Мультипликативные свойства некоторых гильвертовых пространств аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ШИМОРИН Сергей Михайлович

1Л

I/ \

Санкт-Петербург - 1993

- г

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических наук, профессор С.А.ВИНОГРАДОВ

ОМЩАЛЬНЫЕ ОШОНЕНТЦ - доктор физнко-математических наук., профессор А.В,АЛЕКСАНДРОВ

- кандидат физико-математических наук, доцент А.М.КОТОЧИГОВ ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Саикт-Петербургский педагогический государственный университет

Защита состоится " '^лц^ТЬ- 1994г. в час. на ва седании специализированного совета К 003.57.29 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт Петербургском государственнш университете по адресу: 198904, Старый Петергоф, Библиотечная пл., д.2, матеыатшео механический факультет.

С диссертацией мешго ознакомиться в научной библиотеке им.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " •• ц^ло-лл 199 4 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО СОВЕТА КАНДИДАТ 5МЗИК0-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

0. И. РЕЙНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Теория банаховых и гильбертовых пространств аналитических функций является неотъемлимой частью современной теории функций. При этом широкий круг вопросов связан с мультипликативными свойствами этих пространств, т.е. с описанием мультипликаторов, свойствами операторов умножения и деления на функции, факторизацией функций, выделением нулей и т.д. Многие, задачи, возникающие н этой области, оказываются тесно связанными с вопросами тео рии операторов и теории потенциала.

В последние годы внимание многих аналитиков привлекают пространств,'! аналитических п единичном круге ¡0 комплексной плоскости функций из шкалы Бесова, в частности, гильбертовы пространства А & из этой шкалы, состоящие из функ-

работах Х.Хедепмальма устанавливается . что для функций нз некоторых пространств Еергмана имеет место факторизашш, аналогичная выделению нулей с помощью произведений Бляшке в пространствах Хардн. Результаты С.Рихтера по1ксысают связь метлу свойствами инвариантных относительно умножения на подпространств и мультипликаторами. Наконец, из днлатационной. теории Еерковнчи, Фэяша и Пирси вытекает г,аж-

"2 Ù , для которых при некотором *1)ts< + '». так, например, в недавних

ный вывод о связи общей проблемы инвариантных подпространств с описанием свойств 'г.-икпариантных подпространств г: пространстве Бергмана.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. Основная цель работы • установить аналоги для пространств А^ некоторых классических ре аультатои, имеющие место в пространстве Харди Нг. В частное ти, в диссертации изучаются свойства экстремальных функций для "г-инвариантных подпространств - функций, которые но гут служить аналогами классических внутренних функций.

ООЦАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации используются методы теории аналитических функций в пространствах Харди и теории потенциала. При этом в работе разрабатывается аппарат специальных интегро-дифференциальных операторов , обладающих рядом свойств, аналогичных свойствам классичес кого оператора Лапласа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты работы, касающиеся пространств , являются новыми. Новым является таюке разработанный в диссертации аппарат операторов .

ПГАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический /.а рактер. Ее результаты могут быть полезны в теории онера торов. Разработанный в диссертации аппарат операторов ¿Х^ представляет самостоятельный интерес и может найти придано ния как в теории функций, так и в теории потенциала.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинаре но спектральной теории функций и теории операторов в ПОМП им.Стеклова и на второй августовской конференции но спектральной теории функций 17-18 августа 1993 г, ПОМИ

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работе Ш.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введе ния, трех глав и списка литературы. Общий объем работы -61 стр. машинописного текста. Список литературы содержит 19 названий.

С0ДЕГ5ШШЕ РАБОТЫ.'

Как уже отмечалось выше, в диссертации изучаются гильбертовы пространства А^ аналитических в единичном круге

(D=Utt: i?ui \ функций tu 1 = f(n>, zi€> , для J о

которых

-Я4 г. г* у С. < + •>«■

При этом основным объектом рассмотрения являются так наян ваемые экстремальные функции, которые описываются следящим образом. Пусть X - некоторое замкнутое и инвариантное относительно умножения на подпространство пространства

Аь , Т - максимальней общая кратность нуля в точке

■£.=0 для функций из I . Тогда экстремальной функцией для подпространства X. называется функция решающая

следующую экстремальную задачу:

: gel. »3VbU]

Основные результаты работы, касададаеся свойств экстремальных функций, заключаются в том, что при определенном выборе нормы.в пространствах /\s при S£.(Q,ill экстремальные

Л2-

функции являются иультипдикаторами в пространствах А s , причем в случао StlO.^V сжимающими мультипликаторами, а при являются дивигораыи, т.е. обладают свойст-

вом > для ЛП00Г0 полинома р . Для

доказательства агих результатов в диссертации разрабатывается аппарат некоторых специальных интегро-дифференциальных операторов

Глава I диссертации посвящена разработке аппарата оне-раторов ДА. Первоначально они определяются на функциях, предсташмых в круге Ю в виде

и,к»0

равенством

и,к»0 1>о л,«го

Затем устанавливается, что так определенные операторы обла дают рядом свойств. Например, при <*> для них справедлива следующая обобщенная формула Грина:

т

где Дт^сг.)- двумерная нормированная мера Лебега и £> Д^Л) - одномерная нормированная мера Лебега на ЛР , а

•■ч ^

- оператор дифференцирования по направлен!«; внешней к 11' нормали. При оператор Д0 совпадает с оператором ,

где Д - классический оператор Лапласа, и эта формула превращается в классическую формулу Грина для единичного круга £> , Операторы оказываются инвариантными относительно

преобразований Мебиуса в смысле следующей формулы:

( Здесь (э - произвольное преобразование Мебиуса круга /Ь ) На основании атого свойства получается следующее представление операторов при в виде интегро-диффц-

ренциальних операторов:

где ±

тгии) Зг г г> 1-ЛЗ.

Эта формула может служить определением операторов на

функциях класса

С Ш),

В случае с<>0 интегро-дифференциаль-ное представление операторов шжет бить получено с учетом следующего их свойства:

Паралельно с операторами в главе 1 рассматриваются операторы , являющиеся правыми обратными к ним. Для них устанавливается формула, аналогичная формуле восстановления потенциала Грина:

Здесь

4.

Глава II посвящена вопросам факторизации аналитических функций в весовых классах Бергмана - пространствах при Ь^О . Норма в этих пространствах задается раиепстЕом

\ll\ls = ^

где Л»-'!-^ и (Х'поышм

результатом настоящей главы, до1?агательству которого посвящен является

ТЕОРЕМА 2.1.5. Пусть X - Ъ -инвариантное подпространство в пространстве А$ при некотором . ©5 - соответствующая экстремальная функция. Тогда для любого полинома р справедливо неравенство

»5 ^ * Ми1

В частных случаях !»= - ^ и -1 ¡Аналогичная тиорима била'доказана Х.Хедеимальмом. Он же вместе с К.Му установил, что при Ьс-1 подобный факт не имеет места.

В §2 на основании теоремы 2.1.5 доказывается возможность использования экстремальных функций для выделения нулей у аналитических функций. С этой целью для ихкдой аналитической в (£> функции рассматривается "функция кратности" , равнал для каждого С Ь кратности нуля у функции £ к точке ¡X . Л для каждой ^-аначной функции ^ , определенной в 45 , рассматривается инвариантное подпространство ^ «при всех \с1С>]. До-

казывается, что для любой такой функции либо

либо Д-т.,» = 1$ , иными словами, экстремальные функции для подпространств не имшт "лишних" нулей, кроме тех,

которые задаются функцией , Поэтому экстремальные

функции могут служить для выделения нулей у аналитических функций в смысле следующей теоремы:

ТЕОРЕМА 2.2.4. Пусть Б1г(.0> и Р - ненулевая функция из А\ . Тогда -Р допускает факторизации где ©5

- экстремальная функция для подпространства , а Р

г »

- некоторая функция Из , не имеющая нулей в С) и допускающая оценку

Глава 1II описывает свойства экстремальных функций в (слассах при . . При ЬсЦО,|) норма в них

задается равенством ( л

а при. Ь = ^ - равенством

ь

Основным результатом главы является следующая ТЕОРЕМА 3,9.

1. Пусть и - экстремальная функция для £-инвариантного подпространства I в пространстве А ь .

Тогда для любого полинома р> выполняется неравенство

2. Пусть - экстремальная функция для -инвариантного подпространства I в пространстве . Тогда для любого полинома р выполняется неравенство

|ру < С»р»Чг

с некоторой абсолютной константой С .

Эта теорема фактически устанавливает, что дшбая экс тремальная функция :з пространстве А5 при ЬьЛО, является мультипликатором.этого пространства . Отсюда немедленно следует, что любое ^-инвариантное подпространство I обладает свойством "единичной коразмерности" - (^^(Т1, Ранее С.Рихтером и А.Шилдсом это свойство было установлено для пространства ( пространства Дирихле ).

■Другим важным следствием теоремы 3.9 является следую щее качественное наблюдение, касавшееся пространства мультипликаторов класса Ас, при Ъ€ЛоЛ 3 : набор внутренних

частой мультиплшсаторов класса А& совпадает с набором вну тренних частей всех функций из А5 . В частности, для любой функции ?• из класса А* существует мультипликатор пространства с той жэ последовательностью нулей, что и у функции ( .

Работы автора по теме диссертации,

Ш ^ Факторизация аналитических функций в весовых пространо-■ твах Бергмана,- Алгебра и Анализ, т. 5 (1993), шли,5, стр.155-177