области отражения или трансформации волн. При этом электродинамические свойства плазмы описываются простой скалярной функцией — пог?рхностным импедансом плазмы. Волноводы антенны считаются ориентированными строго перпендикулярно магнитному полю токамака и имеют бесконечно большую высоту в перпендикулярном направлении. Такой грилл возбуждает только медленную волну, так что задача является двумерной, и для ее самосогласованного решения достаточно рассматривать ограниченный набор собственных волноводных мод.

В то же время в раде случаев учет ненулевого угла наклона магнитного поля и конечных размеров полноводного сечення оказывается важным, а для расчета антенны, возбуждающей в токамаке волны, замедленные в полоидальном направлении, или предлагаемой автором диссертации сложной волноводнои антенны для генерации в плазме быстрых волн старые коды просто не годятся.

В связи с этим чрезвычайно актуальным представляется создание численной модели, позволяющей рассчитывать характеристики полноводных антенн с произвольным расположением волноводов, ориентированных под произвольным углом к постоянному магнитному полю. В этом случае антенна возбуждает в плазме как быструю, так и медленную моду, а свойства плазмы описываются уже матрицей 2x2 поверхностного импеданса, которая находится численно. Попытки, которые делались з этом направлении до сих пор [3, решали эту проблему только для отдельных, частных случаев.

Решение уравнений Максвелла в плазме в сложной .тороидальной геометрии' токомака в промежуточное диапазоне частот требует чудовищных вычислительных ресурсов и в настоящее время не решено. Полому распространение и поглощен! ■ нижнегибридных волн в плазме токамака моделируется с помощью метода расчета лучевых траекторий, основанном на приближении геометрической оптики (ГО). В то же время, ГО оптическое приближение в сильно неоднородной плазме токамака зачастую дает качественно неверные предсказания и приводит к.невозможности согласования расчетных спектров антенны с дисперсионными характеристиками волны в методе ГО. В связи с этим весьма актуальным представляется самосогласованны!! учет этой неоднородности в дисперсионном уравнении описывающем распространение ГО луча (учет пространственной неоднородности п работах [5, 6] приводит лишь к изменению дифракционных характеристик в более высоких порядках приближения ГО).

Цель работа.

Разработка численной модели и универсального ЗО кода для расчета волно-водных антенн с произвольным расположением волноводов, возбуждающих электромагнитные волны в плазме. Расчет с использоианием разработанной модели характеристик антенн нового типа (Н-гриллов).

Выяснение границ применимости геометрико-оптического приближения в промежуточном частотном диапазоне. Расширение области применимости ГО приближения путем учета градиентных членов уже в нулевом приближении. Исследование на основе модифицировавшего дисперсионного уравнения новых областей прозрачности для плазменных волн и уточнение критерия доступности для волн центральных областей плазмы.

Научная ноешиа.

1. В диссертационной работе впервые разработан метод самосогласованного расчета нижнегибридных волноводных антенн в реальной трехмерной геометрии. Соответствующий численный код не имеет аналоюв.

2. Разработанная численная модель впервые применена для расчета антенн нового типа с произвольным расположением волноводов, ориентированных под произвольным углом к внешнему магнитному полю. Исследованы характеристики таких антенн возбуждающих в плазме токамаха как быстрые волны в тороидальном направлении, так и медленные волны в полоидальном направлении.

3. Предложена модификация стандартной геометрической оптики в нижнегибридном диапазоне частот, позволяющая учесть влияние неоднородности плазмы на дисперсию волны уже в нулевом приближении. В результате в неоднородной магнитоактивной плазме обнаружены и исследованы новые области прозрачности для волн промежуточного частотного диапазона. Это качественно меняет обще-

принятую картину распространения таких волн.

4. Получен критерий применимости стандартной геометрической оптики для электромагнитных воли, распространяющихся поперек магнитного поля в неоднородной магаитоактивной плазме в нижнегибридном диапазоне частот. Получен новый, модифицированный критерий доступности нижнего гибридного резонанса для волн, распространяющихся от периферии плазмы.

Разработанная модель сделала иозможны..ш расчет и оптимизацию сложных полноводных антенн, возбуждающих в плазме не только медленную, но и быструю ролиу. Это позволило оптимизировать характеристики предложенной конструкции вакуумной антенны для возбуждения в плазме быстрых магнитозвуков! к волн, обладающей более высокой эффективностью по сравнению с антеннами с диэлектрическим наполнением. Обоснована эффективность нового метода нагрева плазмы (с использованием резонанса нового типа (7]) на строящемся токамаке Глобус-М.

Существенно расширена область применимости метода ГО в неоднородной; плазме. Предложенная модификация дисперсионного уравнения позволяет использовать для нагрева плазмы новые спектральные диапазоны волн и имеет более широкую область применимости, чем только плазма токамака — новые нсгеомет-рико-оптические члены необходимо учитывать и в сильно неоднородной плазме лабораторных линейных установок.

Осшшыатлйжшшь^шйснзшблш^ш'жгу;

1. Разработка численной модели для расчета антенн, возбуждающих электромагнитные волны в плазме, в реальной трехмерной геометрии при произвольном расположении волноводов и их произвольной ориентации относительно внешнего постоянного .магнитного ноля.

2. Результаты расчетов по оптимизации характеристик предложенной впервые принципиально новой конструкции антенны дм возбуждения быстрых магнн-тозвуховых волн в плазме, состоящие в первую очередь в высокой эффективности связи такой антенны с плазмой в широком диапазоне параметров (коэффициент отражения ВЧ мощности менее 10%). Спектры возбуждаемых волн и структура электромагнитных полей в плазме.

3. Результаты расчетов антенны для плакируемого ннжнегибрвдного эксперимента на строящемся тскамаке ГЛОБУС-М, возбуждающей в плазме волны, замедленные В полоидальном направлении. Конструкция антенны, ее расположение, геометрические размеры волноводов, их фазировка и рабочая частота, оптимизированные с учетом проектных параметров тохамака ГЛОБУС-М.

4. Результаты сопоставления асимметрии характеристик традиционной вод-новодной антенны относительно знака ее фазировки и направления тока плазмы, полученных в численных расчетах, с данными наблюдений в нижнегибридном эксперименте на токамаке КОМПАСС-Д [8].

5. Результаты исследования новых областей прозрачности для волн промежуточного частотного диапазона в неоднородной магнитоактивной плазме. Вывод точного критерия применимости стандартной геометрической оптики и критерия доступности нижнего гибридного резонанса в случае распространения волны поперек магнитього поля.

6. Вывод модифицированного дисперсионного уравнения для волн промежуточного частотного диапазона в неоднородной плазме, адекватно учитывающего влияние неоднородности на дисперсию волны.

Апробация.. работы,

Основные результаты работы докладывались на семинарах лаборатории физики высокотемпературной плазмы ФТИ им. А.Ф.Иоффе РАН, на VI Всесоюзной конференции по взаимодействию электромагнитного излучения с плазмой (Душанбе 1991), на Всероссийских конференциях по физике плазмы и УТС в Звенигороде (1993, 1995), на III и V Российско-финских симпозиумах по физике плазмы и УТС (Эспоо, -1994 и 1996), на XXII Европейской конференции по УТС н физике плазмы (Боурнемоуг, 1995), на Международном семинаре по сильным СВЧ нолям в плазме (Нижний Новгород, 1996) и на Международной конференции по физике плазмы в Нагое (1996). По материалам диссертации опубликовано II работ.

Личный вклад автора: '

■ *

Диссеотантом разработана численная модель и создан универсальный 3D код для расчета волноводных антенн, возбуждающих электромагнитные волны в плазме. Проведены расчеты с целью оптимизации характеристик антенн нового типа (Н-гриллов). Получены градиентные поправки к дисперсионному уравнению и 'проведены численные расчеты новых Областей прозрачности для плазменных волн. Диссертант принимал непосредственное участие в разработке модели модифицированной геометрической оптики.

Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из шести разделов, включая введение и заключение. Общий объем работы составляет 121 страницу, включая 48 рисунков и список литературы из 74 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом разделе (введение) обоснована актуальность диссертационной работы, кратко сформулирована ее задача, перечислены основные результаты, выносимые на защиту, и описана структура диссертации.

Во втором разделе описана математическая модель, принятая для разработки универсального численного кода для расчета волноводных антенн в 3О геометрии. Сечение волноводов прямоугольное и считается конечным в обоих направлениях; волноводы ориентированы под произвольным углом к постоянному магнитному полю (направление г) и расположены произвольным образом друг относительно друга. Для самосогласованности задачи учитываются все возможные собственные моды волноводов ТЕЮЛ и ТМтл. Излучающие концы волноводов расположены в плоскости металлической стенки камеры токамака. Поверхность плазмы расположена на расстоянии хр от стенки и параллельна ей.

Поля внутри волноводов представляются в виде суммы по полному набору собственных мод н сшиваются с полями в вакуумном промежутке 0 <х хр, прея-ставленными в виде срурье-разложения по волновым числам Л^, N1 в плоскости, параллельной поверхности плазмы. Фурье-компоненты тангенциальных электрических и магнитных полей иа поверхности плазмы (при х = хр) связаны через матрицу ?х2 по* ■рхностного импеданса 2.ц (Ыу, М). В итоге получается система алгебраических уравнений относительно негзвестных амплитуд волноводных мод.

Задав амплитуду и фазу волн, распространяющихся в волноводах от генератора по направлению к плазме, можно найти неизвестные амплитуды отраженных волн, определить коэффициент отражения ВЧ мощности и рассчитать спектр по Ы„ /V-, излучаемый в направлении х, т.е. от грилла в глубь плазмы.

Е_цК1>-£Ы_ражл£ описывается процедура вычисления комплексной матрицы поверхностного импеданса плазмы, используемой для сшивки электромагнитных полей на границе вакуум-плазма. Эта матрица находится в результате численного решения волнового уравнения в приближении холодной плазмы. Параметры плазмы изменяются только вдоль одного направления х, перпендикулярного ее поверхности. Решение ищется в виде Ыу, N.) е'<л,) *л'>-~<»п<) с помощью метода конечных элементов Галеркина [9]. Граничные условия в глубине плазмы накладываются в точке лу<кв, достаточно удаленной от поверхности, так что там выполняется приближение геометрической оптики и не существует обратных потоков мощности, связанных с отражением от более глубоких слоев.

В четвертом разделе разработанная модель применяется для расчета различных антенн. В частности, в главе 4.1 исследуются традиционные "гриллы", еоз-буждающи~ в плазме в основном медленные волны. Показано, что учет конечной высоты волноводов и ненулевого угла наклона магнитной силовой линии приводит к заметному изменению характеристик таких антенн.,В главе 4.2 рассматриваются * волноводные антенны, предназначенные для возбуждения в плазме быстрых волн. 'Предложена принципиально новая конструкция антенны без диэлектрического заполнения, генерирующая волны с продольными замедлениями \ < N¡<2. Конструкция онтими; фована с целью минимизации коэффициента отражения ВЧ мощности. В главе 4.3 рассмотрен сценарий нижнегнбрндного эксперимента на строящемся токамаке ГЛОБУС-М с использованием резонанса нового типа [7]. Показано, что д."я эффективного проникновения волны в центральную область плазмы желательно располагать антенну в экваториальной плоскости и возбуждать волны, замедленные в полоидальном направлении. В главе 4,4 проведены расчеты такой антенны с учетом проектных параметров юкамака ГЛОБУС-М. Применена .ютра-

- И -

диционная конструкция грилла, повернутого на 90°. Продемонстрирована возможность эффективного вчода ВЧ мощности в плазму с помощью такой антенны. В главе 4.5 рассматривается возможное объяснение асимметрии коэффициента отражения при изменении направления плазменного тока, наблюдавшеГся в эксперименте на английском токамаке КОМПАСС-Д. Показано, что этот эффект может быть связан с конечной высотой антенны, градиентом концентрации плазмы и ненулевым углом наклона магнитной силовой линии у раскрыва трилла.

Рассматривается также структура волн, возбуждаемых внутри плазмы антеннами различных конструкций.

В пятом разделе развивается модель модифицированной геометрической оптики (ГО), учитывающая неоднородность плазмы уже в нулевом приближении. В главе 5.1 описьшается классический подход и приводится необходимое условие применимости ГО. В главе 5.2 рассматривается поперечное распространение не -обыкновенной волны. Показано, что стандартная геометрическая оптика дает в этом случае принципиально неверные предсказания (нераспространение волны), противоречащие результатам численного решения волнового уравнения, что связа-, но с невыполнением строгого критерия примешшосш ГО. В главе 5.3 получен строган кр;ггерий применимости ГО при поперечном раслространенни волны ц мапштоактивной плазме, являющийся более жестким, чем стандартный \кхЧк.г2 .« 1). В главе 5.4 выводится модифицированное дисперсионное соотношение 1гри поперечном распространении волны (не совпадающее с классическим и согласующееся с результатами численного решения волнового уравнения). Получены условия доступности НГ рр.зонанса для волны, распространяющейся с периферии плазмы, существенно уточняющие критерий Стикса-Голанта [10]. В главах 5.5 и 5.6 дня произвольно неоднородной плазмы получены градиентные поправки к

дисперсионному уравнению в потенциальном приближении и в общем случае. В главе 5.7 модифицированное дисперсионное уравнение используется для анализа новых областей прозрачности и других особенностей, связанных с распространением волны в неоднородной плазме. Продемонстрировано хорошее соответствие предсказаний модифицированного дисперсионного уравнения и результатов численных расчетов.

В шестом разделе (заключение) формулируются основные результаты работы:

1. Разработана численная модель, позволяющая рассчитывать электродинамические свойства сложных волноводных антенн, предназначенных для ввода ВЧ энергии в горячую плазму современных термоядерных установок с магнитным удержанием Создан оригинальный компьютерный код, не имеющий в настоящее время аналогов. Он позволяет моделировать антенны, состоящие из набора сфази-рованных волноводных излучателей прямоугольного сечения, ориентированных под произвольным углом к внешнему магнитному полю установки. Расчет самой антенны производится в реальной трехмерной (3П) геометрии с использованием модели плоской одномерно-неоднородной плазмы. Задача расчета эффективности связи антенны с плазмой и формы излучаемого спектра решается самосогласованно, с учетом полного набора собственных волноводных мод. Поверхностный импеданс плазмы находится на основе решения системы дифференциальных уравнений Максвелла внутри плазмы с использованием метода конечных элементов.

2. Выполнены расчеты характеристик традиционных волноводных антенн (£-грнллов), предназначенных для возбуждения в плазме медленных волн в нижнегибридном диапазоне частот. В целом полученные результаты достаточно хорошо согласуются с результатами, полученными из существующих в .частоящее время 21) кодов (1,2]. Однако учет реальной геометрии антенны приводи) к заметным

поправкам в величине коэффициента отражения и форме излучаемого спектра, а также к появлению в нем примеси быстрых волн. Проявляющийся при этом эффект асимметрии по отношению к направлению тока плазмы (знаку угла наклона магнитной силовой линии), не предсказываемый 2О кодами, получил в последнее время экспериментальное подтверждение [8]. Показано, что эффект асимметрии может быть связан с конечной высотой антенны, градиентом концентрации плаз-, мы и ненулевым углом наклона магнитной силовой линии у раскрыва грилла.

3. Предложена принципиально новая конструкция волноводной антенны, позволяющая возбуждать в плазме быстрые волны (Я-грилл) с продольными замедлениями N. > I без заполнения волноводов диэлектриком. С помощью разработанной модели проведена оптимизация параметров такой антенны. Показано, что при правильном подборе геометрических размеров и рабочей частоты с учетом параметров плазмы возможен ввод ВЧ мощности в плазму с высокой эффективностью (коэффициент отражения менее 10%), не достижимой для антенн с диэлектрическим наполнением. Формируемый спектр лежит в диапазоне I <Ы:< 2, что позволяет надеяться на эффективное использование такой антенны для нагрева плазмы и генерации тока в термоядерных установках. Характеристики такой антенны не могли бы быть корректно рассчитаны с помощью кодов, существовавших до начала работы над диссертацией.

4. Разработанным код позволил также рассчитать характеристики волноводной антенны нетрадиционного типа, предназначенной для ввода в плазму волн, распространяющихся в полоидальном направлении на частоте, в несколько раз превышающей ннжнегибрвдную (с целью нагрева плазмы или генерации ВЧ тока с использованием т.н. "полоидального" резонанса [7]). Показано, что при расположении антенны в экваториальной плоскости и частоте 2.45 ГГц в плазме возбуждаются волны с замедлением вдоль магнитного поля Nl =2-4, которые зффек-

тивно поглощаются в центральных областях плазмы. При центральной плотности, не превышающей 5-Ю13 см"3, коэффициент отражения ВЧ мощности лежит в диапазоне 10-25%.

5. Исследовано влияние неоднородности плазмы на возбуждение и распространение волн, обладающих ненулевым показателем преломления в направлении, перпендикулярном магнитному полю и градиенту концентрации. Для случая произвольно неоднородной плазмы получено дисперсионное уравнение, включающее градиентные ьленц уже в нулевом порядке приближения ГО. Ранее роль градиентных эффектов в промежуточном частотном диапазоне недооценивалась, хотя в действительности они могут приводить к существенному изменению дисперсионных характеристик волн в плазме. В настоящей работе продемонстрировано, что они оказывают заметное влияние на ход лучевых траекторий и на профили ВЧ токов увлечения в небольших токамаках. Более тою, показано, что их учет приводит в ряде случаев к изменению условий доступности и появлению качественно новых эффектов — областей прозрачности, не предсказываемых обычной геометрической оптикой.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. М.А.Ирзак, О.Н.Щербинин, "Электродинамические свойства волноводной структуры для возбуждения тока Н-волнами", Вопросы атомное науки и техники (серия-термоядерный синтез), 1990, вып. 3,' с. 69-72.

2. М.А.Ирзак, И.П.Паалов, О.Н.Щербинин, "Особенности распространения и трансформации БМЗ волн в многокомпонеитно» плазме тороидальных устано- • вок", Тезисы докладов VI Всесоюзной конф. по взаимодействию электромагнитного излучения с плазмой, Душанбе, 1991, с. 18.

3. М.А.Ирзак, И.П.Павлов, О.Н.Щербинин, "О поверхностном импедансе плазмы для расчетов антенных систем", Письма в ЖТФ, 19, в. 14, 1993, с. 20-23.

4. М.А.Ирзак, О.Н.Щербишш, "Расчет волноводных антенн в яижнегибрвд-ном диапазоне частот", Препринт ФТИ №1626, С. Петербург, 1994.

5. М.А.Ирзак, О.Н.Щербинин, "Simulation of the Fast Wave Grill for Plasma

г

Heating and Current Drive", III Finnish-Russian Symp. on Fusion Research and Plasma Physics, Espoo, Finland, 1994, HUT Report TKK-F-C164, pp. 74-92.

6. Е.З.Гусаков, М.А.Ирзак, А.Д.Пилия, А.Р.Эстеркин, "Non-WKB Terms And Ray-Tracing In The Lower Hybrid Range In A Tokamak", XXII EPS Conf. on Contr. Fusion and Plasma Physics, July 3-7 1995, Bournemouth, UK, Contr. Papers, 19C, part IV, pp. 389-392.

7. М.А.Ирзак, О.Н.Щербинин, "Theory of Waveguide Antennae for Plasma Heating and Current Drive", Nuclear Fusion, 35 (11), 1995, pp. 1341-1356.

8. Е.З.Гусаков, М.А.Ирзак, АД.Пилия, "New transparency regions for waves in

a non-uniform magnetized plasma". International Workshop on Strong Microwaves in

о

Plasmas, Aug 7-14 1996, Nizhny Novgorod. Contr. Papers (1997), v.l, pp. 191-196.

9. Е.З.Гусаков, М.А.Ирзак, АД.Пилия, "New transparency regions for the intermediate frequency waves in a non-uniform magnetoactive plasma', 1996 Int. Conf. on Plasma Physics, Sept 9-13 1996, Nagoya, Japan, Contr. Papers, v.l, pp. 110-113.

10. В.В.Дьяченко, М.А.Ирзак, А.Ю.Попов, О.Н.Щ»р1шнин, "A folded waveguide antenna for the GLOBUS-M tokamak", V Finnish-Russian Symp. on Fusion Research and Plasma Physics, Espoo, Finland, Nov. 4-5 1996, HUT Report TKK-F-C176, pp. 65-74.

11. Е.З.Гусаков, М.А.Ирзак, А.Д.Пилия, "Новые области прозрачности для волн промежуточного частотного диапазона в неоднородной магннтоахтивной плазме", Письма в ЖЭТФ, 65. вып. I, 1997, с. 26331.

Яшераэда

1 Brambilla М., "Slow-wave launching at the lower hybrid frequency using a phased waveguide array" // Nuclear Fusion— 1976 — v.16 — p. 47-54.

2 Litaudon X., Moreau D., "The SWAN coupling code: user's guide" // Preprint JET-R(89) 01, JET Joint Undertaking, Abingdon, UK — 1989 — 46 p.

3 Brambilla M., Cardinali A., "Waveguide coupling of ion Bernstein waves to tokamak plasmas" // Nuclear Fusion — 1992 — v. 32 — p. 465-479.

4 "Calculation of coupling to slow and fast waves in the LHRF from phased waveguide airays" / Pinsker R.I., Duvall R.E., Fortgang C.M., Colestock P.L. // Nuclear Fusion — 1986 — v. 26 — p. 941-954.

5 Mazzucato E., "Propagation of a Gaussian beam in a nonhoraogeneous plasma", II Phys. Fluids — 1989 — v.Bl (9) — p. 1855-1859.

6 Perevcrzev G., "Use of the multidimensional WKB method to describe propagation of lower hybrid waves in tokamak plasmas" // Nuclear Fusion — 1992 — v. 32 — p. 1091-1106.

7 Баранов Ю.Ф., Пнлия АД., Эстеркин А.Р., "Аномальное замедление нижнегиб-рцдных волн в торовдальной плазм" И Письма в ЖЭТФ— 1990 — т. 51, вып. 12 — с. 617-620.

8 Warrick С., Lloyd В.^ "Investigation of the lower hybrid coupling in COMPASS" // Report F/PL/WPB4.1 e/CDW, Culham Laboratory, Abingdon, UK — 1995 — «9 p.

9 'Textbook finite element methods applied to linear wave propagation problems involving conversion and absorption" / Appert K., Hellsten Т., Vaclavik J., yillard L. И Computer Physics Communications — 1986 — v. 40 — p. 73-93.

10 Голант B.E., "О проникновении волн в плазму при частотах, близких к нижней гибридной" // ЖТФ — 1971 — т. 41 — с. 2492-2503.