Напряженно-деформированное состояние оболочечных конструкций, выполненных из материалов с усложненными механическими свойствами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Теличко Виктор Григорьевич

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ, ВЫПОЛНЕННЫХ ИЗ МАТЕРИАЛОВ С УСЛОЖНЕННЫМИ МЕХАНИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

Специальность 0102 04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула-2006

Работа выполнена на кафедре «Строительство, строительные материалы и конструкции» в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель

Официальные оппоненты.

Ведущая организация'

д.т.н., профессор

Трещев Александр Анатольевич

д.т.н, профессор Гаврюшин Сергей Сергеевич

д.т.н, профессор

Архипов Игорь Константинович

Тверской государственный технический университет

Защита состоится 17 мая 2006 г. в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет», 12-й учебный корпус, аудитория 303, по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Автореферат разослан 14 апреля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время многую пространственные элементы строительных конструкций и детали машин изготавливаются как из традиционных, так и из новых материалов, механические характеристики которых зависят от вода напряженного состояния К таким материалам относятся бетоны, керамика, чугуны, некоторые марки конструкционных графитов полимеры, композиты Упомянутая зависимость проявляется в значениях пределов прочности, мгновенных упругопластиче-ских характеристик, скоростей деформаций и продолжительности работы материала до разрушения при ползучести.

Зависимость деформационных характеристик от вида напряженного состояния для таких материалов достаточно сложна и не сводится только к различающемуся поведению при одноосных растяжении и сжатии Так, экспериментально установлено, что жесткость большинства разносопротивляющихся материалов может зависеть не только от знаков возникающих напряжений, но и от их относительных значений Классические теории, базирующиеся на существовании однозначной зависимости между напряжениями и деформациями, очевидно, не могут описать подобные особенное™.

Анализ экспериментальных данных показывает, что зависимость механических характеристик многих материалов от вида напряженного состояния в большей мере проявляется при достаточно высоком уровне напряжений в нелинейной области деформирования В этом случае наиболее чувствительными к виду напряженного состояния оказываются характеристики пластичности и прочности

Несмотря на сравнительно большое число предложенных моделей определяющих соотношений сред, чувствительных к виду напряженного состояния, прикладные исследования эффектов, вызванных разносопротивляемостью материалов конструкций, сдерживаются недостаточным для решения данного класса задач развитием численных методов, а также недостаточной ориентацией известных моделей механики разносопротивляющихся сред на их дальнейшее использование в приложениях

Разносопротивляющиеся материалы широко используются для изготовления элементов строительных пространственных конструкций, таких как цилиндрические оболочки различных видов, оболочки положительной гауссовой кривизны, толстые диски, плиты средней толщины Причем конструкции могут быть как однородными, так и неоднородными. К числу последних относятся пространственные железобетонные конструкции, расчет которых осложняется наличием трещин в бетоне и развитием пластических деформаций в арматуре.

Таким образом, можно констатировать, что учет явления разносопротивляемости материалов а также трещинообразования и пластических деформаций в арматуре при определении напряженно-деформированного состояния (НДС) строительных оболочечных конструкций является актуальной задачей, как в научном, так и в прикладном плане

Целью представленной работы является построение уравнений метода конечных элементов для учета НДС армированных пространственных оболочечных конструкций, составленных из материалов с усложненными свойствами, зависящими от вида напряженного состояния, с учетом треши-нообразования, деформаций поперечного сдвига, пластических деформаций в арматуре Построение проводится в рамках подхода, связанного с нормированными пространствами напряжений.

Для иллюстрации работы разрабатываемого подхода выполнено решение ряда прикладных га-дач упругопластического деформирования железобетонных и графитовых цилиндрических оболочеь и оболочек положительной гауссовой кривизны, опертых на фермы.

Новые научные результаты, которые выносятся на защиту

1) матрица жесткости плоского треугольного гибридного конечного элемента с компонентами, учитывающими вид напряженного состояния;

2) математическая модель многослойного конечного элемента для определения НДС пространственных оболочечных конструкций, с учетом продольных усилий и поперечных сдвигов, имеющая возможность учета работы анизотропных материалов;

3) вариант алгоритма пошагово-итерационного метода решения задачи определения НДС пространственных конструкций с учетом физической нелинейности работы материала и его программная реализация, _____

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Потерб)рг

4 * •« v

4) результаты расчетов, показывающие новые количественные эффекты НДС армированных оболочечных конструкций из разносолротивляющихся материалов с учетом трещинообразования, деформаций поперечного сдвига и пластических деформаций в арматуре

Достоверность представленных научных положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов строгими математическими методами, основанными на фундаментальных положениях механики деформируемого твердого тела, решением тестовых задач, хорошим соответствием полученных результатов имеющимся экспериментальным данным, сравнением расчетных данных с результатами исследований на основе иных подходов

Практическая ценность работы, выполненной в рамках госбюджетной НИР № 19 01 «Актуальные проблемы технологии строительных материалов и проектирования конструкций», заключается в построении моделей анализа НДС пространственных оболочечных конструкций, выполненных из материалов, поведение которых не описывается классическими теориями Данные модели могут быть использованы как для проектных, так и для проверочных расчетов конструкций с разными уровнями точности. Разработано, в достаточной мере универсальное, профаммное обеспечение позволяющее автоматизировать проведение указанных расчетов

Внедрение результатов работы осуществлено на ОАО «Институт «Тульский Промстройп-роект», и в государственном проектноконструкторском и исследовательском предприятии «Стройэкс-пертиза». Использование результатов работы подтверждено актами о внедрении.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались

- на II Всероссийской научно-технической конференции "Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии" (г. Тула, ТулГУ, 2001 г.);

- на международной научно-технической конференции «Эффективные строительные конструкции: теория и практика» (г Пенза, ПГАСА, 2002 г);

- на III Всероссийской научно-технической конференции "Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии" (г Тула, ТулГУ, 2002 г.);

- на международном студенческом форуме «Образование, наука, производство» (г. Белгород, БелГТАСМ, 2002 г.);

- на 1-ой международной конференции по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики "Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики" (г Тула, ТулГУ, 2003г.);

- на IV Всероссийской на^но-технической конференции "Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии" (г. Тула, ТулГУ, 2003 г);

- на международной научной конференции «Современные проблемы, математики, механики, информатики» (г Тула, ТулГУ, 2003 г);

- на XXXII Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы современного строительства» (г. Пенза, ПГАСА, 2003 г.).

- на V Всероссийской научно-технической конференции "Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии" (г. Тула, ТулГУ, 2004 г);

- на международной научной конференции «Современные проблемы, математики, механики, информатики» (г. Тула, ТулГУ, 2004 г.),

- на 57-ой международной научно-технической конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современного строительства» (г. Санкт-Петербург, СПбГАСУ, 2004 г.),

- на II международной научно-технической конференции «Механика пластического формоизменения. Технологии и оборудование обработки материалов давлением» (г Тула, ТулГУ, 2004 г.);

- на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, СамГТУ, 20Q4 г.);

- на 2-ой международной конференции по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики "Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики" (г. Тула, ТулГУ, 2005г.);

- на международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г. Воронеж, ВГУ, 2005 г.)

- на VI Всероссийской научно-технической конференции "Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии" (г. Тула, ТулГУ, 2005 г.),

- диссертация в целом была доложена на семинаре по МДТТ им. Л А. Тол конникова под руководством д.ф-м н. А А. Маркина (г. Тула, ТулГУ, апрель 2006 г.),

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 28 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения списка литературы, включающего 176 наименований, приложений и содержит 105 рисунков, 5 таблиц Общий объем работы 238 страниц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, приводится описание от дельных ее глав, дается характеристика научной новизны, достоверности и ее практической ценности В первом разделе дается обзор экспериментальных исследований по упруго-пластическому деформированию изотропных разносопротивляющихся материалов различной структуры, проведен анализ основных направлений в моделировании нелинейных свойств материалов с усложненными свойствами, проявляющиеся в зависимости от напряженного состояния Кроме того, приводится обзор метода конечных элементов (МКЭ), применяемого при моделировании НДС пространственных оболо-чечных конструкций

По общим признакам выделены три группы моделей определяющих соотношений Первую группу составляют модели, в основу которых положена зависимость механических характеристик материала от знаков возникающих напряжений или развивающихся деформаций. В рамках данной группы рассмотрены определяющие соотношения, предложенные С ААмбарцумяном, Р М Джонсом П Н.Ельчаниновым, М И Климовым, А.Ф.Макеевым, Д.А.Р. Нельсоном, И.Г.Овчинниковым, В.В Петровым, Б.В.Пономаревым, Г.С Шапиро, Бригадирова Г В., Матченко Н М J.N. Reddy, Tabaddor F., Bert С W. и другими

Вторая группа моделей определяет жесткость материалов непрерывными функциями, завися щими от вида напряженного состояния, и базируется на работах В.Н.Барабанова, А.В.Березина, ДАГаврилова, ААЗолочевского, Е ВЛомакина, В.А.Ляховского, Н М Матченко, О К.Морачковского ВПМясникова, А И Олейникова, В М Панферова, Ю Ю Подладчикова, Ю Н.Работновым СНСкпепсуса, В.И Строкова, НГТамурова, ЛАТолоконникова, Г.В.Туровцева, Ю И Цвелодуба, M.E.Tasuji, F.O.SIate, A.H.Nilson и других В качестве таких функций авторы использовали в основном фазовые инварианты, отношения средних напряжений к интенсивности напряжений или различные отношения инвариантов напряжений или деформаций

Модели соотношений третьей группы строятся посредством учета взаимного влияния измене ния объема и формоизменения при помощи специфического представления деформаций разрыхления как части полных деформаций или формулировкой дилатационных зависимостей Уравнения этой группы получены в теоретических и экспериментальных исследованиях К.ААгахи, Д.Л.Быкова, С.С.Вялова, Б И.Ковальчука, А И.Козачевского, В.И.Кудашова, В.Н.Кузнецова, Х.Купфера, М Я Леонова, ВАПаняева, К Н Русинко, В.П.Устинова и других.

Рассмотрены также известные основы теории деформирования железобетона с трещинами при сложных видах напряженного состоянии. В этом направлении особо подчеркнута роль работ ГАГе-ниева, Н.И.Карпенко, В Н.Кисскж, В И Мурашева, ГА Тюпина, Мурашкина Г.В, Голышев А.Б. ид.р.

Отмечено, что большинство известных определяющих соотношений для разносопротивляющихся материалов имеют ряд недостатков, не учитывающих важных особенностей их деформирования

В обзоре формулировок метода конечных элементов приведены материалы по его развитию, дана классификация формулировок, отмечены их достоинства и недостатки для целей данного исследования.

По способу формулировки основных уравнений МКЭ или уравнений для отдельных конечных элементов различают четыре основных вида МКЭ' прямой метод, вариационный, метод резидуума (взвешенных невязок) и метод энергетического баланса.

Анализ особенностей каждого подхода для сформулированной цели исследования показал, что особенный интерес представляет использование гибридных конечных элементов, базирующихся на модифицированной гибридной вариационной формулировке для сопряженного гибридного потенциала, как показано в работах Р Töng, ТТН Pian, R D Cook. В этом случае справедливы следующие соображения общего характера В классе всех допустимых напряжений и перемещений сопряженный гибридный функционал принимает стационарное значение на действительном решении задачи, и это решение является единственным. Напряжения считаются допустимыми в случае, если они в каждом

элементе Iнепрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условиям равновесия Функции перемещений являются допустимыми, если на границах элемента они непрерывны и удовлетворяют заданным кинематическим условиям Модифицированная вариационная формулировка позволяет прелым способом учесть объемные силы и начальные деформации и сформулировать выводы о сходимости

И поскольку ложные деформации сдвига отсутствуют вследствие самой структуры матрицы жесткости гибридных конечных элементов, они оказываются более предпочтительными, несмотря на их сложность. Кроме того, как показали численные тесты, гибридные элементы обладают более высокой точностью, чем изопараметрические при моделировании изгиба плит, пластин и оболочек Вопрос 3tov подробно освещен в работах К J Bathe, L W. Но, M Секуловича, А.С Сахарова, С.С Гаврюшина А И Голованова, Бережнова Д В и др

Во втором разделе рассматривается пространство нормированных напряжений, связанное с ошаэдрическими площадками и с главными осями тензора В рамках теории Л А Толоконникова, Н М.Матченко, А.А.Трещева, рассмотрены подходы к построению определяющих соотношений для материалов с усложненными свойствами, анализируются три типа потенциала деформаций

(1)

W, =(4 + B¿)<t2+( Ct + D¿ + ЕЛу +[{Ар + B¿y + (cp + D¿+ ЕрПу]" ; (2)

Щ = АУ + С\т2 +[(с, + D¿ + ЕрПу]" (3)

где а = 5t]<JtJ /3, г = VsА /3 ¡ s<, Í = Cosy = a/50; п = Sin? = r/S0,

■V, = sI(t2 + t2 , Со.чЗср = -Jl det(5y) / r3; S:J - символы Кронекера; В* Ce, De, EU, Ap, Bp, Cp, Dp, Ер, n- константы, подлежащие экспериментальному определению.

Потенциал ИЛ (1) принят в соответствии с общей теорией деформирования разносопротивляю-щихся материалов Матченко-Трещева При получении упрощенных форм потенциалов и W6 принимались предположения о том, что фаза подобия девиаторов для широкого класса разносопротивляющихся материалов близка к нулю (а «1), а также, что некоторых разносопротив-ляющиеся материалы имеют единый начальный линейный участок на диаграмме деформирования Подобные упрощения подробно обсуждались в работах Трещева А А и Ковалева Д Г

Рассмотрены условия пропорциональной разгрузки Начало развития пластических деформации определялось известными условиями В частности, для чугуна принято условие Друккера-Прагера, для графита - обобщенный критерий пластичности, для бетона - условие П П Баландина Проанализированы принципы определения констант потенциалов деформаций Wi, W?, W3 с учетом выполнения постулата устойчивости в и единственности решения краевой задачи. Соответствующие потенциалам (1), (2), (3) формы зависимости между деформациями и напряжениями при активном на-гружении имеют вид'

ev =2C1<xi;/3 + 2(4-Cl)a<5v/3 + 7¿ (4)

где Т - нелинейные составляющие, которые для различных потенциалов имеет различную форму (7 =Гч(ч/.(р,сг1) для потенциала Wi, Тц для Щ и Щ.

Отмечено, что зависимости (4), соответствующие потенциалу Wi, в отличие от и И6, имеют тензорно-нелинейную форму. Обращение линейных членов в уравнениях (4) приводит к зависимостям ov=2G{e,rTt) + U(e-T)S, (5)

где 2G = 3/(2Cf); Á = (Ce- Aí)/(2AeCi) ; 3Г = ?;/„; =

Рассмотрены общие законы деформирования изотропных материалов с усложненными свойствами, вытекающие из потенциалов деформаций Wi, IV?, Щ которые для Wi имеют вид'

а) закон изменения объема

e = tr/(3K0) + T/(3D0), (6)

б) закон изменения формы

в) фазовая характеристика

Що) = ЗЛ^п Ъ(р/[Зг}1(2С0) + 4/О0 ], (Ч)

а для И/г, №з (при со = 0) -

а) е = <т/(ЗКп) + г/(ЗО0), (3)

б) э = г/(2С„) + а/(ЗД,), (10) где С0, О, - соответственно обобщенные модули объемных деформаций, формоизменения (сдвига) и дилатации, которые для потенциалов И/г, Щ и И6 имеют различную форму В частности, для потенциала Щ

Ки =1/(24, + ВД2 + Г]1)- Е^СовЪр+пЩ, + 5/)<т2 + +(СЯ + О/ + Еу/Со^г2]""1^ + ВД2 + г]2) -2С^Ъ!{{20с-Вс)? + 2Се + ЕЛСо$Ъ<р(2 + ?) + п[{Ар+ Вр4)стг +

+(С„ + + ЕрпС05Ъ<р)т2Г[{20р - Вр)? + 2С + ЕрГ1Со*Ъ<р(2 + £2)]}; Я0 = 1 /{£> ^ + п[(Ар + Вр£)сг2 + (С, + ЯД + ¿лСо^г2]" 1 О^У, Я = Ее +пЕр[{Ар + Я/)<х2 +(Ср + +

Установлено, что основные законы деформирования (6), (7), (8), (9), (10) описывают дил.э-тацию и учитывают влияние средних напряжений на формоизменение деформируемого тела при пропорциональном нагружении Влияние средних напряжений таково, что под действием одного гидростатического давления изменение формы не происходит, Наличие подобных свойств у материалов с усложненными свойствами подтверждалось в ряде теоретических и экспериментальных исследований.

В работе было проведено сравнение уравнений состояния (4), вытекающих из потенциалов деформаций IV/, И/? и И6 с результатами известных экспериментальных исследований по упругопласти-ческому деформированию ряда изотропных материалов с усложненными свойствами (рассмотрены конструкционные графиты АРВ и ВПП, чугун СЧ15-32, тяжелые бетоны) Показано, что потенциал И/; достаточно точно описывает деформирование всех рассмотренных в работе материалов Потенциал не соответствует экспериментальным данным по деформированию указанных материалов при сложных видах напряженного состояния. Потенциал №? так же, как и М, с большой степенью точности описывает деформирование чугуна и графитов, но применительно к тяжелому бетону погрешность теоретических диаграмм деформирования, соответствующих Щ увеличивается и при отдельных сложных видах напряженного состояния достигает 16,6%.

Поэтому, в свете вышеизложенного, несмотря на очевидные упрощения уравнений состояния, вытекающие из потенциалов Щ и И6, для непосредственного использования для решения приклаа-ных задач приняты наиболее универсальные зависимости для И/» (1).

В третьем разделе в рамках общей теории оболочек на основе выбранных определяющих соотношений построена модель плоского треугольного конечного элемента произвольной формы с 5 степенями свободы в узле, учитывающая продольные усилия и деформации поперечного сдвига

Поскольку срединная поверхность оболочки обладает определенной кривизной, то, естественно, что дискретизацию оболочки проводят обычно с помощью криволинейных конечных элементсв Однако, во многих случаях можно применить плоские конечные элементы, благодаря чему можно добиться существенного упрощения модели при хорошей точности получаемых результатов Срединная поверхность обычно аппроксимируется системой плоских конечных элементов треугольных или четырехугольных форм Элементы треугольной формы подходят больше, поскольку они лучше аппрсс-симируют кривую поверхность Неизбежные ошибки аппроксимации геометрии конструкции лег<о устранимы путем уменьшения размера КЭ в дискретизации конструкции до необходимого и приемлемого уровня, причем это не приводит к существенному увеличению временных затрат при использовании современных базовых аппаратных конфигураций персональных ЭВМ

Была разработана модификация гибридных КЭ с пятью степенями свободы в узле и матрицей жесткости, полученной непосредственно для плоского треугольного элемента произвольной формы.

Основные уравнения и зависимости

Перемещения точки поверхности оболочки, отстоящей на расстоянии 31 < к / 2 от срединной поверхности, вычисляются по формулам

И,(х{,х2,х3) = и\х^х^ + х^х^х,); С/2(х„х2,х3) = иг(х{,х^-х^х^)^

и,(хгх2,х,) = м'(х1,х2); Связь мемеду деформациями и перемещениями представляется соотношениями

е„ = «,, +х,Ц/2/, е22 = и21-х3^х2\ е}3=0;

(11)

+ УС,

Уравнения равновесия

И„+ ММЛ = <2{> МП I + М22,2 = & би + 2 = <7-

Зависимость менаду напряжениями и деформациями (ст33 пренебрежимо малы)

И=№Ь

Усилия

Л/2 А/2 А/2

мч = (о'м^з; (<г,I т^сЬс,, (/,у' = 1,2)

(12)

(13)

(14)

(15)

Связь между вектором обобщенных сил и вектором обобщенных деформаций срединной поверхности:

М =

мп '»и А. *.4

м22 о* о» К» *25 ^26 "^1.2

мп А* Кы Уг.2-Ч>х

0 й •; [0} = С14 Са ^24 С« У» У 23

Бт С„ С, 2 с16 "и

^22 С26 "2.2

.V с* «12+"2.

(16)

nl¿ П!I П'I

С1т = | Выс1х3; К^ = \ Выхзах3, йы = | Вых\йху

(17)

интефальныежесткостные характеристики С^,, Ккп, Окт не могут быть получены непосредственно, так как параметры Вы не являются наперед заданными функциями отдг3, и зависят от напряженного состояния.

Вывод матрицы жесткости конечного элемента

Внутри конечного элемента вектор обобщенных сил представим следующим образом.

{М} =[/>]{/?} (18)

где [я] - матрица некоторых функций от координат точки элемента;[р}~ вектор коэффициентов, подлежащих определению.

Вектор обобщенных деформаций представим в виде

п

{e}=[D]"\M}=[E]{M} (1М

где [а] = [о] - матрица податливости, [о] - матрица жесткостных характеристик, получаемая интефированием по толщине матриц упругости материала для различных слоев. Энергию деформации для объема конечного элемента определим как интеграл по его площади

(2Ш

¿ s

Р. Tong и Т.Т.Н Pian показали, что конечные элементы данного класса основаны на функционале

вида

г \

и*~ jw'w^+fWw^ • (2' i

s

где !'„ - фаница объема элемента; S - часть Vn, подвергнутая действию внешнего вектора сип |Ф|; п-количество элементов, {?} - фаничные перемещения, связанные с узловыми перемещн-ниями {q\ выражением

{'}=№! (2-) Вектор сил на границе элемента {Ф} определяется из уравнения (21)-

{ф} = [/?]{/*} (2:« где [Л] - матрица [я] для контура Vn элемента.

Подставляя выражения (18), (20), (22), (23) в уравнение (21), получаем

где

s у„ s

Определяя вариации функционала (24) по параметрам {ß}, {<7} и приравнивая эти вариации нулю, можно получить выражение вида:

1И>Г№}=2>»}> т

л л

откуда выделяется матрица жесткости элемента

[*№]>№]• егч

При опредепении вариации функционала (24) по коэффициентам {/?} устанавливается свя:-ь этих коэффициентов с узловыми перемещениями'

{ß\=["]"№}■ <aei

Подставляя (28) в соотношения (18), приходим к зависимостям вида

{м }=И["Г№}- (?«

Таким образом, вектор обобщенных сил {М) определен. Представим {М} через неизвестные коэффициенты {/?} в виде: Mn = ßi+ßixt+ß4x2; M22=ß2 + ß<x2 + ßMx,-,Ml2=ß3 + ßt2x, +ßux2, Qi=ßi+ßn-,Q1=ß,+ßl2; Nn=ßi>-,N22=ß1; Nl2=ßt. На основании уравнения (18) получаем матрицу [/>] функций Mu...Nl2 от координат точки элемента. Вектор ß при этом имеет вид-

{,ß} = (ß, ß2 ß, ßt ß, ß6 ßn ßx ß, ßl0ß„ßa}T (30

Подставляя матрицу [р] в соотношение (25) получим выражения для элементов квадратной матрицы двенадцатого порядка [//]

Запишем выражение работы вектора обобщенных сил { Л-/ { вдоль контура конечного элемента, а затем выделим из этого выражения векторы \ р\' и [q ], тогда то, что останется (см уравнение (24)) окажется матрицей ['/']

Из условия равновесия треугольного элемента срединной поверхности с вершинами /, j, к вытекают следующие равенства'

+ Ma=-M11Sll-MaCt;N}l = NllC4 + \llSll;

Ы22 = NUS„ + 2С„; 0 = Qfn + Q2s4, Сч = cos<рц; = sin<рц. С учетом зависимостей (32), определим работу распределенных вдоль стороны / - j сил и моментов следующим образом:

Ац = L„ Jf[(ac,(+qj4)w-{mj:v + А/гЛЬ+КЛ* +

(i (33)

+зд)«,+(ад + ыас„)иг№,

где 4 = 111<„ - безразмерная координата, измеряемая вдоль стороны конечного элемента / - j

Работа усилий и моментов, совершаемая на соответствующих перемещениях вдоль всего контура треугольного КЭ, определяется суммой

А = А12 + А23+А3, (34)

Зададим вектор перемещений в i -ом узле конечного элемента

{<?,} = {*<, Vi, "i, "2,} ={<7,i Я а Я „ Я,а <7,5} • (35)

Вектор узловых перемещений всего КЭ можно представить так:

{<?} = {<7i Я2 Яг ■■■ Ям\ • (36)

Аппроксимацию граничных перемещений в зависимости от узловых перемещений примем в следующей форме

V, = [0 V,,}; V, = [(l-i) <37)

где в, = ^„с„ +у/2Д,; 0, = <i/|;c„ LtJ -длинастороны /-у .

Представим текущие координаты х., х, на стороне /- j через координаты узлов в виде

= - ¿(А,; ^2 = + 1Лс„; (38)

Подставляя зависимости (30), (33), (37), (38) в уравнение (34), учитывая при этом (36) и выделяя векторы \р\'. \q\, получим выражения для элементов матрицы [Г] размера12х15

В соответствии с порядком матрицы [#] будем обозначать разработанную модификацию гибридного конечного элемента как //12, в отличие от вариантов Р. Кука Н5, // 9

Оценка сходимости разработанной конечно-элементной модели

Сходимость модификации /Л 2 исследовалась относительно классической теории изгиба тонких пластин и оболочек Рассчитывались однослойные квадратные пластины из линейно-упругого изотропного материала

Рис 1 иллюстрируют сходимость рассматриваемого варианта метода конечных элементов для Н12 (сплошные линии) в зависимости от сетки конечных элементов V (V у V) Штриховыми ли-

ниями показаны графики сходимости модификации конечных элементов Р Кука в модификации 119 и штрихпунктирными линиями - модификации //12 без учета деформаций в срединной плоскости пластины.

1, }

I )

С, -б

я ^

с *_

> г

/

м, /ЛЛ

а) б)

Рис 1 Сходимость решения для квадратной жвсткозащемленной по контуру пластины а-по максимапьньм прогибам в середине пластины, б-по максимапьньм моментам в середине жесткозащемленного края пластины

На рис. 1 через и'0, Ма обозначены расчетные характеристики, соответствующие точному решению, а через иЛ/, - полученные методом конечных элементов в модификациях И12 и //9.

В четвертом разделе строится математичесхая модель для определения НДС оболочечных конструкций с учетом разносопротивляемости бетона, трещинообразования, пластических деформаций в арматуре Приводится алгоритм решения задачи. Приведены результаты расчета некоторых конструкций представляющих особый интерес для исследования

Очевидно, что математическая модель определения НДС железобетонных оболочек должна достаточно точно учитывать специфические особенности взаимодействия сложной среды «бетон-арматура» на различных стадиях работы композита, быть вполне обозримой и практически реализуемой, т е модель не может быть полностью свободной от дополнительных технических гипотез. Задачу определения НДС железобетонных оболочек будем рассматривать в условиях активной деформации и простого нагружения, что позволяет представить бетон как нелинейный материал с присущими ему упругопластичесхими свойствами, вполне укладывающимися в «рамки» потенциала деформаций ^. Рассматривалась непродолжительные нагружения: поэтому деформации ползучести бетона не учитывались.

Рассмотрим оболочки, размеры которых в плане велики по сравнению со средним расстоянием между арматурными стержнями Такой выбор конструкции позволяет пренебречь местными напряжениями в зоне контакта арматуры и бетона, а значит - распределить арматуру, представив ее в виде сплошного слоя, обладающего свойствами структурной анизотропии В качестве модели для стальной арматуры примем идеальное упругопластическое тело Предположим, что арматура воспринимает только нормальные напряжения в поперечных сечениях, а ее коэффициенты Пуассона примем равными нулю Обнуление коэффициентов поперечной деформации заметно упрощает зависимости методу напряжениями и деформациями, тогда как погрешность с введением этого допущения лежит в пределах точности исходных данных Напряжения в пределах армированных слоев оболочки определим как сумму напряжений в бетоне и арматуре, а за условие совместности бетона и арматуры примем равенство деформаций этих двух сред, Срединную поверхность оболочки представим сетью гибридных конечных элементов модификации Н12, с учетом разбиения по толщине на ряд фиктивных слоев п, Жесткостные характеристики, рассчитанные для центра фиктивного слоя данного конечного элемента, распространим на любые точки фиктивного слоя За критерий трещинообразования бетона в каждом фиктивном слое примем критерий Баландина Предполагая, что трещины нормальны к срединной поверхности оболочки в точке трещинообразования, будем рассчитывать главные напряжения по формулам плоского напряженного состояния Трещины в области треснувшего

фиктивного слоя будем считать сквозными и параллельными друг другу Так как на участке между трещинами сцепление между арматурой и бетоном сохраняется, та влияние растянутого бетона учтем при помощи коэффициента Мурашева, который представляет собой отношение средней деформации меиаду трещинами к максимальной деформации арматуры в трещине. При наличии трещин бетон моделируем трансверсально-изотропным телом с плосхостью изотропии, параллельной плоскости трещин В зависимости от конкретных условий НДС фиктивных слоев выделим следующие группы: а) бетонные слои без трещин; б) армированные (железобетонные слои) без трещин; в) бетонные слои с трещинами; г) армированные (железобетонные слои) с трещинами; д) армированные (железобетонные слои) с пересекающимися трещинами.

Моделирование фиктивных слоев

Бетонные спои без трещин. Продифференцировав по компонентам тензора напряжений потенциал деформаций Щ (1) и выделив из полученного выражения матрицу связи деформаций и напряжений получим:

И=ИМ. (39)

где [А] симметричная квадратная матрица размером 5x5, так как при расчете оболочечных конструкций можно пренебречь напряжениями аг1 Матрица упругости [Д] для каждого из неармированных бетонных слоев конечного элемента может быть выражена через матрицу податливостей:

[В] = И"'. (40)

Армированные (железобетонные) слои. В силу принятых выше гипотез представим напряжения в железобетонном слое как сумму напряжений в бетоне и арматуре и получим матрицу упругости для армированных слоев:

[в] = [<+[>] (41)

где Вхп = Е3ци; В,п = £>22;

ООО" ООО ООО; О О

о

Е^ -модуль упругости материала арматуры; /ли = А^ /5/И ^ , /ли = Аг1 /5,22 -коэффициенты армирования в направлении осей х1 и х2 соответственно; - площадь сечения арматурного стержня; 5(1|, 5,22 - шаг стержней, параллельных соответственно осям х, и х2; -суммарная толщина армированных слоев Заметим, что компоненты матрицы [а]'1 в выражении (41) определяются по формулам, в которых вместо напряжений оч должны фигурировать напряжения аВц -напряжения в бетоне.

Бетонный спой с трещиной. Считаем, что трещины будут образовываться, если выполняется условие:

У+ст;2 + 3-(г,2, +г123)-(а11<т22)-(/?„ + а22)-Кы^> 0 (42)

где с11,сг22,г]2,г1з,г-2з - напряжения в бетоне в момент трещинообразования, рассчитанные для центра фиктивного слоя. Здесь , - предел прочности бетона при осевом растяжении и сжатии, соответственно.

Будем считать, что с появлением трещины неармированный бетонный слой в области данного конечного элемента перестает работать, т.е. примем

[в] = 0. (43)

Железобетонный слой с трещиной. В качестве критерия трещинообразования примем условие

Вш О

Вгт,

+ о"„

+ г :, + г.

где <тт -напряжения в бетоне железобетонного слоя

Направление развития трещин можно определить величиной угла между нормалью к трещине и осью х, Х\ = ««■/£[(ст,, ~ о"«! 1) / 1 ■ гДе о-,, - наибольшие из главных растягивающих напряжений в бетоне. Заметим, что при возникновении параллельных друг другу трещин в области армированного слоя данного конечного элемента начально-изотропный бетон приобретает свойства ортотропии. В связи с этим утрачивается приемлемость потенциальных определяющих соотношений, ориентированных на нелинейный, разносопротивляющийся изотропный материал Поэтому для треснувшего в армированных слоях бетона проведем некоторое изменение модели, заключающееся в следующем Будем считать справедливой приемлемость потенциальных отношений только для направлений вдоль трещин, где не нарушена целостность бетона В указанном направлении физически нелинейные свойства бетона будем аппроксимировать секущим модулем упругости Е„ и секущим

коэффициентом поперечных деформаций ув, определяемых из уравнения

4 = А\г<*'вп + ^22°"»22 = (СТв22 ~ "в^'ви)1 ев • (45)

те Ен = I / А'и; у„ = -л'2/ Л'п.г№ Л'п, Л': - компоненты матрицы податливостей, рассчитываемые по формулам для бетонного слоя, в которых напряжения <тп и а22 необходимо заменить на <т'1П, <т'„12 соответственно; -напряжения в бетоне, рассчитанные в ортогональной системе координат Х\ОХ'2, повернутой относительно исходной системы Х1ОХ2 на угол

С учетом изложенного, зависимости между деформациями и напряжениями в повернутой системе координат представим в виде:

Ю=[/]К}> (46)

где

е'п 4 0 0 0 "

4 0 0 0 авгг

У12 •;М = 4е 0 0 ; М- ТВ\1

у[3 < 0

/к 4 ,твп

и=

А'и =1/(£««); Л;2=-1>в/Ев; А'22=\/Ев;А'м = ^ = 2(1 + ^в)/(Евсо); 4 = 2(1 + у)/Ев. где модуль деформации бетона определим величиной Евсо (о - функция, характеризующая степень разрушения бетона 0 < а < 1).

Тогда, выполнив преобразование координат из системы Х[ОХ'2 в исходную, получим матрицу податливостей для треснувшего бетона ].

Очевидно, что матрица упругости для арматуры треснувшего железобетонного слоя в исходной системе координат X, ОХ2 имеет вид

М-

О 5/т

ООО ООО ООО О О О

где £М]. - секущие модули деформаций материала арматуры вдоль осей А",, Х2

Матрицу упругости железобетонного слоя представим в виде

[яИ^+КН^Нл'Т1- w

Для того, чтобы уравнение (48) было замкнутым, необходимо задать функцию поврежденности со. Эту функцию определим через коэффициент В И Мурашева <//,,, учитывающий работу растянутого бетона на участках между трещинами

=£„/(£,«+£„), (49)

где £„ - модуль упругости арматуры в направлении вдоль нормали к трещине,

= £sn^u eos4 + LS22m21 sin4 Zr (50)

Решая совместно уравнения (49) и (50) относительно ю, получим

°> = {Es\\Mu<x>s4Х\ + EsuMu-')/£а (51)

Для вычисления коэффициента воспользуемся эмпиричеаой формулой из работы Гениева Г.А., Киссюк В Н. и Тюпина ГА

^s = l-0JRJ<r'u, (52)

в которой подразумевается, что

аш=0ЛЯы, (53)

где о'и, <t'su - нормальные напряжения в железобетоне и бетоне на площадках, совпадающих с трещиной.

Расписав уравнение (53) с учетом правил преобразования координат напряжений <тВ(/ получим нелинейное уравнение относительно ш.

(ясЯ||е„ + Вс„ие12 + Blmy tl)cos2 +

+ BC2(J,2) sin2*,* (54)

+ {В'в\(,еП +S82be26 + ^«.r« )s¡n = 0,.

Решение этого уравнения строится в рамках метода последовательных приближений По рассчитываемой функции го и параметру y/s определяются матрица [л' ] и компоненты матрицы упругости [А].

Железобетонные слои с пересекающимися трещинами Очевидно, что для железобетонных конечных элементов с трещинами при увеличении нагрузки происходит более интенсивный рост главных напряжений в направлениях вдоль трещин, где не нарушена сплошность бетона В общем случае теоретически эти напряжения могут оказаться растягивающими После образования первичных трещин и выполнения связанного с этим процессом ограничения (52) для случая, когда напряжения <твп и <гВ22 являются растягивающими, на некотором этапе нагружения становится возможным повторное срабатывание критерия трещинообразования (42) При дальнейшем увеличении второго главного напряжения в бетоне данного слоя при сгьъ > cxMi могут возникнуть вторичные трещины, пересекающие первичные и перпендикулярные направлению второго главного напряжения иЬ2,.

В случае непересекающихся трещин полосы бетона между ними выполняют две важные функции С одной стороны, из-за сцепления бетона с арматурой происходит уменьшение средних напряжений и деформаций арматуры на участках между трещинами. С другой стороны, эти полосы бетона совместно с арматурой воспринимают усилия, действующие на площадках, нормальных к трещинам и определяют деформации элемента вдоль трещины При наличии пересекающихся трещин последняя функция полностью утрачивается, а первая заметно ослабевает, так как сцепление бетона с арматурой становится менее прочным Поэтому сделаем следующее упрощение модели Будем считать, что

в случае пересекающихся трещин в пределах данного КЭ работает только арматура, т е матрица упругости принимает вид

где матрица ] определяется согласно условию (47).

Алгоритм решения задачи об определении НДС армированных оболочек из материалов с усложненными свойствами

В рамках указанных гипотез алгоритм решения задачи об определении НДС армированных оболочек условно расчленим на следующие шаги

1 Формирование задания на расчет конструкции.

2 Формирование матрицы связи узлов конечных элементов

3. Формирование граничных условий

4. Задание нагружения оболочки

5 Формирование матриц жесткости конечных элементов

6 Расчет вектора узловых перемещений.

Такое расчленение алгоритма решения задачи позволяет повысить помехозащищенность вычислительного процесса и дает возможность искусственно прервать ход решения, оценить динамику сходимости, корректировать дальнейшие вычислительные процессы, начиная их с прерванной операции Решение задачи предполагалось методом пошаговых нагружений в сочетании с методом «переменных параметров упругости» - вариантом метода последовательных приближений.

Формирование задания на расчет оболочки представляет собой процесс определения следующих исходных данных:

• задание геометрических параметров оболочки;

• определение толщины неармированной и армированной частей оболочки;

• вычисление количества фиктивных слоев в армированной части;

• определение констант потенциала деформаций, характеризующих НДС бетона;

• задание модуля упругости и предела текучести материала арматуры;

• определение коэффициентов армирования в направлении осей х,, х,,

• задание величины допустимой погрешности для расчетных значений прогибов в качестве критерия сходимости решения

Формирование матрицы связи узлов конечных элементов реализует следующие функции а) производит автоматизированное разбитие конструкции на треугольные конечные элементы, создавая ансамбль элементов, б) выполняет нумерацию конечных элементов; в) определяет связь номеров узлов в ансамбле элементов с нумерацией узлов, принятой внутри конечного элемента и формирует матрицу связи узлов

Формирование граничных условий представляет собой присвоение нулевых значений заданному подмножеству вектора узловых перемещений {<?} ансамбля элементов. Это подмножество перемещений генерируется в ответ на указание последовательности узлов ансамбля (если узлы последовательности лежат на одной прямой, достаточно задать только номера его первого и последнего узлов) и номеров перемещений согласно принятой их нумерации внутри узла

Задания нагружения формирует вектор узловых сил для заданной области ансамбля, которая, в частности, может быть сведена к одному узлу (сосредоточенная сила в точке).

Расчет матрицы жесткости конечного элемента представляет собой последовательность следующих операций:

• расчет матрицы [£>] интегральных жесткостных характеристик;

• расчет матрицы [ £] = [ Л ]•

• расчет матрицы [//],

• расчет матрицы [Я]'[Г];

• непосредственное вычисление элементов матрицы жесткости конечного элемента [А']

Вектор обобщенных деформаций для центра элемента рассчитывается непосредственно из решения уравнения (19), после чего определяются компоненты тензоров деформаций и напряжений для каждого фиктивного слоя с использованием матриц (40) и (41) Дополнительно для армированных слоев вычисляются напряжения в бетоне и в арматуре в соответствии с принятыми техническими гипотезами.

Фиктивные спои без трещин анализируются на появление трещин. В результате анализа устанавливается класс фиктивного слоя конечного элемента, в соответствии с которым корректируется матрица упругости После перебора всех фиктивных слоев рассчитывается матрица жесткости данного конечного элемента

Расчет вектора узловых перемещений ансамбля конечных элементов выполняется согласно методу LDlI - факторизации В пределах каждого шага нагрузки и внутри каждой итерации по методу переменных параметров упругости решение системы уравнений заканчивается, если все переменные изменяются не более чем на 10 6 от предыдущего значения После того как решение сошлось, фиксируются следующие параметры вектор узловых перемещений ансамбля, деформации и напряжения для центра фиктивных слоев конечных элементов, характеристики трещинообразования

Решение прикладных задач

Для иллюстрации работоспособности математической модели и алгоритма определения НДС оболочек с усложненными свойствами, такими как разносопротивляемость, структурная анизотропия и т.д., был решен рад задач-

1. Определение НДС трубчатых элементов при чистом кручении Для сравнения использовались данные экспериментов, выполненных в НИИЖБ Э Г Елагиным Эксперименты проводили на образцах кольцевого сечения наружным диаметром 0,3 м, внутренним - 0,2 м, длиной 3,34 м Арматура для продольных стержней - класса A-III (предел текучести <гр = 390 МПа, модуль упругости

= 2 • Í О5 МПа), диаметром 12 мм, поперечная - класса А-1 (предел текучести <тр = 235 МПа, модуль упругости ¿, =2.1 1(Г МПа) диаметром 6,5 мм Кубиковая прочность бетона принималась равной от 27 до 44 МПа

Было испытано десять образцов' шесть из них с ненапрягаемой арматурой (образцы ОК-7, ОК-2, ОК-4, ОК-14 и ОК-15) и четыре - с напрягаемой (ОНК-7, ОНК-8, ОНК-14, ОНК-15) в которых предварительному напряжению подвергались 50% продольных стержней. Испытание на кручение производили на специальной установке НИИЖБ Подробные данные опытных образцов, а также методика их испытания приведены в работах Э.Г. Елагина В диссертации решены задачи для следующих образцов ОК-14, ОК-4, ОК-7, ОНК-7.

Правильность модели в общем виде могут характеризовать углы закручивания. Результаты расчета углов закручивания по разработанной теории для некоторых вышеупомянутых образцов приведены ниже на рис. 2-3.

На рис 2-3 штрихпунктирной линией показаны результаты, полученные с применением разработанной теории расчета НДС, сплошной линией - результаты по теории Карпенко Н И, пунктирной линией показаны данные эксперимента.

Сравнение с экспериментальными данными свидетельствует об адекватности разработанной теории и возможности ее использования при решении задачи об определении НДС железобетоннь х оболочек.

2 Определение НДС железобетонной оболочки положительной гауссовой кривизны в следую щей конфигурации' оболочка на квадратном основании размерами в плане 24x24 м высота подъема 6 м, толщина оболочки принималась постоянной по площади оболочки и равнялась 0,12 м В качестве основного материала оболочки использовался бетон с пределом прочности на сжатие R -28.4 МПа Армирование оболочки принималось следующим

а) по всей поверхности оболочка армировалась двумя сетками из арматуры класса A-I диамег ром 6 мм с шагом 0,25 м на расстоянии 0,025 м от верхнего и от нижнего края соответственно,

б) в приконтурных полосах для восприятия изгибающих моментов укладывалась арматура кла; са A-III диаметром 6 мм в виде сетки расположенной в растянутой от изгиба зоне на расстоянии 0 015 м от нижней поверхности оболочки с шагом 0,15 м,

в) в угловых областях оболочки под углом в 45° на глубине центра тяжести поперечного сечения располагалась рабочая арматура класса A-II диаметром 10 мм (предел текучести ар = 295 МПс

модуль упругости £, =2 105 МПа)

Расчет проводился для оболочки шарнирно-опертой по углам плана По контуру оболочка опер та на железобетонные фермы типа ФКБ24 - контурные фермы пролетом 24 м, цельные, безрасхос-ные с предварительно напряженным нижним поясом.

В качестве напрягаемой арматуры для стержней нижнего пояса фермы принята горячекатаная арматура класса A-V (предел текучести сгр = 785 МПа, модуль упругости Es= 1.9 105 Mlle ) диаметром 20 мм, использовался бетон с пределом прочности на сжатие R' = 37 МПа, в качестве ненапрягаемой арматуры для остальных стержней использовалась арматура класса A-III диаметром 18 мм В стержнях учитывались усложненные свойства, такие как разносопротивляемостъ материала, трещинообразование и пластические деформации в арматуре Для моделирования стержней применялся конечный элемент, приведенный в работе М. Секуловича, модифицированный с целью уче~а особых свойств железобетона.

Оболочка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности от 0 до 78 кПа с учетом собственного веса оболочки

На рис 4 приведены результаты расчета вертикальных прогибов w в центре оболочки при нагрузке от 0 до максимума q - 78 кПа.

q к!1а

0 04

0035 -003 0 025 -002 -0015 0 01 0005

Рис 4 Прогибы w в центре плана оболочки

Из графика видно, что разносолротивляемость материала, трещинообразование и пластические деформации в арматуре приводят к существенно нелинейному изменению параметров напряженно-деформированного состояния по сравнению с расчетом по классической теории оболочек (при учете продольных перемещений и поперечных сдвигов)

3 Расчет НДС оболочки, жестко защемленной вдоль образующих и находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки величины ц В качестве исходных данных были приняты линейные размеры оболочки 0,6x0,3 м, высота подъема 0,0625 м, толщина оболочки 0,002 м, интенсивность нагрузки о - от 0 кПа до 10 кПа (рис. 8),

Результаты расчета показали, что учет разносопротивляемости уточняет результаты классической теорией оболочек на 33% для перемещений, углов поворота и до 50% (в среднем) для напряжений на поверхностях оболочки Анализ проводился для характерных точек А, ВиС(см рис 5). 4 Определение НДС цилиндрических оболочек следующих конфигураций' -жесткозащемленная вдоль образующих цилиндрическая оболочка с размерами в плане 24x12 м из бетона с прочностью на сжатие R' = 28,4 МПа. Толщина оболочки 0,095 м; высота подъема 2,5 м; интенсивность равномерно распределенной нагрузки q от 0 до 40 кПа (учитывался собственный вес). Армирование оболочки в срединной поверхности оболочка армирована сеткой из стержней класса A-III диаметром 10 мм, параллельных образующей оболочки и перпендикулярных к ней Кроме того, в угловых зонах располагалась косая арматура класса A-III диаметром 6 мм,

- свободно опертая вдоль образующих цилиндрическая оболочка с размерами в плане 6x12 м из бетона с прочностью на сжатие R~ = 28,4 Xfíla. Толщина оболочки 0,07 м, высота подъема 1,8 м; интенсивность равномерно распределенной нагрузки g от 0 до 35 кПа (учитывался собственный вес), Армирование оболочки- в срединной поверхности оболочка армирована сеткой из арматуры клаоса A-II диаметром 10 мм параллельной образующим оболочки Кроме того, в угловых зонах располагалась косая арматура класса A-I диаметром 6 мм.

Анализ результатов расчета показал, что учет усложненных свойств существенен при проведении статических расчетов Было подтверждено наличие известных фактов и обнаружены новые качественные эффекты деформирования, связанные с пластической работой арматуры и развитием трещин в бетоне.

Таким образом, на примере анализа НДС железобетонных и графитовых оболочек показано, что учет разносопротивляемости материала, образования трещин и пластических деформаций приводит к существенному уточнению значений характеристик НДС соответствующи кон струкций В заключении приведены основные результаты и выводы по работе

*

«

\

300

Рис 5 Схема рассчитызаемой овопснки (схема разбиения на конечные элементы)

В приложениях представлен графический материал как результат выполненных расчетов, лис тинг разработанной программы для реализации этих расчетов, а также акты внедрения

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведенные исследования позволили получить новое решение научно-технической задачи механики деформируемого твердого тела, заключающееся в разработке математической модели и программного комплекса, ориентированных на решение задач по исследованию НДС элементов мак-рооднородных и армированных оболочечных конструкций, выполненных из разносопротивляющихся материалов, с учетом трещинообразования и пластических деформаций в арматуре Получены решения для оболочек, которыми подтверждено наличие известных фактов и обнаружены новые количественные и качественные эффекты деформирования В частности показано, что в стадии работы конструкции с трещинами на ее жесткость и прочность существенное влияние оказывает процессы образования, распространения трещин и переход арматуры в пластическую область работы С другой стороны полученные решения свидетельствуют о необходимости учета нелинейной разносопротив-ляемости бетона на всех стадиях работы железобетонной конструкции.

2. В рамках нормированных пространств напряжений, предложенных в работах Н М.Матченко, Л А Толоконникова и А А.Трещева проанализированы подходы к построению определяющих соотношений деформационной теории структурно изотропных упругопластических дилатирующих материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Для использования в прикладных исследованиях выделен наиболее универсальный вариант потенциала деформаций. Проанализированы вытекающие из принятых уравнений состояния законы изменения объема, формы и фазовая характеристика

3. Построен плоский треугольный гибридный конечный элемент, обеспечивающий решения задач об исследовании НДС элементов оболочечных конструкций, выполненных из материалов с усложненными свойствами Модифицирована классическая конечно-элементная модель стержня для учета усложненных свойств и трещинообразования.

4 Разработана математическая модель решения задачи об определении НДС оболочечных конструкций разной геометричесхой конфигурации, выполненных из макрооднородных материалов, обладающих физической нелинейностью. В основу этой модели положен метод многослойных конечных элементов.

5 На базе модифицированной пошагово-итерационной процедуры решения нелинейных задач разработан и запрограммирован алгоритм определения характеристик НДС оболочечных конструкций.

6 С использование разработанного программного обеспечения решен ряд задач по определению характеристик НДС.

-трубчатых железобетонных элементов при чистом кручении, использовались данные экспериментов выполненных в НИИЖБ Э Г. Елагиным. Проведено сравнение с экспериментальными данными и теорией Н И Карпенко, получено хорошее совпадение результатов,

- цилиндрической оболочки выполненной из макрооднородного разносопротивляющегося материала. В качестве конкретного материала был принят графит марки АРВ Результаты расчета показали, что за счет учета разносопротивляемости удалось получить уточнение результатов, по сравнению с «классической теорией» оболочек до 33% для перемещений и углов поворота и в среднем до 50% для напряжений;

- жестко защемленной вдоль образующих и шарнирно опертой вдоль образующих цилиндрических оболочек Анализ результатов их расчета показал, что учет усложненных свойств существенен при проведении статических расчетов В частности, для перемещений различия составили до 70% по сравнению с расчетами без учета усложненных свойств бетона

- оболочки положительной гауссовой кривизны прямоугольной в плане опертой на фермы по контуру Показано, что учет трещинообразования, пластических деформаций арматуры, а также разносопротивляемости бетона имеет существенное влияние для расчета НДС соответствующих конструкций.

20 " 8 6 8 3 ¿¿¿я

По материалам диссертации опубликовано 28 работ, основными из которых являются стедукк

щие.

I Трещев А А., Теличко В Г. Деформирование железобетонных цилиндрических оболочек замкнутого профиля II Сборник материалов II Международной научно-технической конференции: «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» - Тула' ИПП «Тульский полиграфист», 2001.-С. 103-104.

2. Теличко В.Г. Плоский треугольный гибридный конечный элемент для расчета оболочечных конструкций с усложненными свойствами II Сборник материалов III Международной научно-технической конференции. «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии» - Тула-ИПП «Тульский полиграфист», 2002. - С. 69-70.

3. Трещев А.А, Теличко В Г Деформирование пологих железобетонных оболочек положительной гауссовой кривизны II Сборник*материалов III Международной научно-технической конференции: «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула ИПП «Тульский полиграфист», 2002.-С. 72-73.

4. Теличко В.Г., Трещев А А Гибридный конечный элемент для расчета плит и оболочек с усложненными свойствами - II Известия вузов. Строительство / №5.2003 - С. 17-23

5. Теличко В.Г, Трещев А А. Гибридный конечный элемент для расчета железобетонных плит II Известия ТулГУ Сер Строительные материалы, конструкции и сооружения - Тула' Изд-во ТулГУ, 2003. Вып. 2.-С. 125-135.

6 Теличко В Г, Трещев A.A. Гибридный конечный элемент для расчета пространственных конструкций с усложненными свойствами // Сборник научных трудов XXXII Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы современного строительства». - Пенза: Изд-во ПГАСА, 2003.4.2 Строительные конструкции. - С. 138-143.

7. Теличко В.Г., Трещев АЛ Гибридный конечный элемент для моделирования пространственных машиностроительных конструкций с усложненными свойствами II Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал / №1.2004. - С. 61 -65.

8. Теличко В Г, Трещев А А. Расчет напряженно-деформированного состояния графитовых оболочек II Известия ТулГУ. Сер. Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением - Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. Вып. 1. - С. 16-25.

9. Теличко В.Г. Модель расчета цилиндрической оболочки II Сборник докладов 57-ой Международной научно-технической конференции молодых ученых: «Актуальные проблемы современного строительства» - СПб: СПбГАСУ, 2004.4.1.-С. 50-55.

10. Теличко В.Г. Трещев А А. Математическая модель расчета пространственных конструкций с усложненными свойствами II Труды Всероссийской научной конференции: «Математическое моделирование и краевые задачи». - Самара: СамГТУ, 2004.4.1. - С. 223-226.

II Теличко В.Г., Трещев A.A. Моделирование напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций из железобетона II Известия ТулГУ Сер Строительные материалы, конструкции и сооружения. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. Выл. 8. - С. 147-161.

12. Трещев A.A., Теличко В Г Свободное кручение цилиндрической железобетонной оболочки с учетом трещин II Сборник материалов VI Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». - Тула ИПП «Тульский полиграфист», 2005 -С 64-65.

<»

Изд лиц. ЛР№ 020300 от 12 02 97 Подписано в печать ■

ФорчатбумагибОхВД1/^ Бумага офсетная Уел печ л ■ЪТ Уч-изд л ^ Тираж экз Заказ "Г7

Тульский государственный университет 300600 г Тула пр Ленина, 92

Отпечатано в Издательстве Тульского государственного университета 300600 г Тула, ул Болдина, 151

Введение.

1. ОБЗОР МАТЕРИАЛОВ С УСЛОЖНЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ И СОСТОЯНИЕ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЭТИХ МАТЕРИАЛОВ. ОБЗОР МЕТОДА КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ.

1.1. Особенности моделей определяющих соотношений первой группы.

1.2. Особенности моделей определяющих соотношений второй группы.

1.3. Особенности моделей определяющих соотношений третьей группы.

2. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ НАЧАЛЬНО-ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ С УСЛОЖНЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ.

2.1. Пространства нормируемых напряжений.

2.2. Варианты потенциальных соотношений между деформациями и напряжениями.

2.3. Определение констант потенциала.

2.4. Основные законы деформирования. Замечание о разгрузке

3. ВЫБОР ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ОБОЛОЧЕК. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГИБРИДНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА.

3.1. Выбор исходной модели теории оболочек.

3.2. Построение математической модели гибридного конечного элемента.

4. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ АРМИРОВАННЫХ МАТЕРИАЛОВ С

УСЛОЖНЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ.

4.1. Изгиб железобетонных оболочек.

4.2. Алгоритм решения задачи об определении НДС железобетонных оболочек различной геометрической конфигурации

4.3. Результаты расчета прикладных задачи анализ полученных результатов.

Инженерная практика постоянно требует повышения точности расчета элементов строительных конструкций, деталей машин и аппаратов. Очевидно, что решение данной задачи невозможно без совершенствования определяющих соотношений, достаточно надежно описывающих процессы упругопластического деформирования конструкционных материалов, а также без совершенствования методик расчета конструкций с использованием этих соотношений. В настоящее время многие конструкций и детали изготавливаются как из новых, так и из традиционных материалов, которые не подчиняются классическим законам упругопластического деформирования. Механические характеристики материалов активно проявляют чувствительность к виду напряженного состояния, проявляются такие эффекты как дилатация и разносопротивляемость. К материалам, обладающим подобными свойствами, относят бетоны, керамику, серые и ковкие чугуны, некоторые марки конструкционных графитов, ряд полимеров и большинство композитов. Следует заметить, что дилатационные свойства и разносопротивляемость проявляется не только в мгновенных упругопластических характеристиках, в скоростях деформаций, но и в длительностях до разрушения при ползучести и в пределах прочности. В общем случае, эти материалы можно рассматривать как материалы с «усложненными» механическими свойствами.

Зависимость деформационных характеристик от вида напряженного состояния для рассматриваемых материалов достаточно сложна и не сводится только к неодинаковому их поведению при одноосных растяжении и сжатии. Так, экспериментально установлено, что жесткость большинства разносопротивляющихся материалов может зависеть не только от знаков возникающих напряжений, но и от их количественных соотношений. Термин «разносопротивляе-мость» более емкий, так как подразумевает проявление специфических свойств, для пластических и реономных деформируемых тел.

Систематические экспериментальные исследования [б, 7, 40, 50, 78, 88, 89, 94, 99, 101, 104, 150, 159, 170, 171, 175] показали, что механические свойства разносопротивляющихся материалов не только различны при растяжении и сжатии, но и плавно меняются в самом широком диапазоне видов напряженного состояния. Кроме того, обнаружена тесная связь свойств разносопротивляемости с пластическим разрыхлением и дилатацией. В частности установлено, что практически все дилатирующие материалы оказались разносопротивляющиеся. В общем случае, механической разносопротивляемостью могут обладать изотропные и анизотропные материалы.

Классические теории, базирующиеся на гипотезах существовании однозначной зависимости между напряжениями и деформациями и пропорциональности девиаторов двух соос-ных тензоров, очевидно, не могут правильно оценить напряженно-деформированные состояния сплошных сред, обладающих указанными особенностями.

Для более точного аналитического представления экспериментальных зависимостей напряжений от деформаций при выходе за пределы упругости необходимо использовать нелинейные аппроксимации. Эти аппроксимации могут учитывать как наличие общего начального модуля упругости, так и отсутствие единой кривой деформирования при растяжении, сжатии и других видах напряженного состояния.

Анализ экспериментальных данных показывает, что зависимость механических характеристик многих материалов от вида напряженного состояния в большей мере проявляется при достаточно высоком уровне напряжений в нелинейной области деформирования. Естественно, что наиболее чувствительны к виду напряженного состояния характеристики пластичности и прочности.

Отметим, что существенные эффекты, возникающие в работе конструкций, связанные с явлением разносопротив-ляемости материалов, обнаруживаются при сложном напряженно-деформированном состоянии, которое отличается от простого растяжения или сжатия.

Теория деформирования материалов с усложненными свойствами относительно молодая ветвь механики деформируемого твердого тела. Ее становление можно отнеси к началу пятидесятых годов двадцатого столетия. За этот период был предложен ряд моделей определяющих соотношений для разносопротивляющихся и дилатирующих материалов. Однако большинство этих моделей обладают существенными недостатками, базируются на отдельных грубых гипотезах и могут иметь ограниченное применение к реальным материалам.

Несмотря на сравнительно большое число предложенных моделей определяющих соотношений сред с усложненными свойствами, прикладные исследования эффектов, вызванных механической спецификой рассматриваемых материалов конструкций, сдерживаются недостаточным для решения данного класса задач развитием численных методов, а также недостаточной ориентацией этих моделей на их дальнейшее использование в приложениях. Кроме того, большинство известных моделей определяющих соотношений имеют существенные недостатки, ограничивающие их применения.

Следует заметить, что при формировании и отработке конструкций из рассматриваемых материалов проектировщики, во многих случаях, стремятся улучшить прочностные и деформационные свойства отдельных зон, в которых наиболее негативно сказывается специфика разносопротивляемо-сти и дилатации. Это достигается путем армирования слабо сопротивляющихся зон конструкций высокопрочными волокнами или стержнями (железобетон, боро- и стеклопластики и т. д.). Подобные структурные преобразования разносопротивляющихся и дилатирующих материалов на порядок повышают сложность решения краевых задач.

Таким образом, для решения задач об определении напряженно-деформированного состояния различных конструкций, например оболочек, изготовленных из материалов с усложненными свойствами, в которых используются армированные элементы, необходимо совершенствовать процедуры получения решения, так как существующие варианты методов решения задач механики деформируемого тела не позволяют эффективно решать такие задачи.

Развитие вычислительной техники и увеличение мощности ЭВМ обусловили широкое внедрение в расчетную практику численных методов. Наиболее эффективным применительно для задач расчета НДС оболочечных элементов различного рода конструкций встречающихся в инженерной практике следует признать метод конечных элементов.

МКЭ - один из основных методов решения задач строительной механики, механики деформируемого твердого тела, теплопроводности, гидромеханики и т.д. Для МКЭ характерны: широкий диапазон применимости, инвариантность по отношению к геометрии конструкции и механическим характеристикам материалов, простота учета взаимодействия с окружающей средой (механические и температурные нагрузки, граничные условия и т.д.), высокая степень приспособленности для автоматизации всех этапов расчета. Кроме того, метод обладает простой физической интерпретацией и очевидной математической связью с методами Ритца и Бубнова-Галеркина широко используемыми в механике деформируемого твердого тела.

Таким образом, целью диссертационной работы является построение уравнений метода конечных элементов для учета напряженно-деформированного состояния армированных пространственных оболочечных конструкций, в рамках подхода Н.М.Матченко, A.A. Трещева [69-73} для нелинейных определяющих уравнений механики деформируемых изотропных материалов, свойства которых зависят от вида напряженного состояния, а также решение ряда прикладных задач упругопластического деформирования железобетонных и графитовых цилиндрических оболочек, оболочек положительной гауссовой кривизны, опертых на фермы.

Для этой цели необходимо:

- проанализировать систему инвариантов напряжений, позволяющую получить уравнения состояния изотропных ди-латирующих материалов, деформирование которых зависит от вида напряженного состояния;

- на основе полученных в работах Матченко Н.М., Толо-конникова JI.A. и Трещева A.A. форм потенциала деформаций сформулировать уравнения состояния разносопротив-ляющихся дилатирующих материалов, проанализировать форму основных законов деформирования;

- из простейших экспериментов определить константы уравнений состояния для ряда конструкционных материалов; определить характерные матрицы плоского треугольного гибридного конечного элемента с компонентами, учитывающими вид напряженного состояния, в рамках подхода связанного с нормированными пространствами; сформулировать математическую модель многослойного конечного элемента для определения напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций, с учетом продольных усилий и поперечных сдвигов, имеющую возможность учета работы анизотропных материалов; разработать алгоритм пошагово-итерационного метода решения задачи определения напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом физически нелинейной работы материала и реализовать его программную интерпретацию; используя разработанную математическую модель и программную реализацию алгоритма расчета решить ряд задач деформирования оболочек различного вида из материалов с усложненными свойствами:

1. Решить задачу о чистом кручении трубчатых элементов из железобетона с учетом трещинообразования, упругопластических свойств арматуры, разносопротив-ляемости;

2.Определить напряженно-деформированное состояние железобетонной оболочки двоякой гауссовой кривизны на квадратном основании, опертой на типовые фермы ФКБ-24, при точечном опирании по углам и под действием равномерно распределенной нагрузки с учетом усложненных свойств материала, трещинообразования и упругопластических свойств арматуры;

3.Рассчитать напряженно-деформированное состояние жестко защемленной вдоль образующих цилиндрической оболочки из разносопротивляющегося материала графита АРВ, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки.

4.Определить напряженно-деформированное состояние двух цилиндрических оболочек различных размеров в плане, жесткозащемленных вдоль образующих находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки;

- сравнить результаты решения задач по деформированию железобетонных и графитовых элементов, где возможно, с аналогичными данными, полученными на основе наиболее апробированных и применяемых моделей, а также с известными экспериментами.

Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

1) матрица жесткости плоского треугольного гибридного конечного элемента с компонентами, учитывающими вид напряженного состояния;

2) математическая модель многослойного конечного элемента для определения НДС пространственных оболочечных конструкций, с учетом продольных усилий и поперечных сдвигов, имеющая возможность учета работы анизотропных материалов;

3) вариант алгоритма пошагово-итерационного метода решения задачи определения НДС пространственных конструкций с учетом физической нелинейности работы материала и его программная реализация;

4) результаты расчетов, демонстрирующие новые количественные эффекты НДС армированных оболочечных конструкций из разносопротивляющихся материалов с учетом трещинообразования, деформаций поперечного сдвига и пластических деформаций в арматуре.

Достоверность представленных в работе положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов строгими математическими методами, хорошим соответствием полученных решений и моделей имеющимся экспериментальным данным, сравнением расчетных данных с классическими и с результатами исследований на основе наиболее апробированных теорий.

Полученные в работе результаты решения задач имеют важное практическое значение для построения моделей анализа напряженно-деформированного состояния однородных и неоднородных (железобетонных) элементов конструкций, выполненных из материалов, поведение которых не описывается классическими теориями. Данные модели могут быть использованы как для проектных, так и для проверочных расчетов конструкций.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений.

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Проведенные исследования позволили получить новое решение научно-технической задачи механики деформируемого твердого тела, заключающееся в разработке математической модели и программного комплекса, ориентированных на решение задач по исследованию НДС элементов макрооднородных и армированных оболочечных конструкций, выполненных из раз-носопротивляющихся материалов, с учетом трещинообразова-ния и пластических деформаций в арматуре. Получены решения для оболочек, которыми подтверждено наличие известных фактов и обнаружены новые количественные и качественные эффекты деформирования. В частности показано, что в стадии работы конструкции с трещинами на ее жесткость и прочность существенное влияние оказывает процессы образования, распространения трещин и переход арматуры в пластическую область работы. С другой стороны полученные решения свидетельствуют о необходимости учета нелинейной разносопротивляемости бетона на всех стадиях работы железобетонной конструкции.

2. В рамках нормированных пространств напряжений, предложенных в работах Н.М.Матченко, Л.А.Толоконникова и А.А.Трещева проанализированы подходы к построению определяющих соотношений деформационной теории структурно изотропных упругопластических дилатирующих материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Для использования в прикладных исследованиях выделен наиболее универсальный вариант потенциала деформаций. Проанализированы вытекающие из принятых уравнений состояния законы изменения объема, формы и фазовая характеристика.

3. Построен плоский треугольный гибридный конечный элемент, обеспечивающий решения задач об исследовании НДС элементов оболочечных конструкций, выполненных из материалов с усложненными свойствами. Модифицирована классическая конечно-элементная модель стержня для учета усложненных свойств и трещинообразования.

4. Разработана математическая модель решения задачи об определении НДС оболочечных конструкций разной геометрической конфигурации, выполненных из макрооднородных материалов, обладающих физической нелинейностью. В основу этой модели положен метод многослойных конечных элементов .

5. На базе модифицированной пошагово-итерационной процедуры решения нелинейных задач разработан и запрограммирован алгоритм определения характеристик НДС оболочечных конструкций.

6. С использование разработанного программного обеспечения решен ряд задач по определению характеристик НДС:

-трубчатых железобетонных элементов при чистом кручении, использовались данные экспериментов выполненных в НИИЖБ Э.Г. Елагиным. Проведено сравнение с экспериментальными данными и теорией Н.И. Карпенко, получено хорошее совпадение результатов;

- цилиндрической оболочки выполненной из макрооднород-ного разносопротивляющегося материала. В качестве конкретного материала был принят графит марки АРВ. Результаты расчета показали, что за счет учета разносопротивляе-мости удалось получить уточнение результатов, по сравнению с «классической теорией» оболочек до 33% для перемещений и углов поворота и в среднем до 50% для напряжений;

- жестко защемленной вдоль образующих и шарнирно опертой вдоль образующих цилиндрических оболочек. Анализ результатов их расчета показал, что учет усложненных свойств существенен при проведении статических расчетов. В частности, для перемещений различия составили до 7 0% по сравнению с расчетами без учета усложненных свойств бетона . оболочки положительной гауссовой кривизны прямоугольной в плане опертой на фермы по контуру. Показано, что учет трещинообразования, пластических деформаций арматуры, а также разносопротивляемости бетона имеет существенное влияние для расчета НДС соответствующих конструкций .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе проведенного в первом разделе диссертации анализа известных экспериментальных данных показано, что характер упругопластического деформирования многих конструкционных материалов не соответствует гипотезе «единой кривой» и деформирование их может происходить по дилата-ционному принципу. Такие материалы названы материалами с усложненными свойствами. На основе обзора экспериментальных данных и существующих определяющих соотношений для разносопротивляющихся и дилатирующих материалов показано, что эти два специфические свойства их механической природы во многом взаимосвязаны и зачастую выступают как два внешних проявления сложной структуры. Показано также, что большинство известных определяющих соотношений для материалов с усложненными свойствами имеют ряд недостатков, не учитывающих важных особенностей их деформирования, что, во многих случаях, вносит определенные модельные ограничения на характеристики материалов или приводит к значительным погрешностям получаемых аппроксимаций экспериментальных данных.

Решение прикладных задач нелинейной механики материалов с усложненными свойствами требует применения достаточно универсальных и надежных определяющих соотношений, а также усовершенствования известных моделей решения этих задач.

Полученные в диссертации результаты указывают на то, что рассмотренные определяющие соотношения для деформируемых материалов с неклассическими свойствами и специально ориентированные на их использование численные методы решения практически важных задач определения напряженно-деформированного состояния пространственных оболочечных конструкций могут служить удовлетворительной основой для исследования деформирования сложных элементов конструкций, выполненных из подобных материалов.

1. Агахи К.А., Кузнецов В.Н. К теории пластичности материалов, учитывающей влияние гидростатического давления // Упругость и неупругость. - М.: МГУ, 1978. -Вып. 5. - С. 4 6-52.

2. Амбарцумян С. А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. - 320 с.

3. Аркания З.В., Матченко Н.М., Трещев A.A. К построению определяющих уравнений теории упругости изотропных сред // Механика сплошных сред. Тбилиси: ГПИ, 1984. - № 9. - С. 88-90.

4. Артемов А.Н., Трещев A.A. Поперечный изгиб железобетонных плит с учетом трещин. Изв. вузов. Строительство, 1994. - № 9-10. - С. 7-12.

5. Бережной Д.В., Красновский И.Ю. Конечные элементы для расчета конструкций существенно переменной толщины // Статика и динамика элементов конструкций сложной формы: Межвуз. сборник. Наб. Челны: КамПИ, 1990. - С. 30-36.

6. Березин A.B. Влияние повреждений на деформационные и прочностные характеристики твердых тел. М.: Наука, 1990. - 135 с.

7. Березин A.B., Строков В.И., Барабанов В.Н. Деформируемость и разрушение изотропных графитовых материалов // Конструкционные материалы на основе углерода. М.: Металлургия, 1976. - Вып. 11. - С. 102-110.

8. Бертяев В. Д., Толоконников J1.A. Вариант построения теории упругости разносопротивляющихся тел // Механика и прикладная математика. Тула: Приокс. кн. изд-во, 1989. - С. 4-7.

9. Быков Д.Л. О некоторых соотношениях между инвариантами напряжений и деформаций в физически нелинейных средах // Упругость и неупругость. М. : МГУ, 1971. -Вып. 2. - С. 114 - 128.

10. Быков Д.Л. Основные уравнения и теоремы для одной модели физически нелинейной среды // Инж. журнал МТТ. 1966. - № 4. - С. 58-64.

11. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. - 542 с.

12. Гаврилов Д.А. Зависимости между напряжениями и деформациями для квазилинейного разномодульного тела // Проблемы прочности. 1979. - № 9. - С. 10-12.

13. Гаврилов Д.А. Определяющие уравнения для нелинейных тел неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию // Доклады АН УССР. Серия А. Физико-математические и технические науки. - 1980. - № 3. -С. 37-41.

14. Гаврюшин С.С. Численное моделирование и анализ процессов нелинейного деформирования гибких оболочек // Изв. АН СССР. МТТ, 1994. № 1. - С. 109-119.

15. Гаврюшин С.С., Барышникова 0.0., Борискин О.Ф. Численные методы в проектировании гибких упругих элементов. Калуга: Облиздат, 2001. - 199 с.

16. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.: Мир, 1984. 428 с.

17. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г. А. Теория пластичности бетона и железобетона. М. : Стройиздат, 1974. - 316 с.

18. Гиниятов И.Н., Неделин A.B., Трещев A.A. Деформирование армированных балок-стенок из нелинейного материала с учетом трещин // Известия вузов. Строительство. 2001. - № 12. - С. 8-15.

19. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань, 1989. - 270 с.

20. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. - 192 с.

21. Гордеев Ю.С., Овчинников И.Г. Об аппроксимации диаграмм деформирования нелинейных разномодульных композитных материалов / СПИ. Саратов, 1982. - 15 с. -Деп. в ВИНИТИ 04.08.82, № 4279-82.

22. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций. М. : Наука, Физматгиз, 1997. - 272 с.

23. Елсуфьев С.А., Чебанов В.М. Изучение деформирования фторопласта в условиях плоского напряженного состояния // Исследования по упругости и пластичности. -Л.: ЛГУ, 1971. Вып. 8. - С. 209-213.

24. Ельчанинов П.Н., Климов М.И. К расчету цилиндров из нелинейного разномодульного материала методом переменных параметров упругости // Прочность, устойчивость и колебания строительных конструкций. Л.: ЛИСИ, 1987. - С. 65-69.

25. Еременко СЮ. Метод конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: Основа, 1991. - 272 с.

26. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.- М.: Мир, 1975. 541 с.

27. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М. : Мир, 1986. - 318 с.

28. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974. - 238 с.

29. Зиборов Л.А., Логунов В.М., Матченко Н.М. Вариант соотношений деформационной теории пластичности полухрупких тел // Механика деформируемого твердого тела.- ТулПИ, 1983. С. 101-106.

30. Золочевский A.A. К тензорной связи в теориях упругости и пластичности анизотропных композитных материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию // Механика композитных материалов. 1985. - № 1. -С. 53-58.

31. Золочевский A.A. Соотношения разномодульной теории упругости анизотропных материалов на основе трех смешанных инвариантов // Динамика и прочность машин. -Харьков: Вища школа, 1987. Вып. 46. - С. 85-8 9.

32. Золочевский A.A., Морачковский O.K. Направления развития моделей и методов расчета нелинейного деформирования тел и элементов машиностроительных конструкций // Динамика и прочность машин. Харьков: Вища школа, 1989. - Вып. 50. - С. 3-9.

33. Казаков Д.А., Капустин С.А., Коротких Ю.Г. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций. Н.Новгород: ННГУ, 1999. -226 с.

34. Капустин С.А. Метод конечных элементов'в механике деформируемых тел. Часть I. Н. Новгород, 1997. -70 с.

35. Карпенко Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами. М.: Стройиздат, 1976. - 208 с.

36. Карпенко Н.И. Теория деформирования. М: Стройиздат, - 1976. - 208 с.

37. Касимов Р.Г. Прочность и деформативность бетона при трехосном сжатии.: Дис. . канд. техн. наук / НИИЖБ. М., 1976. - 180 с.

38. Ковалев Д.Г., Трещев A.A. Исследование упруго-пластического деформирования разносопротивляющихся материалов // Известия высших учебных заведений. Строительство. 1999. № 8. - С. 29-33.

39. Ковальчук Б.И. О деформировании полухрупких тел // Проблемы прочности. 1982. - № 9. - С. 51-57.

40. Козачевский А. И. Модификация деформационной теории пластичности бетона и плоское напряженное состояние железобетона с трещинами // Строительная механика и расчет сооружений. 1983. - № 4. - С. 12-16.

41. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Ново-сибирск, 2000. - 262 с.

42. Кудашов В.И., Устинов В. П. Расчет пространственных железобетонных конструкций с учетом физической нелинейности и трещинообразования // Строительная механика и расчет сооружений. 1981. - № 4. - с. 6-10.

43. Кузнецов С.А., Матченко Н.М. Дилатационные зависимости для полухрупких разномодульных материалов / ТулПИ. Тула, 1989. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.11.89, № 7051-В89.

44. Кузнецов С.А., Матченко Н.М. Потенциальные уравнения состояния нелинейно-упругого изотропного материала / ТулПИ. Тула, 1989. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.11.89, № 7050-В89.

45. Кязимова P.A. О выборе аналитического потенциала напряжений // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1973. - Вып. 28. - С. 80-83.

46. Леонов М.Я., Паняев В.А., Русинко К.Н. Зависимости между деформациями и напряжениями для полухрупких тел // Инж. журнал МТТ. 1967. - № 6. - С. 26 - 32.

47. Леонов М.Я., Русинко К.Н. О механизме деформаций полухрупкого тела // Пластичность и хрупкость. -Фрунзе: ИЛИМ, 1967. С. 8 6-102.

48. Ли. Упруго-пластическое деформирование при конечных деформациях. // Прикладная механика (Trans ASME), 1969. № 1. С. 1-6.

49. Ломакин E.B. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. - № 4. - С. 92-99.

50. Ломакин Е.В. О единственности решения задач теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. - № 2. - С. 42-45.

51. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения деформационной теории для дилатирующих сред // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. - б. - С. 66-75.

52. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения механики разномодульных тел. М., 1980. - 64 с. (Препринт ин-т пробл. Механики АН СССР; - № 159).

53. Ломакин Е.В. Разномодульность композитных материалов // Механика композитных материалов. 1981. -№ 1. - С. 23-29.

54. Ломакин Е.В. Соотношения теории упругости для анизотропного тела, деформационные характеристики которых зависят от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. - № 3. - С. 63-69.

55. Ломакин Е.В., Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела / / Изв. АН СССР. МТТ. 1978. - № 6. - С. 29-34.

56. Макеев А.Ф. К расчету пластинок из нелинейно-упругого материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию // Механика деформируемых сред. Саратов: СГУ, 1979. - С. 50-57.

57. Макеев А.Ф. Об изгибе пластинки из разносопротивляющегося нелинейно-упругого материала // Строительная механика пространственных конструкций. Саратов: СПИ, 1980. - с. 79-86.

58. Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Изгиб пластинки из нелинейно-упругого материала, разносопротивляющегосярастяжению и сжатию // Прикладная теория упругости. -Саратов: СПИ, 1979. Вып. 2. - С. 115-122.

59. Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Исследование влияния разносопротивляемости нелинейно-упругого материала на напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки // Проблемы прочности. 1982. - № б. - С. 55-60.

60. Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Петров В.В. Об изгибе прямоугольных пластинок из разносопротивляющегося деформированию и разрушению при растяжении и сжатии нелинейно-упругого материала / СПИ. Саратов, 1982. -20 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.03.82, № 1280-82.

61. Малинин H.H., Батанова O.A. Теория пластичности материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию // Изв. вузов. Машиностроение. 1979. - № 12. -С. 9-14.

62. Матченко Н.М., Толоконников JI.A. О нелинейных соотношениях разномодульной теории упругости // Сборник работ по теории упругости. Тула: ТПИ, 1968. - С. 69-72.

63. Матченко Н.М., Толоконников JI.A. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах // Инж. журнал МТТ. 1968. - № 6. - С. 108-110.

64. Матченко Н.М., Толоконников JI.A., Трещев A.A. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляю-щихся сред. Часть 1: Квазилинейные соотношения // Изв. РАН. МТТ. 1995. - № 1. - С. 73-78.

65. Матченко Н.М., Толоконников JI.A., Трещев A.A. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Часть 2: Нелинейные соотношения // Изв. РАН. МТТ. 1999. - № 4. - С. 87-95.

66. Матченко Н.М., Трещев A.A. К описанию свойств разносопротивляемости изотропных материалов // Прикладные задачи механики сплошных сред. Воронеж: ВГУ. -1999. - С. 176-183.

67. Матченко Н.М., Трещев A.A. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения. Москва-Тула: РААСН-ТулГУ, 2000. - 14 9 с.

68. Методы расчета элементов конструкций на ЭВМ / С.С.Гаврюшин,А.В.Коровайцев. М. : Изд-во ВЗПИ, 1991. -160 с.

69. Мясников В.П., Ляховский В.А., Подладчиков Ю.Ю. Нелокальная модель разномодульного вязкоупругого тела // Доклады АН СССР. 1990. - Т. 312. - № 2. - С. 302-305.

70. Мясников В.П., Олейников А. И. Деформационная модель идеально сыпучей зернистой среды // Доклады АН СССР. 1991. - Т. 316. - № 3. - С. 565-568.

71. Мясников В.П., Олейников А. И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разносопротивляю-щейся среды // Доклады АН СССР. 1992. - Т. 322. -№ 1. - С. 57-60.

72. Некоторые особенности методик исследования прочности свойств графитов при плоском напряженном состоянии / А.М.Фридман, В.Н.Барабанов, Ю.П.Ануфриев,

73. B.И. Строков // Заводская лаборатория. 1972. - № 9.1. C. 1137-1140.

74. Новожилов В. В. О пластическом разрыхлении // Прикладная математика и механика. 1965. - Т. 29. -Вып. 4. - С. 681-689.

75. Новожилов В.В. Теория тонких оболочке. JI. : Суд-промиздат, 1932. 431 с.

76. Новожилов В.В. Теория упругости. JI.: Судпром-гиз, 1958.-370 с.

77. Норри Д. де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.; Мир, 1981. 304 с.

78. Образцов И.Ф., Савельев JI.M., Хазанов Х.С Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985. - 329 с.

79. Оден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

80. Панферов В.М. О нелинейной теории упругости огнеупорных материалов / / Избранные вопросы современной механики. М.: Наука, 1982. - Ч. 2. - С. 96-106.

81. Панферов В.М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для тел с различными свойствами на сжатие, растяжение и кручение // Доклады АН СССР. -1968. Т. 180. - № 1. - С. 41-44.

82. Петров В.В., Макеев А.Ф., Овчинников И.Г. Изгиб прямоугольных пластин из нелинейно-упругого разносопро-тивляющегося растяжению и сжатию материала // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1980. - № 8. -С. 42-47.

83. Писаренко Г.С., Лебедев A.A. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова думка, 197 6. - 416 с.

84. Писаренко Г.С., Лебедев a.a., Ломашевский В.П. Экспериментальное исследование закономерностей деформирования углеродистой стали в условиях сложного напряженного состояния при низких температурах // Проблемы прочности. 1968. - № 5. - С. 42-47.

85. Пономарев Б. В. Изгиб прямоугольных пластин из нелинейно-упругих материалов, неодинаково работающих на растяжение и сжатие // ПМ. 1968. - Т. 4. - Вып. 2. -С. 20-27.

86. Пономарев Б.В. Средний изгиб прямоугольных пластин из материалов, не следующих закону Гука // Сборник трудов МИСИ. М. - 1967. - № 54. - С. 75-82.

87. Постнов В. А., Слезина Н.Г. Учет деформаций поперечного сдвига при расчете оболочек вращения с помощью метода конечных элементов // сб. "Строительная механика корабля". Л.: Судостроение, - 1974. -вып. 161.

88. Постнов В.А., Хархурим Н.Я. Метод конечных элементов в расчете судовых конструкций. Л, : Судостроение, 1974. - 344 с.

89. Романов В. В. Исследование зависимости модуля упругости шлакокамнелитого материала от вида нагружения // Физико-химические исследования по технологии стекла и ситалов. М.: Наука, 1984. - С. 78-81.

90. Салиев A.B. О методах определения деформаций и напряжений в полухрупком диске // 2-я Всесоюзная конференция по нелинейности теории упругости: Тез. докл. -Фрунзе: ИЛИМ, 1985. С. 67-68.

91. Сахаров A.C., Кислоокий В.Н., Киричевский В.В., Альтенбах Н., Габберт У., Данкерт Ю., Кепплер X., Кочык 3. Метод конечных элементов в механике твердых тел. -Киев: Вища школа, 1982. 480 с.

92. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 376 с.

93. Секулович М. Метод конечных элементов. М. : Стройиздат, 1993. - 664 с.

94. Сопротивление деформированию и разрушению изотропных графитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния / A.B. Березин, Е.В. Ломакин, В.И. Строков, В.H. Барабанов // Проблемы прочности. 1979. - № 2. - С. 60-65.

95. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Пластичность горных пород. М.: Недра, 197 9. - 301 с.

96. Стеценко В.А. Механические характеристики серого чугуна при растяжении и сжатии // Исследование по механике деформируемых сред. Тула: ТПИ, 1972. -С. 103-109.

97. Стеценко В.А. О выборе потенциала серого чугуна // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1973. -Вып. 28. - С. 128-133.

98. Сперанский И.М., Сташевская С.Г., Бондаренко C.B. Примеры расчета железобетонных конструкций. М. : Высшая школа, 1989. - 176 с.

99. Строков В.И., Барабанов В.Н. Методика исследования прочностных и деформационных свойств графита в условиях сложного напряженного состояния / / Заводская лаборатория. 1974. - № 9. - С. 1141-1144.

100. Тамуров Н.Г., Туровцев Г.В. Основные уравнения теории разномодульных оболочек // Прочность и надежность технических устройств. Киев: Наукова думка,1981. С. 68-75.

101. Тамуров Н.Г., Туровцев Г.В. Термоупругие напряжения в разномодульном цилиндре // Прочность и надежность элементов конструкций. Киев: Наукова думка,1982. С. 140-145.

102. Теличко В.Г. Модель расчета цилиндрической оболочки // Сборник докладов 57-ой Международной научно-технической конференции молодых ученых: «Актуальные проблемы современного строительства». СПб: СПбГАСУ, 2004. 4.1. - С. 50-55.

103. Теличко В.Г. Трещев A.A. Математическая модель расчета пространственных конструкций с усложненными свойствами // Труды Всероссийской научной конференции: «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара: СамГТУ, 2004. 4.1. - С. 223-226.

104. Теличко В.Г., Трещев A.A. Гибридный конечный элемент для моделирования пространственных машиностроительных конструкций с усложненными свойствами / / Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал / № 1. 2004. С. 61-65.

105. Теличко В.Г., Трещев A.A. Гибридный конечный элемент для расчета железобетонных плит // Известия ТулГУ. Сер. Строительные материалы, конструкции и сооружения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. Вып. 2. - С. 125-135.

106. Теличко В.Г., Трещев A.A. Гибридный конечный элемент для расчета плит и оболочек с усложненными свойствами. // Известия вузов. Строительство / № 5. 2003. - Новосибирск, НГАСУ, 2003. - С. 17-23.

107. Теличко В.Г., Трещев A.A. Моделирование напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций из железобетона // Известия ТулГУ. Сер. Строительные материалы, конструкции и сооружения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. Вып. 8. - С. 147-161.

108. Теличко В.Г., Трещев A.A. Расчет напряженно-деформированного состояния графитовых оболочек // Известия ТулГУ. Сер. Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. Вып. 1. - С. 16-25.

109. Теличко В.Г., Трещев A.A. Расчет напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки с усложненными свойствами // Известия ТулГУ. Сер. Строительные материалы, конструкции и сооружения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. Вып. 6. - С. 185-191.

110. Толоконников JI.A. Вариант разномодульной теории упругости // Механика полимеров. 1969. - № 2. - С. 363-365 .

111. Толоконников JI.А. Вариант соотношений разномо-дульной теории упругости // Прочность и пластичность. -М.: Наука, 1971. С. 102-104.

112. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая шкала, 1979. - 318 с.

113. Толоконников Л.А. Обобщение закона упругости // Технология машиностроения. Тула: ТПИ, 1970. -Вып. 20. - С. 148 - 156.

114. Толоконников Л.А., Трещев A.A. К описанию свойств разносопротивляющихся конструкционных материалов // Труды 9-й Международной конференции по прочности и пластичности. М.: ИПМ РАН, ПРОФСЕРВИС. - 1996. -Т. 2. - С. 160-165.

115. Трещев A.A. Вариант деформирования конструкционных материалов с усложненными свойствами // Теория, технология, оборудование и автоматизация обработки металлов давлением и резанием. Тула: ТулГУ. - 1999. -Вып. 1. - С. 66-73.

116. Трещев A.A. О точности квазилинейной и нелинейной аппроксимации деформирования разносопротивляющихся сред / ТулПИ. Тула, 1992. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 07.07.92, № 2181-В92.

117. Трещев A.A., Матченко Н.М. О соотношениях теории упругости для изотропного разномодульного тела / ТПИ. Тула, 1982. - 4 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.04.82, № 2056-82.

118. Трещев A.A., Теличко В.Г. Напряженно-деформированное состояние армированной оболочки // Тезисы докладов б-ого международного научного симпозиума «Современные проблемы пластичности и устойчивости в МДТТ». Тверь: ТГУ, 2006. - С. 61-62.

119. Фридман A.M., Ануфриев Ю.П., Барабанов В.Н. Исследование разрушения углеграфитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния / / Проблемы прочности. 1973. - № 1. - С. 52-55.

120. Хечумов P.A., Кепплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конеч-ных элементов к расчету конструкций. М.: АСВ, 1994. - 353 с.

121. Цвелодуб И.Ю. К разномодульной теории упругости изотропных материалов // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1977. -Вып. 32. - С. 123-131.

122. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989. 288 с.

123. Шапиро Г.С. О деформациях тел, обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию // Инж. журнал МТТ. 1966. - № 2. - С. 123-125.

124. Шмельтер Я., Дацко М., Добросинский С, Вечорек М. Метод конечных элементов в статике сооружений. М. : Стройиздат, 1986. 220 с.

125. Arhipov I.К., Golovin I.S., Golovin S.A., Sinning H.-R. Damping caused by microplasticity in porous 316L steels // Philosophical Magazine, 2005. Vol. 85. - N. 14. - P. 1557-1574

126. Babuska I. and Strouboulis T. The Finite Element Method and Its Reliability. Oxford: Oxford University Press, 2001. 736 pp.

127. Bathe К. J. and Chapelle D. Finite Element Methods for Shells. Berlin: Springer Verlag., 2002. - 400 pp.

128. Bazant Z.P., Bhat P.D. Endochronic Theory of Inelasticity and Failure of Concrete // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. 1976. - Vol. 102. - № EM4. - P. 701-722.

129. Cook R.D. Two hybrid elements for analysis of thick thin and sandwich plates // Int. J. num. Meth. Engng. 1972. - Vol. 5. - P. 277-288.

130. Cook R.D., Al-Abdulla J.K. Some quadrilateral "hybrid" finite elements // AIAA Journal. 1969. -Vol. 7. - N. 11. - P. 2184-2185.

131. Han D.J., Chen W.F. Constitutive Modeling in Analysis of Concrete Structures // Journal of Eng. Mech. 1987. - V. 113. - N4. - P. 577-593.

132. Jones R.M. A Nonsystemmetric Compliance Matrix Approach to Nonlinear Multimodulus Ortotropic Materials

133. AIAA Journal. 1977. - Vol. 15. - № 10. -P. 1436-1443.

134. Jones R.M. Buckling of Stiffened Multilayered Circular Shells wiht Different Ortotropic Moduli in Tension and Compression // AIAA Journal. 1971. Vol.9. - № 5. - P. 917-923.

135. Jones R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Materials // AIAA Journal. 1980. Vol. 18. - № 8. - P. 995-1001.

136. Jones R.M. Stress-Strain Relations for Materials with Different Moduli in Tension and Compression // AIAA Journal. 1977. - Vol. 15. - № 1. - P. 16-25.

137. Jones R.M., Nelson D.A.R. Further Characteristics of a Nonlinear Material Model for ATJ-S Graphite // Journal Composite Materials. 1975. - Vol. 9. -№ 7. - P. 251-265.

138. Jones R.M., Nelson D.A.R. Theoretical-experimental correlation of material models for nonlinear deformation of graphite // AIAA Journal. 197 6. - Vol. 14 - № 10. - P. 1427-1435.

139. Kattan P. I. and Voyiadjis G. Z. Damage Mechanics With Finite Elements Practical Applications With Computer Tools. Berlin: Springer Verlag, 2002. -113 pp.

140. Kupfer H.B. Das nicht-linear Verhalten des Betons bei Zweiachsinger Beanspruchung // Beton und Stahlbetonbau. 1973. - № 11. - P. 269-274.

141. Kupfer H.B., Hilsdorf H.K., Rusch H. Behavior of Concrete under Biaxial Stresses // ACI Journal. -Vol. 66. 1969. - № 8. - P. 656-666.

142. Nielsen M.P. Acta Politechnica Scandinavica. Civil Engineering and Building Construction Series No.

143. On the Strength of Reinforced Concrete Discus. Co-pengagen. 1971. - P. 262 - 276.

144. Pian T.T.H. Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distribution // AIAA Journal. 1967. - Vol 5. - P. 1332-1336

145. Reddy J.N. A Penalty plate-bending element for the analysis of laminated anisotropic composite plate // Int. J. num. Meth. Engng. 1980. - Vol. 15. -P.1187-1206.

146. Tasuji M.E., Slate F.O., Nilson A. H. StressStrain Response and Fracture of Concrete in Biaxial Loading // ACI Journal. 1979. - № 7. - P. 806-812.

147. Tong P. and Pian T. H. H. A variation principle and the convergence of a finite-element method based on assumed stress distribution // Int. J. Solids Struct. -1969. P. 463-472.