Мономиальные идеалы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.664.2+512.714

ШАКИН Дмитрий Александрович

МОНОМИАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ

Специальность: 01.01.06 - математическая логика, алгебра и

теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2005 г.

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Б. С. Голод

доктор физико-математических наук В. Л. Куракин

кандидат физико-математических наук Д. И. Пионтковский

Московский педагогический государственный университет (МПГУ)

Защита состоится 4 марта 2005 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 4 февраля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

Общая характеристика работы Актуальность темы

Современные методы теории базисов Гребнера позволяют сводить многие вопросы об идеалах в кольце многочленов в изучению мо-номиальных идеалов, которые имеют гораздо более простую структуру. В связи с этим особую важность приобретает исследование свойств мономиальных идеалов, в частности, их численных характеристик - функций Гильберта и градуированных чисел Бетти.

В 1927 Маколей1 описал функции Гильберта всех однородных идеалов в кольце коммутативных многочленов А = fc[xi,... ,х„] над полем к. Он рассмотрел так называемые лекссегментные идеалы, т.е., мономиальные идеалы, однородные компоненты которых порождаются (как векторные пространства) старшими по лексикографическому порядку мономами соответствующей степени, и показал, что для всякого однородного идеала существует лекссегмент-ный идеал с такой же функцией Гильберта.

Результат Маколея оказался полезен не только с алгебраической, но и с комбинаторной точки зрения: лекссегментные идеалы имеют достаточно простое строение, что позволяет явно выписать численные ограничения, которым должна удовлетворять функция Гильберта однородного идеала. Дальнейшее развитие, особенно в теории графов, комбинаторная интерпретация результатов Маколея получила в работах Клементса, Линдстрема, Лека (см. также работу Стенли2).

Оказалось, что лекссегментные идеалы обладают также интересными экстремальными свойствами. Например, теорему Маколея можно переформулировать следующим образом: если V - векторное пространство с базисом из однородных многочленов степени d и пространство с базисом из старших по лексикогра-

фическому порядку мономов степени d (лекссегментное пространство) такой же размерности, то размерность пространства xV (xV порождено многочленами видаа;г/, где / € V) не меньше размерности пространства исследовал

'MACAULAY, F. S. Some properties of enumeration in the theory of modular systems. Proceedings L. M. S. 26, 2 (1927), 531-555.

"STANLEY, R. P. Hilbert functions of graded algebras. Adv. Math 28 (1978), 57-83.

3GOTZMANN, G. Eine Bedingung fiir die Flachheit und das Hilbertpolynom eines graduierten

пространства, для которых в предыдущем неравенстве достигается равенство (теперь такие пространства называются гоцмановыми) Он, в частности, показал, что если V - гоцманово пространство, то xV - тоже гоцманово (теорема Гоцмана об устойчивости)

Другое следствие теоремы Маколея состоит в следующем лекссегментный идеал имеет наибольшее число минимальных порождающих в каждой степени среди всех однородных идеалов с фиксированной функцией Гильберта Иными словами, лекссегментный идеал имеет максимальные числа Бетти /3£ для всех г Обобщение этого результата было получено в работах Бигатти и Хьюлетт4 (случай char к = 0), а также Пардью5 (случай charfc > 0), где было показано, что лекссегментный идеал обладает максимальными градуированными числами Бетти среди всех однородных идеалов в кольце многочленов, имеющих такую же функцию Гильберта

Параллельно с изучением свойств экстремальности лекссегмент-ных идеалов, возник вопрос о возможности описания функций Гильберта однородных идеалов в фактор-кольцах кольца многочленов по однородным идеалам с помощью различных модификаций понятия лекссегментного идеала Одними из первых результатов в этой области были работы Крушкаля и Катоны6, которые описали с помощью лекссегментных7 идеалов функции Гильберта однородных идеалов во внешней алгебре8 Е — к{е\, ,е„) Эти результаты имели важные геометрические приложения, так как позволяли описывать /-векторы (т е , количество граней каждой размерности) симплици-альных комплексов

Обобщение результатов Маколея на более широкий класс идеалов было получено в работе Клементса и Линд стрема9, где бы-

Ringes Math Z 158 (1978), 61-70

4BIGATTI, A M Upper bounds for the BetU numbers of a given Hilbert function Commun Algebra 21, 7 (1993), 2317-2334, HULETT, H A Maximum Betti numbers of homogeneous ideals with a given Hubert function Commun Algebra 21, 7 (1993), 2335-2350

5PARDUE, К Deformation of classes of graded modules and maximal Betti numbers III J Math 40, 4 (1996), 564-585

KRUSKAL, J The number of simphces ш a complex In Mathematical Optimization Tech nxques, R Bellman, Ed University of Calmornia Press, 1963, 251-278, KATONA, G A theorem for finite sets In Theory of Graphs, P Erdos, G Katona, eds Academic Press, 1968 187-207

7T e , таких мономиальных идеалов во внешней алгебре, однородные компоненты которых порождаются (как векторные пространства) старшими по лексикографическому порядку мономами во внешней алгебре соответствующей степени

'Рассмотрение функций Гильберта однородных идеалов во внешней алгебре равносильно рассмотрению функций Гильберта однородных идеалов в фактор алгебре А/(х\,

'CLEMENTS, G F , LINDSTROM, В A generalization of a combinatorial theorem of Macaulay

ли описаны функции Гильберта идеалов в фактор-алгебрах вида A/(xfl, , где di < < dn < оо Этот результат обобщал как теорему Маколея (di = = dn = оо), так и теорему Крушкаля-Катоны (di = • = dn — 2)

Работы Крушкаля, Катоны, Бигатти и Хьюлетт, наряду с развитием техник для изучения чисел Бетти10, привели к появлению большого количества новых результатов в этой области

Так, М Грин11 изучал свойства экстремальности лекссегментных пространств при факторизации по общим линейным формам Впоследствии его результаты были обобщены на случай общих однородных форм в работах Херцога, Попеску и Гашарова12

Целый цикл работ был посвящен обобщению неравенств для чисел Бетти, а также результатов Гоцмана, на случай внешней алгебры В частности, неравенство, аналогичное полученному Бигатти и Хьюлетт, было доказано для чисел Бетти над внешней алгеброй13, а также для чисел Бетти бесквадратных идеалов в кольце многочленов14 Кроме того, обобщение теоремы Гоцмана об устойчивости на случай внешней алгебры было получено Арамовой, Херцогом и Хиби15

Наконец, частичное обобщение результатов Грина и Гоцмана на случай идеалов в фактор-кольце видаЛ/^1, было полу-

чено в работе Гашарова16 Кроме того, в другой своей работе17 Га-шаров исследовал связь между результатами Гоцмана и Грина, и,

J Comb Theory 7 (1969), 230-238

10ELIAHOU, S , KEKVAIRE, M Minimal resolutions of some monomial ideals J Algebra 129, 1 (1990), 1-25, ARAMOVA, A , HERZOG, J , Hmi, T Weakly stable ideals Osaka J Math 34, 4 (1997), 745-755, ARAMOVA, A , AVRAMOV, L L , HERZOO, J Resolutions of monomial ideals and cohomology over exterior algebras Trans Am Math Soc 352, 2 (2000), 579-594

11 GREEN, M L Restrictions of linear series to hyperplanes, and some results of Macaulay and Gotzmann In Algebraic curves and projectvue geometry, E Balhco, С Cihberto eds , Lect Notes Math Springer Verlag, 1989, 76-86

"HERZOG, J, POPESCU, D Hilbert functions and generic forms Compos Math 113,1 (1998), 1-22, GASHAROV, V Hilbert functions and homogeneous generic forms II Compos Math 116,2 (1999), 167-172

13 ARAMOVA, A , HERZOG, J , HIBI, T Gotzmann theorems for exterior algebras and combi natoncs J Algebra 191, 1 (1997), 174-211

"ARAMOVA, A , HERZOG, J , HIBI, T Squarefree lexsegment ideals Math Z 228, 2 (1998), 353-378, ARAMOVA, A , HERZOG, J , HIBI, T Shifting operations and graded Betti numbers J Algebr Comb 12, 3 (2000), 207-222 16См сноску 13

18GASHAROV, V Green and Gotzmann theorems for polynomial rings with restricted powers of the variables J Pure Appl Algebrn ISO, 2 (1998), 113-118

"GASHAROV, V Extremal properties of Hilbert functions III J Math 41, 4 (1997), 612-629

в частности, показал, что всякое гоцманово пространство является экстремальным в смысле теоремы Грина.

Цель работы

Целью работы является изучение численных характеристик (функция Гильберта, градуированные числа Бетти) мономиальных идеалов в кольце коммутативных многочленов и во внешней алгебре над полем.

Методика исследования

В работе используются методы теории базисов Гребнера и результаты гомологической алгебры, в частности, производные функторы и явные конструкции минимальных свободных резольвент для некоторых классов мономиальных идеалов.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана эквивалентная формулировка теоремы Маколея, часто более полезная в приложениях, найдены необходимые условия для выполнения теоремы Маколея в фактор-кольце кольца многочленов; кроме того, доказано, что теорема Маколея в фактор-кольце кольца многочленов и внешней алгебры продолжает выполняться при добавлении новых переменных;

2. Получены обобщения теоремы Маколея, описывающей функции Гильберта однородных идеалов, на новые классы идеалов, в частности, получено необходимое и достаточное условия для выполнения теоремы Маколея в фактор-кольце кольца многочленов и внешней алгебры по сильно устойчивому идеалу;

3. Для случая, когда в фактор-кольце кольца многочленов или внешней алгебры по сильно устойчивому идеалу выполнена теорема Маколея, получены обобщения неравенств для градуированных чисел Бетти, а также теоремы Гоцмана об устойчивости

и результатов Грина о факторизации по общим линейным формам;

4. Построены минимальные свободные резольвенты для класса так называемых /-устойчивых идеалов, в случае, когда I = (х}1,..., х^); показано, что фактор-кольца по таким идеалам являются кольцами Голода Кроме того, для идеалов I приведенного выше вида изучены условия, когда кольцо по устойчивому идеалу является коэн-маколеевым и горенштейно-вым. Также исследованы свойства сильно и слабо /-устойчивых идеалов.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения структуры и численных характеристик мономиальных идеалов.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова (2000 г.), а также на семинарах "Коммутативная алгебра" (19992004 гг.) и "Кольца и модули" (2003 г.) кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова. Кроме того, результаты докладывались на Международной алгебраической конференции (2004 г., МГУ им. М. В. Ломоносова).

Публикации

Результаты, содержащиеся в диссертации опубликованы в работах [1]-[4].

Структура и объем работы

Диссертация изложена на 114 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 34 наименований.

Содержание работы

Глава 1 носит вводный характер. В ней собраны сведения, необходимые для изложения материала остальных глав.

Глава 2 посвящена исследованию таких фактор-колец кольца многочленов, для которых возможно описать функции Гильберта однородных идеалов с помощью метода, предложенного Маколеем.

В параграфе 1 этой главы предложен следующий подход к этой задаче: пусть Л[1:п] - кольцо многочленов от п переменных над полем его однородная компонента степени

Определение 1. Мономиальный идеал I С. А[1:п] называется лекс-сегментным, если его однородная компонента любой степени порождается как векторное пространство старшими мономами по лексикографическому порядку.

Пусть зафиксирован некоторый мономиальный идеал I С А[1:п]. Идеал J С Л[1:п] называется I-лекссегментным, если J = I + L, где некоторый лекссегментный идеал.

Идеал / называется М-идеалом, если для всякого однородного идеала J, содержащего I, существует /-лекссегментный идеал Z/(J) с такой же функцией Гильберта.

Классическая теорема Маколея утверждает, что нулевой идеал является М-идеалом. Поэтому если / является М-идеалом, то будем говорить, что в А[1:п]/1 выполняется теорема Маколея.

Далее в главе 2 изучаются свойства М-идеалов.

Пусть M.{V) - множество мономов, содержащихся в векторном пространстве V. Пусть I - некоторый мономиальный идеал в Л[Г.п], R — А[\:п}/1, и M С M.{Rd). Через DRM обозначим подмножество в JM(Rd), состоящее из старших по лексикографическому порядку мономов и удовлетворяющее условию |М| = \DRM\. Аналогично, через СЕМ обозначим подмножество вМ о$3)т о я щ е е из младших по лексикографическому порядку мономов и удовлетворяющее условию |М| = \CRM\. Если DRM = M, то множество M называется DR-сжатым, а если CRM = M, то множество M называется CR-сжатым. Кроме того, положим

ГД(М) = {m € M{Rd-1) : mxi € M для некоторого г}.

Основными результатами первых трех параграфов главы 2 являются следующие две теоремы:

Теорема 2. Пусть I С у4[1:тг] - некоторыймономиалъный идеал. Следующие условия равносильны:

1. Идеал I является М-идеалом.

2. Пусть Я = А[Ъп)/1. Для всякого <1 > 1, всякого М С .М(Я^) выполнено

|ДЙ(£>ЙМ)| < |Дд(М)|.

3. Пусть Я = А\1-.п]/1. Для всякого <1 >2, всякого М С //((Ла)

выполнено

ГД(СДМ) С Сп(Гя(М)).

Теорема 3. Пусть I С _А[1:п] - М-идеал, Я = Л[1:п]/7, и пусть множество М С !) Ск-сжато. Тогда множество ГЙ(М)

тоже Ся-сжато.

Теорема 2 предоставляет удобные средства для доказательства теоремы Маколея, позволяющее рассматривать только мономиаль-ные множества, в то время как теорема 3 дает весьма полезное необходимое условие для выполнения теоремы Маколея.

Теорему Маколея можно рассматривать не только для фактор-колец кольца многочленов, но и для фактор-алгебр внешней алгебры ,Б[1:п] над полем к. В параграфе 4 главы 2 показывается как можно перейти от случая внешней алгебры к кольцу многочленов.

В параграфах 5 и 6 главы 2 доказываются следующие две теоремы об устойчивости М-идеалов к расширению кольца новыми переменными:

Теорема 4. Пусть Г С Л[1:(п - 1)] - М-идеал. Тогда ГА[1:п] С А[1:п] - тоже М-идеал.

Теорема 5. Пусть Г С Е[1:(п - 1)] - М-идеал. Тогда ГЕ[\:п] С Е\1:п\ - тоже М-идеал.

Эти теоремы не только позволяют напрямую получить новые примеры М-идеалов, но и является полезным инструментом для индуктивного доказательства теоремы Маколея, в частности, для

кусочно лекссегментных идеалов (см. ниже). Кроме того, простыми следствиями этих теорем являются как классическая теорема Маколея, так и теорема Крушкаля-Катоны о числе граней симпли-циального комплекса.

В параграфе 7 главы 2 приводятся некоторые примеры М-идеалов, в частности, описываются все М-идеалы в классе лексических и вполне лексических идеалов.

В параграфе 8 главы 2 дается полное описание М-идеалов в кольце многочленов от двух переменных.

Глава 3 посвящена изучению так называемых кусочно лекссег-ментных идеалов, одно из эквивалентных определений звучит следующим образом:

Определение 6. Идеал I С А\1'.п] насыпается кусочно jieKcces-

ментным, если его можно представить в виде I — LiA[l:n] + ■ ■ ■ +

некоторые лекссегментные идеалы.

Интерес к кусочно лекссегментным идеалам вызван тем, что они являются сильно устойчивыми, т.е., возникают как идеалы старших членов при общей линейной замене переменных:

Определение 7. Мономиальный идеал I С Л[1:п] называется сильно устойчивым, если для всякого монома и 6 I, и всяких i,j, удовлетворяющих условиям выполнено

В параграфе 2 главы 3 доказывается следующий результат:

Теорема 8. Пусть I С А[1:п] - сильно устойчивый идеал, R = А[\.п\/1. Следующие условия равносильны:

1. Идеал I является кусочно лекссегментным;

2. Идеал I является М-идеалом.

Оказывается, что 7-лекссегментные идеалы для кусочно-лекссегментного идеала обладают экстремальными свойствами, сходными со свойствами лекссегментных идеалов. Так, в параграфе 3 главы 3 доказывается следующая

Теорема 9. Пусть char к — 0. Пусть также I С А[\:п] - кусочно лекссегментный идеал, J С Л[1:п] - однородный идеал, содержащий I, и L[{J) - соответствующий I-лекссегментный идеал,

тогда для всех г и j выполнено неравенство

где (3у'1 ^(J) есть числа Бетти идеала J как А[1:п]-модуля.

В параграфах 4-6 главы 3 на случай кусочно лекссегментных идеалов обобщаются результаты Гоцмана (теорема об устойчивости), Грина, Гашарова, Херцога и Попеску (теоремы о факторизации по общим однородным формам). Кроме того, изучаются числа Бетти экстремальных в смысле теоремы Маколея идеалов, а также исследуется связь между векторными пространствами, экстремальными в смысле теоремы Маколея и в смысле теоремы Грина.

Глава 4 посвящена изучению кусочно лекссегментных идеалов во внешней алгебре. Показывается, что для них справедливы аналоги теорем 8 и 9, а также других описанных выше свойств. Кроме того, доказано следующее неравенство для чисел Бетти бесквадратных идеалов:

Теорема 10. Пусть char к = 0. Пусть I С Е[\-.п] - кусочнолекс-сегментный идеал, а J С .Е[1:п] - произвольный однородный идеал, содержащий I. Тогда для всех г и j выполнено неравенство:

где S( J) и S(Z/( J)) - бесквадратные идеалы в кольце Л[1:тг], соответствующие идеалам J и L!(J).

В главе 5 изучаются свойства так называемых /-устойчивых идеалов:

Определение 11. Пусть I - некоторый мономиальный идеал. Мо-номиальный идеал J С Л[1:п] называется /-устойчивым, если

1. минимальное мономиальное порождающее множество идеала не пересекается

2. для всех минимальных порождающих и идеала J и для всех j < max{i : xi делит и} существует такое г > j, что хх делит и

/-устойчивые идеалы являются естественным обобщением устойчивых идеалов в кольце многочленов, впервые рассмотренных Эльяу и Кервером18.

В параграфах 2-6 главы 5 рассматривается случай идеала/, порожденного степенями переменных: I = (ж*1,..., я^1).

В параграфе 2 приводится явная конструкция минимальной свободной резольвенты для /-устойчивых идеалов, в частности, даются явные формулы для градуированных чисел Бетти таких идеалов.

В параграфе 3 главы 5 изучается структура пространств Torf 1;п'(Л[1:п]/J, к) для /-устойчивого идеала J. Кроме того, на комплексе Козюля таких идеалов строится тривиальная операция Масси, что позволяет доказать следующую теорему:

Теорема 12. Если J -1-устойчивый идеал, порожденный в степенях> 2, то фактор-кольцо R ~ А[\\п]/J является кольцом Голода.

В параграфе 4 главы 5 изучаются условия, при которых фактор-кольцо по /-устойчивому идеалу является горенштейновым или коэн-маколеевым. В частности, показывается, что фактор-кольцо по /-устойчивому идеалу является горенштейновым тогда и только тогда, когда этот идеал главный. Кроме того, дается необходимое и достаточно условие для коэн-маколеевости в случае, когда /-устойчивый идеал порожден мономами одной степени.

Наконец, в параграфах 5 и 6 изучаются сильно /-устойчивые и слабо /-устойчивые идеалы, являющиеся аналогами сильно и слабо устойчивых идеалов19 в кольце многочленов. В частности, для случая, когда J - сильно /-устойчивый идеал, приводится явная формула для чисел Бетти идеала I + J. Для слабо /-устойчивого идеала J показывается, как вычислить его числа Бетти через числа Бетти минимального /-устойчивого идеала, содержащего J. Кроме того, для случая, когда идеал J порожден мономами одной степени, показывается, что его минимальная свободная резольвента является подкомплексом в свободной резольвенте минимального /-устойчивого идеала, содержащего

"ELIAHOU, S., KERVAIRE, М. Minimal resolutions of some monomial ideals. J. Algebra 129, 1 (1990), 1-25.

"ARAMOVA, A., HERZOG, J., HIBI, T. Weakly stable ideals. Osaka J. Math. 34, 4 (1997), 745-755.

Благодарности

Автор выражает свою глубокую признательность научному руководителю профессору Е С Голоду за постановку задач и плодотворные обсуждения полученных результатов

Список публикаций по теме диссертации

[1] ШАКИН, ДАО некоторых обобщениях комбинаторной теоремы Мако-лея на случай факторколец Матем сб 192, 9 (2001), 143-160

(2] ШАКИН, Д А /-устойчивые идеалы Изв РАН Сер матем 66, 3 (2002), 197-224

[3] ШАКИН, Д А Кусочно лекссегментные идеалы Матем сб 194, И (2003), 117-140

(4] ШАКИН, ДАО функциях Гильберта и числах Бетти однородных идеалов во внешней алгебре УМН 59, 5 (2004), 165-166

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете

МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 0/, ОЬ

Формат 60 х 90 1/16 Уел печ л

Тираж 100 экз Заказ //

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059,

от 20 02 2001 г

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

О/,?/ - С/.fi

Современные методы теории базисов Гребнера позволяют сводить многие вопросы об идеалах в кольце многочленов в изучению мономиальных идеалов, которые имеют гораздо более простуюктуру. В связи с этим особую важность приобретает исследование свойств мономиальных идеалов, в частности, их численных характеристик - функций Гильберта и градуированных чисел Бетти.

В 1927 Маколей [27] описал функции Гильберта всех однородных идеалов в кольце коммутативных многочленов А = к[х 1,.,жп] над полем к. Он рассмотрел так называемые лекссегментные идеалы, т.е., мономиальные идеалы, однородные компоненты которых порождаются (как векторные пространства) старшими по лексикографическому порядку мономами соответствующей степени, и показал, что для всякого однородного идеала существует лекссегментный идеал с такой же функцией Гильберта.

Результат Маколея оказался полезен не только с алгебраической, но и с комбинаторной точки зрения: лекссегментные идеалы имеют достаточно простое строение, что позволяет явно выписать численные ограничения, которым должна удовлетворять функция Гильберта однородного идеала. Дальнейшее развитие, особенно в теории графов, комбинаторная интерпретация результатов Маколея получила в работах Клементса, Линдстрема, Лека (см. также работу Стенли [29]).

Оказалось, что лекссегментные идеалы обладают также интересными экстремальными свойствами. Например, теорему Маколея можно переформулировать следующим образом: если V - векторное пространство с базисом из однородных многочленов степени ¿¿и Ь- векторное пространство с базисом из старших по лексикографическому порядку мономов степени 6, (лекссегмент-ное пространство) такой же размерности, то размерность пространства хУ (хУ порождено многочленами вида где / е V) не меньше размерности пространства хЬ, т.е., сНтхУ > сНтхЬ. Г. Гоцман [18] исследовал пространства, для которых в предыдущем неравенстве достигается равенство (теперь такие пространства называются гоцмановыми). Он, в частности, показал, что если V - гоцманово пространство, то xV - тоже гоцманово (теорема Гоцмана об устойчивости).

Другое следствие теоремы Маколея состоит в следующем: лекссегментный идеал имеет наибольшее число минимальных порождающих в каждой степени среди всех однородных идеалов с фиксированной функцией Гильберта. Иными словами, лекссегментный идеал имеет максимальные числа Бетти ¡3^ для всех г. Обобщение этого результата было получено в работах [10] и [23] (случай char А; = 0), а также [28] (случай char А; > 0), где было показано, что лекссегментный идеал обладает максимальными градуированными числами Бетти среди всех однородных идеалов в кольце многочленов, имеющих такую же функцию Гильберта.

Параллельно с изучением свойств экстремальности лекссегментных идеалов, возник вопрос о возможности описания функций Гильберта однородных идеалов в фактор-кольцах кольца многочленов по мономильным идеалам с помощью различных модификаций понятия лекссегментного идеала. Одними из первых результатов в этой области были работы Крушкаля [26] и Ка-тоны [25], которые описали с помощью лекссегментных1 идеалов функции Гильберта однородных идеалов во внешней алгебре2 Е = к(еi,. ,е„). Эти результаты имели важные геометрические приложения, так как позволяли описывать /-векторы (т.е., количество граней каждой размерности) симпли-циальных комплексов.

Обобщение результатов Маколея на более широкий класс идеалов было получено в работе [11], где были описаны функции Гильберта идеалов в фактор-алгебрах вида A/^xf1,. где d\ < ■ ■ • < dn < сю. Этот результат обобщал как теорему Маколея (d\ = ■ ■ ■ = dn = оо), так и теорему Крушкаля-Катоны (d\ = •■• — dn — 2).

Результаты работ [10], [23], [26] и [25], наряду с развитием техник для изучения чисел Бетти ([14], [4], [1]), привели к появлению большого количества новых результатов в этой области.

Так, М. Грин [19] изучал свойства экстремальности лекссегментных пространств при факторизации по общим линейным формам. Впоследствии его

Т.е., таких мономиальных идеалов во внешней алгебре, однородные компоненты которых порождаются (как векторные пространства) старшими по лексикографическому порядку мономами во внешней алгебре соответствующей степени. о

Рассмотрение функций Гильберта однородных идеалов во внешней алгебре равносильно рассмотрению функций Гильберта однородных идеалов в фактор-алгебре А/{х\,., х^) результаты были обобщены на случай общих однородных форм в работах [22] И [17].

Целый цикл работ был посвящен обобщению неравенств для чисел Бетти, а также результатов Гоцмана, на случай внешней алгебры. В частности, в работе [3] доказано неравенство, аналогичное полученному в работах [10] и [23] для чисел Бетти над внешней алгеброй, а в работах [5] и [7] - для бесквадратных идеалов в кольце многочленов. Обобщение теоремы Гоцмана об устойчивости на случай внешней алгебры получено в работе [3].

Связь между результатами Гоцмана и Грина исследовалась в работе [15], где было показано, что всякое гоцманово пространство, является экстремальным в смысле теоремы Грина.

Наконец, частичное обобщение результатов Грина и Гоцмана на случай идеалов в фактор-кольце вида А/(xf1,., х„п) было получено в работе [16].

Целью данной работы является изучение численных характеристик (функция Гильберта, градуированные числа Бетти) мономиальных идеалов в кольце коммутативных многочленов и во внешней алгебре над полем.

1. Eliahou, S., and Kervaire, M. Minimal resolutions of some monomial ideals. J. Algebra 129, 1 (1990), 1-25.

2. Gasharov, V. Extremal properties of Hilbert functions. III. J. Math. 41, 4 (1997), 612-629.

3. Gasharov, V. Green and Gotzmann theorems for polynomial rings with restricted powers of the variables. J. Pure Appl. Algebra 130, 2 (1998), 113-118.

4. Gasharov, V. Hilbert functions and homogeneous generic forms II. Compos. Math. 116, 2 (1999), 167-172.

5. Gotzmann, G. Eine Bedingung fur die Flachheit und das Hilbertpolynom eines graduierten Ringes. Math. Z. 158 (1978), 61-70.

6. Herzog, J., and Hibi, T. Componentwise linear ideals. Nagoya Math. J. 153 (1999), 141-153.

7. Herzog, J., and Popescu, D. Hilbert functions and generic forms. Compos. Math. 113, 1 (1998), 1-22.

8. Hulett, H. A. Maximum Betti numbers of homogeneous ideals with a given Hilbert function. Commun. Algebra 21, 7 (1993), 2335-2350.

9. Iyengar, S., and Pardue, K. Maximal minimal resolutions. J. reine angew. Math 512 (1999), 27-48.

10. Katona, G. A theorem for finite sets. In Theory of Graphs, P. Erdos and G. Katona, Eds. Academic Press, 1968, pp. 187-207.

11. Kruskal, J. The number of simplices in a complex. In Mathematical Optimization Techniques, R. Bellman, Ed. University of California Press, 1963, pp. 251-278.

12. Macaulay, F. S. Some properties of enumeration in the theory of modular systems. Proceedings L. M. S. 26, 2 (1927), 531-555.

13. Pardue, К. Deformation of classes of graded modules and maximal Betti numbers. III. J. Math. 40, 4 (1996), 564-585.

14. Stanley, R. P. Hilbert functions of graded algebras. Adv. Math 28 (1978), 57-83.30. голод, E. С. О гомологиях некоторых локальных колец. Докл. АН СССР Ц4, 3 (1962), 479-482.

15. ШАКИН, Д. А. О некоторых обобщениях комбинаторной теоремы Ма-колея на случай факторколец. Матем. сб. 192, 9 (2001), 143-160.

16. ШАКИН, Д. А. I-устойчивые идеалы. Изв. РАН. Сер. матем. 66, 32002), 197-224.33. шакин, Д. А. Кусочно лекссегментные идеалы. Матем. сб. 194, П2003), 117-140.

17. ШАКИН, Д. А. О функциях Гильберта и числах Бетти однородных идеалов во внешней алгебре. УМН 59, 5 (2004), 165-166.