Мультиварифолды и многомерные вариационные задачи на римановых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

I* Классические постановки задачи Плато и стратифицированные поверхности

2. Функциональный язык мультиварифолдов .л о

3. Общая методика нахождения глобально минимальных поверхностей .^

4. Формулировка основных теорем и схема их доказательства . .

5. Краткое содержание глав

ГЛАВА I. МНОГОМЕРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ И МУЛЬТИВАРИФОД

§ I. Классические направления вариационных задач

1.1. Классическое вариационное исчисление

1.2. Классическая двумерная задача Плато

§ 2. Многомерные вариационные задачи

2.1. Классические постановки многомерных вариационных задач и классические многомерные задачи

Плато .¿

2.2» Частичные вырождения у минимальных отображений и невозможность использования функционала

Дирихле в многомерном случае

2.3. Современные постановки задачи Плато на языке теории гомологий

2.4» Введение стратифицированных поверхностей и классическая постановка задачи Плато А на языке теории бордизмов.

2.5. Функционалы типа к - мерного объема

§ 3. Функциональный язык мультиварифолдов

3.1. Определение ввультиварифолда.

3.2. Структура цультиварифолда .45"

3*3. Массы и носители 1^ультиварифолда.4

3.4. Спрямляемые нультиварифолды

3.5. Интегранды.55*

ГЛАВА 1У. ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ ОБОБЩЕННЫХ ИНТЕГРАНДОВ В КЛАССАХ ПАРАМЕТРИЗАЦИЙ И ПАРАМЕТРИЗОВАННЫХ мультивашовдов.

§ I. Теорема о деформации . i

1.1« Оценки мультимасс мультиварифолдов при отображении .Л5Э

1,2. Теорема о деформации . 145"

§2. Изопериметрические неравенства. 15"

§ 3, Постановка вариационных задач в классах параметризаций и параметризованных мультиварифолдов

3.1* Краевые условия .•••*••.••••.•••.•••.•.165"

3.2. Параметризации-решения и мультиварифолды-решения

3.3. Вариационные классы . \Щ

3.4. Формулировка общей вариационной задачи .»•.•••• 1 6J

§ 4. Существование и свойства минимальных параметризаций и параметризованных мультиварифолдов

4.1. Полунепрерывность обобщенных интеграндов

4.2. Теоремы существования минимальных решений

4.3. Структура множества минимальных решений ».

ГЛАВА У. КРИТЕРИЯ ГЛОБАЛЬНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ .|

§ I. Постановка задачи на функциональном языке потоков

1.1. Понятия глобально минимальных потоков

1.2. Современный анализ классического алгоритма Гюйгенса.

1.3. Выпуклые функционалы и теорема Хана-Банаха

§ 2. Обобщенные формы и их свойства.

§ 3. Условия глобальной минимальности потоков.

3.1. Современные "уравнение" Эйлера и алгоритм

Гюйгенса

3.2. Выпуклый случай .19?

3.3. Случай с интеграндами

§ 4. Глобально минимальные потоки симметричных задач

4.1. Задачи с инвариантными функционалами

4.2. Задачи с ковариантно постоянными лагранжианами .¿О

§ 5. Конкретные примеры глобально минимальных поверхностей

5Л. Минимальные потоки на кэлеровых многообразиях ,.¿

5.2, Минимальные потоки на симметрических пространствах .2.

5.3. Понтрягинские циклы в группах Ли

ПЖПОЖЕНИЕ I. Меры с компактным носителем .2.2.

1. Определение меры

2. Топологии пространства мер

3. Продолжение мер.

4. Индуцированные меры.¿

5. Интегралы от вектор-функций.

6. Произведение мер с компактным носителем

В последние годы роль многомерных задач в глобальном анализе особенно возросла. Многие проблемы прикладного и теоретического характера естественно приводят к задачам минимизации многомерных нелинейных функционалов. Особый интерес представляют функционалы, порожденные различными типами мер (важные примеры - классические функционалы объема). С другой стороны, как известно, с глобально минимальными циклами риманова многообразия тесно связаны многие вопросы его геометрии и топологии. В настоящей работе изучается класс вариационных задач, связанных с так называемыми функционалами типа многомерного объема. Создание в работе нового аналитико-топологического аппарата позволяет разработать подходящий функциональный подход к понятиям "поверхности", "границы", и "минимизации", в результате чего успешно исследуются следующие три основных вопроса; I) доказательство общих теорем существования поверхностей фиксированного топологического типа, минимизирующих данный функционал типа объема в различных классах допустимых вариаций, 2) установление изопериметрических неравенств для класса поверхностей фиксированного топологического типа, 3) обнаружение общих критериев глобальной минимальности поверхностей и разработка эффективных методов нахождения конкретных минимальных поверхностей в римановых многообразиях.

I. Классические постановки задачи Плато и стратифицированные поверхности. Пусть 0% — ги- мерное риманово многообразие, G - некоторое фиксированное с к- 1) -мерное компактное замкнутое подмногообразие в 01% . Под "к - мерной поверхностью с границей Сх "в ЗТ6 мы понимаем образ кусочно гладкого (или просто непрерывного) отображения \А/—> 0Т& некоторого к - мерного компактного многообразия с краем Ш = (5 в ¿Шэ , тождественного на G . При таком подходе классическая задача Плато о минимальных поверхностях с заданной границей может быть сформулирована так

Задача А (задача Плато в классе поверхностей переменного топологического типа). Можно ли среди всевозможных пар , где \Л/ - произвольное к - мерное компактное многообразие с краем С , а (УШ - произвольное кусочно гладкое или непрерывное) отображение, тождественное на <5 » найти такую пару С^о^о) » К0Т0Рая минимизировала бы функционал к -мерного объема (или к - мерный объем пленки-образа ) ?

Задача Б (задача Плато в классе поверхностей фиксированного топологического типа). Пусть V/ - фиксированное к - мерное компактное многообразие с краем . Можно ли среди всех кусочно гладких (или непрерывны) отображений ^: \Л/ —> ¿Шэ , тождественных на в , или в некотором данном гомотопическом классе таких отображений, найти такое отображение, которое минимизировало бы функционал к - мерного объема (или к - мерный объем пленки-образа )?

Интересное наблюдение о том, что мыльная пленка, затягивающая фиксированный проволочный контур, О , является пленкой минимальной площади (т.е. любое возмущение этой пленки увеличивает её площадь), представляет собой физическое доказательство существования решения двумерной задачи Плато для контура в евклидовом пространстве Р3 , а строго математическое обоснование этого факта было получено в работах Радо, Дуглааса и Куранта (см. [14^ - [1б] ) при помощи двумерного функционала Дирихле, тесно связанного с функционалом площади.

Как указал А.Т.Фоменко в £12*2 » ПРИ исследовании задачи Плато в размерностях, больших чем два, возникает непреодолимая в рамках классических методов, использовавших функционал Дирихле, трудность, которая состоит в том, что в процессе стремления к минимальному положению отображение ^ может подвергаться локальным вырождениям, вследствие чего в пленке возникают склейки-охлопывания, вызывающие появление маломерных стратов и это обстоятельство никак не улавливается функционалом Дирихле. Страты немаксимальных размерностей в пленке не влияют на ее к - мерный объем, но играют большую роль в её топологической структуре. В двумерной задаче А такие страты одномерны и могут быть удалены без потери параметризующих свойств пленки. В многомерном же случае избавиться от стратов размерности $< |< вообще невозможно, ввиду наличия чисто топологических препятствий.Далее, если мы рассмотрим задачу Б, то даже в двумерном случае одномерные страты неустранимы. Это легко усмотреть на примере, когда - двумерная о цилиндрическая поверхность в Р с краем G = Б ( и . Если окружности и расположены достаточно далеко друг от друга, то при стремлении к положению с наименьшей площадью пленка

УУ) превращается в затягивающие два диска с соединяющим их отрезком.

Итак, в общем случае в пленке-образе |(\Л/) минимального отображения ^ могут возникать неустранимые маломерные страты. При игнорировании классического понимания параметризованной поверхности можно избавиться от возможных маломерных стратов в пленке-образе путем отбрасывания этих стратов и рассмотрения только страта максимальной размерности. В таком подходе задача Плато может быть сформулирована на языке обычных цепей и гомологий и была решена Федерером, Флемингом и Альмгреном на основе глубоких исследований целочисленных потоков и варифолдов (см. [3] - [бЗ ), а также Райфенбергом и Морри (см. [ 7*] , [38] » [39| ). Однако использование обычных цепей и го-мологий, как видно, намного удалило нас от классической постановки задачи Плато. Действительно, минимальная пленка X » заклеивающая подмногообразие (3 в 0% в смысле обычных цепей и гомологий, может даже не представляться в виде непрерывного образа никакого многообразия с краем \Л/ (см, [9] - [12] ).

Таким образом при рассмотрении задачи Плато в классических постановках мы вообще имеем дело с пленками с неустранимыми маломерными стратами, которые с точки зрения топологии нам нельзя игнорировать в процессе минимизации» Иными словами, в качестве понятия "поверхноети"для этой задачи нам необходимо и естественно рассматривать стратифицированную поверхность (т.е. пленка со стратами разных размерностей), впервые введенную А.Т. Фоменко £9] - [12^ . Пусть 1г обозначает Ь - мерную меру Хаусдорфа в римановом многообразии Э|£> , Ь(х,£) - шар в Оро с центром х и радиусом 6 , - I - мерный объем стандартного I - мерного евклидова шара единичного радиуса. С каждым компактом 3 с: 0Т& связываются функции сферической плотности ^(5; х) = (5 П В(зс -Зе)) * где Х6 0Т& . Пусть к - наименьшее целое число, для которого ^^(^х) г о • Построим стратификацию 5= полагая ^ = { Х€ 5\ ив0 : >0 I.

Если каждое Э1, Я - измеримо ( 0 4 С ^ к ) > то назовем 5 к - мерной стратифицированной поверхностью, в1 - ее Ь - мерным стратом (о < I ^ к ) и набор из к+ I чисел

Кб*,. ^)

- её стратифицированным объемом. Для решения задачи Плато можно было бы минимизировать только к ~ мерный объем пленки 5 =с » который сосредоточен на страте о ; при этом мы сохраняем за маломерными стратами (О ï ^ к-1 ) только их топологические функции. Однако оказывается, что наиболее естественной являетсяодновременная минимизация объемов стратов во всех размерностях, а именно минимизация (h°S° . h^S^) относительно лексикографического упорядочения пространства R + • В таком подходе задача Плато А допускает эквивалентную переформулировку на языке бордизмов и была решена А.Т.Фоменко - [l2] , а именно была доказана теорема существования стратифицированных поверхностей с заданной границей, минимизирующих стратифицированию объем относительно лексикографического упорядочения.

1. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М., ИЛ, 1956.

2. Янг I. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М., "Мир", 1974.

3. Fed 1Л<?л, Н. Geomet^o meousиде- Ш-болл^ . Ъ-tx-ícri} Sp>Uwtftb>i> , Bd. -í£T3 з, 1963.

4. Feck-w Н., F-CenUn^ W, H. Ыоъупа^ cvnci i'ntz^-xatc«*4rcte. Ann. Mcutü., N^-3

5. F. J. Existen«* cmoL^egu-íaVi^ с<€тюst eve-ujw^e^x soCaUorvs to z-UCpúCc, p loi-Смп,jwong vcL+bftCnAj. topo-(¿j<;ca-£ tyfc cmdty stoactau. Anrv. Mett&.j S^f-, .

6. A^Cpm R J. P€cüt¿OjUS Arv tVWl tcctí'orb to valCfoZd i/Uj • N^W York , Be^amirv 1966 .

7. Mc-vw^ ch.B, МаШрСе ¿oie^ta^s <,4 tke, wtéca6asof va^aiiorvs. Вег£лг» Яргепусъ, Bd.130^ .

8. Rcifcn^e^ F. R. soíuctbOYl ©f ijhb P&xJj-ULU fob m-cUw-efus^ayvO'-é su/t faces vcLXyVru? t^p-c . Acta. , |04-, NM (imo), 4 92 '

9. De Gio^i Е. F^rvtie^ o*uz*da£c dx tmsu/bz, YYunim/Xs. Se,wZno/uo oU moctcmcvtCccb SULo-icc No'tmaXe su^^u'ou cti Pt'sct ("f36ol9£{)> ^ •

10. Rado T. Orv p-to-4-Cem of -(xast а-чхь cmd thepof PUi-uwi. £ ¿¿L (¡По),463-646 .

11. Oou^ias, J. So^dton the р-го-б-бе^ ^ P-CaXr^atc. Twis. Am. Mctfft. Soc. j ¿3 (¡331) ,<163 34/1 .

12. Курант P. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, М. ИЛ. 1953.

13. Альбер С.И» Топология функциональных многообразий и вариационное исчисление в целом. Успехи матем.наук, 25, № 4 (1970), 57-123.

14. Е-е-eis J.,Samp sew/ I. Н. Ha/uyion^c ?vtapp<tVuas Ri'ewanHW marvc^o-tds. Am-ел. J. £6 CI9G43 j 403--/SO.19«Фоменко A.T. Периодичность Ботта с точки зрения многомерного функционала Дирихле. Изв.АН СССР, сер.матем., 35, № 3 (1971), 667-681.

15. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М., "Наука", 1967.

16. Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы, числаи связанные с ними группы и пространства. М., "Наука",1969.

17. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства, М.,1959.

18. Уитни X. Геометрическая теория интегрирования. М.,ИЛ, I960.

19. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М., "Мир", 1977.

20. Нарасинхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М., "Мир", 197I.-25626, Srno^c 5, On, t&o Motsc {,'ndeъ bhco-ьеш. J » Mcttfi. Mec^.J4 0365*) , 4049- (05"6 .

21. Semons J. Mtnt"ma€ v/a/ue^tes crv f^ewanm'an ma-r^foUs. Ляп. Matfr., 88 (-W8), fct-iosr .

22. Law sorv Н.Б. Tfte ccjiuVa^cvni P^t-exac p^oi-Cein oavcI iViirc^uo^ . Tuuas. Aw^t. M^cfeftt Soc. , If3 •

23. H* Some t^ec-^vws on- скл-г en&s. Putns. Аф-С^. МлЖ. Soc., .

24. FecUAOb H. f^t c{m¿rvs > со c-£uuVvs ол^сС vet-K¿aytCorux-í p. T^\cUcLnCb UntV. Mcctft,.

25. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремаль*» ных задач. М. "Моск.уюте.", 1970.

26. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голоно-мий. М., ИЛ, I960.

27. Law SOW И. Б. Tfacsta/ê^ ^пьо Íocuj f-CcCt to-bUsS МсОЯ. Seancl. , 36 , HH08JF)j 49-?3 .

28. Хелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М., "Мир", 1964.

29. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. М., ИЛ, 1949.

30. Retfen&e/t^ E.R. Дп ep¿pmwek'e tVie^m&'tc/tb arta^aücttu m/Yurm-C surfaces

31. Ra'fen Ivu^ E. R. On пиыта-в Su^fcicеб . Ann. McU^a. 3 £ 0, 1 С'ЗОД j .

32. Иоффе А.Д., Тихомиров B.M. Расширение вариационных задач. Труды Моск.матем.об-ва, 18;(1968), 187-246.

33. Дынкин Б.Б. Гомологии компактных групп Ли. Успехи матем. наук, 8, № 5 (1953), 73-120.

34. Понтрягин Л.С. ЬЬгпо-боCyv compact Lie ^-госсрэ .Матем. с8.,6 (48) . 1338 } Ь89-4U.

35. Дао Чонг Тхи. Мультиварифолды и классические многомерные задачи Плато, Изв.АН СССР,сер.матем., 44, № 5 (1980), I03I-I065.

36. Дао Чонг Тхи* Мультиварифолды и задачи минимизации функционалов типа многомерного объема. Докл.АН СССР,Z1 б» № 5" (1984), 1042

37. Дао Чонг Тхи» Изопериметрические неравенства для мультивари-фолдов. Изв.АН СССР, сер.матем., 48, № 6 (1984),

38. Дао Чонг Тхи. О минимальных потоках и поверхностях в рима-новых многообразиях. Докл.АН СССР, 233, № I, (1977), 21-22.

39. Дао Чонг Тхи. О минимальных вещественных потоках на компактных римановых многообразиях. Изв . АН СССР, сер.матем., 41, № 4 (1977), 853-867.

40. Дао Чонг Тхи* Многомерная вариационная задача в симметрических пространствах. Функ.анализ и его приложения, 12,I (1978), 72-73.

41. Дао Чонг Тхи. Минимальные поверхности в компактных группах Ли. Успехи матем.наук, 33, № 3 (1978), 163-164.

42. Дао Чонг Тхи. Вещественные минимальные потоки в компактных группах Ли. В кн.: Труды семинара по вект.и тенз.анализу, вып.19, М., Изд-во МГУ, 1979, II2-I29.

43. Дао Чонг Тхи. О стабильности гомологий компактных римано-вых многообразий, Изв.АН СССР, сер, мат ем., 42, № 3 (1978),500.505.

44. Дао Чонг Тхи. Многомерные параметризованные вариационные задачи на римановых многообразиях. В кн.: Применение топологии в современном анализе. Воронеж, Изд-во ВГУ, 1985.

45. Дао Чонг Тхи. Пространства параметризаций и параметризованных мультиварифолдов. В Кн.: Труды семинара по вект. и тенз.анализу, вып.22, М., Изд-во МГУ, 1985.

46. Дао Чонг Тхи. Алгебраические вопросы реализации циклов в симметрических пространствах. Вестн.Моск.Унив., мех.мат., № 2 (1976), 62-66.

47. Da о Trong Tbi . Tsopc^ wet-tcc, Cntyixa-itttes mxitivaAtfo&ls . Acta Matfi. VieWica,(№0,85-94.

48. Dao Trong Thi. G-Co-Ga-^ гги'пС/па/ си-ьгвуфв а/пД Subfaeis in RiCmanriCcw marufo-Cds С ^0 <Xj>f>-Wc ) .

49. Дао Чонг Тхи. О глобально минимальных потоках и поверхностях на римановых многообразиях. Вестн«Ханойского унив., мат.-мех., №№ 7-9 (1979) (на вьетнамском языке).

50. Дао Чонг Тхи. Теория »мультиварифолдов и классическая многомерная задача Плато. Вестн.Ханойского унив., мат.няах., № 1« (1979) (на вьетнамском языке).

51. Дао Чонг Тхи. Критерии глобальной минимальности потоковде Рама. Тезисы докладов всевьетнамской конференции по алгебре и геометрии г.Хуэ, 1982 (на вьетнамском языке).

52. Дао Чонг Тхи. Касательное распределение мультиварифолда. Тезисы докладов всевьетнамской конференции по алгебре и геометрии. г.Хуэ, 1982 (на вьетнамском языке).

53. Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Топология абсолютных минимумов функционалов типа объема и функционала Дирихле( ft печати).