Модули непрерывности равноизмеримых перестановок тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

л МгаГСТЕРСТЁО. ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО, ' ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ - .

/ОДЕССКШ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО' ЗНАЖНИ. ГОСУДАГСТВЕНШи

■ • университет'™, и. й. Мечникова_

' На правах рукописи

ЕУДАГОВ Адилхан Аббас огли

ШДУЛИ НЕПЕЕШНОСТИ РАБНОИЗЖРИ.КХ ПЕРЕСТАНОВОК

01.01.01 - математический анализ:

.АВТОРЕФЕРАТ .диссертация на соискание ученой степени • кандидата фюпко-математическпх.наук

Сйесса - 1592

Работа выполнена на кафедре математического анализа Одесского государственного университета 'им.. И. И. Мечникова.

' . Научнкй руков тгель - доктор физико-математических

: наук, профессор В.- И. . КОЛЯДА. '

.Официальные оппоненты: доктор фгаико-мате:.:атическшс \ наук, ведущий .научный

■ "сотрудник\И. А.-ШЕШК.

кандццат (/.изнкб-матёматическтс.

■ нал';,- доцент 3, Д., АВДРИННКО,. •

■ Ведущая' организация - А5осков.ский государственный уни-'- '.

- :. . верситет им. Ьи-.В. Ломоносова. '

' • Защита диссертации, состоится " " 1992 г

в 4 5 часов на'заседании специализированного совета К 068,24.10 по физико-математическим наукам /математика/ в 'Одесском государ-^венном университете и»?; И. И. Мечникова по адресу:-270057,т. Одесса, ул.. Петра Великого, 2.

С диссертацией можно ознакомиться, в нагшой библиотеке Дцесского' государственного университета. '

. Автореферат разослан " ^^ " ¿Ьи^СсСЛ^ 1992 г. •.

, Ученый.секретарь специализированного . совета, доктор физико-математических наук, •. .' .

' профессор -В. Г. Кротов

v- • ; - 3

-т,'. ,0 Ал ХАРАКТЕРИСТИКА Р А Е О :Т Ц

' • Актуальность тег/р. Теория перестановок берет-начало в-работах Я. Штекера и Г. Шварца 19гГО столеттл. Систематические лсоледованая перестановок последовательностей я ¡^унниил- аачгаа-ется с работ Хардн и- Литтлвуда, -пссваденнвк• 'дробите: интеграла-.п максимальным функциям.' Существенный толчок этим исследованиям ' дала работа Пока и • Сеге, .• устанавливающая кшжальноо сбойстго .' нормы градиента сшкетрнче-. --о!;. перестановки. Результат»,. полученные впоследствии в зтогл направлении /Хгаден, Ады.трен, Лид я др./ находят суцествешшё применения в теории уравнений с част-, • НШ.1Я производт-'ьш. ■ В последние десятилетия.перестановки 4ункцк\ широко применяются в гармоническом анализе, теории ттерполлгап и теории функциональных пространств; 'скя/етрязацпи функции "и .множеств используется также в теорк- .шаллткческих пункций /К._. Ееннетт, Р. Шарпли,'Р. Де'Вор, А. ЕернштеЕн, В. Дубинин и др./.

Диссертационная работа относится к направленизр, связанному с исследованием оценок роста перестановок и да вариационных сёойств /мбдулей непрерывности, функционалов разностного типа/, бёрущему начало в рантах П. Л. Ульянова,- А. Гарсиа, Д. Освальда. В последние '15 лет. это направление активно развивается в*, работав ряда, авторов/Э. А. Стороаенко, В. ¡1. Коляда; С. Милне, ' И. Вш:,. М. Мильман и др./. Полученные в этих работах результата •находят пршененпя-в различных областях /теоремы влЬкенля, ряды ' 'Зурье/. '.' ' . " ' ' :

-. Цель работ)}. Исследование анизотрУ* ;*ого аналога неравенства 'Гарсиа-Оовалада;'начо}эдение-оценки для подуло:: непрерывности^> '

•'перестановок функций ^р ^ ¿_» (Со,-13 ) и ^.¿^([р,!], ') в

анизотропном случае; установление оценок роста перестановок - :

функции изучение неравенств

ште^ального типа для модуля непрерывности перестановки суйк-

цни { к1о,й")' при "р < I .

Методика доследований. В основе работа лежат методы.кетри-' ческой теории функций. 'Лспользу-гся результаты из теории перестановок. 'Притеняется теорема Харсиа-Освальда, приближения ступен-.Чаткш функций.:", кривые Пеако, теорема. Люгаса-Уигаи из геомет-.ричесйой теории. мерн." ' • ' • '•, ' . . - ■. ■■ .

Научная'новпзна, Бее"основные результаты работы ^являются- ■ новыми,-а их получение потребовало развития новьх' методов. Научная новизна результатов "сост<д;т в .сдедуюцем: • ' -■' •

1. .'Неравенство Гарсла-Освальца распространенона. анизотропный • случаи, что представляет наибольший.'интерес при изучении

.-•функций многих переменных; "■• '.:•'- .■.-'.'. .

2. Предложен ной-" метод- доказательства мультипликативных нера-. •' . венетв,. позволяющих, охватить многомерный случай И^наКтя

. .'точные постоянные; -'

3. Установлены окончательные оценки роста! перестановок и. их ;

. модулем непрерывности в неисследованно!.". лднее случае, р < ¿ | . 4. разработана конструкция кривой. Пеано с заданными •анкзот'роп-нши свойствами, ■ ' '•..'■ ■ - '.•' • ГЬактическея и- теоретическая ценность. Результаты работы носят, теоретический характер.' Они могут быть'использованы в теории рядов Фурьев тебрии вложения.-функциональных' пространств.-

Аптобайия работы. Основные результаты диссертации доклады-, .вались ц .течение 19891992 гг.. в Одесском государственном. университете на;.'семинаре по теория функций /руководитель

семинара - профессор Э. А.' Сторспенко/, на Воронежской згаыой математической школе ло теории функций л дифференциальным уравнениям /январь 991 г./, на конференции нетолст учешк ГуТГУ /февраль 1991 г./- на школе по теории функций в г. Одессе /сентябрь 1991 г./. н«- 6-ой Саратовской школе по теории функций и приближений /январь 1992 г./.

Публикация. - Основное результаты диссертации опубликованы в двух работах; автора, список которых приводится в конце твторе-ферета. • '

Структура и объем -работа. Диссертационная работа состоит ■ из введения, 5 параграфов и списка литературн. Работа изложена' нр 138 с. мадпшопксного текста, библиография содержит 37 наимэ-попашй.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Незозрастащей нерестшгозкой функции / (х ) , заданной .

на измеримом множество £Г С Ш . ( IE |<°°) называется нёпре-.

ршзная справа невозрасталцая на ( О, /£/ ) функция 4 ("Ь} , оавноизмавикая с

Мацуль непрерывности функции + € LJri'i з[о,*г,

определяется равенством ■ (о £ $. I**.,

- е -

хЛе ^ Х + Аб!^ /ь случае р =.

рассматриваем только непрерште функции/.

Отправляясь от свохк чсследований по теории рядов $урьо, П, Л. Ульянов-/ поставил г эгг эс: справедливо ли для лкбоЗ- функции ^ е ¿»р С«, 11 ( £ 6 р < лг) неравенство

. л'^со о и)

к есл.; оно справедливо, то каково нажекьиее значение постоя;- -ной с^ ? В это*' же работе П. Л. Ул: янов доказал неравенство ( ~ ) при р = 1 с постоянной С^ - 9 . Задача П. Л. Ульянова исследовалась в раде- работ, /Л. И. Осколков и С. А. Телкковсхи!:, П. П. Корнейчук,, I'. Бек,. П. Ссегльд, .'5. А.

О /

■ Ерудпык/. В частности, П. Освальд'*' .доказал неравенство ( 1 ) для всех р е (о) во ) . Его доказательство было основано на следующем нв! двенстве, полученном независимо друг от друга в работа:: П. Освальда, А. Гарсиа к Б. Роде;.«тча3//: для любой чьтно/. неот"ицате,"1ьнон неубывание* на ( * у *=>«=•") функции ^ п любой измеримо* почти всзду конечной на [0, 4] . *.ункцяа £ при всех «Те[о,

Щ I 1.1 . Са>

1. Ульянов II. Д. Вйожение некоторых классов функций Н //¡йв. ¿4 СССР. Сор. штем. 1968. Т. 22. С. 649-626. .

2. Освальд П. О модулях нетоерывности равноизиериглюс функции в

• классах у^) /Д'ятем. заметки, 1975. Т. 17, ).'2. С. 231-244.

3. блг^¿a. А. А1.; Кес/егггссА Е. Ноп»4.оп£сИу е?се-^-Лп (ипсЦо-

па.(* ипсС*ъ&Ьчлн^еятсн^/РА«*. }*^. РеиПеГ, цгг, Ч.Цц/ч.Р.&-Г/6..

И if(t'(*)'t*U)Mutesf[ ' <f(C(l)'fL})U,</y . (2):

it-yiiS

П. Освальдом бшга поставлена задача о нахогкдеяип такого мюгомерного аналога неравенства С 2 ) „ котории бы учитывал разлглпе в поведении -функции по коорцгаатннп направлениям. : Следующая теорема, д.-казанная во втором параграфе, содержит, ответ на ?тот чопрос. '

Теорема 1. Дь. любой четной неотрицательной неубывающей на (О, оо) функции у? и для любой измеримой на J поч.и всюду конечной фун.адш -f при ^ е * J , t- i, • N,

К & if

n-tiiicJ« ib'tiM . ;

v c--i,.:,N

В многомерном случае П. Освальдом*/ был установлен следую-цей аналог неравенства ( 1 ) : для любой функции £ L ^

/ г -т Ы

t & р < о-о ,1 3. L<7, i J , , Г>

■ i), (3)'

где ¿J irt^ U>„ (f^i,».,<fN) - средний модуль

Г V / .

Непрерывности функции . Вопрос о справедливости этого ,•

f -

'. Освальд П. Уодули непрерывности разноизмериунх функций я приближение алгебраическими поллкокачк в L ' Jina. ... к^пд. ■ физ.-мат. наук. Одесса: ОГУ, 1978. 144с.

- о

неравенства при 0 <. р 4 оставался открытки:.

Используя теор-му 1 ми доказываем неравенство ( ,3 ) для всех р е (о, «о ) . ,

Теорема 2. Для любой функции -?€Lp(lN) (о<р<о«0

a>f (■?*; S) йСГ)Ы ог (*■>*) ,

Возвращаясь к основное теореме 1, отметим, что ее изотропный аналог /случай • s = S / бшг установлен С. йшне^. Как и в работе,С. Милне, доказательство теорем; .1 основано на одномерном случае и применении кркЕой Пеано. Однако .переход к . одномерному случаи осуществляется с помощью совераенно других '• соображений. Отлична от ярщ.;ененно:: С. У.щше и конструкция кривой Пеано, которая играет существенную роль в доказательстве теореш 1..

Кривой Пеано называется такое непрерывное отэбракение

у : U ¿3I " , что ¿'(Kitf - I". N

С. Милне была построена кривая Пеано в 7R "сромпо-нентамн та класа Lip ^ . Оледувдая.теорема, доказанная в §1, обобщает результат С. Д!ялне на анизотропный случай.

Теоре:ла 3. Пусть -j - система модулей непрерыв-

ности, причем ¿=i, ...W и ot. = сп/((П ¿¿¿(i))/s)>0,

' * ■ e<-HV м

• . t>

Тогда существует такая сохраняющая меру кривая Пеано >Т0 .

ik Withe Peatw curve* omJ. imootЬпеьь of

lunttlenb J? Jt<j(raac<S In lAnKi. WO. V.SS P. ill-IS*.

; * С(и) ■ СОс :б) > ¿14,.,.; N. (1)

Отметим, что для того, чтобы удовлетворяла!. неравенству (4 ) кривая Пеан о у сохраняла меру, условие «* > о является необходим™.

Вернемся к неравенству ( 3 ) . Заметил, что при р - оо это неравенство может быть док зало довольно просто. Основной интерес ** этом случае представляет нахождение наилучшей постоянной в правой части. Этому вопросу посвящен §3.

N „

Теорема 4 Ляя любой непрерывной на I фушщин 4-при всех ]

С. (5)

где СО^ ( £ ; £ ) - неубывающая равноизмершая перестановка функции .... ^ ) .

Справедливо следующее утверждение, устанавливающее точность

опенки ( 5 } : если 'Кепрорнвная ни 1 функция вое.растает по кглдой переменной в отдельности, £Со") •=. о и для

Г-т" Г Ы о -т"

' либых д € 1 , ¡1 € 1 с д+^бА выполняется неравенство , то в (5 ) для

всех <Ге [о, ±1 нмееа' место равенство.

• В заключительной части §3 теорема 4 применяется для доказательства многомерного ан?тога неравенства X. Ш. Ыухтарова1^ и

, 1. Гусойнов А. И,, Мухтаров X. Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. : Наука, 1900. 414 с.

u.Xícruieiü'í! точно,- nocTo/iimoí: i этог; неравенстве. В частности,

здесь док^мгаегся v -i

Teoper.u 5. Пусть оС^ oíjtCo, 11,^(2-f;] f

С (l^1 ) , о < l> <£ oo

o<Séi

Тогда

i_

г«*1/*-** ( , «¿V**

P ' *!, .«

Iltll, éAU*,¡>)U<(1] r lltll'c

s/u'ptí) где ¡шины.

un v ^ 7 .

& (i> y) - бета ¿ункцкя Эйлера."Постоянная /4б•<*, p} является не;>'луч:лаэкой.

Зта тоорема /в несколько гаом виде/ в одномерное случае бита установлена 1. Ш. Ьухтаровнм;' вопрос о точности постоянной A(«t,p) оставался открытым.

В дальне^оеЛ части диссертации изучается сЕокства перестановок йункщй., определяемые поведением гаотрогшкх модулем непрерывности CJ^ í) = Cú S, $ ) .

П. Л. Ульяновым, Э. А. Стороженко, А. Гарсиа в одномерном. случае при i ~ f < <х> были получены оценки ( через ¿O р tí^ ) . Аналоги этих оценок имеют место и б

многомерном случае, однако они оказываются не точнщпт.

-При I со и N Ъ В. И. Колдца^Лтолучил оценки,

л» _

которые является точзшки при любоЛ скорости убывания ¿»^ В §4 мн устанавливаем анаюгичнпл результат при о < р I , N ?/■ Ь , Именно, доказывается Теорема- ь. Дня любо!; функции

существует- такое 6" £ 112 , что при всох <Г 6 (о,.!) -5м 1 Р

С

Отметим, -¿то неравенство ( 6 ) в одномерно« случае без

2/

второго слагаемо! у в левой части "¡¡:ло доказано З.А.Сторож^нко '. Во второН части §4 теорема 6 применяется к теоремам вложения. Пусть р -я степень функции СЗ ( является модулем нетоерквности (о «г р < I). Чорез И обозначается

класс всех функций £ е С I ) , для которых

^ - 0{и>(!) 5г , Дшле, пусть <Ф - совокупность четних неотрицательных неубывающих на [ о, о» ) функций, и для любо*; (р 6

^ (с*)) < <>° Зг.

Iй

В упомянутой работе В. И. Коляды били получены необходимые и достаточные условия вДдания ы С ^(Ь) при .

1. Коляда В. И. Оценки перестановок и теоремы вложения//;/лтсм. сборник. 1983. Т. 136^178). К1. С. 3-2?.

2. Стороуенко Э. А. О некоторых теоремах вло-ения// Матем. заметки. 1976. Т. 19. Н2. С. 187-200.

Теорема 7. Пусть р -я степень функщп СО (Г) является модулем непрерквкостк (О < р < 1 ) , Функция € ф ' удовл.этв"рлет Д^-условко /т. з. ) - 0\у (-4)}- при

-Г

возрастает на (о, ©о) . Далее,

пусть у* - Nf/(N-Í) и

.

£ир 4>(и-)и Чсо 1 1

Тогда условие

^ _ , ntf/p . -n/V

Ь «f (*■ "J* <Г„

л-1

где а СО ( & ") , п Ь} ... „

4 / Pf Г /Л

V = -Äy min сО^ , - пЩ...

со„

является необходимым ir достаточным для вложения

Й. C<f(ü

?, N 1

Вернемся к оценке (-3 ) .Из этой оценки следует, что

(7)

При р- А/= Л. П. ОсЕальд показал, что неравенство ( 7 ) ыояно усилить по порядку /этот результат содержится в . упомянутой диссертации L. Освальда/. В. И, Коляда1/ при

1." Коляда В. 'А. Перестановки функций теореш Едокения//Успех1Г кагек. наук. 1289. Т.'44, Я5. С. 61-S5.

1 , V г а ',■: доказал более сильное неравенство

. чём '( 7 ) ; .полуденная ш оценка является точной /в изотропном : случа'" при любой, скорости убивания ( ^ ; <5 ). . В §5 диссертации'с помощью теоремы; 6 мы доказываем аналог полученной :В. .И. Коладой оценки при А/ ^ I , — < р «£. 1 ' , который

.также является точной. Именно, доказывай'. 1 •

1 - * ■ • ' N '

. . Теорема 8. Для любой функции $ е Ьр (I ) ' ". , N г- Л> ,

. р < £ , при всех (о, 4.)

\ * • * с - 5™ • - ' С а)

' " ' ,6Ы ■ ; . . : ' . ' ■' '

. В доказательстве этой'теоремы используется оценка '' (б ) » • -.-.Заме*»»', что. мдяодика'до .зательства' теорем 6 и 8 отлетается от'

.той,, 'которая прикенялась. щл ■ р 1', и сами' конечн'ые-.. результаты имеют несколько другой вид, соответствующий специфике--случая . р < У . Вопрос.о•справедливости неравенства ; (. 8;) при А/ , О < р <. - остается открытым. '

• ; СПИСОК. ОШБДШОВАНШл РАБОТ АВТОРА . • . ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАШ1И' •■■ ; ,

.1. Будагов. А. Л, Кривые Пеано и ж;,ули непрерывности // {¡атём. заметки, 1991. Т. 50, Выпуск 2. С. 20 - 27. -'

2. Будагов А. А. Ысштаи непрерывности перестановок и мультип1 • ликатшзные неравенства // Известия ВУЗов, Математика. • ,1991. I 11. С. 6 - 12. •

ч

Полп.к печати 10.04.02г. Формат 60x84 1 /)6.

Об'ем 0,75п.л. О.Вуч. взд.л.. Заказ 1072. Тираж 1ССЬкэ.

Гортнгтографня Одесского облполиграфизаата,:;,цех № 3.'

Ленина 49.' .